Tehnologijo preklapljanja segmentov Ethernet je Kalpana uvedla leta 1990 kot odgovor na naraščajočo potrebo po večji pasovni širini med visoko zmogljivimi strežniki in segmenti delovnih postaj.
Strukturna shema Stikalo EtherSwitch, ki ga predlaga Kalpana, je prikazano na sl. 4.23.
riž. 4.23. Struktura Ka1rapa EtherSwitch
Vsakega od 8 vrat 10Base-T oskrbuje en Ethernet paketni procesor - EPP (Ethernet Packet Processor). Poleg tega ima stikalo sistemski modul, ki usklajuje delovanje vseh EPP procesorjev. Sistemski modul vzdržuje splošno naslovno tabelo stikala in omogoča upravljanje stikala preko SNMP protokola. Za prenos okvirjev med vrati se uporablja stikalna tkanina, podobna tistim v telefonskih stikalih ali večprocesorskih računalnikih, ki povezuje več procesorjev z več pomnilniškimi moduli.
Preklopna matrika deluje na principu preklopa vezja. Za 8 vrat lahko matrika zagotovi 8 sočasnih notranjih kanalov, ko vrata delujejo v poldupleksnem načinu in 16 v polnem dupleksnem načinu, ko oddajnik in sprejemnik vsakega priključka delujeta neodvisno drug od drugega.
Ko okvir prispe na katera koli vrata, procesor EPP shrani prvih nekaj bajtov okvira v medpomnilnik, da prebere ciljni naslov. Po prejemu ciljnega naslova se procesor takoj odloči za prenos paketa, ne da bi čakal, da prispejo preostali bajti okvira. Če želite to narediti, pregleda svoj predpomnilnik naslovne tabele in če tam ne najde zahtevanega naslova, se obrne na sistemski modul, ki deluje v večopravilnem načinu in vzporedno servisira zahteve vseh procesorjev EPP. Sistemski modul skenira splošno naslovno tabelo in vrne najdeno vrstico procesorju, ki jo shrani v predpomnilnik za kasnejšo uporabo.
Ko najde ciljni naslov, procesor EPP ve, kaj narediti naprej s prejetim okvirjem (med pregledovanjem naslovne tabele je procesor še naprej hranil bajte okvirjev, ki so prispeli na vrata). Če je treba okvir filtrirati, procesor preprosto preneha zapisovati bajte okvirja v medpomnilnik, počisti medpomnilnik in počaka, da prispe nov okvir.
Če je treba okvir prenesti na druga vrata, potem procesor dostopa do preklopne matrike in poskuša v njej vzpostaviti pot, ki povezuje njegova vrata z vrati, skozi katera poteka pot do ciljnega naslova. Preklopna tkanina lahko to stori le, če so vrata ciljnega naslova v tistem trenutku prosta, torej niso povezana z drugimi vrati.
Če so vrata zasedena, potem, kot v kateri koli napravi s komutacijo vezja, matrika zavrne povezavo. V tem primeru okvir v celoti shrani v medpomnilnik procesor vhodnih vrat, nato pa procesor počaka, da se sprostijo izhodna vrata in da preklopna matrika oblikuje zahtevano pot.
Po prava pot nastavljen, se vanj pošljejo medpomnilniki okvirnih bajtov, ki jih prejme procesor izhodnih vrat. Takoj ko procesor izhodnih vrat dostopa do segmenta Ethernet, ki je z njim povezan z algoritmom CSMA/CD, se bajti okvirja takoj začnejo prenašati v omrežje. Procesor vhodnih vrat trajno shrani več bajtov prejetega okvira v svojem medpomnilniku, kar mu omogoča neodvisno in asinhrono sprejemanje in oddajanje bajtov okvirja (slika 4.24).
riž. 4.24. Prenos okvirja skozi stikalno tkanino
Ko so bila izhodna vrata v času sprejema okvira prosta, je bila zakasnitev med sprejemom prvega bajta okvira s stikalom in pojavom istega bajta na izhodu vrat ciljnega naslova le 40 μs za Kalpano stikalo, ki je bilo veliko manjše od zakasnitve okvirja, ko je bil oddan z mostom.
Opisan način prenosa okvirja brez njegovega popolnega medpomnilnika se imenuje "on-the-fly" ali "cut-through" preklapljanje. Ta metoda je pravzaprav cevovodna obdelava okvira, ko je več stopenj njegovega prenosa časovno delno združenih (slika 4.25).
riž. 4.25. Prihranek časa med obdelavo okvirnega cevovoda: A- transportna obdelava; b- običajna obdelava s popolnim medpomnjenjem
1. Sprejem prvih bajtov okvira s procesorjem vhodnih vrat, vključno s sprejemom bajtov ciljnega naslova.
2. Poiščite ciljni naslov v naslovni tabeli stikala (v predpomnilniku procesorja ali v splošna tabela sistemski modul).
3. Matrično preklapljanje.
4. Sprejem preostalih bajtov okvira s procesorjem vhodnih vrat.
5. Sprejem bajtov okvirja (vključno s prvim) s procesorjem izhodnih vrat prek preklopne matrike.
6. Pridobivanje dostopa do okolja s procesorjem izhodnih vrat.
7. Prenos okvirnih bajtov s procesorjem izhodnih vrat v omrežje.
Stopnji 2 in 3 ni mogoče časovno združiti, saj brez poznavanja številke izhodnih vrat operacija preklapljanja matrike ni smiselna.
V primerjavi z načinom medpomnjenja celotne slike, prikazanim tudi na sl. 4.25 so opazni prihranki zaradi transportiranja.
Vendar glavni razlog izboljšanje delovanja omrežja pri uporabi stikala je vzporedno obdelava več okvirjev.
Ta učinek je prikazan na sl. 4.26. Slika prikazuje idealno situacijo v smislu povečanja zmogljivosti, ko štiri od osmih vrat prenašajo podatke z največjo hitrostjo 10 Mb/s za protokol Ethernet in te podatke prenašajo na preostala štiri vrata stikala brez konflikta - podatki tokovi med omrežnimi vozlišči so porazdeljeni tako, da ima vsaka vrata za sprejem okvirja svoja izhodna vrata. Če stikalo uspe obdelati vhodni promet tudi pri največji intenzivnosti okvirjev, ki prispejo na vhodna vrata, bo skupna zmogljivost stikala v zgornjem primeru 4*10 = 40 Mbit/s, pri posplošitvi primera za N vrata - (N/2)*l0 Mbit/s z. Rečeno je, da stikalo zagotavlja vsaki postaji ali segmentu, ki je povezan z njegovimi vrati, namensko pasovno širino protokola.
Seveda omrežje nima vedno situacije, prikazane na sl. 4.26. Če sta dve postaji, na primer postaje, povezane z vrati 3 in 4, istočasno morate pisati podatke na isti strežnik, ki je povezan z vrati 8, potem stikalo ne bo moglo dodeliti podatkovnega toka 10 Mbit/s vsaki postaji, saj vrata 8 ne more prenašati podatkov pri 20 Mbps. Okvirji postaj bodo čakali v notranjih čakalnih vrstah vhodnih vrat 3 in 4, ko je pristanišče prosto 8 za prenos naslednjega okvirja. očitno, dobra odločitev Za takšno distribucijo podatkovnih tokov bi bilo treba strežnik povezati na hitrejša vrata, na primer Fast Ethernet.
riž. 4.26. Vzporedni prenos okvirja s stikalom
Ker je glavna prednost stikala, zahvaljujoč kateri je zmagal zelo dobre pozicije v lokalnih omrežjih je to njegova visoka zmogljivost, nato razvijalci stikala poskušajo izdelati t.i neblokiranje zamenjajte modele.
Neblokirno stikalo je tisto, ki lahko prenaša okvirje skozi svoja vrata z enako hitrostjo, kot prispejo do njih. Seveda tudi stikalo brez blokiranja ne more v daljšem časovnem obdobju razrešiti situacij, kot je zgoraj opisana, ko so okvirji blokirani zaradi omejene hitrosti izhodnih vrat.
Običajno pomenijo stabilen neblokirni način delovanja stikala, ko stikalo oddaja okvirje s hitrostjo prihoda za poljubno časovno obdobje. Da bi zagotovili takšen način, je seveda treba porazdeliti okvirne tokove po izhodnih vratih, tako da so kos obremenitvi in da lahko stikalo v povprečju vedno prenese toliko okvirjev na izhode, kot jih je prispelo na vhode. Če vhodni okvirni tok (sešteti po vseh vratih) v povprečju preseže izhodni okvirni tok (prav tako sešteti po vseh vratih), se bodo okvirji kopičili v vmesnem pomnilniku stikala in če bo njegova zmogljivost presežena, bodo preprosto zavrženi. Da bi zagotovili način preklopa brez blokiranja, mora biti izpolnjen dokaj preprost pogoj:
Cк= (∑ Cpi)/2,
kjer je Ck zmogljivost stikala, Cpi največja zmogljivost podprtega protokola i-to pristanišče stikalo. Skupna zmogljivost vrat upošteva vsak prehodni okvir dvakrat - kot dohodni okvir in kot odhodni okvir, in ker je v stabilnem načinu vhodni promet enak izhodnemu prometu, je najmanjša zadostna zmogljivost stikala za podporo neblokirnega načina je enaka polovici celotne zmogljivosti vrat. Če vrata delujejo v poldupleksnem načinu, na primer Ethernet 10 Mbit/s, je zmogljivost Cpi vrat 10 Mbit/s, če pa v polnem dupleksu, bo njihov Cpi 20 Mbit/s.
