V elektrodinamiki je to podobno Newtonovim zakonom klasična mehanika ali kot Einsteinovi postulati v teoriji relativnosti. Osnovne enačbe, katerih bistvo bomo razumeli danes, da ne pademo v stupor že ob njihovi omembi.

Uporabno in zanimiv podatek o drugih temah - v našem telegramu.

Maxwellove enačbe so sistem enačb v diferencialnih oz integralna oblika, ki opisuje poljubna elektromagnetna polja, razmerje med tokovi in električnimi naboji v katerem koli mediju.

Maxwellovi sodobniki so jih neradi sprejeli in kritično dojemali. To je zato, ker te enačbe niso bile podobne ničemur iz znano ljudem prej.

Kljub temu še danes ni nobenega dvoma o pravilnosti Maxwellovih enačb, ne »delujejo« le v nam znanem makrosvetu, ampak tudi na področju kvantne mehanike.

Maxwellove enačbe so naredile pravo revolucijo v dojemanju ljudi znanstvena slika mir. Tako so predvideli odkritje radijskih valov in pokazali, da je svetloba elektromagnetne narave.

Mimogrede! Zdaj je popust za vse naše bralce 10% na .

Zapišimo in razložimo vse 4 enačbe po vrsti. Naj takoj pojasnimo, da jih bomo pisali v sistemu SI.

Sodobna oblika Maxwellove prve enačbe je:

Tukaj moramo pojasniti, kaj je razhajanje. Razhajanje - To diferencialni operator, ki določa tok nekega polja skozi določeno površino. Primerjava s pipo ali cevjo bi bila primerna. Na primer, večji kot je premer izliva pipe in tlak v cevi, večji je pretok vode skozi površino, ki jo izliv predstavlja.

V Maxwellovi prvi enačbi E je vektorsko električno polje in grško pismo « ro » – skupni naboj znotraj zaprte površine.

Torej tok električnega polja E skozi katero koli zaprto površino je odvisno od celotnega naboja znotraj te površine. Ta enačba predstavlja Gaussov zakon (izrek).

Maxwellova tretja enačba

Zdaj bomo preskočili drugo enačbo, saj je tudi Maxwellova tretja enačba Gaussov zakon, samo ne za električno polje, temveč za magnetno.

Izgleda:

Kaj to pomeni? Tok magnetnega polja skozi zaprto površino enako nič. Če lahko električni naboji (pozitivni in negativni) obstajajo ločeno in okoli sebe ustvarjajo električno polje, potem magnetni naboji v naravi preprosto ne obstaja.

Maxwellova druga enačba ni nič drugega kot Faradayev zakon. Njegov videz:

Rotor z električnim poljem (integriran skozi zaprto površino) enako hitrosti spremembe magnetni tok prebadanje te površine. Za boljše razumevanje vzemimo vodo v kopalnici, ki se odvaja skozi luknjo. Okoli luknje se oblikuje lijak. Rotor je vsota (integral) vektorjev hitrosti vodnih delcev, ki se vrtijo okoli luknje.

Kot se spomnite, na podlagi Faradayev zakon Električni motorji delujejo: vrteči se magnet ustvarja tok v tuljavi.

Četrta je najpomembnejša od vseh Maxwellovih enačb. Tam je znanstvenik predstavil koncept prednapetostni tok.

To enačbo imenujemo tudi izrek o kroženju vektorja magnetne indukcije. To nam pove elektrika in spremembe v električnem polju ustvarjajo vrtinčno magnetno polje.

Predstavimo zdaj celoten sistem enačb in na kratko orišemo bistvo vsake od njih:

Prva enačba: električni naboj ustvarja električno polje

Druga enačba: spreminjajoče se magnetno polje generira vrtinčno električno polje

Tretja enačba: ni magnetnih nabojev

Četrta enačba: električni tok in spremembe v električni indukciji ustvarjajo vrtinčno magnetno polje

Z reševanjem Maxwellovih enačb za prosti elektromagnetni val dobimo naslednjo sliko njegovega širjenja v prostoru:

Upamo, da bo ta članek pomagal sistematizirati znanje o Maxwellovih enačbah. In če boste morali rešiti nalogo iz elektrodinamike s temi enačbami, se lahko mirno obrnete po pomoč na študentski servis. Podrobna razlaga vsaka naloga in odlična ocena sta zagotovljena.

