NË 12. Gjatë kolapsit izotopi radioaktiv masa e tij zvogëlohet sipas ligjit m(t) = m 0 2 -t/T, ku m 0 (mg) është masa fillestare e izotopit, t(min.) është koha e kaluar nga momenti fillestar. T(min.) - gjysma e jetës së izotopit. NË momenti i fillimit Masa e izotopit m 0 = 80 mg. Gjysma e jetës T = 3 min. Pas sa minutash masa e izotopit do të bëhet 10 mg?
B13. Familja përbëhet nga një burrë, grua dhe vajza e tyre studente. Nëse paga e burrit dyfishohej, të ardhurat totale të familjes do të rriteshin me 60%. Nëse bursa e vajzës do të përgjysmohej, të ardhurat totale të familjes do të uleshin me 2%. Sa përqind e të ardhurave totale të familjes është paga e bashkëshortes?
B14. Gjej vlera më e vogël funksionet y = 8x 2 - x 3 + 13 në intervalin [-5; 5].
PJESA 2
Për të regjistruar zgjidhjet dhe përgjigjet e detyrave C1 - C6, përdorni formularin e përgjigjeve nr. 2. Fillimisht shkruani numrin e detyrës që po kryhet (C1, C2, etj.), dhe më pas vendimin dhe përgjigjen e plotë të arsyetuar.
C1. a) Zgjidhe ekuacionin 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit [-7π/2; -2π].
C2. Pika E është mesi i buzës AA 1 të kubit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Gjeni këndin midis drejtëzave DE dhe BD 1.
C3. Zgjidh sistemin e pabarazive
C4. NË trekëndëshi ABC janë tërhequr përgjysmorët AA 1 dhe СС 1, K dhe M - bazat e pingulave ulen nga pika B në vijat e drejta AA 1 dhe СС 1.
a) Vërtetoni se MK = AC.
b) Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit KVM nëse dihet që AC = 10, BC = 6, AB = 8.
C5. Gjeni të gjitha vlerat e α, për secilën prej të cilave ekuacioni
Ka më shumë se tre zgjidhje të ndryshme.
C6. Numrat janë shkruar në një rresht: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Midis tyre vendosen në mënyrë të rastësishme shenjat "+" dhe "-" dhe gjendet shuma që rezulton. A mund të jetë kjo shumë e barabartë me:
a) 12 nëse N=12?
b) 0 nëse N=70?
c) 0 nëse N=48?
d) - 3, nëse N=90?
TESTI PËRDORIMI - 2014 NË MATEMATIKË
OPTION 2
PJESA 1
Përgjigja e detyrave B1 - B14 duhet të jetë një numër i plotë ose një thyesë dhjetore e fundme. Përgjigja duhet të shkruhet në formularin e përgjigjes nr. 1 në të djathtë të numrit të detyrës që kryhet, duke filluar nga qeliza e parë. Çdo shifër, shenjë minus dhe pikë dhjetore shkruani në një kuti të veçantë në përputhje me mostrat e dhëna në formular. Nuk ka nevojë të shkruani njësi matëse.
NË 1. Në shitje me pakicë, një numër i revistës javore "Raport" kushton 27 rubla, dhe një abonim gjashtëmujor në këtë revistë kushton 550 rubla. Në gjashtë muaj botohen 25 numra të revistës. Sa rubla do të kursejë zoti Ivanov në gjashtë muaj nëse nuk e blen secilin numër të revistës veç e veç, por abonohet?
NË 2. Diagrami tregon GPA pjesëmarrës nga 10 vende në testimin e nxënësve të klasës së 4-të në matematikë në vitin 2007 (në një shkallë prej 10,500 pikësh).
Duke përdorur grafikun, gjeni numrin e vendeve me një rezultat mesatar midis 495 dhe 515.
NË 3. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ABCD. Madhësia e secilës qelizë është 1cm x 1cm. Jepni përgjigjen tuaj në centimetra katrorë.
NË 4. Për një grup mysafirësh të huaj, kërkohet blerja e 20 udhërrëfyesve. Udhëzuesit e nevojshëm u gjetën në tre dyqane online. Kushtet e blerjes dhe dorëzimit janë dhënë në tabelë. Përcaktoni se cili dyqan shuma totale blerjet duke përfshirë dërgesën do të jenë më të ulëtat. Në përgjigjen tuaj, shkruani shumën më të vogël në rubla.
