Cila është rrënja e n-të? Rrënja katrore

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga organet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Në këtë artikull do të prezantojmë koncepti i rrënjës së një numri. Do të vazhdojmë në mënyrë sekuenciale: do të fillojmë me rrënjën katrore, prej andej do të kalojmë në përshkrimin e rrënjës kubike, pas së cilës do të përgjithësojmë konceptin e rrënjës duke përcaktuar rrënjën e n-të. Në të njëjtën kohë do të prezantojmë përkufizime, shënime, do të japim shembuj të rrënjëve dhe do të japim shpjegimet dhe komentet e nevojshme.

Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike

Për të kuptuar përkufizimin e rrënjës së një numri, dhe rrënjës katrore në veçanti, duhet të keni . Në këtë pikë shpesh do të hasim fuqinë e dytë të një numri - katrorin e një numri.

Le të fillojmë me përkufizimet e rrënjës katrore.

Përkufizimi

Rrënja katrore e aështë një numër katrori i të cilit është i barabartë me a.

Për të udhëhequr shembuj rrënjë katrore , marrim disa numra, për shembull, 5, −0.3, 0.3, 0 dhe i vendosim në katror, marrim përkatësisht numrat 25, 0.09, 0.09 dhe 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dhe 0 2 =0·0=0 ). Pastaj, sipas përkufizimit të dhënë më sipër, numri 5 është rrënja katrore e numrit 25, numrat -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.

Duhet të theksohet se për asnjë numër a nuk ekziston a katrori i të cilit është i barabartë me a. Gjegjësisht, për çdo numër negativ a nuk ka numër real b, katrori i të cilit do të ishte i barabartë me a. Në fakt, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a, pasi b 2 është numër jo negativ për çdo b. Kështu, nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ në bashkësinë e numrave realë. Me fjalë të tjera, në bashkësinë e numrave realë rrënja katrore e një numri negativ nuk është e përcaktuar dhe nuk ka kuptim.

Kjo çon në një pyetje logjike: "A ka një rrënjë katrore të a-së për ndonjë jo-negativ a"? Përgjigja është po. Arsyetimi për këtë fakt mund të konsiderohet mënyrë konstruktive, përdoret për të gjetur vlerën e rrënjës katrore.

Atëherë lind pyetja tjetër logjike: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të caktuar jo negativ a - një, dy, tre, apo edhe më shumë"? Këtu është përgjigja: nëse a është zero, atëherë e vetmja rrënjë katrore e zeros është zero; nëse a është disa numër pozitiv, atëherë numri i rrënjëve katrore të numrit a është dy, dhe rrënjët janë . Le ta justifikojmë këtë.

Le të fillojmë me rastin a=0. Së pari, le të tregojmë se zero është me të vërtetë rrënja katrore e zeros. Kjo rrjedh nga barazia e dukshme 0 2 =0·0=0 dhe përkufizimi i rrënjës katrore.

Tani le të vërtetojmë se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros. Le të përdorim metodën e kundërt. Supozoni se ka një numër b jozero që është rrënja katrore e zeros. Atëherë duhet të plotësohet kushti b 2 =0, i cili është i pamundur, pasi për çdo b jozero vlera e shprehjes b 2 është pozitive. Kemi arritur në një kontradiktë. Kjo vërteton se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros.

Le të kalojmë në rastet kur a është një numër pozitiv. Thamë më lart se çdo numër jo negativ ka gjithmonë një rrënjë katrore, le të jetë rrënja katrore e a numri b. Le të themi se ekziston një numër c, i cili është edhe rrënja katrore e a. Atëherë, me përcaktimin e rrënjës katrore, barazitë b 2 =a dhe c 2 =a janë të vërteta, nga ku del se b 2 −c 2 =a−a=0, por meqë b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , pastaj (b−c)·(b+c)=0 . Barazia që rezulton është e vlefshme vetitë e veprimeve me numra realë e mundur vetëm kur b−c=0 ose b+c=0 . Kështu, numrat b dhe c janë të barabartë ose të kundërt.

Nëse supozojmë se ekziston një numër d, i cili është një rrënjë tjetër katrore e numrit a, atëherë me arsyetim të ngjashëm me ato të dhëna tashmë, vërtetohet se d është i barabartë me numrin b ose me numrin c. Pra, numri i rrënjëve katrore të një numri pozitiv është dy, dhe rrënjët katrorë janë numra të kundërt.

