Fuqia përdoret për të thjeshtuar funksionimin e shumëzimit të një numri në vetvete. Për shembull, në vend që të shkruani, mund të shkruani 4 5 (\displaystyle 4^(5))(një shpjegim për këtë tranzicion është dhënë në pjesën e parë të këtij neni). Diplomat e bëjnë më të lehtë shkrimin e gjatë ose shprehje komplekse ose ekuacionet; fuqitë janë gjithashtu të lehta për t'u shtuar dhe zbritur, duke rezultuar në një shprehje ose ekuacion të thjeshtuar (për shembull, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
Shënim: nëse duhet të vendosni ekuacioni eksponencial(në një ekuacion të tillë e panjohura është në eksponent), lexo.
Hapat
Zgjidhja e problemeve të thjeshta me gradë
- 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
Shumëzoni rezultatin (16 në shembullin tonë) me numrin tjetër.Çdo rezultat pasues do të rritet proporcionalisht. Në shembullin tonë, shumëzojeni 16 me 4. Si kjo:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Vazhdoni të shumëzoni rezultatin e dy numrave të parë me numrin tjetër derisa të merrni përgjigjen tuaj përfundimtare. Për ta bërë këtë, shumëzoni dy numrat e parë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me numrin tjetër në sekuencë. Kjo metodë është e vlefshme për çdo diplomë. Në shembullin tonë duhet të merrni: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
Zgjidh problemet e mëposhtme. Kontrolloni përgjigjen tuaj duke përdorur një kalkulator.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
-
Në kalkulatorin tuaj, kërkoni çelësin e emërtuar "exp" ose " x n (\displaystyle x^(n))", ose "^". Duke përdorur këtë çelës, ju do të ngrini një numër në një fuqi. Llogaritni shkallën c një tregues i madh me dorë është pothuajse e pamundur (për shembull, shkalla 9 15 (\displaystyle 9^(15))), por kalkulatori mund ta përballojë lehtësisht këtë detyrë. Në Windows 7, kalkulatori standard mund të kalohet në modalitetin inxhinierik; Për ta bërë këtë, klikoni "Shiko" -> "Inxhinieri". Për të kaluar në modalitetin normal, klikoni "Shiko" -> "Normal".
- Kontrolloni përgjigjen tuaj duke përdorur motor kërkimi(Google ose Yandex). Duke përdorur tastin "^" në tastierën e kompjuterit tuaj, futni shprehjen në motorin e kërkimit, i cili do të shfaqë menjëherë përgjigjen e saktë (dhe ndoshta do t'ju sugjerojë shprehje të ngjashme për t'u studiuar).
Mbledhja, zbritja, shumëzimi i fuqive
-
Ju mund të shtoni dhe zbritni shkallë vetëm nëse ato kanë të njëjtat baza. Nëse duhet të shtoni fuqi me të njëjtat baza dhe eksponentë, atëherë mund ta zëvendësoni veprimin e mbledhjes me operacionin e shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Mos harroni se diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) mund të paraqitet në formë 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Kështu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ku 1 +1 =2). Kjo do të thotë, numëroni numrin e shkallëve të ngjashme, dhe pastaj shumëzoni atë shkallë dhe këtë numër. Në shembullin tonë, ngrini 4 në fuqinë e pestë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me 2. Mos harroni se operacioni i mbledhjes mund të zëvendësohet nga operacioni i shumëzimit, për shembull, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Këtu janë shembuj të tjerë:
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
-
Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë treguesit e tyre mblidhen (baza nuk ndryshon). Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen x 2 ∗ x 5 (\shfaqja e stilit x^(2)*x^(5)). Në këtë rast, ju vetëm duhet të shtoni treguesit, duke e lënë bazën të pandryshuar. Kështu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Këtu është një shpjegim vizual i këtij rregulli:
Kur rritet një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen. Për shembull, jepet një diplomë. Meqenëse eksponentët shumëzohen, atëherë (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Qëllimi i këtij rregulli është që ju të shumëzoni me fuqi (x 2) (\displaystyle (x^(2))) në vetvete pesë herë. Si kjo:
- (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- Meqenëse baza është e njëjtë, eksponentët thjesht mblidhen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
-
Shkalla c tregues negativ duhet të konvertohet në një fraksion (fuqi e kundërt). Nuk ka rëndësi nëse nuk e dini se çfarë është një diplomë reciproke. Nëse ju jepet një shkallë me një eksponent negativ, p.sh. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), shkruaje këtë shkallë në emëruesin e thyesës (vendos 1 në numërues) dhe bëje eksponentin pozitiv. Në shembullin tonë: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Këtu janë shembuj të tjerë:
Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, eksponentët e tyre zbriten (baza nuk ndryshon). Operacioni i pjesëtimit është i kundërt i operacionit të shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Zbrisni eksponentin në emërues nga eksponenti në numërues (mos e ndryshoni bazën). Kështu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- Fuqia në emërues mund të shkruhet si më poshtë: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Mos harroni se një thyesë është një numër (fuqi, shprehje) me një eksponent negativ.
