Paraqitja e punës suaj të mirë në bazën e njohurive është e lehtë. Përdorni formularin e mëposhtëm

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Postuar në http://www.allbest.ru/

Ministria e Arsimit dhe Shkencës

Republika e Kazakistanit

EKSTU me emrin. D. Serikbaeva

Puna e kursit

disiplina: Fizikë

në temë: “Vibracionet harmonikemetodëvektor i amplitudës rrotulluese, osemetodëvektorialediagramet»

Plotësohet nga: nxënësi i grupit 14-GRK-1

Seri??anov?.E

Kontrolluar nga: Nurkenova B.D.

Ust-Kamenogorsk - 2014

• Qarku oscilues
• Dridhjet harmonike
• Dridhjet e detyruara
• Rezonanca
• Vetë-lëkundjet
• Përkufizimi i dridhjeve.
• Metoda grafike e shtimit të lëkundjeve. Diagrami vektorial
• Metoda e vektorit të amplitudës rrotulluese.
• Shtesa është reciproke dridhjet pingule
• Shtimi i dridhjeve të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë.
• Forma të ndryshme të trajektores së shumës së lëkundjeve. Shifrat Lissajous
• Referencat

Qarku oscilues

Lëkundjet quhen lëvizjet ose proceset që karakterizohen nga një përsëritje e caktuar me kalimin e kohës. Proceset osciluese janë të përhapura në natyrë dhe teknologji, për shembull, lëkundja e një lavjerrësi të orës, e alternuar rrymë elektrike etj. Gjatë lëvizjes osciluese të lavjerrësit ndryshon koordinata e qendrës së masës së tij, në rastin AC tensioni dhe rryma në qark luhaten. Natyra fizike e dridhjeve mund të jetë e ndryshme, prandaj dallohen dridhjet mekanike, elektromagnetike dhe të tjera. Megjithatë, proceset e ndryshme osciluese përshkruhen nga të njëjtat karakteristika dhe të njëjtat ekuacione. Kjo nënkupton përshtatshmërinë e një qasjeje të unifikuar për studimin e lëkundjeve të natyrave të ndryshme fizike. Për shembull, një qasje e unifikuar për studimin e mekanikës dhe dridhjet elektromagnetike u përdor nga fizikani anglez D.W. Rayleigh (1842-1919), dhe A.G. Stoletov, inxhinier eksperimental rus P.N. Lebedev (1866-1912). Një kontribut të madh në zhvillimin e teorisë së lëkundjeve dhanë: L.I. Mandelstam (1879-1944) dhe studentët e tij.

Lëkundjet quhen falas(ose vet), nëse janë bërë në kurriz të origjinalit energji perfekte me mungesën e mëvonshme të ndikimeve të jashtme në sistemin oscilues (sistemi që lëkundet). Lloji më i thjeshtë i lëkundjeve janë dridhjet harmonike- lëkundjet në të cilat madhësia e luhatshme ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit (kosinusit). Marrja në konsideratë e dridhjeve harmonike është e rëndësishme për dy arsye:

Vibrimet që gjenden në natyrë dhe teknologji shpesh kanë karakter afër harmonik;

Të ndryshme proceset periodike(proceset e përsëritura në intervale të rregullta) mund të paraqiten si një mbivendosje e lëkundjeve harmonike.

Dridhjet harmonike

amplituda e vektorit të rezonancës së vibrimit

Lëkundjet harmonike të vlerës s përshkruhen nga një ekuacion si

s =A cos (0 t +), (1)

Ku

a) A - vlera maksimale vlera e luhatshme, e quajtur amplituda e vibrimit,

b) 0 - frekuencë rrethore (ciklike).,

-faza fillestare e lëkundjes në kohën t=0,

c) (0 t +) - faza e lëkundjes në kohën t.

Faza e lëkundjes përcakton vlerat e sasisë lëkundëse në për momentin koha. Meqenëse kosinusi ndryshon nga 1 në -1, s mund të marrë vlera nga +A në -A.

Disa gjendje të një sistemi që kryen lëkundje harmonike përsëriten pas një periudhe kohe T, të quajtur periudha e lëkundjes, për të cilën faza e lëkundjes merr një rritje të barabartë me 2, d.m.th.

0(t+T)+ =(0t+)+2,

ku

T=2/0 (2)

Madhësia, periudha e anasjelltë hezitim,

=1/T (3)

dmth quhet numri i lëkundjeve të plota të kryera për njësi të kohës frekuenca e dridhjeve. Duke krahasuar (2) dhe (3), marrim

0=2 .

Njësia e frekuencës - herc(Hz): 1 Hz - frekuenca e procesit periodik, në të cilin 1 cikël i procesit përfundon në 1 sekondë.

Le të shkruajmë derivatet për herë të parë dhe të dytë të sasisë s në mënyrë harmonike lëkundëse:

(4)

(5)

dmth kemi lëkundje harmonike me të njëjtën frekuencë ciklike. Amplituda e sasive (5) dhe (4) janë përkatësisht të barabarta Dhe . Faza e sasisë (4) ndryshon nga faza e sasisë (1) me /2, dhe faza e sasisë (5) ndryshon nga faza e sasisë (1) me . Prandaj, në momentet kur s =0, fiton vlerat më të larta; kur s arrin vlerën maksimale negative, atëherë merr vlerën më të madhe pozitive .

Nga shprehja (5) rrjedh ekuacioni diferencial i lëkundjeve harmonike

(6)

ku s =A cos (0 t +). Zgjidhja e këtij ekuacioni është shprehja (1).

Lëkundjet harmonike paraqiten grafikisht metoda e vektorit të amplitudës rrotulluese, ose metoda e diagramit vektorial.

Për ta bërë këtë, nga një pikë arbitrare O, e zgjedhur në boshtin x në një kënd të barabartë me fazën fillestare të lëkundjes, vizatohet vektori A, moduli i të cilit është i barabartë me amplitudën A të lëkundjes në fjalë.

Nëse ky vektor rrotullohet me shpejtësia këndore 0, e barabartë me frekuencën ciklike të lëkundjeve, atëherë projeksioni i fundit të vektorit do të lëvizë përgjatë boshtit x dhe do të marrë vlera nga -A në +A, dhe vlera lëkundëse do të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligjit s = A cos (0 t +). Kështu, lëkundje harmonike mund të përfaqësohet nga një projeksion mbi një bosht të zgjedhur në mënyrë arbitrare të vektorit të amplitudës A, i paraqitur nga pikë arbitrare boshti në një kënd të barabartë me fazën fillestare dhe rrotullohet me shpejtësi këndore 0 rreth kësaj pike.

Dridhjet e detyruara

Lëkundjet që ndodhin nën ndikimin e një force periodike të jashtme quhen të detyruara.

Një forcë e jashtme bën punë pozitive dhe siguron një rrjedhë energjie në sistemin oscilues. Nuk lejon që dridhjet të shuhen, pavarësisht veprimit të forcave të fërkimit.

Një forcë e jashtme periodike mund të ndryshojë me kalimin e kohës sipas ligje të ndryshme. Me interes të veçantë është rasti kur një forcë e jashtme ndryshon së bashku ligji harmonik me frekuencë u, ndikon në një sistem oscilues të aftë të kryejë lëkundjet e veta në një frekuencë të caktuar u0.

Nëse luhatjet e lira ndodhin në një frekuencë u0, e cila përcaktohet nga parametrat e sistemit, atëherë luhatjet e qëndrueshme të detyruara ndodhin gjithmonë në një frekuencë u forca e jashtme.

Pas fillimit të ndikimit të një force të jashtme në sistemin oscilues, një kohë Dt është e nevojshme për vendosjen e lëkundjeve të detyruara. Koha e vendosjes është, sipas madhësisë, e barabartë me kohën e amortizimit f të lëkundjeve të lira në sistemin oscilues.

Në momentin fillestar, të dy proceset ngacmohen në sistemin oscilator - lëkundjet e detyruara në frekuencën u dhe lëkundjet e lira në frekuencën natyrore u0. Por dridhjet e lira zbehen për shkak të pranisë së pashmangshme të forcave të fërkimit. Prandaj, pas njëfarë kohe, vetëm lëkundjet e palëvizshme në frekuencën e forcës lëvizëse të jashtme mbeten në sistemin oscilues.

Le të shqyrtojmë, si shembull, lëkundjet e detyruara të një trupi në një susta (Fig. 1). Një forcë e jashtme zbatohet në skajin e lirë të sustës. Ai detyron skajin e lirë (majtas në Fig. 1) të sustës të lëvizë sipas ligjit

y = ym cos yt.

ku ym është amplituda e lëkundjeve, u është frekuenca rrethore.