Për lehtësinë e punës me rrënjë katrore rrënjë negative"ndahet" nga pozitive. Për këtë qëllim është prezantuar përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike.

Përkufizimi

Rrënja katrore aritmetike e një numri jo negativ aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a.

Shënimi për rrënjën katrore aritmetike të a është . Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Quhet edhe shenja radikale. Prandaj, ndonjëherë mund të dëgjoni si "rrënjë" dhe "radikale", që do të thotë i njëjti objekt.

Numri nën shenjën aritmetike të rrënjës katrore quhet numër radikal, dhe shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale, ndërsa termi " numër radikal" shpesh zëvendësohet me "shprehje radikale". Për shembull, në shënim numri 151 është një numër radikal, dhe në shënim shprehja a është një shprehje radikale.

Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, hyrja lexohet si "rrënja katrore e shtatë pikës njëzet e nëntë". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm kur duan ta theksojnë këtë ne po flasim për konkretisht për rrënjën katrore pozitive të një numri.

Në dritën e shënimit të paraqitur, nga përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike rrjedh se për çdo numër jo negativ a .

Rrënjët katrore të një numri pozitiv a shkruhen duke përdorur shenjën aritmetike të rrënjës katrore si dhe . Për shembull, rrënjët katrore të 13 janë dhe . Rrënja katrore aritmetike e zeros e barabartë me zero, domethënë, . Për numrat negativ a, ne nuk do t'i bashkojmë kuptimin shënimit derisa të studiojmë numra komplekse . Për shembull, shprehjet dhe janë të pakuptimta.

Bazuar në përkufizimin e rrënjës katrore, vërtetohen vetitë e rrënjëve katrore, të cilat përdoren shpesh në praktikë.

Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se rrënjët katrore të numrit a janë zgjidhje të formës x 2 =a në lidhje me ndryshoren x.

Rrënja kubike e një numri

Përkufizimi i rrënjës së kubit i numrit a jepet në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e rrënjës katrore. Vetëm ai bazohet në konceptin e një kubi të një numri, jo një katror.

Përkufizimi

Rrënja kubike e aështë një numër kubi i të cilit është i barabartë me a.

Le të japim shembuj rrënjët kubike . Për ta bërë këtë, merrni disa numra, për shembull, 7, 0, −2/3 dhe vendosini në kubike: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Pastaj, bazuar në përkufizimin e rrënjës kubike, mund të themi se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja kubike e zeros dhe −2/3 është rrënja e kubit e −8/27.

Mund të tregohet se rrënja kubike e një numri, ndryshe nga rrënja katrore, ekziston gjithmonë, jo vetëm për jonegativin a, por edhe për çdo numër real a. Për ta bërë këtë, mund të përdorni të njëjtën metodë që përmendëm kur studiojmë rrënjët katrore.

Për më tepër, ekziston vetëm një rrënjë e vetme kubike e një numri të caktuar a. Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre raste veç e veç: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.

Është e lehtë të tregohet se nëse a është pozitive, rrënja kubike e a nuk mund të jetë as numër negativ dhe as zero. Në të vërtetë, le të jetë b rrënja kubike e a-së, atëherë sipas përkufizimit mund të shkruajmë barazinë b 3 =a. Është e qartë se kjo barazi nuk mund të jetë e vërtetë për negativin b dhe për b=0, pasi në këto raste b 3 =b·b·b do të jetë përkatësisht një numër negativ ose zero. Pra, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.

Tani supozojmë se përveç numrit b ka një rrënjë tjetër kubike të numrit a, le ta shënojmë atë c. Pastaj c 3 =a. Prandaj, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit dallimi i kubeve), prej nga (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Barazia që rezulton është e mundur vetëm kur b−c=0 ose b 2 +b·c+c 2 =0. Nga barazia e parë kemi b=c, dhe barazia e dytë nuk ka zgjidhje, pasi ana e majtë e saj është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b dhe c si shuma e tre termave pozitivë b 2, b·c dhe c 2. Kjo vërteton veçantinë e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.

Kur a=0, rrënja kubike e numrit a është vetëm numri zero. Në të vërtetë, nëse supozojmë se ekziston një numër b, i cili është një rrënjë kubike jo zero e zeros, atëherë duhet të jetë barazia b 3 =0, e cila është e mundur vetëm kur b=0.