Stikalo včasih podpira način takojšnjega neblokiranja. To pomeni, da lahko sprejema in obdeluje okvirje iz vseh svojih vrat z največjo hitrostjo protokolov, ne glede na to, ali so zagotovljeni pogoji. stabilno ravnotežje med dohodnim in odhodnim prometom. Res je, da je lahko obdelava nekaterih okvirjev nepopolna - ko so izhodna vrata zasedena, se okvir postavi v preklopni medpomnilnik. Za podporo neblokirnega trenutnega načina mora imeti stikalo večjo domačo zmogljivost, in sicer mora biti enaka skupni zmogljivosti njegovih vrat:
Prvo stikalo za lokalna omrežja Ni bilo naključje, da se je pojavila za tehnologijo Ethernet. Poleg očitnega razloga, povezanega z največjo priljubljenostjo omrežij Ethernet, je obstajal še en, nič manj pomemben razlog- ta tehnologija bolj kot druge trpi zaradi povečanja čakalne dobe za dostop do medija, ko se obremenitev segmenta poveča. Zato so segmenti Ethernet v velikih omrežjih potrebovali predvsem sredstvo za razbremenitev ozka grla omrežja, to orodje pa je postalo stikalo iz Kalpane, nato pa iz drugih podjetij.
Nekatera podjetja so začela razvijati preklopno tehnologijo za izboljšanje delovanja drugih tehnologij LAN, kot sta Token Ring in FDDI. Ta stikala so podpirala algoritme preglednega premostitve in izvorno usmerjenega premostitvenega algoritma. Notranja organizacija stikala različnih proizvajalcev so se včasih zelo razlikovala od strukture prvega stikala EtherSwitch, vendar je princip vzporedne obdelave okvirjev na posameznih vratih ostal nespremenjen.
Široki uporabi stikal je nedvomno pripomoglo dejstvo, da uvedba stikalne tehnologije ni zahtevala zamenjave opreme, nameščene v omrežjih - omrežnih adapterjev, zvezdišč, kabelskih sistemov. Vrata stikala so delovala v običajnem poldupleksnem načinu, tako da je bilo mogoče pregledno povezati tako končno vozlišče kot zvezdišče, ki je nanju organiziralo celoten logični segment.
Ker so stikala in mostovi pregledni za protokole omrežne plasti, njihov videz v omrežju ni vplival na omrežne usmerjevalnike, če so bili prisotni.
Priročnost uporabe stikala je tudi v tem, da gre za samoučo napravo in, če je skrbnik ne naloži dodatne funkcije, ga ni treba konfigurirati - le pravilno morate priključiti kabelske priključke na vrata stikala, nato pa bo deloval neodvisno in učinkovito opravljal svojo nalogo povečanja zmogljivosti omrežja.
Povezane informacije.
Prepis
1 S.Ya. Shatskikh Predavanja o teoriji verjetnosti Vrste konvergence zaporedja naključne spremenljivke Osnutek Konvergenca v verjetnosti. Predpostavili bomo, da so vse naključne spremenljivke, ki nas zanimajo, definirane na enem verjetnostni prostorΩ, A, ). Spomnimo se definicije konvergence naključnih spremenljivk v verjetnosti, s katero smo se srečali pri proučevanju zakona velikih števil v obliki P.L. Čebiševa. Definicija 1. Za zaporedje naključnih spremenljivk X n (ω)) pravimo, da konvergira k naključni spremenljivki X(ω) po verjetnosti, če za kateri koli ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, n. Oznaka: X n (ω) X(ω). Konvergenca v verjetnosti je popoln analog konvergence v meri, ki je obravnavana v tečajih funkcionalne analize in "Lebesgue Integral". Izrek. Če je za n X n (ω) X(ω), X n (ω) Y (ω), potem je ω : X(ω) = Y (ω)) = 1 (edinstvenost meje je skoraj gotova). Izrek. Če je za n X n (ω) X(ω), Y n (ω) Y (ω), potem 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax( ω) + b Y (ω) 3 X n (ω) X(ω) Y (ω), X(ω). (a, b const), Izrek. Za naključne spremenljivke X(ω), Y (ω) funkcionalni ) X(ω) Y (ω) d(x(ω), Y (ω)) = M 1 + X(ω) Y (ω) 1
2 določa metriko v prostoru naključnih spremenljivk 1. Konvergenca v tej metriki je enakovredna konvergenci v verjetnosti. Dokaz. Najprej dokažemo enakovrednost konvergence. Razmislimo o povečanju na pol-osi; A = B() - Borelova σ algebra segmenta; Lebesgueova mera. Postavimo [ k 1 Xn(ω) k:= 1 A k n (ω), kjer je A k n = n, k ], k = 1, n. n Upoštevajte zaporedje naključnih spremenljivk X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),. .. (6) Jasno je, da je za vsako ω konstruirano zaporedje unija neskončnih zaporedij ničel in enic. Zato v kateri koli točki ω to zaporedje nima meje in je njegova konvergenčna množica prazna. Po drugi strani pa za vsak ε (0, 1) ω : Xn(ω) k > ε) = 1, k = 1, n, n zato zaporedje (6) konvergira po verjetnosti k (identično) ničli. Čeprav konvergenca v verjetnosti ne pomeni skoraj gotove konvergence, je naslednji izrek vseeno veljaven. Izrek 4 (F. Riesz). Če za n X n (ω) X(ω), potem obstaja podzaporedje n k ), tako da za k X nk (ω) a.s. X(ω). 7
8 Dokaz 3. Najprej sestavimo zahtevano podzaporedje n k ). Postavimo n 0 = 1 in nato za k N definirajmo z indukcijo n k kot najmanjši naravno število, za katere so izpolnjene naslednje neenakosti: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k=m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). Zato ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). k=m () Za vsak ε > 0 obstaja naravni M ε, tako da je torej za m > M ε 1 m< ε. m >M ε po izbiri n k ω : X nk (ω) X(ω) > ε ) k=m k=m ω : X nk (ω) X(ω) > 1 k ) k=m 1 2 k. Tako bomo ob upoštevanju () imeli ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Prehod do meje v tej neenakosti kot m, zaradi končnosti vsote geometrijsko napredovanje, dobimo ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m Za dokaz našega izreka ostane še uporaba skoraj gotovega konvergenčnega kriterija (glej izrek 2). 3 Ta izrek obravnavamo pri tečaju funkcionalne analize. 8
9 Vprašanje metrizacije konvergence je skoraj gotovo. Oglejmo si skoraj gotovo vprašanje metrizacije konvergence. Kot bomo videli, je na splošno odgovor na to vprašanje negativen: za razliko od konvergence v verjetnosti je konvergence skoraj zagotovo nemetrično. Vendar je tu treba podati nekaj pripomb. Obstajajo primeri verjetnostnih prostorov, za katere je konvergenca v verjetnosti enakovredna skoraj gotovi konvergenci. V takšnih prostorih je vsako zaporedje naključnih spremenljivk, ki konvergira verjetnost, nujno skoraj gotovo konvergentno. V taki situaciji je konvergenca skoraj zagotovo metrična zaradi metrizabilnosti konvergence v verjetnosti (glej izrek?). Vendar pa je drugače, kot kaže naslednji izrek, metrizacija konvergence skoraj zagotovo nemogoča. Izrek 5. Če v množici naključnih spremenljivk, definiranih na določenem verjetnostnem prostoru, koncepta konvergence z verjetnostjo ena in konvergence v verjetnosti ne sovpadata, potem za takšno množico naključnih spremenljivk ni metrike, v kateri bi bila konvergenca enakovredna skoraj določena konvergenca. Dokaz. Predpostavimo nasprotno, tj. v množici naključnih spremenljivk obstaja metrika ρ (,), ki ustreza skoraj gotovi konvergenci: za n X n (ω) a.s. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Razmislite o zaporedju naključnih spremenljivk X n (ω)), ki konvergira k naključni spremenljivki X(ω) po verjetnosti, vendar ne skoraj gotovo 4 .Po eni strani za neko δ > 0 obstaja podzaporedje n k ), za vse člene katerega velja neenakost ρ (X nk (ω), X(ω)) > δ. () Po drugi strani pa se ohrani konvergenca v verjetnosti: X nk (ω) X(ω), za k. Vendar pa je na podlagi izreka 4 mogoče trditi, da ima podzaporedje n k ) "podzaporedje" n km ), za katerega za m Torej X nkm (ω) a.s. X(ω). lim m ρ (X nkm (ω), X(ω)) = 0, kar je v nasprotju z (). Izrek je dokazan. Zdaj podajamo primere verjetnostnih prostorov, za katere je konvergenca v verjetnosti enakovredna skoraj gotovi konvergenci. Najprej se spomnimo definicije atomskega verjetnostnega prostora 5 (glej Enciklopedijo TV in MS, uredil Yu.V. Prokhorov, Neveu J. "MOTV"). 4 Primer takega zaporedja je bil obravnavan zgoraj. 5 V grobem je atomski verjetnostni prostor sestavljen iz končne ali štetne množice točk, od katerih ima vsaka pozitivno verjetnost. Primer končnega atomskega prostora je Bernoullijeva shema. 9
