Llogaritësi i shprehjes së shkronjave. Llogaritësi inxhinierik

Fuqia përdoret për të thjeshtuar funksionimin e shumëzimit të një numri në vetvete. Për shembull, në vend që të shkruani, mund të shkruani 4 5 (\displaystyle 4^(5))(një shpjegim për këtë tranzicion është dhënë në pjesën e parë të këtij neni). Diplomat e bëjnë më të lehtë shkrimin e gjatë ose shprehje komplekse ose ekuacionet; fuqitë janë gjithashtu të lehta për t'u shtuar dhe zbritur, duke rezultuar në një shprehje ose ekuacion të thjeshtuar (për shembull, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Shënim: nëse duhet të vendosni ekuacioni eksponencial(në një ekuacion të tillë e panjohura është në eksponent), lexo.

Hapat

Zgjidhja e problemeve të thjeshta me gradë

Shumëzoni bazën e fuqisë në vetvete me numrin e herë e barabartë me treguesin gradë. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem të fuqisë me dorë, rishkruani fuqinë si një operacion shumëzimi, ku baza e fuqisë shumëzohet vetvetiu. Për shembull, duke marrë një diplomë 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Në këtë rast, baza e fuqisë 3 duhet të shumëzohet në vetvete 4 herë: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Këtu janë shembuj të tjerë:

Së pari, shumëzoni dy numrat e parë. Për shembull, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Mos u shqetësoni - procesi i llogaritjes nuk është aq i komplikuar sa duket në shikim të parë. Fillimisht shumëzoni dy katërkat e para dhe më pas zëvendësojini me rezultatin. Si kjo:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Shumëzoni rezultatin (16 në shembullin tonë) me numrin tjetër.Çdo rezultat pasues do të rritet proporcionalisht. Në shembullin tonë, shumëzojeni 16 me 4. Si kjo:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Vazhdoni të shumëzoni rezultatin e dy numrave të parë me numrin tjetër derisa të merrni përgjigjen tuaj përfundimtare. Për ta bërë këtë, shumëzoni dy numrat e parë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me numrin tjetër në sekuencë. Kjo metodë është e vlefshme për çdo diplomë. Në shembullin tonë duhet të merrni: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Zgjidh problemet e mëposhtme. Kontrolloni përgjigjen tuaj duke përdorur një kalkulator.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Në kalkulatorin tuaj, kërkoni çelësin e emërtuar "exp" ose " x n (\displaystyle x^(n))", ose "^". Duke përdorur këtë çelës, ju do të ngrini një numër në një fuqi. Llogaritni shkallën c një tregues i madh me dorë është pothuajse e pamundur (për shembull, shkalla 9 15 (\displaystyle 9^(15))), por kalkulatori mund ta përballojë lehtësisht këtë detyrë. Në Windows 7, kalkulatori standard mund të kalohet në modalitetin inxhinierik; Për ta bërë këtë, klikoni "Shiko" -> "Inxhinieri". Për të kaluar në modalitetin normal, klikoni "Shiko" -> "Normal".
- Kontrolloni përgjigjen tuaj duke përdorur motor kërkimi(Google ose Yandex). Duke përdorur tastin "^" në tastierën e kompjuterit tuaj, futni shprehjen në motorin e kërkimit, i cili do të shfaqë menjëherë përgjigjen e saktë (dhe ndoshta do t'ju sugjerojë shprehje të ngjashme për t'u studiuar).
Mbledhja, zbritja, shumëzimi i fuqive
1. Ju mund të shtoni dhe zbritni shkallë vetëm nëse ato kanë të njëjtat baza. Nëse duhet të shtoni fuqi me të njëjtat baza dhe eksponentë, atëherë mund ta zëvendësoni veprimin e mbledhjes me operacionin e shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Mos harroni se diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) mund të paraqitet në formë 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Kështu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ku 1 +1 =2). Kjo do të thotë, numëroni numrin e shkallëve të ngjashme, dhe pastaj shumëzoni atë shkallë dhe këtë numër. Në shembullin tonë, ngrini 4 në fuqinë e pestë dhe më pas shumëzoni rezultatin që rezulton me 2. Mos harroni se operacioni i mbledhjes mund të zëvendësohet nga operacioni i shumëzimit, për shembull, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Këtu janë shembuj të tjerë:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë treguesit e tyre mblidhen (baza nuk ndryshon). Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen x 2 ∗ x 5 (\shfaqja e stilit x^(2)*x^(5)). Në këtë rast, ju vetëm duhet të shtoni treguesit, duke e lënë bazën të pandryshuar. Kështu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Këtu është një shpjegim vizual i këtij rregulli:
  
  Kur rritet një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen. Për shembull, jepet një diplomë. Meqenëse eksponentët shumëzohen, atëherë (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Qëllimi i këtij rregulli është që ju të shumëzoni me fuqi (x 2) (\displaystyle (x^(2))) në vetvete pesë herë. Si kjo:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Meqenëse baza është e njëjtë, eksponentët thjesht mblidhen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Shkalla c tregues negativ duhet të konvertohet në një fraksion (fuqi e kundërt). Nuk ka rëndësi nëse nuk e dini se çfarë është një diplomë reciproke. Nëse ju jepet një shkallë me një eksponent negativ, p.sh. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), shkruaje këtë shkallë në emëruesin e thyesës (vendos 1 në numërues) dhe bëje eksponentin pozitiv. Në shembullin tonë: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Këtu janë shembuj të tjerë:
  
  Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, eksponentët e tyre zbriten (baza nuk ndryshon). Operacioni i pjesëtimit është i kundërt i operacionit të shumëzimit. Për shembull, duke pasur parasysh shprehjen 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Zbrisni eksponentin në emërues nga eksponenti në numërues (mos e ndryshoni bazën). Kështu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Fuqia në emërues mund të shkruhet si më poshtë: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Mos harroni se një thyesë është një numër (fuqi, shprehje) me një eksponent negativ.
4. Më poshtë janë disa shprehje që do t'ju ndihmojnë të mësoni të zgjidhni problemet me eksponentë. Shprehjet e dhëna mbulojnë materialin e paraqitur në këtë pjesë. Për të parë përgjigjen, thjesht theksoni hapësirë boshe pas shenjës së barazimit.
  
  Zgjidhja e problemave me eksponentë thyesorë
  1. Një fuqi me një eksponent thyesor (për shembull, ) konvertohet në një operacion rrënjë. Në shembullin tonë: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Nuk ka rëndësi se cili numër është në emërues. tregues i pjesshëm gradë. Për shembull, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- është rrënja e katërt e "x", domethënë x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
  2. Nëse eksponenti është thyesë e papërshtatshme, atëherë një shkallë e tillë mund të zbërthehet në dy shkallë për të thjeshtuar zgjidhjen e problemit. Nuk ka asgjë të komplikuar për këtë - thjesht mbani mend rregullin e shumëzimit të fuqive. Për shembull, jepet një diplomë. Shndërroni një fuqi të tillë në një rrënjë, fuqia e së cilës është e barabartë me emëruesin e eksponentit thyesor, dhe pastaj ngrijeni këtë rrënjë në një fuqi të barabartë me numëruesin e eksponentit thyesor. Për ta bërë këtë, mbani mend atë = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)
    - . Në shembullin tonë:
    - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
    - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
  3. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
  4. Disa kalkulatorë kanë një buton për të llogaritur eksponentë (së pari duhet të futni bazën, më pas të shtypni butonin dhe më pas të futni eksponentin). Ajo shënohet si ^ ose x^y. Mos harroni se çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten, për shembull, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Për më tepër, çdo numër i shumëzuar ose pjesëtuar me një është i barabartë me vetveten, p.sh. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Dhe.
  5. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Dije se fuqia 0 0 nuk ekziston (një fuqi e tillë nuk ka zgjidhje). Nëse përpiqeni të zgjidhni një diplomë të tillë në një kalkulator ose në një kompjuter, do të merrni një gabim. Por mbani mend se çdo numër me fuqinë zero është 1, për shembull,
  6. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) NË matematikë e lartë , e cila operon: numra imagjinarë e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Ku i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))
  - Paralajmërimet

Me rritjen e eksponentit, vlera e tij rritet shumë. Pra, nëse përgjigja ju duket e gabuar, mund të jetë në të vërtetë e saktë. Ju mund ta provoni këtë duke paraqitur grafikun e çdo funksioni eksponencial, si p.sh. 2 x.