Për negative a, mund të jepen argumente të ngjashme me rastin për pozitiv a. Së pari, ne tregojmë se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv ose zero. Së dyti, supozojmë se ekziston një rrënjë e dytë kubike e një numri negativ dhe tregojmë se do të përkojë domosdoshmërisht me të parën.

Pra, ekziston gjithmonë një rrënjë kubike e çdo numri real të dhënë a, dhe një unik.

Le të japim përkufizimi i rrënjës së kubit aritmetik.

Përkufizimi

Rrënja kubike aritmetike e një numri jonegativ aështë një numër jo negativ kubi i të cilit është i barabartë me a.

Rrënja e kubit aritmetik e një numri jonegativ a shënohet si , shenja quhet shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë shënim quhet indeksi rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës është numër radikal, shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale.

Megjithëse rrënja e kubit aritmetik përcaktohet vetëm për numrat jonegativë a, është gjithashtu e përshtatshme të përdoren shënime në të cilat numrat negativë gjenden nën shenjën e rrënjës së kubit aritmetik. Do t'i kuptojmë si më poshtë: , ku a është një numër pozitiv. Për shembull, .

Ne do të flasim për vetitë e rrënjëve të kubit në artikullin e përgjithshëm vetitë e rrënjëve.

Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet nxjerrja e rrënjës së kubit, ky veprim diskutohet në artikullin për nxjerrjen e rrënjëve: metoda, shembuj, zgjidhje.

Për të përfunduar këtë pikë, le të themi se rrënja kubike e numrit a është zgjidhje e formës x 3 =a.

rrënja e n-të, rrënja aritmetike e shkallës n

Le të përgjithësojmë konceptin e rrënjës së një numri - ne prezantojmë përkufizimi i rrënjës së n-të për n.

Përkufizimi

rrënja e n-të e aështë një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Nga këtë përkufizimështë e qartë se rrënja e shkallës së parë të numrit a është vetë numri a, pasi kur studiohet shkalla c tregues natyror ne pranuam një 1 =a.

Më sipër shikuam raste të veçanta të rrënjës së n-të për n=2 dhe n=3 - rrënjë katrore dhe rrënjë kubike. Kjo do të thotë, një rrënjë katrore është një rrënjë e shkallës së dytë, dhe një rrënjë kubike është një rrënjë e shkallës së tretë. Për të studiuar rrënjët e shkallës së n-të për n=4, 5, 6, ..., është e përshtatshme t'i ndani ato në dy grupe: grupi i parë - rrënjët me gradë çift (d.m.th., për n = 4, 6, 8 , ...), grupi i dytë - rrënjët shkallë tek (pra me n=5, 7, 9, ...). Kjo për faktin se rrënjët e fuqive çift janë të ngjashme me rrënjët katrore, dhe rrënjët e fuqive tek janë të ngjashme me rrënjët kubike. Le të merremi me ta një nga një.

Le të fillojmë me rrënjët, fuqitë e të cilave janë numra çift 4, 6, 8, ... Siç thamë, ato janë të ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle çift të numrit a ekziston vetëm për jonegativin a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja e a është unike dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë ka dy rrënjë të shkallës çift të numrit a, dhe ata janë numra të kundërt.

Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Le të jetë b një rrënjë me shkallë çift (e shënojmë si 2 m, ku m është disa numri natyror) nga numri a. Supozoni se ka një numër c - një rrënjë tjetër e shkallës 2·m nga numri a. Atëherë b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Por ne e dimë formën b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atëherë (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Nga kjo barazi rrjedh se b−c=0, ose b+c=0, ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazitë e para nënkuptojnë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë të kundërt. Dhe barazia e fundit vlen vetëm për b=c=0, pasi në anën e majtë të saj ka një shprehje që është jonegative për çdo b dhe c si shuma e numrave jonegativë.

Sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të për n tek, ato janë të ngjashme me rrënjën e kubit. Kjo është, çdo rrënjë shkallë tek nga numri a ekziston për çdo numër real a, dhe për një numër të dhënë a është unik.

