Nëse ka një shenjë plus para kllapave. Kllapa në zgjerim - Hipermarketi i njohurive

Në këtë artikull do të shikojmë në detaje rregullat themelore të një teme kaq të rëndësishme në një kurs matematike si hapja e kllapave. Ju duhet të dini rregullat për hapjen e kllapave në mënyrë që të zgjidhni saktë ekuacionet në të cilat ato përdoren.

Si të hapni kllapat saktë kur shtoni

Zgjeroni kllapat që paraprihen nga shenja "+".

Ky është rasti më i thjeshtë, sepse nëse ka një shenjë shtesë përpara kllapave, shenjat brenda tyre nuk ndryshojnë kur hapen kllapat. Shembull:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Si të zgjerohen kllapat e paraprira nga një shenjë "-".

NË në këtë rast ju duhet të rishkruani të gjitha termat pa kllapa, por në të njëjtën kohë të ndryshoni të gjitha shenjat brenda tyre në ato të kundërta. Shenjat ndryshojnë vetëm për termat nga ato kllapa që u paraprinë nga shenja "-". Shembull:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Si të hapen kllapat gjatë shumëzimit

Para kllapave ka një numër shumëzues

Në këtë rast, ju duhet të shumëzoni çdo term me një faktor dhe të hapni kllapat pa ndryshuar shenjat. Nëse shumëzuesi ka një shenjë "-", atëherë gjatë shumëzimit, shenjat e termave ndryshojnë. Shembull:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Si të hapni dy kllapa me një shenjë shumëzimi midis tyre

Në këtë rast, duhet të shumëzoni çdo term nga kllapat e para me secilin term nga kllapat e dyta dhe më pas të shtoni rezultatet. Shembull:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Si të hapni kllapat në një katror

Nëse shuma ose diferenca e dy termave është në katror, ​​kllapat duhet të hapen sipas formulës së mëposhtme:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Në rastin e një minus brenda kllapave, formula nuk ndryshon. Shembull:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Si të zgjerohen kllapat në një shkallë tjetër

Nëse shuma ose diferenca e termave rritet, për shembull, në fuqinë e 3-të ose të 4-të, atëherë thjesht duhet të thyeni fuqinë e kllapës në "katrorë". Fuqitë e faktorëve identikë shtohen dhe kur pjesëtohet, fuqia e pjesëtuesit zbritet nga fuqia e dividentit. Shembull:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Si të hapni 3 kllapa

Ka ekuacione në të cilat 3 kllapa shumëzohen njëherësh. Në këtë rast, së pari duhet të shumëzoni termat e dy kllapave të para së bashku dhe më pas shumëzoni shumën e këtij shumëzimi me termat e kllapës së tretë. Shembull:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Këto rregulla për hapjen e kllapave zbatohen njëlloj për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe trigonometrike.

Tani do të kalojmë në hapjen e kllapave në shprehjet në të cilat shprehja në kllapa shumëzohet me një numër ose shprehje. Le të formulojmë një rregull për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë minus: kllapat së bashku me shenjën minus janë hequr, dhe shenjat e të gjithë termave në kllapa zëvendësohen me ato të kundërta.

Një lloj i transformimit të shprehjes është zgjerimi i kllapave. numerike, shprehje fjalë për fjalë dhe shprehjet me variabla mund të kompozohen duke përdorur kllapa, të cilat mund të tregojnë rendin në të cilin kryhen veprimet, të përmbajnë një numër negativ, etj. Le të supozojmë se në shprehjet e përshkruara më sipër, në vend të numrave dhe ndryshoreve, mund të ketë çdo shprehje.

Dhe le t'i kushtojmë vëmendje një pike tjetër në lidhje me veçoritë e shkrimit të një zgjidhjeje kur hapim kllapa. Në paragrafin e mëparshëm, u trajtuam me atë që quhet kllapa hapëse. Për ta bërë këtë, ekzistojnë rregulla për hapjen e kllapave, të cilat tani do t'i shqyrtojmë. Ky rregull diktohet nga fakti se numrat pozitivë zakonisht shkruhen pa kllapa në këtë rast, kllapat janë të panevojshme. Shprehja (−3,7)−(−2)+4+(−9) mund të shkruhet pa kllapa si −3,7+2+4−9.

Së fundi, pjesa e tretë e rregullit është thjesht për shkak të veçorive të shkrimit të numrave negativë në të majtë në shprehje (të cilën e përmendëm në pjesën e kllapave për shkrimin e numrave negativë). Mund të hasni shprehje të përbëra nga një numër, shenja minus dhe disa palë kllapa. Nëse hapni kllapat, duke lëvizur nga e brendshme në të jashtme, atëherë zgjidhja do të jetë si më poshtë: −(−((−(5)))=−(−((−5)))=− ))=−( 5)=−5.

Si të hapni kllapat?

Ja një shpjegim: −(−2 x) është +2 x, dhe meqenëse kjo shprehje vjen e para, +2 x mund të shkruhet si 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x dhe −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Pjesa e parë e rregullës së shkruar për hapjen e kllapave rrjedh drejtpërdrejt nga rregulli i shumëzimit të numrave negativë. Pjesa e dytë e saj është pasojë e rregullit të shumëzimit të numrave me shenja të ndryshme. Le të kalojmë në shembuj të hapjes së kllapave në prodhime dhe herës të dy numrave me shenja të ndryshme.