§ 1 Koncepti i thjeshtimit të një shprehjeje fjalë për fjalë Në këtë mësim do të njihemi me konceptin " terma të ngjashëm

"dhe duke përdorur shembuj do të mësojmë se si të zvogëlojmë termat e ngjashëm, duke thjeshtuar kështu shprehjet fjalë për fjalë. Le të zbulojmë kuptimin e konceptit "thjeshtim". Fjala "thjeshtim" rrjedh nga fjala "thjeshtoj". Të thjeshtosh do të thotë të bësh të thjeshtë, më të thjeshtë. Prandaj, të thjeshtosh një shprehje fjalë për fjalë do të thotë ta bësh atë më të shkurtër, me sasi minimale

Merrni parasysh shprehjen 9x + 4x. Kjo është një shprehje fjalë për fjalë që është një shumë. Termat këtu paraqiten si prodhime të një numri dhe një shkronje. Faktori numerik i termave të tillë quhet koeficient. Në këtë shprehje, koeficientët do të jenë numrat 9 dhe 4. Ju lutemi vini re se faktori i përfaqësuar nga shkronja është i njëjtë në të dy termat e kësaj shume.

Le të kujtojmë ligjin shpërndarës të shumëzimit:

Për të shumëzuar një shumë me një numër, mund të shumëzoni çdo term me atë numër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) pamje e përgjithshme shkruhet si më poshtë: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ky ligj është i vërtetë në të dy drejtimet ac + bc = (a + b) ∙ c

Le ta zbatojmë atë në shprehjen tonë të mirëfilltë: shuma e prodhimeve të 9x dhe 4x është e barabartë me produktin faktori i parë i të cilit është e barabartë me shumën 9 dhe 4, faktori i dytë është x.

9 + 4 = 13, kjo është 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Në vend të tre veprimeve në shprehje, ka mbetur vetëm një veprim - shumëzimi. Kjo do të thotë se ne e kemi bërë më të thjeshtë shprehjen tonë fjalë për fjalë, d.m.th. e thjeshtoi atë.

§ 2 Reduktimi i termave të ngjashëm

Termat 9x dhe 4x ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre - terma të tillë quhen të ngjashëm. Pjesa e shkronjave të termave të ngjashëm është e njëjtë. Termat e ngjashëm përfshijnë gjithashtu numra dhe terma të barabartë.

Për shembull, në shprehjen 9a + 12 - 15 terma të ngjashëm do të jenë numrat 12 dhe -15, dhe në shumën e prodhimit të 12 dhe 6a, numri 14 dhe produkti i 12 dhe 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) termat e barabartë të paraqitur nga prodhimi i 12 dhe 6a.

Është e rëndësishme të theksohet se termat koeficientët e të cilëve janë të barabartë, por faktorët e shkronjave të të cilëve janë të ndryshëm, nuk janë të ngjashëm, megjithëse ndonjëherë është e dobishme të zbatohet ligji shpërndarës i shumëzimit ndaj tyre, për shembull, shuma e prodhimeve 5x dhe 5y është e barabartë me prodhimin e numrit 5 dhe shumës së x dhe y

5x + 5y = 5 (x + y).

Le të thjeshtojmë shprehjen -9a + 15a - 4 + 10.

Terma të ngjashëm në në këtë rast janë termat -9a dhe 15a, pasi ato ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre. Shumëzuesi i shkronjave të tyre është i njëjtë, dhe termat -4 dhe 10 janë gjithashtu të ngjashëm, pasi janë numra. Shtoni terma të ngjashëm:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Ne marrim: 6a + 6.

Duke e thjeshtuar shprehjen, gjetëm shumat e termave të ngjashëm në matematikë, kjo quhet reduktim i termave të ngjashëm;

Nëse shtimi i termave të tillë është i vështirë, mund të gjeni fjalë për to dhe të shtoni objekte.

Për shembull, merrni parasysh shprehjen:

Për çdo shkronjë marrim objektin tonë: b-mollë, c-dardhë, pastaj marrim: 2 mollë minus 5 dardha plus 8 dardha.

A mund të zbresim dardhat nga mollët? Sigurisht që jo. Por ne mund të shtojmë 8 dardha në minus 5 dardha.

Le të paraqesim terma të ngjashëm -5 dardha + 8 dardha. Termat e ngjashëm kanë të njëjtën pjesë shkronjash, kështu që kur sjellni terma të ngjashëm mjafton të shtoni koeficientët dhe të shtoni pjesën e shkronjës në rezultat:

(-5 + 8) dardha - ju merrni 3 dardha.

Duke iu rikthyer shprehjes tonë të mirëfilltë, kemi -5 s + 8 s = 3 s. Kështu, pasi sjellim terma të ngjashëm, fitojmë shprehjen 2b + 3c.

Pra, në këtë mësim ju u njohët me konceptin e "termave të ngjashëm" dhe mësuat se si të thjeshtoni shprehjet e shkronjave duke reduktuar termat e ngjashëm.

Lista e literaturës së përdorur:

Matematika. Klasa e 6-të: planet e mësimit tek teksti shkollor I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-përpilues L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
Matematika. Klasa e 6-të: Libër mësuesi për nxënës institucionet arsimore. I.I Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dhe të tjerët / redaktuar nga G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademia Ruse e Shkencave, Akademia Ruse e Arsimit. M.: "Iluminizmi", 2010.
Matematika. Klasa e 6-të: studimi për institucionet arsimore të përgjithshme/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Imazhet e përdorura:

