Shpërndarja sipas modulit të shpejtësisë. Ligji i Maksuellit mbi shpërndarjen e shpejtësisë së molekulave

Nick. Gorkavy

"Detektivët e hapësirës" - nje liber i ri shkrimtar, doktor i shkencave fizike dhe matematikore Nikolai Nikolaevich Gorkavy. Personazhet e tij janë të njohur për lexuesit nga trilogjia fantastiko-shkencore "Astrovite" dhe përralla shkencore, botuar në revistë në vitet 2010-2014; në Nr. 1, 4-7, 9, 2015; në nr. 1, 2, 3, 2016

Një përshpejtues natyror i grimcave elementare dhe plazmës: substanca e nxjerrë nga Dielli më 31 gusht 2012 lëviz me një shpejtësi prej 1.5 mijë km/s.

Werner Karl Heisenberg. 1933 Foto: Arkivat Federale Gjermane/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Universiteti i Mynihut, alma mater e Werner Heisenberg. Foto: Diago Delso/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Profesor Arnold Sommerfeld. 1935 Foto: GFHund/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Profesori i ri Werner Heisenberg. 1927 Foto: Wikimedia Commons/PD.

Qyteti i Sudelfeld në Bavaria Jugore, ku profesori A. Sommerfeld shkoi për ski me studentët e tij. Foto: LepoRello/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Niels Bohr dhe Werner Heisenberg. Foto: Fermilab, U.S. Departamenti i Energjisë/Wikimedia Commons/PD.

Max Born. Foto: Wikimedia Commons/PD.

Pullë gjermane që përshkruan Werner Heisenberg dhe lidhjen e tij të famshme të pasigurisë. Foto: Wikimedia Commons/PD.

Malet e mbrëmjes dridheshin nga një mjegull e ftohtë, lopët endeshin nëpër kullota të gjelbra, me pjerrësi të butë, duke kërcitur këmbanat e tyre në qafë dhe duke kërcitur bar të freskët. Në livadh kishte pirgje sanë, të ruajtura për dimër. Një adoleshente bionde shtrihej në një nga kashtët dhe lexoi një libër të filozofit gjerman Immanuel Kant. Diku larg, pushkat qëlluan dhe predha shpërthyen, dhe djali lexonte për yjet, për proceset e njohjes dhe mendonte për problemet e ekzistencës, moralit dhe etikës. Ai nuk e dinte se çfarë i priste vetes, vendit të tij dhe mbarë botës. Nuk e dija që i pari Lufte boterore do të përfundojë së shpejti dhe se nuk do të jetë i fundit; se në dekadat e ardhshme bota do të ndryshojë përtej njohjes, pjesërisht falë faktit se një djalë i quajtur Werner Heisenberg shtrihet në një livadh dhe lexon Kantin për kënaqësinë e vet. Ai ishte një djalë i veçantë, jo si të tjerët.

Këtu duhej të fillonim”, vuri në dukje Galatea.

Epo, le të fillojmë me këtë, - u përgjigj Princesha Dzintara dhe fëmijët e saj, Galatea dhe Andrei, u përgatitën të dëgjonin një përrallë tjetër të mbrëmjes.

Pra, në fillim të shekullit të njëzetë, një djalë jetonte në Gjermani... Babai i tij, August Heisenberg, merrej me veprimtarinë më të qetë që mund të imagjinohej: studimi i dorëshkrimeve të lashta bizantine të shkruara në greqishten e vjetër. Ai udhëtoi në Itali dhe Greqi për t'i hulumtuar ato dhe u mësoi histori studentëve në Universitetin e Mynihut. Ai kishte dy djem: Ervinin, i cili u bë kimist dhe Werner. Dhe duhej të ndodhte që në familjen e një personi që vlerësonte më shumë idetë klasike për botën, të rritej një rebel që hodhi poshtë pikëpamjet ekzistuese për kohën dhe hapësirën dhe propozoi qasje të reja për t'i kuptuar ato.

Si ndodhi kjo? - pyeti Andrey.

Ndërsa ishte ende një nxënës shkolle, Werner, gjatë një sëmundjeje të gjatë, lexoi librin e Hermann Weyl "Hapësirë. Koha. Çështja,” dhe atij i bëri përshtypje fuqia e metodat matematikore. Që nga ai moment, Heisenberg u interesua për matematikën. Njohuritë e jashtëzakonshme të të riut u vunë re në Provimi përfundimtar në gjimnaz.

Rinia e Werner-it ndodhi gjatë një periudhe revolucionare të trazuar në historinë gjermane. Në pranverën e vitit 1918, ai, së bashku me nxënës të tjerë 16-vjeçarë, u dërguan për të punuar në një fermë - për të ndihmuar Gjermaninë ndërluftuese. Heisenberg ishte i ndryshëm nga bashkëmoshatarët e tij. Mbrëmjeve nxitonte të dilte në pension dhe lexonte me entuziazëm vepra filozofike Platoni dhe Kanti.

Pas Luftës së Parë Botërore, Gjermania përjetoi një periudhë paqëndrueshmërie politike, trazirash sociale dhe protestash. Werner mori pjesë në mbledhjet e lëvizjes rinore, ku dëgjoi fjalime të nxehta kundër traditat sociale dhe paragjykimet. Por edhe atëherë, interesi i tij kryesor nuk ishte politika dhe filozofia ajo që e magjepsi më shumë ishte fizika dhe matematika.

Në vitin 1920, Heisenberg hyri në Universitetin e Mynihut, u bë student i profesor Arnold Sommerfeld dhe u zhyt në botën e fizikës teorike. Tre vjet më vonë, ai përgatiti një disertacion mbi hidrodinamikën teorike, por nuk mori parasysh se për të marrë gradë akademike duhet të kalojë një provim me gojë dhe fizika eksperimentale. Werner nuk mundi t'u përgjigjej pyetjeve të profesorit të përpiktë Wilhelm Wien dhe pothuajse dështoi. Vetëm ndërmjetësimi i Arnold Sommerfeld e shpëtoi kandidatin e disertacionit nga dështimi i plotë.

Pas marrjes së diplomës, Heisenberg filloi një punë të re fizika kuantike. Së bashku me Wolfgang Pauli u bë asistent i Max Born - regjisor Instituti i Fizikës Universiteti i Gottingen. Born shkroi për Heisenberg: “Ai dukej si një fshatar i thjeshtë, me flokë të shkurtër bjonde, sy të pastër të gjallë dhe një shprehje simpatike. Detyrat e asistentit i kreu më seriozisht se Pauli dhe më ndihmoi shumë. Shpejtësia e tij e pakuptueshme dhe mprehtësia e të kuptuarit i mundësonin gjithmonë të kryente një punë kolosale pa shumë përpjekje.”

Heisenberg punoi gjithashtu me Niels Bohr (shih "Shkenca dhe jeta" nr. 1, 2016, artikulli). Ata u takuan në vitin 1922 gjatë të ashtuquajturit festivali Borovsky. Heisenberg bisedoi me danezin e famshëm dhe kjo bisedë ndikoi shumë në pikëpamjet dhe qasjet e tij për zgjidhjen probleme shkencore. "Kam mësuar optimizmin nga Sommerfeld, matematikën nga njerëzit e Göttingen dhe fizikën nga Bohr," shkroi ai.

Në vitin 1925, në moshën 23 vjeçare, Werner krijoi një mekanikë të re kuantike bazuar në matricat matematikore. Ajo ishte e pavarur nga fizikës klasike dhe u bë një moment historik në revolucionin kuantik shkencor.

Çfarë janë matricat?

Matricat quhen tavolina drejtkëndëshe numrat. Heisenberg sugjeroi që çdo sasi fizike që mund të vërehet në një eksperiment ka matricën e vet. Ai ishte në gjendje të përshkruante kërcimet kuantike në atomin e Bohr dhe çdo ndryshim në gjendjen e sistemeve mekanike kuantike duke përdorur operacionet matematikore mbi matricat. Një vit e gjysmë më vonë, Heisenberg nxori lidhjen e pasigurisë kuantike, e cila u bë një pikë referimi për shkencën moderne. Marrëdhënia deklaroi se bota jonë është thelbësisht e pasaktë: ne nuk mund të dimë njëkohësisht me saktësi të mirë momentin dhe pozicionin e ndonjë objekti, për shembull një elektroni. Nëse matim me saktësi momentin e një elektroni, do të humbasim informacionin për pozicionin e tij, dhe nëse matim saktë koordinatat e tij, do të humbasim aftësinë për të përcaktuar momentin ose shpejtësinë.

Pra, shkencëtarët nuk mund të dinë asgjë me siguri? - u habit Galatea. - Sado që të përpiqen, gjithmonë do të ketë gabime në matjet e tyre?

