Kuptimi fizik derivatore. NË përbërjen e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë përfshin një grup problemesh për zgjidhje të cilat kërkojnë njohuri dhe kuptim të kuptimit fizik të derivatit. Në veçanti, ka probleme ku jepet ligji i lëvizjes së një pike (objekti) të caktuar, shprehur me ekuacion dhe ju duhet të gjeni shpejtësinë e tij në një moment të caktuar në kohën e lëvizjes, ose kohën pas së cilës objekti do të fitojë një shpejtësi të caktuar të caktuar.Detyrat janë shumë të thjeshta, ato mund të zgjidhen me një veprim. Pra:

Le të jepet ligji i lëvizjes pika materiale x(t) së bashku boshti koordinativ, ku x është koordinata e pikës lëvizëse, t është koha.

Shpejtësia në një moment të caktuar në kohë është derivati i koordinatës në lidhje me kohën. Kjo është ajo që sensi mekanik derivatore.

Po kështu, nxitimi është derivat i shpejtësisë në lidhje me kohën:

Kështu, kuptimi fizik i derivatit është shpejtësia. Kjo mund të jetë shpejtësia e lëvizjes, shpejtësia e ndryshimit të një procesi (për shembull, rritja e baktereve), shkalla e punës së bërë (e kështu me radhë, problemet e aplikuara grup).

Përveç kësaj, duhet të dini tabelën e derivateve (duhet ta dini ashtu si tabela e shumëzimit) dhe rregullat e diferencimit. Në mënyrë të veçantë, për të zgjidhur problemet e specifikuara, është e nevojshme njohja e gjashtë derivateve të parë (shih tabelën):

Le të shqyrtojmë detyrat:

x (t) = t 2 – 7t – 20

ku x t është koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 5 s.

Kuptimi fizik i një derivati është shpejtësia (shpejtësia e lëvizjes, shpejtësia e ndryshimit të një procesi, shpejtësia e punës, etj.)

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Në t = 5 kemi:

Përgjigje: 3

Vendosni vetë:

Pika materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x (t) = 6t 2 – 48t + 17, ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 9 s.

Pika materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, ku xt- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 6 s.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra,t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 3 s.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda, e matur nga fillimi i lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 6 m/s?

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë:

Për të gjetur se në cilën pikë kohoretshpejtësia ishte 3 m/s, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni:

Përgjigje: 3

Vendosni vetë:

Pika materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x (t) = t 2 – 13t + 23, ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 3 m/s?

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 2 m/s?

Dua të vërej se nuk duhet të përqendroheni vetëm në këtë lloj detyrash në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Ata mund të sjellin në mënyrë krejtësisht të papritur probleme që janë të kundërta me ato të paraqitura. Kur jepet ligji i ndryshimit të shpejtësisë dhe pyetja do të jetë për gjetjen e ligjit të lëvizjes.

Këshillë: në këtë rast, ju duhet të gjeni integralin e funksionit të shpejtësisë (kjo është gjithashtu një detyrë me një hap). Nëse keni nevojë të gjeni distancën e përshkuar në një moment të caktuar kohor, duhet të zëvendësoni kohën në ekuacionin që rezulton dhe të llogarisni distancën. Megjithatë, ne do të analizojmë edhe probleme të tilla, mos e humbisni!Ju uroj fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

− Mësues Dumbadze V.A.
nga shkolla 162 e rrethit Kirov të Shën Petersburgut.

Grupi ynë VKontakte
Aplikacione celulare:

(ku x t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes). Gjeni shpejtësinë e tij (në m/s) në momentin e kohës t= 9 s.

Në t= 9 s kemi:

Pse po e lëmë jashtë numrin 17 nga ekuacioni origjinal?

gjeni derivatin e funksionit origjinal.

nuk ka numër 17 në derivat

Pse të gjendet derivati?

Shpejtësia është derivat i një koordinate në lidhje me kohën.

Problemi ju kërkon të gjeni shpejtësinë

x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes). Gjeni shpejtësinë e tij në (m/s) në momentin e kohës t= 6 s.

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, jo 20

mbani mend procedurën

Që kur është e preferueshme mbledhja ndaj zbritjes?