Aplikimi

Zgjidhja e çdo lloj ekuacioni online në faqe për studentët dhe nxënësit e shkollës për të konsoliduar materialin e studiuar.. Zgjidhja e ekuacioneve online. Ekuacionet online. Ka ekuacione algjebrike, parametrike, transcendentale, funksionale, diferenciale dhe lloje të tjera të ekuacioneve vlerën e saktë rrënjë, por ju lejon të shkruani zgjidhjen në formën e një formule, e cila mund të përfshijë parametra. Shprehje analitike lejojnë jo vetëm llogaritjen e rrënjëve, por edhe analizimin e ekzistencës dhe sasisë së tyre në varësi të vlerave të parametrave, gjë që shpesh është edhe më e rëndësishme për aplikim praktik, si vlera specifike rrënjët Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Zgjidhja e një ekuacioni është detyra e gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve në të cilat arrihet kjo barazi. Aktiv vlerat e mundshme mund të imponohen argumente kushte shtesë(numër i plotë, real etj.). Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në internet menjëherë dhe me saktësi të lartë të rezultatit. Argumentet e funksioneve të specifikuara (ndonjëherë të quajtura "variabla") quhen "të panjohura" në rastin e një ekuacioni. Vlerat e të panjohurave në të cilat arrihet kjo barazi quhen zgjidhje ose rrënjë të këtij ekuacioni. Ata thonë për rrënjët që kënaqin këtë ekuacion. Të zgjidhësh një ekuacion në internet do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve (rrënjëve) të tij ose të provosh se nuk ka rrënjë. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ekuacionet, grupet e rrënjëve të të cilave përkojnë quhen ekuivalente ose të barabarta. Ekuivalente konsiderohen gjithashtu ekuivalente që nuk kanë rrënjë. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e simetrisë: nëse një ekuacion është ekuivalent me një tjetër, atëherë ekuacioni i dytë është i barabartë me të parin. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e kalueshmërisë: nëse një ekuacion është i barabartë me një tjetër, dhe i dyti është i barabartë me një të tretë, atëherë ekuacioni i parë është i barabartë me të tretin. Vetia e ekuivalencës së ekuacioneve na lejon të kryejmë transformime me to, në të cilat bazohen metodat për zgjidhjen e tyre. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Faqja do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionin në internet. Ekuacionet për të cilat njihen zgjidhjet analitike përfshijnë ekuacione algjebrike jo më të larta se shkalla e katërt: ekuacioni linear, ekuacioni kuadratik, ekuacion kub dhe një ekuacion të shkallës së katërt. Ekuacionet algjebrike diploma më të larta në rast i përgjithshëm zgjidhje analitike nuk kanë, megjithëse disa prej tyre mund të reduktohen në ekuacione të shkallëve më të ulëta. Ekuacionet që përfshijnë funksione transcendentale quhen transcendentale. Midis tyre, për disa janë të njohura zgjidhjet analitike ekuacionet trigonometrike, që nga zero funksionet trigonometrike i njohur mirë. Në rastin e përgjithshëm, kur nuk mund të gjendet një zgjidhje analitike, përdoren metoda numerike. Metodat numerike mos jepni një zgjidhje të saktë, por vetëm ju lejoni të ngushtoni intervalin në të cilin shtrihet rrënja në një të paracaktuar vlera e vendosur. Zgjidhja e ekuacioneve në internet.. Ekuacionet në internet.. Në vend të një ekuacioni në internet, ne do të imagjinojmë se si formohet e njëjta shprehje varësia lineare dhe jo vetëm përgjatë një tangjente të drejtë, por edhe në pikën e lakimit të grafikut. Kjo metodë është e domosdoshme në çdo kohë në studimin e lëndës. Shpesh ndodh që zgjidhja e ekuacioneve t'i afrohet vlerës përfundimtare me numra të pafund dhe regjistrimet vektoriale. Është e nevojshme të kontrollohen të dhënat fillestare dhe ky është thelbi i detyrës. Përndryshe gjendje lokale konvertohet në një formulë. Përmbysja përgjatë vijës së drejtë nga funksioni i dhënë, të cilin llogaritësi i ekuacionit do ta llogarisë pa shumë vonesa në ekzekutim, kompensimi do të shërbehet nga privilegji i hapësirës. Do të flasim për suksesin e studentëve në mjedisin shkencor. Megjithatë, si të gjitha sa më sipër, do të na ndihmojë në procesin e gjetjes dhe kur të zgjidhni plotësisht ekuacionin, ruani përgjigjen që rezulton në skajet e segmentit të drejtë. Drejtëzat në hapësirë priten në një pikë dhe kjo pikë quhet e prerë nga drejtëza. Intervali në linjë tregohet siç është specifikuar më parë. Do të publikohet postimi më i lartë për studimin e matematikës. Cakto vlerën e argumentit nga parametrikisht sipërfaqe e dhënë dhe zgjidhja e ekuacionit në internet do të jetë në gjendje të përshkruajë parimet e aksesit produktiv në funksion. Shiriti Möbius, ose pafundësia siç quhet, duket si një figurë tetë. Kjo është një sipërfaqe e njëanshme, jo e dyanshme. Sipas parimit të njohur përgjithësisht për të gjithë, ne do të pranojmë objektivisht ekuacionet lineare si emërtim bazë siç është në fushën e kërkimit. Vetëm dy vlera të argumenteve të dhëna në mënyrë sekuenciale janë në gjendje të zbulojnë drejtimin e vektorit. Duke supozuar se një zgjidhje tjetër për ekuacionet në internet është shumë më tepër sesa thjesht zgjidhja e saj do të thotë të merrni një version të plotë të invariantit si rezultat. pa qasje e integruarËshtë e vështirë për studentët të mësojnë këtë material. Si më parë, për çdo rast të veçantë, kalkulatori ynë i përshtatshëm dhe i zgjuar i ekuacionit në internet do t'i ndihmojë të gjithë në periudha të vështira, sepse thjesht duhet të specifikoni parametrat e hyrjes dhe vetë sistemi do të llogarisë përgjigjen. Përpara se të fillojmë futjen e të dhënave, do të na duhet një mjet input, i cili mund të bëhet pa shumë vështirësi. Numri i çdo vlerësimi të përgjigjes do të çojë në një ekuacion kuadratik për përfundimet tona, por kjo nuk është aq e lehtë për t'u bërë, sepse është e lehtë të vërtetohet e kundërta. Teoria, për shkak të karakteristikave të saj, nuk mbështetet njohuri praktike. Të shohësh një kalkulator fraksioni në fazën e publikimit të përgjigjes nuk është një detyrë e lehtë në matematikë, pasi alternativa e shkrimit të një numri në një grup ndihmon në rritjen e rritjes së funksionit. Megjithatë, do të ishte e gabuar të mos flasim për trajnimin e studentëve, kështu që secili do të themi aq sa duhet bërë. Ekuacioni kub i gjetur më parë me të drejtë do t'i përkasë fushës së përkufizimit dhe do të përmbajë hapësirën vlerat numerike, si dhe ndryshore simbolike. Pasi të kenë mësuar ose mësuar përmendësh teoremën, studentët tanë do ta provojnë veten vetëm me ana më e mirë, dhe ne do të jemi të lumtur për ta. Ndryshe nga kryqëzimet e shumta të fushës, ekuacionet tona online përshkruhen nga një plan lëvizjeje duke shumëzuar dy dhe tre vija të kombinuara numerike. Një grup në matematikë nuk është përcaktuar në mënyrë unike. Zgjidhja më e mirë, sipas studentëve, është regjistrimi i plotë i shprehjes. Siç u tha gjuha shkencore, abstragimi i shprehjeve simbolike nuk hyn në gjendjen e punëve, por zgjidhja e ekuacioneve jep një rezultat të paqartë në të gjitha rastet e njohura. Kohëzgjatja e mësimit të mësuesit varet nga nevojat për këtë propozim. Analiza tregoi domosdoshmërinë e të gjitha teknikave llogaritëse në shumë fusha, dhe është absolutisht e qartë se një kalkulator ekuacionesh është një mjet i domosdoshëm në duart e talentuara të një studenti. Një qasje besnike ndaj studimit të matematikës përcakton rëndësinë e pikëpamjeve nga drejtime të ndryshme. Ju dëshironi të identifikoni një nga teoremat kryesore dhe të zgjidhni ekuacionin në një mënyrë të tillë, në varësi të përgjigjes së të cilit do të ketë nevojë të mëtejshme për zbatimin e tij. Analitika në këtë fushë po fiton vrull. Le të fillojmë nga fillimi dhe të nxjerrim formulën. Duke thyer nivelin e rritjes së funksionit, vija përgjatë tangjentes në pikën e lakimit sigurisht që do të çojë në faktin se zgjidhja e ekuacionit në linjë do të jetë një nga aspektet kryesore në ndërtimin e të njëjtit grafik nga argumenti i funksionit. Një qasje amatore ka të drejtë të zbatohet nëse këtë gjendje nuk bie ndesh me përfundimet e nxënësve. Nën-detyra që paraqet analizën është sjellë në sfond. kushtet matematikore si ekuacione lineare në domenin ekzistues të përcaktimit të objektit. Kompensimi në drejtim të ortogonalitetit