-
Më poshtë janë disa shprehje që do t'ju ndihmojnë të mësoni të zgjidhni problemet me eksponentë. Shprehjet e dhëna mbulojnë materialin e paraqitur në këtë pjesë. Për të parë përgjigjen, thjesht theksoni hapësirë boshe pas shenjës së barazimit.
Zgjidhja e problemave me eksponentë thyesorë
-
Një fuqi me një eksponent thyesor (për shembull, ) konvertohet në një operacion rrënjë. Në shembullin tonë: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Nuk ka rëndësi se cili numër është në emërues. tregues i pjesshëm gradë. Për shembull, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- është rrënja e katërt e "x", domethënë x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
-
Nëse eksponenti është thyesë e papërshtatshme, atëherë një shkallë e tillë mund të zbërthehet në dy shkallë për të thjeshtuar zgjidhjen e problemit. Nuk ka asgjë të komplikuar për këtë - thjesht mbani mend rregullin e shumëzimit të fuqive. Për shembull, jepet një diplomë. Shndërroni një fuqi të tillë në një rrënjë, fuqia e së cilës është e barabartë me emëruesin e eksponentit thyesor, dhe pastaj ngrijeni këtë rrënjë në një fuqi të barabartë me numëruesin e eksponentit thyesor. Për ta bërë këtë, mbani mend atë = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)
- . Në shembullin tonë:
- x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
- (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- Disa kalkulatorë kanë një buton për të llogaritur eksponentë (së pari duhet të futni bazën, më pas të shtypni butonin dhe më pas të futni eksponentin). Ajo shënohet si ^ ose x^y. Mos harroni se çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten, për shembull, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Për më tepër, çdo numër i shumëzuar ose pjesëtuar me një është i barabartë me vetveten, p.sh. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Dhe.
- 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Dije se fuqia 0 0 nuk ekziston (një fuqi e tillë nuk ka zgjidhje). Nëse përpiqeni të zgjidhni një diplomë të tillë në një kalkulator ose në një kompjuter, do të merrni një gabim. Por mbani mend se çdo numër me fuqinë zero është 1, për shembull,
- 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) NË matematikë e lartë , e cila operon: numra imagjinarë e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Ku i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))
; e është një konstante afërsisht e barabartë me 2.7; a është një konstante arbitrare. Dëshmia e kësaj barazie mund të gjendet në çdo tekst shkollor të matematikës së lartë.
- Paralajmërimet
-
Shumëzoni bazën e fuqisë në vetvete me numrin e herë e barabartë me treguesin gradë. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem të fuqisë me dorë, rishkruani fuqinë si një operacion shumëzimi, ku baza e fuqisë shumëzohet vetvetiu. Për shembull, duke marrë një diplomë 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Në këtë rast, baza e fuqisë 3 duhet të shumëzohet në vetvete 4 herë: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Këtu janë shembuj të tjerë:
Së pari, shumëzoni dy numrat e parë. Për shembull, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Mos u shqetësoni - procesi i llogaritjes nuk është aq i komplikuar sa duket në shikim të parë. Fillimisht shumëzoni dy katërkat e para dhe më pas zëvendësojini me rezultatin. Si kjo:
Me rritjen e eksponentit, vlera e tij rritet shumë. Pra, nëse përgjigja ju duket e gabuar, mund të jetë në të vërtetë e saktë. Ju mund ta provoni këtë duke paraqitur grafikun e çdo funksioni eksponencial, si p.sh. 2 x.
