Bu noktanın komşuluğunu orijin merkezli çemberlerin dış kısmı olarak tanımladık: sen
(∞, ε
) = {z
∈ | |z
| > ε). Nokta z
= ∞ yalıtılmış bir tekil noktadır analitik fonksiyon w
= F
(z
), eğer bu noktanın bazı komşuluklarında bu fonksiyonun başka tekil noktaları yoksa. Bu tekil noktanın tipini belirlemek için değişken değişikliği yaparız ve nokta z
= ∞ noktaya gider z
1 = 0, fonksiyon w
= F
(z
) formunu alacak 
. Tekil nokta türü z
= ∞ fonksiyonları w
= F
(z
) tekil noktanın tipini arayacağız z
1 = 0 fonksiyon w
= φ
(z
1). Fonksiyonun genişletilmesi ise w
= F
(z
) derece olarak z
bir noktanın yakınında z
= ∞, yani yeterince büyük modül değerlerinde z
, formu var, ardından değiştiriliyor z
tarihinde alacağız. Böylece değişkenin bu şekilde değişmesiyle Laurent serisinin ana ve düzgün kısımları yer değiştirir ve tekil noktanın türü de değişir. z
= ∞, Laurent serisindeki fonksiyonun kuvvetler cinsinden açılımının doğru kısmındaki terimlerin sayısıyla belirlenir. z
bir noktanın yakınında z
= 0. Bu nedenle
1. Nokta z
= ∞ - çıkarılabilir tekil nokta, eğer bu genişletmede doğru kısım eksikse (terim hariç) A
0);
2. Nokta z
= ∞ - kutup N
-inci sıra eğer sağ kısım bir terimle bitiyorsa Bir
· zn
;
3. Nokta z
= ∞, eğer normal kısım sonsuz sayıda terim içeriyorsa, esasen tekil bir noktadır.
Bu durumda değere göre tekil nokta türlerine ilişkin kriterler geçerli kalır: z= ∞ çıkarılabilir bir tekil nokta ise, bu sınır mevcuttur ve eğer z= ∞ bir kutup ise bu limit sonsuzdur, eğer z= ∞ esas itibariyle tekil bir nokta ise bu sınır mevcut değildir (ne sonlu ne de sonsuz).
Örnekler: 1. F
(z
) = -5 + 3z
2 - z
6. Fonksiyon zaten kuvvetler cinsinden bir polinomdur z
, en yüksek derece altıncıdır, dolayısıyla z
Aynı sonuç başka bir yolla da elde edilebilir. Değiştireceğiz z
o zaman 
. İşlev için φ
(z
1) nokta z
1 = 0 altıncı dereceden bir kutuptur, dolayısıyla F
(z
) nokta z
= ∞ - altıncı derecenin kutbu.
2. . Bu işlev için bir güç genişletmesi elde edin z
zor, öyleyse bulalım: 
; limit mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla nokta z
3. . Güç genişletmenin doğru kısmı z
sonsuz sayıda terim içerir, yani z
= ∞ aslında tekil bir noktadır. Aksi takdirde bu gerçek, var olmadığı gerçeğinden yola çıkılarak tespit edilebilir.
Sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada bir fonksiyonun kalıntısı.
Son tekil nokta için A
, Nerede γ
- dışında başka hiçbir devre içermeyen bir devre A
, tekil noktalar, onun tarafından sınırlanan ve tekil noktayı içeren alan solda (saat yönünün tersine) kalacak şekilde geçilir.
Benzer şekilde tanımlayalım: 
, burada Γ - böyle bir mahalleyi sınırlayan konturdur sen
(∞, R
) puan z
= ∞, başka tekil noktalar içermez ve bu komşuluğun solda (yani saat yönünde) kalması için geçilebilir. Bu nedenle, fonksiyonun tüm diğer (son) tekil noktaları Γ − konturunun içinde yer almalıdır. Γ − konturunu geçme yönünü değiştirelim: 
. Kalıntılarla ilgili ana teoreme göre 
Toplamanın tüm sonlu tekil noktalar üzerinde gerçekleştirildiği yer. Bu nedenle nihayet
,
onlar. sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada kalıntı toplamına eşit ters işaretle alınan tüm sonlu tekil noktalar üzerindeki kalıntılar.