Shumëzimi ka përparësi ndaj mbledhjes dhe zbritjes. Mbani mend ato të fëmijëve shembulli i shkollës: 2 + 2 · 2. Më lejoni t'ju kujtoj se këtu nuk rezulton 8, siç mendojnë disa njerëz, por 6.

Nuk e kuptove përgjigjen e të ftuarit.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Pra, gjithçka është e saktë, bëni llogaritë për veten tuaj.

2) shumëzim/pjestim (varet nga rendi në ekuacion; ajo që vjen e para zgjidhet e para);

3) mbledhje/zbritje (në mënyrë të ngjashme varet nga rendi në shembull).

Shumëzim = pjesëtim, mbledhje = zbritje =>

Jo 54 - (36+2), por 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Së pari, për ju - Sergei Batkovich. Së dyti, a e kuptove çfarë doje t'i thuash dhe kujt? nuk te kuptova.

Një pikë materiale lëviz në mënyrë drejtvizore sipas ligjit (ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes). Gjeni shpejtësinë e tij në (m/s) në kohën s.

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë: m/s. Kur kemi:

Mësim me temën: “Rregullat e diferencimit”, klasa e 11-të

Seksionet: Matematika

Lloji i mësimit: përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive.

Objektivat e mësimit:

arsimore:
- të përgjithësojë dhe të sistemojë materialin në temën e gjetjes së derivatit;
- të konsolidojë rregullat e diferencimit;
- hapja e politeknikës për studentët, vlerë e aplikuar tema;
duke zhvilluar:
- të ushtrojë kontroll mbi përvetësimin e njohurive dhe aftësive;
- zhvillojnë dhe përmirësojnë aftësinë për të zbatuar njohuritë në një situatë të ndryshuar;
- të zhvillojë një kulturë të të folurit dhe aftësinë për të nxjerrë përfundime dhe përgjithësuar;
arsimore:
- zhvillimi i procesit njohës;
- Për të rrënjosur tek studentët saktësinë në dizajn dhe vendosmëri.

Pajisjet:

projektor lart, ekran;
karta;
kompjuterë;
tavolinë;
detyra të diferencuara në formën e prezantimeve multimediale.

I. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

1. Dëgjoni raportet e nxënësve për shembuj të përdorimit të derivateve.

2. Shqyrtoni shembuj të përdorimit të derivateve në fizikë, kimi, inxhinieri dhe fusha të tjera të propozuara nga studentët.

II. Përditësimi i njohurive.

Mësues:

Përcaktoni derivatin e një funksioni.
Cili operacion quhet diferencim?
Cilat rregulla diferencimi përdoren gjatë llogaritjes së derivatit? (Studentët e kërkuar ftohen të vijnë në bord).
- derivati i shumës;
- derivat i veprës;
- derivat që përmban një faktor konstant;
- derivati i herësit;
- derivat i një funksioni kompleks;
Jepni shembuj të problemeve të aplikuara që çojnë në konceptin e derivatit.

Një sërë problemesh të veçanta nga fusha të ndryshme Shkencë.

Detyra nr. 1. Trupi lëviz në vijë të drejtë sipas ligjit x(t). Shkruani formulën për gjetjen e shpejtësisë dhe nxitimit të një trupi në kohën t.

Detyra nr. 2. Rrezja e rrethit R ndryshon sipas ligjit R = 4 + 2t 2. Përcaktoni shkallën me të cilën ndryshon sipërfaqja e saj V momenti t = 2 s. Rrezja e një rrethi matet në centimetra. Përgjigje: 603 cm 2 /s.

Detyra nr. 3. Një pikë materiale me masë 5 kg lëviz drejtvizor sipas ligjit

S(t) = 2t+ , ku S- distanca në metra, t- koha në sekonda. Gjeni forcën që vepron në pikë në këtë moment t = 4 s.

Përgjigje: N.

Detyra nr 4. Volanti, i mbajtur nga frena, kthehet prapa t s në një kënd prej 3t - 0,1t 2 (rad). Gjeni:

a) shpejtësia këndore e rrotullimit të volantit në momentin t = 7 Me;
b) në cilën pikë kohore do të ndalojë volantja.