Ky ligj i lëvizjes mund të arrihet duke përdorur një mekanizëm të shufrës lidhëse, që nuk tregohet në figurën 1.

Figura 1. Dridhjet e detyruara të një ngarkese në një sustë. Skaji i lirë i sustës lëviz sipas ligjit y = ym cos yt. l është gjatësia e sustës së padeformuar, k është ngurtësia e sustës.

Nëse skaji i majtë i sustës zhvendoset me një distancë y dhe skaji i djathtë me një distancë x nga pozicioni i tyre origjinal kur susta ishte e padeformuar, atëherë zgjatja e sustës Dl është e barabartë me:

Dl = x - y = x - ym cos yt.

Ligji i dytë i Njutonit për një trup me masë m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos yt.

Në këtë ekuacion, forca që vepron në një trup përfaqësohet si dy terma. Termi i parë në anën e djathtë është forcë elastike, duke tentuar ta kthejë trupin në pozicionin e ekuilibrit (x = 0). Termi i dytë është efekti i jashtëm periodik në trup. Ky term quhet forca lëvizëse.

Amplituda e lëkundjeve të detyruara xm dhe faza fillestare dhe varen nga raporti i frekuencave u0 dhe u dhe nga amplituda ym e forcës së jashtme.

Në frekuenca shumë të ulëta, kur<< щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Rezonanca

Nëse frekuenca u e forcës së jashtme i afrohet frekuencës natyrore u0, a rritje të mprehtë amplituda e lëkundjeve të detyruara. Ky fenomen quhet rezonancë. Varësia e amplitudës xm e lëkundjeve të detyruara nga frekuenca u e forcës lëvizëse quhet karakteristikë rezonante ose kurba e rezonancës (Fig. 2).

Në rezonancë, amplituda xm e dridhjes së ngarkesës mund të jetë shumë herë më e madhe se amplituda ym e dridhjes së skajit të lirë (të majtë) të sustës të shkaktuar nga ndikimi i jashtëm. Në mungesë të fërkimit, amplituda e lëkundjeve të detyruara gjatë rezonancës duhet të rritet pa kufi. Në kushte reale, amplituda e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme përcaktohet nga kushti: puna e forcës së jashtme gjatë periudhës së lëkundjes duhet të jetë e barabartë me humbjen e energjisë mekanike gjatë së njëjtës kohë për shkak të fërkimit. Sa më i ulët të jetë fërkimi (d.m.th., sa më i lartë të jetë faktori i cilësisë Q i sistemit oscilues), aq më e madhe është amplituda e lëkundjeve të detyruara në rezonancë.

Në sistemet osciluese me faktor cilësor jo shumë të lartë (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Fenomeni i rezonancës mund të shkaktojë shkatërrimin e urave, ndërtesave dhe strukturave të tjera nëse frekuencat natyrore të lëkundjeve të tyre përkojnë me frekuencën në mënyrë periodike. fuqi vepruese, e cila u ngrit, për shembull, për shkak të rrotullimit të një motori të pabalancuar.

Figura 2.

Lakoret e rezonancës në nivele të ndryshme dobësimi: 1 - sistemi oscilues pa fërkim; në rezonancë, amplituda xm e lëkundjeve të detyruara rritet pafundësisht; 2, 3, 4 - kurbat reale të rezonancës për sistemet osciluese me faktorë të ndryshëm të cilësisë: Q2 > Q3 > Q4. Në frekuenca të ulëta (u<< щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> u0) xm > 0.

Lëkundjet e detyruara janë lëkundje të pamposhtura. Humbjet e pashmangshme të energjisë për shkak të fërkimit kompensohen nga furnizimi me energji nga burim i jashtëm forcë që vepron në mënyrë periodike. Ka sisteme në të cilat lëkundjet e pamposhtura lindin jo për shkak të ndikimeve periodike të jashtme, por si rezultat i aftësisë së sistemeve të tilla për të rregulluar furnizimin me energji nga një burim konstant. Sisteme të tilla quhen vetë-osciluese, dhe procesi Jo lëkundjet e amortizuara në sisteme të tilla - vetë-lëkundje. Në një sistem vetëlëkundës, mund të dallohen tre elementë karakteristikë - një sistem oscilues, një burim energjie dhe një pajisje kthyese midis sistemit oscilues dhe burimit. Çdo sistem mekanik i aftë për të kryer lëkundjet e veta të amortizuara (për shembull, lavjerrësi i një ore muri) mund të përdoret si një sistem oscilues.

Burimi i energjisë mund të jetë energjia e deformimit të një sustë ose energjia potenciale e një ngarkese në një fushë gravitacionale. Një pajisje kthyese është një mekanizëm me anë të të cilit një sistem vetëlëkundës rregullon rrjedhën e energjisë nga një burim. Figura 3 tregon diagramin e ndërveprimit elemente të ndryshme sistem vetëlëkundës.

Figura 3. Diagrami funksional sistem vetëlëkundës

Vetë-lëkundjet

Një shembull i një sistemi mekanik vetëlëkundës është një mekanizëm i orës me një goditje ankorimi (Figura 4). Rrota e drejtimit me dhëmbë të zhdrejtë është ngjitur fort në një daulle me dhëmbë, përmes së cilës hidhet një zinxhir me një peshë. Në skajin e sipërm të lavjerrësit ka një spirancë (spirancë) me dy pllaka të material i fortë, i lakuar përgjatë një harku rrethor me qendër në boshtin e lavjerrësit. Në orët e dorës, pesha zëvendësohet nga një pranverë, dhe lavjerrësi zëvendësohet nga një balancues - një rrotë dore e lidhur me një pranverë spirale. Balancuesi kryen dridhje rrotulluese rreth boshtit të tij. Sistemi vibrues Në një orë ka një lavjerrës ose një balancues. Burimi i energjisë është një peshë e ngritur ose një pranverë plagë. Pajisja me anë të së cilës sigurohet reagimi është një spirancë, e cila lejon rrotën e drejtimit të rrotullojë një dhëmb në një gjysmë cikli. Feedback kryhet nga ndërveprimi i spirancës me rrotën e drejtimit. Me çdo lëkundje të lavjerrësit, një dhëmb i rrotës së drejtimit shtyn pirunin e ankorimit në drejtim të lëvizjes së lavjerrësit, duke transferuar në të një pjesë të caktuar të energjisë, e cila kompenson humbjet e energjisë për shkak të fërkimit. Kështu, energjia potenciale e peshës (ose susta e përdredhur) gradualisht, në pjesë të veçanta, transferohet në lavjerrës.

Sistemet mekanike vetëlëkundëse janë të përhapura në jetën rreth nesh dhe në teknologji. Vetëlëkundjet ndodhin në motorët me avull dhe djegia e brendshme, këmbanat elektrike, telat e harkut instrumente muzikore, kolonat e ajrit në tubat e instrumenteve frymore, kordat vokale kur flet ose këndon etj.

Figura 4. Mekanizmi i orës me një lavjerrës.

Zbulimi i lëkundjeve

Lëkundjet janë lëvizje ose procese që përsëriten plotësisht ose pothuajse plotësisht në intervale të rregullta. Lëkundjet e përshkruara nga ekuacioni

,

ku x është zhvendosja e vlerës osciluese nga pozicioni i ekuilibrit; w - frekuenca ciklike, e cila përcakton numrin e lëkundjeve të kryera në 2 p sekonda - koha quhet harmonike;

Metoda grafike e shtimit të lëkundjeve. Diagrami vektorial

Metoda e vektorit të amplitudës rrotulluese konsiston në paraqitjen e një lëkundjeje harmonike duke përdorur një vektor gjatësia e të cilit është e barabartë me amplituda e lëkundjes, dhe drejtimi formon një kënd me boshtin x të barabartë me fazën fillestare të lëkundjeve, i quajtur metoda e vektorit të amplitudës rrotulluese. .

Është i përshtatshëm për të shtuar lëkundje harmonike të të njëjtit drejtim dhe frekuencë, duke përshkruar lëkundjet në formën e vektorëve në një plan - grafikisht.

1). Le të zgjedhim një vijë të drejtë të drejtuar - një bosht përgjatë të cilit do të vizatojmë vlerën luhatëse x.

2). Nga një pikë e caktuar O e marrë në bosht, ne vizatojmë një segment të drejtuar - një vektor me gjatësi A, duke formuar një kënd të caktuar me boshtin.