redukton reciprokisht avantazhin e të vetmit vlerë absolute. Zgjidhja e ekuacioneve me modul në internet jep të njëjtin numër zgjidhjesh nëse hapni kllapat fillimisht me një shenjë plus dhe më pas me një shenjë minus. Në këtë rast, do të ketë dy herë më shumë zgjidhje, dhe rezultati do të jetë më i saktë. Një kalkulator i qëndrueshëm dhe i saktë i ekuacioneve në internet është suksesi në arritjen e qëllimit të synuar në detyrën e vendosur nga mësuesi. Duket e mundur të zgjidhet metoda e duhur për shkak të dallimeve domethënëse në pikëpamjet e shkencëtarëve të mëdhenj. Ekuacioni kuadratik që rezulton përshkruan kurbën e vijave, të ashtuquajturën parabolë, dhe shenja do të përcaktojë konveksitetin e saj në sistem katror koordinatat Nga ekuacioni marrim si diskriminuesin ashtu edhe vetë rrënjët sipas teoremës së Vietës. Hapi i parë është të paraqisni shprehjen si një fraksion të duhur ose të papërshtatshëm dhe të përdorni një kalkulator të fraksionit. Në varësi të kësaj, do të formohet plani për llogaritjet tona të mëtejshme. Matematika me qasje teorike do të jetë e dobishme në çdo fazë. Rezultatin do ta paraqesim patjetër si një ekuacion kub, sepse do t'i fshehim rrënjët e tij në këtë shprehje për të thjeshtuar detyrën për një student në një universitet. Çdo metodë është e mirë nëse është e përshtatshme për analiza sipërfaqësore. Operacionet shtesë aritmetike nuk do të çojnë në gabime në llogaritje. Përcakton përgjigjen me një saktësi të dhënë. Duke përdorur zgjidhjen e ekuacioneve, le ta pranojmë - gjetja e ndryshores së pavarur të një funksioni të caktuar nuk është aq e lehtë, veçanërisht gjatë periudhës së studimit. vijat paralele në pafundësi. Duke pasur parasysh përjashtimin, nevoja është shumë e dukshme. Dallimi i polaritetit është i qartë. Nga përvoja e mësimdhënies në institute, mësuesi ynë mësoi mësimi kryesor, në të cilën ekuacionet u studiuan online në kuptimin e plotë matematikor. Këtu flitej për përpjekje më të larta dhe aftësi të veçanta në zbatimin e teorisë. Në favor të përfundimeve tona, nuk duhet parë nga një prizëm. Deri vonë besohej se komplet i mbyllur rritet me shpejtësi mbi sipërfaqen ashtu siç është dhe zgjidhja e ekuacioneve thjesht duhet të hetohet. Në fazën e parë nuk kemi marrë parasysh gjithçka opsionet e mundshme, por kjo qasje është më e justifikuar se kurrë. Veprime të panevojshme me kllapa justifikojnë disa përparime përgjatë boshteve të ordinatave dhe të abshisave, të cilat nuk mund të anashkalohen me sy të lirë. Në kuptimin e një rritjeje proporcionale të gjerë të funksionit, ekziston një pikë e përkuljes. Edhe një herë do të vërtetojmë se si kusht i nevojshëm do të aplikohet gjatë gjithë intervalit të zvogëlimit të njërit apo tjetrit pozicion zbritës të vektorit. Në kushte hapësirë e kufizuar ne do të zgjedhim një variabël nga blloku fillestar skenari ynë. Një sistem i ndërtuar si bazë përgjatë tre vektorëve është përgjegjës për mungesën e momentit kryesor të forcës. Megjithatë, kalkulatori i ekuacionit gjeneroi dhe ndihmoi në gjetjen e të gjitha termave të ekuacionit të ndërtuar, si mbi sipërfaqe ashtu edhe përgjatë vijave paralele. Le të vizatojmë një rreth rreth pikës së fillimit. Kështu, ne do të fillojmë të lëvizim lart përgjatë vijave të seksionit, dhe tangjentja do të përshkruajë rrethin përgjatë gjithë gjatësisë së tij, duke rezultuar në një kurbë të quajtur involute. Meqë ra fjala, le të tregojmë pak histori për këtë kurbë. Fakti është se historikisht në matematikë nuk kishte asnjë koncept të vetë matematikës në kuptimin e saj të pastër siç është sot. Më parë, të gjithë shkencëtarët bënin një gjë shkaku i përbashkët, pra shkenca. Më vonë, disa shekuj më vonë, kur botën shkencore i mbushur me një sasi kolosale informacioni, njerëzimi ende identifikoi shumë disiplina. Ato mbeten ende të pandryshuara. E megjithatë, çdo vit, shkencëtarët në mbarë botën përpiqen të provojnë se shkenca është e pakufishme dhe ju nuk do ta zgjidhni ekuacionin nëse nuk keni njohuri për këtë fushë. shkencat natyrore. Mund të mos jetë e mundur që përfundimisht t'i jepet fund. Të mendosh për këtë është po aq e kotë sa ngrohja e ajrit jashtë. Le të gjejmë intervalin në të cilin argumenti, nëse vlera e tij është pozitive, do të përcaktojë modulin e vlerës në një drejtim në rritje të mprehtë. Reagimi do t'ju ndihmojë të gjeni të paktën tre zgjidhje, por do t'ju duhet t'i kontrolloni ato. Le të fillojmë me faktin se duhet ta zgjidhim ekuacionin në internet duke përdorur shërbimin unik të faqes sonë të internetit. Le të prezantojmë të dyja pjesët ekuacioni i dhënë, klikoni në butonin “ZGJIDH” dhe merrni përgjigjen e saktë brenda pak sekondave. Në raste të veçanta, le të marrim një libër për matematikën dhe të kontrollojmë dy herë përgjigjen tonë, domethënë, të shikojmë vetëm përgjigjen dhe gjithçka do të bëhet e qartë. I njëjti projekt për një paralelipiped artificial të tepërt do të fluturojë jashtë. Ka një paralelogram me të anët paralele, dhe ai shpjegon shumë parime dhe qasje për të studiuar marrëdhënien hapësinore të procesit të akumulimit të hapësirës së zbrazët nga poshtë-lart në barazimet. pamje natyrale. Ekuacionet lineare të paqarta tregojnë varësinë e ndryshores së dëshiruar nga e përbashkëta jonë për momentin zgjidhje kohore dhe ju duhet të nxirrni disi dhe reduktoni fraksionin e papërshtatshëm në një rast jo të parëndësishëm. Shënoni dhjetë pika në vijën e drejtë dhe vizatoni një kurbë nëpër secilën pikë në drejtimin e dhënë, me pikën konvekse lart. Pa ndonjë vështirësi të veçantë, kalkulatori ynë i ekuacionit do të paraqesë një shprehje në atë formë që kontrolli i tij për vlefshmërinë e rregullave do të jetë i dukshëm edhe në fillim të regjistrimit. Sistemi i paraqitjeve speciale të stabilitetit për matematikanët vjen i pari, përveç nëse parashikohet ndryshe nga formula. Ne do t'i përgjigjemi kësaj me një prezantim të detajuar të një raporti mbi temën e gjendjes izomorfike të një sistemi plastik të trupave dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet do të përshkruajë lëvizjen e secilës pikë materiale në këtë sistem. Në nivelin e hulumtimit të thelluar, do të jetë e nevojshme të sqarohet në detaje çështja e përmbysjeve të të paktën shtresës së poshtme të hapësirës. Sipas renditjes në rritje në seksionin e ndërprerjes së funksionit, ne do të aplikojmë metodë e përgjithshme një studiues i shkëlqyer, meqë ra fjala, bashkatdhetari ynë, dhe ne do të flasim më poshtë për sjelljen e avionit. Në fuqi karakteristika të forta funksioni i dhënë në mënyrë analitike, ne përdorim vetëm kalkulatorin e ekuacionit në internet për qëllimin e tij të synuar brenda kufijve të autoritetit që rrjedhin. Duke arsyetuar më tej, ne do ta fokusojmë rishikimin tonë në homogjenitetin e vetë ekuacionit, domethënë ana e djathtë e tij është e barabartë me zero. Le të sigurohemi edhe një herë që vendimi ynë në matematikë është i saktë. Për të shmangur marrjen e një zgjidhjeje të parëndësishme, le të bëjmë disa rregullime kushtet fillestare mbi problemin e stabilitetit të kushtëzuar të sistemit. Le të krijojmë një ekuacion kuadratik, për të cilin shkruajmë dy hyrje duke përdorur formulën e njohur dhe gjejmë rrënjë negative. Nëse një rrënjë është pesë njësi më e madhe se rrënja e dytë dhe e tretë, atëherë duke bërë ndryshime në argumenti kryesor në këtë mënyrë shtrembërojmë kushtet fillestare të nëndetyrës. Nga vetë natyra e saj, diçka e pazakontë në matematikë mund të përshkruhet gjithmonë me të qindtën më të afërt të një numri pozitiv. Llogaritësi i fraksionit është disa herë më i lartë se analogët e tij në burime të ngjashme në momentin më të mirë të ngarkesës së serverit. Në sipërfaqen e vektorit të shpejtësisë që rritet përgjatë boshtit të ordinatave, ne vizatojmë shtatë vija, të përkulura në drejtime të kundërta me njëra-tjetrën. Krahasueshmëria e argumentit të funksionit të caktuar është përpara leximeve të numëruesit të bilancit të rikuperimit. Në matematikë, këtë fenomen mund ta paraqesim përmes një ekuacioni kub me koeficientë imagjinarë, si dhe në progresionin bipolar të vijave në rënie. Pikat kritike ndryshimet e temperaturës në shumë mënyra përshkruajnë procesin e dekompozimit të një kompleksi funksioni thyesor nga shumëzuesit. Nëse