Përshëndetje, Te dashur miq! Në këtë artikull do të shqyrtojmë disa probleme që përfshijnë vëllimin e një koni. NË artikulli i fundit kemi disa detyra. Thelbi është i thjeshtë - ekziston një kusht për zvogëlimin (rritjen) e lartësisë së konit ose rrezes me një sasi të caktuar. Shtrohet pyetja se si ka ndryshuar vëllimi.Edhe një herë formula për vëllimin e një koni:
Së pari, le të shohim problemet dhe më pas do të përshkruaj disa rekomandime për zgjidhje.
27094. Sa herë do të ulet vëllimi i konit nëse lartësia e tij zvogëlohet për 3 herë?
Natyrisht, nëse e zvogëlojmë lartësinë me tre herë, atëherë vëllimi gjithashtu do të ulet me tre herë (lidhja është lineare). Formalisht, kjo mund të shkruhet si kjo:
Përgjigje: 3
27095. Sa herë do të rritet vëllimi i konit nëse rrezja e bazës së tij rritet për 1,5 herë?
Le ta rrisim rrezen me 1.5 herë:
Vëllimi do të rritet me 2.25 herë.
Përgjigje: 2.25
* Kjo do të thotë, mund të konkludojmë:
Nëse rrezja e bazës së konit ndryshohet (rritet ose zvogëlohet) me n herë, atëherë vëllimi i tij përkatësisht do të rritet ose ulet me n 2 herë. Shikoni hyrjen zyrtare:
Le të parashtrojmë problemin e mëposhtëm.Si do të ndryshojë vëllimi i një koni nëse lartësia e tij rritet me 10 herë dhe rrezja e tij zvogëlohet me 4 herë?
Vëllimi i konit është:
Le të rrisim lartësinë me 10 herë dhe ta zvogëlojmë rrezen me 4:
Vlera prej 0.625 tregon se vëllimi do të ulet. Kjo do të thotë, vëllimi i konit që rezulton do të jetë 0,625 i vëllimit të konit origjinal.
Ky ndryshim mund të shprehet edhe si më poshtë.
Ndani vëllimin e konit origjinal me vëllimin e atij që rezulton dhe përcaktoni sa herë do të ndodhë ulja:
Kjo do të thotë, vëllimi i konit do të ulet me 1.6 herë.
Ju mund ta thoni këtë - vëllimi i konit që rezulton është 1.6 më pak se ai origjinal.
Një përmbledhje e vogël!
Siç mund ta shihni, detyrat janë shumë të thjeshta. Thelbi i procesit të zgjidhjes është të "zvogëloni" formulën për vëllimin e konit që rezulton në këtë formë:
*Dmth, në mënyrë që vëllimi që rezulton të shprehet përmes vëllimit të konit origjinal.
Sigurisht, nëse flasim vetëm për ndryshimin e lartësisë, atëherë një problem i tillë mund të zgjidhet gojarisht (marrëdhënie direkte).
Problemi i dytë (ku ndryshon vetëm rrezja), nëse keni përvojë, mund të zgjidhet edhe gojarisht, por është më mirë të shkruani në detaje procesin e llogaritjes.
Problemet ku flasim për ndryshimin e të dyja sasive nuk priten në provim, por përgatituni për çdo rast.
Në të ardhmen, ne patjetër do të shqyrtojmë një teknikë që është shumë e përshtatshme për t'u përdorur gjatë zgjidhjes së detyrave të tilla. Ne do të flasim jo vetëm për kone, por edhe për trupa të tjerë, mos e humbisni, pajtohuni në buletinin.
Kjo eshte e gjitha. Paç fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Vëllimi i një tetraedri.Në këtë artikull do të shikojmë disa detyra me piramidat. Siç e dini, një tetrahedron është gjithashtu një piramidë. RRETH Përkufizimi i katërkëndëshit:
Një katërkëndësh është shumëkëndëshi më i thjeshtë ai ka 4 faqe, të cilat janë trekëndësha. Një katërkëndor ka 4 kulme, 3 skaje konvergojnë në secilën kulm dhe gjithsej 6 tehe me faqe trekëndëshat barabrinjës quhet e saktë.
Vëllimi i një piramide (dhe për rrjedhojë e një tetraedri):
S - zona e bazës së piramidës h – lartësia e piramidës
Le të llogarisim vëllimin e një tetraedri të rregullt në një skaj e barabartë me vlerën a.