Mjerisht, kjo është e vërtetë. Pasiguria në koordinatat e një elektroni, e shumëzuar me gabimin në momentin e tij, është e barabartë me konstanten e Plankut (shih “Shkenca dhe Jeta” nr. 7, 2015, artikull) - dhe kjo lidhje e pasigurisë së Heisenbergut plotësoi në mënyrë të përsosur konceptin e de Broglie (shih “Shkenca dhe jeta” Nr. 2, 2016, artikull) për grimcat si valë. Nëse përpiqemi të kapim një grimcë në një kurth dinakë, domethënë, rregullojmë me saktësi vendndodhjen e saj, gabimi në përcaktimin e momentit të grimcave do të bëhet pafundësisht i madh.

Informacioni rrjedh nëpër gishta si një valë, - buzëqeshi Galatea.

Duket shumë e mundshme, - ndërhyri Andrei, - që edhe Galatea t'i bindet kësaj lidhjeje pasigurie: ajo nuk është kurrë në vendin e duhur në kohën e duhur!

Dzintara buzëqeshi, duke parë vajzën e saj të indinjuar dhe vazhdoi:

Lidhja e pasigurisë së Heisenberg-ut interpretohet gjithashtu si më poshtë: për të matur parametrat sistemi kuantik Kërkohet një ndërhyrje instrumentale dhe kjo ndërhyrje shtrembëron karakteristikat e tij aq shumë sa sistemi “harron” gjendjen e tij origjinale dhe ne humbasim mundësinë për të ditur se çfarë ishte.

Galatea, duke u bërë sikur nuk e vuri re vëllain e saj, iu drejtua nënës së saj:

Mami, duke gjykuar nga historitë që na tregove, teoricienët bëjnë zbulime në moshë shumë të re. Por me kalimin e viteve, përvoja dhe njohuritë rriten dhe duhet të ketë më shumë zbulime.

Prej kohësh është vërejtur se mosha më e frytshme për zbulimet teorike janë vitet e para pas mbarimit të universitetit, sepse nuk ka rëndësi vetëm përvoja dhe njohuria, por edhe vështrimi i freskët dhe guximi i rinisë. Në pleqëri shkencëtari e ka të vështirë të pranojë shkeljen e të vërtetave me të cilat ka jetuar prej kohësh.

Sukseset e Werner Heisenberg nuk kaluan pa u vënë re. Universitetet konkurruan me njëri-tjetrin për ta ftuar atë të merrte një post profesori. Në moshën 25-vjeçare, Werner u bë profesor i fizikës teorike në Universitetin e Leipzig.

Tani askush nuk mund ta fajësonte për injorancën e fizikës! - vuri në dukje me kënaqësi Galatea.

Të gjithë ata që punuan me të kujtuan se Heisenberg ishte demokrat dhe një person i gëzuar. Pas studimeve shkencore, për shembull, ai luante me entuziazëm pingpong. Biografët - studentët e tij Neville Mott, laureat Çmimi Nobël në fizikë për vitin 1977, dhe Rudolf Peierls, në një libër kushtuar shkencëtarit të madh, shkroi për periudhën e jetës së Heisenberg kur ai krijoi mekanikën kuantike dhe u bë një profesor i ri: “Askush nuk do ta kishte dënuar nëse do të kishte filluar të merrte veten. seriozisht dhe bëhuni pak pompoz pasi keni ndërmarrë të paktën dy hapa vendimtarë që ndryshuan fytyrën e fizikës dhe pasi morën të tilla në moshë të re statusin e profesorit, që detyroi shumë më të vjetër e më pak njerëz të rëndësishëm ndihej i rëndësishëm, por ai mbeti ashtu siç ishte - joformal dhe i gëzuar në mënyrën e tij, pothuajse djaloshare dhe zotëronte një modesti që kufizohej me ndrojtjen.”

Heisenberg mori çmimin Nobel në Fizikë "për krijimin e mekanikës kuantike" në moshën më pak se 32 vjeç. Ai ishte sigurisht i lumtur, por, duke qenë modest dhe i drejtë, shprehu habinë që kolegët e tij në krijimin e mekanikës kuantike, Erwin Schrödinger dhe Paul Dirac, morën një çmim Nobel mes tyre dhe Max Born u anashkalua plotësisht.

Heisenberg punoi kaq shumë, por a kishte një të dashur apo familje? - pyeti Galatea. - Apo ka studiuar vetëm shkencë?

Në moshën 35-vjeçare, Werner u martua me Elisabeth Schumacher, vajzën e një profesori ekonomie në Berlin. Ata jetuan të lumtur përgjithmonë dhe patën shtatë fëmijë. Vajzat e Heisenberg Anna-Maria dhe Verena u bënë fiziologe, djali Martin u bë gjenetist dhe Jochen ndoqi gjurmët e babait të tij ai ishte një fizikan bërthamor.

Heisenberg vdiq në 1976. Eugene Wigner, fituesi i Çmimit Nobel në Fizikë të vitit 1963, shkroi në atë kohë: "Nuk ka asnjë fizikant teorik të gjallë që ka dhënë kontribut më të madh në shkencën tonë se ai. Në të njëjtën kohë, ai ishte miqësor me të gjithë, pa arrogancë dhe ishte një shoqëri e këndshme.” Dhe studenti i tij i parë Felix Bloch, i cili fitoi çmimin Nobel në Fizikë në 1952, kujtoi: "Nëse do të më duhej të zgjidhja një nga cilësitë e tij të mëdha si mësues, do të ishte e jashtëzakonshme e tij. qëndrim pozitiv për çdo përparim... Një nga tiparet më të mahnitshme të Heisenberg ishte intuita pothuajse e pagabueshme që ai tregoi në qasjen e tij ndaj problem fizik, dhe mënyrën fenomenale në të cilën vendimet dukej se binin nga qielli.”

Werner Carl Heisenberg(1901-1976) - fizikan teorik gjerman, një nga themeluesit e mekanikës kuantike. Fitues i Çmimit Nobel në Fizikë 1932.

Hermann Weil(1885-1955) - matematikan dhe fizikan teorik gjerman. Autor i librit të famshëm “Hapësirë. Koha. Matter" - një nga prezantimet e para teori e përgjithshme Relativiteti i Ajnshtajnit.

Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld(1868-1951) - fizikan dhe matematikan teorik gjerman. Mësues dhe këshilltar shkencor Werner Heisenberg.

Max Born(1882-1970) - fizikan teorik gjerman dhe britanik, një nga krijuesit e mekanikës kuantike. Fitues i Çmimit Nobel në Fizikë 1954.

Felix Bloch(1905-1983) - fizikan zviceran, student i Werner Heisenberg. Fitues i Çmimit Nobel në Fizikë 1952.

Neville Francis Mott(1905-1996) - fizikan anglez. Fitues i çmimit Nobel në Fizikë në vitin 1977, të cilin e mori së bashku me Philip Anderson dhe John van Vleck.

Shpërndarja Maxwell

Në një gjendje ekuilibri, në një sistem të përbërë nga një numër i madh grimcash, për shembull në një vëllim të caktuar gazi, në mungesë të ndikimeve të jashtme, nuk ndodhin ndryshime makroskopike: parametrat e sistemit mbeten konstante. Shpejtësia mesatare e molekulave gjithashtu mbetet konstante. Përgjigja në pyetjen se sa molekula, ose cila pjesë e tyre lëviz me një shpejtësi të caktuar në një moment të caktuar, u mor teorikisht nga Maxwell.

Le të prezantojmë konceptin hapësira e shpejtësisë. Për secilën molekulë, ne grafikojmë komponentët e shpejtësisë së saj përgjatë tre akseve reciproke pingule (Fig. 1.3.1).

Çdo pikë në hapësirën e shpejtësisë korrespondon me një molekulë me një shpejtësi të caktuar. Vektor shpejtësia shkon nga origjina deri në pikën në fjalë.

Le të shqyrtojmë se si do të shpërndahen molekulat që përmbahen në një njësi vëllimi të gazit sipas shpejtësive të tyre.

Këto molekula do të përfaqësohen nga një grup prej n pikash. Për shkak të përplasjeve të molekulave, disa pika do të largohen nga elementi i vëllimit, ndërsa të tjerët do të hyjnë në të. Në këtë rast, numri mesatar i pikëve në këtë element volumi ruhet.

Ligji i Maxwell-it përshkruhet nga një funksion f(v), i cili zakonisht quhet funksioni i shpërndarjes së molekulave sipas shpejtësisë. Funksioni f(v) përcakton numrin relativ të molekulave dN(v)/N, shpejtësitë e të cilave shtrihen në intervalin nga v në v+dv, ᴛ.ᴇ.