10 Definicija. Verjetnostni prostor Ω, A, ) se imenuje atomski, če obstaja končna ali štetna razdelitev Ω na atome A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), množica indeksov I je končna. ali števen. i I 2 A i ) > 0, za vsak i I; 3 za kateri koli B A ima vsak atom A i eno od dveh lastnosti: bodisi B A i) = 0 ali B A i) = A i); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I Izrek 6. Za atomski verjetnostni prostor je konvergenca z verjetnostjo ena enakovredna konvergenci v verjetnosti. Dokaz. Na atomskem verjetnostnem prostoru konvergenca v verjetnosti pomeni konvergenco na vsakem atomu. Dejansko, če je za vsak ε > 0 za n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, potem za kateri koli i I Zato je konvergenčna množica ω A i: X n (ω) X(ω) ε ) 0 : X n (ω) X(ω)) vsebuje vse atome in je zato njegova verjetnost enaka ena. Od tu z uporabo izreka 3 dobimo dokaz našega izreka. Komentiraj. Velja tudi obratna izjava 6: če v nekem verjetnostnem prostoru koncepta konvergence z verjetnostjo ena in konvergence v verjetnosti sovpadata, potem je tak verjetnostni prostor atomičen (glej Neveu "MOTV str. 37; Prokhorov A.V., Ušakov V.G., Ušakov N.G. »Zbirka nalog na TV naloga 5.25, str. 107.). Konvergenca v povprečju Definicija 4. Za zaporedje naključnih spremenljivk X n (ω)) pravimo, da konvergira v povprečju reda p > 0 k naključni spremenljivki X(ω), če za n M X n (ω) X(ω) p ) 0. Za p = 2 pomeni konvergenco v srednjem kvadratu. Seveda, ko govorimo o konvergenci v sredini reda p, predpostavljamo končnost matematičnih pričakovanj M X n (ω) p )<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0. 6 Za naš osnovni tečaj teorije verjetnosti je dokaz te izjave preveč tehničen. 10
11 Izrek. Če je za neki p > 0 za n M X n (ω) X(ω) p ) 0. potem je X n (ω) X(ω). Dokaz. Chebyshev In upoštevajte, da je dovolj, da greste do limite pri n v neenakosti P.L. X n (ω) X(ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Naslednji preprost primer kaže, da konvergenca v verjetnosti ne more biti zadosten pogoj za konvergenco v povprečju. Primer. Predpostavili bomo, da Naj bo Ω = , A = B(), ) = λ ) Lebesgueova mera na intervalu . Potem za kateri koli ε > 0 velja, da je za p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n, ko je ω [ 0, 1/n ], 1, ko je ω (1/n, 1 ]. X n ( ω) X(ω) > ε) = λ[ 0, 1/n ]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 za vse n N. Pomanjkanje konvergence v povprečju v tem primeru je posledica "grede v neskončnost" območja. V naslednjem izreku pomembno vlogo igra pogoj enakomerne omejenosti integrabilnih naključnih spremenljivk, ki preprečuje takšen "odmik". Izrek. Če za zaporedje naključnih spremenljivk X n (ω)) obstaja realno število 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11
12 Dejansko konvergenca v verjetnosti implicira konvergenco kot. za neko podzaporedje Torej, z lastnostmi limitov, če Torej in ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, za m. ω ω : X n(m) (ω) X(ω)), potem X(ω) C. ω : X n(m) (ω) X(ω)) ω : X(ω) C) ω : X (ω) C) = 1. Od tod dobimo obstoj in omejenost matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke X(ω) M X(ω) ) C. Zdaj lahko enostavno preverimo veljavnost neenakosti ω : X n (ω) X(ω) 2C) = 1. Nadalje, glede na lastnosti matematičnih pričakovanj, MX n (ω)) MX(ω)) M X n (ω) X(ω) ) X n (ω) X( ω) d + X n (ω) X(ω) d ω : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n (ω ) X(ω) > ε). S prehodom na limito kot n, zaradi poljubnosti ε, dobimo dokaz našega izreka. V naslednjem izreku bomo namesto pogoja enakomerne omejenosti s konstanto upoštevali šibkejši pogoj enakomerne omejenosti (nenegativne) integrabilne naključne spremenljivke. Lebesgueov izrek o prevladujoči konvergenci. Če za zaporedje naključnih spremenljivk X n (ω)) obstajata naključni spremenljivki X(ω) in Y (ω), tako da je 1 X n (ω) X(ω), n, potem za n 2 za vse n X n ( ω) Y (ω), - skoraj zagotovo, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12
13 Dokaz 7. Najprej ugotovimo neenakosti X(ω) Y (ω), - skoraj gotovo. Iz konvergence zaporedja naključnih spremenljivk po verjetnosti izhaja, da je konvergenca skoraj gotova za določeno podzaporedje: X n(m) (ω) a.s. X(ω), m. Z drugimi besedami, verjetnost konvergenčne množice je enaka ena ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Zato je prehod na mejo (m) v neenačbi X n(m) ( ω) Y (ω), za katero koli ω ω : X n(m) (ω) X(ω)) bomo imeli torej lim X n(m)(ω) = X(ω) Y (ω), m X (ω) Y (ω), Iz tega dobimo obstoj MX(ω)) in oceno (skoraj gotovo). M X(ω) ) MOJ (ω)). Zato in Ocenimo količino = X n (ω) X(ω) 2Y (ω), (skoraj zagotovo) M X n (ω) X(ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y (ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) Po 1. pogoju izreka (konvergenca v verjetnosti) za vsak ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, ( n) . Zato lahko z uporabo leme o integralu nad nizom majhne verjetnosti trdimo, da je lim Y (ω) d = 0. ω: X n(ω) X(ω) > ε) 7 Kot je opazil W. Feller, "izrek o konvergenci se nanaša na edino mesto v Lebesguejevi teoriji integracije, kjer lahko naivna formalna dejanja vodijo do napačnega rezultata." Glej Feller, letnik 2, str.
14 Prehod do limite v neenačbi () bo imel 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Od tod, glede na poljubnost ε > 0, dobimo dokaz izreka. Komentiraj. Dokaz tega izreka je podrobno predstavljen v predmetu "Lebesgueov integral". Nekoliko drugačno različico dokaza lahko najdete v knjigi [Shiryaev “Verjetnost”]. Naj brez dokaza predstavimo še dva klasična rezultata (prave analize), ki se v povprečju pogosto uporabljata pri analizi konvergence. Izrek o monotoni konvergenci. Če nepadajoče zaporedje nenegativnih naključnih spremenljivk X n (ω)) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, skoraj zagotovo konvergira k naključni spremenljivki X(ω), potem za n MX n (ω)) MX (ω)). Komentiraj. Če je matematično pričakovanje MX(ω)) končno, potem so (zaradi monotonosti) matematična pričakovanja vseh naključnih spremenljivk MX n (ω)) končna. Imamo konvergenco monotono zaporedje Za končna meja MX n (ω)) MX(ω)). Če je matematično pričakovanje MX(ω)) neskončno, potem ob predpostavki končnih matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk MX n (ω) dobimo konvergenco monotonega zaporedja k do neskončne meje MX n (ω)) +. Fatoujeva lema. Za poljubno zaporedje nenegativnih naključnih spremenljivk X n (ω)) velja naslednja neenakost: lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). Komentiraj. Izjava Fatoujeve leme kaže, da je neenakost 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, ki se je pojavila v zgoraj obravnavanem primeru, manifestacija splošnega vzorca. Naloga. Če je za n M X n (ω) X(ω) p ) 0, potem velja M X n (ω) p ) M X(ω) p ). rešitev. Z uporabo neenakosti G. Minkowskega lahko zapišemo (M X n (ω) p )) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p )) 1/p 14
15 (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p + (M X(ω) p )) 1/p. Premikanje na Zgornja meja, za n dobimo lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X(ω) p )) 1/p. Zato imamo z uporabo kontinuitete in monotonosti funkcije moči lim M X n (ω) p ) M X(ω) p ). () Po drugi strani, podobno sklepanje, iz neenakosti (M X(ω) p )) 1/p (M X(ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ str. dobimo M X(ω) p ) lim M X n (ω) p ). Če združimo neenakosti () in (), dobimo rešitev našega problema. Izrek. Če pri n(). M X n (ω) X(ω) p ) 0, potem je za poljubno q (0, p) M X n (ω) X(ω) q ) 0. Dokaz. Dovolj je, da gremo do limite pri n v A.M.-jevi neenakosti. Lyapunova (glej [Shiryaev A.N. Verjetnost.]) (M X n (ω) X(ω) q )) 1/q (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p, pri 0< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15
16 Brez podrobnejših dokazov oblikujemo več trditev, ki se nanašajo na prostor L p Ω, A, ), ki so podobne ustreznim trditvam o prostoru L p . Funkcional X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p podaja normo v prostoru slučajnih spremenljivk 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X( ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y (ω) p X(ω) p + Y (ω) p, (neenačba Minkowskega). Upoštevajte, da linearnost množice L p Ω, A, ) neposredno izhaja iz lastnosti norme. Poleg tega je glede na konvergenco v normi 9 X n (ω) X(ω) p 0 prostor L p Ω, A, ) popoln. V našem primeru je definicija popolnosti naslednja: če je zaporedje naključnih spremenljivk temeljno v normi X n (ω)) L p Ω, A, ) X n (ω) X m (ω) p 0, za n, m, potem obstaja naključna spremenljivka X (ω) L p Ω, A, ), taka, da X n (ω) X(ω) p 0 za n. Torej je L p Ω, A, ) popoln linearen normiran prostor, tj. Banachov prostor. Za p = 2 je prostor L 2 Ω, A, ) Hilbertov s skalarnim produktom 10: X(ω), Y (ω) := MX n (ω)y (ω)) = X n (ω)y ( ω) d. Za tako vneseno pikasti izdelek realnih naključnih spremenljivk, velja neenakost G. Minkowskega X(ω), Y (ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2 šibka konvergenca 8 Natančneje, v prostoru ekvivalenčnih razredov slučajne spremenljivke skoraj gotovo sovpadajo, ker po definiciji norme X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 Tj. konvergenca v povprečju z eksponentom p. 10 Opravka imamo z realnimi naključnimi spremenljivkami, zato lahko znak kompleksne konjugacije nad drugim faktorjem izpustimo. Ω 16