Kllapat hapëse: rregulla, shembuj, zgjidhje.

Rregulli i mësipërm merr parasysh të gjithë zinxhirin e këtyre veprimeve dhe shpejton ndjeshëm procesin e hapjes së kllapave. I njëjti rregull ju lejon të hapni kllapa në shprehjet që janë produkte dhe shprehje të pjesshme me një shenjë minus që nuk janë shuma dhe diferenca.

Le të shohim shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Le të japim rregullin përkatës. Më sipër kemi hasur tashmë shprehje të formës −(a) dhe −(−a), të cilat pa kllapa shkruhen përkatësisht si −a dhe a. Për shembull, −(3)=3, dhe. Këto janë raste të veçanta të rregullit të përmendur. Tani le të shohim shembuj të hapjes së kllapave kur ato përmbajnë shuma ose diferenca. Le të tregojmë shembuj të përdorimit të këtij rregulli. Shprehjen (b1+b2) le ta shënojmë si b, pas së cilës përdorim rregullën e shumëzimit të kllapave me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm, kemi (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Me induksion, kjo deklaratë mund të zgjerohet në një numër arbitrar termash në çdo kllapë. Mbetet të hapim kllapat në shprehjen që rezulton, duke përdorur rregullat nga paragrafët e mëparshëm, në fund marrim 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Rregulli në matematikë është hapja e kllapave nëse ka (+) dhe (-) para kllapave.

Kjo shprehje është produkt i tre faktorëve (2+4), 3 dhe (5+7·8). Ju do të duhet të hapni kllapat në mënyrë sekuenciale. Tani përdorim rregullin për shumëzimin e një kllapa me një numër, kemi ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Shkallët, bazat e të cilave janë disa shprehje të shkruara në kllapa, me në natyrë mund të mendohet si produkt i disa kllapave.

Për shembull, le të transformojmë shprehjen (a+b+c)2. Fillimisht e shkruajmë në formën e prodhimit të dy kllapave (a+b+c)·(a+b+c), tani një kllapa e shumëzojmë me një kllapa, marrim a·a+a·b+a ·c+b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Le të themi gjithashtu se për të rritur shumat dhe dallimet e dy numrave në shkallë natyrore Këshillohet përdorimi i formulës binomiale të Njutonit. Për shembull, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nuk është më pak e përshtatshme që fillimisht të zëvendësohet ndarja me shumëzim, dhe më pas të përdoret rregulli përkatës për hapjen e kllapave në një produkt.

Mbetet për të kuptuar rendin e hapjes së kllapave duke përdorur shembuj. Le të marrim shprehjen (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Ne i zëvendësojmë këto rezultate në shprehjen origjinale: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Mbetet vetëm të përfundojmë hapjen e kllapave, si rezultat kemi −5+3·2:4+6·7. Kjo do të thotë se kur lëvizni nga ana e majtë e barazisë në të djathtë, ndodhi hapja e kllapave.

Vini re se në të tre shembujt thjesht i hoqëm kllapat. Së pari, shtoni 445 në 889. Ky veprim mund të kryhet mendërisht, por nuk është shumë i lehtë. Le të hapim kllapat dhe të shohim se procedura e ndryshuar do të thjeshtojë ndjeshëm llogaritjet.

Si të zgjerohen kllapat në një shkallë tjetër

Ilustrimi i shembullit dhe rregullit. Le të shohim një shembull: . Ju mund të gjeni vlerën e një shprehjeje duke shtuar 2 dhe 5, dhe më pas duke marrë numrin që rezulton nga shenjë e kundërt. Rregulli nuk ndryshon nëse nuk ka dy, por tre ose më shumë terma në kllapa. Komentoni. Shenjat janë të kundërta vetëm përpara termave. Për të hapur kllapat, në këtë rast duhet të kujtojmë vetinë shpërndarëse.

Për numrat e vetëm në kllapa

Gabimi juaj nuk është në shenja, por në mosfunksionim me thyesa? Në klasën e 6-të takuam pozitiv dhe numrat negativë. Si do t'i zgjidhim shembujt dhe ekuacionet?

Sa është në kllapa? Çfarë mund të thoni për këto shprehje? Natyrisht, rezultati i shembullit të parë dhe të dytë është i njëjtë, që do të thotë se mund të vendosim një shenjë të barabartë midis tyre: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Çfarë bëmë me kllapat?

Demonstrimi i rrëshqitjes 6 me rregullat për hapjen e kllapave. Kështu, rregullat për hapjen e kllapave do të na ndihmojnë të zgjidhim shembuj dhe të thjeshtojmë shprehjet. Më pas, nxënësve u kërkohet të punojnë në dyshe: duhet të përdorin shigjeta për të lidhur shprehjen që përmban kllapa me shprehjen përkatëse pa kllapa.