Përgjigje: a) 2,86; b) 150 s.

Shembujt e përdorimit të derivateve mund të përfshijnë gjithashtu probleme të gjetjes: kapaciteti specifik i nxehtësisë substanca e një trupi të caktuar, dendësia lineare dhe energjia kinetike e trupit etj.

III. Kryerja e detyrave të diferencuara.

Ata që duan të kryejnë detyrat e nivelit "A" ulen në kompjuter dhe kryejnë një test me një përgjigje të programuar. ( Aplikimi. )

1. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit në pikën x 0 = 3.

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = xe x në pikën x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Zgjidheni ekuacionin f / (x) = 0 nëse f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Njehsoni f/(1) nëse f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) në pikën t0 = 1.

6. Pika lëviz drejtvizore sipas ligjit: S(t) = t 3 – 3t 2. Zgjidhni një formulë që përcakton shpejtësinë e lëvizjes së kësaj pike në kohën t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Zbatimi i derivateve në fizikë, teknologji, biologji, jetë

Prezantimi për mësimin

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Lloji i mësimit: të integruara.

Objektivi i mësimit: studiojnë disa aspekte të aplikimit të derivateve në fusha të ndryshme të fizikës, kimisë dhe biologjisë.

Detyrat: duke zgjeruar horizontet e dikujt dhe aktiviteti njohës nxënësit, zhvillimi të menduarit logjik dhe aftësinë për të zbatuar njohuritë e tyre.

Mbështetje teknike: tabela e bardhë interaktive; kompjuter dhe disk.

I. Momenti organizativ

II. Vendosja e një qëllimi mësimor

- Unë do të doja të zhvilloja mësimin nën moton e Alexey Nikolaevich Krylov Matematikan sovjetik dhe ndërtuesi i anijeve: "Teoria pa praktikë është e vdekur ose e padobishme, praktika pa teori është e pamundur ose katastrofike".

- Le të shqyrtojmë konceptet bazë dhe t'u përgjigjemi pyetjeve:

– Më tregoni përkufizimin bazë të një derivati?
– Çfarë dini për derivatin (vetitë, teoremat)?
– A dini ndonjë shembull problemash që përdorin derivatet në fizikë, matematikë dhe biologji?

Shqyrtimi i përkufizimit bazë të një derivati dhe arsyetimi i tij (përgjigje në pyetjen e parë):

Derivat - një nga konceptet themelore matematikë. Kërkon aftësinë për të zgjidhur problemet duke përdorur derivate njohuri të mira material teorik, aftësia për të kryer kërkime në situata të ndryshme.

Prandaj, sot në mësim do të konsolidojmë dhe sistemojmë njohuritë e marra, do të shqyrtojmë dhe vlerësojmë punën e secilit grup dhe, duke përdorur shembullin e disa problemeve, do të tregojmë se si të zgjidhim probleme të tjera duke përdorur derivatin dhe detyra jo standarde duke përdorur derivate.

III. Shpjegimi i materialit të ri

1. Fuqia e menjëhershme është derivati i punës në lidhje me kohën:

W = lim ΔA/Δt ΔA - ndryshimi i punës.

2. Nëse një trup rrotullohet rreth një boshti, atëherë këndi i rrotullimit është funksion i kohës t
Pastaj shpejtësia këndoreështë e barabartë me:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Forca aktuale është një derivat Ι = lim Δg/Δt = g′, Ku g– ngarkesa elektrike pozitive e transferuar përmes seksionit kryq të një përcjellësi gjatë kohës Δt.

4. Le ΔQ- sasia e nxehtësisë e nevojshme për të ndryshuar temperaturën në Δt koha, atëherë lim ΔQ/Δt = Q′ = C – ngrohje specifike.

5. Problem për shpejtësinë e një reaksioni kimik

m(t) – m(t0) – sasia e substancës që reagon me kalimin e kohës t0 te t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Le të jetë m në masë substancë radioaktive. Shpejtësia zbërthimi radioaktiv: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

NË formë e diferencuar ligji i zbërthimit radioaktiv ka formën: dN/dt = – λN, Ku N– numri i bërthamave që nuk kanë kalbur kohë t.