3). Vektori rrotullues A rreth pikës O me një shpejtësi këndore u 0, marrim se projeksioni i fundit të vektorit mbi bosht do të kryejë lëkundje harmonike me një amplitudë të barabartë me gjatësinë e vektorit, me një frekuencë rrethore të barabartë me këndoren. shpejtësia e rrotullimit të vektorit dhe me një fazë fillestare, e barabartë me këndin, i formuar nga një vektor me një bosht në momentin fillestar të kohës: projeksioni i fundit të vektorit do të lëvizë përgjatë boshtit x, duke marrë vlera nga - A në + A, dhe koordinata e këtij projeksioni do të ndryshojë koha sipas ligjit

Diagrami i përftuar me këtë metodë të paraqitjes së dridhjeve quhet diagram vektorial.

Shtimi i dridhjeve reciproke pingule.

Konsideroni dy pingul reciprokisht sasive vektoriale x dhe y, duke ndryshuar me kalimin e kohës me të njëjtën frekuencë u sipas ligjit harmonik:

(1)

Ku e x dhe e y janë vektorë njësi boshtet koordinative x dhe y, A dhe B - amplituda vibrimi. Vlerat x dhe y mund të jenë, për shembull, zhvendosje pika materiale(grimca) nga pozicioni i ekuilibrit.

Në rastin e një grimce lëkundëse, sasitë x dhe y mund të përfaqësohen si:

, (2)

Ato përcaktojnë koordinatat e grimcës në rrafshin xy.

Shprehjet (2) përfaqësojnë të dhëna në forma parametrike ekuacioni i trajektores përgjatë së cilës grimca do të lëvizë. Lloji i trajektores varet nga diferenca fazore midis dy lëkundjeve.

Duke përjashtuar parametrin t nga ekuacionet (2), marrim ekuacionin e trajektores në në formën e zakonshme. Nga ekuacioni i parë: (3). Përkatësisht

(4)

Sipas formulës për kosinusin e shumës:

, Pastaj

Le ta transformojmë këtë ekuacion

(5)

Ne morëm ekuacionin e një elipse, boshtet e së cilës rrotullohen në lidhje me boshtet e koordinatave x dhe y. Orientimi i elipsës dhe gjysmëboshti i saj varen mjaft në mënyrë komplekse në amplituda A dhe B dhe ndryshim fazor b.

Mbledhja është një lëkundje e të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë.

Konsideroni shtimin e dy lëkundjeve harmonike x 1 dhe x 2 të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë:

, (1)

Ne mund t'i paraqesim të dy lëkundjet duke përdorur vektorët A 1 dhe A 2. Duke përdorur rregullat e mbledhjes së vektorit, mund të gjejmë vektorin rezultues A, i cili është shuma e dy vektorëve A 1 dhe A 2.

Vektori A paraqet dridhjen që rezulton, sepse figura tregon se projeksioni i këtij vektori në boshtin x është i barabartë me shumën e projeksioneve të vektorëve të shtuar:

Vektori A rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore u 0 si vektorët A 1 dhe A 2, kështu që shuma e x 1 dhe x 2 është një lëkundje harmonike me frekuencë (u 0, amplituda A dhe faza fillestare b. Duke përdorur teoremën e kosinusit, ne gjeni atë

(2)

(3)

Zëvendësimi i shtimit të funksioneve me shtimin e vektorëve, gjë që është e mundur me Paraqitjen e lëkundjeve harmonike duke përdorur vektorë, thjeshton shumë llogaritjet.

Forma të ndryshme të trajektores së shumës së lëkundjeve. Shifrat Lissajous.

Diferenca e fazës b është zero.

Me një ndryshim fazor, e barabartë me zero, ekuacioni (5) është thjeshtuar si më poshtë:

Nga këtu:

- ekuacioni i një drejtëze.

Lëvizja që rezulton është një lëkundje harmonike përgjatë kësaj vije të drejtë me një frekuencë u dhe një amplitudë të barabartë me (Fig. 1 a).

Diferenca fazore b është e barabartë me ±р.

Kur diferenca fazore b është e barabartë me ±р, ekuacioni (5) ka formën

- lëvizja që rezulton është një lëkundje harmonike përgjatë një vije të drejtë

(Fig. 1 b)

Fig.1

Diferenca fazore është

Rastet ndryshojnë në drejtimin e lëvizjes përgjatë një elipsi ose rrethi.

Kur diferenca e fazës është e barabartë me, ekuacioni (5) kthehet në ekuacionin e një elipsi të reduktuar në boshtet e koordinatave:

Gjysmë boshtet e elipsës janë të barabarta me amplitudat përkatëse të vibrimit. Nëse amplituda e A dhe B janë të barabarta, elipsa kthehet në një rreth.

Lëvizja uniforme përgjatë një rrethi me rreze R me shpejtësi këndore u mund të përfaqësohet si shuma e dy lëkundjeve reciproke pingule:

,

(shenja plus në shprehjen për y korrespondon me lëvizjen në drejtim të kundërt, shenja minus me lëvizjen në drejtim të akrepave të orës).

Në frekuenca të ndryshme të lëkundjeve reciproke pingule, trajektoret e lëvizjes që rezulton do të marrin formën e kthesave komplekse të quajtura figura Lissajous.

Shifra Lissajous për raportin e frekuencës 1:2 dhe diferencën e fazës p/2

Shifra Lissajous për raportin e frekuencës 3:4 dhe diferencën e fazës p/2

Referencat

Gevorkyan R.G. Kursi i fizikës. -M, 1979, -656 f.

I. V. Savelyev. Epo fizika e përgjithshme. -M. 1990

J.Orir. Fizikë vëllimi 1, - M. 1981

Trofimova T.I. Kursi i fizikës, -M. 2006, -560 f.

Postuar në Allbest.ru

Dokumente të ngjashme

Imazhi grafik lëkundjet në formën e vektorëve dhe në formë komplekse. Ndërtimi i vektorit që rezulton sipas rregullave të mbledhjes së vektorit. Rrahje dhe ligji periodik ndryshimet në amplituda e vibrimit. Ekuacioni dhe ndërtimi i figurave më të thjeshta të Lissajous.

prezantim, shtuar 18.04.2013


Metoda e diagramit vektorial. Paraqitja e dridhjeve harmonike në formë komplekse; shtimi i dridhjeve harmonike; rreh. Mbledhja e lëkundjeve reciproke pingule: ekuacioni i trajektores së lëkundjes që rezulton; ekuacioni i elipsit; Shifrat Lissajous.

prezantim, shtuar 24.09.2013


Shtimi i dridhjeve harmonike mekanike reciproke pingule. Ekuacioni diferencial lëkundjet e lira të amortizuara dhe zgjidhja e saj; vetëlëkundjet. Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të detyruara. Amplituda dhe faza e lëkundjeve; rezonancë.

prezantim, shtuar 28.06.2013


Studimi i konceptit të proceseve osciluese. Klasifikimi i dridhjeve sipas natyrës së tyre fizike dhe natyrës së ndërveprimit me mjedisi. Përcaktimi i amplitudës dhe fazës fillestare të lëkundjes që rezulton. Mbledhja e lëkundjeve të drejtuara në mënyrë identike.

test, shtuar 24.03.2013


Koncepti dhe karakteristikë fizike vlerat e dridhjeve, duke i përcaktuar ato vlerë periodike. Parametrat e frekuencës, fazës dhe amplitudës së lëkundjeve të lira dhe të detyruara. Oscilator harmonik dhe përbërjen e ekuacionit diferencial të lëkundjeve harmonike.

prezantim, shtuar 29.09.2013


Përkufizimet dhe klasifikimi i vibrimeve. Metodat për përshkrimin e lëkundjeve harmonike. Karakteristikat kinematike dhe dinamike. Përcaktimi i parametrave të lëkundjeve harmonike bazuar në kushtet fillestare të rezistencës. Energjia dhe shtimi i vibrimeve harmonike.

prezantim, shtuar 02/09/2017


Diagrami vektorial i lëkundjeve me një frekuencë që ndodhin përgjatë një vije të drejtë. Gjetja grafikisht e amplitudës së lëkundjeve që lindin kur shtohen dy lëkundje të të njëjtit drejtim. Mbledhja e dy dridhjeve harmonike të të njëjtit drejtim.

puna e kursit, shtuar 15.11.2012


Rezonanca si fenomen i një rritje të mprehtë të amplitudës së lëkundjeve të detyruara, e saj bazë fizike. Dridhjet e detyruara. Roli shkatërrues i rezonancës dhe i saj vlerat pozitive. Matësi i frekuencës: koncept, pamje e përgjithshme, funksionet. Rezonanca dhe gjendja njerëzore.

prezantim, shtuar 27.10.2013


Qasje e unifikuar për studimin e dridhjeve të natyrave të ndryshme fizike. Karakteristikat e dridhjeve harmonike. Koncepti i një periudhe lëkundjeje gjatë së cilës faza e lëkundjes merr një rritje. Dridhjet mekanike harmonike. Lavjerrëse fizike dhe matematikore.

prezantim, shtuar 28.06.2013


Lëkundjet janë një nga proceset më të zakonshme në natyrë dhe teknologji. Grafiku i lëkundjeve të amortizuara. Matematikore dhe lavjerrëse pranverore. Rezonanca si një rritje e mprehtë e amplitudës së dridhjeve. Nxjerrja e formulës për llogaritjen e periudhës së një lavjerrës pranveror.