Slide 11 Njëherë e një kohë Qytet me diell Znayka dhe Dunno argumentuan se cili prej tyre e zgjidhi saktë ekuacionin. Më pas, nxënësit e zgjidhin vetë ekuacionin duke përdorur rregullat për hapjen e kllapave. Zgjidhja e ekuacioneve” Objektivat e mësimit: edukativ (përforcimi i njohurive me temën: “Kllapa hapëse.

Tema e mësimit: “Hapja e kllapave. Në këtë rast, duhet të shumëzoni çdo term nga kllapat e para me secilin term nga kllapat e dyta dhe më pas të shtoni rezultatet. Fillimisht merren dy faktorët e parë, të mbyllur në një kllapa më shumë dhe brenda këtyre kllapave hapen kllapat sipas një prej rregullave tashmë të njohura.

rawalan.freezeet.ru

Kllapat hapëse: rregulla dhe shembuj (klasa 7)

Funksioni kryesor i kllapave është ndryshimi i renditjes së veprimeve gjatë llogaritjes së vlerave shprehjet numerike . Për shembull, V numerikisht\(5·3+7\) fillimisht do të llogaritet shumëzimi, e më pas mbledhja: \(5·3+7 =15+7=22\). Por në shprehjen \(5·(3+7)\) fillimisht do të llogaritet mbledhja në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Megjithatë, nëse kemi të bëjmë me shprehje algjebrike që përmban e ndryshueshme- për shembull, si kjo: \(2(x-3)\) - atëherë është e pamundur të llogaritet vlera në kllapa, ndryshorja është në rrugë. Prandaj, në këtë rast, kllapat "hapen" duke përdorur rregullat e duhura.

Rregullat për hapjen e kllapave

Nëse ka një shenjë plus përpara kllapës, atëherë kllapa thjesht hiqet, shprehja në të mbetet e pandryshuar. Me fjalë të tjera:

Këtu është e nevojshme të sqarohet se në matematikë, për të shkurtuar shënimet, është zakon të mos shkruhet shenja plus nëse shfaqet e para në shprehje. Për shembull, nëse shtojmë dy numra pozitivë, për shembull, shtatë dhe tre, atëherë nuk shkruajmë \(+7+3\), por thjesht \(7+3\), pavarësisht se shtatë është gjithashtu një numër pozitiv. . Në mënyrë të ngjashme, nëse shihni, për shembull, shprehjen \((5+x)\) - dijeni këtë para kllapave ka një plus, i cili nuk shkruhet.

Shembull . Hapni kllapa dhe sillni terma të ngjashëm: \((x-11)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Nëse ka një shenjë minus përpara kllapës, atëherë kur kllapa hiqet, secili anëtar i shprehjes brenda tij ndryshon shenjën në të kundërtën:

Këtu është e nevojshme të sqarohet se ndërsa a ishte në kllapa, kishte një shenjë plus (ata thjesht nuk e shkruan), dhe pas heqjes së kllapës, ky plus ndryshoi në një minus.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen \(2x-(-7+x)\).
Zgjidhje : brenda kllapës ka dy terma: \(-7\) dhe \(x\), dhe para kllapës ka një minus. Kjo do të thotë që shenjat do të ndryshojnë - dhe shtatë tani do të jenë një plus, dhe x tani do të jetë një minus. Hapni kllapa dhe ne paraqesim terma të ngjashëm .

Shembull. Hapni kllapa dhe jepni terma të ngjashëm \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Nëse ka një faktor përpara kllapës, atëherë çdo anëtar i kllapës shumëzohet me të, domethënë:

Shembull. Zgjeroni kllapat \(5(3-x)\).
Zgjidhje : Në kllapa kemi \(3\) dhe \(-x\), dhe para kllapës është një pesë. Kjo do të thotë që çdo anëtar i kllapave shumëzohet me \(5\) - ju kujtoj këtë Shenja e shumëzimit midis një numri dhe një kllapa nuk shkruhet në matematikë për të zvogëluar madhësinë e hyrjeve.

Shembull. Zgjero kllapat \(-2(-3x+5)\).
Zgjidhje : Si në shembullin e mëparshëm, \(-3x\) dhe \(5\) në kllapa shumëzohen me \(-2\).

Mbetet për të shqyrtuar situatën e fundit.

Kur shumëzoni një kllapë me një kllapë, çdo term i kllapës së parë shumëzohet me çdo term të të dytës:

Shembull. Zgjeroni kllapat \((2-x)(3x-1)\).
Zgjidhje : Ne kemi një produkt me kllapa dhe ai mund të zgjerohet menjëherë duke përdorur formulën e mësipërme. Por për të mos u ngatërruar, le të bëjmë gjithçka hap pas hapi.
Hapi 1. Hiqni kllapin e parë dhe shumëzoni çdo anëtar me kllapin e dytë:

Hapi 2. Zgjeroni produktet e kllapave dhe faktorin siç përshkruhet më sipër:
- Së pari gjërat e para...

Hapi 3. Tani shumëzojmë dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Nuk është e nevojshme të përshkruani të gjitha transformimet në mënyrë kaq të detajuar, ju mund t'i shumëzoni ato menjëherë. Por nëse sapo po mësoni se si të hapni kllapa, shkruani në detaje, do të ketë më pak shanse për të bërë gabime.