Ku .

Duke përdorur metodat e teorisë së probabilitetit, Maxwell gjeti këtë funksion:

Nga formula është e qartë se lloj specifik funksioni varet nga lloji i gazit (nga masa e molekulës m 0) dhe nga parametri i gjendjes (temperatura T).

Grafiku i funksionit f(v) është paraqitur në figurën 1.3.2. Funksioni f(v) fillon nga zero, arrin një maksimum në v in dhe më pas asimptotikisht tenton në zero. Kurba nuk është simetrike në raport me v in.

Shpërndarja Maxwell është shpërndarja e shpejtësisë së molekulave të një gazi ideal në një gjendje ekuilibri termodinamik.

Duke integruar shpërndarjen Maxwell, mund të llogariten vlerat mesatare. Shpejtësia mesatare katrore (rrënja e shpejtësisë mesatare katrore)

Për të gjetur numrin e molekulave me shpejtësi në intervalin nga v 1 në v 2, është jashtëzakonisht e rëndësishme të përcaktohet zona nën seksionin përkatës të kurbës (Fig. 1.3.2.)

Me rritjen e temperaturës, maksimumi i kurbës Maxwell zhvendoset drejt shpejtësive më të larta dhe forma e kurbës ndryshon. Shpërndarjet për dy temperatura të ndryshme janë paraqitur në figurën 1.3.3. Meqenëse zona e kufizuar nga kurba mbetet e pandryshuar, prandaj, me rritjen e temperaturës, kurba e shpërndarjes së shpejtësisë molekulare do të shtrihet dhe do të ulet.

Fig.1.3.3 T 1< Т.

Vlera mesatare e vlerës absolute të shpejtësisë (vlera mesatare e shpejtësisë është zero, pasi negative dhe vlerat pozitive komponentët janë të barabartë) përcaktohet nga formula

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, shpejtësitë që karakterizojnë gjendjen e gazit:

1) ka shumë të ngjarë;

2) shpejtësia mesatare;

3) katrori mesatar.

Këto shpejtësi janë të lidhura nga relacioni

v B: ávñ: áv sq ñ @1:1.13:1.22,

domethënë shpejtësia mesatare katrore e rrënjës ka vlerën më të madhe.

Bazuar në shpërndarjen e tyre të molekulave sipas shpejtësisë, duke kaluar në ndryshoren e re E = m 0 v 2 /2, mund të marrim funksionin e shpërndarjes së molekulave sipas energjisë

Atëherë energjia mesatare kinetike e një molekule ideale të gazit është e barabartë me

Për të llogaritur numrin e molekulave DN, shpejtësitë e të cilave janë në intervalin nga v në v+Dv, është e përshtatshme të prezantohet shpejtësia relative u=v/v B, ku v B është shpejtësia më e mundshme. Atëherë DN është numri i molekulave, shpejtësi relative të cilat janë në intervalin u, u+Du, ᴛ.ᴇ. v/v në, v+Dv/v në, ku duhet të jetë Dvv. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ne kemi

ku N është numri total i molekulave të gazit, DN/N është numri relativ (fraksioni) i molekulave që kanë shpejtësi në intervalin u, u+Du. Grafiku i kësaj varësie korrespondon me figurën 1.3.2, nëse u vizatohet përgjatë boshtit të abshisës dhe vlera DN/(NDu) është funksioni i shpërndarjes përgjatë boshtit të ordinatave.

Shembulli 7. Përcaktoni shpejtësinë mesatare katrore të molekulave të azotit në një temperaturë prej 27°C. Si varet rrënja e shpejtësisë katrore nga pesha molekulare dhe temperatura?

T=300°K, m=28 kg/kmol, k=1,38×10 -23 J/deg.

Zgjidhje. Ku;

Kështu

Shpejtësia mesatare katrore e rrënjës është drejtpërdrejt proporcionale me rrënjën katrore të temperaturës dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me rrënjën katrore të masës molekulare.

Shpërndarja e Maxwell-it - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Maxwell Distribution" 2017, 2018.

• Në një numër të madh rastesh, njohja e vetëm vlerave mesatare sasive fizike jo mjaftueshem. Për shembull, njohja e gjatësisë mesatare të njerëzve nuk lejon planifikimin e prodhimit të veshjeve madhësive të ndryshme. Ju duhet të dini numrin e përafërt të njerëzve, lartësia e të cilëve qëndron në një interval të caktuar.

  Po kështu, është e rëndësishme të dimë numrin e molekulave që kanë shpejtësi të ndryshme nga vlera mesatare. Maxwell ishte i pari që zbuloi se si mund të përcaktoheshin këta numra.

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

Ne e kemi përmendur tashmë në § 4.1 atë për të përshkruar sjelljen popullsi e madhe molekulat J. Maxwell prezantoi konceptin e probabilitetit.

Siç është theksuar në mënyrë të përsëritur, është në parim e pamundur të gjurmohet ndryshimi i shpejtësisë (ose momentit) të një molekule gjatë rrjedhës së një interval i madh koha. Është gjithashtu e pamundur të përcaktohen me saktësi shpejtësitë e të gjitha molekulave të gazit në një kohë të caktuar. Nga kushtet makroskopike në të cilat ndodhet një gaz (një vëllim dhe temperaturë e caktuar), vlera të caktuara të shpejtësive molekulare nuk pasojnë domosdoshmërisht. Shpejtësia e një molekule mund të konsiderohet si një ndryshore e rastësishme, e cila në kushte të dhëna makroskopike mund të marrë kuptime të ndryshme, ashtu si kur hidhet zare Ju mund të rrokullisni çdo numër pikësh nga 1 në 6 (numri i anëve të kapelës është gjashtë). Është e pamundur të parashikohet numri i pikëve që do të dalin gjatë hedhjes së një zari. Por probabiliteti i rrotullimit, të themi, pesë pikave është i përcaktueshëm.

Sa është probabiliteti që të ndodhë një ngjarje e rastësishme? Le të kryhet një numër shumë i madh N testesh (N është numri i hedhjes së zareve). Për më tepër, në rastet N" ka pasur një rezultat të favorshëm të testeve (d.m.th., një pesë është hequr). Atëherë probabiliteti i kësaj ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rasteve me rezultat të favorshëm ndaj numrit total të testeve me kusht që ky numër të jetë aq i madh sa dëshironi:

Për një dietë simetrike, probabiliteti i çdo numri të zgjedhur pikash nga 1 në 6 është i barabartë me .

Ne e shohim atë në sfondin e shumë njerëzve ngjarje të rastësishme zbulohet një model i caktuar sasior, shfaqet një numër. Ky numër - probabiliteti - ju lejon të llogaritni mesataret. Pra, nëse hidhni 300 zare, atëherë numri mesatar i pesësheve, siç vijon nga formula (4.6.1), do të jetë i barabartë me 300 = 50, dhe nuk ka absolutisht asnjë ndryshim nëse hidhni të njëjtin zare 300 herë apo 300 identikë. zare në të njëjtën kohë.

Nuk ka dyshim se sjellja e molekulave të gazit në një enë është shumë më komplekse sesa lëvizja e një zari të hedhur. Por edhe këtu mund të shpresojmë për të gjetur të sigurt modele sasiore, duke e lejuar njeriun të llogarisë mesataret statistikore, nëse vetëm problemi shtrohet në të njëjtën mënyrë si në teorinë e lojës, dhe jo si në mekanikën klasike. Është e nevojshme të braktisim problemin e pazgjidhshëm të përcaktimit të vlerës së saktë të shpejtësisë së një molekule në një moment të caktuar dhe të përpiqemi të gjejmë probabilitetin që shpejtësia të ketë një vlerë të caktuar.

Shpërndarja e shpejtësisë së molekulave - Shpërndarja Maxwell

Maxwell supozoi se në gazrat në një gjendje të ekuilibrit termik ekziston një shpërndarje e caktuar e shpejtësive që nuk ndryshon me kalimin e kohës, me fjalë të tjera, numri i molekulave me shpejtësi në një gamë të caktuar vlerash mbetet konstant. Dhe Maxwell e gjeti këtë shpërndarje.

Por merita kryesore e Maxwell nuk ishte aq shumë në zgjidhjen e këtij problemi sa në vetë formulimin problem i ri. Ai e kuptoi qartë se sjellja e rastësishme e molekulave individuale në kushte të caktuara makroskopike i nënshtrohet një ligji të caktuar probabilistik ose statistikor. Ky ligj statistikor për shpërndarjen e molekulave të gazit sipas shpejtësisë doli të ishte relativisht i thjeshtë.

