Eğer bir dizi sonlu bir a sayısına yakınsarsa, o zaman şunu yazın:
.
Daha önce sonsuz büyük dizileri dikkate almıştık. Yakınsak olduklarını varsayarak sınırlarını ve sembolleriyle gösterdik. Bu semboller temsil eder sonsuzluktaki noktalar. Reel sayılar kümesine ait değillerdir. Ancak limit kavramı bu tür noktaları tanıtmamıza olanak tanır ve gerçek sayıları kullanarak bu noktaların özelliklerini incelemek için bir araç sağlar.

Tanım
Sonsuza kadar uzak nokta , veya işaretsiz sonsuzluk, sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır.
Sonsuz artı sonsuz nokta, pozitif terimli sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır.
Sonsuz eksi sonsuzdaki nokta, negatif terimli sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır.

Herkes için gerçek Numara a aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
;
.

Gerçek sayıları kullanarak kavramı tanıttık sonsuzda bir noktanın komşuluğu.
Bir noktanın komşuluğu kümedir.
Son olarak bir noktanın komşuluğu kümedir.
Burada M keyfi, keyfi büyüklükte bir reel sayıdır.

Böylece reel sayılar kümesine yeni öğeler katarak genişlettik. Bu bağlamda, aşağıdaki tanım:

Genişletilmiş sayı doğrusu veya genişletilmiş gerçek sayılar kümesi elemanlarla tamamlanan gerçek sayılar kümesidir ve:
.

Öncelikle ve noktalarının özelliklerini yazacağız. Daha sonra katılık konusunu ele alacağız matematiksel tanım Bu noktalara yönelik işlemler ve bu özelliklerin ispatları.

Sonsuzdaki noktaların özellikleri

Toplam ve fark.
; ;
; ;

Ürün ve bölüm.
; ; ;
;
;
; ; .

Gerçek sayılarla ilişki.
a keyfi bir gerçek sayı olsun. Daha sonra
; ;
; ; ; .
izin ver > 0 . Daha sonra
; ; .
izin ver < 0 . Daha sonra
; .

Tanımlanmamış işlemler.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Sonsuzdaki noktaların özelliklerinin kanıtları

Matematiksel İşlemleri Tanımlama

Sonsuzdaki noktaların tanımlarını zaten vermiştik. Şimdi onlar için matematiksel işlemleri tanımlamamız gerekiyor. Bu noktaları dizilerle tanımladığımız için bu noktalarla yapılan işlemlerin de dizilerle tanımlanması gerekir.

Bu yüzden, iki puanın toplamı
c = a + b,
genişletilmiş gerçek sayılar kümesine ait olan,
,
limit diyeceğiz
,
keyfi dizilerin sınırları nerede ve nerede
Ve .

Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
O halde iki puan farkı:
- sınır budur: .
Puanların çarpımı:
- sınır budur: .
Özel:
- sınır budur: .
Burada ve limitleri sırasıyla a ve b olan keyfi dizilerdir. İÇİNDE ikinci durum, .

Özelliklerin kanıtları

Sonsuzdaki noktaların özelliklerini kanıtlamak için sonsuz büyük dizilerin özelliklerini kullanmamız gerekir.

Mülkü düşünün:
.
Bunu kanıtlamak için şunu göstermeliyiz
,

Başka bir deyişle artı sonsuza yakınsayan iki dizinin toplamının artı sonsuza yakınsadığını kanıtlamamız gerekiyor.

1 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
;
.
O zaman for ve elimizde:
.
Hadi koyalım. Daha sonra
,
Nerede .
Bu şu demek .

Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanabilir. Örnek olarak başka bir kanıt verelim.

Bunu kanıtlayalım:
.
Bunu yapmak için şunu göstermeliyiz
,
burada ve limitli ve rasgele dizilerdir.