ju thuhet të zgjidhni një ekuacion, mos nxitoni ta bëni atë menjëherë, përfundimisht së pari vlerësoni të gjithë planin e veprimit dhe vetëm atëherë merrni qasjen e duhur. Sigurisht që do të ketë përfitime. Lehtësia e punës është e dukshme dhe e njëjta gjë vlen edhe në matematikë. Zgjidheni ekuacionin në internet. Të gjitha ekuacionet online janë lloj i caktuar një rekord numrash ose parametrash dhe një variabël që do të përcaktohet. Llogaritni këtë variabël, domethënë gjeni vlera specifike ose intervale të një grupi vlerash në të cilat do të mbahet identiteti. Kushtet fillestare dhe përfundimtare varen drejtpërdrejt. NË zgjidhje e përgjithshme Ekuacionet zakonisht përfshijnë disa variabla dhe konstante, duke vendosur të cilat do të marrim familje të tëra zgjidhjesh për një deklaratë të caktuar problemi. Në përgjithësi, kjo justifikon përpjekjet e investuara në rritjen e funksionalitetit të një kubi hapësinor me një anë të barabartë me 100 centimetra. Ju mund të aplikoni një teoremë ose lemë në çdo fazë të ndërtimit të një përgjigjeje. Faqja prodhon gradualisht një kalkulator ekuacioni nëse është e nevojshme në çdo interval të shfaqjes së produkteve përmbledhëse vlera më e vogël. Në gjysmën e rasteve, një top i tillë është i zbrazët, jo në një masë më të madhe plotëson kërkesat për vendosjen e një përgjigjeje të ndërmjetme. Të paktën në boshtin e ordinatave në drejtim të reduktimit të paraqitjes së vektorit, kjo proporcion do të jetë padyshim më optimale se shprehja e mëparshme. Në orën kur funksionet lineare plot analiza e pikave, në thelb do të bashkojmë të gjitha tona numra komplekse dhe hapësira planare bipolare. Duke zëvendësuar një ndryshore në shprehjen që rezulton, ju do të zgjidhni ekuacionin hap pas hapi dhe do të jepni përgjigjen më të detajuar me saktësi të lartë. Do të ishte një formë e mirë nga ana e një studenti që të kontrollonte edhe një herë veprimet e tij në matematikë. Përqindja në raportin e fraksioneve regjistroi integritetin e rezultatit për të gjithë fusha të rëndësishme aktivitetet vektor zero. Trivialiteti konfirmohet në fund të veprimeve të përfunduara. Me një detyrë të thjeshtë, studentët mund të mos kenë ndonjë vështirësi nëse e zgjidhin ekuacionin online në kohën më të shkurtër të mundshme, por mos harrojnë të gjitha rregullat e ndryshme. Një grup nënbashkësish kryqëzohen në një rajon të shënimit konvergjent. NË raste të ndryshme produkti nuk është i faktorizuar gabimisht. Ju do të ndihmoheni për të zgjidhur ekuacionin online në seksionin tonë të parë, kushtuar bazave të teknikave matematikore për seksione të rëndësishme për studentët në universitete dhe kolegje teknike. Shembujt e përgjigjes nuk do të na mbajnë në pritje për disa ditë, pasi procesi i ndërveprimit më të mirë të analizës vektoriale me gjetje sekuenciale zgjidhjet u patentuan në fillim të shekullit të kaluar. Rezulton se përpjekjet për të krijuar marrëdhënie me ekipin përreth nuk kanë qenë të kota. Disa breza më vonë, shkencëtarët në mbarë botën i bënë njerëzit të besojnë se matematika është mbretëresha e shkencave. Qoftë përgjigja e majtë apo e djathta, megjithatë, termat shterues duhet të shkruhen në tre rreshta, pasi në rastin tonë patjetër do të flasim vetëm për analizën vektoriale të vetive të matricës. Ekuacionet jolineare dhe lineare, së bashku me ekuacionet bikuadratike, zënë një vend të veçantë në librin tonë për metodat më të mira për llogaritjen e trajektores së lëvizjes në hapësirën e të gjitha pikave materiale. sistem i mbyllur. Na ndihmoni të realizojmë idenë tuaj analiza lineare produkt me pika tre vektorë të njëpasnjëshëm. Në fund të çdo prodhimi, detyra bëhet më e lehtë duke zbatuar përjashtime numerike të optimizuara nëpër mbivendosjet që po kryhen. hapësira numrash. Një gjykim i ndryshëm nuk do të bëjë kontrast me përgjigjen e gjetur në formën arbitrare të një trekëndëshi në një rreth. Këndi ndërmjet dy vektorëve përmban përqindjen e kërkuar të diferencës dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet shpesh zbulon një rrënjë e përbashkët ekuacionet në krahasim me kushtet fillestare. Përjashtimi luan rolin e një katalizatori në të gjithë procesin e pashmangshëm të gjetjes së një zgjidhjeje pozitive në fushën e përcaktimit të një funksioni. Nëse nuk thuhet se nuk mund të përdorni një kompjuter, atëherë kalkulatori i ekuacionit në internet është i duhuri për nevojat tuaja. detyra të vështira. Thjesht duhet të futesh formatin e duhur të dhënat tuaja të kushtëzuara dhe serveri ynë do të ofrojnë një përgjigje të plotë rezultuese në kohën më të shkurtër të mundshme. Funksioni eksponencial rritet shumë më shpejt se ai linear. Talmudët dëshmojnë për këtë literaturë bibliotekare. Do të kryejë llogaritjen në në një kuptim të përgjithshëm siç do të bënte një ekuacion kuadratik i dhënë me tre koeficientë kompleksë. Parabola në pjesën e sipërme të gjysmëplanit karakterizon lëvizjen paralele drejtvizore përgjatë boshteve të pikës. Këtu vlen të përmendet ndryshimi potencial në hapësirën e punës së trupit. Në këmbim të një rezultati jo optimal, llogaritësi ynë i fraksionit me të drejtë zë pozicionin e parë në vlerësimin matematikor të rishikimit të programeve funksionale në anën e serverit. Lehtësia e përdorimit të këtij shërbimi do të vlerësohet nga miliona përdorues të internetit. Nëse nuk dini si ta përdorni, ne do të jemi të lumtur t'ju ndihmojmë. Gjithashtu dëshirojmë të vëmë re dhe të theksojmë veçanërisht ekuacionin kub nga një sërë problemesh të shkollës fillore, kur është e nevojshme të gjejmë shpejt rrënjët e tij dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit në një plan. Grada më të larta riprodhimi është një nga më të vështirat problemet matematikore në institut dhe ndahet për studimin e tij sasi të mjaftueshme orë. Ashtu si të gjitha ekuacionet lineare, edhe ekuacionet tona nuk bëjnë përjashtim sipas shumë rregullave objektive, shikoni poshtë pika të ndryshme vizion, dhe do të jetë e thjeshtë dhe e mjaftueshme për të vendosur kushtet fillestare. Intervali i rritjes përkon me intervalin e konveksitetit të funksionit. Zgjidhja e ekuacioneve në internet. Studimi i teorisë bazohet në ekuacione në internet nga seksione të shumta mbi studimin e disiplinës kryesore. Në rastin e një qasjeje të tillë në probleme të pasigurta, është shumë e thjeshtë të paraqitet zgjidhja e ekuacioneve në një formë të paracaktuar dhe jo vetëm të nxirren përfundime, por edhe të parashikohet rezultati i një zgjidhjeje kaq pozitive. Mësoni fusha lëndore shërbimi do të na ndihmojë më së shumti traditat më të mira matematikë, pikërisht siç është zakon në Lindje. NË momentet më të mira intervali kohor, detyra të ngjashme u shumëzuan me një faktor të përbashkët prej dhjetë. Bollëku i shumëzimeve të variablave të shumtë në kalkulatorin e ekuacionit filloi të shumëzohej me cilësi dhe jo me variablat sasiorë si masa ose pesha e trupit. Për të shmangur rastet e çekuilibrit sistemi material, derivimi i një konverteri tredimensional bazuar në konvergjencën e parëndësishme të jodegjeneruar matricat matematikore. Plotësoni detyrën dhe zgjidhni ekuacionin në koordinatat e dhëna, pasi përfundimi është i panjohur paraprakisht, ashtu si të gjitha variablat e përfshirë në kohën pas-hapësirës. Aktiv afatshkurtër zhvendosni faktorin e përbashkët përtej kllapave dhe ndajeni me më të madhin pjesëtues i përbashkët të dyja pjesët paraprakisht. Nga nëngrupi i mbuluar i numrave që rezulton, nxirrni në mënyrë të detajuar tridhjetë e tre pika me radhë në një periudhë të shkurtër. Për aq sa është e mundur që çdo student të zgjidhë një ekuacion online në mënyrën më të mirë të mundshme, duke parë përpara, le të themi një gjë e rëndësishme, por kyçe, pa të cilën do të jetë e vështirë të jetosh në të ardhmen. Në shekullin e kaluar, shkencëtari i madh vuri re një sërë modelesh në teorinë e matematikës. Në praktikë, rezultati nuk ishte përshtypja e pritshme e ngjarjeve. Megjithatë, në parim, pikërisht kjo zgjidhje e ekuacioneve në internet ndihmon në përmirësimin e të kuptuarit dhe perceptimit qasje holistike për studimin dhe konsolidimin praktik të asaj që është mësuar material teorik mes studentëve. Është shumë më e lehtë për ta bërë këtë gjatë kohës së studimit.