17 Vpeljimo zapis za porazdelitvene funkcije naključnih spremenljivk X n (ω) in X(ω): Poleg tega preko C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F ( x) = ω : X(ω) x). bomo označili množico kontinuitetnih točk funkcije C F:= x R: lim x x F (x) = F (x)). Definicija 4. Za zaporedje naključnih spremenljivk X n (ω)) pravimo, da konvergira v porazdelitvi k naključni spremenljivki X(ω), če je za n F n (x) F (x), v vsaki točki x C F. (11 ) d Oznaka: X n (ω) X(ω). Definicija 5. Če za n F n (x) F (x), v vsaki točki x C F, (12), potem rečemo, da zaporedje porazdelitvenih funkcij F n (x)) šibko konvergira 11 k porazdelitveni funkciji F (x ). w Oznaka: F n (x) F (x). Komentiraj. Če je porazdelitvena funkcija F (x) zvezna na celotni realni osi (C F = (,)), potem v razmerjih (11) in (12) govorimo o točkovni konvergenci. Poleg tega je mogoče pokazati 12, da je v tem primeru konvergenca F n (x) F (x) enakomerna na celotni realni osi. w Opomba. Če je F n (x) F (x), potem za x / C F veljajo naslednje neenakosti: 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17
18 Lahko vidimo, da je za vsak x (,) lim F n(x) = F (x) = Graf funkcije F (x) izgleda kot F (x) 0, ko je x (, 0); 1/2, ko je x = 0; 1, ko je x(0,). 1 1/2 0 Ker limitna funkcija F(x) ni desno zvezna, ne more biti porazdelitvena funkcija. Ker pa definicija 5 šibke konvergence obravnava konvergenco k porazdelitvenim funkcijam, v tem primeru ne moremo trditi, da je F n (x) F (x). Vendar pa je po rahli spremembi mejne funkcije F (x) mogoče dobiti porazdelitveno funkcijo F (x), h kateri bodo funkcije F n (x) šibko konvergirale. Dejansko upoštevajte porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X(ω) 0: 0, ko je x (, 0); F(x) = 1, ko je x; A = B() - Borelova σ algebra segmenta; Lebesgueova mera. Označimo s Φ 1 () funkcijo, inverzno funkciji standardne Gaussove porazdelitve. Nato postavimo Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 2 X 2k (ω) = Φ 1 (ω), X 2k 1 (ω) = Φ 1 (ω), ω k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), za vse naravne n. Zato zaporedje X n ) (trivialno) konvergira v porazdelitvi. Vendar je zlahka videti, da ni konvergence v verjetnosti. Ker je X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), za vsak k, m. potem ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [ (ε = 2 1 Φ. 2 2)] Sedaj bomo obravnavali izjavo, ki je pravzaprav druga različica definicije šibka konvergenca. Ta možnost je bolj primerna za določanje šibke konvergence multivariatnih porazdelitvenih funkcij in celo za določanje 20
21 šibka konvergenca porazdelitev na kompleksnejših neskončnodimenzionalnih metričnih prostorih. Izrek 6. Da zaporedje porazdelitvenih funkcij F n (x)) šibko konvergira porazdelitveni funkciji F (x), je potrebno in zadostno, da je izpolnjena enakost lim ϕ(x) df n (x) = ϕ (x) df (x) (15) za katero koli zvezno funkcijo ϕ(x), omejeno na realno os R. Dokaz. Najprej pokažemo, da šibka konvergenca (12) implicira enakost 14 (15). Za vsak ε > 0 obstaja pozitiven A(ε) C F, tako da je zaradi lastnosti porazdelitvene funkcije 15 x: x > A(ε)) df (x) = 1 A(ε) A(ε ) df (x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) F n (A(ε)) F (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) x: x > A(ε)) df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от neprekinjena funkcija iz integrirajoče porazdelitvene funkcije, pa tudi iz definicije tega integrala kot limite integralnih vsot 16, sledi, da za vsako ε > 0 obstaja δ > 0 tako, da za katero koli razdelitev segmenta [ A(ε), A(ε)], katerega premer je manjši od δ > 0, so izpolnjene naslednje neenakosti: A(ε) A(ε) ϕ(x) df (x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы matematična analiza strani
22 Vzemimo particijo segmenta [ A(ε), A(ε)] [ A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 za izbrano k (število razdelitvenih točk), bomo predhodno izbrano število N(ε, A(ε)) šteli za tako veliko, da za vse n > N(ε, A(ε)) F n (x i) F (x i)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε)) x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0 obstaja naravno število N(ε, A(ε)) tako, da za vse n > N(ε, A(ε)) velja neenakost: ϕ(x) df (x) ϕ(x ) df n (x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей številska os, je enaka ena pri x x 0 ε, nič pri x x 0 in linearna na segmentu . Funkcija f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Grafi teh funkcij so prikazani na sl.? 22
23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε Sl.? x Lahko vidimo, da je F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Z uporabo pogoja (15) se pomaknemo do limite pri n, f ε (2) (x ) df n (x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 +ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 +ε f ε (2) (x) df (x) x 0 +ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Če trdimo podobno, bomo imeli F n (x 0) = Torej, za n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). Tako dobimo neenakost F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23
24 Prehod do limite v tej neenačbi pri ε 0, ob upoštevanju dejstva, da je x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Tako je za vsak x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Enakost (12) in z njo izrek sta dokazana. Opomba o Riemann-Stieltjesovih in Lebesgue-Stieltjesovih integralih. Upoštevajte, da Riemann-Stieltjesov integral I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) ne obstaja, če ima porazdelitvena funkcija F n (x) diskontinuiteto v točki x 0. Standardni dokaz tega dejstva je naslednji. Če upoštevamo Riemann-Stieltjesovo vsoto za integral N L I (, x0 ](x), x 0 (L, N) (), je enostavno. dobimo enakost S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 kjer sta točki x 0, ξ i0 notranje točke delnega segmenta 17: Potem Ker je S = x 0, ξ i0 (x i0, x i0 +1) Fn (x i0), pri izbiri ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, potem takšne integralne vsote ne morejo imeti meje, saj premer particije teži k nič. Zato integral () ne obstaja v Riemann-Stieltjesovem smislu in, strogo gledano, neenakosti (21) ni mogoče dobiti z integracijo (v Riemann-Stieltjesovem smislu) neenakosti (20). Kljub temu lahko neenakost (21) dobimo tudi z uporabo Riemann-Stieltjesovega integrala. Pravzaprav zaradi kontinuitete funkcije f ε (1) (x) obstaja Riemann-Stieltjesov integral f ε (1) (x) df n (x), 17 Particije segmenta s to lastnostjo imajo lahko poljubno majhnega premera. 24
25 in f (1) ε (x) df n (x) = Ker je za vse x (, x 0 ] potem x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0 Toda glede na to , da je f (1) ε (x) = 0 za x x 0. Podobno je f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x 0) f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0). 1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Lahko vidimo, da iz lastnosti funkcije f ε (2) (x) x 0 Zato je f (2) df n (x) = F n (x 0) df n (x) 0; x 0 +ε x 0 +ε f ε (2) (x) df n (x x) je preprosta funkcija, po definiciji Lebesgue-Stieltjesovega integrala bomo imeli N I (, x0 ](x) df). n (x) = 1 (F n (x 0) F n (L) In zato L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0). novo besedilo Izrek 6. Za to označimo s C(R) prostor funkcij, ki so zvezne in omejene na realni osi. Nato z uporabo poljubne porazdelitvene funkcije G(x) na prostoru C(R) definiramo linearni funkcional G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)