Yani iki sonsuz büyük dizinin çarpımının sonsuz büyük bir dizi olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Hadi kanıtlayalım. ve olduğundan, bazı ve fonksiyonları vardır, dolayısıyla herhangi bir pozitif M sayısı için 1 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
;
.
O zaman for ve elimizde:
.
Hadi koyalım. Daha sonra
,
Nerede .
Bu şu demek .

Tanımlanmamış işlemler

Parça matematiksel işlemler Sonsuzdaki noktalar tanımlı değildir. Belirsizliklerini göstermek için, işlemin sonucunun içerdikleri dizilerin seçimine bağlı olduğu birkaç özel durumu vermek gerekir.

Bu işlemi düşünün:
.
Eğer ve ise dizilerin toplamının limitinin ve dizilerinin seçimine bağlı olduğunu göstermek kolaydır.

Gerçekten de alalım. Bu dizilerin limitleri. Tutar sınırı

sonsuza eşittir.

Şimdi alalım. Bu dizilerin limitleri de eşittir. Ama miktarlarının sınırı

sıfıra eşit.

Yani ve şartıyla tutar sınırının alabileceği değer Farklı anlamlar. Bu nedenle işlem tanımlanmamıştır.

Benzer şekilde yukarıda sunulan diğer işlemlerin belirsizliğini de gösterebilirsiniz.

Sonsuzluğun noktası.

Fonksiyonun sonsuz uzaklıktaki bir noktanın (noktanın kendisi hariç) bir komşuluğunda analitik olmasına izin verin. Öyle olduğunu söylüyorlarçıkarılabilir tekil nokta, kutup veya esasen tekil noktabağlı olarak işlevlersonlu, sonsuz veya var olmayan .

Ve'yi koyalım, o zaman noktanın belirli bir komşuluğunda analitik olacaktır. İkincisi ise for ile aynı türden tekil bir nokta için olacaktır. Laurent mahalle açılımı, Laurent mahalle açılımındaki basit bir ikame ile elde edilebilir. Ancak böyle bir değiştirmeyle, doğru parça ana parçayla değiştirilir ve bunun tersi de geçerlidir. Böylece adil

Teorem 1. Sonsuz olarak çıkarılabilir tekillik durumunda uzak nokta, fonksiyonun bu noktanın komşuluğundaki Laurent açılımı şunları içermez pozitif derece, bir direk durumundabunlardan sınırlı sayıda içerir ve bu durumdatemel özellik - sonsuz.

Eğer bu noktada varsaçıkarılabilir özelliği olduğu söylenir genelliklesonsuzda analitikve kabul edin. Bu durumda fonksiyon açıkça noktanın bazı komşuluklarında sınırlıdır.

Fonksiyon tam düzlemde analitik olsun. Sonsuzdaki bir noktadaki bir fonksiyonun analitikliğinden, bu noktanın komşuluğunda sınırlı olduğu sonucu çıkar; bırak. Öte yandan analitikten kısır döngü bu çevredeki sınırlamasını takip eder; onun içinde olsun. Ancak bu durumda işlev tüm düzlemde sınırlıdır: sahip olduğumuz herkes için. Böylece Liouville teoremiaşağıdaki şekil verilebilir.

Teorem 2. Bir fonksiyon tam düzlemde analitik ise sabittir.

Şimdi konsepti tanıtalımsonsuzda kalıntı. Fonksiyonun bir noktanın bazı komşuluklarında analitik olmasına izin verin (belki bu noktanın kendisi dışında); altındafonksiyonun sonsuzda çıkarılması anlamak

saat yönünde geçilen yeterince büyük bir daire nerede (noktanın dairesi solda kalacak şekilde).

Bu tanımdan hemen, bir fonksiyonun sonsuzdaki kalıntısının, ters işaretle alınan bir noktanın komşuluğundaki Laurent açılımındaki t katsayısına eşit olduğu sonucu çıkar:

Teorem 3. Bir fonksiyonun tam düzlemde sonlu sayıda tekil noktası varsa, o zaman sonsuzdaki kalıntı da dahil olmak üzere tüm kalıntılarının toplamı sıfıra eşittir.