Një diagram vektorial është një mënyrë për të specifikuar grafikisht lëvizje osciluese si vektor.

Vlera lëkundëse ξ (e çfarëdo natyre fizike) vizatohet përgjatë boshtit horizontal. Vektori i vizatuar nga pika 0 është i barabartë në madhësi me amplituda e lëkundjes A dhe është i drejtuar në një kënd α të barabartë me fazën fillestare të lëkundjes në boshtin ξ. Nëse e sjellim këtë vektor në rrotullim me një shpejtësi këndore ω të barabartë me frekuencën ciklike të lëkundjeve, atëherë projeksioni i këtij vektori në boshtin ξ jep vlerën e sasisë lëkundëse në një moment arbitrar në kohë.

Mbledhja e lëkundjeve me të njëjtën frekuencë dhe të njëjtin drejtim

Le të mblidhen dy lëkundje: Ne ndërtojmë diagrame vektoriale dhe shtojmë vektorë:

Nga teorema e kosinusit

Sepse Se

Është e qartë (shih diagramin) se faza fillestare e lëkundjes që rezulton përcaktohet nga relacioni:

Mbledhja e lëkundjeve të frekuencave të afërta

P Me fjalë të tjera, mblidhen dy lëkundje me frekuenca pothuajse të njëjta, d.m.th.

Nga trigonometria:

Duke aplikuar në rastin tonë, ne marrim:

Grafiku i dridhjes që rezulton është një grafik rrahjesh, d.m.th. lëkundje pothuajse harmonike të frekuencës ω, amplituda e së cilës ndryshon ngadalë me frekuencën Δω.

Amplituda për shkak të pranisë së shenjës së modulit (amplituda është gjithmonë > 0), frekuenca me të cilën ndryshon amplituda nuk është e barabartë me Δω / 2, por dy herë më e lartë - Δω.

Shtimi i dridhjeve reciproke pingule

Lëreni një trup të vogël të lëkundet mbi susta reciprokisht pingule me ngurtësi të barabartë. Përgjatë cilës trajektore do të lëvizë ky trup?

Këto janë ekuacionet e trajektores në forma parametrike. Për të marrë një marrëdhënie të qartë midis koordinatave x dhe y, është e nevojshme të përjashtohet parametri t nga ekuacionet.

Nga ekuacioni i parë: ,

Nga e dyta

Pas zëvendësimit

Le të heqim qafe rrënjën:

- ky është ekuacioni i elipsës

H
raste të veçanta:

27. Lëkundjet e amortizuara. Dridhjet e detyruara. Rezonanca.

Zhdukja e dridhjeve të lira

Për shkak të rezistencës, lëkundjet e lira gjithmonë shuhen herët a vonë. Le të shqyrtojmë procesin e amortizimit të dridhjeve. Le të supozojmë se forca e rezistencës është proporcionale me shpejtësinë e trupit. (koeficienti i proporcionalitetit tregohet me 2 mg për arsye komoditeti, të cilat do të zbulohen më vonë). Do të kemi parasysh rastin kur gjatë periudhës së lëkundjes zbutja e tij është e vogël. Atëherë mund të supozojmë se amortizimi do të ketë një efekt të lehtë në frekuencë, por do të ndikojë në amplituda e lëkundjeve. Atëherë ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara mund të përfaqësohet pasi Këtu A(t) paraqet një funksion në rënie që duhet të përcaktohet. Ne do të vazhdojmë nga ligji i ruajtjes dhe transformimit të energjisë. Ndryshimi i energjisë së lëkundjes është i barabartë me forcën mesatare të rezistencës gjatë periudhës së punës, d.m.th. Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me dt. Në të djathtë do të kemi dx/dt, d.m.th. shpejtësia është v, dhe në të majtë ju merrni derivatin e energjisë në lidhje me kohën. Prandaj, duke marrë parasysh Por energjia mesatare kinetike e barabartë me gjysmën e energjisë totale. Prandaj mund ta shkruajmë atë Le të pjesëtojmë të dyja anët me E dhe të shumëzojmë me dt. Ne e kuptojmë atë Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit që rezulton: Pas fuqizimit marrim Konstanta e integrimit C gjendet nga kushtet fillestare. Le të jetë t = 0 E = E0, pastaj E0 = C. Rrjedhimisht, Por E ~ A^2. Prandaj, amplituda e lëkundjeve të amortizuara zvogëlohet sipas ligjit eksponencial:

DHE Kështu, për shkak të rezistencës, amplituda e lëkundjeve zvogëlohet dhe ato përgjithësisht duken siç tregohet në Fig. 4.2. Koeficienti quhet koeficienti i zbutjes. Megjithatë, ai nuk e karakterizon plotësisht zbutjen. Në mënyrë tipike, zbutja e lëkundjeve karakterizohet nga një zvogëlim i amortizimit. Kjo e fundit tregon se sa herë zvogëlohet amplituda e lëkundjeve gjatë një kohe të barabartë me periudhën e lëkundjeve. Kjo do të thotë, ulja e amortizimit përcaktohet si më poshtë: Logaritmi i zvogëlimit të amortizimit quhet zvogëlim logaritmik, padyshim që është i barabartë me

Dridhjet e detyruara

Nëse sistemi oscilues i ekspozohet një force periodike të jashtme, atëherë lindin të ashtuquajturat lëkundje të detyruara, të cilat kanë një natyrë të pamposhtur. Lëkundjet e detyruara duhet të dallohen nga vetëlëkundjet. Në rastin e vetëlëkundjeve në sistem, supozohet një mekanizëm i veçantë, i cili me kalimin e kohës me lëkundjet e veta “furnizon” pjesë të vogla të energjisë nga një rezervuar i caktuar energjetik në sistem. Kështu, lëkundjet natyrore mbahen dhe nuk shuhen. Në rastin e vetë-lëkundjeve, sistemi duket se e shtyn veten. Një shembull i një sistemi vetëlëkundës është një orë. Ora është e pajisur me një mekanizëm shtrëngues, me ndihmën e të cilit lavjerrësi merr goditje të vogla (nga një burim i ngjeshur) në kohë me dridhjet e veta. Në rastin e lëkundjeve të detyruara, sistemi shtyhet nga një forcë e jashtme. Më poshtë do të ndalemi në këtë rast, duke supozuar se rezistenca në sistem është e vogël dhe mund të injorohet. Si model i lëkundjeve të detyruara, do të kemi parasysh të njëjtin trup të pezulluar në një sustë, mbi të cilin vepron një forcë periodike e jashtme (për shembull, një forcë e natyrës elektromagnetike). Pa marrë parasysh rezistencën, ekuacioni i lëvizjes së një trupi të tillë në projeksion mbi boshtin x ka formën: ku w* është frekuenca ciklike, B është amplituda e forcës së jashtme. Dihet që lëkundjet ekzistojnë. Prandaj, ne do të kërkojmë një zgjidhje të veçantë të ekuacionit në formën e një funksioni sinusoidal Le të zëvendësojmë funksionin në ekuacionin, për të cilin diferencojmë dy herë në lidhje me kohën . Zëvendësimi çon në marrëdhënie

Ekuacioni bëhet identitet nëse plotësohen tre kushte: . Pastaj dhe ekuacioni i lëkundjeve të detyruara mund të paraqitet në formë Ato ndodhin me një frekuencë që përkon me frekuencën e forcës së jashtme dhe amplituda e tyre nuk vendoset në mënyrë arbitrare, si në rastin e lëkundjeve të lira, por vendoset vetvetiu. Kjo vlerë e vendosur varet nga raporti i frekuencës natyrore të lëkundjeve të sistemit dhe frekuencës së forcës së jashtme sipas formulës

N dhe fig. Figura 4.3 tregon një grafik të varësisë së amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës së jashtme. Mund të shihet se amplituda e lëkundjeve rritet ndjeshëm kur frekuenca e forcës së jashtme i afrohet frekuencës së lëkundjeve natyrore. Dukuria e rritjes së mprehtë të amplitudës së lëkundjeve të detyruara kur frekuenca natyrore dhe frekuenca e forcës së jashtme përkojnë quhet rezonancë.