Shënim për të gjithë seksionin. Në fakt, nuk keni nevojë t'i mbani mend të katër rregullat, duhet të mbani mend vetëm një, këtë: \(c(a-b)=ca-cb\) . Pse? Sepse nëse zëvendësoni një në vend të c, ju merrni rregullin \((a-b)=a-b\) . Dhe nëse zëvendësojmë minus një, marrim rregullin \(-(a-b)=-a+b\) . Epo, nëse zëvendësoni një kllapë tjetër në vend të c, mund të merrni rregullin e fundit.

Parantezë brenda një kllapa

Ndonjëherë në praktikë ka probleme me kllapat e vendosura brenda kllapave të tjera. Këtu është një shembull i një detyre të tillë: thjeshtoni shprehjen \(7x+2(5-(3x+y))\).

Për të zgjidhur me sukses detyra të tilla, ju duhet:
- të kuptojë me kujdes folenë e kllapave - cila në cilën është;
- hapni kllapat në mënyrë sekuenciale, duke filluar, për shembull, me atë më të brendshmen.

Është e rëndësishme kur hapni një nga kllapat mos e prekni pjesën tjetër të shprehjes, thjesht duke e rishkruar ashtu siç është.
Le të shohim detyrën e shkruar më sipër si shembull.

Shembull. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(7x+2(5-(3x+y))\).
Zgjidhja:

Le ta fillojmë detyrën duke hapur kllapin e brendshëm (atë brenda). Duke e zgjeruar atë, ne kemi të bëjmë vetëm me atë që lidhet drejtpërdrejt me të - kjo është vetë kllapa dhe minusi përpara tij (i theksuar me të gjelbër). Ne rishkruajmë gjithçka tjetër (jo të theksuar) në të njëjtën mënyrë që ishte.

Zgjidhja e problemeve matematikore në internet

Llogaritësi online.
Thjeshtimi i një polinomi.
Shumëzimi i polinomeve.

Duke përdorur këtë programi i matematikës ju mund ta thjeshtoni polinomin.
Ndërsa programi po funksionon:
- shumëzon polinomet
- përmbledh monomët (jep të ngjashëm)
- hap kllapa
- ngre një polinom në një fuqi

Programi i thjeshtimit polinom jo vetëm që i jep përgjigje problemit, ai jep një zgjidhje të detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes në mënyrë që të mund të kontrolloni njohuritë tuaja për matematikën dhe/ose algjebrën.

Ky program mund të jetë i dobishëm për studentët shkollat ​​e mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje e detajuar.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni një sekondë.

Pak teori.

Prodhimi i një monomi dhe një polinomi. Koncepti i një polinomi

Ndër shprehje të ndryshme, të cilat konsiderohen në algjebër, vend i rëndësishëm zënë shuma monomësh. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve pamje standarde:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:

Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Për shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, një binom ka shkallën e tretë, dhe një trinom ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve të shkallës së saj. Për shembull:

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetitë shpërndarëse shumëzimet mund të shndërrohen (thjeshtohen) në një polinom, produkt i një monomi dhe një polinomi. Për shembull:

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shuma e katrorëve, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Me disa shprehje në transformimet algjebrike duhet të merren me më shpesh se të tjerët. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë u, pra katrori i shumës, katrori i ndryshimit dhe diferenca e katrorëve. A e keni vënë re se emrat shprehjet e specifikuara pa marrë parasysh sa e papërfunduar, për shembull, kjo, natyrisht, nuk është vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet mund të shndërrohen lehtësisht (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, tashmë keni hasur në një detyrë të tillë kur shumëzoni polinomet:

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

- katrori i shumës e barabartë me shumën katrore dhe dyfishoni produktin.

- katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishtë.

- diferenca e katrorëve është e barabartë me prodhimin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë që njeriu të zëvendësojë pjesët e tij të majta me ato të djathta në transformime dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit Dhe Testet OGE lojra online, enigma Funksionet grafikuese Fjalor drejtshkrimor Gjuha ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista e detyrave Gjetja e GCD dhe LCM Thjeshtimi i një polinomi (shumëzimi i polinomeve) Pjesëtimi i një polinomi me një polinom me një kolonë Llogaritja thyesat numerike Zgjidhja e problemeve që përfshijnë përqindje Numrat kompleks: shuma, diferenca, prodhimi dhe koeficienti i sistemit 2 ekuacionet lineare me dy variablat Zgjidhja ekuacioni kuadratik Vendosja në katror e një binomi dhe faktorizimi i tij trinom kuadratik Zgjidhja e inekuacioneve Zgjidhja e sistemeve të inekuacioneve Hartimi i një grafiku funksion kuadratik Hartimi i një grafiku funksion linear thyesor Zgjidhja e aritmetikës dhe progresionet gjeometrike Zgjidhja trigonometrike, eksponenciale, ekuacionet logaritmike Llogaritja e kufijve, derivatit, tangjentes Integral, Zgjidhje antiderivative trekëndëshat Llogaritjet e veprimeve me vektorë Llogaritjet e veprimeve me drejtëza dhe rrafshe Sipërfaqja forma gjeometrike Perimetri i formave gjeometrike Vëllimi trupat gjeometrikë Sipërfaqja e trupave të ngurtë gjeometrike
Konstruktor i situatës së trafikut
Moti - lajme - horoskopi

www.mathsolution.ru

Kllapat në zgjerim

Ne vazhdojmë të studiojmë bazat e algjebrës. NË këtë mësim do të mësojmë si të zgjerojmë kllapat në shprehje. Zgjerimi i kllapave nënkupton heqjen e kllapave nga një shprehje.