Kanıt. Aslında izin ver a 1 ,… a n fonksiyonun son tekil noktaları ve bunların hepsini içinde barındıran daire. İntegrallerin özelliği, kalıntı teoremi ve sonsuzdaki bir noktada kalıntının tanımı ile şunu elde ederiz:

Vesaire.

Kalıntı teorisinin integrallerin hesaplanmasına uygulanması.

İntegralini hesaplamak gerekli olsun gerçek fonksiyon bazı (sonlu veya sonsuz) segment boyunca ( a,b) x ekseni. (a, b) ekleyelim ) ile birlikte sınırlanan bazı eğriler ( a, b ) bölgesinde ve analitik olarak devam edin.

Kalıntı teoremini oluşturulmuş analitik devamlılığa uyguluyoruz:

(1)

İntegral hesaplanabiliyorsa veya istenilen integral cinsinden ifade edilebiliyorsa hesaplama problemi çözülür.

Sonsuz segmentler durumunda ( a, b ) genellikle sonsuz genişleyen entegrasyon kontur ailelerini göz önünde bulundurur; bunlar, limite geçmenin bir sonucu olarak ( a, b ). Bu durumda (1) ilişkisinin integrali hesaplanamaz, yalnızca limiti bulunabilir ve bu genellikle sıfır olur.

Aşağıdakiler çok faydalıdır:

Lemma (Ürdün). Eğer bir dizi dairesel yay üzerindeyse,(, A sabit) fonksiyon şuna göre düzgün bir şekilde sıfıra eğilimlidir, o zaman

. (2)

Kanıt. Haydi belirtelim

Lemmanın koşullarına göre, aynı zamanda sıfıra eğilimli olduğunda ve a>0; AB ve CD yaylarında elimizde.

Sonuç olarak, yay integrali AB, CD sıfır olma eğilimindedir.

Eşitsizlik için geçerli olduğundan yay üzerinde OLMAK

Bu nedenle ve dolayısıyla da sıfıra eğilimlidir. Eğer bir yay üzerindeyse GD Kutup açısı saat yönünde sayılırsa aynı tahmin elde edilecektir. İspatın basitleştirilmesi durumunda, çünkü yaylar üzerindeki integrali tahmin etmek gereksiz olacaktır AB ve CD. Lemma kanıtlanmıştır.

Not 1. Lemmadaki dairesel yayların sırası değiştirilebilir yay ailesi

o zaman, eğer at fonksiyonu o zaman'a göre düzgün bir şekilde sıfıra yöneliyorsa

. (3)

Kanıt hala geçerli.

Açıklama 2. Değişkeni değiştirelim: iz=p , o zaman lemmanın dairelerinin yayları yaylarla değiştirilecektir ve bunu herhangi bir fonksiyon için elde ederiz F(p ), düzgün göreceli olarak sıfıra eğilimli ve herhangi bir pozitif T

. (4)

(4)'teki p'yi (-p) ile değiştirme ) bunu aynı koşullar altında elde ederiz

, (5)

bir dairenin yayı nerede (şekle bakın).

İntegral hesaplama örneklerine bakalım.

Örnek 1. .

Bir yardımcı fonksiyon seçelim. Çünkü fonksiyon eşitsizliği karşılıyorsa, Jordan'ın lemması gereğince eşit şekilde sıfıra yönelir:

Çünkü kalıntı teoremine göre elimizde

Elde ettiğimiz limitte:

Gerçel kısımları ayırıp fonksiyonun paritesini kullanarak şunu buluruz:

Örnek 2. İntegrali hesaplamak için

Bir yardımcı fonksiyon alalım. İntegral eğrisi tekil noktayı atlar z =0. Cauchy teoremine göre

Jordan'ın lemmasından bu açıkça anlaşılıyor. Tahmin etmek için noktanın yakınındaki Laurent genişlemesini düşünün. z =0

bir noktada düzenli olan nerede z =0 işlevi. Bundan açıkça görülüyor ki

Böylece Cauchy teoremi şu şekilde yeniden yazılabilir:

İlk integralde değiştirme x x x , eşit olduğunu buluyoruz, dolayısıyla elimizde

Limitte ve son olarak:

. (7)

Örnek 3. İntegrali hesaplayın

Bir yardımcı fonksiyon tanıtalım ve önceki örnekteki gibi integral konturunu seçelim. Bu kontur dahilinde logaritma, tek değerli bir dalın tanımlanmasına olanak sağlar. Eşitsizliğin belirlediği dalı gösterelim. Fonksiyon şu noktada var z=i kalıntı içeren ikinci dereceden kutup

Kalıntı teoremine göre.

Yeterince büyük bazılarından başlayarak R , buradan, .

Benzer şekilde, yeterince küçük olanlardan başlayarak r, bu nedenle

Değiştirmeden sonraki ilk integralde z=-x şunu elde ederiz:

ve dolayısıyla elimizdeki limitte:

Gerçek ve sanal kısımların karşılaştırılması şunu verir:

, .

Örnek 4. İntegral için

Yardımcı fonksiyonu ve şekilde gösterilen konturu seçelim. Eğer bunu varsayarsak, konturun içi açıktır.

Bu kontura dahil olan kesimin üst ve alt kıyılarında değerler alınır ve bu nedenle integraller birbirini iptal eder, bu da gerekli integralin hesaplanmasını mümkün kılar. Konturun içinde, birinci dereceden fonksiyonun, kalıntıları sırasıyla şuna eşit olan iki kutbu vardır:

Nerede. Kalıntı teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:

Yukarıdakilere uygun olarak elimizde:

Tıpkı önceki örnekte olduğu gibi, bunu kanıtlayacağız ve sonra limitte şunu elde edeceğiz:

Buradan hayali parçaları karşılaştırarak şunu elde ederiz:

Örnek 5. Özel integralin temel değerini hesaplayın

Yardımcı fonksiyonu ve şekilde gösterilen konturu seçelim. Konturun içinde fonksiyon düzenlidir. Pozitif yarı eksen boyunca kesimin alt kıyısında. Dolayısıyla Cauchy teoremine göre:

(8).

Açıkçası, ne zaman ve ne zaman. Birlikte, sırasıyla ve nerede sırasıyla 0'dan ve'ye değişir. Buradan,

(8)'i 'deki limite kadar geçerek şunu elde ederiz:

gerekli integral şuna eşittir:

Örnek 6. İntegrali hesaplayın

Fonksiyonu ele alalım. Haydi bir kesim yapalım*) .

Hadi koyalım. Kapalı bir yol etrafında saat yönünün tersine giderken (bkz. şekil, noktalı çizgi) ve bir artış elde ettiğinizde,

dolayısıyla arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 de artırılır. Böylece, kesimin görünümünde fonksiyon, fonksiyonun başlangıç ​​elemanının seçiminde birbirinden farklı olarak 3 normal dala ayrılır; bir noktada değer.

Kesiğin üst tarafında (-1,1) yer alan fonksiyonun dalını ele alacağız. pozitif değerler ve konturu alın,

___________________

*) Aslında iki kesim yapıldı: ve ancak eksende x, x noktasının sağında =1 fonksiyonu süreklidir: kesimin üstünde, kesimin altında.

şekilde gösterilmiştir. Kıyıda bende var, yani. , kıyıda II (noktayı dolaştıktan sonra z =1 saat yönünde) (yani), yani , çemberler üzerindeki integraller ve açıkçası sıfıra eğilimlidir**) en. Bu nedenle, Cauchy'nin çoklu bağlantılı alanlar için teoremi ile

Hesaplama için 1/ dalının sonsuzdaki noktanın komşuluğundaki genişlemesini kullanırız. Kök işaretinin altından çıkaralım, sonra bu fonksiyonların dallarının (1,) segmentinde pozitif olduğu yeri ve nerede olduğunu buluruz. gerçek eksen.

gerçek eksenin bir bölümünde. Binom formülünü kullanarak ikincisini genişletmek:

seçilen dalın 1/ kalıntısını sonsuzdaki noktada buluyoruz: (1/'deki katsayı) z ters işaretle). Ancak integral, bu kalıntının çarpımına eşittir, yani. nihayet elimizde bir yer var

Örnek 7. İntegrali düşünün.