Maxwellova teorija temelji na štirih obravnavanih enačbah:

1. Električno polje je lahko potencialno ( e q) in vrtinec ( E B), torej skupna poljska jakost E=E Q+ E B. Ker je kroženje vektorja e q je enak nič in kroženje vektorja E B je določen z izrazom, nato kroženje vektorja skupne poljske jakosti Ta enačba kaže, da so lahko viri električnega polja ne samo električni naboji, temveč tudi časovno spremenljiva magnetna polja.

2. Izrek o generalizirani vektorski cirkulaciji n: Ta enačba kaže, da lahko magnetna polja vzbudijo bodisi gibljivi naboji bodisi izmenična električna polja.

3. Gaussov izrek za polje D: Če je naboj neprekinjeno porazdeljen znotraj zaprte površine z volumsko gostoto, bo formula zapisana v obliki

4. Gaussov izrek za polje B: Torej, celoten sistem Maxwellovih enačb v integralni obliki: Količine, vključene v Maxwellove enačbe, niso neodvisne in med njimi obstaja naslednje razmerje: D= 0 E, B= 0 N,j=E, kjer sta  0 in  0 električna oziroma magnetna konstanta,  in  - dielektrična oziroma magnetna prepustnost,  - specifična prevodnost snovi.

Za stacionarna polja (E= konst in IN=const) Maxwellove enačbe bo dobil obliko viri električnega polja v v tem primeru so samo električni naboji, viri magnetnih so samo prevodni tokovi. V tem primeru sta električno in magnetno polje neodvisna drug od drugega, kar omogoča ločeno študijo trajno električna in magnetna polja.

IN Z uporabo Stokesovih in Gaussovih izrekov, znanih iz vektorske analize, lahko predstavimo popoln sistem Maxwellovih enačb v diferencialni obliki:

Maxwellove enačbe so najbolj splošne enačbe za električna in magnetna polja v mirna okolja. V doktrini elektromagnetizma igrajo enako vlogo kot Newtonovi zakoni v mehaniki. Iz Maxwellovih enačb sledi, da je izmenično magnetno polje vedno povezano s tistim, ki ga ustvarja električno polje, in izmenično električno polje je vedno povezano z magnetnim poljem, ki ga ustvarja, to pomeni, da sta električno in magnetno polje med seboj neločljivo povezana - tvorita eno elektromagnetno polje.

66. Diferencialna enačba elektromagnetnega valovanja. Ravni elektromagnetni valovi.

Za homogena in izotropno okolje daleč od nabojev in tokov, ki ustvarja elektromagnetno polje, iz Maxwellovih enačb izhaja, da so vektorji jakosti E in n izmenično elektromagnetno polje zadovoljuje valovno enačbo tipa:

- Laplaceov operater.

Tisti. elektromagnetna polja lahko obstajajo v obliki elektromagnetnega valovanja. Fazna hitrost elektromagnetnega valovanja je določena z izrazom (1) v - fazna hitrost, kjer je c = 1/ 0  0,  0 in  0 električna oziroma magnetna konstanta,  in  električna oziroma magnetna prepustnost medija.

V vakuumu (pri =1 in =1) hitrost širjenja elektromagnetnega valovanja sovpada s hitrostjo z. Ker je > 1, je hitrost širjenja elektromagnetnega valovanja v snovi vedno manjša kot v vakuumu.