Duke integruar këtë shprehje, marrim: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = konst në t = 0 numri bërthamat radioaktive N = N0, nga këtu kemi: ln N0 = konst, prandaj

n N = – λt + ln N0.

Duke fuqizuar këtë shprehje marrim:

– ligji i zbërthimit radioaktiv, ku N0– numri i bërthamave në të njëjtën kohë t0 = 0, N– numri i bërthamave që nuk janë kalbur me kalimin e kohës t.

7. Sipas ekuacionit të transferimit të nxehtësisë së Njutonit, shpejtësia e rrjedhës së nxehtësisë dQ/dtështë drejtpërdrejt proporcionale me sipërfaqen e dritares S dhe ndryshimin e temperaturës ΔT midis xhamit të brendshëm dhe të jashtëm dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me trashësinë e tij d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Fenomeni i Difuzionit është procesi i vendosjes së një shpërndarje ekuilibri

Brenda fazave të përqendrimit. Difuzioni shkon anash, duke niveluar përqendrimet.

m = D Δc/Δx c – përqendrimi
m = D c x x - koordinoj, D - koeficienti i difuzionit

9. Dihej se edhe fusha elektrike ngacmon ngarkesat elektrike, ose një fushë magnetike që ka një burim të vetëm - rrymë elektrike. James Clark Maxwell prezantoi një ndryshim në ligjet e elektromagnetizmit të zbuluar para tij: një fushë magnetike lind gjithashtu kur një ndryshim fushë elektrike. Një ndryshim në dukje i vogël pati pasoja të mëdha: një krejtësisht i ri objekt fizik – valë elektromagnetike. Maxwell me mjeshtëri, ndryshe nga Faradei, i cili mendonte se ekzistenca e tij ishte e mundur, nxori ekuacionin për fushën elektrike:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = konst t

Një ndryshim në fushën elektrike shkakton shfaqjen e një fushe magnetike në çdo pikë të hapësirës, me fjalë të tjera, shpejtësia e ndryshimit të fushës elektrike përcakton madhësinë e fushës magnetike. Nën të madhen goditje elektrike- fushë magnetike më e madhe.

IV. Konsolidimi i asaj që është mësuar

– Unë dhe ti studiuam derivatin dhe vetitë e tij. Do të doja të lexoja deklaratë filozofike Gilbert: “Çdo person ka një pikëpamje të caktuar. Kur ky horizont ngushtohet në pafundësi, ai kthehet në një pikë. Pastaj personi thotë se ky është këndvështrimi i tij.”
Le të përpiqemi të matim këndvështrimin mbi zbatimin e derivatit!

Komploti i "Gjete"(përdorimi i derivatit në biologji, fizikë, jetë)

Konsideroni rënien si lëvizje e pabarabartë varur nga koha.

Pra: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Vrojtimi teorik: kuptimi mekanik i derivatit).

1. Zgjidhja e problemeve

Zgjidhini problemet vetë.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Le të shkruajmë ligjin II të Portonit dhe duke marrë parasysh kuptimin mekanik të derivatit, e rishkruajmë atë në formën: F = mV′ F = mS″

Komploti i "Ujqërve, Gophers"

Le të kthehemi te ekuacionet: Konsideroni ekuacionet diferenciale të rritjes dhe uljes eksponenciale: F = ma F = mV' F = mS"
Zgjidhja e shumë problemeve në fizikë, biologji teknike dhe shkencat sociale reduktohen në problemin e gjetjes së funksioneve f"(x) = kf(x), duke plotësuar ekuacionin diferencial, ku k = konst .

Formula njerëzore

Njeriu kaq shumë herë më shumë se një atom, sa herë është më i vogël se ylli:

Nga kjo rrjedh se
Kjo është formula që përcakton vendin e njeriut në univers. Në përputhje me të, madhësia e një personi përfaqëson proporcionalitetin mesatar të një ylli dhe një atomi.

Do të doja ta mbyllja mësimin me fjalët e Lobachevsky: "Nuk ka asnjë fushë të vetme të matematikës, sado abstrakte të jetë, që një ditë nuk do të jetë e zbatueshme për fenomenet e botës reale".

