Probabiliteti 1 nga 7. Mbledhja e probabiliteteve të ngjarjeve të njëkohshme reciproke

A.A. Khalafyan

TEORIA E PROBABILITETIT

DHE STATISTIKA MATEMATIKE

tekste leksionesh

Krasnodar 2008

Përkufizimi statistikor i probabilitetit

Ekziston një klasë e madhe ngjarjesh, probabilitetet e të cilave nuk mund të llogariten duke përdorur përkufizimi klasik. Para së gjithash, këto janë ngjarje me rezultate të pabarabarta të mundshme (për shembull, zare"e padrejtë", monedha është rrafshuar, etj.). Në raste të tilla mund të ndihmojë përkufizim statistikor probabiliteti i bazuar në llogaritjen e shpeshtësisë së ndodhjes së një ngjarjeje në prova.

Përkufizimi 2.Probabiliteti statistikor i ndodhjes së ngjarjes A quhet frekuencë relative shfaqja e kësaj ngjarje në n provat e kryera, d.m.th.

(A) = W( A) = m/n,

ku ( A) – përcaktimi statistikor i probabilitetit; W( A) – frekuenca relative; n – numri i testeve të kryera; m – numri i provave në të cilat ngjarja A u shfaq. vini re, se probabiliteti statistikorështë një karakteristikë me përvojë, eksperimentale.

Për më tepër, kur n → ∞, (A) → P( A), për shembull, në eksperimentet e Buffon (shek. XVIII) frekuenca relative e paraqitjes së stemës me 4040 hedhje të monedhës doli të jetë 0,5069, në eksperimentet e Pearson (shek. XIX) me 23000 hedhje. – 0,5005.

Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit

Një tjetër pengesë e përkufizimit klasik që kufizon zbatimin e tij është se ai supozon numri përfundimtar rezultatet e mundshme. Në disa raste, ky disavantazh mund të eliminohet duke përdorur përkufizimi gjeometrik probabilitetet. Le të, për shembull, një figurë të sheshtë g formon pjesë figurë e sheshtë G(Fig. 3).

Përshtatet G një pikë hidhet rastësisht. Kjo do të thotë se të gjitha pikat në rajon G“të drejta të barabarta” në lidhje me hedhjen atje pikë e rastësishme. Duke supozuar se probabiliteti i një ngjarjeje A– godet pika e hedhur g proporcionale me sipërfaqen e kësaj figure Sg dhe nuk varet nga vendndodhja e tij në raport me zonën G, as nga forma g, do të gjejmë

R(A) = Sg/S G

Ku S G- zona e rajonit G. Por që nga zonat g Dhe G mund të jetë njëdimensionale, dydimensionale, tredimensionale dhe shumëdimensionale, pastaj, duke treguar masën e rajonit me masat, mund të jepni më shumë përkufizim i përgjithshëm probabiliteti gjeometrik

P = measg / measG.

Dëshmi.

R(V/A) = R(NËÇ A)/R(A) = R(AÇ NË)/R(A) = {P(a/b)R(NË)}/R(A) = {R(A)R(NË)}/R(A) = R(NË).

Nga përkufizimi 4, vijojnë formulat për shumëzimin e probabiliteteve për ngjarje të varura dhe të pavarura.

Përfundimi 1. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre herë probabilitete të kushtëzuara të gjitha të tjerat, dhe probabiliteti i secilës ngjarje pasuese llogaritet me supozimin se të gjitha ngjarjet e mëparshme kanë ndodhur tashmë:

P(A 1 A 2 … A n)= P(A 1)P A1(A 2)P A1A2(A 3)…P A1A2…An-1(Një n).

Përkufizimi 6. Ngjarjet A 1, A 2, ..., A n janë kolektivisht të pavarura nëse dy prej tyre janë të pavarura dhe ndonjë nga këto ngjarje dhe çdo kombinim (produkt) i ngjarjeve të tjera janë të pavarura.

Përfundimi 2. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve që janë të pavarura në total është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

P(A 1 A 2 … A n) = P(A 1)P(A 2)… P(A n).

Dëshmi.

P(A 1 A 2 … A n) = P(A 1 · A 2 … A n) = P(A 1)P(A 2 … A n).=…= P(A 1)P(A 2)… P(Një n).

Përkufizimi 7. Ngjarja A 1, A 2,… Një formë n grupi i plotë ngjarjet nëse ato janë të papajtueshme në çift (A i∩Një j= Ø, për çdo i ≠ j)dhe së bashku formojnë Ω, ato. .

Teorema 2. Nëse ngjarjet A 1, A 2,… A n formojnë një grup të plotë ngjarjesh, R(A i) > 0 (pasi nuk do të përcaktohet P(B/A i)), atëherë probabiliteti i ndonjë ngjarjeje BÎ S përkufizohet si shuma e produkteve të probabiliteteve të pakushtëzuara të ndodhjes së një ngjarjeje A i mbi probabilitetet e kushtëzuara të ndodhjes së një ngjarjeje B, d.m.th.

. (1)

Dëshmi. Që nga ngjarjet A i janë të papajtueshme në çift, pastaj kryqëzimi i tyre me ngjarjen B janë gjithashtu të papajtueshëm në çift, d.m.th. B∩A i Dhe B∩А j– e papajtueshme me i¹j. Duke përdorur vetinë e shpërndarjes ((È A i)Ç NË = È( A Unë C NË)), ngjarje B mund të përfaqësohet si . Le të përdorim aksiomën e mbledhjes 3 dhe formulën për shumëzimin e probabiliteteve, ne marrim

Formula (1) quhet formula probabilitet të plotë.

Nga formula e probabilitetit total është e lehtë të merret formula e Bayes, nën supozimin shtesë se P(B)>0

Ku k = 1, 2, …, n.

Dëshmi.P(A k /B) = P(A k ∩ B)/P(B)

Probabilitetet e ngjarjeve P(A i), i =1, 2, …, n quhen probabilitetet e mëparshme, d.m.th. probabilitetet e ngjarjeve para eksperimentit dhe probabilitetet e kushtëzuara të këtyre ngjarjeve P(Një k/B), quhen probabilitete të pasme, d.m.th. sqaruar si rezultat i përvojës, përfundimi i së cilës ka qenë ndodhja e ngjarjes NË.

Detyrë. NË kompani tregtare mbërriti Telefonat celularë modelet më të fundit nga tre prodhues Alcatel, Siemens, Motorola në raportin 1: 4: 5. Praktika ka treguar se telefonat e marrë nga prodhuesi 1, 2, 3 nuk do të kërkojnë riparime gjatë periudhës së garancisë në 98%, 88% dhe 92% të rasteve, respektivisht. Gjeni probabilitetin që telefoni që doli në shitje të mos kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë, që telefoni i shitur të ketë nevojë për riparime gjatë periudhës së garancisë dhe nga cili prodhues ka të ngjarë të ketë ardhur telefoni.

Shembulli 1.

Shembulli 2.

Përkufizimi 1. Ndryshore e rastësishme hapësirë probabiliteti { Ω, S, P) është çdo funksion X(w) , të përcaktuara për wÎΩ, dhe e tillë që për të gjithë x() real bashkësia ( w : X(w) < x}принадлежит полю S. Me fjalë të tjera, për çdo ngjarje të tillë w është përcaktuar probabiliteti P(X(w)< x) = P(X < x).

Variablat e rastësishëm do t'i shënojmë me shkronja të mëdha me shkronja latine X, Y, Z, ..., dhe vlerat variablat e rastësishëm– shkronja të vogla latine x, y, z...

Përkufizimi 2. Një ndryshore e rastësishme X quhet diskrete nëse merr vlera vetëm nga një grup diskrete. Me fjalë të tjera, ka një numër të fundëm ose të numërueshëm vlerash të x 1 , x 2 , …, të tillë që P(X = x i) = p i ³ 0, i = 1, 2…, dheå p i = 1.

Nëse dihen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet përkatëse, atëherë themi se është përcaktuar ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Nëse përpilohet një tabelë, në pjesën e sipërme të së cilës ndodhen vlerat e ndryshoreve të rastësishme dhe në pjesën e poshtme probabilitetet përkatëse, atëherë marrim një seri shpërndarjeje të ndryshores së rastësishme, e cila specifikon ligjin e shpërndarjes së diskretit. ndryshore e rastësishme.

