Akademik A.N.Krylov je bil leta 1931 eden prvih, ki je predlagal precej priročno metodo za razkrivanje determinante (2).
Bistvo metode A.N.Krylova je pretvorba determinante D() v obliko
Enakost determinante D() na nič je potrebna in zadosten pogoj Da bi homogeni sistem linearni algebraične enačbe
imel rešitev x1, x2, ..., xn, različno od nič.
Transformirajmo sistem (2) na naslednji način. Pomnožimo prvo enačbo z in nadomestimo x1,...,xn z njihovimi izrazi (2) do x1,..., xn.
S ponovitvijo tega postopka (n-1)-krat se bomo premaknili iz sistema (2) v sistem
katerih koeficienti bodo določeni s ponavljajočimi se formulami
Očitno bo imela determinanta sistema (5) obliko (1).
Sistem linearnih algebrskih enačb (5) ima neničelno rešitev za vse vrednosti, ki izpolnjujejo enačbo D()=0. Tako je D1()=0 za vse, ki izpolnjujejo enačbo D()=0.
Pokažimo to
Naj bodo vsi koreni D() različni. Ker so vsi koreni D() koreni D1(), potem je D1() deljeno z D(). Ker sta poleg tega moči D1() in D() enaki, mora biti količnik konstanten. Če primerjamo koeficiente za n, dobimo
Če ima D() več korenin, enakost (8) ostane resnična.
Oglejmo si sedaj koeficiente bik, ki določajo D1(). Predstavimo vektorje Bi s komponentami bi1, bi2, …, bin. Enakosti
pokažite, da je Bi=ABi-1, kjer je A matrika, transponirana v dano. Sledi, da
Bi=A i-1B1, B1=AB0, (9)
kjer je B0=(1,0,…,0)
Če je C0, sta enačbi D1()=0 in D()=0 enakovredni. Če je C = 0, potem ta transformacija ne daje ničesar. A.N.Krylov v tem primeru predlaga posebna dobrodošlica, obravnavano spodaj. Vzemimo poljuben vektor B0 = (bi1,bi2,…,bin) kot vektor B0 in z njim dobimo vektorje Bi s formulami (9).
Naj bo u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10)
kjer so x1,x2,…xn rešitve sistema (1/). Potem, če ponovimo prejšnje sklepanje, dobimo:
Reševanje tega sistema kot linearnega sistema homogene enačbe z n+1 neznankami u,x1,x2,…xn, dobimo, da je neničelna rešitev možna, če in samo če
Če ponovimo prejšnje sklepanje, ugotovimo, da
če je C10, potem koeficienti pi karakteristični polinom so definirane kot relacije, kjer Di - algebrski dodatki elementov n-i v determinanto D().
Toda bistvo Krylovove metode je najti te koeficiente brez štetja manjših.
Uporabimo Hamilton-Cayleyev izrek, da je matrika koren svoje karakteristične enačbe, tj.
(A) n+p1(A)n-1+…+pn-1A+pnE=0, (14)
kjer so pi koeficienti karakterističnega polinoma.
Če enakost (14) pomnožimo z b0, dobimo:
bn+p1bn-1+p2bn-2+…+pn-1b1+pnb0=0 (15)
Ta vektorska enakost daje sistem linearnih algebrskih enačb za določanje koeficientov karakterističnega polinoma. Determinanta tega sistema je enaka C1. Nastali sistem je mogoče rešiti s katero koli od znanih metod, na primer z Gaussovo metodo.
Za samo matriko A bi bilo mogoče uporabiti Hamilton-Cayleyjev izrek in potem bi dobili sistem
сn+p1сn-1+p2сn-2+…+pn-1с1+pnc0=0 (15/)
tukaj je ci=Aic0, c0
Poljubni začetni vektor.
Primer. Naj ima matrika A obliko:
kot vektor B0 vzamemo vektor B0 = (1,0,0,0). Nato dobimo vektorje
B1=AB0, B2=A2B0= AB1, B3=A3B0=AB2, B4=A4B0=AB3:
Sistem linearnih algebrskih enačb za določanje koeficientov karakterističnega polinoma ima obliko:
Po rešitvi tega sistema dobimo: p1=-11, p2=7, p3=72, p4=-93. Zato bo značilni polinom v obliki:
D()= 4 -113 + 72 +72 -93.