§ 1 Koncepti i thjeshtimit të një shprehjeje fjalë për fjalë Në këtë mësim do të njihemi me konceptin " terma të ngjashëm
"dhe duke përdorur shembuj do të mësojmë se si të zvogëlojmë termat e ngjashëm, duke thjeshtuar kështu shprehjet fjalë për fjalë. Le të zbulojmë kuptimin e konceptit "thjeshtim". Fjala "thjeshtim" rrjedh nga fjala "thjeshtoj". Të thjeshtosh do të thotë të bësh të thjeshtë, më të thjeshtë. Prandaj, të thjeshtosh një shprehje fjalë për fjalë do të thotë ta bësh atë më të shkurtër, me sasi minimale
Merrni parasysh shprehjen 9x + 4x. Kjo është një shprehje fjalë për fjalë që është një shumë. Termat këtu paraqiten si prodhime të një numri dhe një shkronje. Faktori numerik i termave të tillë quhet koeficient. Në këtë shprehje, koeficientët do të jenë numrat 9 dhe 4. Ju lutemi vini re se faktori i përfaqësuar nga shkronja është i njëjtë në të dy termat e kësaj shume.
Le të kujtojmë ligjin shpërndarës të shumëzimit:
Për të shumëzuar një shumë me një numër, mund të shumëzoni çdo term me atë numër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.
4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) pamje e përgjithshme shkruhet si më poshtë: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Ky ligj është i vërtetë në të dy drejtimet ac + bc = (a + b) ∙ c
Le ta zbatojmë atë në shprehjen tonë të mirëfilltë: shuma e prodhimeve të 9x dhe 4x është e barabartë me produktin faktori i parë i të cilit është e barabartë me shumën 9 dhe 4, faktori i dytë është x.
9 + 4 = 13, kjo është 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
Në vend të tre veprimeve në shprehje, ka mbetur vetëm një veprim - shumëzimi. Kjo do të thotë se ne e kemi bërë më të thjeshtë shprehjen tonë fjalë për fjalë, d.m.th. e thjeshtoi atë.
§ 2 Reduktimi i termave të ngjashëm
Termat 9x dhe 4x ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre - terma të tillë quhen të ngjashëm. Pjesa e shkronjave të termave të ngjashëm është e njëjtë. Termat e ngjashëm përfshijnë gjithashtu numra dhe terma të barabartë.
Për shembull, në shprehjen 9a + 12 - 15 terma të ngjashëm do të jenë numrat 12 dhe -15, dhe në shumën e prodhimit të 12 dhe 6a, numri 14 dhe produkti i 12 dhe 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) termat e barabartë të paraqitur nga prodhimi i 12 dhe 6a.
Është e rëndësishme të theksohet se termat koeficientët e të cilëve janë të barabartë, por faktorët e shkronjave të të cilëve janë të ndryshëm, nuk janë të ngjashëm, megjithëse ndonjëherë është e dobishme të zbatohet ligji shpërndarës i shumëzimit ndaj tyre, për shembull, shuma e prodhimeve 5x dhe 5y është e barabartë me prodhimin e numrit 5 dhe shumës së x dhe y
5x + 5y = 5 (x + y).
Le të thjeshtojmë shprehjen -9a + 15a - 4 + 10.
Terma të ngjashëm në në këtë rast janë termat -9a dhe 15a, pasi ato ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre. Shumëzuesi i shkronjave të tyre është i njëjtë, dhe termat -4 dhe 10 janë gjithashtu të ngjashëm, pasi janë numra. Shtoni terma të ngjashëm:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Ne marrim: 6a + 6.
Duke e thjeshtuar shprehjen, gjetëm shumat e termave të ngjashëm në matematikë, kjo quhet reduktim i termave të ngjashëm;
Nëse shtimi i termave të tillë është i vështirë, mund të gjeni fjalë për to dhe të shtoni objekte.
Për shembull, merrni parasysh shprehjen:
Për çdo shkronjë marrim objektin tonë: b-mollë, c-dardhë, pastaj marrim: 2 mollë minus 5 dardha plus 8 dardha.
A mund të zbresim dardhat nga mollët? Sigurisht që jo. Por ne mund të shtojmë 8 dardha në minus 5 dardha.
Le të paraqesim terma të ngjashëm -5 dardha + 8 dardha. Termat e ngjashëm kanë të njëjtën pjesë shkronjash, kështu që kur sjellni terma të ngjashëm mjafton të shtoni koeficientët dhe të shtoni pjesën e shkronjës në rezultat:
(-5 + 8) dardha - ju merrni 3 dardha.