Shembulli 3. Le të përpilojmë një seri shpërndarjeje për humbjen e një steme gjatë 2 hedhjeve të monedhave. Rezultatet e mundshme – GG, GR, RG, RR. Nga rezultatet e mundshme është e qartë se stema mund të shfaqet 0, 1 dhe 2 herë, me probabilitetet përkatëse - ¼, ½, ¼. Pastaj seria e shpërndarjes do të marrë formën

Përkufizimi 3.Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X quhet funksioni F(x), në varësi të x Î R dhe duke marrë vlerën, e barabartë me probabilitetin ngjarjet w, që X < x, d.m.th. F(x) = P(w: X(w)< x } = P(X < x).

Nga përkufizimi rezulton se çdo ndryshore e rastësishme ka një funksion shpërndarjeje.

Shpërndarja uniforme

Përkufizimi 1. Ndryshorja e rastësishme X, pranimi i vlerave 1, 2, …, n, ka një shpërndarje uniforme nëse P m = P(X = m) = 1/n,

m = 1, …, n.

Është e qartë se.

Konsideroni problemin e mëposhtëm që përmban një urnë N topa, nga të cilët M topa të bardhë. Marrë në mënyrë të rastësishme n topa. Gjeni probabilitetin që midis atyre të nxjerrë do të ketë m topa të bardhë.

Është e lehtë ta shohësh atë.

Shpërndarja Poisson

Përkufizimi 4. Ndryshorja e rastësishme X ka një shpërndarje Poisson me parametrin l, Nëse , m = 0, 1, …

Le të tregojmë se Σp m = 1. .

Shpërndarja binomiale

Përkufizimi 5.Ndryshorja e rastësishme X ka shpërndarja binomiale, Nëse , m = 0, 1, …, n,

Ku n– numri i testeve sipas skemës Bernoulli, m- numri i sukseseve, R- probabiliteti i suksesit në një rezultat të vetëm, q = 1–fq.

Shpërndarja e Bernoulli

Përkufizimi 6.Ndryshorja e rastësishme X ka një shpërndarje Bernoulli nëse P(X= m) = P m = p m q n - m, m = 0, 1, …, n.

Në liri m Dhe n llogaritja duke përdorur formulën e Bernulit bëhet problematike. Prandaj, në një numër rastesh është e mundur të zëvendësohet formula e Bernulit me një formulë të përshtatshme asimptotike të përafërt. Keshtu nese n- e madhe, por R pak pastaj .

Teorema e Poisson-it. Nëse n® ¥, dhe fq® 0, pra n.p.® l, atëherë .

Dëshmi. Le të shënojmë l n = n.p., sipas kushteve të teoremës , Pastaj

Në n® ¥, l n m® l m,

Nga kjo marrim pohimin e teoremës. P n(m) ® në n ® ¥.

Formula e Poisson-it është një përafrim i mirë i formulës së Bernulit nëse npq£ 9. Nëse puna npqështë i madh, pastaj për të llogaritur Р n (m) përdorni teoremën lokale të Moivre–Laplace.

Teorema lokale Moivre - Laplace. Le fqО(0;1) është konstante, vlera është e kufizuar në mënyrë uniforme, d.m.th. $ s, |x m |<с . Pastaj

Ku b(n;m)është një sasi pafundësisht e vogël, dhe .

Nga kushtet e teoremës del se ,

Ku , .

Për të llogaritur Р n (m) sipas formulës së dhënë më parë, përdoren tabelat e funksioneve

Problemi 1. Tre klientë hyjnë njëri pas tjetrit në një dyqan veshjesh. Menaxheri vlerëson se probabiliteti që një vizitor që hyn të bëjë një blerje është 0.3. Krijo një seri të numrit të vizitorëve që kanë bërë një blerje.

Zgjidhje.

x i
p i	0,343	0,441	0,189	0,027

Problemi 2. Probabiliteti i prishjes së çdo kompjuteri është 0.01. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për numrin e kompjuterëve të dështuar me një total prej 25.

Zgjidhje.

Problemi 3. Makinat mbërrijnë në sallonin e shitjeve në grupe prej 10 copë. Vetëm 5 nga 10 makinat e marra i nënshtrohen kontrollit të cilësisë dhe sigurisë. Në mënyrë tipike, 2 nga 10 automjetet e marra nuk plotësojnë standardet e cilësisë dhe sigurisë. Sa është probabiliteti që të paktën një në 5 makina që kontrollohen të refuzohet?

Zgjidhje. P = P (1) + P (2) = + =0,5556 + 0,2222 = 0,7778

Dëshmi.

Problemi 1. Probabiliteti që një pajisje e zgjedhur rastësisht ka nevojë për rregullim shtesë është 0.05. Nëse, gjatë një kontrolli të rastësishëm të një grupi pajisjesh, zbulohet se të paktën 6% e pajisjeve të zgjedhura kanë nevojë për rregullim, atëherë e gjithë grupi kthehet për rishikim. Përcaktoni probabilitetin që grupi të kthehet nëse 500 pajisje zgjidhen nga grupi për inspektim.

Zgjidhje. Grupi do të kthehet nëse numri i pajisjeve të zgjedhura që kërkojnë rregullim është më shumë se 6%, d.m.th. m 1 = 500 × 6/100 = 30. Më pas: fq = 0,05: q = 0,95; n.p.= 25; 4.87. Ne e konsiderojmë atë një sukses nëse pajisja kërkon konfigurim shtesë.

Le të zbatojmë teoremën integrale Moivre–Laplace.

Detyra 2. Përcaktoni sa produkte duhet të zgjidhen në mënyrë që me një probabilitet prej 0,95 të mund të thuhet se frekuenca relative e produkteve me defekt do të ndryshojë nga probabiliteti i shfaqjes së tyre jo më shumë se 0,01.

Zgjidhje. Për të zgjidhur problemin, zgjedhim skemën e Bernulit si model matematikor dhe përdorim formulën (4). Duhet të gjejmë diçka të tillë n kështu që barazia (4) plotësohet, nëse e = 0,01, b = 0,95, probabiliteti p është i panjohur.

F(X b) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. Duke përdorur tabelën e aplikimit gjejmë se X b = 1,96. Pastaj duke përdorur formulën (4) gjejmë n= ¼ × 1,96 2 / 0,01 2 = 9600.

Shpërndarja uniforme

Përkufizimi 5. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X, duke marrë një vlerë në segmentin, ka një shpërndarje uniforme nëse densiteti i shpërndarjes ka formën

. (1)

Është e lehtë të verifikohet se,

Nëse një ndryshore e rastësishme shpërndahet në mënyrë të njëtrajtshme, atëherë probabiliteti që do të marrë një vlerë nga një interval i caktuar nuk varet nga pozicioni i intervalit në rreshtin numerik dhe është proporcional me gjatësinë e këtij intervali.

Le të tregojmë se funksioni i shpërndarjes X ka formën

. (2)

Le XÎ (–¥, a), Pastaj F(x) = .

Le XÎ [ a,b], Pastaj F(x) = .

Le X Î ( b,+¥], atëherë F(x) = = 0 + .

Le të gjejmë mesataren x 0.5. Ne kemi F(x 0,5) = 0,5, pra

Pra, medianaja e shpërndarjes uniforme përkon me mesin e segmentit. Figura 1 tregon grafikun e densitetit R(X) dhe funksionet e shpërndarjes F(x)

për shpërndarje të barabartë.

Shpërndarja normale

Përkufizimi 7. Një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme ka një shpërndarje normale, me dy parametra a, s, if

, s>0. (5)

Fakti që një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje normale do të shkruhet shkurtimisht në formë X ~ N(a;s).

Le ta tregojmë atë fq(x) – dendësi

(treguar në leksionin 6).

Grafiku i dendësisë shpërndarje normale(Fig. 3) quhet kurbë normale (kurba Gaussian).

Dendësia e shpërndarjes është simetrike në lidhje me një vijë të drejtë X = a. Nëse X® ¥, atëherë R(X) ® 0. Ndërsa s zvogëlohet, grafiku "tkurret" në boshtin e simetrisë. X = a.