Veçantia e rrënjës me shkallë tek 2·m+1 e numrit a vërtetohet me analogji me vërtetimin e veçantisë së rrënjës kubike të a. Vetëm këtu në vend të barazisë a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) përdoret një barazi e formës b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Shprehja në kllapa e fundit mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, me m=2 kemi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kur a dhe b janë të dyja pozitive ose të dyja negative, prodhimi i tyre është një numër pozitiv, atëherë shprehja b 2 +c 2 +b·c në kllapa vetë shkallë të lartë foleja, është pozitive si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke kaluar në mënyrë sekuenciale te shprehjet në kllapa të shkallëve të mëparshme të foleve, ne jemi të bindur se ato janë gjithashtu pozitive si shuma e numrave pozitivë. Si rezultat, marrim se barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0është e mundur vetëm kur b−c=0, pra kur numri b është i barabartë me numrin c.

Është koha për të kuptuar shënimin e rrënjëve të n-të. Për këtë qëllim jepet përkufizimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.

Përkufizimi

Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ aështë një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.

Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, Ku n- numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n shkalla e së cilës është e barabartë me a.

Shkalla e rrënjës n nga mesi a tregohet me simbolin. Sipas këtij përkufizimi.

Gjetja e rrënjës n shkalla th nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri A quhet numër radikal (shprehje), n- tregues rrënjë. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia për çdo numër real a. Kur edhe n ka një rrënjë n-fuqia vetëm për numrat jonegativë a. Për të zbardhur rrënjën n shkalla th nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n shkalla th nga mesi a.

Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N

Nëse dhe n- numri natyror, më i madh 1 , atëherë ka dhe vetëm një numër jo negativ X, në mënyrë që barazia të plotësohet. Ky numër X quhet rrënjë aritmetike n fuqia e një numri jo negativ A dhe është caktuar. Numri A quhet një numër radikal, n- tregues rrënjë.

Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , do të thotë, së pari, atë dhe, së dyti, se, d.m.th. .

Koncepti i shkallës c tregues racional

Shkalla me eksponent natyror: le Aështë një numër real, dhe n- një numër natyror më i madh se një, n-fuqia e numrit A thirrni punën n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, d.m.th. . Numri A- bazën e diplomës, n- eksponent. Një fuqi me një eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë: supozohet nga përkufizimi nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Shkalla c tregues i pjesshëm: besohet me përkufizim nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .

Operacionet me rrënjë.

Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli nënkupton një rrënjë aritmetike (shprehja radikale është pozitive).

1. Rrënja e produktit të disa faktorëve e barabartë me produktin rrënjët e këtyre faktorëve:

2. Rrënja e qëndrimit e barabartë me raportin rrënjët e dividendit dhe pjesëtuesit:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës n herë dhe në të njëjtën kohë e rritni numrin radikal në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht nxirrni rrënjën e n-të të numrit radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani ne kemi konsideruar shkallë vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerë absolute tregues negativ:

Tani formula a m: a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madhe se n, por edhe për m më të vogël se n.

SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.

SHEMBUJ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e n-të të fuqisë mth të këtij numri a:

Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.

Rasti 1.

Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.

Në fakt, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit kemi: a = 0 x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0

Rasti 2.

Çdo numër.

Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër të caktuar x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 · x. Por kjo barazi vlen për çdo numër x, që është ajo që duhej vërtetuar.

Vërtet,

Zgjidhja le të shqyrtojmë tre raste kryesore:

1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion

2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë se x është çdo numër; por duke marrë parasysh se në rastin tonë x > 0, përgjigja është x > 0;

3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

në këtë rast nuk ka zgjidhje. Kështu x > 0.

Video tutorial 2: Vetitë e rrënjëve të shkallës n > 1

Ligjërata: Rrënja e shkallës n > 1 dhe vetitë e saj

Rrënja

Supozoni se keni një ekuacion të formës:

Me vendim ekuacioni i dhënë do të jetë x 1 = 2 dhe x 2 = (-2). Të dyja zgjidhjet janë të përshtatshme si përgjigje, pasi numrat me module të barabarta Kur ngrihen në një fuqi të barabartë, ato japin të njëjtin rezultat.

Ky ishte një shembull i thjeshtë, megjithatë, çfarë mund të bëjmë nëse, për shembull,

Le të përpiqemi të grafikojmë funksionin y=x 2 . Grafiku i tij është një parabolë:

Në grafik ju duhet të gjeni pika që korrespondojnë me vlerën y = 3. Këto pika janë:

Kjo do të thotë se kjo vlerë nuk mund të quhet një numër i plotë, por mund të përfaqësohet si një rrënjë katrore.

Çdo rrënjë është numër irracional. TE numrat irracionalë përfshijnë rrënjët, thyesat e pafundme jo periodike.