Shpërndarja e shpejtësisë së molekulave mund të paraqitet vizualisht si më poshtë. Le të zgjedhim sistem drejtkëndor referencë, në boshtet e së cilës do të vizatojmë projeksionet v x, v y, v z të shpejtësive të grimcave. Rezultati do të jetë një "hapësirë ​​shpejtësie" tredimensionale, secila pikë e së cilës korrespondon me një molekulë me një shpejtësi të specifikuar rreptësisht v, e barabartë në madhësi me gjatësinë e vektorit të rrezes të tërhequr nga origjina e sistemit të referencës deri në këtë pikë ( Fig. 4.7).

Oriz. 4.7

Një ide e përgjithshme e shpërndarjes së shpejtësisë së molekulave do të merret nëse shpejtësia e secilës prej N molekulave përshkruhet si një pikë në këtë hapësirë ​​shpejtësie (Fig. 4.8). Pikat do të vendosen mjaft kaotikisht, por mesatarisht dendësia e pikave do të ulet ndërsa largohen nga origjina (jo të gjitha shpejtësitë molekulare ndodhin njësoj shpesh).

Oriz. 4.8

Pamja e shpërndarjes së pikëve, natyrisht, nuk është e ngrirë. Me kalimin e kohës, shpejtësitë e molekulave ndryshojnë për shkak të përplasjeve dhe, rrjedhimisht, ndryshon modeli i shpërndarjes së pikave në hapësirën e shpejtësisë. Sidoqoftë, ndryshimi i tij është i tillë që dendësia mesatare e pikave në çdo rajon të hapësirës së shpejtësisë nuk do të ndryshojë me kalimin e kohës, ajo mbetet e njëjtë. Kjo është pikërisht ajo që do të thotë ekzistenca e një ligji të caktuar statistikor. Dendësia mesatare korrespondon me shpërndarjen më të mundshme të shpejtësisë.

Numri i pikave AN në një vëllim të caktuar të vogël Δv x Δv y Δv z të hapësirës së shpejtësisë është padyshim i barabartë me këtë vëllim të shumëzuar me densitetin e pikave brenda tij. (Në mënyrë të ngjashme, masa Δm e një vëllimi të caktuar ΔV është e barabartë me produktin e densitetit të substancës ρ me këtë vëllim: Δm = ρΔV.) Le të shënojmë me Nf(v x, v y, v z) dendësia mesatare pikat në hapësirën e shpejtësisë, d.m.th., numri i pikave për njësi vëllimi të hapësirës së shpejtësisë (N është numri i përgjithshëm i molekulave të gazit). Pastaj

Në fakt, ΔN është numri i molekulave, projeksionet e shpejtësisë së të cilave shtrihen në rangun e vlerave nga v x në v x + Δv x, nga v y në v y + Δv y dhe nga v z në v z + Δv z (vektorët e rrezeve të shpejtësive e këtyre molekulave përfundojnë brenda vëllimit të hapësirës së shpejtësisë Δv = Δv x Δv y Δv z, e cila ka formën e një kubi (shih Fig. 4.8).

Probabiliteti që projeksionet e shpejtësisë së një molekule qëndrojnë në një interval të caktuar shpejtësie është i barabartë me raportin e numrit të molekulave me një vlerë të caktuar shpejtësie me numrin total të molekulave:

Funksioni f(v x, v y, v z) quhet funksioni i shpërndarjes së shpejtësisë së molekulave dhe përfaqëson densitetin e probabilitetit, d.m.th., probabilitetin për njësi të vëllimit të hapësirës së shpejtësisë.

Shpejtësia e molekulave në një moment të caktuar kohor, në parim, mund të jetë çdo. Por probabiliteti i shpërndarjeve të ndryshme të shpejtësisë nuk është i njëjtë. Ndër të gjitha shpërndarjet e mundshme të menjëhershme, ekziston një probabiliteti i të cilit është më i madh se të gjitha të tjerat - shpërndarja më e mundshme. Maxwell vërtetoi se funksioni i shpërndarjes f(v x, v y, v z), duke dhënë këtë shpërndarje më të mundshme të shpejtësive molekulare (shpërndarja e Maxwell-it), përcaktohet nga raporti i energjisë kinetike të molekulës

ndaj energjisë mesatare të lëvizjes termike kT të saj (k është konstanta e Boltzmann-it). Kjo shpërndarje ka formën

Këtu e ≈ 2,718 është baza e logaritmeve natyrore, dhe vlera e A nuk varet nga shpejtësia.

Kështu, sipas Maxwell, dendësia e pikave që përfaqësojnë molekulat në hapësirën e shpejtësisë është maksimale afër origjinës (v = 0) dhe zvogëlohet me rritjen e v, dhe sa më shpejt aq më e ulët është energjia e lëvizjes termike kT. Figura 4.9 tregon varësinë e funksionit të shpërndarjes f nga projeksioni v x, me kusht që projeksionet v y dhe v z të jenë cilido. Funksioni i shpërndarjes ka një formë karakteristike në formë zile, e cila shpesh gjendet në teoritë statistikore dhe quhet kurbë Gaussian.

Oriz. 4.9

Konstanta A gjendet nga kushti që probabiliteti që shpejtësia e një molekule të ketë ndonjë vlerë nga zero në pafundësi duhet të jetë e barabartë me një. Kjo gjendje quhet gjendja e normalizimit. (Në mënyrë të ngjashme, probabiliteti për të marrë ndonjë numër pikësh nga 1 në 6 për një gjuajtje të caktuar me vdekje është një.) Probabiliteti total fitohet duke shtuar probabilitetet e të gjitha realizimeve të mundshme reciprokisht ekskluzive të një ngjarjeje të rastësishme.

Duke përmbledhur probabilitetet ΔW i të të gjithave vlerat e mundshme shpejtësia i, marrim ekuacionin

Pasi të kemi llogaritur konstantën e normalizimit A duke përdorur ekuacionin (4.6.5), mund të shkruajmë shprehjen për numrin mesatar të grimcave me shpejtësi në një interval të caktuar në formën e mëposhtme:

Shpejtësia e çdo molekule në një kohë të caktuar është vlerë e rastësishme. Prandaj, vetë shpërndarja e molekulave sipas shpejtësisë në një kohë të caktuar është e rastësishme. Por shpërndarja mesatare, e përcaktuar nga ligji statistikor, realizohet domosdoshmërisht në kushte të caktuara makroskopike dhe nuk ndryshon me kalimin e kohës. Sidoqoftë, gjithmonë ka devijime nga mesatarja - luhatje. Këto devijime nga probabilitet të barabartë ndodhin në një drejtim apo në tjetrin. Kjo është arsyeja pse, mesatarisht, ekziston një shpërndarje e caktuar e molekulave sipas shpejtësisë.

Shpërndarja e shpejtësisë së Maxwell-it të molekulave rezulton të jetë e vlefshme jo vetëm për gazet, por edhe për lëngjet dhe të ngurta. Vetëm në rastin kur është e pamundur të aplikohet për të përshkruar lëvizjen e grimcave mekanika klasike, shpërndarja Maxwell nuk është më e vlefshme.

Shpërndarja e moduleve të shpejtësisë molekulare

Le të gjejmë numrin mesatar të molekulave, shpejtësitë absolute të të cilave shtrihen në intervalin nga v në v + Δv.

Shpërndarja e Maxwell (4.6.4) përcakton numrin e molekulave, projeksionet e shpejtësisë së të cilave shtrihen në rangun e vlerave nga v x në v x + Δv x, nga v y në v y + Δv y, nga v z në v z + Δv z. Vektorët e këtyre shpejtësive përfundojnë brenda vëllimit Δv x Δu y Δv z (shih Fig. 4.8). Në këtë mënyrë vendoset numri mesatar i molekulave që kanë një modul të caktuar dhe një drejtim të caktuar shpejtësish, i dhënë nga pozicioni i vëllimit Δv x Δu y Δv z në hapësirën e shpejtësisë.

Të gjitha molekulat, modulet e shpejtësisë së të cilave shtrihen në intervalin nga v në dhe + Δv janë të vendosura në hapësirën e shpejtësisë brenda një shtrese sferike me rreze v dhe trashësi Δv (Fig. 4.10). Vëllimi i topit e barabartë me produktin sipërfaqja e shtresës për trashësinë e saj: 4πv 2 Δv.

Oriz. 4.10

Numri i molekulave të vendosura brenda kësaj shtrese dhe, për rrjedhojë, duke pasur vlerat e modulit të shpejtësisë në rangun nga v në v + Δv, mund të gjendet nga formula (4.6.2), nëse zëvendësojmë vëllimin Δv x Δu. y Δv z me vëllim 4πv 2 Δv .