26 Z uporabo nove notacije lahko izrek 6 preoblikujemo na naslednji način. w Izrek 6. Šibka konvergenca F n (x) F (x) je enakovredna konvergenci linearnih funkcionalov F n (ϕ) F (ϕ) na prostoru C(R). Metrizacija šibke konvergence. P. Levyjeva metrika. Za par poljubnih porazdelitvenih funkcij F (x) in G(x) na številski premici upoštevajte funkcional L(F, G) = inf h > 0: F (x h) h G(x) F (x + h ) + h), (), ki se imenuje P. Levyjeva razdalja med porazdelitvama F in G. Izrek 7. Funkcional L(,) določa metriko v množici porazdelitvenih funkcij na številski premici. Konvergenca v tej metriki je enakovredna šibki konvergenci w F n (x) F (x) L(F n, F) 0, (n). Dokaz. Izrek je dokazan. d Problem 1. Če je X n X c = const, potem je X n Rešitev. Porazdelitvena funkcija konstante c X. F (x) = ω : X(ω) x) = 1 za x c, 0 za x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 za x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >c + ε). Z očitnimi razmerji dobimo neenakost ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c + ε). S prehodom do limite v tej neenakosti za n dobimo rešitev problema. d d Problem 2. Če je X n (ω) X(ω) in Y n (ω) 0, potem je X n (ω) + Y n (ω) X(ω). 26
27 Rešitev. Naj bo F (x) := ω : X(ω) x). Z izbiro ε > 0, tako da je x, x ε, x+ε C F, je enostavno ugotoviti vključitve ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), potem ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) + ω : Y n (ω) > ε), ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) + ω : Y n (ω) > ε). Če torej označimo F n (x) := ω : X n (ω) x), bomo imeli F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω ) x) F n (x+ε)+ω : Y n (ω) > ε). Če preidemo na mejo pri n v tej neenakosti, ob upoštevanju dejstva, da x ε, x+ε C F, dobimo razmerje F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Zdaj pa pojdimo do meje in usmerimo ε 0: F (x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x ). Zato velja lim ω : X n(ω) + Y n (ω) x) = F (x). Problem 3. Če zaporedje porazdelitvenih funkcij F n (x)) šibko konvergira k porazdelitveni funkciji F (x), ki je zvezna na celotni realni osi, potem je ta konvergenca enakomerna na celotni realni osi: F n (x) w F (x) in F (x) C (,) F n (x) F (x) na R. Rešitev. Za poljubno ε > 0 vzamemo naravno m > 1/ε. Zaradi kontinuitete funkcije F (x) je točk x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27
28 in za x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Problem 7. Če zaporedje porazdelitvenih funkcij F n (x)) konvergira k porazdelitveni funkciji F (x) za vse x iz neke goste množice na realni premici, potem w F n (x)F(x). rešitev. Za rešitev tega problema moramo dokazati, da je lim F n(x) = F (x) za vse x C F. () Naj bo x C F, potem za katero koli ε > 0 obstaja δ 1 (ε) > 0, tako da takoj ko je x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0 obstaja N ε N tako, da takoj ko je n > N ε, potem F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, potem F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31
32 Zato glede na monotonost funkcije F n (x) za vse n > N ε dobimo neenakost F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F (x )< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32
PREDAVANJE 3A (4) Radon Nicodemusov izrek Ta lekcija bo namenjena dokazu Radonovega Nikodemovega izreka. Potrebovali ga bomo za dokazovanje izomorfizma prostorov L p (Ω) in (L q (Ω)) *, kjer
LABORATORIJSKE VAJE 5 PREHOD DO LIMITE POD LEBESGUEOVIM INTEGRALNIM ZNAKOM I. Osnovni pojmi in izreki Naj bo X množica, -algebra podmnožic množice X in podana -aditivna popolna
JEJ. RUDA MATEMATIČNA ANALIZA. NUMERIČNE IN FUNKCIONALNE NIZE NOVOSIBIRSK 200 2 MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKEGA GOU VPO "NOVOSIBIRSKA DRŽAVNA PEDAGOŠKA UNIVERZA" E.M. Rudoy MATEMATIČNA ANALIZA.
Predavanje 1 TEORIJA LEBESGUE MERE IZ R 2. 1. Potreba po razširitvi koncepta integrala. Najprej bomo razpravljali o konstrukciji Riemannovega integrala. Naj bo funkcija f(x) definirana na lastnem intervalu. Določimo particijo
5. Teorija mer, predavanje 5: merljive funkcije Mera in integral sta zelo blizu pojma. Mera množice je njen integral značilno funkcijo. Nasprotno, če je podana mera prostoru, lahko rečemo
Veljavna analiza. Predavanje 4. 25. februar 2009 1 Realna analiza. IV semester. letnik 2009. Predavatelj Skvortsov V. A. Pišite o napakah na [e-pošta zaščitena] Predavanje 4 25. februar 2009 Lebesgue definiran razred
Zadnja posodobitev: 16. marec 2008 Seznam definicij: 1.1 Segmenti, ki se ne prekrivajo.................................. ................. 2 1.2 Sistem neprekrivajočih se segmentov.................................. ...........
V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 1 Potenčne vrste. Konvergenčni radij in konvergenčni interval. Narava konvergence. Integracija in diferenciacija. 1.1 Polmer konvergence in interval konvergence. Funkcionalno območje
PREDAVANJE 4A Metrični prostori 1. Najenostavnejše (in najpomembnejše) lastnosti metričnih prostorov 1) Zveznost razdalje. Preprosto je videti, da je funkcija "razdalje" ρ(x, y) zvezna v vsakem od svojih argumentov.
MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSIJE Zvezni državni proračun izobraževalna ustanova višji poklicno izobraževanje"Novosibirsk National Research State
Predavanje 1 Pojem naključnega procesa in njegovih končnodimenzionalnih porazdelitev Teorija naključni procesi je del teorije verjetnosti. Posebnost teorije naključnih procesov je v tem, da upošteva
Seznam problemov z rešitvami v funkcionalni analizi. Naj gre za linearno normiran prostor. Dokaži, da za poljubne elemente velja neenakost iz normnih aksiomov:, potem: Ali je to mogoče v prostoru.
Predavanje 6 9 Načelo kontrakcijskih preslikav Izreki o fiksna točka Naj bo D na splošno nelinearni operator, ki deluje iz Banachovega prostora B v sebe. Definicija Operator D, ki deluje iz Banachovega prostora
Tema 2 Popolnost, kompaktnost, notranja metrika. 2.1 Konvergenca in popolnost Definicija 2.1. Zaporedje točk x 1, x 2,... metričnega prostora (X, d) imenujemo fundamentalno, če za katero koli
PREDAVANJE A Riemannov Stieltjesov integral 1. Naj bo f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) na [; b]. Potem Dejansko z oceno f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) in lastnosti linearnosti
Dodatno predavanje 1 METRIČNI PROSTORI. PRILOGA 1. Najenostavnejše lastnosti metričnih prostorov Lastnost 1. Zveznost razdalje. Lahko vidimo, da je funkcija "razdalje" ρ(x, y) zvezna
G. N. Yakovlev Funkcijski prostori UDC 517 Ya47 Priročnik vsebuje kratek uvod v teorijo metričnih, normiranih in evklidskih prostorov ter v teor generične funkcije, in je dokončna
Poglavje 1. Meje in kontinuiteta 1. Številske množice 1 0. Realna števila Od šolska matematika Poznaš naravna števila N cela števila Z racionalna Q in realna števila R naravna števila in cela števila
Meje in kontinuiteta. Limit funkcije Naj bo funkcija = f) definirana v neki okolici točke = a. Poleg tega v sami točki a funkcija ni nujno definirana. Opredelitev. Število b imenujemo limita
Predavanje 1. Verjetnostni prostor Uvod (B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli, K. Gauss, P-S. Laplace, S. Poisson, P. L. Čebišev, A. N. Kolmogorov in drugi svetniki). Naključni poskusi. Vesolje
8 Kompleksna številska vrsta Razmislite o številski vrsti z kompleksna števila oblike k a, (46) kjer je (a k) dano številčno zaporedje s kompleksnimi členi k Serija (46) se imenuje konvergentna, če
Moskva Državna univerza poimenovana po M. V. Lomonosovu Fakulteta za računalniško matematiko in kibernetiko Oddelek Splošna matematika Problemi funkcionalne analize (V semester) predavatelj izredni profesor N. Yu.
A. Yu. Pirkovsky Funkcionalna analiza Predavanje 4 4.1. Banachovi prostori Spomnimo se, da se zaporedje (x n) v metričnem prostoru (, ρ) imenuje fundamentalno (ali Cauchyjevo zaporedje),
PREDAVANJA 8 9 Hille Yosida's theorem S 3. Definicija in elementarne lastnosti maksimalni monotoni operatorji V teh dveh predavanjih simbol H označuje Hilbertov prostor s skalarjem
V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 5 Funkcionalna zaporedja in serije. Enakomerna konvergenca, možnost preurejanja mejnih prehodov, integracije in diferenciacije serij in sekvenc.