Duke iu rikthyer shprehjes tonë të mirëfilltë, kemi -5 s + 8 s = 3 s. Kështu, pasi sjellim terma të ngjashëm, fitojmë shprehjen 2b + 3c.
Pra, në këtë mësim ju u njohët me konceptin e "termave të ngjashëm" dhe mësuat se si të thjeshtoni shprehjet e shkronjave duke reduktuar termat e ngjashëm.
Lista e literaturës së përdorur:
- Matematika. Klasa e 6-të: planet e mësimit tek teksti shkollor I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-përpilues L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. Klasa e 6-të: Libër mësuesi për nxënës institucionet arsimore. I.I Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dhe të tjerët / redaktuar nga G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademia Ruse e Shkencave, Akademia Ruse e Arsimit. M.: "Iluminizmi", 2010.
- Matematika. Klasa e 6-të: studimi për institucionet arsimore të përgjithshme/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.
Imazhet e përdorura:
Çdo gjuhë mund të shprehë të njëjtin informacion me fjalë të ndryshme dhe revolucionet. Gjuha matematikore nuk bën përjashtim. Por e njëjta shprehje mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente në mënyra të ndryshme. Dhe në disa situata, një nga hyrjet është më e thjeshtë. Ne do të flasim për thjeshtimin e shprehjeve në këtë mësim.
Njerëzit komunikojnë në gjuhë të ndryshme. Për ne, një krahasim i rëndësishëm është çifti "Gjuha ruse - gjuha matematikore". I njëjti informacion mund të komunikohet në gjuhë të ndryshme. Por, përveç kësaj, ajo mund të shqiptohet në mënyra të ndryshme në një gjuhë.
Për shembull: "Petya është miq me Vasya", "Vasya është mike me Petya", "Petya dhe Vasya janë miq". Tha ndryshe, por e njëjta gjë. Nga ndonjë prej këtyre frazave do të kuptonim se për çfarë po flasim.
Le të shohim këtë frazë: "Djali Petya dhe djali Vasya janë miq." E kuptojmë se çfarë nënkuptojmë ne po flasim për. Megjithatë, nuk na pëlqen tingulli i kësaj fraze. A nuk mund ta thjeshtojmë, të themi të njëjtën gjë, por më të thjeshtë? "Djali dhe djali" - mund të thuash një herë: "Djemtë Petya dhe Vasya janë miq."
“Djemtë”... A nuk kuptohet nga emrat e tyre që nuk janë vajza? Ne heqim "djemtë": "Petya dhe Vasya janë miq". Dhe fjala "miq" mund të zëvendësohet me "miq": "Petya dhe Vasya janë miq". Si rezultat, fraza e parë, e gjatë dhe e shëmtuar u zëvendësua me një deklaratë ekuivalente që është më e lehtë për t'u thënë dhe më e lehtë për t'u kuptuar. Ne e kemi thjeshtuar këtë frazë. Të thjeshtosh do të thotë ta thuash më thjeshtë, por jo të humbasësh apo shtrembërosh kuptimin.
4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) gjuha matematikore përafërsisht e njëjta gjë ndodh. E njëjta gjë mund të thuhet, e shkruar ndryshe. Çfarë do të thotë të thjeshtosh një shprehje? Kjo do të thotë se për shprehjen origjinale ka shumë shprehje ekuivalente, domethënë ato që nënkuptojnë të njëjtën gjë. Dhe nga gjithë kjo shumëllojshmëri ne duhet të zgjedhim më të thjeshtën, sipas mendimit tonë, ose më të përshtatshmet për qëllimet tona të mëtejshme.
Për shembull, merrni parasysh shprehjen numerike . Do të jetë e barabartë me.
Do të jetë gjithashtu e barabartë me dy të parat: .
Rezulton se ne kemi thjeshtuar shprehjet tona dhe kemi gjetur shprehjen më të shkurtër ekuivalente.
Për shprehjet numerike, gjithmonë duhet të bëni gjithçka dhe të merrni shprehjen ekuivalente si një numër të vetëm.
Le të shohim një shembull të një shprehjeje fjalë për fjalë . Natyrisht, do të jetë më e thjeshtë.
Kur thjeshtohet shprehje fjalë për fjalëështë e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet e mundshme.
A është gjithmonë e nevojshme të thjeshtohet një shprehje? Jo, ndonjëherë do të jetë më e përshtatshme për ne që të kemi një hyrje të barabartë, por më të gjatë.