__________________

**) Örneğin integrali düşünün. Bizde var, yani.

O zaman şöyle koyalım:

Bir dairenin içinde integralin bir kutbu vardır II kesintili sipariş

Elde ettiğimiz kalıntı teoremi ile

Örnek 8. Benzer şekilde integrali hesaplayalım

Değiştirmeden sonra elimizde:

İntegralin kutuplarından biri içeridedir birim çember diğeri ise onun dışındadır çünkü köklerin özellikleri gereği ikinci dereceden denklem ve koşul gereği bu kökler gerçek ve farklıdır. Böylece kalıntı teoremi ile

(9)

çemberin içinde bulunan direk nerede? Çünkü sağ kısım(9) geçerliyse gerekli integrali verir

Tanım. Sonsuzluğa işaret karmaşık düzlem isminde izole tekil nokta açık analitik fonksiyonF(z), Eğer dıştan belli bir yarıçaptaki daire R,

onlar. Çünkü fonksiyonun sonlu tekil noktası yoktur F(z).

Fonksiyonu sonsuzdaki bir noktada incelemek için ikameyi yaparız
İşlev

noktada bir tekilliğe sahip olacak ζ = 0 ve bu nokta izole edilecek çünkü

çemberin içinde
Şarta göre başka tekil noktalar yoktur. Bu konuda analitik olmak

daire (sözde olanlar hariç) ζ = 0), fonksiyon
güçlerde bir Laurent serisinde genişletilebilir ζ . Önceki paragrafta açıklanan sınıflandırma tamamen değişmeden kalır.

Ancak orijinal değişkene dönersek z, sonra pozitif ve negatif kuvvetlerdeki seriler z yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir:

Örnekler. 1.
. Nokta z = Ben − 3. derecenin kutbu.

2.
. Nokta z = ∞ - önemli ölçüde tekil nokta.

§18. Yalıtılmış bir tekil noktada analitik bir fonksiyonun kalıntısı.

Bırakın nokta z 0, tek değerli bir analitik fonksiyonun yalıtılmış tekil noktasıdır

F(z). Öncekine göre, bu noktanın civarında F(z) Laurent serisiyle benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:
Nerede

Tanım.Kesinti analitik fonksiyon F(z) izole edilmiş tekil bir noktada z 0

isminde karmaşık sayı, integralin değerine eşit
fonksiyonun analitik etki alanında yer alan ve kendi içinde tek bir tekil nokta içeren herhangi bir kapalı kontur boyunca pozitif yönde alınan z 0 .

Kesinti Res sembolü ile gösterilir. [F(z),z 0 ].

Düzenli veya çıkarılabilir tekil bir noktadaki kalıntının sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır.

Bir kutupta veya esas olarak tekil bir noktada, kalıntı katsayıya eşittir İle-1 satır Laurent:

.

Örnek. Bir fonksiyonun kalıntısını bulun
.

(Bunu görmek kolay olsun

katsayı İle Terimler ile çarpıldığında -1 elde edilir N= 0:Çözünürlük[ F(z),Ben ] =
}

Fonksiyonların kalıntılarını hesaplamak genellikle mümkündür. basit bir şekilde. Fonksiyona izin ver F(z) dahil. z Birinci dereceden 0 kutbu. Bu durumda, fonksiyonun Laurent serisindeki açılımı şu şekildedir (§16):. Bu eşitliği (z−z 0) ile çarpalım ve 'deki limite gidelim.
. Sonuç olarak şunu elde ederiz: Res[ F(z),z 0 ] =
Yani, içinde

Son örnekte Res[ var F(z),Ben ] =
.