Kështu, numri mesatar i kërkuar i molekulave është

Meqenëse probabiliteti i një vlere të caktuar të modulit të shpejtësisë së një molekule është i barabartë me raportin, atëherë për densitetin e probabilitetit marrim

Një grafik që shpreh varësinë e këtij funksioni nga shpejtësia është paraqitur në figurën 4.11. Ne shohim që funksioni f(v) nuk ka më një maksimum në zero, si densiteti i probabilitetit f(v x, v y, v z). Arsyeja për këtë është si më poshtë. Dendësia e pikave që përfaqësojnë molekulat në hapësirën e shpejtësisë do të jetë akoma më e madhe afër v = 0, por për shkak të rritjes së vëllimit të shtresave sferike me module të shpejtësisë në rritje (~ v 2), funksioni f(v) rritet. Në këtë rast, numri i pikave brenda shtresës sferike rritet më shpejt sesa funksioni f(v x, v y, v z) zvogëlohet për shkak të zvogëlimit të densitetit të pikave.

Oriz. 4.11

Mund të shpjegoni çfarë u tha? një shembull i qartë. Le të themi se një gjuajtës mjaft i saktë qëllon në një objektiv të rregullt me ​​rrathë koncentrikë. Goditjet e plumbave janë të përqendruara rreth qendrës së objektivit. Dendësia e goditjes - numri i goditjeve për njësi sipërfaqe - do të jetë maksimal pranë qendrës së objektivit. Le ta ndajmë objektivin në shirita të veçantë të ngushtë me gjerësi Δx (Fig. 4.12, a). Atëherë raporti i numrit të goditjeve në një shirit të caktuar me gjerësinë e tij do të jetë maksimal afër qendrës së objektivit.

Oriz. 4.12

Marrëdhënia midis numrit të goditjeve në një shirit të caktuar dhe gjerësisë së tij ka formën e treguar në Figurën 4.12, b. Këtu përsëri fitohet një kurbë Gaussian, si për shpërndarjen f(v x) mbi projeksionet e shpejtësisë (shih Fig. 4.9).

Por një rezultat krejtësisht i ndryshëm do të merret nëse numëroni numrin e goditjeve në unaza të ndryshme të objektivit. Në këtë rast, raporti i numrit të goditjeve në një unazë me rreze r me gjerësinë e tij do të karakterizohet grafikisht nga kurba e paraqitur në figurën 4.12c. Megjithëse dendësia e goditjeve zvogëlohet me distancën nga qendra e synuar, zonat e unazave rriten në proporcion me r, gjë që çon në një zhvendosje të maksimumit të kurbës nga zero.

Shpejtësia më e mundshme e molekulave

Duke ditur formulën (4.6.8) për densitetin e probabilitetit të moduleve të shpejtësisë molekulare, mund të gjendet vlera e shpejtësisë që korrespondon me maksimumin e kësaj densiteti probabiliteti (1). Shpejtësia (quhet më e mundshme) rezulton të jetë e barabartë me

Shumica e molekulave kanë shpejtësi afër më të mundshmes (shih Fig. 4.11).

Me rritjen e temperaturës absolute T, shpejtësia më e mundshme rritet dhe në të njëjtën kohë kurba e varësisë Do) zbutet gjithnjë e më shumë (Fig. 4.13).

Oriz. 4.13

Roli i molekulave të shpejta

Në çdo temperaturë ekziston një numër i caktuar i molekulave, shpejtësitë e të cilave, dhe për rrjedhojë edhe energjitë kinetike, janë dukshëm më të larta se mesatarja.

Dihet se shumë reaksionet kimike, për shembull djegia specie të zakonshme lëndë djegëse (dru, qymyr, etj.), filloni vetëm me një të caktuar, të mjaftueshëm temperaturë të lartë. Energjia e nevojshme për fillimin e procesit të oksidimit të karburantit, pra djegies (quhet energji aktivizimi), është e rendit 10 -19 J. Dhe në një temperaturë prej 293 K (temperatura e dhomës), energjia mesatare kinetike e lëvizjes termike. i molekulave është afërsisht 5 10 -21 J Prandaj, djegia nuk ndodh. Megjithatë, një rritje e temperaturës me vetëm 2 herë (deri në 586 K) shkakton ndezjen. Energjia mesatare molekulat gjithashtu rriten me 2 herë, por numri i molekulave energjia kinetike e të cilave kalon 10 -19 J rritet me 10 8 herë. Kjo rrjedh nga shpërndarja e Maxwell. Prandaj, në një temperaturë prej 293 K ndiheni rehat duke lexuar një libër, por në 586 K libri fillon të digjet.

Avullimi i një lëngu përcaktohet gjithashtu nga molekulat e shpejta të "bishtit" të djathtë të shpërndarjes Maxwelliane. Energjia e lidhjes së molekulave të ujit në temperaturën e dhomës është dukshëm më e madhe se kT. Megjithatë, avullimi ndodh për shkak të numer i madh molekula të shpejta, energjia kinetike e të cilave kalon kT.

Maxwell zbuloi lloj i ri ligji fizik- statistikore - dhe gjeti shpërndarjen e molekulave sipas shpejtësisë. Ai e kuptoi qartë rëndësinë e zbulimit të tij. Në një raport për Kembrixhin shoqëria filozofike Maxwell tha: "Unë besoj se më së shumti e rëndësishme për të zhvilluar metodat tona të të menduarit teoritë molekulare kanë sepse na detyrojnë të bëjmë dallimin midis dy metodave të njohjes, të cilat mund t'i quajmë dinamike dhe statistikore."

(1) Kjo bëhet sipas rregullave për gjetjen e maksimumit funksion i njohur. Është e nevojshme të llogaritet derivati ​​i këtij funksioni në lidhje me shpejtësinë dhe të barazohet me zero.

Funksioni i shpërndarjes së dendësisë

Shpërndarja Maxwell- shpërndarja e probabilitetit që gjendet në fizikë dhe kimi. Ajo qëndron në themel të teorisë kinetike të gazeve, e cila shpjegon shumë vetitë themelore gazet, duke përfshirë presionin dhe difuzionin. Shpërndarja e Maxwell është gjithashtu e zbatueshme për proceset elektronike transferimi dhe dukuri të tjera. Shpërndarja Maxwell zbatohet për shumë veti të molekulave individuale në një gaz. Zakonisht mendohet si shpërndarja e energjive të molekulave në një gaz, por mund të zbatohet gjithashtu për shpërndarjen e shpejtësive, momentit dhe modulit të molekulave. Mund të shprehet edhe si shpërndarje diskrete nëpër nivele të shumta diskrete të energjisë, ose si shpërndarja e vazhdueshme përgjatë njëfarë vazhdimësie energjie.

Shpërndarja Maxwell mund të merret duke përdorur mekanikën statistikore (shih origjinën e funksionit të ndarjes). Si shpërndarje energjie, ajo korrespondon me shpërndarjen më të mundshme të energjisë, në një sistem të dominuar nga përplasjet që përbëhet nga sasi e madhe grimcat jo bashkëvepruese, në të cilat efektet kuantike janë të parëndësishme. Meqenëse ndërveprimi ndërmjet molekulave në një gaz është zakonisht mjaft i vogël, shpërndarja e Maxwell jep një përafrim mjaft të mirë të situatës ekzistuese në një gaz.

Megjithatë, në shumë raste të tjera, kushti për dominimin e përplasjeve elastike mbi të gjitha proceset e tjera nuk plotësohet as përafërsisht. Kjo është e vërtetë, për shembull, në fizikën e plazmës jonosferike dhe kozmike, ku proceset e rikombinimit dhe ngacmimit të përplasjes (d.m.th. proceset rrezatuese) kanë një rëndësi të madhe, veçanërisht për elektronet. Supozimi i zbatueshmërisë së shpërndarjes Maxwell në këtë rast jo vetëm që do të jepte rezultate sasiore të pasakta, por edhe do të parandalonte të kuptuarit e saktë fizika e proceseve në niveli i cilësisë. Gjithashtu, në rastin kur gjatësia e valës kuantike de Broglie e grimcave të gazit nuk është e vogël në krahasim me distancën midis grimcave, do të vërehen devijime nga shpërndarja e Maxwell-it për shkak të efekteve kuantike.