V. Zgjidhja e numrave nga koleksioni:

Zgjidhja e pavarur e problemeve në tabelë, analiza kolektive e zgjidhjeve të problemeve:

№ 1 Gjeni shpejtësinë e lëvizjes së një pike materiale në fund të sekondës së tretë, nëse lëvizja e pikës jepet me ekuacionin s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Pika lëviz drejtvizore sipas ligjit s = 6t – t^2. Në cilin moment do të jetë shpejtësia e tij e barabartë me zero?

№ 3 Dy trupa lëvizin drejtvizor: njëri sipas ligjit s = t^3 – t^2 – 27t, tjetri sipas ligjit s = t^2 + 1. Përcaktoni momentin kur shpejtësitë e këtyre trupave rezultojnë të barabarta. .

№ 4 Për një makinë që lëviz me shpejtësi 30 m/s, distanca e frenimit përcaktohet me formulën s(t) = 30t-16t^2, ku s(t) është distanca në metra, t është koha e frenimit në sekonda. . Sa kohë duhet për të frenuar derisa makina të ndalojë plotësisht? E cila distanca do të shkojë makina nga fillimi i frenimit deri në ndalimin e plotë?

№5 Trupi me masë 8 kg lëviz drejtvizor sipas ligjit s = 2t^2+ 3t – 1. Gjeni energjia kinetike trupi (mv^2/2) 3 sekonda pas fillimit të lëvizjes.

Zgjidhje: Le të gjejmë shpejtësinë e lëvizjes së trupit në çdo moment të kohës:
V = ds / dt = 4t + 3
Le të llogarisim shpejtësinë e trupit në kohën t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Le të përcaktojmë energjinë kinetike të trupit në kohën t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Gjeni energjinë kinetike të trupit 4 s pas fillimit të lëvizjes, nëse masa e tij është 25 kg, dhe ligji i lëvizjes ka formën s = 3t^2- 1.

№7 Trupi masa e të cilit është 30 kg lëviz drejtvizor sipas ligjit s = 4t^2 + t. Vërtetoni se lëvizja e një trupi ndodh nën veprimin e forcë konstante.
Zgjidhje: Kemi s’ = 8t + 1, s” = 8. Prandaj, a(t) = 8 (m/s^2), d.m.th., me një ligj të caktuar të lëvizjes, trupi lëviz me nxitim konstant 8 m/s^2. Më tej, meqenëse masa e trupit është konstante (30 kg), atëherë sipas ligjit të dytë të Njutonit, forca që vepron mbi të F = ma = 30 * 8 = 240 (H) është gjithashtu një vlerë konstante.

№8 Trupi me peshë 3 kg lëviz drejtvizor sipas ligjit s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Gjeni forcën që vepron në trup në kohën t = 4s.

№9 Një pikë materiale lëviz sipas ligjit s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Gjeni nxitimin e tij në fund të sekondës së tretë.

VI. Zbatimi i derivatit në matematikë:

Derivati në matematikë tregon shprehje numerike shkalla e ndryshimit të një sasie të vendosur në të njëjtën pikë nën ndikimin e kushteve të ndryshme.

Formula e derivatit daton në shekullin e 15-të. Matematikani i madh italian Tartagli, duke marrë në konsideratë dhe duke zhvilluar pyetjen se sa vartësia e fluturimit të një predhe varet nga pjerrësia e armës, e zbaton atë në veprat e tij.

Formula e derivatit gjendet shpesh në vepra matematikanë të famshëm shekulli i 17-të. Është përdorur nga Njutoni dhe Leibniz.

Shkencëtari i famshëm Galileo Galilei i kushton një traktat të tërë mbi rolin e derivateve në matematikë. Pastaj derivati dhe prezantimet e ndryshme me aplikimin e tij filluan të gjenden në veprat e Dekartit, Matematikan francez Roberval dhe anglezi Gregory. Kontribut të madh në studimin e derivatit dhanë mendje të tilla si L'Hopital, Bernoulli, Langrange dhe të tjerë.