Çdo gjuhë mund të shprehë të njëjtin informacion me fjalë të ndryshme dhe revolucionet. Gjuha matematikore nuk bën përjashtim. Por e njëjta shprehje mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente në mënyra të ndryshme. Dhe në disa situata, një nga hyrjet është më e thjeshtë. Ne do të flasim për thjeshtimin e shprehjeve në këtë mësim.

Njerëzit komunikojnë në gjuhë të ndryshme. Për ne, një krahasim i rëndësishëm është çifti "Gjuha ruse - gjuha matematikore". I njëjti informacion mund të komunikohet në gjuhë të ndryshme. Por, përveç kësaj, ajo mund të shqiptohet në mënyra të ndryshme në një gjuhë.

Për shembull: "Petya është miq me Vasya", "Vasya është mike me Petya", "Petya dhe Vasya janë miq". Tha ndryshe, por e njëjta gjë. Nga ndonjë prej këtyre frazave do të kuptonim se për çfarë po flasim.

Le të shohim këtë frazë: "Djali Petya dhe djali Vasya janë miq." E kuptojmë se çfarë nënkuptojmë ne po flasim për. Megjithatë, nuk na pëlqen tingulli i kësaj fraze. A nuk mund ta thjeshtojmë, të themi të njëjtën gjë, por më të thjeshtë? "Djali dhe djali" - mund të thuash një herë: "Djemtë Petya dhe Vasya janë miq."