Pri izračunu hitrosti širjenja elektromagnetno polje po formuli (1) dobimo rezultat, ki se precej dobro ujema z eksperimentalnimi podatki, če upoštevamo odvisnost  in  od frekvence. Sovpadanje dimenzijskega koeficienta b s hitrostjo širjenja svetlobe v vakuumu kaže na globoko povezavo med elektromagnetnimi in optičnimi pojavi, kar je Maxwellu omogočilo ustvarjanje elektromagnetne teorije svetlobe, po kateri je svetloba elektromagnetno valovanje.

Z posledica Maxwellove teorije je transverzalnost elektromagnetnega valovanja: vektorji E in n električna in magnetna poljska jakost valovanja sta medsebojno pravokotni (sl. 227) in ležita v ravnini, pravokotni na vektor v hitrosti širjenja valov, vektorji pa E, n in v tvorijo desničarski sistem. Iz Maxwellovih enačb tudi sledi, da so v elektromagnetnem valovanju vektorji E in n vedno oklevaj v istih fazah(glej sliko 227), trenutni vrednosti £ in R na kateri koli točki pa sta povezani z razmerjem  0 = 0  N.(2)

E Te enačbe so izpolnjene zlasti na ravnini monokromatski elektromagnetni valovi(elektromagnetno valovanje ene strogo določene frekvence), ki ga opisujejo enačbe E pri =E 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 cos(t-kx+), (4), kjer e 0 in n 0 - oziroma amplitude električne in magnetne poljske jakosti valovanja,  - krožna frekvenca valovanja, k=/v - valovno število,  - začetne faze nihanj v točkah s koordinato x= 0. V enačbah (3) in (4) je  enak, saj nihanja električnega in magnetni vektorji v elektromagnetnem valovanju potekajo z isto fazo.

Skupina diferencialnih enačb. Diferencialne enačbe, ki jih mora izpolnjevati vsak od vektorjev polja posebej, lahko dobimo z izključitvijo preostalih vektorjev. Za območje polja, ki ne vsebuje brezplačni stroški in tokov ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), imajo enačbe za vektorja $\overrightarrow(B)$ in $\overrightarrow(E)$ obliko:

Enačbi (1) in (2) sta navadni enačbi valovnega gibanja, kar pomeni, da svetlobni valoviširijo v mediju s hitrostjo ($v$), ki je enaka:

Opomba 1

Treba je opozoriti, da ima koncept hitrosti elektromagnetnega valovanja določen pomen le v povezavi z valovi preprost tip, na primer ravno. Hitrost $v$ v tem primeru ni hitrost širjenja valov samovoljna odločitev enačbi (1) in (2), saj ti enačbi dopuščata rešitve v obliki stoječih valov.

Na katerikoli valovna teorija svetloba velja za elementarni proces harmonično valovanje v prostoru in času. Če je frekvenca tega vala v intervalu $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7,5\cdot (10)^(-14)\frac(1 ) (c)$, tako valovanje povzroči v človeku fiziološki občutek določene barve.

Za prozorne snovi dielektrična konstanta $\varepsilon $ je običajno večja od enote, magnetna prepustnost medija $\mu $ je skoraj enaka enoti, se izkaže, da je v skladu z enačbo (3) hitrost $v$ manjša od hitrost svetlobe v vakuumu. Kaj so znanstveniki prvič eksperimentalno pokazali na primeru širjenja svetlobe v vodi Foucault in Fizeau.

Običajno se ne določi sama vrednost hitrosti ($v$), temveč razmerje $\frac(v)(c)$, za katerega uporabljajo lomni zakon . V skladu s tem zakonom, ko ravninski elektromagnetni val pade na ravninsko mejo, ki ločuje dva homogenih medijev, je razmerje med sinusom vpadnega kota $(\theta )_1$ in sinusom lomnega kota $(\theta )_2$ (slika 1) konstantno in enako razmerju hitrosti valovanja širjenje v dveh medijih ($v_1\ in (\v)_2$):

Vrednost konstantnega razmerja izraza (4) običajno označimo kot $n_(12)$. Pravijo, da je $n_(12)$ relativni lomni količnik druge snovi glede na prvo, ki ga doživi valovna fronta (val) pri prehodu iz prvega medija v drugega.