Poglavje 28 POSPLOŠENE FUNKCIJE 28.1. Prostori D, D osnovnih in posplošenih funkcij Pojem posplošene funkcije posplošuje klasični koncept funkcije in omogoča njihovo izražanje v matematična oblika takega
21. Kompaktnost Kompaktnost je izjemno pomembna tehnični koncept topologija in analiza. Začnimo z definicijo. Opredelitev 21.1. Topološki prostor X imenujemo kompakten, če ima
Zvezna agencija v izobraževanju Zvezna državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje JUŽNA ZVEZNA UNIVERZA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodološki
1. Definicija in osnovne lastnosti Riemannovega integrala Definicija particije Particija segmenta [, b] je množica točk = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть
LABORATORIJSKO DELO 7 POLNOST IN ZGOTNJENOST V METRIČNIH PROSTORIH. OSNOVNI POJMI IN TEORME Definicija. Naj X. Preslikava: X X R, ki postavi vsak par (x y) X X noter
Seminar Predavanje 3 ABSOLUTNO ZVEZNE FUNKCIJE 1. Definicije in lastnosti Spomnimo se definicije, podane na predavanju. Definicija 1. Funkcijo f(x) imenujemo absolutno zvezna na intervalu [; b], če za
Teorija mer, predavanje 4: Lebesgueova mera Misha Verbitsky 14. marec 2015 NMU 1 Boolov obroči (revizija) DEFINICIJA: Boolov obroč je obroč, katerega vsi elementi so idempotentni. OPOMBA: V logičnem obroču
POGLAVJE STABILNOST LINEARNIH SISTEMOV To poglavje preučuje stabilnost preprost razred diferencialni sistemi linearni sistemi Zlasti je ugotovljeno, da za linearne sisteme s konstantami
TEMA V FOURIEREV VRST PREDAVANJE 6 Razširitev periodične funkcije v Fourierjev niz Številni procesi, ki se pojavljajo v naravi in tehniki, imajo lastnost, da se ponavljajo v določenih časovnih intervalih
Funkcije so zvezne na intervalu (Bolzano-Cauchyjev, Weierstrassov, Cantorjev izrek). Funkcionali so zvezni na kompaktni množici. Izrek o vmesnih vrednostih. (Bolzano-Cauchy) Naj bo funkcija f zvezna
DOLOČEN INTEGRAL. Integralne vsote in določeni integral Naj bo podana funkcija y = f (), definirana na intervalu [, b], kjer je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
Moskovska državna univerza Lomonosov Fakulteta za kemijo Priročnik za pripravo na izpit iz matematične analize za splošne študente Tretji semester Serije številk Diferencial
PREDAVANJE 4A Metrični prostori 1 1. Primeri in protiprimeri Začeli bomo z ogledom primerov, ki kažejo potrebo po previdni uporabi intuicije pri reševanju vprašanj, povezanih z metričnimi prostori.
Predavanje 5 TOPOLOŠKI PROSTORI. 1. Definicija topološkega prostora Definicija 1. Poljubno množico X z razločenim sistemom podmnožic τ množice X imenujemo topološki prostor
A. Yu. Pirkovsky Funkcionalna analiza Predavanje 23 23.1. Kompaktni operatorji v Hilbertovih prostorih O kompaktnih operatorjih v Banachovih prostorih vemo že precej (glej predavanja 18
2. Stopnja c racionalni indikator; eksponentna Poleg povedanega v prejšnjem predavanju bomo nakazali tudi, kako lahko pojem limite reduciramo na pojem kontinuitete. Velja namreč naslednje očitno
V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 7 Hilbertov prostor. Opredelitev. Najenostavnejše lastnosti skalarnega produkta. Glavni izrek. Fourierjeva vrsta v Hilbertovem prostoru. 7.1 Definicija Hilbertovega prostora.
PREDGOVOR Priročnik je nadaljevanje. Temelji na znanem učni pripomočki o matematični analizi [6]. Temelji na predavanjih V.V. Zhuka, ki so bila večkrat prebrana
13. Eksponent in logaritem Za dokončanje dokaza trditve 12.8 moramo podati samo eno definicijo in dokazati en predlog. Opredelitev 13.1. Za vrsto a i pravimo, da je absolutno konvergentna, če
PREDAVANJE N Lastnosti neskončno malih in neskončno odlične funkcije Čudovite meje Zveznost funkcij Lastnosti neskončno majhnega Znaki obstoja limite 3Lastnosti neskončno velikega 4Prvi
S. S. Platonov Elementi harmonične analize I. del. Fourierjeva vrsta f(x) = n= c n e inx Petrozavodsk 2010 Zvezna agencija za izobraževanje Državna visokošolska izobraževalna ustanova
Kolodiy A.M., Kolodiy N.A. Predavanja o teoriji verjetnosti za študente specialnosti "Matematična podpora in administracija" informacijski sistemi" 4. Mejni izreki 4.. Zakon velikih števil.
DODATNA POGLAVJA TEORIJE VERJETNOSTI E. A. Baklanov MMF NSU, 2012 POGLAVJE 1 Verjetnostne neenakosti 1. Eksponentne neenakosti. Povsod v tem razdelku so X 1,..., X n neodvisni naključni
UVOD V MATEMATIČNO ANALIZO Tema: Limit in zveznost funkcije Predavanje 7 Limit funkcije VSEBINA: Limit funkcije v točki Limit funkcije v neskončnosti Osnovni izreki o limitih funkcij Neskončno
Algoritmi prilagajanja vključujejo gradient implementacije ali njegove ocene, ki so odvisne od naključnega procesa. Posledično so tudi vektorji naključni in zanje običajni koncept konvergence, ki nam je dobro poznan iz tečajev matematične analize in uporabljen v § 2.15, ni neposredno uporaben. Zato je treba uvesti nove koncepte konvergence, ki jih ne razumemo v običajnem, temveč v verjetnostnem smislu.
Obstajajo tri glavne vrste takšne konvergence: verjetnostna konvergenca, povprečna kvadratna konvergenca in skoraj gotova konvergenca.
Naključni vektor konvergira v verjetnosti k za , če se verjetnost, ki za katero koli normo presega, nagiba k ničli, ali na kratko, če
. (3.29)
Konvergenca v verjetnosti seveda ne zahteva, da vsako zaporedje naključnih vektorjev konvergira k k v običajnem smislu. Poleg tega za noben vektor ne moremo trditi, da pride do navadne konvergence.
Naključni vektor konvergira k srednjemu kvadratu pri , če matematično pričakovanje kvadratne norme teži k nič, tj.
. (3.30)
Konvergenca v srednjem kvadratu vključuje konvergenco v verjetnosti, vendar tudi ne implicira navadne konvergence za vsak naključni vektor. Konvergenca v srednjem kvadratu je povezana s preučevanjem momenta drugega reda, ki se izračuna precej preprosto, poleg tega pa ima jasno energetski pomen. Te okoliščine pojasnjujejo razmeroma široko uporabo prav tega koncepta konvergence v fiziki. Toda že dejstvo, da je pri obeh vrstah konvergence verjetnost, da dani naključni vektor konvergira k v običajnem pomenu enaka nič, včasih povzroča nezadovoljstvo. Navsezadnje vedno delujemo z gradientom implementacije 
in njegov ustrezen naključni vektor, in zaželeno je, da meja obstaja natanko za zaporedje naključnega vektorja, ki ga zdaj opazujemo, in ne za družino zaporedij naključnih vektorjev, ki ustrezajo družini implementacij , ki ga morda nikoli ne bomo videli.
To željo lahko uresničimo, če se sklicujemo na koncept skoraj gotove konvergence ali, kar je isto, konvergence z verjetnostjo ena.
Ker je naključen vektor, lahko konvergenco zaporedja k v običajnem pomenu obravnavamo kot naključni dogodek. Zaporedje naključnih vektorjev konvergira pri k skoraj zagotovo ali z verjetnostjo ena, če je verjetnost običajne konvergence k enaka ena, tj.
(3.31)
Iz tega sledi, da zanemarimo množico realizacij naključnih vektorjev, ki imajo skupno verjetnost, enako nič, imamo običajno konvergenco. Seveda je stopnja konvergence odvisna od izvedbe in je naključna.
Konvergenca prilagoditvenih algoritmov je enakovredna stabilnosti sistemov, ki jih opisujejo stohastične razlike ali diferencialne enačbe. Stabilnost teh sistemov je treba razumeti v verjetnostnem smislu: v verjetnosti, v srednjem kvadratu in skoraj gotovo (ali z verjetnostjo ena). Probabilistična stabilnost je razmeroma nov del teorije stabilnosti, ki se sedaj intenzivno razvija.
Zaporedje naključnih spremenljivk X 1, X 2 , . . ., X n, . . ., definiran na določenem verjetnostnem prostoru na naključno spremenljivko X, opredeljena takole: če za katero
Pri matematiki V analizi se ta konvergenca imenuje konvergenca v meri. Od N. do E. izteče konvergence v distribuciji.