Shpërndarja normale luan rol të veçantë në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj. Kjo për faktin se, në përputhje me qendrore teorema e kufirit teoria e probabilitetit kur plotësohen disa kushte shuma numer i madh Variablat e rastësishëm kanë një shpërndarje “përafërsisht” normale.

Sepse – dendësia ligj normal shpërndarjet me parametra A= 0 dhe s =1, pastaj funksioni = F(X), i cili përdoret për të llogaritur probabilitetin , është funksioni i shpërndarjes së shpërndarjes normale me parametra A= 0 dhe s =1.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X me parametra arbitrare A, s mund të shprehet përmes F(X) – funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje normale të rastësishme me parametra A= 0 dhe s =1.

Le X ~ N(a;s), atëherë

. (6)

Le të bëjmë një ndryshim të ndryshoreve nën shenjën integrale, marrim

F(x) = . (7)

NË aplikime praktike Teoria e probabilitetit shpesh kërkon gjetjen e probabilitetit që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë nga një interval i caktuar. Në përputhje me formulën (7), kjo probabilitet mund të gjendet nga vlerat e tabelës Funksionet Laplace

Le të gjejmë mesataren e një ndryshoreje normale të rastësishme X ~ N(a;s). Meqenëse dendësia e shpërndarjes p(x) është simetrike rreth boshtit X = A, Kjo

R(X < a) = fq(x > a) = 0,5.

Prandaj, mesatarja e një ndryshoreje normale të rastësishme përkon me parametrin A:

X 0,5 = A.

Detyra 1. Trenat e metrosë qarkullojnë çdo 2 minuta. Pasagjeri hyn në platformë në një moment në kohë. Koha X gjatë së cilës ai do të duhet të presë trenin është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë me dendësi uniforme mbi sipërfaqen (0, 2) min. Gjeni probabilitetin që një pasagjer do të duhet të presë jo më shumë se 0,5 minuta për trenin tjetër.

Zgjidhje. Është e qartë se p(x)= 1/2. Pastaj, P 0,5 = R( 1,5 2) = = 0,25

Detyra 2. Fabrika e automobilave Volzhsky lëshon një motor të ri. Supozohet se kilometrazhi mesatar i një makine me një motor të ri është 160 mijë km, me një devijim standard prej σ = 30 mijë km. Sa është probabiliteti që numri i km para riparimit të parë? Largësia e makinës do të shkojë nga 100 mijë km. deri në 180 mijë km.

Zgjidhje. P (100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Vetitë e dispersionit

1.Varianca e konstantës C është e barabartë me 0,DC = 0, ME = konst.

Dëshmi.DC = M(ME– M.C.) 2 = M(ME– ME) = 0.

2.D(CX) = ME 2 DX.

Dëshmi. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = ME 2 DX.

3. Nëse X dhe Y – variabla të rastësishme të pavarura, Se

Dëshmi.

4. Nëse X 1 , X 2 , … atëherë nuk janë të varur .

Kjo veti mund të vërtetohet me induksion duke përdorur Vetinë 3.

Dëshmi. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Dëshmi. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Lë të jenë ndryshore të pavarura të rastit, dhe , .

Le të krijojmë një ndryshore të re të rastësishme, të gjejmë pritshmërinë dhe variancën matematikore Y.

; .

Domethënë kur n®¥ pritshmëria matematikore e mesatares aritmetike të n variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara identike mbetet e pandryshuar, e barabartë me pritshmërinë matematikore a, ndërsa varianca priret në zero.

Kjo veti e stabilitetit statistikor të mesatares aritmetike qëndron në themel të ligjit numra të mëdhenj.

Shpërndarja normale

Le X ka një shpërndarje normale. Më herët, në ligjëratën 11 (shembulli 2) u tregua se nëse

Pastaj Y ~ N (0,1).

Nga këtu, dhe pastaj, kështu që le të gjejmë së pari DY.

Prandaj

DX= D(s Y+a) = s 2 DY= s 2, s x= s. (2)

Shpërndarja Poisson

Siç dihet

Prandaj,

Shpërndarja uniforme

Dihet se .

Më parë e treguam këtë, le të përdorim formulën.

Dëshmi.

Integrali i fundit në zinxhirin e barazive është i barabartë me 0, pasi nga kushtet e problemit rezulton se p(MX+t) - madje funksionojnë në lidhje me t (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2 k +1– funksion tek.

Meqenëse dendësia e ligjeve të shpërndarjes normale dhe uniforme janë simetrike në lidhje me X= MX, atëherë të gjitha momentet qendrore të rendit tek janë të barabarta me 0.

Teorema 2. Nëse X~N(a, s), pastaj .

Sa më shumë momente të njihen të një ndryshoreje të rastësishme, aq më i detajuar është të kuptojmë ligjin e shpërndarjes. Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore, më së shpeshti përdoren dy karakteristika numerike të bazuara në momentet qendrore të rendit të tretë dhe të katërt. Këto janë koeficienti i anshmërisë dhe kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi 3. Koeficienti i asimetrisë së një ndryshoreje të rastësishme X është numri b = .

Koeficienti i asimetrisë është momenti qendror dhe fillestar i ndryshores së rastësishme të normalizuar Y, Ku. Vlefshmëria e kësaj deklarate rrjedh nga marrëdhëniet e mëposhtme:

Skewness e një ndryshore të rastit X e barabartë me asimetrinë e ndryshores së rastit Y = α X + β

deri në shenjën e α, . Kjo rrjedh nga fakti se normalizimi i variablave të rastësishëm a X+ b dhe Xçon në të njëjtën ndryshore të rastësishme Y deri për të nënshkruar

Nëse shpërndarja e probabilitetit është asimetrike, me "pjesën e gjatë" të grafikut të vendosur në të djathtë të qendrës së grupimit, atëherë β( X) > 0; nëse "pjesa e gjatë" e grafikut ndodhet në të majtë, atëherë β( X) < 0. Для нормального и shpërndarje uniforme β = 0.

Si një karakteristikë e një shkalle më të madhe ose më të vogël të "butësisë" së një lakore densiteti ose shumëkëndëshi të shpërndarjes në krahasim me dendësi normale përdoret koncepti i kurtozës.

Përkufizimi 4. Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme X është sasia

Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme X e barabartë me diferencën midis fillestarit dhe momente qendrore Variabli i rastit i normalizuar i rendit të 4-të dhe numri 3, d.m.th. . Le të tregojmë këtë:

Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme X e barabartë me kurtozën e ndryshores së rastësishme

Y = α X + β.

Le të gjejmë kurtozën e një ndryshoreje normale të rastësishme X.

Nëse X~N(a,s), pastaj ~ (0,1).

Kështu, kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht është e barabartë me 0. Nëse dendësia e shpërndarjes është unimodale dhe më e "makut" se densiteti normal i shpërndarjes me të njëjtën variancë, atëherë g( X) > 0, nëse në të njëjtat kushte është më pak "masë", atëherë g( X) < 0.

Ligji i numrave të mëdhenj

Ligji i numrave të mëdhenj vendos kushtet për konvergjencën e mesatares aritmetike të ndryshoreve të rastësishme me mesataren aritmetike të pritjeve matematikore.

Përkufizimi 1. Sekuenca e ndryshoreve të rastësishme quhet konvergjent në probabilitet p me numrin b, Nëse
.

Le të kalojmë në këtë pabarazi në kufirin në dhe të marrim

.

Vlerësimi i intervalit

Nëse merret vlerësim pikë parametër i panjohur bazuar në mostrën, atëherë të flasësh për vlerësimin që rezulton si një parametër i vërtetë është mjaft i rrezikshëm. Në disa raste, është më e leverdishme, pasi të keni marrë përhapjen e vlerësimeve të parametrave, të flasim vlerësimi i intervalit kuptimin e vërtetë parametri. Për të ilustruar atë që u tha, merrni parasysh ndërtimin intervali i besimit Për pritje matematikore shpërndarje normale.