Shembull: Duhet të zbrisni një numër nga një numër.
Mund të llogaritet, por nëse numri i parë përfaqësohej nga ai shënim ekuivalent: , atëherë llogaritjet do të ishin të menjëhershme: .
Kjo do të thotë, një shprehje e thjeshtuar nuk është gjithmonë e dobishme për ne për llogaritjet e mëtejshme.
Sidoqoftë, shumë shpesh ne përballemi me një detyrë që tingëllon si "thjeshtoni shprehjen".
Thjeshtoni shprehjen: .
Zgjidhje
1) Kryeni veprimet në kllapat e parë dhe të dytë: .
2) Le të llogarisim produktet: .
Natyrisht, shprehja e fundit ka një formë më të thjeshtë se ajo fillestare. E kemi thjeshtuar.
Për të thjeshtuar shprehjen, ajo duhet të zëvendësohet me një ekuivalente (e barabartë).
Për të përcaktuar shprehjen ekuivalente ju nevojitet:
1) kryeni të gjitha veprimet e mundshme,
2) përdorni vetitë e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit për të thjeshtuar llogaritjet.
Vetitë e mbledhjes dhe zbritjes:
1. Vetia komutative e mbledhjes: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën.
2. Vetia kombinuese e mbledhjes: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy numrave, mund të shtoni shumën e numrave të dytë dhe të tretë në numrin e parë.
3. Vetia e zbritjes së një shume nga një numër: për të zbritur një shumë nga një numër, ju mund të zbrisni çdo term veç e veç.
Vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit
1. Vetia komutative e shumëzimit: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon prodhimin.
2. Vetia kombinuese: për të shumëzuar një numër me produktin e dy numrave, fillimisht mund ta shumëzoni me faktorin e parë dhe më pas produktin që rezulton me faktorin e dytë.
3. Prona shpërndarëse shumëzim: për të shumëzuar një numër me një shumë, duhet ta shumëzoni atë me secilën shtesë veç e veç.
Le të shohim se si i bëjmë në të vërtetë llogaritjet mendore.
Llogaritni:
Zgjidhje
1) Le të imagjinojmë se si
2) Le të imagjinojmë faktorin e parë si një shumë të termave bit dhe të kryejmë shumëzimin:
3) ju mund të imagjinoni se si dhe të kryeni shumëzimin:
4) Zëvendësoni faktorin e parë me një shumë ekuivalente:
Ligji shpërndarës mund të përdoret gjithashtu në ana e kundërt: .
Ndiqni këto hapa:
1) 2)
Zgjidhje
1) Për lehtësi, mund të përdorni ligjin shpërndarës, por përdorni atë në drejtim të kundërt - hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat.
2) Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat
Është e nevojshme të blini linoleum për kuzhinë dhe korridor. Zona e kuzhinës - , korridori - . Ekzistojnë tre lloje të linoleumeve: për, dhe rubla për. Sa do të kushtojë secila? tre lloje linoleum? (Fig. 1)
Oriz. 1. Ilustrim për deklaratën e problemit
Zgjidhje
Metoda 1. Mund të zbuloni veçmas se sa para do të nevojiten për të blerë linoleum për kuzhinë, dhe më pas vendoseni në korridor dhe shtoni produktet që rezultojnë.
Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për
Shpesh dëgjojmë këtë frazë të pakëndshme: "Thjeshtoni shprehjen." Zakonisht ne shohim një lloj përbindëshi si ky:
"Është shumë më e thjeshtë," themi ne, por një përgjigje e tillë zakonisht nuk funksionon.
Tani do t'ju mësoj të mos keni frikë nga asnjë detyrë e tillë.
Për më tepër, në fund të mësimit ju do ta thjeshtoni këtë shembull në (vetëm!) numër i rregullt(po, në ferr me këto letra).
Por para se të filloni këtë aktivitet, duhet të jeni në gjendje trajtojnë fraksionet 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) polinomet e faktorit.
Prandaj, nëse nuk e keni bërë këtë më parë, sigurohuni që të zotëroni temat "" dhe "".
E keni lexuar? Nëse po, atëherë ju jeni gati.
Le të shkojmë (Le të shkojmë!)
Operacionet e thjeshtimit të shprehjeve bazë
Tani le të shohim teknikat bazë që përdoren për të thjeshtuar shprehjet.