Atëherë sipërfaqja e secilës fytyrë do të jetë e barabartë (në në këtë rast dhe bazat ABC):
Le të llogarisim lartësinë SO. Le të shqyrtojmë trekëndësh kënddrejtë KOS:
*Dihet se përgjysmorët e një trekëndëshi ndahen me pikën e kryqëzimit në raportin 1 me 2.
Le të llogarisim CM. Sipas teoremës së Pitagorës:
Prandaj:
Kështu, vëllimi i tetraedrit do të jetë i barabartë me:
Kuptimi i detyrave të diskutuara më poshtë është ky: të gjitha skajet e piramidës, ose vetëm lartësia rritet disa herë. Është e qartë se në këtë rast sipërfaqja e saj rritet gjithashtu. Më pas, duhet të llogarisni sa herë ndodh kjo rritje.
1. Nëse rritet vetëm lartësia e piramidës dhe ka pyetje për ndryshimin e vëllimit, atëherë është e qartë se ajo rritet në përpjesëtim të drejtë me vëllimin fillestar të piramidës, pasi varësia është lineare. E thënë thjesht, volumi rritet aq herë sa rritet lartësia.
2. Nëse po flasim për rritjen e të gjitha skajeve të piramidës me një numër të caktuar herë, atëherë duhet kuptuar se rezultati është një piramidë e ngjashme me atë origjinale, dhe fytyrat e saj janë gjithashtu të ngjashme me faqet përkatëse të piramida që rezulton.
Unë do t'ia lejoj vetes ky moment, për çështjen e ngjashmërisë së figurave dhe trupave, ju sugjeroj t'i drejtoheni teorisë së përshkruar në tekstin shkollor. Në të ardhmen e afërt do të postoj patjetër një artikull të veçantë për këtë temë.
Sa i përket grupit të paraqitur të detyrave, vërej se duke përdorur vetitë e ngjashmërisë, detyra të tilla zgjidhen praktikisht në një veprim.
Ja çfarë duhet të mbani mend dhe të dini:
Kjo do të thotë, nëse i rrisim të gjitha skajet e piramidës me k herë, atëherë raporti i sipërfaqes së cilësdo prej faqeve të saj me sipërfaqen e faqes origjinale përkatëse do të jetë i barabartë me k 2. Natyrisht, qëndrimi sipërfaqet totale sipërfaqet e piramidave të tilla gjithashtu do të jenë të barabarta me k 2.
Dhe:
Kjo do të thotë, nëse i rrisim të gjitha skajet e piramidës me k herë, atëherë raporti i vëllimit të piramidës që rezulton me vëllimin e asaj origjinale do të jetë i barabartë me k 3 . Le të shqyrtojmë detyrat:
Sa herë do të rritet vëllimi i një tetraedri të rregullt nëse të gjitha skajet e tij rriten gjashtëmbëdhjetë herë?
Një katërkëndësh është një piramidë, të gjitha faqet e së cilës janë trekëndësha barabrinjës.
Kjo piramidë dhe piramida e përftuar duke rritur të gjitha skajet e saj me 16 herë do të jenë të ngjashme, dhe koeficienti i ngjashmërisë do të jetë përkatësisht i barabartë me 16.
Vëllimet trupa të ngjashëm janë të lidhura si kubi i koeficientit të ngjashmërisë.Kjo është, siç u tha tashmë, vëllimi i piramidës që rezulton e barabartë me produktin kubi i koeficientit të ngjashmërisë dhe vëllimi i piramidës origjinale:
Le të përcaktojmë sa herë do të rritet vëllimi dhe të gjejmë raportin e vëllimeve:
Kështu, nëse të gjitha skajet rriten me 16 herë, atëherë vëllimi do të rritet me 4096 herë.
*Problemin mund ta zgjidhni ndryshe. Përcaktoni skajin e katërkëndëshit si A, pastaj shprehni lartësinë e saj. Pas kësaj, përcaktoni vëllimet e piramidave duke përdorur formulën dhe më pas gjeni raportin e vëllimeve që rezultojnë. Por një rrugë e tillë do të jetë e gjatë e paarsyeshme dhe do të kërkojë shumë herë më shumë kohë për t'u zgjidhur.
Përgjigje: 4096
Sa herë do të rritet vëllimi i piramidës nëse lartësia e saj rritet dymbëdhjetë herë?