Shpërndarja e energjisë Maxwell mund të shprehet si një shpërndarje diskrete e energjisë:

ku është numri i molekulave që kanë energji në temperaturën e sistemit, është numri i përgjithshëm i molekulave në sistem dhe është konstanta e Boltzmann-it. (Vini re se ndonjëherë ekuacioni i mësipërm shkruhet me një faktor që tregon shkallën e degjenerimit nivelet e energjisë. Në këtë rast, shuma do të jetë mbi të gjitha energjitë, dhe jo mbi të gjitha gjendjet e sistemit). Meqenëse shpejtësia është e lidhur me energjinë, ekuacioni (1) mund të përdoret për të nxjerrë marrëdhënien midis temperaturës dhe shpejtësisë së molekulave në një gaz. Emëruesi në ekuacionin (1) njihet si funksioni kanonik i ndarjes.

Shpërndarja Maxwell

Shpërndarja sipas vektorit të impulsit

Ajo që paraqitet më poshtë është shumë e ndryshme nga derivimi i propozuar nga James Clerk Maxwell dhe i përshkruar më vonë me më pak supozime nga Ludwig Boltzmann.

Kur gaz ideal, i përbërë nga atome që nuk ndërveprojnë në gjendjen bazë, e gjithë energjia është në formën e energjisë kinetike. Energjia kinetike lidhet me momentin e një grimce si më poshtë

ku është katrori i vektorit të momentit.

Prandaj, ne mund ta rishkruajmë ekuacionin (1) si:

ku është shuma statistikore që korrespondon me emëruesin në ekuacionin (1), - masë molekulare gaz, - temperatura termodinamike, dhe është konstanta e Boltzmann-it. Kjo shpërndarje është proporcionale me funksionin e densitetit të probabilitetit për të gjetur një molekulë në një gjendje me këto vlera të komponentëve të momentit. Kështu:

Konstanta e normalizimit C, përcaktohet nga kushti sipas të cilit probabiliteti që kanë molekulat ndonjë Në përgjithësi, impulsi duhet të jetë i barabartë me unitetin. Prandaj, integrali i ekuacionit (4) mbi të gjitha vlerat duhet të jetë e barabartë me një. Mund të tregohet se:

Kështu, që integrali në ekuacionin (4) të ketë vlerën 1, është e nevojshme që

Zëvendësimi i shprehjes (6) në ekuacionin (4) dhe duke përdorur faktin se , marrim

Shpërndarja e vektorit të shpejtësisë

Duke marrë parasysh se dendësia e shpërndarjes së shpejtësisë është proporcionale me densitetin e shpërndarjes së impulsit:

dhe duke përdorur marrim:

që është shpërndarja e shpejtësisë Maxwell. Probabiliteti i zbulimit të një grimce në një element infinitimal afër shpejtësisë është

Shpërndarja sipas vlerës absolute të impulsit

Duke u integruar, ne mund ta gjejmë shpërndarjen e përfunduar vlere absolute impuls

Shpërndarja e energjisë

Së fundi, duke përdorur relacionet dhe , marrim shpërndarjen e energjisë kinetike:

Shpërndarja e shpejtësisë së parashikuar

Shpërndarja Maxwell për vektorin e shpejtësisë është prodhimi i shpërndarjeve për secilin nga tre drejtimet:

ku shpërndarja në një drejtim:

Kjo shpërndarje ka formën e një shpërndarjeje normale. Siç do të pritej për një gaz në qetësi, shpejtësia mesatare në çdo drejtim është zero.

Shpërndarja sipas modulit të shpejtësisë

Zakonisht, shpërndarja sipas vlerës absolute është më interesante sesa nga projeksionet e shpejtësive molekulare. moduli i shpejtësisë, v përcaktuar si:

prandaj, moduli i shpejtësisë do të jetë gjithmonë më i madh ose i barabartë me zero. Meqenëse gjithçka shpërndahet normalisht, ajo do të ketë një shpërndarje chi-katrore me tre shkallë lirie. Nëse është funksioni i densitetit të probabilitetit për modulin e shpejtësisë, atëherë:

pra, funksioni i densitetit të probabilitetit për modulin e shpejtësisë është i barabartë me

Shpejtësia karakteristike

Megjithëse ekuacioni (11) jep shpërndarjen e shpejtësisë, ose me fjalë të tjera fraksionin e molekulave që kanë një shpejtësi të caktuar, sasi të tjera si shpejtësia mesatare e grimcave janë shpesh më interesante. Në nënseksionet e mëposhtme do të përcaktojmë dhe marrim me shumë mundësi shpejtësi, Shpejtësia mesatare Dhe Shpejtësia RMS.

Shpejtësia më e mundshme

shpejtësia më e mundshme, - probabiliteti i zotërimit të së cilës nga çdo molekulë e sistemit është maksimal, dhe që korrespondon me vlera maksimale. Për ta gjetur atë, duhet të llogaritni , ta barazoni me zero dhe të zgjidhni për:

Shpejtësia mesatare

Shpejtësia RMS

Duke zëvendësuar dhe integruar, ne marrim

Derivimi i shpërndarjes Maxwell

Le të marrim tani formulën e shpërndarjes siç bëri vetë James Clerk Maxwell.
Le të shqyrtojmë hapësirën e pikave të shpejtësisë (ne paraqesim secilën molekulë si një pikë në sistemin koordinativ) në gjendjen stacionare të gazit. Le të zgjedhim një element vëllimi pafundësisht të vogël. Meqenëse gazi është i palëvizshëm, numri i pikave të shpejtësisë mbetet i pandryshuar me kalimin e kohës. Hapësira e shpejtësisë është izotropike, kështu që funksionet e densitetit të probabilitetit për të gjitha drejtimet janë të njëjta.

Maxwell supozoi se shpërndarjet e shpejtësive përgjatë drejtimeve janë statistikisht të pavarura, domethënë, komponenti i shpejtësisë së një molekule nuk varet nga përbërësit.

Pjesa e djathtë nuk varet nga dhe , që do të thotë e majta nuk varet nga dhe . Megjithatë, ata janë gjithashtu të barabartë, prandaj ana e majte nuk varet gjithashtu nga . Do të thotë kjo shprehje mund të jetë e barabartë vetëm me disa konstante.

Tani duhet të ndërmerrni një hap themelor - futni temperaturën. Përcaktimi kinetik i temperaturës (si masë e energjisë mesatare kinetike të lëvizjes molekulare).

Molekulat e çdo gazi janë në lëvizje të përjetshme kaotike. Shpejtësia e molekulave mund të marrë vlera të ndryshme. Molekulat përplasen, dhe si rezultat i përplasjeve, shpejtësia e molekulave ndryshon. Në çdo moment të caktuar në kohë, shpejtësia e secilës molekulë individuale është e rastësishme si në madhësi ashtu edhe në drejtim.

Por, nëse gazi lihet në vetvete, atëherë shpejtësitë e ndryshme të lëvizjes termike shpërndahen ndërmjet molekulave të një mase të caktuar gazi në një temperaturë të caktuar sipas një ligji shumë specifik, d.m.th. ka një shpërndarje të molekulave sipas shpejtësisë.

Ligji i shpërndarjes së shpejtësisë molekulare është nxjerrë teorikisht nga Maxwell. Ligji i Maksuellit shprehet formulën e mëposhtme:

ku është numri i molekulave shpejtësitë e të cilave qëndrojnë në interval; - numri i përgjithshëm i molekulave të një mase të caktuar gazi; – bazë logaritmi natyror; – vlera e specifikuar e shpejtësisë nga intervali ; – shpejtësia më e mundshme e molekulave të gazit në një temperaturë të caktuar.

Me shumë mundësi shpejtësia quhet shpejtësia afër së cilës ka numri më i madh i molekulave të një mase të caktuar gazi. Vlera varet nga temperatura e gazit.

Formula (10.6) jep numrin e molekulave, shpejtësitë e të cilave shtrihen në një interval të caktuar shpejtësie, pavarësisht nga drejtimi i shpejtësive.

Nëse vendosni më shumë pyetje private, domethënë, sa është numri i molekulave në gaz, komponentët e shpejtësisë së të cilit qëndrojnë në intervalin ndërmjet dhe , dhe , dhe , atëherë

ose , (10.8)

ku është energjia kinetike e një molekule gazi; – masa e molekulës; – konstante Boltzmann; - temperaturë absolute gazi Formulat (10.7) dhe (10.8) - gjithashtu Formulat e shpërndarjes së Maxwell. Kurba e shpërndarjes së shpejtësisë së molekulave që korrespondon me ligjin e shpërndarjes (10.6) është paraqitur në Fig. 10.1. Boshti i abshisës tregon vlerat e shpejtësisë që mund të marrë një molekulë gazi individuale.

Maksimumi i kurbës korrespondon me shpejtësinë më të mundshme. Kurba është asimetrike në lidhje me , sepse një gaz përmban një numër relativisht të vogël molekulash me shpejtësi shumë të larta.