Daha yüksek dereceli kutuplardaki kalıntıları hesaplamak için fonksiyonu çarpın

Açık
(M− kutup sırası) ve elde edilen serinin türevini alın ( M − 1 kez.

Bu durumda elimizde: Res[ F(z),z 0 ]

Örnek. Bir fonksiyonun kalıntısını bulun
z= −1'de.

{Res[ F(z), −1] }

Tanım
Gerçek bir x noktasının komşuluğu 0 Bu noktayı içeren herhangi bir açık aralığa şu ad verilir:
.
burada ε 1 ve ε 2 - keyfi pozitif sayılar.

Epsilon - x noktasının mahallesi 0 x noktasına olan uzaklıktaki noktalar kümesidir 0 ε'dan küçük:
.

x noktasının delinmiş bir mahallesi 0 x noktasının hariç tutulduğu bu noktanın komşuluğudur 0 :
.

Uç noktaların mahalleleri

Başlangıçta bir noktanın komşuluğunun tanımı verildi. Olarak belirlenmiştir. Ancak uygun argümanları kullanarak mahallenin iki sayıya bağlı olduğunu açıkça belirtebilirsiniz:
(1) .
Yani mahalle, açık bir aralığa ait noktalar kümesidir.

ε'yı eşitlemek 1 ε'ya 2 epsilon - mahalleyi alıyoruz:
(2) .
Bir epsilon komşuluğu, uçları eşit uzaklıkta olan açık bir aralığa ait noktalar kümesidir.
Elbette epsilon harfi başka herhangi bir harfle değiştirilebilir ve δ - mahalle, σ - mahalle vb. dikkate alınabilir.

Limit teorisinde, hem küme (1) hem de küme (2)'ye dayalı bir komşuluk tanımı kullanılabilir. Bu mahallelerden herhangi birinin kullanılması eşdeğer sonuçlar verir (bkz.). Ancak tanım (2) daha basittir, dolayısıyla epsilon sıklıkla kullanılır - (2)'den belirlenen bir noktanın komşuluğu.

Sol taraf, sağ taraf ve delikli mahalle kavramları da yaygın olarak kullanılmaktadır. uç noktalar. İşte tanımları.

Bir x gerçel noktasının sol komşuluğu 0 gerçek eksende x noktasının solunda yer alan yarı açık bir aralıktır 0 , noktanın kendisi de dahil:
;
.

Gerçek bir x noktasının sağ taraftaki komşuluğu 0 x noktasının sağında bulunan yarı açık bir aralıktır 0 , noktanın kendisi de dahil:
;
.

Uç noktaların delinmiş mahalleleri

x noktasının delinmiş mahalleleri 0 - bunlar, noktanın hariç tutulduğu mahallelerle aynı mahallelerdir. Mektubun üzerinde bir daire ile gösterilirler. İşte tanımları.

x noktasının delinmiş mahallesi 0 :
.

Delinmiş epsilon - x noktasının mahallesi 0 :
;
.

Delinmiş sol mahalle:
;
.

Sağ tarafta delinmiş:
;
.

Sonsuzdaki noktaların komşulukları

Uç noktaların yanı sıra, sonsuzdaki noktaların komşulukları da tanıtılmıştır. Sonsuzda gerçek sayı olmadığından hepsi deliklidir (sonsuzdaki nokta, sonsuzdaki limit olarak tanımlanır) büyük dizi).

.
;
;
.

Sonsuzdaki noktaların komşuluklarını şu şekilde belirlemek mümkündü:
.
Ancak M yerine kullanırız, böylece daha küçük ε'ya sahip mahalle, uç nokta komşuluklarında olduğu gibi, daha büyük ε'ya sahip mahallenin bir alt kümesi olur.