Ne e kemi treguar atë – vlerësimi më i mirë(absolutisht e saktë) për pritjet matematikore MX= Q, prandaj është një vlerësim absolutisht i saktë edhe për parametrin a = shpërndarje normale P, ku t– vlera e argumentit të funksionit Laplace në të cilin F(t) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teoria e probabilitetit dhe matematika

statistika matematikore. M.: Shkollë pasuniversitare, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teoria e statistikave me bazat e teorisë së probabilitetit. M.: Uniteti, 2001.

3. Szekely G. Paradokset në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. M.: Uniteti, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Kursi i teorisë së probabilitetit statistika matematikore për aplikime teknike. M.: Nauka, 1969.

6. Metodat statistikore ndërtimi formula empirike. M.: Shkolla e Lartë, 1988.

LEKTORIA 1. TEORITË E PROBABILITETIT. HISTORIA. PËRKUFIZIM KLASIK I PROBABILITETIT.. 3

LEKTORË 2. TEOREMA E MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT TË PROBABILITETEVE. PËRKUFIZIM STATISTIK, GJEOMETRIK I PROBABILITETIT.. 8

LEKTURA 3. NDËRTIMI AXIOMATIK I TEORISË TË PROBABILITETIT. AXIOMATIKA E KOLMOGOROVIT.. 14

LEKTURA 4. NDRYSHORE E RASTËSISHME. FUNKSIONI I SHPËRNDARJES... 17

LEKTORË 5. SHPËRNDARJE TË NDRYSHOREVE TË RASTËSISHME DISKRETE... 21

LEKTURA 6. TEOREMA INTEGRALE MOIVRE–LAPLACE, TEOREMA E BERNOULLI-t.. 26

LEKTURA 7. NDRYSHORET E RASTËSISHME TË VAZHDUESHME... 29

LEKTURA 8. KONCEPTI I NJË VARIABLE TË RASTËSISHME SHUMËDIMENSIONALE... 35

LEKSIONI 9. FUNKSIONI I SHPËRNDARJES TË NJË NDRYSHORE TË RASTËSISHME SHUMËDIMENSIONALE... 39

LEKSIONI 10. VETITË E DËNDËSISË SË PROBABILITETIT TË NJË NDRYSHORE TË RASTËSISHME DYDIMENSIONALE 43

LEKTORË 11. FUNKSIONET E NDRYSHOREVE TË RASTËSISHME... 48

LEKSIONI 12. TEOREMA MBI DENSITËN E SHUMËS SË DY NDRYSHOREVE TË RASTËSISHME.. 52

LEKSIONI 13. SHPËRNDARJET E STUDENTIT, FISCHER KARAKTERISTIKAT NUMERIKE JANË TË RASTËSISHME

Përgjigjet për punë testuese sipas teorisë së probabilitetit do të ndihmojë studentët e vitit të parë që studiojnë disiplinat matematikore. Detyrat mbulojnë shumë material teorik, dhe arsyetimi për vendimin e tyre do të jetë i dobishëm për çdo student.
Problemi 1. Një kub me të gjitha skajet e lyera pritet në 1000 kube të së njëjtës madhësi. Përcaktoni probabilitetin që një kub i tërhequr në mënyrë të rastësishme të ketë:
a) një skaj i lyer;
b) dy fytyra me hije.

Llogaritjet: Nëse kubi pritet në kubikë të njëjtën madhësi atëherë të gjitha fytyrat do të ndahen në 100 katrorë. (Përafërsisht si në foto)
Më tej, sipas kushtit, kubi duhet të ketë një skaj të hijezuar - kjo do të thotë që kubet duhet t'i përkasin sipërfaqja e jashtme por mos u shtrini në skajet e kubit (2 sipërfaqe me hije) dhe jo në qoshe - ato kanë tre sipërfaqe me hije.
Prandaj, sasia e kërkuar është e barabartë me produktin e 6 faqeve dhe numrin e kubeve në një katror me madhësi 8*8.
6*8*8=384 – kubikë me 1 sipërfaqe të lyer.
Probabiliteti është i barabartë me numrin e ngjarjeve të favorshme me numrin total të tyre P=384/1000=0,384.
b) Dy faqe me hije kanë kube përgjatë skajeve pa vetë kulmet e kubit. Do të ketë 8 kube të tillë në një skaj. Ka gjithsej 12 skaje në kub, kështu që dy fytyrat me hije kanë
8*12=96 kube.
Dhe probabiliteti i tërheqjes së tyre nga të gjitha 1000 është i barabartë
P=96/1000=0,096.
Kjo detyrë zgjidhet dhe kalojmë në tjetrën.
Detyra 2. Shkronjat A, A, A, N, N, C shkruhen në letra identike. Sa është probabiliteti që, duke i vendosur letrat në mënyrë të rastësishme në një rresht, të marrim fjalën ANANAS?
Llogaritjet: Gjithmonë duhet të arsyetoni nga ajo që dihet. Duke pasur parasysh 3 shkronja A, 2-H dhe 1 - C, janë 6 gjithsej. Le të fillojmë të zgjedhim shkronjat për fjalën "ananas". Shkronja e parë është A, të cilën mund ta zgjedhim në 3 mënyra nga 6, sepse ka 3 shkronja A ndër 6 të njohurat. Prandaj, probabiliteti i vizatimit A të parë është
P 1 =3/6=1/2.
Shkronja e dytë është H, por nuk duhet të harrojmë se pasi të jetë tërhequr A, kanë mbetur edhe 5 shkronja për të zgjedhur. Prandaj, probabiliteti i vizatimit të numrit 2 H është i barabartë me
P 2 =2/5.
Tjetra Një probabilitet për të tërhequr midis 4 që mbeten
P 3 =2/4.
Më pas, H mund të nxirret nga probabiliteti
P 4 = 1/3.
Sa më afër fundit më shumë gjasa, dhe tashmë mund ta nxjerrim A me
P 5 = 1/2.
Pas kësaj, ka mbetur vetëm një kartë C, kështu që probabiliteti për ta nxjerrë atë është 100 për qind ose
P 6 = 1.
Probabiliteti i formimit të fjalës ANANAS është i barabartë me produktin e probabiliteteve
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Kjo është ajo në të cilën ata bazohen detyra të ngjashme sipas teorisë së probabilitetit.
Detyra 3. Tregtari zgjedh mostrat në mënyrë të rastësishme nga një grup produktesh. Probabiliteti që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme të jetë i shkallës më të lartë është 0.8. Gjeni probabilitetin që midis 3 produkteve të përzgjedhura të ketë dy produkte të klasës më të lartë?
Llogaritjet: Ky shembull mbi zbatimin e formulës së Bernulit.
p=0.8; q=1-0,8=0,2.
Ne llogarisim probabilitetin duke përdorur formulën

Nëse nuk e shpjegoni atë në gjuhën e formulave, atëherë duhet të bëni kombinime të tre ngjarjeve, dy prej të cilave janë të favorshme dhe njëra jo. Kjo mund të shkruhet si shuma e produkteve

Të dyja opsionet janë ekuivalente, vetëm e para mund të zbatohet në të gjitha detyrat, dhe e dyta në të ngjashme me atë të konsideruar.
Problemi 4. Nga pesë gjuajtës, dy goditën objektivin me probabilitet 0.6 dhe tre me probabilitet 0.4. Çfarë ka më shumë gjasa: një gjuajtës i zgjedhur rastësisht godet objektivin apo jo?
Llogaritjet: Duke përdorur formulën e probabilitetit total, përcaktojmë probabilitetin që gjuajtësi të godasë.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Probabiliteti më i vogël se P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Probabiliteti për të mos goditur është

ose
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.
Problemi 5. Me 20 studentë të ardhur në provim, 10 ishin të përgatitur në mënyrë të përsosur (ata i dinin të gjitha pyetjet), 7 ishin të përgatitur mirë (dinin 35 pyetje secili), dhe 3 ishin të përgatitur dobët (10 pyetje). Programi përmban 40 pyetje. Një student i thirrur rastësisht iu përgjigj tre pyetjeve në biletë. Sa është probabiliteti që ai të jetë i përgatitur
a) shkëlqyeshëm;
b) keq.