1. Hartoni një grafik dhe ekzaminoni funksionin:

Zgjidhja për këtë problem:

Një moment relaksi

VII. Zbatimi i derivatit në fizikë:

Gjatë studimit të proceseve dhe fenomeneve të caktuara, shpesh lind detyra për të përcaktuar shpejtësinë e këtyre proceseve. Zgjidhja e tij çon në konceptin e derivatit, i cili është koncepti kryesor llogaritja diferenciale.

Metoda e llogaritjes diferenciale u krijua në shekujt 17 dhe 18. Emrat e dy matematikanëve të mëdhenj - I. Newton dhe G.V. - lidhen me shfaqjen e kësaj metode. Leibniz.

Njutoni arriti në zbulimin e llogaritjes diferenciale kur zgjidhte probleme rreth shpejtësisë së lëvizjes së një pike materiale në për momentin koha (shpejtësia e menjëhershme).

Në fizikë, derivati përdoret kryesisht për të llogaritur ose më të madhin vlerat më të ulëtaçdo sasi.

№1 Energjia e mundshme U fusha e një grimce në të cilën ka një grimcë tjetër, saktësisht e njëjtë ka formën: U = a/r 2 – b/r, Ku a Dhe b- konstante pozitive, r- distanca midis grimcave. Gjeni: a) vlerën r0 të përshtatshme pozicioni i ekuilibrit grimca; b) zbuloni nëse kjo situatë është e qëndrueshme; V) Fmax vlera e forcës së tërheqjes; d) vizatoni grafikët e përafërt të varësisë U(r) Dhe F(r).

Zgjidhja e këtij problemi: Për të përcaktuar r0 që korrespondon me pozicionin e ekuilibrit të grimcës që studiojmë f = U(r) deri në ekstrem.

Duke përdorur lidhjen ndërmjet energji potenciale fusha

U Dhe F, Pastaj F = – dU/dr, marrim F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; në të njëjtën kohë r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Të qëndrueshme ose ekuilibër i paqëndrueshëm ne përcaktojmë me shenjën e derivatit të dytë:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Merrni parasysh rastin kur rëra derdhet nga një platformë e mbushur.
Ndryshimi i momentit gjatë një periudhe të shkurtër kohore:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Termi Δ µtuështë impulsi i sasisë së rërës që derdhet nga platforma gjatë kohës Δ t. Pastaj:
Δ p = MΔ u – µtΔ ju - Δ μtΔ u = FΔ t
Pjestojeni me Δ t dhe kalojmë në kufirin Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Ose a1= du/dt= F/(M – µt)

Përgjigje: a = FM / (M + µt) 2, a1= F/(M – µt)

VIII. Puna e pavarur:

Gjeni derivatet e funksioneve:

Drejtëza y = 2x është tangjente me funksionin: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Gjeni abshisën e pikës së tangjences.

IX. Duke përmbledhur mësimin:

– Çfarë pyetjesh iu kushtua mësimi?
– Çfarë mësuat në mësim?
- Cilin fakte teorike të përmbledhur në klasë?
– Cilat detyra të konsideruara dolën më të vështirat? Pse?

Referencat:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Modele matematikore dhe ekuacionet diferenciale. - Minsk: shkollë e diplomuar, 1982. – 272 f.
Amelkin V.V. Ekuacionet diferenciale në aplikime. M.: Shkencë. Redaksia kryesore e literaturës fiziko-matematikore, 1987. – 160 f.
Erugin N.P. Libër për të lexuar kurs i përgjithshëm ekuacionet diferenciale. – Minsk: Shkenca dhe Teknologjia, 1979. – 744 f.
.Revista “Potenciali” Nëntor 2007 Nr.11
“Algjebra dhe parimet e analizës” Klasa e 11-të S.M. Nikolsky, M.K. Potapov dhe të tjerët.
"Algjebra dhe analiza matematikore" N.Ya. Vilenkin et al.
"Matematika" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Kuptimi fizik i derivatit. Detyrat!