Sonuç olarak, var toplam toplam teoremi: eğer fonksiyon w = F (z ) düzlemin her yerinde analitiktir İLE sonlu sayıda tekil nokta hariç z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , bu durumda tüm sonlu tekil noktalardaki kalıntıların ve sonsuzdaki kalıntının toplamı sıfırdır.
şunu unutmayın: z
= ∞ çıkarılabilir tekil bir noktaysa, buradaki kalıntı sıfırdan farklı olabilir. Yani fonksiyon için açıkçası; z
= 0 bu fonksiyonun tek sonlu tekil noktasıdır, dolayısıyla 
, buna rağmen, yani. z
= ∞ çıkarılabilir bir tekil noktadır.
Tanım
Gerçek bir x noktasının komşuluğu 0
Bu noktayı içeren herhangi bir açık aralığa şu ad verilir:
.
burada ε 1
ve ε 2
- keyfi pozitif sayılar.
Epsilon - x noktasının mahallesi 0
x noktasına olan uzaklıktaki noktalar kümesidir 0
ε'dan küçük:
.
x noktasının delinmiş bir mahallesi 0
x noktasının hariç tutulduğu bu noktanın komşuluğudur 0
:
.
Uç noktaların mahalleleri
Başlangıçta bir noktanın komşuluğunun tanımı verildi. Olarak belirlenmiş.
(1)
.
Ancak uygun argümanları kullanarak mahallenin iki sayıya bağlı olduğunu açıkça belirtebilirsiniz:
Yani mahalle, açık bir aralığa ait noktalar kümesidir. 1
ε'yı eşitlemek 2
ε'ya
(2)
.
epsilon - mahalleyi alıyoruz:
Bir epsilon komşuluğu, uçları eşit uzaklıkta olan açık bir aralığa ait noktalar kümesidir.
Elbette epsilon harfi başka herhangi bir harfle değiştirilebilir ve δ - mahalle, σ - mahalle vb. dikkate alınabilir.
Sol taraf, sağ taraf ve delikli mahalle kavramları da yaygın olarak kullanılmaktadır. uç noktalar. İşte tanımları.
Bir x gerçel noktasının sol komşuluğu 0
üzerinde bulunan yarı açık bir aralıktır gerçek eksen x noktasının solunda 0
, noktanın kendisi de dahil:
;
.
Gerçek bir x noktasının sağ taraftaki komşuluğu 0
x noktasının sağında bulunan yarı açık bir aralıktır 0
, noktanın kendisi de dahil:
;
.
Uç noktaların delinmiş mahalleleri
x noktasının delinmiş mahalleleri 0 - bunlar, noktanın kendisinin hariç tutulduğu mahallelerle aynı mahallelerdir. Mektubun üzerinde bir daire ile gösterilirler. İşte tanımları.
x noktasının delinmiş mahallesi 0
:
.
Delinmiş epsilon - x noktasının mahallesi 0
:
;
.
Delinmiş sol mahalle:
;
.
Sağ tarafta delinmiş:
;
.
Sonsuzdaki noktaların komşulukları
Uç noktaların yanı sıra, sonsuzdaki noktaların komşulukları da tanıtılmıştır. Sonsuzda gerçek sayı olmadığından hepsi deliklidir (sonsuzdaki nokta sonsuz büyük bir dizinin limiti olarak tanımlanır).
.
;
;
.
Sonsuzdaki noktaların komşuluklarını şu şekilde belirlemek mümkündü:
.