Llogaritjet: Thelbi i problemit është se studenti iu përgjigj tre pyetjeve në biletë, domethënë gjithçka që u bë, por tani do të llogarisim se cila është probabiliteti për t'i marrë ato.
Le të gjejmë probabilitetin që nxënësi t'i përgjigjet saktë tre pyetjeve. Ky do të jetë raporti i numrit të studentëve me të gjithë grupin, shumëzuar me probabilitetin e tërheqjes së biletave që ata njohin midis të gjitha të mundshmeve.

Tani le të gjejmë probabilitetin që një student i përket një grupi që është përgatitur "shkëlqyeshëm". Kjo është e barabartë me proporcionin e termit të parë të probabilitetit paraprak me vetë probabilitetin

Probabiliteti që një student t'i përkasë një grupi që është përgatitur dobët është mjaft i vogël dhe i barabartë me 0,00216.

Kjo detyrë është përfunduar. Kuptojeni mirë dhe mbani mend si ta llogaritni, pasi është e zakonshme në kuize dhe teste.
Problemi 6. Një monedhë hidhet 5 herë. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet më pak se 3 herë?
Llogaritjet: Probabiliteti për të vizatuar një stemë ose bisht është ekuivalent dhe i barabartë me 0,5. Më pak se 3 herë do të thotë që stema mund të shfaqet 0, 1 ose 2 herë. "Ose" gjithmonë shprehet në probabilitet në operacione me mbledhje.
Probabilitetet i gjejmë duke përdorur formulën e Bernulit

Meqenëse p=q=0.5, atëherë probabiliteti është

Probabiliteti është 0.5.
Problemi 7. Gjatë stampimit të terminaleve metalike fitohet mesatarisht 90% e atyre standardeve. Gjeni probabilitetin që midis 900 terminaleve, të paktën 790 dhe maksimumi 820 terminale do të jenë standarde.
Llogaritjet: Llogaritjet duhet të kryhen

Nevoja për të vepruar sipas probabiliteteve ndodh kur dihen probabilitetet e disa ngjarjeve dhe është e nevojshme të llogariten probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me këto ngjarje.

Mbledhja e probabiliteteve përdoret kur duhet të llogaritni probabilitetin e një kombinimi ose shumën logjike të ngjarjeve të rastësishme.

Shuma e ngjarjeve A Dhe B tregojnë A + B ose A ∪ B. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet. Do të thotë se A + B– një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ngjarja ka ndodhur gjatë vëzhgimit A ose ngjarje B, ose njëkohësisht A Dhe B.

Nëse ngjarjet A Dhe B janë reciprokisht jokonsistente dhe jepen probabilitetet e tyre, atëherë probabiliteti që një nga këto ngjarje të ndodhë si rezultat i një prove llogaritet duke përdorur shtimin e probabiliteteve.

Teorema e shtimit të probabilitetit. Probabiliteti që do të ndodhë një nga dy ngjarjet reciprokisht të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, gjatë gjuetisë, bëhen dy të shtëna. Ngjarja A– goditja e rosës me goditjen e parë, ngjarje NË– goditja nga gjuajtja e dytë, ngjarje ( A+ NË) – një goditje nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna. Pra, nëse dy ngjarje A Dhe NË– ngjarje të papajtueshme, pra A+ NË– ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve ose dy ngjarjeve.

Shembulli 1. Ka 30 topa me të njëjtën madhësi në një kuti: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Llogaritni probabilitetin që një top me ngjyrë (jo i bardhë) të merret pa shikuar.

Zgjidhje. Le të supozojmë se ngjarja A- “Topi i kuq merret”, dhe ngjarja NË- "Topi blu u mor". Pastaj ngjarja është "merret një top me ngjyrë (jo i bardhë). Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A:

dhe ngjarjet NË:

Ngjarjet A Dhe NË– e papajtueshme reciprokisht, pasi nëse merret një top, atëherë është e pamundur të merren topa me ngjyra të ndryshme. Prandaj, ne përdorim shtimin e probabiliteteve:

Teorema për shtimin e probabiliteteve për disa ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarjet përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është gjithashtu e barabartë me 1:

Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë ngjarjesh, dhe probabiliteti i një grupi të plotë ngjarjesh është 1.

Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta zakonisht tregohen me shkronja të vogla fq Dhe q. Veçanërisht,

nga e cila rrjedhin formulat e mëposhtme për probabilitetin e ngjarjeve të kundërta:

Shembulli 2. Objektivi në poligonin e qitjes është i ndarë në 3 zona. Probabiliteti që një gjuajtës i caktuar të gjuajë në objektiv në zonën e parë është 0.15, në zonën e dytë - 0.23, në zonën e tretë - 0.17. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin dhe probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin.

Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin:

Le të gjejmë probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin:

Për problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen ashtu edhe shumëzimin e probabiliteteve, shihni faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Mbledhja e probabiliteteve të ngjarjeve reciproke të njëkohshme

Dy ngjarje të rastësishme quhen të përbashkëta nëse ndodhja e një ngjarjeje nuk përjashton ndodhjen e një ngjarjeje të dytë në të njëjtin vëzhgim. Për shembull, kur hedh një ngjarja A Numri 4 konsiderohet të jetë i mbështjellë, dhe ngjarja NË– rrotullimi i një numri çift. Meqenëse 4 është një numër çift, të dy ngjarjet janë të pajtueshme. Në praktikë, ka probleme të llogaritjes së probabiliteteve të ndodhjes së një prej ngjarjeve reciproke të njëkohshme.

Teorema e shtimit të probabilitetit për ngjarje të përbashkëta. Probabiliteti që të ndodhë një nga ngjarjet e përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, nga e cila zbritet probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të të dyja ngjarjeve, domethënë produkti i probabiliteteve. Formula për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta ka formën e mëposhtme:

Që nga ngjarjet A Dhe NË i përputhshëm, ngjarje A+ NË ndodh nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mundshme: ose AB. Sipas teoremës së mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme, ne llogarisim si më poshtë:

Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ose AB. Sidoqoftë, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të të gjitha këtyre ngjarjeve:

Po kështu:

Duke zëvendësuar shprehjet (6) dhe (7) në shprehjen (5), marrim formulën e probabilitetit për ngjarjet e përbashkëta:

Gjatë përdorimit të formulës (8), duhet pasur parasysh se ngjarjet A Dhe NË mund te jete:

të pavarur reciprokisht;

të varur reciprokisht.

Formula e probabilitetit për ngjarje të pavarura reciprokisht:

Formula e probabilitetit për ngjarjet e varura reciprokisht:

Nëse ngjarjet A Dhe NË janë të paqëndrueshme, atëherë rastësia e tyre është një rast i pamundur dhe, kështu, P(AB) = 0. Formula e katërt e probabilitetit për ngjarjet e papajtueshme është:

Shembulli 3. Në garat me automobila, kur drejtoni makinën e parë, keni një shans më të mirë për të fituar, dhe kur drejtoni makinën e dytë. Gjej:

probabiliteti që të dyja makinat të fitojnë;

probabiliteti që të paktën një makinë të fitojë;

1) Probabiliteti që makina e parë të fitojë nuk varet nga rezultati i makinës së dytë, kështu që ngjarjet A(makina e parë fiton) dhe NË(makina e dytë do të fitojë) - ngjarje të pavarura. Le të gjejmë probabilitetin që të dyja makinat të fitojnë:

2) Gjeni probabilitetin që një nga dy makinat të fitojë:

Për problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen ashtu edhe shumëzimin e probabiliteteve, shihni faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Zgjidheni vetë problemin e shtimit të probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 4. Hidhen dy monedha. Ngjarja A- humbja e stemës në monedhën e parë. Ngjarja B- humbja e stemës në monedhën e dytë. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje C = A + B .

Shumëzimi i probabiliteteve

Shumëzimi i probabilitetit përdoret kur duhet të llogaritet probabiliteti i një produkti logjik të ngjarjeve.

Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme duhet të jenë të pavarura. Dy ngjarje quhen reciprokisht të pavarura nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes së dytë.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura A Dhe NËështë e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve dhe llogaritet me formulën:

Shembulli 5. Monedha hidhet tri herë radhazi. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet të tria herë.