V. I. Bitjutskov.
Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Poglejte, kaj je "KONVERGENCA V VERJETNOSTI" v drugih slovarjih:
- ... Wikipedia
Konvergenca z verjetnostjo ena, konvergenca zaporedja naključnih spremenljivk X1, X2, . . ., X str. . ., definirano na določenem verjetnostnem prostoru na naključno spremenljivko X, definirano kot sledi: (ali a.s.), če je B matematično... ... Matematična enciklopedija
V teoriji verjetnosti je vrsta konvergence naključnih spremenljivk. Vsebina 1 Definicija 2 Opombe ... Wikipedia
V matematiki konvergenca pomeni, da neskončno zaporedje ali vsota neskončnega niza oz. nepravilni integral imeti mejo. Koncepti so smiselni za poljubna zaporedja, serije in integrale: Limit zaporedja... ... Wikipedia
Ta izraz ima druge pomene, glej Konvergenca. Zaporedje funkcij skoraj povsod konvergira k limitni funkciji, če ima množica točk, za katere ni konvergence, mero nič. Vsebina 1 Definicija 1.1 Izraz ... Wikipedia
Ta izraz ima druge pomene, glej Konvergenca. Konvergenca v funkcionalni analizi, teoriji verjetnosti in sorodne discipline vrsta konvergence merljivih funkcij ali naključnih spremenljivk. Definicija Pusti prostor z... ... Wikipedia
- (po verjetnosti) v funkcijski analizi, teoriji verjetnosti in sorodnih disciplinah je to vrsta konvergence merljivih funkcij (naključnih spremenljivk), definiranih na prostoru z mero (verjetnostni prostor). Definicija: Prostor naj ima mero... ... Wikipedia
Matematični koncept, ki pomeni, da nekateri spremenljiva količina ima mejo. V tem smislu govorijo o zaporedju, nizu, neskončnem produktu, zveznem ulomku, integralu itd. Pojavi se koncept niza... ... Velika sovjetska enciklopedija
Enako kot konvergenca v verjetnosti ... Matematična enciklopedija
Splošno načelo je, da skupno delovanje naključni dejavniki vodijo do nekaterih zelo splošni pogoji do rezultata, skoraj neodvisnega od naključja. Konvergentna pogostost pojavljanja naključni dogodek z njegovo verjetnostjo, ko število narašča... ... Matematična enciklopedija
knjige
- Teorija verjetnosti in matematična statistika v problemih Več kot 360 problemov in vaj, D. Borzykh Predlagani priročnik vsebuje probleme različnih stopenj zahtevnosti. Vendar je glavni poudarek na nalogah srednje zahtevnosti. To je narejeno namenoma, da bi študente spodbudili k...
- Teorija verjetnosti in matematična statistika v problemih. Več kot 360 nalog in vaj, Borzykh D.A.. Predlagani priročnik vsebuje naloge različnih stopenj zahtevnosti. Vendar je glavni poudarek na nalogah srednje zahtevnosti. To je narejeno namenoma, da bi študente spodbudili k...
V prihodnosti bomo morali na veliko operirati z odvodi in integrali naključnih procesov. Obe operaciji - diferenciacija in integracija - predpostavljata, kot je znano, konvergenco določenega zaporedja količin do meje. Toda za naključne spremenljivke, ki niso definirane deterministično, ampak z njihovimi verjetnostnimi porazdelitvami, je koncept konvergence do meje (in s tem koncepti kontinuitete, diferenciabilnosti, integrabilnosti za naključne funkcije) ne more imeti enakega pomena, kot je vložen v analizo. Za zaporedje naključnih spremenljivk je možna samo verjetnostna definicija konvergence do meje, kar mimogrede odpira več raznolikih možnosti pri izbiri same definicije. Verjetnostna konvergenca je bistvena tudi za upoštevanje tako imenovanih ergodičnih lastnosti naključnih funkcij, ki jih bomo obravnavali v naslednjem razdelku.
Začnimo, zaradi poenostavitve, z razmislekom različne vrste konvergenca zaporedja naključnih spremenljivk k (nenaključnemu) številu a.
Ena od vrst verjetnostne konvergence je konvergenca v srednjem kvadratu (rms), kar pomeni, da gre povprečje na nič kvadratno odstopanje od številke a pri
ki je zapisan v obrazcu
Oznaka 1. i. m. narejen iz začetnice angleško ime to mejo (mejo v srednjem kvadratu). Uporaba te vrste konvergence je najprimernejša v primerih, ko imamo opravka s kvadratnimi (predvsem z energetskim pomenom) kombinacijami naključnih spremenljivk.
Enakost (19.1) očitno predpostavlja končnost najbolj končne in povprečne vrednosti od . Z odštevanjem in dodajanjem v oklepajih v (19.1) to enakost prepišemo drugače:
Toda meja vsote dveh nenegativnih količin je lahko enaka nič le, če sta meji obeh členov enaki nič, tj.
Tako je meja zaporedja sredstev in meja variance enaka nič.
Druga vrsta verjetnostne konvergence k a - konvergenca v verjetnosti (in ver.) - je opredeljena kot sledi:
kjer je, kot običajno, kateri koli poljubno majhen pozitivno število. V tem primeru pišejo
Enakost (19.2) pomeni, da verjetnost zadetka nekje izven poljubno ozkega intervala v meji postane nič. Zaradi poljubne majhnosti to posledično pomeni, da gre verjetnostna gostota naključne spremenljivke čez . Vendar iz tega sploh ne sledi, da je a limita zaporedja in da D teži k nič. Poleg tega lahko neomejeno rastejo z naraščanjem N ali so celo neskončne za kateri koli N. Naj bodo na primer nenegativni in porazdeljeni v skladu s Cauchyjevim zakonom:
Za vsako je meja pri enaka nič, medtem ko meja ne obstaja. Hkrati je normalizacijski pogoj vedno izpolnjen:
tako se nagiba k . Vendar pa ni težko preveriti, da sta za vsak N in neskončna.
Konvergenco v verjetnosti pogosto imenujemo konvergenca v smislu zakona velikih števil. Za naključne spremenljivke pravimo, da so izjemno konstantne, če obstaja takšno zaporedje konstant, da
Če so vsi enaki (enaki a), potem gre ta enakost v (19.2), to pomeni, da konvergira v verjetnosti k a ali razlika - a konvergira v verjetnosti k nič.
Konvergenco v verjetnosti je treba jasno razlikovati od navadne konvergence
Pravzaprav ni mogoče ničesar matematično dokazati glede obnašanja empiričnih števil – vrednosti. Samo izjave v zvezi z teoretični koncepti, vključno s konceptom verjetnosti, kot je opredeljen v izvirnih aksiomih. Pri verjetnostni konvergenci ne govorimo o tem, da je a za , temveč o tem, da verjetnost dogodka teži k enoti. Povezava te trditve z izkušnjami je vsebovana v »aksiomu merjenja«, po katerem se verjetnost meri z relativno frekvenco
pojav zadevnega naključnega dogodka v dovolj dolgem nizu testov, v dovolj velikem nizu sistemov itd.
Da bi bolje razumeli ta temeljni vidik vprašanja, se osredotočimo na nekatere mejne izreke teorije verjetnosti, združene v pogosto ime zakona velikih števil, in sicer o izrekih, povezanih s primerom, ko je v (19.2) aritmetična sredina N naključnih spremenljivk
Izvedemo serijo N testov, vzamemo njihove rezultate in izračunamo povprečje (19,3). Nato pogledamo, ali obstaja dogodek (recimo mu dogodek BN), ki
Da bi izmerili verjetnost dogodka BN, moramo izvesti zelo velika številka M serija N testov mora imeti ekipo takih serij. Zakon velikih števil (19.2) pravi, da daljša kot je serija, ki tvori skupino (večji kot je N), bližje je enotnosti, tj. v skladu z "aksiomom merjenja", večje število serij bo ustrezalo začetku BN (v meji - praktično vse):
To je torej povsem smiselna trditev, ki pa postane taka šele z jasno primerjavo matematični koncept verjetnosti z empiričnim konceptom relativne frekvence. Brez tega ostane zakon velikih števil nek izrek, ki logično izhaja iz določenega sistema aksiomov za vrednost P, ki je definirana kot popolnoma aditivna, nenegativna in na enoto normalizirana funkcija domene.
Pogosto je to vprašanje, ki smo se ga dotaknili že v § 1, v izobraževalni literaturi predstavljeno precej zmedeno, brez jasne navedbe, da "aksiom merjenja", ki povezuje koncepte teorije verjetnosti z resničnimi pojavi, z eksperimentom in prakso, ni vsebovan. v matematična teorija kot tak. Zaslediti je mogoče trditve, da je temelj za uspešnost uporabe teorije verjetnosti pri različnih problemih naravoslovja in tehnike položen prav v zakonu velikih števil. Če bi bilo tako, bi to pomenilo
temelj praktičnega uspeha je logična posledica nekaterih abstraktnih aksiomov in da ti matematični aksiomi sami predpisujejo, kako naj se obnašajo empirične količine.
Načeloma bi bilo mogoče izhajati iz drugih aksiomov - in zgraditi drugo teorijo verjetnosti, katere zaključki so drugačni od tistih v obstoječa teorija, bi bila prav tako logično neoporečna in prav tako nepotrebna za resnični pojavi. Tu je situacija enaka kot pri različnih možnih geometrijah. Toda takoj, ko je matematična teorija dopolnjena z nekaterimi metodami merjenja količin, s katerimi operira, in s tem postane fizikalna teorija, se situacija spremeni. Pravilnost ali nepravilnost teorije potem preneha biti le vprašanje njene logične konsistentnosti, ampak postane vprašanje njene korespondence z resničnimi stvarmi in pojavi. Vprašanje resničnosti samih aksiomov pridobi vsebino, saj je zdaj to mogoče podvrči eksperimentalnemu in na splošno praktičnemu preverjanju.