Ancak M yerine kullanırız, böylece daha küçük ε'ya sahip mahalle, uç nokta komşuluklarında olduğu gibi, daha büyük ε'ya sahip mahallenin bir alt kümesi olur.
Mahalle mülkü
Daha sonra, bir noktanın (sonlu veya sonsuz) komşuluğunun bariz özelliğini kullanıyoruz. Bu, noktaların mahallelerinin olduğu gerçeğinde yatmaktadır. daha küçük değerlerε, büyük ε değerlerine sahip mahallelerin alt kümeleridir.
İşte daha katı formülasyonlar.
Son veya sonsuz uzaklıkta bir nokta olsun. Ve öyle olsun.
;
;
;
;
;
;
;
.
Daha sonra
Bunun tersi de doğrudur.
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limit tanımlarının eşdeğerliği
Şimdi Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini belirlerken hem keyfi bir komşuluk hem de uçları eşit uzaklıkta olan bir komşuluk kullanabileceğinizi göstereceğiz.
Teorem
Keyfi komşuluklar ve eşit uzaklıkta uçları olan komşuluklar kullanan bir fonksiyonun limitinin Cauchy tanımları eşdeğerdir.
Kanıt Hadi formüle edelim.
Bir fonksiyonun limitinin ilk tanımı
.
Kanıt Bir a sayısı, herhangi bir pozitif sayı için bağlı sayılar varsa ve hepsi için a noktasının karşılık gelen mahallesine aitse, bir fonksiyonun bir noktadaki (sonlu veya sonsuzdaki) limitidir:.
bir fonksiyonun limitinin ikinci tanımı A sayısı, herhangi bir nokta için fonksiyonun limitidir. pozitif sayı
.
Kanıt 1 ⇒ 2
Bir a sayısının 1. tanıma göre bir fonksiyonun limiti olması durumunda 2. tanıma göre de bir limit olduğunu kanıtlayalım.
İlk tanımın karşılanmasına izin verin. Bu, ve fonksiyonlarının olduğu anlamına gelir; dolayısıyla herhangi bir pozitif sayı için aşağıdakiler geçerlidir:
nerede, nerede.
Sayılar keyfi olduğundan, onları eşitliyoruz:
.
Daha sonra, ve gibi işlevler vardır, dolayısıyla aşağıdaki tutmaların tümü için:
nerede, nerede.
Dikkat .
Pozitif sayıların en küçüğü ve olsun.
.
Daha sonra yukarıda belirtilenlere göre,
Eğer öyleyse.
nerede, nerede.
Yani, böyle bir fonksiyon bulduk, yani aşağıdaki durumların tümü için:
Bu, ikinci tanıma göre a sayısının fonksiyonun limiti olduğu anlamına gelir.
Kanıt 2 ⇒ 1
Eğer a sayısı 2. tanıma göre bir fonksiyonun limiti ise, 1. tanıma göre de bir limit olduğunu kanıtlayalım.
.
İkinci tanım karşılansın. İki pozitif sayı alalım ve .
.
Ve bu onların en küçüğü olsun. O halde, ikinci tanıma göre, öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi bir pozitif sayı ve tümü için, bundan şu sonuç çıkar:
.
Ama göre .
Bu nedenle, bundan sonra gelenlerden
Daha sonra herhangi bir pozitif sayı ve için iki sayı bulduk, yani hepsi için:
Bu, ilk tanıma göre a sayısının bir limit olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı. Kullanılan literatür:
L.D. Kudryavtsev. Kuyu matematiksel analiz . Cilt 1. Moskova, 2003. Tanım. Sonsuzluğa işaret karmaşık düzlem F(z isminde izole tekil nokta benzersiz analitik fonksiyon ), Eğer,
dıştan F(z).
belli bir yarıçaptaki daire 
R
onlar. Çünkü fonksiyonun sonlu tekil noktası yoktur ζ
Fonksiyonu sonsuzdaki bir noktada incelemek için ikameyi yaparız
İşlev 
noktada bir tekilliğe sahip olacak
= 0 ve bu nokta izole edilecek çünkü ζ
çemberin içinde 
Koşula göre başka tekil noktalar yoktur. Bu konuda analitik olmak ζ
daire (sözde olanlar hariç)
= 0), fonksiyon z güçlerde bir Laurent serisinde genişletilebilir z. Önceki paragrafta açıklanan sınıflandırma tamamen değişmeden kalır.