Në rezonancë, amplituda e lëkundjeve duhet të jetë pafundësisht e madhe. Në realitet, gjatë rezonancës, amplituda e lëkundjeve të detyruara është gjithmonë e fundme. Kjo shpjegohet me faktin se në dhe afër rezonancës supozimi ynë për rezistencë të papërfillshme bëhet i pasaktë. Edhe nëse rezistenca në sistem është e vogël, në rezonancë është domethënëse. Prania e tij e bën amplituda e lëkundjeve në rezonancë një vlerë të fundme. Kështu, grafiku real i varësisë së amplitudës së lëkundjes nga frekuenca ka formën e treguar në Fig. 4.4. Sa më e madhe të jetë rezistenca në sistem, aq më e ulët është amplituda maksimale në pikën e rezonancës.

Si rregull, rezonanca në sistemet mekanike- një fenomen i padëshiruar, dhe i tij ata përpiqen të shmangin: ata përpiqen të projektojnë struktura mekanike që i nënshtrohen lëkundjeve dhe dridhjeve në mënyrë të tillë që frekuenca natyrore e lëkundjeve të jetë larg vlerave të mundshme të frekuencave të ndikimeve të jashtme. Por në një numër pajisjesh rezonanca përdoret si një fenomen pozitiv. Për shembull, rezonanca e lëkundjeve elektromagnetike përdoret gjerësisht në komunikimet radio, dhe rezonanca e rrezeve g përdoret në instrumente precize.

Gjendja e një sistemi termodinamik. Proceset

Gjendjet termodinamike dhe proceset termodinamike

Kur krahas ligjeve të mekanikës kërkohet zbatimi i ligjeve të termodinamikës, sistemi quhet sistem termodinamik. Nevoja për të përdorur këtë koncept lind nëse numri i elementeve të sistemit (për shembull, numri i molekulave të gazit) është shumë i madh, dhe lëvizja e elementeve të tij individuale është mikroskopike në krahasim me lëvizjen e vetë sistemit ose makroskopike të tij. komponentët. Në këtë rast, termodinamika përshkruan lëvizjet makroskopike (ndryshimet në gjendjet makroskopike) sistemi termodinamik.

Parametrat që përshkruajnë lëvizje (ndryshime) të tilla të një sistemi termodinamik zakonisht ndahen në të jashtëm dhe të brendshëm. Kjo ndarje është shumë e kushtëzuar dhe varet nga detyra specifike. Kështu, për shembull, një gaz në një tullumbace me një guaskë elastike ka presionin e ajrit të ambientit si një parametër të jashtëm, dhe për një gaz në një enë me një guaskë të ngurtë, parametri i jashtëm është vëllimi i kufizuar nga kjo guaskë. Në një sistem termodinamik, vëllimi dhe presioni mund të ndryshojnë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Për të përshkruar teorikisht ndryshimet e tyre, është e nevojshme të futet të paktën një parametër më shumë - temperatura.

Në shumicën termodinamike tre detyra parametrat janë të mjaftueshëm për të përshkruar gjendjen e sistemit termodinamik. Në këtë rast, ndryshimet në sistem përshkruhen duke përdorur tre koordinata termodinamike të lidhura me parametrat termodinamikë përkatës.

Gjendja e ekuilibrit- gjendja e ekuilibrit termodinamik - është një gjendje e një sistemi termodinamik në të cilin nuk ka rrjedha (energji, lëndë, moment, etj.), dhe parametrat makroskopikë të sistemit janë të qëndrueshme dhe nuk ndryshojnë me kalimin e kohës.

Termodinamika klasike thotë se një sistem termodinamik i izoluar (i lënë në duart e veta) priret në një gjendje ekuilibri termodinamik dhe, pasi të arrihet, nuk mund të dalë spontanisht prej tij. Unë shpesh e quaj këtë deklaratë ligji zero i termodinamikës.

Sistemet në gjendje ekuilibri termodinamik kanë si më poshtë vetitë mi:

Nëse dy sisteme termodinamike që kanë kontakt termik janë në një gjendje ekuilibri termodinamik, atëherë sistemi total termodinamik është në një gjendje ekuilibri termodinamik.

Nëse ndonjë sistem termodinamik është në ekuilibër termodinamik me dy sisteme të tjera, atëherë këta dy sisteme janë në ekuilibër termodinamik me njëri-tjetrin.

Le të shqyrtojmë sistemet termodinamike që janë në një gjendje ekuilibri termodinamik. Përshkrimi i sistemeve që janë në gjendje jo ekuilibër, domethënë në një gjendje ku ndodhin flukse makroskopike, trajtohet nga termodinamika jo ekuilibër. Kalimi nga një gjendje termodinamike në një tjetër quhet procesi termodinamik. Më poshtë do të shqyrtojmë vetëm proceset kuazi-statike ose, çka është e njëjta, proceset kuazi-ekuilibër. Rasti kufizues i një procesi kuazi-ekuilibri është një proces ekuilibri që ndodh pafundësisht ngadalë, i përbërë nga gjendje të vazhdueshme të njëpasnjëshme të ekuilibrit termodinamik. Në realitet, një proces i tillë nuk mund të ndodhë, megjithatë, nëse ndryshimet makroskopike në sistem ndodhin mjaft ngadalë (me intervalet kohore që tejkalojnë ndjeshëm kohën e vendosjes së ekuilibrit termodinamik), bëhet e mundur që procesi real të përafrohet si pothuajse statik (kuazi- ekuilibri). Ky përafrim lejon që llogaritjet të kryhen me saktësi mjaft të lartë për një klasë të madhe problemesh praktike. Procesi i ekuilibrit është i kthyeshëm, domethënë ai në të cilin një kthim në vlerat e parametrave të gjendjes që kanë ndodhur në momentin e mëparshëm të kohës duhet ta çojë sistemin termodinamik në gjendjen e mëparshme pa asnjë ndryshim në trupat që rrethojnë sistemin.

Zbatimi praktik i proceseve pothuajse të ekuilibrit në çdo pajisje teknike është i paefektshëm. Kështu, përdorimi i një procesi pothuajse të ekuilibrit në një motor ngrohjeje, për shembull, që ndodh në një temperaturë pothuajse konstante (shih përshkrimin e ciklit Carnot në kapitullin e tretë), çon në mënyrë të pashmangshme në faktin se një makinë e tillë do të funksionojë shumë. ngadalë (në kufi - pafundësisht ngadalë) dhe kanë një fuqi shumë të vogël. Prandaj, në praktikë, proceset kuazi-ekuilibër nuk përdoren në pajisjet teknike. Sidoqoftë, duke qenë se parashikimet e termodinamikës së ekuilibrit për sistemet reale përkojnë me saktësi mjaft të lartë me të dhënat e marra eksperimentalisht për sisteme të tilla, përdoret gjerësisht për llogaritjen e proceseve termodinamike në pajisje të ndryshme teknike.

Nëse gjatë një procesi termodinamik sistemi kthehet në gjendjen e tij origjinale, atëherë një proces i tillë quhet rrethor ose ciklik. Proceset rrethore, ashtu si çdo proces tjetër termodinamik, mund të jenë ose ekuilibër (dhe për rrjedhojë të kthyeshëm) ose jo ekuilibër (i pakthyeshëm). Në një proces rrethor të kthyeshëm, pasi sistemi termodinamik kthehet në gjendjen e tij origjinale, nuk lindin shqetësime termodinamike në trupat përreth dhe gjendjet e tyre mbeten në ekuilibër. Në këtë rast, parametrat e jashtëm të sistemit, pas procesit ciklik, kthehen në vlerat e tyre origjinale. Në një proces rrethor të pakthyeshëm, pas përfundimit të tij, trupat përreth kalojnë në gjendje jo ekuilibri dhe ndryshojnë parametrat e jashtëm të sistemit termodinamik.

Dridhjet e detyruara. Rezonanca.

Deri më tani, ne kemi marrë parasysh lëkundjet natyrore, lëkundjet që ndodhin në mungesë të ndikimeve të jashtme. Ndikimi i jashtëm ishte i nevojshëm vetëm për të nxjerrë sistemin nga ekuilibri, pas së cilës ai u la në duart e veta. Ekuacioni diferencial i lëkundjeve natyrore nuk përmban asnjë gjurmë të ndikimit të jashtëm në sistem: ky ndikim reflektohet vetëm në kushtet fillestare.

Vendosja e lëkundjeve.