Še pred takšnim preverjanjem pa je potrebna notranja korespondenca med obema deloma fizikalne teorije: uveljavljene metode merjenja količin ne smejo biti v nasprotju z enačbami, ki jim matematični del teorije te količine podreja. Na primer, Newtonove enačbe gibanja predpostavljajo, da je sila vektor, in so zato nezdružljive z načinom merjenja sile, ki bi jo označil le v smislu absolutna vrednost. Mogoče v resnici sila ni vektor, ampak recimo tenzor, vendar je to drugo vprašanje, kako dobro to odraža objektivno resničnost fizikalna teorija na splošno. Zdaj govorimo le o tem, da je zaradi prisotnosti protislovja med matematičnim in merilnim delom fizikalne teorije ta nevzdržna še pred kakršnim koli eksperimentalnim preverjanjem njenih posledic.
S tega vidika se zakon velikih števil razlikuje od drugih - logično enakovrednih - izrekov teorije verjetnosti le v tem, da, kot bo razvidno iz nadaljevanja, posebej jasno in eksplicitno kaže združljivost matematična definicija verjetnost in frekvenčna metoda njenega merjenja. Pokaže, da »aksiom merjenja« frekvence ni v nasprotju z matematično teorijo, vendar slednja tega »aksioma« seveda ne nadomesti in ne more nadomestiti.
Dokaz različnih izrekov v obliki zakona velikih števil običajno uporablja neenakost Čebiševa, ki jo je dokazal v svoji disertaciji leta 1846. Naj ima naključna spremenljivka končno varianco Neenakost Čebiševa
navaja, da
Če je zlasti , potem ima neenakost (19.4) obliko
Čeprav neenačbi (19.4) in (19.5) dajeta le zelo grobo oceno P (natančnejšo oceno lahko dobimo, če poznamo distribucijski zakon), sta zelo uporabni in pomembni za teoretične konstrukcije.
V primeru, ko Čebiševova neenakost vsebuje aritmetično sredino (19.3) N naključnih spremenljivk, nam neenakost (19.5) omogoča dokazovanje Čebiševovega izreka, ki je dokaj splošen izraz zakona velikih števil. Namreč, če je zaporedje po parih neodvisnih naključnih spremenljivk z enakomerno omejenimi variancami (D C), potem
res,
Glede na neenakost Čebiševa
od koder sledi izrek (19.6) za verjetnost nasprotnega dogodka, tj. konvergence v verjetnosti k
Poseben primer Čebiševljevega izreka je Poissonov izrek. Naj bodo naključne spremenljivke, ki določajo izid testa ali 0 v skladu s pojavom ali nepojavom dogodka A med testom, v katerem . Potem
in Čebiševljev izrek daje
To je Poissonov izrek. Še več poseben primer- Kdaj . Nato pridemo do Bernoullijevega izreka, ene prvih formulacij zakona velikih števil:
Ustavimo se pri tem najpreprostejša oblika pravo. Izrek (19.8) kaže, da z naraščajočim številom testov N relativna frekvenca dogodek A, tj. empirična količina konvergira v verjetnosti k - verjetnosti dogodka A. Če temu ne bi bilo tako, potem ne bi bilo smiselno meriti verjetnosti z relativno frekvenco. Ker pa je tako, potem je frekvenčna metoda merjenja verjetnosti tako (na podlagi relativne pogostosti pojavljanja dogodka A v nizu N testov) kot P (na podlagi relativne pogostosti pojavljanja dogodka v skupini M serije testov) lahko sprejmemo kot dopolnilo matematični teoriji, saj ji ne nasprotuje. Po tem se je že mogoče vprašati in eksperimentalno preizkusiti, ali nastala fizikalna teorija odraža realne statistične zakonitosti.
Zanimivo je, da za izpolnitev izreka (19.8) za katere koli vrednosti , tj. za konvergenco v verjetnosti
dovolj je zahtevati, da ta konvergenca poteka samo za (relativna frekvenca dogodkov z majhno verjetnostjo mora biti majhna).
Zapišimo zdaj Čebiševljev izrek za primer, ko je vse a. Potem
in izrek dobi obliko
ki je osnova pravila aritmetične sredine pri meritvah. Posamezniki lahko močno odstopajo od a, vendar z verjetnostjo imamo za To se zgodi, ker pri izračunu povprečne vrednosti naključna odstopanja posamezni izrazi se kompenzirajo in v veliki večini primerov se izkaže, da je odstopanje zelo majhno.
Možna so odstopanja od a naključne napake meritve. Če pa sama natančnost merjenja ni manjša od , tj. obstaja sistematična napaka, povezana z vrednostjo delitve lestvice, potem natančnost ni nič manjša za noben N, zato nima smisla poskušati sklicevati se na zakon velikih števil da dobimo vrednost tudi v tem primeru in z napako, manjšo od , zaradi Obstaja precej razširjeno napačno prepričanje, da aritmetična sredina omogoča, da presežemo merilno natančnost, omejeno od spodaj, in dobimo, recimo, z uporabo panelnega ampermetra, tok odčitavanje natančno do mikroamperov.
Možna je tudi druga situacija: sama izmerjena količina je lahko naključna (šumni tok itd.). Potem smo lahko prepričani, da ko , tj. aritmetična sredina teži k matematično pričakovanje naključna spremenljivka.
Pogoj medsebojne neodvisnosti rezultatov merjenja naključne spremenljivke na splošno zahteva, da se njene meritve izvajajo v dovolj velikih časovnih intervalih. Vendar pa za veljavnost zakona velikih števil ta pogoj neodvisnosti sam po sebi ni potreben, saj Čebiševljeva neenakost zahteva le za . Ne bomo se ustavili za več splošni izreki ter o nujnih in zadostnih pogojih, pod katerimi za aritmetično sredino velja zakon velikih števil, saj se ti pogoji nanašajo na samo količino in so zato v praksi manj zanimivi kot ožji pogoji, a povezani s posameznimi členi
Leta 1909 E. Borel (potem pozneje splošna oblika- F. P. Cantelli, nato A. N. Kolmogorov) je bila dokazana močnejša trditev kot zakon velikih števil. Po Bernoullijevem izreku
Po Borelu (okrepljen zakon velikih števil)
to je z gotovostjo ali, kot pravijo, "skoraj zagotovo", relativna frekvenca ima svojo mejno verjetnost. To je še trdnejša osnova za merjenje verjetnosti z relativno frekvenco.
Na podlagi (19.9) lahko uvedemo drugo vrsto verjetnostne konvergence - konvergenco v smislu močnega zakona velikih števil, ki ji pravimo tudi konvergenca z verjetnostjo ali skoraj gotovo konvergenca:
(19.10)
To lahko na kratko zapišemo kot
Včasih v zvezi z definicijo (19.10) nastane zmeda zaradi dejstva, da gre za običajno mejo zaporedja naključnih spremenljivk. Zdi se, da se tu umikamo zgornji trditvi, da ima lahko konvergenca naključnih spremenljivk le verjetnostni pomen. Ampak ravno za to gre govorimo o in v tem primeru. Med različnimi realizacijami zaporedja obstajajo tudi možne realizacije, ki konvergirajo k a v običajnem pomenu. Lahko se pokaže, da ima množica takih realizacij določeno verjetnost P. Konvergenca skoraj zagotovo pomeni, da je ta verjetnost, torej verjetnost naključnega dogodka, enaka ena. Z drugimi besedami, realizacije, ki konvergirajo k a v običajnem pomenu, "skoraj izčrpajo" množico vseh možnih realizacij zaporedja, torej se v (19.10) ne premaknemo nikamor od verjetnostne definicije konvergence, čeprav je zdaj nimamo. upoštevajte mejo verjetnosti (kot pri konvergenci v verjetnosti), verjetnost pa je meja.
Predstavimo dva od pogojev za konvergenco k skoraj zagotovo. Eden od njih je potreben in zadosten
Vendar v praksi tega pogoja nikoli ni mogoče preveriti. Drugi – močnejši zadostni pogoj – je, da
da mora za vsako vrsto konvergirati
drugo zadostni pogoji in na splošno lahko podrobno matematično razpravo o vprašanjih v zvezi z verjetnostno konvergenco najdete v knjigah (3. poglavje) in (1. poglavje).
Konvergenca v srednjem kvadratu vključuje (zaradi Čebiševljeve neenakosti) konvergenco v verjetnosti, in če so vsi skoraj zagotovo enakomerno omejeni v absolutni vrednosti, potem, nasprotno, konvergenca v verjetnosti implicira konvergenco v srednjem kvadratu. Skoraj zagotovo konvergenca vključuje tudi konvergenco v verjetnosti, ne pa tudi konvergenco v srednjem kvadratu; obenem pa konvergenca v srednjem kvadratu skoraj zagotovo ne pomeni konvergence.