Rrënja katroreështë një numër jo negativ "a", shprehja radikale e të cilit është e barabartë me numri i dhënë"a" në katror.

Për shembull,

Kjo do të thotë, si rezultat do të marrim vetëm vlerë pozitive. Megjithatë, si zgjidhje ekuacioni kuadratik lloji

Zgjidhja është x 1 = 4, x 2 = (-4).

Vetitë e rrënjës katrore

1. Çfarëdo vlere që merr x, kjo shprehje e vertete ne cdo rast:

2. Krahasimi i numrave që përmbajnë rrënjë katrore. Për të krahasuar këta numra, duhet të futni si njërin ashtu edhe numrin e dytë nën shenjën e rrënjës. Numri do të jetë më i madh, shprehja radikale e të cilëve është më e madhe.

Futni numrin 2 nën shenjën e rrënjës

Tani le të vendosim numrin 4 nën shenjën e rrënjës. Si rezultat i kësaj marrim

Dhe vetëm tani dy shprehjet që rezultojnë mund të krahasohen:

3. Heqja e shumëzuesit nga poshtë rrënjës.

Nëse shprehja radikale mund të zbërthehet në dy faktorë, njëri prej të cilëve mund të hiqet nën shenjën e rrënjës, atëherë është e nevojshme të përdoret ky rregull.

4. Ekziston një pronë që është e kundërta e kësaj - futja e një shumëzuesi nën rrënjë. Padyshim që ne e kemi përdorur këtë pronë në pronën e dytë.

Skenari i mësimit për klasën e 11-të me temën:

«Rrënja shkalla e nëntë nga një numër real. »

Objektivi i mësimit: Formimi tek nxënësit i një kuptimi holistik të rrënjës n-shkalla e saj dhe rrënjë aritmetike shkalla e n-të, formimi i aftësive llogaritëse, të ndërgjegjshme dhe përdorim racional vetitë e rrënjës gjatë zgjidhjes detyra të ndryshme që përmban një radikal. Kontrolloni nivelin e të kuptuarit të pyetjeve të temës nga studentët.

Tema:krijoni kushte kuptimplote dhe organizative për zotërimin e materialit mbi temën " Numerike dhe shprehje fjalë për fjalë» në nivelin e perceptimit, të kuptuarit dhe memorizimit parësor; të zhvillojë aftësinë për të përdorur këtë informacion gjatë llogaritjes së rrënjës së n-të të një numri real;

Meta-subjekt: promovojnë zhvillimin e aftësive kompjuterike; aftësia për të analizuar, krahasuar, përgjithësuar, nxjerrë përfundime;

Personal: kultivoni aftësinë për të shprehur këndvështrimin tuaj, për të dëgjuar përgjigjet e të tjerëve, për të marrë pjesë në dialog dhe për të zhvilluar aftësinë për bashkëpunim pozitiv.

Rezultati i planifikuar.

Tema: të jetë në gjendje në këtë proces situatë reale të zbatojë vetitë e rrënjës së n-të të një numri real gjatë llogaritjes së rrënjëve dhe zgjidhjes së ekuacioneve.

Personal: për të zhvilluar vëmendje dhe saktësi në llogaritjet, një qëndrim kërkues ndaj vetvetes dhe punës, dhe për të kultivuar një ndjenjë të ndihmës së ndërsjellë.

Lloji i mësimit: mësim mbi studimin dhe konsolidimin fillimisht të njohurive të reja

Motivimi për aktivitete edukative:

Dituria lindore thotë: "Mund ta çosh kalin në ujë, por nuk mund ta detyrosh të pijë". Dhe është e pamundur të detyrosh një person të studiojë mirë nëse ai vetë nuk përpiqet të mësojë më shumë dhe nuk ka dëshirë të punojë në zhvillimin e tij mendor. Në fund të fundit, dija është njohuri vetëm kur fitohet përmes përpjekjeve të mendimeve të dikujt, dhe jo vetëm përmes kujtesës.

Mësimi ynë do të mbahet nën moton: “Ne do të pushtojmë çdo kulm nëse përpiqemi për të”. Gjatë mësimit, unë dhe ju duhet të kemi kohë për të kapërcyer disa maja dhe secili prej jush duhet të bëjë të gjitha përpjekjet tuaja për të pushtuar këto maja.

"Sot kemi një mësim në të cilin duhet të njihemi me një koncept të ri: "rrënja e N" dhe të mësojmë se si ta zbatojmë këtë koncept në transformim. shprehje të ndryshme.