Por shumë shpesh njeriu duhet të përballet me luhatje që ndodhin me një ndikim të jashtëm vazhdimisht të pranishëm. Veçanërisht i rëndësishëm dhe në të njëjtën kohë mjaft i thjeshtë për t'u studiuar është rasti kur forca e jashtme është periodike. Një tipar i përbashkët lëkundjet e detyruara që ndodhin nën ndikimin e një force periodike të jashtme është se disa kohë pas fillimit të forcës së jashtme, sistemi "harron" plotësisht gjendjen e tij fillestare, lëkundjet bëhen të palëvizshme në natyrë dhe nuk varen nga kushtet fillestare. Kushtet fillestare shfaqen vetëm gjatë periudhës së vendosjes së lëkundjeve, që zakonisht quhet procesi i tranzicionit.

Efekt sinusoidal.

Le të shqyrtojmë së pari rastin më të thjeshtë të lëkundjeve të detyruara të një oshilatori nën ndikimin e një force të jashtme që ndryshon sipas një ligji sinusoidal.

Kjo ndikimi i jashtëm mund të bëhet në sistem në mënyra të ndryshme. Për shembull, mund të merrni një lavjerrës në formën e një topi në një shufër të gjatë dhe një susta të gjatë me ngurtësi të ulët dhe ta lidhni atë në shufrën e lavjerrësit afër pikës së pezullimit, siç tregohet në Fig. 178. Skaji tjetër i një suste horizontale duhet të bëhet që të lëvizë sipas ligjit B me ndihmën e një mekanizmi fiksimi të drejtuar nga një motor elektrik. Forca lëvizëse që vepron në lavjerrës nga susta do të jetë praktikisht sinusoidale nëse diapazoni i lëvizjes së skajit të majtë të sustës B është shumë më i madh se amplituda e lëkundjes së shufrës së lavjerrësit në pikën ku është ngjitur susta.

Ekuacioni i lëvizjes.

U Ekuacioni i lëvizjes për këtë dhe sisteme të tjera të ngjashme, në të cilin, së bashku me forcën rivendosëse dhe forcën e rezistencës, një forcë e jashtme lëvizëse që vepron në oshilator, që ndryshon në mënyrë sinusoidale me kohën, mund të shkruhet në formën Këtu anën e majtë në përputhje me ligjin e dytë të Njutonit, është produkt i masës dhe nxitimit. Termi i parë në anën e djathtë përfaqëson forcën rivendosëse, proporcionale me zhvendosjen nga pozicioni i ekuilibrit. Për një ngarkesë të varur në një susta, kjo është një forcë elastike, dhe në të gjitha rastet e tjera, kur ajo natyra fizike Përndryshe, kjo forcë quhet kuazi-elastike. Termi i dytë është forca e fërkimit, proporcionale me shpejtësinë, për shembull, forca e rezistencës së ajrit ose forca e fërkimit në një bosht. Ne do ta konsiderojmë amplituda dhe shpeshtësia e forcës lëvizëse që lëkundet sistemin si konstante anën e djathtë ekuacioni zhduket dhe, siç do të pritej, ai reduktohet në ekuacionin e lëkundjeve të veta të amortizuara Përvoja tregon se në të gjitha sistemet, nën ndikimin e një force të jashtme sinusoidale, përfundimisht vendosen lëkundjet, të cilat ndodhin gjithashtu sipas një ligji sinusoidal me. frekuenca e forcës lëvizëse co dhe c amplitudë konstante a, por me një zhvendosje fazore në raport me forcën lëvizëse. Lëkundje të tilla quhen lëkundje të detyruara në gjendje të qëndrueshme. Le të shqyrtojmë fillimisht lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme dhe për thjeshtësi do të neglizhojmë fërkimin. Në këtë rast, ekuacioni nuk do të ketë një term që përmban shpejtësi të vlefshme në çdo kohë, koeficientët majtas dhe djathtas duhet të jenë të njëjtë. Nga kjo gjendje gjejmë amplituda e lëkundjeve. Le të studiojmë varësinë e amplitudës a nga frekuenca c e forcës lëvizëse. Grafiku i kësaj varësie është paraqitur në Fig. 179. Duke zëvendësuar vlerat këtu, shohim se një konstante e forcës në kohë thjesht e zhvendos oshilatorin në një pozicion të ri ekuilibri, i zhvendosur nga ai i vjetër. Nga kjo rrjedh se kur ndodh zhvendosja, marrëdhëniet fazore. Ndërsa frekuenca rritet me forcën lëvizëse nga rrota në gjendje të qëndrueshme. 179. grafiku i varësive ndodh në fazë me forcën lëvizëse, dhe amplituda e tyre rritet vazhdimisht, në fillim ngadalë, dhe me afrimin e shpejtë e më të shpejtë, amplituda e lëkundjeve rritet pafundësisht për vlerat që tejkalojnë frekuencën e lëkundjeve natyrore , formula jep për a vlerë negative(Fig. 179). Nga formula është e qartë se kur luhatjet ndodhin në antifazë me forcën lëvizëse: kur forca vepron në një drejtim, oshilatori zhvendoset në drejtim të kundërt. Me një rritje të pakufizuar të frekuencës së forcës lëvizëse, amplituda e lëkundjeve tenton në zero.

Është e përshtatshme që amplituda e lëkundjeve të konsiderohet pozitive në të gjitha rastet, gjë që është e lehtë për t'u arritur duke futur një zhvendosje fazore midis asaj lëvizëse Këtu a jepet ende nga formula, dhe zhvendosja e fazës është e barabartë me zero. Grafikët e forcës lëvizëse kundrejt frekuencës janë paraqitur në Fig. 180.

Rezonanca.

Varësia e amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse është jo monotonike. Një rritje e mprehtë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara ndërsa frekuenca nga forca lëvizëse i afrohet frekuencës natyrore co0 të oshilatorit quhet rezonancë. Është me këtë neglizhencë që amplituda e lëkundjeve kthehet në pafundësi me një koincidencë të saktë të frekuencave. Në realitet, amplituda e lëkundjeve, natyrisht, nuk mund të shkojë në pafundësi Kjo do të thotë që kur përshkruhen lëkundjet e detyruara afër rezonancës, marrja parasysh e fërkimit është thelbësisht e nevojshme. Kur merret parasysh fërkimi, amplituda e lëkundjeve të detyruara në rezonancë rezulton të jetë e kufizuar. Sa më i madh të jetë fërkimi në sistem, aq më i vogël do të jetë. Larg rezonancës, formula mund të përdoret për të gjetur amplituda e lëkundjeve edhe në prani të fërkimit, nëse nuk është shumë e fortë. Për më tepër, kjo formulë, e marrë pa marrë parasysh fërkimin, ka kuptimi fizik vetëm kur ka ende fërkime. Fakti është se vetë koncepti i lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme është i zbatueshëm vetëm për sistemet në të cilat ka fërkim.

Nëse nuk do të kishte fare fërkime, atëherë procesi i vendosjes së lëkundjeve do të vazhdonte pafundësisht. Në realitet, kjo do të thotë se shprehja për amplituda e lëkundjeve të detyruara të marra pa marrë parasysh fërkimin do të përshkruajë saktë lëkundjet në sistem vetëm pasi të mjaftueshme hendek i madh kohë pas fillimit të forcës lëvizëse. Fjalët "një periudhë mjaft e gjatë kohore" nënkuptojnë këtu se procesi i tranzicionit tashmë ka përfunduar, kohëzgjatja e të cilit përkon me kohën karakteristike të prishjes së lëkundjeve natyrore në sistem. Në fërkim të ulët, lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme ndodhin në fazë me forcën lëvizëse në ω dhe në antifazë në, si në mungesë të fërkimit. Megjithatë, afër rezonancës, faza nuk ndryshon befas, por vazhdimisht, dhe me koincidencë të saktë të frekuencave, zhvendosja mbetet në fazë pas forcës lëvizëse me (një çerek periode). Shpejtësia ndryshon në fazë me forcën lëvizëse, e cila siguron më shumë kushte të favorshme për të transferuar energji nga burimi i forcës lëvizëse të jashtme në oshilator.

Çfarë kuptimi fizik ka secili prej termave në ekuacionin që përshkruan lëkundjet e detyruara të oshilatorit?

Cilat janë lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme?

Në çfarë kushtesh mund të përdorim formulën e amplitudës së lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme, të marra pa marrë parasysh fërkimin?

Çfarë është rezonanca? Jepni shembuj të njohur për shfaqjen dhe përdorimin e fenomenit të rezonancës.

Përshkruani zhvendosjen fazore midis forcës lëvizëse dhe përzierjes në raporte të ndryshme ndërmjet frekuencës në forcën lëvizëse dhe frekuencës natyrore të oshilatorit.