Për të hapur kllapat, duhet të mësoni përmendësh vetëm dy rregulla. Në klasa të rregullta ju mund të hapni kllapat me sytë e mbyllur, dhe ato rregulla që kërkohej të mësoheshin përmendësh mund të harrohen me siguri.

Rregulli i parë për hapjen e kllapave

Merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:

Vlera e kësaj shprehjeje është 2 . Le të hapim kllapat në këtë shprehje. Zgjerimi i kllapave do të thotë t'i heqësh qafe ato pa ndikuar në kuptimin e shprehjes. Domethënë, pasi të hiqni qafe kllapat, vlera e shprehjes 8+(−9+3) duhet të jetë ende e barabartë me dy.

Rregulli i parë për hapjen e kllapave është si më poshtë:

Kur hapni kllapat, nëse ka një plus përpara kllapave, atëherë ky plus hiqet së bashku me kllapat.

Pra, ne e shohim atë në shprehje 8+(−9+3) Para kllapave ka një shenjë plus. Ky plus duhet të hiqet së bashku me kllapat. Me fjalë të tjera, kllapat do të zhduken së bashku me plusin që qëndronte para tyre. Dhe ajo që ishte në kllapa do të shkruhet pa ndryshime:

8−9+3 . Kjo shprehje barazohet 2 , si shprehja e mëparshme me kllapa, ishte e barabartë me 2 .

8+(−9+3) Dhe 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Shembulli 2. Zgjeroni kllapat në shprehje 3 + (−1 − 4)

Ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të mbetet e pandryshuar:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 2 + (−1)

NË në këtë shembull hapja e kllapave është bërë një lloj operacion i kundërt duke zëvendësuar zbritjen me mbledhjen. Si ta kuptojmë këtë?

Në shprehje 2−1 zbritja ndodh, por ajo mund të zëvendësohet me mbledhje. Pastaj marrim shprehjen 2+(−1) . Por nëse në shprehje 2+(−1) hapni kllapat, merrni origjinalin 2−1 .

Prandaj, rregulli i parë për hapjen e kllapave mund të përdoret për të thjeshtuar shprehjet pas disa transformimeve. Kjo do të thotë, hiqni atë nga kllapat dhe bëjeni më të thjeshtë.

Për shembull, le të thjeshtojmë shprehjen 2a+a−5b+b .

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të jepen terma të ngjashëm. Le të kujtojmë se për të zvogëluar termat e ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e termave të ngjashëm dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët:

Mori një shprehje 3a+(−4b). Le të heqim kllapat në këtë shprehje. Ka një plus përpara kllapave, kështu që ne përdorim rregullin e parë për hapjen e kllapave, domethënë, ne i heqim kllapat së bashku me plusin që vjen përpara këtyre kllapave:

Pra shprehja 2a+a−5b+b thjeshton të 3a−4b .

Pasi të keni hapur disa kllapa, mund të hasni të tjera gjatë rrugës. Për ta zbatojmë të njëjtat rregulla si për të parët. Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehjen e mëposhtme:

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në këtë rast, zbatohet rregulli i parë i hapjes së kllapave, përkatësisht, heqja e kllapave së bashku me shenjën plus që i paraprin këtyre kllapave:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 6+(−3)+(−2)

Në të dyja vendet ku ka kllapa, paraprihet nga një plus. Këtu përsëri zbatohet rregulli i parë i hapjes së kllapave:

Ndonjëherë termi i parë në kllapa shkruhet pa shenjë. Për shembull, në shprehje 1+(2+3−4) termi i parë në kllapa 2 shkruar pa shenjë. Shtrohet pyetja, çfarë shenje do të shfaqet para të dyve pasi të hiqen kllapat dhe plusi para kllapave? Përgjigja sugjeron vetë - do të ketë një plus para të dyve.

Në fakt, edhe duke qenë në kllapa ka një plus para të dyjave, por nuk e shohim sepse nuk është e shkruar. Këtë e kemi thënë tashmë rekord i plotë numrat pozitivë duken si +1, +2, +3. Por sipas traditës, pluset nuk shënohen, kjo është arsyeja pse ne shohim numrat pozitivë që janë të njohur për ne 1, 2, 3 .