V navedenem primeru C10.
Če je C = 0, tak sistem ne bo omogočal določitve koeficientov karakteristične enačbe. Matrika A in vanjo transponirana matrika A zadovoljujeta njeno značilno enačbo D(A)=0. Lahko pa se izkaže, da obstajajo polinomi () stopnje manjše od n, za katere tudi velja enakost (A)=(A)=0. Med takimi polinomi je en sam polinom z vodilnim koeficientom 1, ki ima najmanjšo stopnjo. Ta polinom se imenuje minimalen. Če minimalni polinom matrike ne sovpada z značilnim polinomom, potem je C = 0 za katero koli izbiro začetnega vektorja. V tem primeru je AC0=0 in so vektorji C0, AC0, ..., Аn-1C0 linearno odvisni.
V praksi se lahko pri uporabi metode Krylova taka situacija pojavi le v posebnih okoliščinah.
1.2 Metoda Krylova
Krylovova metoda temelji na lastnosti kvadratne matrike M, da izniči svoj karakteristični polinom. V tem delu je matrika M matrika koeficientov tehnološke povezanosti, ki ima obliko:
Po Hamilton-Calijevem izreku vsak kvadratna matrika je koren njegovega značilnega polinoma in ga zato spremeni v nič. Naj bo (1.2.1) karakterističen polinom
Če zamenjamo vrednost λ v izrazu z M, dobimo
Če vzamemo poljuben neničelni vektor Y 0 in z njim pomnožimo obe strani izraza (1.2.2), dobimo:
Ali v obliki
Če ima ta sistem edina odločitev, potem so njene korenine p 1, p 2 .....p n koeficienti karakterističnega polinoma (1.2.1).
Če so znani koeficienti р 1, р 2…..р n in korenine λ 1, λ 2,….λ n značilnega polinoma, potem metoda Krylova omogoča iskanje ustreznih vektorjev z naslednjo formulo :
Tukaj y (n -1), y (n -2), …. y (0) – vektorji, ki se uporabljajo za iskanje koeficientov р 1 , р 2 .....р n po Krylovovi metodi, koeficienti q ij () pa se določijo s pomočjo Hornerjeve sheme
q 0i = 1, q ij = λ i q i-1,i +p i (1.2.7)
Za določitev lastnih vrednosti matrike M je treba rešiti nastalo karakteristična enačba. Za matriko M bo ta enačba pete stopnje; v tem delu bomo tako enačbo reševali z metodo tangente ali drugače z Newtonovo metodo.
1.3 Newtonova metoda (tangentna metoda)
Newtonova metoda (znana tudi kot tangentna metoda) je iterativna numerična metoda iskanje korena (ničle) dane funkcije. Iskanje rešitve poteka s konstruiranjem zaporednih približkov in temelji na principih preproste iteracije. Metoda ima kvadratno konvergenco. Izboljšava metode je metoda tetiv in tangent. Newtonovo metodo lahko uporabimo tudi za reševanje optimizacijskih problemov, pri katerih je treba določiti ničlo prvega odvoda ali gradienta v primeru večdimenzionalnega prostora.
Za numerično rešitev enačbe f(x) = 0 z uporabo preproste iteracijske metode jo je treba zmanjšati na naslednji obrazec: x = f(x), kjer je f(x) kontrakcijska preslikava.
Za najboljšo konvergenco metode mora biti pogoj izpolnjen v točki naslednjega približka. rešitev podana enačba poiščite v obrazcu, nato:
Ob predpostavki, da je pristopna točka "dovolj blizu" korenu in to dano funkcijo je zvezna, končna formula za je:
(1.3.2)
Ob upoštevanju tega je funkcija definirana z izrazom
(1.3.3)
Ta funkcija izvaja kompresijsko preslikavo v okolici korena in algoritem za iskanje numerična rešitev enačba se zmanjša na iterativni postopek izračuna:
(1.3.4)
Po Banachovem izreku teži zaporedje približkov h korenu enačbe.