Ancak orijinal değişkene dönersek 1.
, sonra pozitif ve negatif kuvvetlerdeki seriler z =
yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir:
Örnekler.
2.
. z =
∞
Nokta
Ben
− 3. derecenin kutbu. z. Nokta
F(z- esas olarak tekil bir nokta. F(z) Laurent serisiyle benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: 
Nerede 
L.D. Kudryavtsev. KuyuKesinti analitik fonksiyon F(z) izole edilmiş tekil bir noktada z 0
isminde karmaşık sayı, integralin değerine eşit 
fonksiyonun analitik etki alanında yer alan ve kendi içinde tek bir tekil nokta içeren herhangi bir kapalı kontur boyunca pozitif yönde alınan z 0 .
Kesinti Res sembolü ile gösterilir. [F(z),z 0 ].
Kalıntının düzenli veya çıkarılabilir tekil bir noktada olduğunu görmek kolaydır sıfıra eşit.
Bir kutupta veya esas olarak tekil bir noktada, kalıntı katsayıya eşittir İle-1 satır Laurent:
.
Örnek. Bir fonksiyonun kalıntısını bulun 
.
(Bunu görmek kolay olsun
katsayı İle Terimler ile çarpıldığında -1 elde edilir N= 0:Çözünürlük[ F(z),yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir:
]
=
}
Fonksiyonların kalıntılarını hesaplamak genellikle mümkündür. basit bir şekilde. Fonksiyona izin ver F(z) dahil. z Birinci dereceden 0 kutbu. Bu durumda, fonksiyonun Laurent serisindeki açılımı şu şekildedir (§16):. Bu eşitliği (z−z 0) ile çarpalım ve limite gidelim. 
. Sonuç olarak şunu elde ederiz: Res[ F(z),z 0 ] =
Yani, içinde
Son örnekte Res[ var F(z),yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir:
]
=
.
Daha yüksek dereceli kutuplardaki kalıntıları hesaplamak için fonksiyonu çarpın
Açık 
(M− kutup sırası) ve elde edilen serinin türevini alın ( M −
1) kez.
Bu durumda elimizde: Res[ F(z),z 0 ]
Örnek. Bir fonksiyonun kalıntısını bulun 
z= −1'de.
{
Res[ F(z),
−1]
}
Eğer bazı diziler yakınsarsa sonlu sayı a, sonra yazarlar
.
Daha önce dikkate aldığımız sonsuz uzun diziler. Yakınsak olduklarını varsaydık ve sınırlarını ve sembolleriyle gösterdik. Bu semboller temsil eder sonsuzluktaki noktalar . Onlar kalabalığa ait değiller gerçek sayılar
Tanım
. Ancak limit kavramı bu tür noktaları tanıtmamıza olanak tanır ve gerçek sayıları kullanarak bu noktaların özelliklerini incelemek için bir araç sağlar. Sonsuzluğa işaret
, veya işaretsiz sonsuzluk, sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır. Sonsuz artı sonsuz nokta
, pozitif terimli sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır. Sonsuz eksi sonsuzdaki nokta
, negatif terimler içeren sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır.
;
.
Herhangi bir gerçek sayı için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: Gerçek sayıları kullanarak kavramı tanıttık.
sonsuzda bir noktanın komşuluğu
Bir noktanın komşuluğu kümedir.
Son olarak bir noktanın komşuluğu kümedir.