Zgjidhje. Probabiliteti që stema të shfaqet në hedhjen e parë të monedhës, herën e dytë dhe herën e tretë. Le të gjejmë probabilitetin që stema të shfaqet të tre herë:

Zgjidhini vetë problemet e shumëzimit të probabilitetit dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 6. Ka një kuti me nëntë topa të rinj tenisi. Për të luajtur, merren tre topa dhe pas lojës ata vendosen përsëri. Kur zgjidhni topa, topat e luajtur nuk dallohen nga topat e paluajtur. Sa është probabiliteti që pas tre ndeshjeve të mos ketë asnjë top të paluajtur në kuti?

Shembulli 7. 32 shkronja të alfabetit rus shkruhen në kartat e prera të alfabetit. Pesë letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme njëra pas tjetrës dhe vendosen në tryezë sipas renditjes së paraqitjes. Gjeni probabilitetin që shkronjat të formojnë fjalën "fund".

Shembulli 8. Nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë), nxirren katër letra menjëherë. Gjeni probabilitetin që të katër këto letra të jenë me kostume të ndryshme.

Shembulli 9. E njëjta detyrë si në shembullin 8, por çdo kartë pasi hiqet kthehet në kuvertë.

Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, si dhe llogaritjen e produktit të disa ngjarjeve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Probabiliteti që do të ndodhë të paktën një nga ngjarjet reciprokisht të pavarura mund të llogaritet duke zbritur nga 1 produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, domethënë duke përdorur formulën:

Shembulli 10. Transporti i ngarkesave kryhet me tre mënyra transporti: transport lumor, hekurudhor dhe rrugor. Probabiliteti që ngarkesa të dorëzohet me transport lumor është 0,82, me hekurudhë 0,87, me transport rrugor 0,90. Gjeni probabilitetin që ngarkesa të dorëzohet nga të paktën një nga tre mënyrat e transportit.

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini vëmendje navigatorit tonë për burimet më të dobishme për

Çfarë është probabiliteti?

Herën e parë që ndesha këtë term, nuk do ta kisha kuptuar se çfarë ishte. Prandaj, do të përpiqem të shpjegoj qartë.

Probabiliteti është mundësia që ngjarja që duam të ndodhë.

Për shembull, keni vendosur të shkoni në shtëpinë e një miku, ju kujtohet hyrja dhe madje edhe dyshemeja në të cilën ai jeton. Por harrova numrin dhe vendndodhjen e banesës. Dhe tani ju jeni duke qëndruar në shkallë, dhe para jush ka dyer për të zgjedhur.

Sa është mundësia (probabiliteti) që nëse i bini ziles së parë, shoku juaj do t'i përgjigjet derës për ju? Ka vetëm apartamente dhe një mik jeton vetëm pas njërit prej tyre. Me një shans të barabartë ne mund të zgjedhim çdo derë.

Por cili është ky shans?

Dera, dera e duhur. Mundësia për të marrë me mend duke rënë ziles së parë: . Kjo do të thotë, një herë në tre do të merrni me mend me saktësi.

Ne duam të dimë, pasi kemi telefonuar një herë, sa shpesh do ta marrim me mend derën? Le të shohim të gjitha opsionet:

Ju thirrët 1 dera

Ju thirrët 2 dera

Ju thirrët 3 dera

Tani le të shohim të gjitha opsionet ku mund të jetë një mik:

A. Mbrapa 1 dera
b. Mbrapa 2 dera
V. Mbrapa 3 dera

Le të krahasojmë të gjitha opsionet në formë tabele. Një shenjë kontrolli tregon opsionet kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e një miku, një kryq - kur nuk përkon.

Si i sheh të gjitha Ndoshta opsione vendndodhjen e mikut tuaj dhe zgjedhjen tuaj se cilës derë duhet t'i bini ziles.

A rezultate të favorshme për të gjithë . Domethënë, do të merrni me mend një herë duke i rënë ziles një herë, d.m.th. .

Ky është probabiliteti - raporti i një rezultati të favorshëm (kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e mikut tuaj) me numrin e ngjarjeve të mundshme.

Përkufizimi është formula. Probabiliteti zakonisht shënohet me p, kështu që:

Nuk është shumë i përshtatshëm për të shkruar një formulë të tillë, kështu që ne do të marrim - numrin e rezultateve të favorshme, dhe për - numrin e përgjithshëm të rezultateve.

Probabiliteti mund të shkruhet si përqindje për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni rezultatin që rezulton me:

Fjala "rezultate" ndoshta ju tërhoqi vëmendjen. Meqenëse matematikanët i quajnë eksperimente veprime të ndryshme (në rastin tonë, një veprim i tillë është një zile dere), rezultati i eksperimenteve të tilla zakonisht quhet rezultat.

Epo, ka rezultate të favorshme dhe të pafavorshme.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Le të themi se kemi thirrur njërën nga dyert, por një i huaj na e hapi atë. Nuk e morëm me mend si duhet. Sa është probabiliteti që nëse i biem njërës prej dyerve të mbetura, shoku ynë do ta hapë atë për ne?

Nëse keni menduar kështu, atëherë ky është një gabim. Le ta kuptojmë.

Kemi dy dyer të mbetura. Pra, ne kemi hapat e mundshëm:

1) Thirrni 1 dera
2) Thirrni 2 dera

Miku, përkundër gjithë kësaj, është padyshim pas njërit prej tyre (në fund të fundit, ai nuk ishte pas atij që ne thirrëm):

a) Mik për 1 dera
b) Mik për 2 dera

Le të vizatojmë përsëri tabelën:

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione, nga të cilat janë të favorshme. Kjo do të thotë, probabiliteti është i barabartë.

Pse jo?

Situata që kemi shqyrtuar është shembull i ngjarjeve të varura. Ngjarja e parë është zilja e parë, ngjarja e dytë është zilja e dytë.

Dhe quhen të varur sepse ndikojnë në veprimet e mëposhtme. Në fund të fundit, nëse pas ziles së parë ziles i përgjigjej një mik, sa do të ishte probabiliteti që ai të ishte pas njërit nga dy të tjerët? E drejta,.

Por nëse ka ngjarje të varura, atëherë duhet të ketë gjithashtu të pavarur? Kjo është e drejtë, ato ndodhin.

Një shembull i tekstit shkollor është hedhja e një monedhe.

Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka, për shembull? Kjo është e drejtë - sepse ka të gjitha opsionet (ose kokat ose bishtat, ne do të neglizhojmë mundësinë e uljes së monedhës në buzë), por kjo na përshtatet vetëm neve.

Por doli kokat. Mirë, le ta hedhim përsëri. Sa është probabiliteti për të marrë koka tani? Asgjë nuk ka ndryshuar, gjithçka është njësoj. Sa opsione? Dy. Me sa jemi të kënaqur? Një.

Dhe le të ngrihet lart të paktën një mijë herë radhazi. Probabiliteti për të marrë kokat menjëherë do të jetë i njëjtë. Gjithmonë ka opsione, dhe ato të favorshme.

Është e lehtë të dallosh ngjarjet e varura nga ato të pavarura:

Nëse eksperimenti kryhet një herë (ata hedhin një monedhë një herë, i bien ziles një herë, etj.), atëherë ngjarjet janë gjithmonë të pavarura.

Nëse një eksperiment kryhet disa herë (një monedhë hidhet një herë, zilja e derës i bihet disa herë), atëherë ngjarja e parë është gjithmonë e pavarur. Dhe pastaj, nëse numri i atyre të favorshme ose numri i të gjitha rezultateve ndryshon, atëherë ngjarjet janë të varura, dhe nëse jo, ato janë të pavarura.

Le të praktikojmë pak përcaktimin e probabilitetit.

Shembulli 1.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka dy herë radhazi?

Zgjidhja:

Le të shqyrtojmë të gjitha opsionet e mundshme:

Shqiponjë-shqiponjë

Koka-bisht

Bishtat-Kokat

Bishta-bisht

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione. Nga këto ne jemi vetëm të kënaqur. Kjo është, probabiliteti:

Nëse kushti thjesht ju kërkon të gjeni probabilitetin, atëherë përgjigja duhet të jepet në formën e një thyese dhjetore. Nëse do të specifikohej se përgjigja duhet të jepet në përqindje, atëherë do të shumëzoheshim me.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Në një kuti me çokollata, të gjitha çokollatat janë të paketuara në të njëjtin mbështjellës. Megjithatë, nga ëmbëlsirat - me arra, me konjak, me qershi, me karamel dhe me nuga.