Slika 1.1- Grafični prikaz Newtonova metoda
Glavna ideja metode je naslednja: začetni približek je določen blizu hipotetičnega korena, po katerem se na aproksimacijski točki konstruira tangenta na proučevano funkcijo, za katero se najde presečišče z osjo abscise. Ta točka se vzame kot naslednji približek. In tako naprej, dokler ni dosežena zahtevana natančnost.
Prednosti Newtonove metode:
1) če je funkcija, ki jo minimiziramo, kvadratna, vam bo metoda omogočila, da najdete minimum v enem koraku;
2) če funkcija, ki jo minimiziramo, pripada razredu vrtilnih površin, potem metoda zagotavlja tudi konvergenco v enem koraku;
3) če je funkcija asimetrična, potem metoda ne zagotavlja konvergence v končna številka koraki. Toda za številne funkcije je doseženo veliko več visoka hitrost konvergence kot pri uporabi drugih modifikacij metode najstrmejši spust.
Uporaba Krylovove metode in Newtonove metode je podana v prilogah. Metode so bile implementirane v okolju MathCAD in VB.Net.
Za razvoj in materialni stroški. Cilj diplomske zasnove je torej razvoj programski paket za modeliranje radarske situacije na osebnem računalniku, kar vam omogoča simulacijo radarske situacije z uporabo danih parametrov, ustvarite izhodno datoteko, ki vsebuje izračunan model, uporabite nastalo datoteko za testiranje dejanskih procesnih naprav ...
1. Če je podana matrika, je njena značilna (sekularna) enačba zapisana v obliki
. (81)
Na levi strani te enačbe je značilen polinom stopnje . Za neposreden izračun koeficientov tega polinoma je treba razkriti značilno determinanto, kar je povezano z veliko količino računskega dela za velike, saj je vključeno v diagonalne elemente determinante.
Akademik A. N. Krylov je leta 1937 predlagal preoblikovanje značilne determinante, zaradi česar vnese samo elemente enega stolpca (ali vrstice). Krylov transformacija bistveno poenostavi izračun koeficientov karakteristične enačbe.
V tem razdelku bomo podali algebraično izpeljavo transformirane karakteristične enačbe, ki se nekoliko razlikuje od izpeljave samega Krylova.
Uvedimo v obravnavo -dimenzionalni vektorski prostor z bazo in linearni operator v , določen z dano matriko pod to osnovo. Izberimo poljuben vektor in sestavimo niz vektorjev
Naj prvi vektorji te serije 
sta linearno neodvisna, th vektor pa je linearna kombinacija teh vektorjev:
Tudi vsi nadaljnji vektorji serije (82) so linearno izraženi skozi prve vektorje te serije. Tako je v seriji (82) linearna neodvisni vektorji, in to maksimalno število linearno neodvisnih vektorjev niza (82) lahko vedno realiziramo na prvih vektorjih niza.
Polinom je minimalni (izničevalni) polinom vektorja glede na operator (glej § 1). Metoda A. N. Krylova je metoda za učinkovito določanje minimalnega polinoma vektorja.
Ločeno bomo obravnavali dva primera: običajni primer, ko , in posebni primer, ko .
Polinom je delitelj minimalnega polinoma celotnega prostora in je delitelj karakterističnega polinoma. Zato je vedno delitelj.
V običajnem primeru in imata enako stopnjo in ker sta njuna vodilna koeficienta enaka, ti polinomi sovpadajo. Tako v rednem primeru
,
zato je metoda Krylova v običajnem primeru metoda za izračun koeficientov karakterističnega polinoma.
IN poseben primer, kot bomo videli v nadaljevanju, metoda Krylova ne omogoča določitve in v tem primeru določi le polinom, ki je delitelj.
Pri predstavitvi transformacije Krylova bomo koordinate vektorja v dani bazi označili z , koordinate vektorja pa z .