Prandaj, për të zgjeruar kllapat në shprehje 1+(2+3−4) , duhet të hiqni kllapat si zakonisht, së bashku me shenjën plus përpara këtyre kllapave, por shkruajeni termin e parë që ishte në kllapa me një shenjë plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Shembulli 4. Zgjeroni kllapat në shprehje −5 + (2 − 3)

Ka një plus përpara kllapave, kështu që ne zbatojmë rregullin e parë për hapjen e kllapave, domethënë, ne i lëmë kllapat së bashku me plusin që vjen përpara këtyre kllapave. Por termi i parë, të cilin e shkruajmë në kllapa me një shenjë plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Shembulli 5. Zgjeroni kllapat në shprehje (−5)

Para kllapave ka një plus, por nuk shkruhet sepse para tij nuk kishte numra apo shprehje të tjera. Detyra jonë është të heqim kllapat duke zbatuar rregullin e parë të hapjes së kllapave, domethënë, të heqim kllapat së bashku me këtë plus (edhe nëse është i padukshëm)

Shembulli 6. Zgjeroni kllapat në shprehje 2a + (−6a + b)

Ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të shkruhet e pandryshuar:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Shembulli 7. Zgjeroni kllapat në shprehje 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ka dy vende në këtë shprehje ku duhet të zgjeroni kllapat. Në të dy seksionet ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të shkruhet e pandryshuar:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Rregulli i dytë për hapjen e kllapave

Tani le të shohim rregullin e dytë për hapjen e kllapave. Përdoret kur ka një minus para kllapave.

Nëse ka një minus para kllapave, atëherë ky minus hiqet së bashku me kllapat, por termat që ishin në kllapa ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën.

Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehjen e mëposhtme

Shohim që ka një minus para kllapave. Kjo do të thotë që ju duhet të zbatoni rregullin e dytë të zgjerimit, domethënë të hiqni kllapat së bashku me shenjën minus përpara këtyre kllapave. Në këtë rast, termat që ishin në kllapa do të ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën:

Morëm një shprehje pa kllapa 5+2+3 . Kjo shprehje është e barabartë me 10, ashtu si shprehja e mëparshme me kllapa ishte e barabartë me 10.

Kështu, midis shprehjeve 5−(−2−3) Dhe 5+2+3 mund të vendosni një shenjë të barabartë, pasi ato janë të barabarta me të njëjtën vlerë:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Shembulli 2. Zgjeroni kllapat në shprehje 6 − (−2 − 5)

Para kllapave ka një minus, kështu që zbatojmë rregullin e dytë për hapjen e kllapave, përkatësisht, i heqim kllapat së bashku me minusin që vjen përpara këtyre kllapave. Në këtë rast, ne shkruajmë termat që ishin në kllapa me shenja të kundërta:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 2 − (7 + 3)

Ka një minus para kllapave, kështu që ne zbatojmë rregullin e dytë për hapjen e kllapave:

Shembulli 4. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−3 + 4)

Shembulli 5. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në rastin e parë, duhet të zbatoni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, dhe kur bëhet fjalë për shprehjen +(−9−2) ju duhet të zbatoni rregullin e parë:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Shembulli 6. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−a − 1)

Shembulli 7. Zgjeroni kllapat në shprehje −(4a + 3)

Shembulli 8. Zgjeroni kllapat në shprehje a − (4b + 3) + 15

Shembulli 9. Zgjeroni kllapat në shprehje 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në rastin e parë, duhet të zbatoni rregullin e parë për hapjen e kllapave, dhe kur bëhet fjalë për shprehjen −(3c+5) ju duhet të zbatoni rregullin e dytë:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Shembulli 10. Zgjeroni kllapat në shprehje −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ka tre vende ku duhet të hapni kllapat. Së pari ju duhet të zbatoni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, pastaj të parën dhe pastaj përsëri të dytin:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mekanizmi i hapjes së kllapave

Rregullat për hapjen e kllapave që kemi shqyrtuar tani bazohen në ligjin shpërndarës të shumëzimit:

Në fakt hapjen e kllapave thirrni procedurën kur shumëzues i përbashkët shumëzuar me çdo term në kllapa. Si rezultat i këtij shumëzimi, kllapat zhduken. Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehje 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Prandaj, nëse duhet të shumëzoni një numër me një shprehje në kllapa (ose të shumëzoni një shprehje në kllapa me një numër), duhet të thoni le të hapim kllapat.

Por si lidhet ligji shpërndarës i shumëzimit me rregullat për hapjen e kllapave që shqyrtuam më parë?

Fakti është se para çdo kllapa ka një faktor të përbashkët. Në shembullin 3×(4+5) faktori i përbashkët është 3 . Dhe në shembull a(b+c) faktori i përbashkët është një variabël a.

Nëse nuk ka numra ose ndryshore para kllapave, atëherë faktori i përbashkët është 1 ose −1 , në varësi të asaj shenje që është përpara kllapave. Nëse ka një plus përpara kllapave, atëherë faktori i përbashkët është 1 . Nëse ka një minus para kllapave, atëherë faktori i përbashkët është −1 .

Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehje −(3b−1). Ka një shenjë minus përpara kllapave, kështu që duhet të përdorni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, domethënë të hiqni kllapat së bashku me shenjën minus përpara kllapave. Dhe shkruani shprehjen që ishte në kllapa me shenja të kundërta:

Ne i zgjeruam kllapat duke përdorur rregullin për zgjerimin e kllapave. Por të njëjtat kllapa mund të hapen duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit. Për ta bërë këtë, së pari shkruani para kllapave faktorin e përbashkët 1, i cili nuk është shkruar:

Shenja minus që qëndronte më parë përpara kllapave i referohej kësaj njësie. Tani mund të hapni kllapat duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit. Për këtë qëllim faktori i përbashkët −1 ju duhet të shumëzoni me çdo term në kllapa dhe të shtoni rezultatet.