Kuptimi fizik i derivatit. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë përfshin një grup problemesh për zgjidhje të cilat kërkojnë njohuri dhe kuptim të kuptimit fizik të derivatit. Në veçanti, ka probleme ku jepet ligji i lëvizjes së një pike (objekti) të caktuar, i shprehur me një ekuacion, dhe kërkohet të gjendet shpejtësia e tij në një moment të caktuar në kohën e lëvizjes, ose kohën pas së cilës objekti do të fitojë një shpejtësi të caktuar të caktuar. Detyrat janë shumë të thjeshta, ato mund të zgjidhen me një veprim. Pra:

Le të jepet ligji i lëvizjes së një pike materiale x (t) përgjatë boshtit koordinativ, ku x është koordinata e pikës lëvizëse, t është koha.

Shpejtësia në një moment të caktuar në kohë është derivati i koordinatës në lidhje me kohën. Ky është kuptimi mekanik i derivatit.

Po kështu, nxitimi është derivat i shpejtësisë në lidhje me kohën:

Kështu, kuptimi fizik i derivatit është shpejtësia. Kjo mund të jetë shpejtësia e lëvizjes, shkalla e ndryshimit të një procesi (për shembull, rritja e baktereve), shpejtësia e punës (e kështu me radhë, ka shumë probleme të aplikuara).

x (t) = t 2 – 7t – 20

ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda, e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 5 s.

Kuptimi fizik i një derivati është shpejtësia (shpejtësia e lëvizjes, shpejtësia e ndryshimit të një procesi, shpejtësia e punës, etj.)

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Pika materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 6 s.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t = 3 s.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Le të gjejmë ligjin e ndryshimit të shpejtësisë:

Për të gjetur se në cilën pikë kohore t shpejtësia ishte 3 m/s, është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni:

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 2 m/s?

matematikalegko.ru

Algjebra dhe fillimet analiza matematikore, klasa e 11-të (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Faqe nr 094.

Libër mësuesi:

Versioni OCR i faqes nga teksti shkollor (teksti i faqes që ndodhet më lart):

Si vijon nga problemet e shqyrtuara në fillim të këtij paragrafi, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

1. Nëse në lëvizje e drejtë rruga s e përshkuar nga një pikë është funksion i kohës t, d.m.th. s = f(t), atëherë shpejtësia e pikës është derivati i shtegut në lidhje me kohën, d.m.th. v(t) =

Ky fakt shpreh kuptimin mekanik të derivatit.

2. Nëse në pikën x 0 vizatohet një tangjente në grafikun e funksionit y = f (jc), atëherë numri f"(xo) është tangjentja e këndit a ndërmjet kësaj tangjente dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox. , d.m.th. /"(x 0) =

Tga. Ky kënd quhet kënd tangjent.

Ky fakt shprehet kuptimi gjeometrik derivatore.

SHEMBULL 3. Të gjejmë tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes në grafikun e funksionit y = 0,5jc 2 - 2x + 4 në pikën me abshisë x = 0.

Le të gjejmë derivatin e funksionit f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 në çdo pikë x, duke përdorur barazinë (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Le të llogarisim vlerën e këtij derivati në pikën x = 0:

Prandaj tga = -2. Grafiku x i funksionit y = /(jc) dhe tangjentja me grafikun e tij në pikën me abshisën jc = 0 janë paraqitur në figurën 95.

4.1 Lëreni pikën të lëvizë drejtvizore sipas ligjit s = t 2. Gjeni:

a) rritja e kohës D£ gjatë intervalit kohor nga t x = 1 në £ 2 - 2;

b) rritja e rrugës Si gjatë periudhës kohore nga t x = 1 në t 2 = 2;

V) shpejtësi mesatare gjatë intervalit kohor nga t x = 1 në t 2 = 2.

4.2 Në detyrën 4.1 gjeni:

b) shpejtësia mesatare gjatë intervalit kohor nga t në t + At;

V) shpejtësia e menjëhershme në kohën t;

d) shpejtësia e menjëhershme në kohën t = 1.

4.3 Lëreni pikën të lëvizë drejtvizor sipas ligjit:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) rritja e rrugës Si gjatë periudhës kohore nga t në t + At;

Libër mësuesi: Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. Klasa e 11-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - botimi i 8-të. - M.: Arsimi, 2009. - 464 f.: ill.

Pika lëviz drejtvizore sipas ligjit S = t 4 + 2t (S - në metra, t- në sekonda). Gjeni nxitimin mesatar të tij në intervalin midis momenteve t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, si dhe përshpejtimin e tij të vërtetë për momentin t 3 = 6 s.