Qëllimi juaj bazohet në forma të ndryshme punoni për të aktivizuar njohuritë ekzistuese, për të kontribuar në studimin e materialit dhe për të marrë nota të mira"
Ne kemi studiuar rrënjën katrore të një numri real në klasën e 8-të. Rrënja katrore lidhet me një funksion të formës y=x 2. Djema, a ju kujtohet se si i llogaritëm rrënjët katrore dhe çfarë veçori kishte?
a) anketë individuale:

çfarë lloj shprehjeje është kjo

ajo që quhet rrënjë katrore

ajo që quhet rrënja katrore aritmetike

listoni vetitë e rrënjës katrore

b) punë në dyshe: njehso.

2. Përditësimi i njohurive dhe krijimi i një situate problemore: Zgjidheni ekuacionin x 4 =1. Si mund ta zgjidhim? (Analitike dhe grafike). Le ta zgjidhim grafikisht. Për ta bërë këtë, në një sistem koordinativ do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = x 4 drejtëz y = 1 (Fig. 164 a). Ato kryqëzohen në dy pika: A (-1;1) dhe B(1;1). Abshisat e pikave A dhe B, d.m.th. x 1 = -1,

x 2 = 1 janë rrënjët e ekuacionit x 4 = 1.
Duke arsyetuar saktësisht në të njëjtën mënyrë, gjejmë rrënjët e ekuacionit x 4 =16: Tani le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin x 4 =5; një ilustrim gjeometrik është paraqitur në Fig. 164 b. Është e qartë se ekuacioni ka dy rrënjë x 1 dhe x 2, dhe këta numra, si në dy rastet e mëparshme, janë reciprokisht të kundërt. Por për dy ekuacionet e para rrënjët u gjetën pa vështirësi (ato mund të gjenden pa përdorur grafikët), por me ekuacionin x 4 = 5 ka probleme: nga vizatimi nuk mund të tregojmë vlerat e rrënjëve, por ne mund të vërtetojë vetëm se njëra rrënjë ndodhet në pikën e majtë -1, dhe e dyta është në të djathtë të pikës 1.

x 2 = - (lexo: "rrënja e katërt e pesë").

Ne folëm për ekuacionin x 4 = a, ku a 0. Po aq mirë mund të flasim edhe për ekuacionin x 4 = a, ku a 0 dhe n është çdo numër natyror. Për shembull, duke zgjidhur grafikisht ekuacionin x 5 = 1, gjejmë x = 1 (Fig. 165); duke zgjidhur ekuacionin x 5 "= 7, konstatojmë se ekuacioni ka një rrënjë x 1, e cila ndodhet në boshtin x pak në të djathtë të pikës 1 (shih Fig. 165). Për numrin x 1, ne prezantojmë shënim .

Përkufizimi 1. Rrënja e n-të fuqitë e një numri jonegativ a (n = 2, 3,4, 5,...) është një numër jo negativ që, kur ngrihet në një fuqi n, rezulton në numrin a.

Ky numër shënohet, numri a quhet numër radikal dhe numri n është eksponenti i rrënjës.
Nëse n=2, atëherë ata zakonisht nuk thonë "rrënjë e dytë", por thonë "rrënjë katrore" Në këtë rast, ata nuk shkruajnë "Kjo është ajo". rast i veçantë, të cilën e keni studiuar në mënyrë specifike në kursin tuaj të algjebrës në klasën e 8-të.

Nëse n = 3, atëherë në vend të "rrënjës së tretë" ata shpesh thonë "rrënjë kubike". Njohja juaj e parë me rrënjën e kubit u bë edhe në kursin e algjebrës së klasës së 8-të. Kemi përdorur rrënjë kubike në algjebrën e klasës së 9-të.

Pra, nëse a ≥0, n= 2,3,4,5,…, atëherë 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Në përgjithësi, =b dhe b n =a janë të njëjta marrëdhënie midis numrave jonegativë a dhe b, por vetëm i dyti përshkruhet më shumë në gjuhë të thjeshtë(përdor karaktere më të thjeshta) se i pari.