Slika 1.

Definicija 1

Absolutni lomni količnik(preprosto lomni količnik) medija $n$ je lomni količnik snovi glede na vakuum:

Snov, ki ima višjo stopnjo lom je optično gostejši. Relativni indikator lom dveh snovi ($n_(12)$) je povezan z njunim v absolutnem smislu($n_1,n_2$) kot:

Maxwellova formula

Definicija 2

Maxwell je ugotovil, da je lomni količnik medija odvisen od njegovega dielektrika in magnetne lastnosti. Če nadomestimo izraz za hitrost širjenja svetlobe iz enačbe (3) v formulo (5), dobimo:

\ \

Izraz (7) se imenuje Maxwellova formula. Za večino nemagnetnih prozornih snovi, ki jih obravnavamo v optiki, lahko magnetno prepustnost snovi približno upoštevamo enako ena, zato se enakost (7) pogosto uporablja v obliki:

Pogosto se domneva, da je $\varepsilon$ konstantna vrednost. Vendar pa dobro poznamo Newtonove poskuse s prizmo o razgradnji svetlobe; zaradi teh poskusov postane očitno, da je lomni količnik odvisen od frekvence svetlobe. Posledično, če predpostavimo, da je Maxwellova formula veljavna, potem moramo priznati, da je dielektrična konstanta snovi odvisna od frekvence polja. Povezavo med $\varepsilon$ in frekvenco polja lahko razložimo le, če upoštevamo atomska zgradba snovi.

Vendar je treba povedati, da je Maxwellova formula s konstanto dielektrična konstanta snovi, v nekaterih primerih lahko uporabimo kot dober približek. Primer bi bili plini s preprostim kemijska struktura, v katerem ni pomembne disperzije svetlobe, kar pomeni šibko odvisnost optičnih lastnosti od barve. Formula (8) dobro deluje tudi za tekoče ogljikovodike. Po drugi strani pa večina trdne snovi, na primer, steklo in večina tekočin kažejo močno odstopanje od formule (8), če upoštevamo konstanto $\varepsilon$.

Primer 1

Vaja: Kakšna je koncentracija prosti elektroni v ionosferi, če je znano, da je za radijske valove s frekvenco $\nu$ njegov lomni količnik enak $n$.

rešitev:

Za osnovo rešitve problema vzemimo Maxwellovo formulo:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\levo(1,2\desno),\]

kjer je $\varkappa$ dielektrična občutljivost, P je trenutna vrednost polarizacije. Iz (1.1) in (1.2) sledi:

Če je koncentracija atomov v ionosferi enaka $n_0,$, je trenutna vrednost polarizacije enaka:

Iz izrazov (1.3) in (1.4) imamo:

kjer je $\omega $ ciklična frekvenca. Enačbo prisilnih nihanj elektrona brez upoštevanja sile upora lahko zapišemo kot:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\levo(1,7\desno),\]

kjer je $m_e$ masa elektrona, $q_e$ je naboj elektrona. Rešitev enačbe (1.7) je izraz:

\ \

Poznamo frekvenco radijskih valov, zato lahko poiščemo ciklično frekvenco:

\[\omega =2\pi \nu \levo(1,10\desno).\]

Nadomestimo v (1.5) desna stran izraz (1.9) namesto $x_(max)$ in uporabi (1.10), dobimo:

odgovor:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\levo(1-n^2\desno).$

Primer 2

Vaja: Pojasnite, zakaj je Maxwellova formula v nasprotju z nekaterimi eksperimentalnimi podatki.

rešitev:

Od klasike elektromagnetna teorija Maxwella iz tega sledi, da lahko lomni količnik medija izrazimo kot:

kjer lahko v optičnem območju spektra za večino snovi predpostavimo, da je $\mu \približno 1$. Izkazalo se je, da mora biti lomni količnik za snov konstantna vrednost, saj je $\varepsilon $ - dielektrična konstanta medija konstantna. Medtem ko poskus kaže, da je lomni količnik odvisen od frekvence. Težave, ki so se pojavile pred Maxwellovo teorijo v ta težava, odpravlja elektronska teorija Lorenz. Lorentz je obravnaval disperzijo svetlobe kot rezultat interakcije elektromagnetnih valov z nabitimi delci, ki so del snovi in delujejo prisilna nihanja svetlobni valovi v izmeničnem elektromagnetnem polju. S svojo hipotezo je Lorentz dobil formulo, ki povezuje lomni količnik s frekvenco elektromagnetnega valovanja (glej primer 1).

odgovor: Težava z Maxwellovo teorijo je, da je makroskopska in ne upošteva strukture snovi.

Maxwellove enačbe in valovna enačba

Elektromagnetni valovi

Med širjenjem mehanskega valovanja v elastični medij V nihajno gibanje so vključeni delci medija. Razlog za ta proces je prisotnost interakcij med molekulami.

Poleg tega elastični valovi v naravi obstaja valovni proces drugačne narave. To je približno o elektromagnetnem valovanju, ki je proces širjenja nihanj elektromagnetnega polja. V bistvu živimo v svetu elektromagnetnih valov. Njihov obseg je neverjetno širok - to so radijski valovi, infrardeče sevanje, ultravijolično, rentgensko sevanje, γ – žarki. Posebno mesto v tej raznolikosti zaseda vidni del obseg - svetloba. S pomočjo teh valov prejmemo ogromno informacij o svetu okoli nas.

Kaj je elektromagnetno valovanje? Kakšna je njegova narava, mehanizem porazdelitve, lastnosti? Ali so tam splošni vzorci, ki je značilen tako za elastična kot za elektromagnetna valovanja?

Maxwellove enačbe in valovna enačba

Elektromagnetni valovi so zanimivi, ker jih je prvotno "odkril" Maxwell na papirju. Na podlagi sistema enačb, ki jih je predlagal, je Maxwell pokazal, da lahko električna in magnetna polja obstajajo v odsotnosti nabojev in tokov, ki se širijo v obliki valov s hitrostjo 3∙10 8 m/s. Skoraj 40 let kasneje, Maxwellova napoved materialni predmet– EMF – je eksperimentalno odkril Hertz.

Maxwellove enačbe so postulati elektrodinamike, oblikovani na podlagi analize izkušena dejstva. Enačbe določajo razmerje med naboji, tokovi in polji – električnim in magnetnim. Poglejmo si dve enačbi.

1. Kroženje vektorja električne poljske jakosti po poljubni zaprti zanki l je sorazmeren s hitrostjo spremembe magnetnega pretoka skozi površino, raztegnjeno čez konturo (to je zakon elektromagnetna indukcija Faraday):

(1)

Fizični pomen te enačbe je, da spreminjajoče se magnetno polje ustvarja električno polje.

2. Kroženje vektorja jakosti magnetnega polja po poljubni zaprti zanki l je sorazmeren s hitrostjo spremembe toka vektorja električne indukcije skozi površino, raztegnjeno čez konturo:

Fizični pomen te enačbe je, da magnetno polje ustvarjajo tokovi in spreminjajoče se električno polje.

Tudi brez kakršnih koli matematičnih transformacij teh enačb je jasno: če se električno polje na neki točki spremeni, potem se v skladu z (2) pojavi magnetno polje. To magnetno polje, ki se spreminja, ustvarja električno polje v skladu z (1). Polja se medsebojno inducirajo, niso več povezana z naboji in tokovi!

Poleg tega se bo v prostoru širil proces medsebojne indukcije polj hitrost terminala, to pomeni, da nastane elektromagnetno valovanje. Da bi dokazali obstoj valovni proces, v katerem vrednost S niha, je treba dobiti valovno enačbo

Razmislimo o homogenem dielektriku z dielektrično konstanto ε in magnetno prepustnostjo μ. Naj bo v tem mediju magnetno polje. Za poenostavitev bomo predpostavili, da se vektor magnetne poljske jakosti nahaja vzdolž osi OY in je odvisen le od koordinate z in časa t: .