Çfarë e përcakton kohëzgjatjen e procesit të vendosjes së lëkundjeve të detyruara? Jepni arsyet për përgjigjen tuaj.

Diagramet vektoriale.

Ju mund të verifikoni vlefshmërinë e pohimeve të mësipërme nëse merrni një zgjidhje për ekuacionin që përshkruan lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme në prani të fërkimit. Meqenëse lëkundjet në gjendje të qëndrueshme ndodhin me frekuencën e forcës lëvizëse c dhe një zhvendosje të caktuar fazore, zgjidhja e ekuacionit që korrespondon me lëkundjet e tilla duhet të kërkohet në këtë rast, shpejtësia dhe nxitimi, natyrisht, do të ndryshojnë me kohën sipas një ligji harmonik Amplituda a e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme dhe fazat e zhvendosjes përcaktohen lehtësisht duke përdorur diagramet vektoriale. Le të përfitojmë nga fakti se vlera e menjëhershme e çdo sasie që ndryshon sipas ligjit harmonik mund të përfaqësohet si një projeksion i një vektori në një drejtim të zgjedhur paraprakisht, dhe vetë vektori rrotullohet në mënyrë të njëtrajtshme në rrafsh me një frekuencë co, dhe gjatësia e tij konstante është e barabartë me vlerën e amplitudës së kësaj madhësie lëkundëse. Në përputhje me këtë, ne shoqërojmë me secilin term të ekuacionit një vektor që rrotullohet me shpejtësi këndore, gjatësia e të cilit është e barabartë me vlerën e amplitudës së këtij termi Meqenëse projeksioni i shumës së disa vektorëve është i barabartë me shumën e projeksionet e këtyre vektorëve, ekuacioni do të thotë që shuma e vektorëve të lidhur me termat në anën e majtë është e barabartë me vektorin e lidhur me sasinë në anën e djathtë. Për të ndërtuar këta vektorë, ne shkruajmë vlerat e menjëhershme të të gjithë termave në anën e majtë të ekuacionit, duke marrë parasysh marrëdhëniet nga formulat është e qartë se vektori i gjatësisë i lidhur me sasinë është përpara me një kënd prej vektori i lidhur me sasinë. Vektori i gjatësisë i paraqitur te anëtari është përpara me vektorin e gjatësisë. këta vektorë janë të drejtuar në drejtime të kundërta.

Pozicioni relativ i këtyre vektorëve për një moment arbitrar në kohë është paraqitur në Fig. 181. I gjithë sistemi i vektorëve rrotullohet në tërësi me shpejtësi këndore c në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth një pike. Vlerat e menjëhershme të të gjitha sasive merren duke projektuar vektorët përkatës në një drejtim të përzgjedhur paraprakisht. Vektori i lidhur me anën e djathtë të ekuacionit është e barabartë me shumën vektorët e paraqitur në Fig. 181. Kjo shtesë është paraqitur në Fig. 182. Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, marrim nga ku gjejmë amplituda e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme Zhvendosja e fazës ndërmjet forcës lëvizëse dhe zhvendosjes, siç mund të shihet nga diagrami vektorial në Fig. 182 është negativ sepse vektori i gjatësisë mbetet prapa vektorit. Prandaj, lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme ndodhin sipas ligjit harmonik, ku ato përcaktohen me formula.

Kurbat e rezonancës.

Amplituda e lëkundjeve të detyruara të vendosura është proporcionale me amplituda e forcës lëvizëse. Le të studiojmë varësinë e amplitudës së lëkundjes nga frekuenca e forcës lëvizëse. Në zbutje të ulët kjo varësi ka një karakter shumë të mprehtë. Nëse, atëherë ndërsa co priret në frekuencën e lëkundjeve të lira, amplituda e lëkundjeve të detyruara a tenton në pafundësi, e cila përkon me rezultatin e marrë më parë. Në prani të amortizimit, amplituda e lëkundjeve në rezonancë nuk shkon më në pafundësi, megjithëse tejkalon ndjeshëm amplitudën e lëkundjeve nën ndikimin e një force të jashtme me të njëjtën madhësi, por që ka një frekuencë larg asaj rezonante. Lakoret e rezonancës në kuptime të ndryshme Konstanta e amortizimit y është paraqitur në Fig. 183.

Për të gjetur frekuencën e rezonancës së ndërprerjes, duhet të gjeni se në cilën shprehja radikale në formulë ka një minimum. Barazimi i derivatit të kësaj shprehjeje me zero ose plotësimi i tij katror i plotë, jemi të bindur se amplituda maksimale e lëkundjeve të detyruara ndodh kur frekuenca Rezonante është më e vogël se frekuenca e lëkundjeve të lira të sistemit. Në y të vogël, frekuenca rezonante është pothuajse identike. Ndërsa frekuenca e forcës lëvizëse priret në pafundësi, amplituda a, siç mund të shihet, tenton në zero nën veprimin e një force të jashtme konstante. Kjo është një zhvendosje statike e oshilatorit nga pozicioni i ekuilibrit nën ndikimin e forcë konstante.Amplituda maksimale. Ne gjejmë amplituda e lëkundjeve të detyruara në rezonancë duke zëvendësuar frekuencën nga në shprehje. Kur studioni lëkundjet e detyruara pranë një rezonance, fërkimi nuk mund të neglizhohet, sado i vogël të jetë: vetëm kur merret parasysh amplituda në rezonancë është interesante të krahasohet vlera me një zhvendosje statike nën ndikimi i forcës. Duke kompozuar raportin, ne marrim në amortizimin e ulët. oshilator i amortizuar gjatë jetës së lëkundjeve. Kështu, vetitë rezonante të sistemit karakterizohen nga i njëjti parametër si oscilimet e tij të amortizuara. Formula bën të mundur analizimin e ndryshimit në zhvendosjen e fazës ndërmjet forca e jashtme dhe zhvendosja, në dridhjet e detyruara. Kur vlera e d është afër zeros. Kjo do të thotë që në frekuenca të ulëta zhvendosja e oshilatorit ndodh në fazë me forcën e jashtme. Kur fiksimi rrotullohet ngadalë në Fig. 178 lavjerrësi lëviz në kohë me skajin e djathtë të shufrës lidhëse Nëse priret në zero nga ana e vlerave negative, zhvendosja fazore është e barabartë dhe oshilatori zhvendoset në antifazë me forcën lëvizëse. Në rezonancë, siç shihet nga kjo, zhvendosja mbetet në fazë pas forcës së jashtme. E dyta e formulave tregon se në këtë rast forca e jashtme ndryshon në fazë me shpejtësinë dhe vepron në drejtim të lëvizjes gjatë gjithë kohës. Se kjo është saktësisht se si duhet të jetë, është e qartë nga konsideratat intuitive të shpejtësisë. Nga formula mund të shihet se amplituda e lëkundjeve të shpejtësisë gjatë lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme është e barabartë. Me ndihmën e marrim, varësia e amplitudës së shpejtësisë nga frekuenca e forcës së jashtme është paraqitur në Fig. 184. Kurba e rezonancës për shpejtësinë, edhe pse e ngjashme me lakoren e rezonancës për zhvendosje, ndryshon prej saj në disa aspekte. Kështu, nën veprimin e një force konstante, oshilatori përjeton një zhvendosje statike nga pozicioni i ekuilibrit dhe shpejtësia e tij pas përfundimit të procesit të tranzicionit është zero. Është e qartë nga formula se amplituda e shpejtësisë në zhduket. Rezonanca e shpejtësisë ndodh kur frekuenca e forcës së jashtme saktësisht përkon me frekuencën e lëkundjeve të lira.

Diagrami vektorial. Shtimi i dridhjeve.

Zgjidhja e një numri problemesh në teorinë e lëkundjeve bëhet shumë më e lehtë dhe vizuale nëse lëkundjet paraqiten grafikisht duke përdorur metodën diagramet vektoriale. Le të zgjedhim një bosht X. Nga pika 0 në bosht vizatojmë vektorin e gjatësisë , i cili fillimisht formon një kënd me boshtin (Fig. 2.14.1). Nëse e sjellim këtë vektor në rrotullim me shpejtësi këndore, atëherë projeksioni i fundit të vektorit në bosht X do të ndryshojë me kalimin e kohës me ligj

.

Rrjedhimisht, projeksioni i fundit të vektorit mbi bosht do të kryejë një lëkundje harmonike me një amplitudë të barabartë me gjatësinë e vektorit, me një frekuencë rrethore të barabartë me shpejtësinë këndore të rrotullimit të vektorit dhe me një fazë fillestare të barabartë. në këndin që formon vektori me boshtin në momentin fillestar të kohës. Këndi, e formuar nga një vektor me boshtin në një moment të caktuar në kohë përcakton fazën e lëkundjes në këtë moment - .