Le të shqyrtojmë një interval , (Fig. 10.1). Nëse është e vogël, atëherë zona e shiritit me hije është afër zonës së drejtkëndëshit:

ato. sipërfaqja e shiritit të hijezuar përfaqëson numrin e molekulave, shpejtësitë e të cilave shtrihen në intervalin, . Dhe sipërfaqja nën të gjithë lakoren është proporcionale me numrin total të molekulave të një mase të caktuar gazi.

Le të gjejmë se në çfarë vlere kurba do të ketë një maksimum. Ne gjejmë maksimumin nga rregulla normale matematikë, duke barazuar derivatin e parë në lidhje me zero:

Që atëherë.

Duke marrë derivatin, marrim atë, d.m.th. maksimumi i kurbës i përgjigjet shpejtësisë më të mundshme.

Maxwell gjeti teorikisht formula që mund të përdoren për të llogaritur shpejtësinë mesatare aritmetike. Le të rendisim shpejtësitë që mund të karakterizojnë lëvizjen termike të molekulave të gazit.

1. Shpejtësia më e mundshme. (10.9)

2. Shpejtësia mesatare katrore e rrënjës:

3. Shpejtësia mesatare aritmetike. (10.11)

Të gjitha shpejtësitë janë drejtpërdrejt proporcionale dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me , ku është masa e një mol gazi.

Në Fig. 10.1, grafiku I është paraqitur për temperaturën, dhe grafiku II është paraqitur për temperaturën. Mund të shihet se me rritjen e temperaturës maksimumi i lakores zhvendoset djathtas, sepse Me rritjen e temperaturës, shpejtësia molekulare rritet. Ka më shumë molekula të shpejta, dega e djathtë e kurbës ngrihet, ka më pak molekula të ngadalta, dega e majtë bëhet më e pjerrët. Dhe e gjithë kurba zvogëlohet, sepse zona nën kurbë duhet të mbetet e njëjtë, sepse numri i përgjithshëm i molekulave të gazit mbeti i njëjtë dhe, natyrisht, nuk mund të ndryshonte kur gazi nxehej.

Ligji i Maxwell-it është një ligj statistikor, d.m.th. një ligj që vlen për një numër shumë të madh molekulash.

Përveç kësaj, ligji i Maksuellit nuk merr parasysh ndikimin e jashtëm në gaz, d.m.th. nuk ka fusha force që veprojnë në gaz.

10.4. Gaz ideal në një fushë të jashtme.
Formula barometrike. Shpërndarja Boltzmann

Konsideroni një kolonë vertikale ajri në sipërfaqen e Tokës (Fig. 10.2). Nëse lartësia e kolonës është relativisht e vogël (nuk i kalon disa qindra metra), dendësia e gazit dhe numri i molekulave për njësi vëllimi (përqendrimi) do të jenë afërsisht të njëjta. Sidoqoftë, nëse lartësia e kolonës është rreth një kilometër ose më shumë, shpërndarja uniforme e molekulave përgjatë lartësisë shkelet. gravitetit, e cila tenton të përqendrojë molekulat pranë sipërfaqes së Tokës. Si rezultat, dendësia e ajrit dhe Presioni i atmosferës do të zvogëlohet me largësinë nga sipërfaqja e Tokës.

Le të përcaktojmë ligjin e ndryshimit të presionit me lartësinë (do të gjejmë formulën barometrike).

Formula barometrike tregon se si varet presioni atmosferik P nga lartësia h mbi sipërfaqen e Tokës. Le të jetë presioni në një lartësi afër sipërfaqes së Tokës. Presioni dihet. Kërkohet të gjendet ndryshimi i presionit me lartësinë.

Në derivim supozojmë se temperatura e gazit mbetet konstante. Le të zgjedhim një kolonë cilindrike gazi (ajri) me një seksion kryq mbi sipërfaqen e Tokës. Le të shqyrtojmë një shtresë gazi me trashësi infinite të vogël të vendosur në një lartësi nga baza e kolonës.

Dallimi në forcat që veprojnë në bazën e sipërme dhe të poshtme të shtresës është i barabartë me peshën e gazit që përmban kjo shtresë, d.m.th.

Pafundësisht masë e ulët gazi në shtresë llogaritet me formulë

ku është vëllimi i shtresës së gazit.

Atëherë, ku është dendësia e gazit; - nxitimi i gravitetit.

Dallimi i presionit në të dy bazat e shtresës:

Dhe gjithashtu duhet të vendosni një shenjë minus

sepse shenja minus ka kuptimi fizik. Tregon se presioni i gazit zvogëlohet me lartësinë. Nëse ngriheni në një lartësi, presioni i gazit do të ulet me një sasi.

Dendësinë e gazit e gjejmë nga ekuacioni Mendeleev-Klapeyron.

Duke zëvendësuar shprehjen në (10.12), kemi

Ky është një ekuacion diferencial me variabla të ndashëm:

Le të integrojmë:

Le të marrim formulën barometrike

Në Fig. 10.3 tregon grafikët e presionit kundrejt lartësisë për dy vlera të temperaturës T 1 dhe T 2 (T 2 > T 1). Me një ndryshim në temperaturën e gazit, presionin P 0 në sipërfaqen e Tokës mbetet e pandryshuar, sepse është e barabartë me peshën e një kolone vertikale gazi të vendosur mbi sipërfaqen e tokës me një sipërfaqe bazë njësi dhe lartësi të pakufizuar. Pesha e një gazi nuk varet nga temperatura.

Nga formula barometrike është shumë e lehtë të merret shpërndarja e Boltzmann-it për rastin kur ndikimi i jashtëm në gaz është forca e gravitetit.

Presioni i gazit në një lartësi është drejtpërdrejt proporcional me numrin e molekulave për njësi vëllimi në këtë lartësi, , është përqendrimi i molekulave në një lartësi dhe , – përqendrimi i molekulave të gazit në lartësi .

Ose. (10.14)

Formula (10.14) quhet shpërndarja Boltzmann për molekulat në një fushë graviteti.

Në Fig. Figura 10.4 tregon grafikët e përqendrimeve molekulare kundrejt lartësisë për dy vlera të temperaturës T 1 dhe T 2 (T 2 >T 1) në fushën e gravitetit. Përqendrimi molekular n 0 në sipërfaqen e tokës zvogëlohet me rritjen e temperaturës ( n 0 (T 2) < n 0 (T 1)) për shkak të rishpërndarjes së molekulave brenda kolonës së gazit. Molekulat me energji kinetike më të madhe ngrihen më lart.

Nëse , është energjia potenciale e molekulës në lartësi , atëherë

Formula (10.15) vlen jo vetëm për rastin kur molekulat lëvizin në një fushë gravitacionale. Kjo formulë që shpreh shpërndarjen Boltzmann është e vlefshme për çdo fushë force me funksioni i mundshëm :

Përvoja Perrin (1870–1942).
Përkufizimi i numrit të Avogadro

fizikan francez Perrin përdori shpërndarjen Boltzmann për të përcaktuar eksperimentalisht numrin e Avogadro-s.

Mikroskopi u drejtua shtresa e sipërme emulsione (Fig. 10.5), bëri një fotografi të menjëhershme përmes një mikroskopi dhe numëroi numrin e grimcave Brownian në fotografi. Më pas, tubi i mikroskopit u ul me 0.01 mm, u fotografuan përsëri dhe u numërua numri i grimcave Brownian në fotografi. Doli se ka më shumë grimca Brownian në fund të enës, më pak në sipërfaqen e emulsionit, dhe në përgjithësi shpërndarja në lartësi e grimcave Brownian korrespondon me shpërndarjen Boltzmann. Meqenëse topat e çamçakëzit janë në një lëng (emulsion), energjia e tyre potenciale, duke marrë parasysh forcën lëvizëse të Arkimedit, mund të shkruhet, ku m 0 – masa e topit, m g – masa e vëllimit të lëngut të zhvendosur nga topi. Atëherë shpërndarja Boltzmann mund të shkruhet si

Nëse n 1 dhe n 2 – përqendrimet e matura të grimcave në lartësi h 1 dhe h 2, atëherë; , A .

Atëherë ne mund të përcaktojmë dhe .

Madhësia

ku dhe janë dendësia e materialit të topthave dhe emulsioni.