Burada M keyfi, keyfi olarak büyük bir gerçek sayıdır. Böylece reel sayılar kümesine yeni öğeler katarak genişlettik. Bu bağlamda,:
Genişletilmiş sayı doğrusu veya genişletilmiş gerçek sayılar kümesi elemanlarla tamamlanan gerçek sayılar kümesidir ve:
.
Öncelikle ve noktalarının özelliklerini yazacağız. Daha sonra katılık konusunu ele alacağız matematiksel tanım
Bu noktalara yönelik işlemler ve bu özelliklerin ispatları.
Sonsuzdaki noktaların özellikleri.
;
;
;
;
Toplam ve fark.
;
;
;
;
;
;
;
.
Ürün ve bölüm.
Gerçek sayılarla ilişki
;
;
;
;
;
.
a keyfi bir reel sayı olsun. Daha sonra > 0
izin ver
;
;
.
a keyfi bir reel sayı olsun. Daha sonra < 0
izin ver
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Daha sonra
Tanımlanmamış işlemler
Sonsuzdaki noktaların özelliklerinin kanıtları
Matematiksel İşlemleri Tanımlama Sonsuzdaki noktaların tanımlarını zaten vermiştik. Şimdi onlar için matematiksel işlemleri tanımlamamız gerekiyor. Bu noktaları dizilerle tanımladığımız için bu noktalarla yapılan işlemlerin de dizilerle tanımlanması gerekir.
Bu yüzden,
iki puanın toplamı
,
c = a + b,
,
genişletilmiş gerçek sayılar kümesine ait olan,
limit diyeceğiz
keyfi dizilerin sınırları nerede ve nerededir
Ve .
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
O halde iki puan farkı:
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
- sınır budur: .
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
Puanların çarpımı: Özel:, .
Burada ve limitleri sırasıyla a ve b olan keyfi dizilerdir. İÇİNDE
ikinci durum
Özelliklerin kanıtları
.
Sonsuzdaki noktaların özelliklerini kanıtlamak için sonsuz büyük dizilerin özelliklerini kullanmamız gerekir.
,
Mülkü düşünün:
1
Bunu kanıtlamak için şunu göstermeliyiz
;
.
Başka bir deyişle artı sonsuza yakınsayan iki dizinin toplamının artı sonsuza yakınsadığını kanıtlamamız gerekiyor.
.
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
O zaman for ve elimizde:
Hadi koyalım.
Daha sonra
,
Nerede .
.
Bu şu anlama geliyor.
,
Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanabilir. Örnek olarak başka bir kanıt verelim.
Bunu kanıtlayalım: Bunu yapmak için şunu göstermeliyiz.
burada ve limitli ve rasgele dizilerdir. 1
Bunu kanıtlamak için şunu göstermeliyiz
;
.
Başka bir deyişle artı sonsuza yakınsayan iki dizinin toplamının artı sonsuza yakınsadığını kanıtlamamız gerekiyor.
.
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
O zaman for ve elimizde:
Hadi koyalım.
Daha sonra
Yani iki sonsuz büyük dizinin çarpımının sonsuz olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
büyük sıra Hadi kanıtlayalım. ve olduğundan, bazı ve fonksiyonları vardır, dolayısıyla herhangi bir pozitif M sayısı için Tanımlanmamış işlemler Parça tanımlanmadı. Belirsizliklerini göstermek için, işlemin sonucunun içerdikleri dizilerin seçimine bağlı olduğu birkaç özel durumu vermek gerekir.
Bu işlemi düşünün:
.
Eğer ve ise dizilerin toplamının limitinin ve dizilerinin seçimine bağlı olduğunu göstermek kolaydır.
Gerçekten de alalım.
Bu dizilerin limitleri.
Tutar sınırı
sonsuza eşittir.
Şimdi alalım. Bu dizilerin limitleri de eşittir. Ama miktarlarının sınırı
sıfıra eşittir.