Nga sa më sipër rezulton se një lëkundje harmonike mund të përfaqësohet duke përdorur një vektor, gjatësia e të cilit është e barabartë me amplituda e lëkundjes, dhe drejtimi i tij formon një kënd me një bosht të caktuar, e barabartë me fazën luhatjet. Ky është thelbi i metodës së diagramit vektorial.

Mbledhja e lëkundjeve të të njëjtit drejtim.

Konsideroni shtimin e dy lëkundjeve harmonike, drejtimet e të cilave janë paralele:

. (2.14.1)

Kompensimi që rezulton X do të jetë shuma dhe . Kjo do të jetë një lëkundje me amplitudë.

Le të përdorim metodën e diagramit vektorial (Fig. 2.14.2). Në figurë, dhe - fazat e lëkundjeve rezultuese dhe të shtuara, përkatësisht. Është e lehtë të shihet se çfarë mund të gjendet duke shtuar vektorët dhe . Megjithatë, nëse frekuencat e lëkundjeve të shtuara janë të ndryshme, atëherë amplituda që rezulton ndryshon në madhësi me kalimin e kohës dhe vektori rrotullohet me një shpejtësi të ndryshueshme, d.m.th. dridhja nuk do të jetë harmonike, por do të përfaqësojë disa komplekse procesi oscilues. Që lëkundja që rezulton të jetë harmonike, frekuencat e lëkundjeve të shtuara duhet të jenë të njëjta

dhe lëkundja që rezulton ndodh me të njëjtën frekuencë

.

Nga ndërtimi duket qartë se

Le të analizojmë shprehjen (2.14.2) për amplituda e lëkundjes që rezulton. Nëse diferenca fazore e lëkundjeve të shtuara është zero(lëkundjet janë në fazë), amplituda është e barabartë me shumën e amplitudave të lëkundjeve të shtuara, d.m.th. ka maksimumin e vlera e mundshme . Nëse diferenca fazore është(lëkundjet janë në antifazë), atëherë amplituda që rezulton është e barabartë me diferencën në amplitudë, d.m.th. ka vlerën minimale të mundshme .

Shtimi i dridhjeve reciproke pingule.

Lëreni grimcën të kryejë dy lëkundje harmonike me të njëjtën frekuencë: njëra përgjatë drejtimit, të cilin e shënojmë X, një tjetër - në drejtim pingul y. Në këtë rast, grimca do të lëvizë përgjatë një të caktuar rast i përgjithshëm, trajektorja e lakuar, forma e së cilës varet nga ndryshimi në fazat e lëkundjeve.

Le të zgjedhim fillimin e numërimit të kohës në mënyrë që faza fillestare e një lëkundjeje të jetë e barabartë me zero:

. (2.14.3)

Për të marrë ekuacionin e trajektores së grimcave, është e nevojshme të përjashtohet nga (2.14.3) t. Nga ekuacioni i parë, a. Do të thotë, . Le të rishkruajmë ekuacionin e dytë

ose

.

Duke transferuar termin e parë nga ana e djathtë e ekuacionit në të majtë, duke vendosur në katror ekuacionin që rezulton dhe duke kryer transformime, marrim

. (2.14.4)

Ky ekuacion është ekuacioni i një elipsi, boshtet e së cilës rrotullohen në raport me boshtet X Dhe y në një kënd. Por në disa raste të veçanta arrihen rezultate më të thjeshta.

1. Diferenca fazore është zero. Pastaj nga (2.14.4) marrim

ose . (2.14.5)

Ky është ekuacioni i një drejtëze (Fig. 2.14.3). Kështu, grimca lëkundet përgjatë kësaj vije të drejtë me një frekuencë dhe amplitudë të barabartë me .

Mund të ndodhë që oshilatori të marrë pjesë në dy lëkundje të drejtuara në mënyrë identike me amplituda, frekuenca dhe faza fillestare të ndryshme. Le të shqyrtojmë shtimin e lëkundjeve të tilla.

Mbledhja e lëkundjeve me të njëjtat frekuenca

Për thjeshtësi, fillimisht le të shqyrtojmë rastin kur frekuencat e lëkundjeve të shtuara janë të njëjta. Zgjidhjet e përgjithshme të lëkundjeve harmonike të shtuara kanë formën:

Ku x 1, x 2- variablat që përshkruajnë luhatjet, A 1, A 2- amplituda e tyre, dhe, - fazat fillestare. Lëkundje që rezulton

lehtë për t'u gjetur duke përdorur diagrami vektorial. Kjo metodë përdor analogjinë midis rrotullimit dhe procesit oscilues.

Le të marrim zgjidhjen e përgjithshme (1.23) për dridhjet harmonike. Le të zgjedhim një bosht 0x. Nga pika 0 le të vizatojmë një vektor me gjatësi A duke formuar me bosht 0x qoshe . Nëse e sjellim këtë vektor në rrotullim me shpejtësi këndore, atëherë projeksioni i fundit të këtij vektori do të lëvizë përgjatë boshtit 0x nga +A te -A, dhe madhësia e projeksionit do të ndryshojë sipas ligjit

Kështu, projeksioni i fundit të vektorit në bosht 0x do të kryejë lëkundje harmonike me një amplitudë të barabartë me gjatësinë e vektorit, me një frekuencë rrethore të barabartë me shpejtësinë këndore të rrotullimit të vektorit dhe me një fazë fillestare të barabartë me këndin e formuar nga vektori me boshtin në momentin fillestar. të kohës (Fig. 1.12).

Oriz. 1.12. Diagrami vektorial për zgjidhje e përgjithshme (1.23)

Le ta zbatojmë këtë teknikë për shtimin e lëkundjeve (1.34). Le të paraqesim të dy lëkundjet duke përdorur vektorë A 1 Dhe A 2 Le të marrim shumën e tyre vektoriale (Fig. 1.13)

Oriz. 1.13. Diagrami vektorial për shtimin e lëkundjeve të drejtuara në mënyrë identike të së njëjtës frekuencë

Projeksioni vektorial A 1 për aks 0x e barabartë me shumën e projeksioneve të vektorëve përkatës

Pra vektori A paraqet lëkundjen që rezulton. Ky vektor rrotullohet me të njëjtën shpejtësi këndore, kështu që lëvizja që rezulton do të jetë një lëkundje harmonike me frekuencë , amplituda A dhe faza fillestare a. Sipas teoremës së kosinusit:

Në veçanti, nëse fazat e lëkundjeve të shtuara janë të barabarta ose ndryshojnë me një shumë që është shumëfish (d.m.th. ), atëherë amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me shumën e amplitudave

Nëse lëkundjet e shtuara janë në antifazë (d.m.th. ), Kjo

Rrahje

Në këtë pjesë do të shqyrtojmë rastin e shtimit të lëkundjeve harmonike të drejtuara në mënyrë identike me frekuenca të ndryshme. Në praktikë interes të veçantë paraqet rastin kur lëkundjet e shtuara ndryshojnë pak në frekuencë. Siç do të shohim, si rezultat i shtimit të këtyre lëkundjeve, fitohen lëkundje me një amplitudë në ndryshim periodik, të quajtura rreh.

Për thjeshtësi, konsiderojmë rastin kur amplituda e lëkundjeve të shtuara janë të barabarta A, dhe fazat fillestare të të dy lëkundjeve janë zero. Frekuencat e lëkundjeve të shtuara janë të barabarta, përkatësisht, me dhe . Pra,

Ne i shtojmë këto shprehje dhe i marrim parasysh formula e njohur trigonometria:

Nëse atëherë në argumentin e kosinusit të dytë mund të neglizhojmë zhvendosjen e frekuencës:

Përveç kësaj, shumëzuesi në kllapa ndryshon ngadalë në krahasim me . Prandaj lëkundja që rezulton x mund të shihet si të moduluara lëkundje harmonike me frekuencë w, amplituda efektive e së cilës ndryshon me kohën sipas ligjit (1.40) (Fig. 1.14):

Le të theksojmë se në kuptimin e ngushtë një lëkundje e tillë nuk është harmonike dhe rikujtojmë edhe një herë se, sipas përkufizimit, një lëkundje është harmonike nëse ndodh sipas ligjit. , dhe të tre parametrat e tij janë rreptësisht konstante në kohë.

Oriz. 1.14. Rrah kur shtohen lëkundjet me frekuenca të afërta

Frekuenca e pulsimit të amplitudës (quhet frekuenca e rrahjeve) është e barabartë me diferencën në frekuencat e lëkundjeve të shtuara. Periudha e goditjes është