Enačbi (1) in (2) zapišemo ob upoštevanju povezave med karakteristikami polj v homogenem izotropno okolje: in :

Poiščimo vektorski tok skozi pravokotno območje KLMN in vektorsko kroženje vzdolž pravokotne konture KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b, LM = KN = a)

Očitno je, da sta vektorski tok skozi mesto KLMN in kroženje vzdolž vezja KLPQ različna od nič. Potem sta tudi kroženje vektorja vzdolž konture KLMN in tok vektorja skozi površino KLPQ različna od nič. To je mogoče le pod pogojem, da se ob spremembi magnetnega polja pojavi električno polje, usmerjeno vzdolž osi OX.

Sklep 1: Ko se magnetno polje spremeni, nastane električno polje, katerega jakost je pravokotna na indukcijo magnetnega polja.

Ob upoštevanju zgoraj navedenega bomo sistem enačb prepisali

Po transformacijah dobimo:

Maxwellov sistem enačb vključuje štiri osnovne enačbe

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Ta sistem dopolnjujejo trije materialne enačbe, opredelitev povezave med fizikalne količine, vključeno v Maxwellove enačbe:

(3.5)

Spomnimo se fizični pomen te matematične fraze.

Prva enačba (3.1) pravi, da elektrostatična V tej enačbi lahko polje ustvarijo samo električni naboji - vektor električni premik, ρ - volumetrična gostota električnega naboja.

Tok vektorja električnega premika skozi katero koli zaprto površino je enak naboju, ki ga ta površina vsebuje.

Kot kaže poskus, je tok vektorja magnetne indukcije skozi zaprto površino vedno enak nič (3.2)

Primerjava enačb (3.2) in (3.1) nam omogoča sklep, da v naravi ni magnetnih nabojev.

Enačbi (3.3) in (3.4) sta zelo zanimivi in pomembni. Tu upoštevamo kroženje vektorjev električne napetosti ( ) in magnetni ( ) polja vzdolž zaprte konture.

Enačba (3.3) pravi, da je izmenično magnetno polje ( ) je vir vrtinčnega električnega polja ( ).To ni nič drugega kot matematična predstavitev pojava Faradayeve elektromagnetne indukcije.

Enačba (3.4) vzpostavlja povezavo med magnetnim poljem in izmeničnim električnim poljem. V skladu s to enačbo lahko magnetno polje ustvari ne samo prevodni tok ( ), temveč tudi z izmeničnim električnim poljem .

V teh enačbah:

- vektor električnega premika,

H- jakost magnetnega polja,

E- jakost električnega polja,

j- gostota prevodnega toka,

μ - magnetna prepustnost medija,

ε je dielektrična konstanta medija.

Elektromagnetni valovi. Lastnosti elektromagnetnega valovanja

V prejšnjem semestru, ko smo zaključili našo obravnavo Maxwellovega sistema enačb klasične elektrodinamike, smo ugotovili, da skupna odločitev zadnji dve enačbi (o kroženju vektorjev in ) vodi do diferencialne valovne enačbe.

Tako smo dobili valovno enačbo vala "Y":

. (3.6)

Električna komponenta y - valovi se širijo v pozitivni smeri osi X s fazno hitrostjo

(3.7)

Podobna enačba opisuje spremembo v prostoru in času magnetnega polja y - vala:

. (3.8)

Z analizo dobljenih rezultatov je mogoče oblikovati številne lastnosti, ki so lastne elektromagnetnim valovanjem.

1. Ravni val "y" je linearno polariziran transverzalni val. Vektorji električne napetosti ( ), magnetni ( ) polje in fazna hitrost valovanja ( ) so medsebojno pravokotni in tvorijo "desničarski" sistem (slika 3.1).