Sa është probabiliteti për të marrë një karamele dhe për të marrë një karamele me arra? Jepni përgjigjen tuaj në përqindje.

Zgjidhja:

Sa rezultate të mundshme ka? .

Kjo do të thotë, nëse merrni një karamele, ajo do të jetë një nga ato të disponueshme në kuti.

Sa rezultate të favorshme?

Sepse kutia përmban vetëm çokollata me arra.

Përgjigje:

Shembulli 3.

Në një kuti me balona. prej të cilave janë të bardha dhe të zeza.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?

Shtuam më shumë topa të zinj në kuti. Sa është tani probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?

Zgjidhja:

a) Në kuti ka vetëm topa. Prej tyre janë të bardhë.

Probabiliteti është:

b) Tani ka më shumë topa në kuti. Dhe po aq të bardhë kanë mbetur - .

Përgjigje:

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Le të themi se ka topa të kuq dhe jeshilë në një kuti. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të kuq? Top i gjelbër? Top i kuq apo jeshil?

Probabiliteti për të vizatuar një top të kuq

Topi jeshil:

Top i kuq ose jeshil:

Siç mund ta shihni, shuma e të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me (). Kuptimi i kësaj pike do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme.

Shembulli 4.

Ka shënues në kuti: jeshile, e kuqe, blu, e verdhë, e zezë.

Sa është probabiliteti për të nxjerrë NUK një shënues të kuq?

Zgjidhja:

Le të numërojmë numrin rezultate të favorshme.

JO një shënues i kuq, që do të thotë jeshile, blu, e verdhë ose e zezë.

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.
Rregulli për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Ju tashmë e dini se çfarë janë ngjarjet e pavarura.

Po sikur të duhet të gjesh probabilitetin që dy (ose më shumë) ngjarje të pavarura të ndodhin me radhë?

Le të themi se duam të dimë se cila është probabiliteti që nëse hedhim një monedhë një herë, do të shohim koka dy herë?

Ne kemi konsideruar tashmë - .

Po sikur të hedhim një monedhë një herë? Sa është probabiliteti për të parë një shqiponjë dy herë radhazi?

Opsionet totale të mundshme:

Shqiponja-shqiponja-shqiponja

Koka-kokë-bisht

Koka-bisht-koka

Kokë-bisht-bisht

Bisht-kokë-kokë

Bisht-kokë-bisht

Bisht-bisht-kokë

Bisht-bisht-bisht

Nuk e di për ju, por kam bërë gabime disa herë kur përpilova këtë listë. Uau! Dhe i vetmi opsion (i pari) na përshtatet.

Për 5 gjuajtje, mund të bëni vetë një listë të rezultateve të mundshme. Por matematikanët nuk janë aq punëtorë sa ju.

Prandaj, ata së pari vunë re dhe më pas vërtetuan se probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura çdo herë zvogëlohet me probabilitetin e një ngjarjeje.

Me fjale te tjera,

Le të shohim shembullin e së njëjtës monedhë fatkeqe.

Probabiliteti për të marrë kokat në një sfidë? . Tani e kthejmë monedhën një herë.

Sa është probabiliteti për të marrë kokat me radhë?

Ky rregull nuk funksionon vetëm nëse na kërkohet të gjejmë probabilitetin që e njëjta ngjarje të ndodhë disa herë radhazi.

Nëse do të dëshironim të gjenim sekuencën TAILS-HEADS-TAILS për hedhje të njëpasnjëshme, do të bënim të njëjtën gjë.

Probabiliteti për të marrë bishta është, kokat -.

Probabiliteti për të marrë sekuencën TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Mund ta kontrolloni vetë duke bërë një tabelë.

Rregulli për shtimin e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme.

Ndaj ndalo! Përkufizim i ri.

Le ta kuptojmë. Le të marrim monedhën tonë të konsumuar dhe ta hedhim një herë.
Opsionet e mundshme:

Shqiponja-shqiponja-shqiponja

Koka-kokë-bisht

Koka-bisht-koka

Kokë-bisht-bisht

Bisht-kokë-kokë

Bisht-kokë-bisht

Bisht-bisht-kokë

Bisht-bisht-bisht

Pra, ngjarjet e papajtueshme janë një sekuencë e caktuar ngjarjesh. - këto janë ngjarje të papajtueshme.

Nëse duam të përcaktojmë se cila është probabiliteti i dy (ose më shumë) ngjarjeve të papajtueshme, atëherë shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve.

Ju duhet të kuptoni se kokat ose bishtat janë dy ngjarje të pavarura.

Nëse duam të përcaktojmë probabilitetin e ndodhjes së një sekuence (ose ndonjë tjetër), atëherë përdorim rregullin e shumëzimit të probabiliteteve.
Sa është probabiliteti për të marrë kokat në hedhjen e parë dhe bishtin në hedhjen e dytë dhe të tretë?

Por nëse duam të dimë se cila është probabiliteti për të marrë një nga disa sekuenca, për shembull, kur kokat ngrihen saktësisht një herë, d.m.th. opsionet dhe, atëherë ne duhet të mbledhim probabilitetet e këtyre sekuencave.

Opsionet totale na përshtaten.

Ne mund të marrim të njëjtën gjë duke mbledhur probabilitetet e shfaqjes së çdo sekuence:
Kështu, ne shtojmë probabilitete kur duam të përcaktojmë probabilitetin e sekuencave të caktuara, jokonsistente, të ngjarjeve.

Ekziston një rregull i shkëlqyeshëm për t'ju ndihmuar të mos hutoheni kur të shumëzoni dhe kur të shtoni:

Le të kthehemi te shembulli ku hodhëm një monedhë një herë dhe donim të dinim probabilitetin për të parë një herë kokat.
Cfare do te ndodhe?

Duhet të bjerë jashtë:
(koka AND tails AND tails) OSE (tails AND heads AND tails) OSE (bishtave AND tails AND heads).
Kështu rezulton:

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 5.

Ka lapsa në kuti. e kuqe, jeshile, portokalli dhe e verdhë dhe e zezë. Sa është probabiliteti për të vizatuar lapsa të kuq ose jeshil?

Zgjidhja:

Shembulli 6.

Nëse një kësulë hidhet dy herë, sa është probabiliteti për të marrë gjithsej 8?

Zgjidhje.

Si mund të marrim pikë?

(dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe).

Probabiliteti për të marrë një (ndonjë) fytyrë është .

Ne llogarisim probabilitetin:

Trajnimi.

Unë mendoj se tani e kuptoni se kur duhet të llogaritni probabilitetet, kur t'i shtoni ato dhe kur t'i shumëzoni ato. A nuk është ajo? Le të praktikojmë pak.

Detyrat:

Le të marrim një kuvertë letrash që përmban letra duke përfshirë lopata, zemra, 13 shkopinj dhe 13 diamante. Nga tek Ace e çdo kostumi.

Sa është probabiliteti i tërheqjes së shkopinjve me radhë (e vendosim kartën e parë të nxjerrë përsëri në kuvertë dhe e përziejmë)?

Sa është probabiliteti për të nxjerrë një karton të zi (lopata ose shkopinj)?

Sa është probabiliteti për të vizatuar një pikturë (jack, mbretëresha, mbret ose asi)?

Sa është probabiliteti për të vizatuar dy piktura me radhë (ne heqim kartën e parë të tërhequr nga kuverta)?

Cila është probabiliteti, duke marrë dy letra, për të mbledhur një kombinim - (jack, mbretëreshë ose mbret) dhe një ACE Sekuenca në të cilën janë tërhequr letrat nuk ka rëndësi?

Përgjigjet:

Nëse keni qenë në gjendje t'i zgjidhni të gjitha problemet vetë, atëherë jeni të mrekullueshëm! Tani do të thyeni problemet e teorisë së probabilitetit në Provimin e Bashkuar të Shtetit si arra!