Duke përcaktuar eksperimentalisht konstantën e Boltzmann-it k Perrin e nxori vlerën e numrit të Avogadro-s nga varësia. Vlera e saktë:

Tema 11
PUNË, ENERGJI E BRENDSHME DHE NXEHTËSIA.
LIGJI I PARË I TERMODINAMIKËS

Termodinamikaështë një shkencë që studion kushtet e transformimit lloje të ndryshme energjinë në energji termike dhe anasjelltas, si dhe marrëdhëniet sasiore të vërejtura në këtë rast. Mbulesa termodinamike rreth i madh dukuritë e vërejtura në natyrë dhe teknologji. Kuptimi i veçantë ka per inxhinieri ngrohje, sepse ofron bazën për zhvillimin e makinerive të ngrohjes dhe ftohjes. Në termodinamikë, fjala përdoret shpesh trupi. Në termodinamikë, një trup mund të quhet ajër, ujë, merkur, çdo gaz, d.m.th. çdo substancë që zë një vëllim të caktuar.

Një sistem termodinamik mund të përfshijë disa trupa, por mund të përbëhet nga një trup, shumë shpesh ky trup është gaz ideal.

Një sistem termodinamik është çdo koleksion trupash në shqyrtim që mund të shkëmbejnë energji me njëri-tjetrin dhe me trupa të tjerë. Për shembull, një sistem termodinamik mund të jetë një gaz ideal.

Gjendja e një sistemi termodinamik karakterizohet nga parametrat termodinamikë. Parametrat termodinamikë janë sasi që karakterizojnë gjendjen e sistemit. Parametrat termodinamikë përfshijnë sasi të tilla si presioni, vëllimi, temperatura, dendësia e një substance etj. Parametrat e gjendjes së një gazi ideal, për shembull, janë presioni P, vëllimi V, temperatura T. Ekuacioni që lidh parametrat e gjendjes së një sistemi termodinamik quhet ekuacioni i gjendjes. Për shembull, ekuacioni Mendeleev–Klapeyron: .

Gjendja e një sistemi termodinamik quhet ekuilibri, nëse të gjithë parametrat e tij kanë një vlerë të caktuar dhe nuk ndryshojnë me kalimin e kohës në kushte të jashtme konstante.

Nëse sistemi termodinamik i nxjerrë nga ekuilibri dhe i lënë në dorë, ai kthehet në gjendjen e tij origjinale. Ky proces quhet relaksim.

Në termodinamikë studiohen ligjet e të gjitha kalimeve të mundshme të një sistemi nga një gjendje në tjetrën. Kalimi i një sistemi nga një gjendje në tjetrën,e cila shoqërohet me një ndryshim në të paktën një parametër të gjendjes,quhet proces. Ekuacioni që përcakton ndryshimin e parametrave të sistemit gjatë kalimit nga një gjendje në tjetrën quhet ekuacion i procesit.

Termodinamika studion vetëm termodinamikisht gjendjet e ekuilibrit trupa dhe procese të ngadalta, të cilat konsiderohen si gjendje ekuilibri, që ndjekin vazhdimisht njëra-tjetrën. Ajo mëson modele të përgjithshme kalimi i sistemeve në gjendje të ekuilibrit termodinamik.

Proceset e ekuilibrit– proceset në të cilat shkalla e ndryshimit të parametrave termodinamikë është infinitimale, d.m.th. ndryshimet në parametrat termodinamikë ndodhin në kohë pafundësisht të gjata. Kjo model, sepse të gjitha proceset reale nuk janë në ekuilibër.

Një proces ekuilibri është një proces që kalon nëpër një sekuencë gjendjesh ekuilibri.

Procesi jo ekuilibër– një proces në të cilin një ndryshim në parametrat termodinamikë me një vlerë të fundme ndodh në një kohë të kufizuar.

Një proces jo ekuilibër nuk mund të përshkruhet grafikisht.

Termodinamika përdor një metodë të veçantë për studimin e fenomeneve - metoda termodinamike. Termodinamika shikon se si ndodh një proces.

Termodinamika bazohet në dy ligje bazë, të cilat janë një përgjithësim i materialit të madh faktik. Këto ligje krijuan të gjithë shkencën e termodinamikës dhe për këtë arsye morën fillimet e emrit.

11.1. Energjia e brendshme e një gazi ideal.
Numri i shkallëve të lirisë

Numri i shkallëve të lirisë thirrur numri më i vogël koordinata të pavarura që duhet të futen për të përcaktuar pozicionin e trupit në hapësirë. – numri i shkallëve të lirisë.

Le të shqyrtojmë gaz monoatomik. Një molekulë e një gazi të tillë mund të konsiderohet si një pikë materiale, pozicioni i pikës materiale (Fig. 11.1) në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata.

Molekula mund të lëvizë në tre drejtime (Fig. 11.2).

Rrjedhimisht, ai ka tre shkallë lirie përkthimore.

Një molekulë është një pikë materiale.

Energjisë lëvizje rrotulluese, sepse momenti i inercisë së një pike materiale në lidhje me një bosht që kalon nëpër pikë është zero

Për një molekulë gazi monotomike, numri i shkallëve të lirisë është .

Le të shqyrtojmë gaz diatomik. Në një molekulë diatomike, çdo atom merret si një pikë materiale dhe besohet se atomet janë të lidhura ngushtë me njëri-tjetrin molekula diatomike. Molekula diatomike e lidhur fort(një grup prej dy pikash materiale të lidhura me një lidhje jo të deformueshme), Fig. 11.3.

Pozicioni i qendrës së masës së molekulës përcaktohet nga tre koordinata, (Fig. 11.4) këto janë tre shkallë lirie, ato përcaktojnë lëvizje përpara molekulat. Por molekula gjithashtu mund të kryejë lëvizje rrotulluese rreth boshteve dhe, këto janë dy shkallë të tjera lirie që përcaktojnë rrotullimi i molekulës. Rrotullimi i një molekule rreth një boshti është i pamundur, sepse pikat materiale nuk mund të rrotullohen rreth një boshti që kalon nëpër këto pika.

Për një molekulë gazi diatomike, numri i shkallëve të lirisë është .

Le të shqyrtojmë gaz triatomik. Modeli i një molekule është tre atome (pika materiale), të lidhura fort me njëra-tjetrën (Fig. 11.5).

Një molekulë triatomike është një molekulë e lidhur fort.

Për një molekulë gazi triatomike, numri i shkallëve të lirisë është .

Për një molekulë poliatomike, numri i shkallëve të lirisë është .

Për molekulat reale që nuk kanë lidhje të ngurtë midis atomeve, është gjithashtu e nevojshme të merren parasysh shkallët e lirisë së lëvizjes vibruese, atëherë numri i shkallëve të lirisë së një molekule reale është i barabartë me

i= i do të zbatohet + i rrotullohen + i lëkundje (11.1)

Ligji shpërndarje uniforme energji
sipas shkallëve të lirisë (ligji i Boltzmann)

Ligji për shpërndarjen e barabartë të energjisë mbi shkallët e lirisë thotë se nëse një sistem grimcash është në një gjendje ekuilibri termodinamik, atëherë energjia mesatare kinetike e lëvizjes kaotike të molekulave për 1 shkallë lirie përkthimore dhe rrotulluese lëvizja është e barabartë me

Prandaj, një molekulë që ka shkallë lirie ka energji

është numri i nishaneve, ku është masa e nishanit dhe energjia e brendshme gazi shprehet me formulën

Energjia e brendshme e një gazi ideal varet vetëm nga temperatura e gazit. Ndryshimi në energjinë e brendshme të një gazi ideal përcaktohet nga një ndryshim në temperaturë dhe nuk varet nga procesi në të cilin ka ndodhur ky ndryshim.

Ndryshimi i energjisë së brendshme të një gazi ideal

ku është ndryshimi i temperaturës.

Për të zbatohet ligji i shpërndarjes uniforme të energjisë lëvizje osciluese atomet në një molekulë. Shkalla vibruese e lirisë llogarit jo vetëm energjinë kinetike, por edhe energjinë potenciale, dhe vlera mesatare e energjisë kinetike për shkallë është e barabartë me vlerën mesatare energji potenciale, për një shkallë lirie dhe është e barabartë me

Prandaj, nëse një molekulë ka një numër shkallësh lirie
i= i do të zbatohet + i rrotullohen + i dridhjet, pastaj energjia mesatare totale e molekulës: , dhe energjia e brendshme e masës së gazit:

11.2. Punë elementare. Pune ideale me gaz
gjatë izoproceseve

Nëse forcat e jashtme bëni punë në sistem, atëherë puna është negative.

Konsideroni një gaz ideal të vendosur nën një piston në një cilindër (Fig. 11.6). Gazi zgjerohet dhe pistoni ngrihet në një lartësi të pafundme. Forca që vepron nga gazi në piston gjendet me formulën

V P ( V) dhe drejtëza që kalojnë nëpër skajet e segmentit paralel me boshtin e ordinatave.