Për lehtësi, ne zëvendësojmë diferencën në kllapa me shumën:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Si në herën e fundit kemi marrë shprehjen −3b+1. Të gjithë do të pajtohen që këtë herë u harxhua më shumë kohë për të zgjidhur një shembull kaq të thjeshtë. Prandaj, është më e mençur të përdoren rregulla të gatshme për hapjen e kllapave, të cilat i diskutuam në këtë mësim:

Por nuk është e dëmshme të dini se si funksionojnë këto rregulla.

Në këtë mësim mësuam edhe një gjë transformim identik. Së bashku me hapjen e kllapave, nxjerrjen e gjeneralit jashtë kllapave dhe sjelljen e termave të ngjashëm, mund të zgjeroni pak gamën e problemeve që do të zgjidhen. Për shembull:

Këtu ju duhet të kryeni dy veprime - së pari hapni kllapat dhe më pas sillni terma të ngjashëm. Pra, me radhë:

1) Hapni kllapat:

2) Ne paraqesim terma të ngjashëm:

Në shprehjen që rezulton −10b+(−1) ju mund të zgjeroni kllapat:

Shembulli 2. Hapni kllapat dhe shtoni terma të ngjashëm në shprehjen e mëposhtme:

1) Le të hapim kllapat:

2) Le të paraqesim terma të ngjashëm. Këtë herë, për të kursyer kohë dhe hapësirë, nuk do të shkruajmë se si shumëzohen koeficientët me pjesën e shkronjës së përbashkët

Shembulli 3. Thjeshtoni një shprehje 8m+3m dhe gjeni vlerën e saj në m=−4

1) Së pari, le të thjeshtojmë shprehjen. Për të thjeshtuar shprehjen 8m+3m, ju mund të hiqni faktorin e përbashkët në të m jashtë kllapave:

2) Gjeni vlerën e shprehjes m(8+3) në m=−4. Për ta bërë këtë, në shprehje m(8+3) në vend të një ndryshoreje m zëvendësoni numrin −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Ajo pjesë e ekuacionit është shprehja në kllapa. Për të hapur kllapat, shikoni shenjën përpara kllapave. Nëse ka një shenjë plus, hapja e kllapave në shprehje nuk do të ndryshojë asgjë: thjesht hiqni kllapat. Nëse ka një shenjë minus, kur hapni kllapat, duhet të ndryshoni të gjitha shenjat që ishin fillimisht në kllapa në ato të kundërta. Për shembull, -(2x-3)=-2x+3.

Duke shumëzuar dy kllapa.
Nëse ekuacioni përmban produktin e dy kllapave, zgjeroni kllapat sipas rregullit standard. Çdo term në kllapa e parë shumëzohet me secilin term në kllapin e dytë. Numrat që rezultojnë janë përmbledhur. Në këtë rast, prodhimi i dy "pluseve" ose dy "minuseve" i jep termit një shenjë "plus" dhe nëse faktorët kanë shenja të ndryshme, pastaj merr një shenjë minus.
Le të shqyrtojmë.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Duke hapur kllapa, ndonjëherë duke ngritur një shprehje në . Formulat për katrorë dhe kubikë duhet të njihen përmendësh dhe të mbahen mend.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulat për ndërtimin e një shprehjeje më të madhe se tre mund të bëhen duke përdorur trekëndëshin e Paskalit.

Burimet:

• formula e zgjerimit të kllapave

Veprimet matematikore të mbyllura në kllapa mund të përmbajnë variabla dhe shprehje shkallë të ndryshme kompleksiteti. Për të shumëzuar shprehje të tilla, do të duhet të kërkoni një zgjidhje pamje e përgjithshme, duke hapur kllapat dhe duke thjeshtuar rezultatin. Nëse kllapat përmbajnë operacione pa variabla, vetëm me vlerat numerike, atëherë nuk është e nevojshme të hapni kllapat, pasi nëse keni një kompjuter, përdoruesi i tij ka qasje në burime kompjuterike shumë domethënëse - është më e lehtë t'i përdorësh ato sesa të thjeshtosh shprehjen.

Udhëzimet

Shumëzojeni në mënyrë sekuenciale secilën (ose minuend me ) të përmbajtur në një kllapa me përmbajtjen e të gjitha kllapave të tjera nëse dëshironi të merrni rezultatin në formë të përgjithshme. Për shembull, le të shkruhet shprehja origjinale si më poshtë: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Atëherë shumëzimi sekuencial (d.m.th., hapja e kllapave) do të japë rezultatin e mëposhtëm: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5*x+5*6*5*2) - (5*x*5*x+ 5* x*5*2) + (6*x*x*x+6*x*2*x) - (x*x*x*x+x*x*2*x) = 5*6*5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Thjeshtoni rezultatin duke shkurtuar shprehjet. Për shembull, shprehja e marrë në hapin e mëparshëm mund të thjeshtohet si më poshtë: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Përdorni një kalkulator nëse duhet të shumëzoni x është e barabartë me 4,75, domethënë (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Për të llogaritur këtë vlerë, shkoni në faqen e internetit të motorit të kërkimit Google ose Nigma dhe futni shprehjen në fushën e pyetjes në formën e saj origjinale (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google do të shfaqë 82.265625 menjëherë, pa klikuar një buton, por Nigma duhet të dërgojë të dhëna në server me një klik të një butoni.