Vëllimi i piramidës është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë:
S- zona e bazës
h- lartësia e piramidës
Nëse lartësia rritet me 12 herë, vëllimi i piramidës do të rritet gjithashtu me 12 herë (kjo është një marrëdhënie lineare):
Përgjigje: 12
Sa herë do të rritet sipërfaqja e një tetraedri të rregullt nëse të gjitha skajet e tij rriten pesëfish?
Vini re se sipërfaqja e një katërkëndëshi është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katër fytyrave të tij, të cilat janë trekëndësha të rregullt.
Mënyra e parë:
Le të përcaktojmë sipërfaqen e tetraedrit origjinal dhe atij të zmadhuar, dhe më pas të gjejmë raportin e zonave.
Lëreni skajin e katërkëndëshit të jetë i barabartë A, atëherë sipërfaqja e fytyrës do të jetë e barabartë me:
*Kemi përdorur një trekëndësh.
Kjo do të thotë që sipërfaqja e tetraedrit origjinal do të jetë e barabartë me:
Nëse skajet e tetraedrit rriten me 5 herë, atëherë sipërfaqja do të ndryshojë si më poshtë:
Raporti i sipërfaqes është:
Kështu, nëse skajet e një tetraedri pesëfishohen, sipërfaqja e tij do të rritet me 25 herë.
Mënyra e dytë:
Dihet se kur përmasat lineare të një figure rriten (zvogëlohen) me k herë, fitohet një shifër e ngjashme me të, sipërfaqet e tyre lidhen si katrori i koeficientit të ngjashmërisë, domethënë:
k – ky është koeficienti i ngjashmërisë
Në këtë problem k=5.
Kjo do të thotë, duke përdorur vetinë e ngjashmërisë, problemi zgjidhet me gojë:
*Sipërfaqja e secilës faqe të piramidës do të rritet me 25 herë, që do të thotë se sipërfaqja e të gjithë piramidës do të rritet gjithashtu me 25 herë.
Përgjigje: 25
27172. Sa herë do të rritet sipërfaqja e piramidës nëse dyfishohen të gjitha skajet e saj?
Kjo detyrë nuk është e ndryshme nga ajo e mëparshme. Nuk ka asnjë ndryshim nëse po flasim për një katërkëndor, një piramidë, një kub, një paralelipiped apo një shumëkëndësh tjetër. Nëse thuhet se të gjitha skajet rriten me të njëjtin numër herë, atëherë fytyrat që rezultojnë të trupit "të ri" do të jenë të ngjashme me fytyrat përkatëse të trupit origjinal. Kjo do të thotë se sipërfaqja do të rritet me k 2 herë (ku k është koeficienti i ngjashmërisë).
Testi i Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë.
Versioni Demo nr. 8.
Zgjidhja është më detyra të vështira grupi B.
NË 3. Një paralelogram dhe një drejtkëndësh kanë të njëjtat brinjë. Gjej kënd i mprehtë paralelogram nëse sipërfaqja e tij është gjysma e sipërfaqes së drejtkëndëshit. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.
Zgjidhje.
Formula e zonës paralelograme:
S= a . b. sin α, ku a, b- brinjët e një paralelogrami, sin α - këndi ndërmjet tyre.
Formula për sipërfaqen e një drejtkëndëshi:
S= a . b, Ku a, b- faqet e drejtkëndëshit.
1) Dyfishoni sipërfaqen e drejtkëndëshit më shumë zonë paralelogram me brinjë të barabarta. Kjo eshte:
a . b = 2 (a . b. sin α).
2) Llogaritni sinusin e këndit α:
a . b
sin α = ———— = 1/2.
2(a . b)
3) Le të kujtojmë rrethi i numrave: nëse sinusi i një këndi është 1/2, atëherë vetë ky kënd është 30°. Pra problemi është zgjidhur.
Përgjigju: 30.
NË ORËN 10. Në kampionatin e gjimnastikës marrin pjesë 56 sportistë: 27 nga Rusia, 22 nga SHBA dhe pjesa tjetër nga Kina. Radha në të cilën performojnë gjimnastët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që konkurron i pari të jetë nga Kina.
Zgjidhje.
Në kampionat marrin pjesë 7 gjimnastë kinezë (56 - 27 - 22 = 7).
Kjo do të thotë që probabiliteti që një grua kineze të performojë e para është 7 nga 56. Ne e përpilojmë këtë proporcion dhe e kthejmë në dhjetore, e cila do të jetë përgjigja:
7/56 = 0,125.