Mahalle mülkü

Daha sonra, bir noktanın (sonlu veya sonsuz) komşuluğunun bariz özelliğini kullanıyoruz. Bu, noktaların mahallelerinin olduğu gerçeğinde yatmaktadır. daha küçük değerlerε, büyük ε değerlerine sahip mahallelerin alt kümeleridir. İşte daha katı formülasyonlar.

Son veya sonsuz uzaklıkta bir nokta olsun. Bırak gitsin .
Daha sonra
;
;
;
;
;
;
;
.

Bunun tersi de doğrudur.

Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limit tanımlarının eşdeğerliği

Şimdi Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini belirlerken hem keyfi bir komşuluk hem de uçları eşit uzaklıkta olan bir komşuluk kullanabileceğinizi göstereceğiz.

Teorem
Keyfi komşuluklar ve eşit uzaklıkta uçları olan komşuluklar kullanan bir fonksiyonun limitinin Cauchy tanımları eşdeğerdir.

Kanıt

Hadi formüle edelim Bir fonksiyonun limitinin ilk tanımı.
a sayısı, bir fonksiyonun bir noktadaki (sonlu veya sonsuz uzaklıktaki) limitidir. pozitif sayılar a noktasının karşılık gelen mahallesine ait olan ve hepsine bağlı olarak sayılar vardır:
.

Hadi formüle edelim bir fonksiyonun limitinin ikinci tanımı.
Herhangi bir pozitif sayı için buna bağlı bir sayı varsa, a sayısı bir fonksiyonun bir noktadaki limitidir:
.

Kanıt 1 ⇒ 2

Bir a sayısının 1. tanıma göre bir fonksiyonun limiti olması durumunda, 2. tanıma göre de bir limit olduğunu kanıtlayalım.

İlk tanımın karşılanmasına izin verin. Bu, ve fonksiyonlarının olduğu anlamına gelir; dolayısıyla herhangi bir pozitif sayı için aşağıdakiler geçerlidir:
nerede .

Sayılar keyfi olduğundan, onları eşitliyoruz:
.
Daha sonra, ve gibi işlevler vardır, dolayısıyla aşağıdaki tutmaların tümü için:
nerede .

Şuna dikkat edin.
Pozitif sayıların en küçüğü ve olsun. Daha sonra yukarıda belirtilenlere göre,
.
Eğer öyleyse.

Yani, böyle bir fonksiyon bulduk, yani aşağıdaki durumların tümü için:
nerede .
Bu, ikinci tanıma göre a sayısının fonksiyonun limiti olduğu anlamına gelir.

Kanıt 2 ⇒ 1

Eğer a sayısı 2. tanıma göre bir fonksiyonun limiti ise, 1. tanıma göre de bir limit olduğunu kanıtlayalım.

İkinci tanım karşılansın. İki pozitif sayı alalım ve . Ve bu onların en küçüğü olsun. O halde, ikinci tanıma göre, öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi bir pozitif sayı ve tümü için, bundan şu sonuç çıkar:
.

Ama göre . Bu nedenle, bundan sonra gelenlerden
.

Daha sonra herhangi bir pozitif sayı ve için iki sayı bulduk, yani hepsi için:
.

Bu, ilk tanıma göre a sayısının bir limit olduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Kuyu matematiksel analiz. Cilt 1. Moskova, 2003.