Në këtë mësim do të mësoni se si të transformoni një shprehje që përmban kllapa në një shprehje pa kllapa. Do të mësoni se si të hapni kllapat të paraprira nga një shenjë plus dhe një shenjë minus. Ne do të kujtojmë se si të hapim kllapa duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit. Shembujt e konsideruar do t'ju lejojnë të lidhni materialin e ri dhe të studiuar më parë në një tërësi të vetme.

Tema: Zgjidhja e ekuacioneve

Mësimi: Zgjerimi i kllapave

Si të zgjerohen kllapat e paraprira nga një shenjë "+". Duke përdorur ligjin asociativ të mbledhjes.

Nëse ju duhet të shtoni shumën e dy numrave në një numër, fillimisht mund t'i shtoni këtij numri termin e parë dhe më pas të dytin.

Në të majtë të shenjës së barazimit është një shprehje me kllapa, dhe në të djathtë është një shprehje pa kllapa. Kjo do të thotë se kur lëvizni nga ana e majtë e barazisë në të djathtë, ndodhi hapja e kllapave.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 1.

Duke hapur kllapat, ne ndryshuam rendin e veprimeve. Është bërë më i përshtatshëm për të numëruar.

Shembulli 2.

Shembulli 3.

Vini re se në të tre shembujt thjesht i hoqëm kllapat. Le të formulojmë një rregull:

Komentoni.

Nëse termi i parë në kllapa është i panënshkruar, atëherë ai duhet të shkruhet me një shenjë plus.

Ju mund të ndiqni shembullin hap pas hapi. Së pari, shtoni 445 në 889. Ky veprim mund të kryhet mendërisht, por nuk është shumë i lehtë. Le të hapim kllapat dhe të shohim se procedura e ndryshuar do të thjeshtojë ndjeshëm llogaritjet.

Nëse ndiqni procedurën e treguar, së pari duhet të zbrisni 345 nga 512, dhe më pas të shtoni 1345 në rezultat, duke hapur kllapat, ne do të ndryshojmë procedurën dhe do të thjeshtojmë ndjeshëm llogaritjet.

Ilustrimi i shembullit dhe rregullit.

Le të shohim një shembull: . Ju mund të gjeni vlerën e një shprehjeje duke shtuar 2 dhe 5, dhe më pas duke marrë numrin që rezulton me shenjën e kundërt. Ne marrim -7.

Nga ana tjetër, i njëjti rezultat mund të merret duke shtuar numrat e kundërt të atyre origjinalë.

Le të formulojmë një rregull:

Shembulli 1.

Shembulli 2.

Rregulli nuk ndryshon nëse nuk ka dy, por tre ose më shumë terma në kllapa.

Shembulli 3.

Komentoni. Shenjat janë të kundërta vetëm përpara termave.

Për të hapur kllapat, në këtë rast duhet të kujtojmë vetinë shpërndarëse.

Së pari, shumëzojeni kllapin e parë me 2 dhe të dytën me 3.

Kllapa e parë paraprihet nga një shenjë "+", që do të thotë se shenjat duhet të lihen të pandryshuara. Shenja e dytë paraprihet nga një shenjë "-", prandaj, të gjitha shenjat duhet të ndryshohen në të kundërtën

Referencat

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikë klasa e 6-të. - Gjimnazi, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. - Iluminizmi, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Detyra për lëndën e matematikës klasat 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Një manual për nxënësit e klasave të 6-ta në shkollën me korrespondencë MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Libër mësuesi-bashkëbisedues për klasat 5-6 shkolla e mesme. Biblioteka e mësuesit të matematikës. - Iluminizmi, 1989.

1. Testet online në matematikë ().
2. Ju mund të shkarkoni ato të specifikuara në pikën 1.2. libra ().

Detyrë shtëpie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (lidhja shih 1.2)
2. Detyrë shtëpie: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
3. Detyra të tjera: Nr. 1258 (c), nr. 1248

Ndër shprehjet e ndryshme që konsiderohen në algjebër, një vend të rëndësishëm zënë shumat e monomëve. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Për shembull, një polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
mund të thjeshtohet.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Për shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, binomi \(12a^2b - 7b\) ka shkallën e tretë, dhe trinomi \(2b^2 -7b + 6\) ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve të shkallës së saj. Për shembull:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shuma e katrorëve, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Ju duhet të merreni me disa shprehje në transformimet algjebrike më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dhe \(a^2 - b^2 \), pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. Ju vutë re se emrat e këtyre shprehjeve duken të paplota, për shembull, \((a + b)^2 \) është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b . Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lehtë mund të shndërrohen (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, një detyrë të tillë e keni hasur tashmë gjatë shumëzimit të polinomeve; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - katrori i shumës është i barabartë me shumën e katrorëve dhe produktit të dyfishtë.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishuar.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferenca e katrorëve është e barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë që njeriu të zëvendësojë pjesët e tij të majta me ato të djathta në transformime dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.