Zgjidhje.

1. Gjeni shpejtësinë e pikës si derivat të shtegut S në lidhje me kohën t, ato.

2. Duke zëvendësuar në vend të t vlerat e tij t 1 = 5 s dhe t 2 = 7 s, gjejmë shpejtësitë:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Përcaktoni rritjen e shpejtësisë ΔV për kohën Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Kështu, nxitimi mesatar i pikës do të jetë i barabartë me

5. Për të përcaktuar kuptimin e vërtetë nxitimi i një pike, marrim derivatin e shpejtësisë në lidhje me kohën:

6. Zëvendësimi në vend t vlera t 3 = 6 s, marrim nxitim në këtë pikë në kohë

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Lëvizja curvilineare. Në lëvizja e lakuar shpejtësia e një pike ndryshon në madhësi dhe drejtim.

Le të imagjinojmë një pikë M, e cila gjatë kohës Δt, duke lëvizur përgjatë disa trajektorja e lakuar, u zhvendos në pozicion M 1(Fig. 6).

Vektori i rritjes (ndryshimit) të shpejtësisë ΔV do

Për për të gjetur vektorin ΔV, zhvendoseni vektorin V 1 në pikë M dhe ndërtoni një trekëndësh të shpejtësisë. Le të përcaktojmë vektorin e nxitimit mesatar:

Vektor një të mërkurëështë paralel me vektorin ΔV, pasi pjesëtimi i vektorit me sasi skalare drejtimi i vektorit nuk ndryshon. Vektori i vërtetë i nxitimit është kufiri në të cilin raporti i vektorit të shpejtësisë me intervalin kohor përkatës Δt tenton në zero, d.m.th.

Ky kufi quhet derivat vektorial.

Kështu, nxitimi i vërtetë i një pike gjatë lëvizjes lakorike është i barabartë me derivatin vektor në lidhje me shpejtësinë.

Nga Fig. 6 është e qartë se vektori i nxitimit gjatë lëvizjes kurvilineare është gjithmonë i drejtuar kah konkaviteti i trajektores.

Për lehtësinë e llogaritjeve, nxitimi zbërthehet në dy komponentë të trajektores së lëvizjes: përgjatë një tangjente, të quajtur nxitim tangjencial (tangjencial). A, dhe përgjatë normales, e quajtur nxitim normal a n (Fig. 7).

Në këtë rast, nxitimi total do të jetë i barabartë me

Nxitimi tangjencial përkon në drejtim me shpejtësinë e pikës ose është i kundërt me të. Karakterizon ndryshimin e shpejtësisë dhe në përputhje me rrethanat përcaktohet nga formula

Nxitimi normal është pingul me drejtimin e shpejtësisë së pikës dhe vlerë numerike përcaktohet nga formula

ku r - rrezja e lakimit të trajektores në pikën në shqyrtim.

Meqenëse nxitimet tangjenciale dhe normale janë reciproke pingule, prandaj vlera e nxitimit total përcaktohet nga formula

dhe drejtimin e saj

Nëse , atëherë vektorët e nxitimit dhe shpejtësisë tangjenciale drejtohen në një drejtim dhe lëvizja do të përshpejtohet.

Nëse , atëherë vektori i nxitimit tangjencial drejtohet në drejtim të kundërt me vektorin e shpejtësisë dhe lëvizja do të jetë e ngadaltë.

Vektor nxitimi normal i drejtuar gjithmonë drejt qendrës së lakimit, prandaj quhet centripetal.

Pika materiale sipas ligjit. Një sërë problemesh të veçanta nga fusha të ndryshme të shkencës

Mësim me temën: “Rregullat e diferencimit”, klasa e 11-të

Zbatimi i derivateve në fizikë, teknologji, biologji, jetë

Prezantimi për mësimin

Kuptimi fizik i derivatit. Detyrat!

Algjebra dhe fillimet analiza matematikore, klasa e 11-të (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Faqe nr 094.

Versioni OCR i faqes nga teksti shkollor (teksti i faqes që ndodhet më lart):