Më e thjeshta është
1. Sjellja e ngjashme
Cilat janë të ngjashme? Ju e morët këtë në klasën e 7-të, kur shkronjat në vend të numrave u shfaqën për herë të parë në matematikë.
Të ngjashme- këto janë terma (monome) me të njëjtën pjesë shkronjash.
Për shembull, në shumë, terma të ngjashëm janë dhe.
A ju kujtohet?
Jep të ngjashme- nënkupton shtimin e disa termave të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe marrjen e një termi.
Si mund t'i bashkojmë shkronjat? - pyet ti.
Kjo është shumë e lehtë për t'u kuptuar nëse imagjinoni se shkronjat janë një lloj objekti.
Për shembull, një letër është një karrige. Atëherë me çfarë është e barabartë shprehja?
Dy karrige plus tre karrige, sa do të jenë? Ashtu është, karriget: .
Tani provoni këtë shprehje: .
Për të shmangur konfuzionin, le shkronja të ndryshme përfaqësojnë objekte të ndryshme.
Për shembull, - është (si zakonisht) një karrige, dhe - është një tavolinë.
karrige tavolina karrige tavolina karrige karrige tavolina
Numrat me të cilët shumëzohen shkronjat në terma të tillë quhen koeficientët.
Për shembull, në një monom koeficienti është i barabartë. Dhe në të është e barabartë.
Pra, rregulli për sjelljen e të ngjashmeve është:
Shembuj:
Jepni të ngjashme:
Përgjigjet:
2. (dhe të ngjashme, pasi, pra, këto terma kanë të njëjtën pjesë shkronjash).
2. Faktorizimi
Kjo është zakonisht pjesa më e rëndësishme në thjeshtimin e shprehjeve.
Pasi të keni dhënë të ngjashme, më shpesh nevojitet shprehja që rezulton faktorizoj, pra paraqitet në formën e një produkti.
Sidomos kjo e rëndësishme në thyesa: në fund të fundit, për të qenë në gjendje të zvogëloni thyesën, Numëruesi dhe emëruesi duhet të paraqiten si prodhim.
Ju keni kaluar në detaje metodat e faktorizimit të shprehjeve në temën "", kështu që këtu thjesht duhet të mbani mend atë që keni mësuar.
Për ta bërë këtë, zgjidhni disa shembuj (duhet t'i faktorizoni ato)
Shembuj:
Zgjidhjet:
3. Zvogëlimi i një thyese.
Epo, çfarë mund të jetë më e këndshme sesa të kryqëzoni një pjesë të numëruesit dhe emëruesit dhe t'i hidhni ato nga jeta juaj?
Kjo është bukuria e zvogëlimit.
Është e thjeshtë:
Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtët faktorë, ata mund të reduktohen, domethënë të hiqen nga thyesa.
Ky rregull rrjedh nga vetia themelore e një thyese:
Kjo do të thotë, thelbi i operacionit të reduktimit është se Numëruesin dhe emëruesin e thyesës e ndajmë me të njëjtin numër (ose me të njëjtën shprehje).
Për të zvogëluar një fraksion ju duhet:
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë faktorët e përbashkët , ato mund të kryqëzohen.
Shembuj:
Parimi, mendoj, është i qartë?
Unë do të doja të tërheq vëmendjen tuaj për një gjë gabim tipik kur kontraktohet. Edhe pse kjo temë është e thjeshtë, shumë njerëz bëjnë gjithçka gabim, duke mos e kuptuar këtë zvogëloni- kjo do të thotë ndajnë numëruesi dhe emëruesi janë i njëjti numër.
Nuk ka shkurtesa nëse numëruesi ose emëruesi është një shumë.
Për shembull: ne duhet të thjeshtojmë.
Disa njerëz e bëjnë këtë: gjë që është absolutisht e gabuar.
Një shembull tjetër: zvogëloni.
"Më i zgjuari" do ta bëjë këtë:
Më thuaj çfarë nuk shkon këtu? Do të duket: - ky është një shumëzues, që do të thotë se mund të reduktohet.
Por jo: - ky është një faktor i vetëm një termi në numërues, por vetë numëruesi në tërësi nuk është i faktorizuar.
Ja një shembull tjetër: .
Kjo shprehje është e faktorizuar, që do të thotë se mund ta zvogëloni atë, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin me, dhe më pas me:
Mund ta ndani menjëherë në:
Për të shmangur gabime të tilla, mbani mend mënyrë e lehtë si të përcaktohet nëse një shprehje është faktorizuar:
Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master".
Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar).
Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).
Për ta përforcuar këtë, zgjidhni vetë disa shembuj:
Shembuj:
Zgjidhjet:
4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
Mbledhja dhe zbritja thyesat e zakonshme- veprimi është i njohur: kërkojmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit.
Le të kujtojmë:
Përgjigjet:
1. Emëruesit dhe janë relativisht të thjeshtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:
2. Këtu emëruesi i përbashkët është:
3. Gjëja e parë këtu thyesat e përziera ne i kthejmë ato në të pasakta dhe më pas ndjekim modelin e zakonshëm:
Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:
Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:
a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja
Gjithçka këtu është e njëjtë si me e zakonshme thyesat numerike: gjeni emëruesin e përbashkët, shumëzojeni secilën thyesë me faktorin që mungon dhe shtoni/zbrisni numëruesit:
Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:
Provojeni vetë:
Përgjigjet:
b) Emëruesit përmbajnë shkronja
Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:
· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;
· pastaj shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;
· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.
Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:
Le të theksojmë faktorët e përbashkët:
Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):
Ky është emëruesi i përbashkët.
Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:
· faktorizoni emëruesit;
· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);
· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;
· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të përbashkët.
Pra, me radhë:
1) faktorizoni emëruesit:
2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):
3) shkruani të gjithë faktorët e përbashkët një herë dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të patheksuar):
Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta - me:
Nga rruga, ekziston një mashtrim:
Për shembull: .
Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:
deri në një shkallë
deri në një shkallë
deri në një shkallë
deri në një shkallë.
Le ta komplikojmë detyrën:
Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?
Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:
Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!
Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?
Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:
Kur i reduktoni thyesat në emërues i përbashkët, përdorni vetëm operacionin e shumëzimit!
Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?
Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:
Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar".
Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.
Po shprehja? Është elementare?
Jo, sepse mund të faktorizohet:
(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").
Pra, faktorët elementar në të cilët zgjeroni shprehjen me shkronja janë një analog faktorët kryesorë, në të cilën i zbërtheni numrat. Dhe ne do të merremi me ta në të njëjtën mënyrë.
Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).
Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:
Një shembull tjetër:
Zgjidhja:
Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:
E shkëlqyeshme! Pastaj:
Një shembull tjetër:
Zgjidhja:
Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:
Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:
Pra, le të shkruajmë:
Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës ne këmbyem termat, dhe në të njëjtën kohë shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.
Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:
E kuptove? Le ta kontrollojmë tani.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Përgjigjet:
5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.
Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:
Procedura
Cila është procedura e numërimit? shprehje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:
A keni numëruar?
Duhet të funksionojë.
Pra, më lejoni t'ju kujtoj.
Hapi i parë është llogaritja e shkallës.
E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo mënyrë.
Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.
Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!
Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.
Po sikur të ketë më shumë kllapa brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Kur llogaritni një shprehje, çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapat. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.
Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):
Mirë, gjithçka është e thjeshtë.
Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?
Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të veprimet aritmetike ju duhet të bëni algjebrike, domethënë veprimet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim këtë kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për të faktorizuar, duhet të përdorni I ose thjesht të vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave.
Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë shprehjen si produkt ose koeficient.
Për shembull:
Le të thjeshtojmë shprehjen.
1) Së pari, ne thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi një diferencë thyesash dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose koeficient. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:
Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).
2) Ne marrim:
Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.
3) Tani mund të shkurtoni:
Epo, kjo është e gjitha. Asgjë e komplikuar, apo jo?
Një shembull tjetër:
Thjeshtoni shprehjen.
Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.
Zgjidhja:
Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve.
Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një.
Pastaj do të bëjmë ndarjen e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit.
Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:
Së fundi, unë do t'ju jap dy këshilla të dobishme:
1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.
2. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat reduktuese: sapo të shfaqet mundësia për të reduktuar, duhet të përfitohet. Përjashtim është për thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë emërues të njëjtë, atëherë reduktimi duhet lënë për më vonë.
Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:
Dhe çfarë u premtua në fillim:
Përgjigjet:
Zgjidhjet (e shkurtër):
Nëse keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë e keni zotëruar temën.
Tani për të mësuar!
KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE
Operacionet themelore të thjeshtimit:
- Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
- Faktorizimi: nxjerrja jashtë kllapave të faktorit të përbashkët, zbatimi i tij etj.
- Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
- Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
; - Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!