2. Običajni primer: . V tem primeru sta vektorja linearno neodvisna, enakosti (83), (84), (85) pa imajo obliko
Pogoj za lilijsko neodvisnost vektorjev lahko analitično zapišemo na naslednji način (glej poglavje III, § 1):
. (89)
Razmislite o matriki, sestavljeni iz vektorskih koordinat:
. (90)
V običajnem primeru je rang te matrike enak . Prve vrstice te matrike so linearno neodvisne, zadnja, i, vrstica pa je linearna kombinacija prejšnjih.
Odvisnost med vrsticami matrike (90) dobimo tako, da vektorsko enačbo (86) nadomestimo z enakovrednim sistemom skalarnih enačb
(91)
Iz tega sistema linearnih enačb lahko enolično določimo zahtevane koeficiente in dobljene vrednosti nadomestimo v (88). To izjemo od (88) in (91) je mogoče izvesti v simetrični obliki. Da bi to naredili, prepišemo (88) in (91) na naslednji način:
Ker ima ta sistem enačb z neznankami različno rešitev, mora biti determinanta tega sistema enaka nič:
. (92)
Od tu določimo , tako da smo predhodno prenesli determinanto (92) glede na glavno diagonalo:
, (93)
kjer je konstantni faktor določen s formulo (89) in je različen od nič.
Identiteta (93) je transformacija Krylova. V determinanti Krylov, ki je na desni strani te identitete, je vključen le v elemente zadnjega stolpca; preostali elementi te determinante niso odvisni od.
Komentiraj. V običajnem primeru je celoten prostor cikličen (glede na operator). Če za osnovo izberemo vektorje, potem v tej bazi operator ustreza matriki z naravnim normalna oblika
. (94)
Prehod iz glavne osnove v osnovo se izvede z uporabo ne-posebne transformacijske matrike
. (95)
3. Poseben primer: . V tem primeru so vektorji linearno odvisni in zato
.
Enakost (93) je bila izpeljana pod pogojem . Vendar sta obe strani te enakosti celi racionalne funkcije od in parametri. Zato »iz razmišljanj o kontinuiteti« sledi, da enakost (93) velja tudi za . Toda potem bodo v determinanti Krylova (93) po njeni razširitvi vsi koeficienti enaki nič. Tako v posebnem primeru formula (93) postane trivialna identiteta.
Razmislite o matriki, sestavljeni iz vektorskih koordinat
. (97)
Ta matrika ima rang in prve vrstice v njej so linearno neodvisne, zadnja vrstica pa je linearna kombinacija prvih vrstic s koeficienti 
[cm. (83)]. Iz koordinat lahko izberemo takšne koordinate, da je determinanta sestavljena iz teh vektorskih koordinat , je bil drugačen od nič:
. (98)
(99)
Iz tega sistema enačb so koeficienti polinoma (minimalni polinom vektorja) enolično določeni. Povsem analogno običajnemu primeru (samo s črkama, zamenjanima z in) lahko izločimo iz (85) in (99) in dobimo naslednjo formulo za :
. (100)
4. Osredotočimo se na razjasnitev vprašanja, za katere matrike in s kakšno izbiro začetnega vektorja ali, kar je isto, s kakšno izbiro začetnih parametrov nastopi pravilen primer.
To smo že videli v navadnem primeru
.
Sovpadanje karakterističnega polinoma z minimalnim polinomom pomeni, da matrika nima dveh elementarnih deliteljev z enakim karakterističnim številom, to pomeni, da so vsi elementarni delilniki po paru enaki. V primeru, ko je matrika enostavne strukture, je ta zahteva enakovredna pogoju, da značilna enačba matrike nima več korenin.
Sovpadanje polinoma z pomeni, da je vektor, izbran kot vektor, tisti, ki generira (z uporabo operatorja) celoten prostor. Po izreku 2 § 2 tak vektor vedno obstaja.
Če pogoj ni izpolnjen, ne glede na to, kako izberemo vektor, ne bomo dobili polinoma, saj je polinom, dobljen z metodo Krylova, delitelj, ki v obravnavanem primeru ne sovpada s polinomom, ampak je le njen delilec. S spreminjanjem vektorja lahko dobimo poljuben delitelj kot vrednost.