Përgjigju: 0,125.
NË 11. Sa herë do të rritet vëllimi i një tetraedri të rregullt nëse të gjitha skajet e tij rriten tetëfish?
Zgjidhje.
Formula për vëllimin e një tetraedri:
V = √2/12. a 3 ku A- gjatësia e skajit të tetraedrit.
Ne shohim se vëllimi i një tetraedri varet vetëm nga gjatësia e skajit të tij. Kjo do të thotë, nëse krahasoni dy tetraedone madhësive të ndryshme, atëherë rezulton: sa herë më shumë a 3 të një katërkëndësh në krahasim me një tjetër, vëllimi i tij është i njëjti numër herë më i madh. Kjo do të thotë që problemi mund të zgjidhet thjesht.
Le A= 1. Pastaj a 3 = 1.
Le të rrisim gjatësinë e skajit me 8 herë - le tani A= 8. Le të shohim se çfarë ndodh në këtë rast:
8 3 = 512.
Përfundim: nëse skaji i një tetraedri rritet me 8 herë, vëllimi i tij do të rritet me 512 herë.
Përgjigju: 512.
NË 12. Varësia e vëllimit të kërkesës q(njësi në muaj) për produktet e një ndërmarrje monopoliste nga çmimi fq(mijë rubla) jepet nga formula q= 50−5fq. Të ardhurat e ndërmarrjes për muajin r(mijë rubla) llogaritet duke përdorur formulën r(fq) = pq. Përcaktoni çmimin më të lartë fq, në të cilat të ardhura mujore r(fq) do të arrijë në 120 mijë rubla. Jepni përgjigjen tuaj në mijëra rubla.
Zgjidhje.
Së pari, le të shkruajmë atë që dimë nga problemi:
r(fq) = 120,
q= 50−5fq.
Në formulën e të ardhurave r(fq) = pq i zëvendësojmë këto dy vlera, bëjmë reduktime dhe marrim ekuacioni kuadratik:
fq(50−5fq) = 120,
50fq - 5fq 2 = 120,
5fq 2 + 50fq = 120,
5fq 2 + 50fq - 120 = 0,
5fq 2 - 50fq + 120 = 0,
fq 2 - 10fq + 24 = 0.
Pasi kemi zgjidhur ekuacionin kuadratik, marrim dy rrënjët e tij:
fq 1 = 4, fq 2 = 6.
Ne duhet të përcaktojmë çmimin më të lartë - domethënë nga dy vlera fq zgjidhni të dytën: 6 (mijë rubla).
Përgjigju: 6.
B13. Dy anije mallrash të thata ndjekin kurse paralele në të njëjtin drejtim përgjatë detit: e para është 120 metra e gjatë, e dyta është 80 metra e gjatë. Në fillim, anija e dytë e mallrave mbetet pas së parës, dhe në një moment në kohë distanca nga skaji i anijes së parë të mallrave deri në harkun e të dytës është 400 metra. 12 minuta pas kësaj, anija e parë e mallrave mbetet pas të dytës, kështu që distanca nga skaji i anijes së dytë të mallrave deri në harkun e të parës është 600 metra. Sa kilometra në orë është shpejtësia e anijes së parë të mallrave më e vogël se shpejtësia e së dytës?
Zgjidhje.
Është e rëndësishme të kuptohet: i pari nuk qëndroi i palëvizshëm, të dy lëvizën. Është e domosdoshme të imagjinoni dy anije mallrash të thata në lëvizje, në mënyrë që të mos bëni një gabim ose të mos përfundoni veprime të panevojshme, e cila gjithashtu do të çojë në një përgjigje të pasaktë.
1) Pra, anija e dytë e mallrave lëvizi më shpejt dhe në 12 minuta kapërceu anijen e parë të mallrave me 600 metra, duke kapërcyer vonesën prej 400 metrash, gjatësinë e anijes së parë të mallrave dhe një distancë të barabartë me gjatësinë e saj. Si rezultat, ajo u zhvendos në lidhje me anijen e parë të mallrave me shumën e të gjitha këtyre sasive:
80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).
12 min - 1200 m
60 min - X m.
Nga këtu:
X= 60 . 1200: 12 = 6000 m ose 6 km.
Kështu, shpejtësia e anijes së dytë të mallrave është 6 km/h më e madhe se shpejtësia e së parës.
Problemi është zgjidhur.
Përgjigju: 6.