“Djemtë”... A nuk kuptohet nga emrat e tyre që nuk janë vajza? Ne heqim "djemtë": "Petya dhe Vasya janë miq". Dhe fjala "miq" mund të zëvendësohet me "miq": "Petya dhe Vasya janë miq". Si rezultat, fraza e parë, e gjatë dhe e shëmtuar u zëvendësua me një deklaratë ekuivalente që është më e lehtë për t'u thënë dhe më e lehtë për t'u kuptuar. Ne e kemi thjeshtuar këtë frazë. Të thjeshtosh do të thotë ta thuash më thjeshtë, por jo të humbasësh apo shtrembërosh kuptimin.

4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) gjuha matematikore përafërsisht e njëjta gjë ndodh. E njëjta gjë mund të thuhet, e shkruar ndryshe. Çfarë do të thotë të thjeshtosh një shprehje? Kjo do të thotë se për shprehjen origjinale ka shumë shprehje ekuivalente, domethënë ato që nënkuptojnë të njëjtën gjë. Dhe nga gjithë kjo shumëllojshmëri ne duhet të zgjedhim më të thjeshtën, sipas mendimit tonë, ose më të përshtatshmet për qëllimet tona të mëtejshme.

Për shembull, merrni parasysh shprehjen numerike . Do të jetë e barabartë me.

Do të jetë gjithashtu e barabartë me dy të parat: .

Rezulton se ne kemi thjeshtuar shprehjet tona dhe kemi gjetur shprehjen më të shkurtër ekuivalente.

Për shprehjet numerike, gjithmonë duhet të bëni gjithçka dhe të merrni shprehjen ekuivalente si një numër të vetëm.

Le të shohim një shembull të një shprehjeje fjalë për fjalë . Natyrisht, do të jetë më e thjeshtë.

Kur thjeshtohet shprehje fjalë për fjalëështë e nevojshme të kryhen të gjitha veprimet e mundshme.

A është gjithmonë e nevojshme të thjeshtohet një shprehje? Jo, ndonjëherë do të jetë më e përshtatshme për ne që të kemi një hyrje të barabartë, por më të gjatë.

Shembull: Duhet të zbrisni një numër nga një numër.

Mund të llogaritet, por nëse numri i parë përfaqësohej nga ai shënim ekuivalent: , atëherë llogaritjet do të ishin të menjëhershme: .

Kjo do të thotë, një shprehje e thjeshtuar nuk është gjithmonë e dobishme për ne për llogaritjet e mëtejshme.

Sidoqoftë, shumë shpesh ne përballemi me një detyrë që tingëllon si "thjeshtoni shprehjen".

Thjeshtoni shprehjen: .

Zgjidhje

1) Kryeni veprimet në kllapat e parë dhe të dytë: .

2) Le të llogarisim produktet: .

Natyrisht, shprehja e fundit ka një formë më të thjeshtë se ajo fillestare. E kemi thjeshtuar.

Për të thjeshtuar shprehjen, ajo duhet të zëvendësohet me një ekuivalente (e barabartë).

Për të përcaktuar shprehjen ekuivalente ju nevojitet:

1) kryeni të gjitha veprimet e mundshme,

2) përdorni vetitë e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit për të thjeshtuar llogaritjet.

Vetitë e mbledhjes dhe zbritjes:

1. Vetia komutative e mbledhjes: rirregullimi i termave nuk e ndryshon shumën.

2. Vetia kombinuese e mbledhjes: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy numrave, mund të shtoni shumën e numrave të dytë dhe të tretë në numrin e parë.

3. Vetia e zbritjes së një shume nga një numër: për të zbritur një shumë nga një numër, ju mund të zbrisni çdo term veç e veç.

Vetitë e shumëzimit dhe pjesëtimit

1. Vetia komutative e shumëzimit: rirregullimi i faktorëve nuk e ndryshon prodhimin.

2. Vetia kombinuese: për të shumëzuar një numër me produktin e dy numrave, fillimisht mund ta shumëzoni me faktorin e parë dhe më pas produktin që rezulton me faktorin e dytë.

3. Prona shpërndarëse shumëzim: për të shumëzuar një numër me një shumë, duhet ta shumëzoni atë me secilën shtesë veç e veç.

Le të shohim se si i bëjmë në të vërtetë llogaritjet mendore.

Llogaritni:

Zgjidhje

1) Le të imagjinojmë se si

2) Le të imagjinojmë faktorin e parë si një shumë të termave bit dhe të kryejmë shumëzimin:

3) ju mund të imagjinoni se si dhe të kryeni shumëzimin:

4) Zëvendësoni faktorin e parë me një shumë ekuivalente:

Ligji shpërndarës mund të përdoret gjithashtu në ana e kundërt: .

Ndiqni këto hapa:

1) 2)

Zgjidhje

1) Për lehtësi, mund të përdorni ligjin shpërndarës, por përdorni atë në drejtim të kundërt - hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat.

2) Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat

Është e nevojshme të blini linoleum për kuzhinë dhe korridor. Zona e kuzhinës - , korridori - . Ekzistojnë tre lloje të linoleumeve: për, dhe rubla për. Sa do të kushtojë secila? tre lloje linoleum? (Fig. 1)

Oriz. 1. Ilustrim për deklaratën e problemit

Zgjidhje

Metoda 1. Mund të zbuloni veçmas se sa para do të nevojiten për të blerë linoleum për kuzhinë, dhe më pas vendoseni në korridor dhe shtoni produktet që rezultojnë.

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për

Shpesh dëgjojmë këtë frazë të pakëndshme: "Thjeshtoni shprehjen." Zakonisht ne shohim një lloj përbindëshi si ky:

"Është shumë më e thjeshtë," themi ne, por një përgjigje e tillë zakonisht nuk funksionon.

Tani do t'ju mësoj të mos keni frikë nga asnjë detyrë e tillë.

Për më tepër, në fund të mësimit ju do ta thjeshtoni këtë shembull në (vetëm!) numër i rregullt(po, në ferr me këto letra).

Por para se të filloni këtë aktivitet, duhet të jeni në gjendje trajtojnë fraksionet 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) polinomet e faktorit.

Prandaj, nëse nuk e keni bërë këtë më parë, sigurohuni që të zotëroni temat "" dhe "".

E keni lexuar? Nëse po, atëherë ju jeni gati.

Le të shkojmë (Le të shkojmë!)

Operacionet e thjeshtimit të shprehjeve bazë

Tani le të shohim teknikat bazë që përdoren për të thjeshtuar shprehjet.

Më e thjeshta është

1. Sjellja e ngjashme

Cilat janë të ngjashme? Ju e morët këtë në klasën e 7-të, kur shkronjat në vend të numrave u shfaqën për herë të parë në matematikë.

Të ngjashme- këto janë terma (monome) me të njëjtën pjesë shkronjash.

Për shembull, në shumë, terma të ngjashëm janë dhe.

A ju kujtohet?

Jep të ngjashme- nënkupton shtimin e disa termave të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe marrjen e një termi.

Si mund t'i bashkojmë shkronjat? - pyet ti.

Kjo është shumë e lehtë për t'u kuptuar nëse imagjinoni se shkronjat janë një lloj objekti.

Për shembull, një letër është një karrige. Atëherë me çfarë është e barabartë shprehja?

Dy karrige plus tre karrige, sa do të jenë? Ashtu është, karriget: .

Tani provoni këtë shprehje: .

Për të shmangur konfuzionin, le shkronja të ndryshme përfaqësojnë objekte të ndryshme.

Për shembull, - është (si zakonisht) një karrige, dhe - është një tavolinë.

karrige tavolina karrige tavolina karrige karrige tavolina

Numrat me të cilët shumëzohen shkronjat në terma të tillë quhen koeficientët.