Operacioni i gjetjes së rrënjës së një numri jo negativ zakonisht quhet nxjerrja e rrënjës. Ky operacion është e kundërta e ngritjes në fuqinë e duhur. Krahaso:

Ju lutemi vini re përsëri: vetëm numrat pozitivë shfaqen në tabelë, pasi kjo është përcaktuar në Përkufizimin 1. Dhe megjithëse, për shembull, (-6) 6 = 36 është një barazi e saktë, kaloni nga ai në shënim duke përdorur rrënjën katrore, d.m.th. shkruani se është e pamundur. Sipas përkufizimit, një numër pozitiv do të thotë = 6 (jo -6). Në të njëjtën mënyrë, edhe pse 2 4 =16, t (-2) 4 =16, duke kaluar te shenjat e rrënjëve, duhet të shkruajmë = 2 (dhe në të njëjtën kohë ≠-2).

Ndonjëherë shprehja quhet radikale (nga fjalë latine gadix - "rrënja"). Në rusisht, termi radikal përdoret mjaft shpesh, për shembull, "ndryshime radikale" - kjo do të thotë "ndryshime radikale". Nga rruga, vetë përcaktimi i rrënjës të kujton fjalën gadix: simboli është një shkronjë e stilizuar r.

Operacioni i nxjerrjes së rrënjës përcaktohet gjithashtu për një numër radikal negativ, por vetëm në rastin e një eksponenti të rrënjës tek. Me fjalë të tjera, barazia (-2) 5 = -32 mund të rishkruhet në formë ekuivalente si =-2. Në këtë rast përdoret përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 2. Një rrënjë tek n e një numri negativ a (n = 3,5,...) është një numër negativ që, kur ngrihet në fuqinë n, rezulton në numrin a.

Ky numër, si në përkufizimin 1, shënohet me , numri a është numri radikal dhe numri n është eksponenti i rrënjës.
Pra, nëse a , n=,5,7,…, atëherë: 1) 0; 2) () n = a.

Kështu, një rrënjë e barabartë ka kuptim (d.m.th., përkufizohet) vetëm për një shprehje radikale jo negative; një rrënjë teke ka kuptim për çdo shprehje radikale.

5. Konsolidimi parësor i njohurive:

1. Llogarit: nr 33.5; 33.6; 33,74 33,8 me gojë a) ; b) ; V) ; G) .

d) Ndryshe nga shembujt e mëparshëm, ne nuk mund të tregojmë vlerën e saktë numër Është e qartë vetëm se është më i madh se 2, por më pak se 3, pasi 2 4 = 16 (kjo është më pak se 17), dhe 3 4 = 81 (kjo është më shumë se 17). Vëmë re se 24 është shumë më afër 17 sesa 34, kështu që ka arsye për të përdorur shenjën e përafërt të barazisë:
2. Gjeni kuptimet e shprehjeve të mëposhtme.

Vendosni shkronjën përkatëse pranë shembullit.

Pak informacion për shkencëtarin e madh. Rene Descartes (1596-1650) fisnik, matematikan, filozof, fiziolog, mendimtar francez. Rene Descartes hodhi themelet gjeometria analitike, hyri emërtimet e shkronjave x 2 , y 3 . Të gjithë e dinë Koordinatat karteziane, duke përcaktuar funksionin madhësi e ndryshueshme.

3 . Zgjidh barazimet: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Zgjidhja: a) Nëse = -2, atëherë y = -8. Në fakt të dyja pjesët ekuacioni i dhënë ne duhet të kube. Marrim: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Duke arsyetuar si në shembullin a), i ngremë të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e katërt. Marrim: x=1.

c) Nuk ka nevojë të ngrihet në fuqinë e katërt, ky ekuacion nuk ka zgjidhje. Pse? Sepse, sipas përkufizimit 1, një rrënjë çift është një numër jo negativ.
Disa detyra janë ofruar në vëmendjen tuaj. Kur të përfundoni këto detyra, do të mësoni emrin dhe mbiemrin e matematikanit të madh. Ky shkencëtar ishte i pari që prezantoi shenjën rrënjë në 1637.

6. Le të pushojmë pak.

Klasa ngre duart - kjo është "një".

Koka u kthye - ishte "dy".

Duart poshtë, shikoni përpara - kjo është "tre".

Duart u kthyen më gjerë në anët në "katër"

Shtypja e tyre me forcë në duart tuaja është një "pesë e lartë".

Të gjithë djemtë duhet të ulen - është "gjashtë".

7. Punë e pavarur:

Opsioni: opsioni 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. Zgjidh barazimin: a) x 4 = -16; b) 0,02x 6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x 9 – 2,4=0;

c) = -2; c)= 2