TEORIA E PROBABILITETIT. NIVELI MESATAR

Le të shohim një shembull. Le të themi se hedhim një kërpudhë. Çfarë lloj kocke është kjo, a e dini? Kjo është ajo që ata e quajnë një kub me numra në faqet e tij. Sa fytyra, kaq shumë numra: nga në sa? Përpara.

Pra, hedhim zarin dhe duam që ai të dalë ose. Dhe ne e marrim atë.

Në teorinë e probabilitetit ata thonë se çfarë ka ndodhur ngjarje e mbarë(të mos ngatërrohet me të begatë).

Nëse do të ndodhte, edhe ngjarja do të ishte e favorshme. Në total, mund të ndodhin vetëm dy ngjarje të favorshme.

Sa janë të pafavorshme? Meqenëse ka ngjarje totale të mundshme, do të thotë se ato të pafavorshmet janë ngjarje (kjo është nëse ose bie jashtë).

Përkufizimi:

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme. Kjo do të thotë, probabiliteti tregon se cila pjesë e të gjitha ngjarjeve të mundshme janë të favorshme.

Probabiliteti shënohet me një shkronjë latine (me sa duket nga fjala angleze probability - gjasa).

Është e zakonshme të matet probabiliteti si përqindje (shih temën,). Për ta bërë këtë, vlera e probabilitetit duhet të shumëzohet me. Në shembullin e zarit, probabiliteti.

Dhe në përqindje: .

Shembuj (vendosni vetë):

Sa është probabiliteti për të marrë koka kur hedh një monedhë? Sa është probabiliteti i uljes së kokave?

Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift kur hedh një kërpudhë? Cila është e çuditshme?

Në një kuti me lapsa të thjeshtë, blu dhe të kuq. Ne vizatojmë një laps rastësisht. Sa është probabiliteti për të marrë një të thjeshtë?

Zgjidhjet:

Sa opsione ka? Kokat dhe bishtat - vetëm dy. Sa prej tyre janë të favorshëm? Vetëm njëra është shqiponjë. Pra probabiliteti
Është e njëjta gjë me bishtat: .

Opsionet totale: (sa anë ka kubi, kaq shumë opsione të ndryshme). Të favorshmet: (këto janë të gjithë numra çift :).
Probabiliteti. Sigurisht, është e njëjta gjë me numrat tek.

Total: . I favorshëm: . Probabiliteti: .

Probabiliteti total

Të gjithë lapsat në kuti janë jeshile. Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps të kuq? Nuk ka shanse: probabilitet (në fund të fundit, ngjarje të favorshme -).

Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil? Ka saktësisht të njëjtin numër ngjarjesh të favorshme sa ka totali i ngjarjeve (të gjitha ngjarjet janë të favorshme). Pra, probabiliteti është i barabartë me ose.

Një ngjarje e tillë quhet e besueshme.

Nëse një kuti përmban lapsa të gjelbër dhe të kuq, sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe? Akoma perseri. Le të theksojmë këtë: probabiliteti i nxjerrjes së gjelbër është i barabartë, dhe i kuqja është e barabartë.

Me pak fjalë, këto probabilitete janë saktësisht të barabarta. Kjo eshte, shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me ose.

Shembull:

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të mos vizatuar jeshile?

Zgjidhja:

Ne kujtojmë se të gjitha gjasat mblidhen. Dhe probabiliteti për të marrë jeshile është i barabartë. Kjo do të thotë që probabiliteti për të mos vizatuar jeshile është i barabartë.

Mbani mend këtë truk: Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Ngjarjet e pavarura dhe rregulli i shumëzimit

Ju rrokullisni një monedhë një herë dhe dëshironi që ajo të dalë në krye të dyja herët. Sa janë gjasat për këtë?

Le të kalojmë nëpër të gjitha opsionet e mundshme dhe të përcaktojmë se sa janë:

Koka-kokë, bisht-kokë, koka-bisht, bisht-bisht. Çfarë tjetër?

Opsionet totale. Nga këto na shkon vetëm një: Shqiponja-Shqiponja. Në total, probabiliteti është i barabartë.

Mirë. Tani le të hedhim një monedhë një herë. Bëni vetë llogaritjen. Ka ndodhur? (përgjigje).

Ju mund të keni vënë re se me shtimin e çdo gjuajtjeje pasuese, probabiliteti zvogëlohet përgjysmë. Rregulli i përgjithshëm quhet rregulli i shumëzimit:

Probabilitetet e ngjarjeve të pavarura ndryshojnë.

Cilat janë ngjarjet e pavarura? Gjithçka është logjike: këto janë ato që nuk varen nga njëri-tjetri. Për shembull, kur hedhim një monedhë disa herë, çdo herë bëhet një hedhje e re, rezultati i së cilës nuk varet nga të gjitha hedhjet e mëparshme. Po aq lehtë mund të hedhim dy monedha të ndryshme në të njëjtën kohë.

Më shumë shembuj:

Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për ta marrë atë të dyja herë?

Monedha hidhet një herë. Sa është probabiliteti që herën e parë të ngrihet lart dhe më pas të bjerë dy herë?

Lojtari hedh dy zare. Sa është probabiliteti që shuma e numrave në to të jetë e barabartë?

Përgjigjet:

Ngjarjet janë të pavarura, që do të thotë se rregulli i shumëzimit funksionon: .

Probabiliteti i kokave është i barabartë. Probabiliteti i bishtave është i njëjtë. Shumëzo:

12 mund të merret vetëm nëse rrotullohen dy -ki: .

Ngjarjet e papajtueshme dhe rregulli i shtimit

Ngjarjet që plotësojnë njëra-tjetrën deri në një probabilitet të plotë quhen të papajtueshme. Siç sugjeron emri, ato nuk mund të ndodhin njëkohësisht. Për shembull, nëse hedhim një monedhë, ajo mund të dalë ose lart ose bisht.

Shembull.

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe?

Zgjidhje .

Probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil është i barabartë. E kuqe -.

Ngjarje të favorshme në të gjitha: jeshile + e kuqe. Kjo do të thotë që probabiliteti i vizatimit të gjelbër ose të kuq është i barabartë.

I njëjti probabilitet mund të paraqitet në këtë formë: .

Ky është rregulli i shtimit: shtohen gjasat e ngjarjeve të papajtueshme.

Probleme të tipit të përzier

Shembull.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që rezultatet e rrotullave të jenë të ndryshme?

Zgjidhje .

Kjo do të thotë që nëse rezultati i parë është koka, i dyti duhet të jetë bisht, dhe anasjelltas. Rezulton se ka dy palë ngjarje të pavarura, dhe këto palë janë të papajtueshme me njëra-tjetrën. Si të mos ngatërroheni se ku të shumëzoni dhe ku të shtoni.

Ekziston një rregull i thjeshtë për situata të tilla. Mundohuni të përshkruani se çfarë do të ndodhë duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR". Për shembull, në këtë rast:

Duhet të dalë lart (koka dhe bishtat) ose (bishtet dhe kokat).

Aty ku ka një lidhje "dhe" do të ketë shumëzim, dhe ku ka "ose" do të ketë mbledhje:

Provojeni vetë:

Sa është probabiliteti që nëse një monedhë hidhet dy herë, monedha të bjerë në të njëjtën anë të dyja herët?

Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë një total pikësh?

Zgjidhjet:

Një shembull tjetër:

Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti që kokat të shfaqen të paktën një herë?

Zgjidhja:

TEORIA E PROBABILITETIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme.

Ngjarjet e pavarura

Dy ngjarje janë të pavarura nëse ndodhja e njërës nuk ndryshon probabilitetin që të ndodhë tjetra.

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Rregulli për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të secilës ngjarje

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarjet e papajtueshme janë ato që nuk mund të ndodhin njëkohësisht si rezultat i një eksperimenti. Një numër ngjarjesh të papajtueshme formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

Mundësitë e ngjarjeve të papajtueshme shtohen.

Pasi kemi përshkruar se çfarë duhet të ndodhë, duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR", në vend të "DHE" vendosim një shenjë shumëzimi dhe në vend të "OR" vendosim një shenjë shtesë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -

Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!