Bu noktanın komşuluğunu orijin merkezli çemberlerin dış kısmı olarak tanımladık: sen (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Nokta z = ∞ analitik fonksiyonun yalıtılmış tekil noktasıdır w = F (z ), eğer bu noktanın bazı komşuluklarında bu fonksiyonun başka tekil noktaları yoksa. Bu tekil noktanın tipini belirlemek için değişken değişikliği yaparız ve nokta z = ∞ noktaya gider z 1 = 0, fonksiyon w = F (z ) formunu alacak . Tekil nokta türü z = ∞ fonksiyonları w = F (z ) tekil noktanın tipini arayacağız z 1 = 0 fonksiyon w = φ (z 1). Fonksiyonun genişletilmesi ise w = F (z ) derece olarak z bir noktanın yakınında z = ∞, yani yeterince büyük modül değerlerinde z , formu var, ardından değiştiriliyor z tarihinde alacağız. Böylece değişkenin bu şekilde değişmesiyle Laurent serisinin ana ve düzgün kısımları yer değiştirir ve tekil noktanın türü de değişir. z = ∞ Laurent serisindeki fonksiyonun kuvvetler cinsinden açılımının doğru kısmındaki terimlerin sayısıyla belirlenir z bir noktanın yakınında z = 0. Bu nedenle
1 puan z = ∞, eğer bu genişletme doğru kısmı içermiyorsa çıkarılabilir bir tekil noktadır (belki de terim hariç) A 0);
2. Nokta z = ∞ - kutup N -inci sıra eğer sağ kısım bir terimle bitiyorsa Bir · zn ;
3. Nokta z = ∞, eğer normal kısım sonsuz sayıda terim içeriyorsa, esasen tekil bir noktadır.

Bu durumda, değere göre tekil nokta türlerine ilişkin kriterler geçerli kalır: z= ∞ çıkarılabilir bir tekil nokta ise, bu sınır mevcuttur ve eğer z= ∞ bir kutup ise bu limit sonsuzdur, eğer z= ∞ esas itibariyle tekil bir nokta ise bu sınır mevcut değildir (ne sonlu ne de sonsuz).

Örnekler: 1. F (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Fonksiyon zaten kuvvetler cinsinden bir polinomdur z , en yüksek derece altıncıdır, dolayısıyla z
Aynı sonuç başka bir yolla da elde edilebilir. Değiştireceğiz z o zaman . İşlev için φ (z 1 puan z 1 = 0 altıncı dereceden bir kutuptur, dolayısıyla F (z ) nokta z = ∞ - altıncı derecenin kutbu.
2. . Bu işlev için bir güç genişletmesi elde edin z zor, öyleyse bulalım: ; limit mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla nokta z
3. . Güç genişletmenin doğru kısmı z sonsuz sayıda terim içerir, yani z = ∞ aslında tekil bir noktadır. Aksi takdirde bu gerçek, var olmadığı gerçeğinden yola çıkılarak tespit edilebilir.

Sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada bir fonksiyonun kalıntısı.

Son tekil nokta için A , Nerede γ - dışında başka hiçbir devre içermeyen bir devre A , tekil noktalar, onun tarafından sınırlanan ve tekil noktayı içeren alan solda (saat yönünün tersine) kalacak şekilde geçilir.

Benzer şekilde tanımlayalım: , burada Γ - böyle bir mahalleyi sınırlayan konturdur sen (∞, R ) puan z = ∞, başka tekil noktalar içermez ve bu komşuluğun solda (yani saat yönünde) kalması için geçilebilir. Bu nedenle, fonksiyonun tüm diğer (son) tekil noktaları Γ − konturunun içinde yer almalıdır. Γ − konturunu geçme yönünü değiştirelim: . Kalıntılar hakkındaki ana teoreme göre Toplamanın tüm sonlu tekil noktalar üzerinde gerçekleştirildiği yer. Bu nedenle nihayet

,

onlar. sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada kalıntı toplamına eşit ters işaretle alınan tüm sonlu tekil noktalar üzerindeki kalıntılar.

Sonuç olarak, var toplam toplam teoremi: eğer fonksiyon w = F (z ) düzlemin her yerinde analitiktir İLE , nın istisnası ile sonlu sayı tekil noktalar z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , bu durumda tüm sonlu tekil noktalardaki kalıntıların ve sonsuzdaki kalıntının toplamı sıfıra eşittir.

şunu unutmayın: z = ∞ çıkarılabilir tekil bir noktaysa, buradaki kalıntı sıfırdan farklı olabilir. Yani fonksiyon için açıkçası; z = 0 bu fonksiyonun tek sonlu tekil noktasıdır, dolayısıyla , buna rağmen, yani. z = ∞ çıkarılabilir bir tekil noktadır.