Për shembull, në një monom koeficienti është i barabartë. Dhe në të është e barabartë.

Pra, rregulli për sjelljen e të ngjashmeve është:

Shembuj:

Jepni të ngjashme:

Përgjigjet:

2. (dhe të ngjashme, pasi, pra, këto terma kanë të njëjtën pjesë shkronjash).

2. Faktorizimi

Kjo është zakonisht pjesa më e rëndësishme në thjeshtimin e shprehjeve.

Pasi të keni dhënë të ngjashme, më shpesh nevojitet shprehja që rezulton faktorizoj, pra paraqitet në formën e një produkti.

Sidomos kjo e rëndësishme në thyesa: në fund të fundit, për të qenë në gjendje të zvogëloni thyesën, Numëruesi dhe emëruesi duhet të paraqiten si prodhim.

Ju keni kaluar në detaje metodat e faktorizimit të shprehjeve në temën "", kështu që këtu thjesht duhet të mbani mend atë që keni mësuar.

Për ta bërë këtë, zgjidhni disa shembuj (duhet t'i faktorizoni ato)

Shembuj:

Zgjidhjet:

3. Zvogëlimi i një thyese.

Epo, çfarë mund të jetë më e këndshme sesa të kryqëzoni një pjesë të numëruesit dhe emëruesit dhe t'i hidhni ato nga jeta juaj?

Kjo është bukuria e zvogëlimit.

Është e thjeshtë:

Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtët faktorë, ata mund të reduktohen, domethënë të hiqen nga thyesa.

Ky rregull rrjedh nga vetia themelore e një thyese:

Kjo do të thotë, thelbi i operacionit të reduktimit është se Numëruesin dhe emëruesin e thyesës e ndajmë me të njëjtin numër (ose me të njëjtën shprehje).

Për të zvogëluar një fraksion ju duhet:

1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj

2) nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë faktorët e përbashkët , ato mund të kryqëzohen.

Shembuj:

Parimi, mendoj, është i qartë?

Unë do të doja të tërheq vëmendjen tuaj për një gjë gabim tipik kur kontraktohet. Edhe pse kjo temë është e thjeshtë, shumë njerëz bëjnë gjithçka gabim, duke mos e kuptuar këtë zvogëloni- kjo do të thotë ndajnë numëruesi dhe emëruesi janë i njëjti numër.

Nuk ka shkurtesa nëse numëruesi ose emëruesi është një shumë.

Për shembull: ne duhet të thjeshtojmë.

Disa njerëz e bëjnë këtë: gjë që është absolutisht e gabuar.

Një shembull tjetër: zvogëloni.

"Më i zgjuari" do ta bëjë këtë:

Më thuaj çfarë nuk shkon këtu? Do të duket: - ky është një shumëzues, që do të thotë se mund të reduktohet.

Por jo: - ky është një faktor i vetëm një termi në numërues, por vetë numëruesi në tërësi nuk është i faktorizuar.

Ja një shembull tjetër: .

Kjo shprehje është e faktorizuar, që do të thotë se mund ta zvogëloni atë, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin me, dhe më pas me:

Mund ta ndani menjëherë në:

Për të shmangur gabime të tilla, mbani mend mënyrë e lehtë si të përcaktohet nëse një shprehje është faktorizuar:

Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master".

Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar).

Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).

Për ta përforcuar këtë, zgjidhni vetë disa shembuj:

Shembuj:

Zgjidhjet:

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.

Mbledhja dhe zbritja thyesat e zakonshme- veprimi është i njohur: kërkojmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim/zbresim numëruesit.

Le të kujtojmë:

Përgjigjet:

1. Emëruesit dhe janë relativisht të thjeshtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:

2. Këtu emëruesi i përbashkët është:

3. Gjëja e parë këtu thyesat e përziera ne i kthejmë ato në të pasakta dhe më pas ndjekim modelin e zakonshëm:

Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:

a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja

Gjithçka këtu është e njëjtë si me e zakonshme thyesat numerike: gjeni emëruesin e përbashkët, shumëzojeni secilën thyesë me faktorin që mungon dhe shtoni/zbrisni numëruesit:

Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:

Provojeni vetë:

Përgjigjet:

b) Emëruesit përmbajnë shkronja

Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:

· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;

· pastaj shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;

· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.

Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:

Le të theksojmë faktorët e përbashkët:

Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):

Ky është emëruesi i përbashkët.

Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:

· faktorizoni emëruesit;

· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);

· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të përbashkët.

Pra, me radhë:

1) faktorizoni emëruesit:

2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):

3) shkruani të gjithë faktorët e përbashkët një herë dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të patheksuar):

Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta - me:

Nga rruga, ekziston një mashtrim:

Për shembull: .

Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:

deri në një shkallë

deri në një shkallë.

Le ta komplikojmë detyrën:

Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?

Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:

Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!

Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?

Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:

Kur i reduktoni thyesat në emërues i përbashkët, përdorni vetëm operacionin e shumëzimit!

Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?

Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:

Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar".

Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.

Po shprehja? Është elementare?

Jo, sepse mund të faktorizohet:

(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").

Pra, faktorët elementar në të cilët zgjeroni shprehjen me shkronja janë një analog faktorët kryesorë, në të cilën i zbërtheni numrat. Dhe ne do të merremi me ta në të njëjtën mënyrë.

Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).

Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:

E shkëlqyeshme! Pastaj:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:

Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:

Pra, le të shkruajmë:

Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës ne këmbyem termat, dhe në të njëjtën kohë shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.

Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:

E kuptove? Le ta kontrollojmë tani.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Përgjigjet:

5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:

Procedura

Cila është procedura e numërimit? shprehje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:

A keni numëruar?

Duhet të funksionojë.

Pra, më lejoni t'ju kujtoj.

Hapi i parë është llogaritja e shkallës.

E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo mënyrë.

Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.

Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!

Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.

Po sikur të ketë më shumë kllapa brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Kur llogaritni një shprehje, çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapat. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.

Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):

Mirë, gjithçka është e thjeshtë.

Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?

Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të veprimet aritmetike ju duhet të bëni algjebrike, domethënë veprimet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim këtë kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për të faktorizuar, duhet të përdorni I ose thjesht të vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë shprehjen si produkt ose koeficient.

Për shembull:

Le të thjeshtojmë shprehjen.

1) Së pari, ne thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi një diferencë thyesash dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose koeficient. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:

Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).

2) Ne marrim:

Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.

3) Tani mund të shkurtoni:

Epo, kjo është e gjitha. Asgjë e komplikuar, apo jo?

Një shembull tjetër:

Thjeshtoni shprehjen.

Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.

Zgjidhja:

Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve.

Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një.

Pastaj do të bëjmë ndarjen e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit.

Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:

Së fundi, unë do t'ju jap dy këshilla të dobishme:

1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.

2. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat reduktuese: sapo të shfaqet mundësia për të reduktuar, duhet të përfitohet. Përjashtim është për thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë emërues të njëjtë, atëherë reduktimi duhet lënë për më vonë.

Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:

Dhe çfarë u premtua në fillim:

Përgjigjet:

Zgjidhjet (e shkurtër):

Nëse keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë e keni zotëruar temën.

Tani për të mësuar!

KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Operacionet themelore të thjeshtimit:

Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
Faktorizimi: nxjerrja jashtë kllapave të faktorit të përbashkët, zbatimi i tij etj.
Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.
E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
;
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!