Dobljene zaključke lahko oblikujemo v obliki naslednjega izreka:
Izrek 14. Krylovova transformacija poda izraz za karakteristični polinom matrike v obliki determinante (93), če in samo če sta izpolnjena dva pogoja:
1. Elementarni delitelji matrike so po parih soprosti.
2. Začetni parametri so koordinate vektorja, ki generira (z uporabo operatorja, ki ustreza matriki) celoten -dimenzionalni prostor.
V splošnem primeru transformacija Krylova vodi do določenega delitelja karakterističnega polinoma. Ta delitelj je minimalni polinom za vektor s koordinatami ( – začetni parametri v transformaciji Krylova).
5. Pokazali vam bomo, kako najti koordinate lastni vektor za poljubno karakteristično število, ki je koren polinoma, pridobljenega z metodo Krylova.
Vektor bomo iskali v obliki
Zamenjava tega izraza za v vektorsko enakost
in z uporabo (101) dobimo:
Od tod, mimogrede, sledi, da , ker bi enakost na podlagi (102) dala linearna odvisnost med vektorji . Verjamemo v prihodnost. Nato iz (102) dobimo:
Prva od teh enačb nam zaporedno določa količine (koordinate vektorja v "novi" bazi ); zadnja enakost je posledica prejšnjih in iz relacije 
.
Koordinate vektorja v izvirni osnovi lahko najdete z naslednje formule, ki izhajajo iz (101):
(104)
Pod to matriko zapišemo premico iz koordinat vektorja. Ta števila dodelimo poljubno (z eno samo omejitvijo: vsaj eno od teh števil je različno od nič). Pod črto zapišemo črto, torej koordinate vektorja. Številke dobimo z zaporednim množenjem vrstice z vrsticami dane matrike. Torej, na primer, itd. Pod črto napišemo vrstico itd. Vsaka od dodeljenih vrstic, začenši z drugo, je določena z zaporednim množenjem prejšnje vrstice z vrsticami te matrike.
Nad vrsticami te matrike napišemo vrstico kontrolne vsote
.
V tem primeru imamo redni primer, saj
.
Krylov determinant ima obliko
.
Če to determinanto razširimo in zmanjšamo za, ugotovimo:
Označimo z lastnim vektorjem matrike, ki ustreza karakterističnemu številu. Števila najdemo s formulami (103):
,
, 
, 
.
Kontrolna enakost je seveda izpolnjena.
Dobljena števila postavimo v navpični stolpec, vzporeden s stolpcem vektorjev 
. Če pomnožimo stolpec za stolpcem, dobimo prvo koordinato vektorja v izvirni osnovi; podobno dobimo. Poiščite koordinate (po zmanjšanju za 4) vektorja. Podobno določimo koordinate lastnega vektorja za karakteristično število.
, (105)
spremljati morate rang dobljene matrike, da se ustavite pri prvi [od zgoraj] vrstici, ki je linearna kombinacija prejšnjih. Določanje ranga vključuje izračun znanih determinant. Poleg tega je treba po prejemu determinante Krylova v obliki (93) ali (100) za njeno razširitev iz elementov zadnjega stolpca izračunati znano število determinant th reda [v rednem primeru th naročilo].
Namesto da bi razkrili determinanto Krylova, lahko koeficiente določimo neposredno iz sistema enačb (91) [ali (99)], tako da za ta sistem uporabimo neko učinkovito metodo reševanja, na primer metodo izločitve. To metodo je mogoče uporabiti neposredno na matrici
Elemente spremenimo na nič - prva vrstica te matrike po transformaciji bo imela obliko (in ne prvotne vrstice 
) na vrstice te matrike.
Nato bomo našli th vrstico v obrazcu
in po odštevanju prejšnjih vrstic dobimo:
.
Naša priporočena rahla modifikacija Krylovove metode (kombinacija z eliminacijsko metodo) nam omogoča, da takoj dobimo polinom, ki nas zanima [običajni primer], brez izračunavanja kakršnih koli determinant in reševanja pomožnega sistema enačb.
