Sonsuzdaki noktalar ve özellikleri. Sonsuzdaki tekil nokta

Her şeyden önce, projektif düzlemin Öklid düzleminden farklı olarak sonsuz bir genişlemeye sahip olmadığını belirtelim. Bir yandan aralarındaki farkın ne olduğunu, diğer yandan birbirleriyle ilişkilerinin nasıl olduğunu öğrenelim. Bunu yapmak için projektif geometride Öklid düzleminin hangi konumlarının kullanıldığını açıklayalım. Projektif geometri kendi aksiyom sistemine dayanmaktadır. Her ne kadar aksiyomatik bir temele dayanan mantıksal yapılar harika bir örnek olsa da matematiksel yöntem ancak aynı zamanda Öklid geometrisinden de ayrılmış olduğundan, yansıtmalı geometrinin böyle bir sunumu fazlasıyla soyuttur. Bu nedenle, daha fazla spesifiklik ve netlik sağlamak için Öklid düzlemi modelinden yola çıkılması tavsiye edilir.

Öklid düzleminde bir doğrunun her iki yönde de süresiz olarak devam ettiği ve doğrunun noktaları ile tüm gerçel sayılar arasında, doğru üzerindeki noktaların doğal sıralamasının karşılık geldiği bire bir yazışmanın kurulabileceği bilinmektedir. sayıların sırasına göre değil, büyüklüklerine göre.

Şimdi “sol ve sağ” düz çizgiyi aynı şekilde tamamlayalım. koşullu nokta buna sonsuzdaki nokta diyoruz.

Şüphenin ortaya çıktığı açık - var olmayan noktaların gerçekliğinden bahsetmek mümkün mü? Ancak, modern teoriler bu sıklıkla olur. Yani, örneğin, aralarında olmasına rağmen gerçek sayılar hayır süresiz büyük sayılar Matematiksel analizde doğruluk sembolü sayı olarak değil, sınırsız büyümeyi belirtmek için kullanılır. (Aynı anlamda sembol şu anlama gelir: trigonometrik fonksiyonlar.) Bir düzgün doğruya sonsuzda bir nokta eklendikten sonra “tamamlanmış” doğru kapanmış olur. Şimdi her sıradan düz çizgiye sonsuzda bir nokta ekleyelim ve doğrular paralel olduğunda onlara eklenen noktaların çakıştığını, ancak doğrular paralel olmadığında sonsuzdaki noktalarının farklı olduğunu kabul edelim.

Öklid düzleminde kesişen iki doğru sıradan bir noktada kesişir ve bu doğruların sonsuzdaki noktaları çakışmaz. Bu nedenle bu konuda yeni geometri Paralel çizgi yoktur, her iki çizgi gereklidir

bir noktada kesişir. Sıradan geometride birbirine paralel bir düz çizgi ailesi, sonsuzda bir ortak noktaya sahipken, farklı yönlerdeki düz çizgiler, sonsuzda farklı noktalara sahiptir. Bu bakımdan sonsuz uzak noktalar sonsuz sayıda.

Bu noktaların sonsuzdaki kümesi, yine tanım gereği, sonsuzda düz bir çizgi olarak adlandırılan bir çizgiyi oluşturur.

Böylece Öklid düzlemine sonsuzda bir düz çizginin eklendiği bir geometri elde ederiz.

Aslında bu geometri Öklid geometrisinden henüz çok farklı değildir. İki düz çizginin paralel olduğu önermesi yerine, bunların sonsuzda bir noktada kesiştiği önermesi ortaya atılmıştır.

Projektif geometride kabul edilen temel aksiyomlar, iki noktanın bir doğruyu tanımladığını (her iki nokta da sonsuzda ise o zaman doğruyu sonsuza kadar tanımlarlar) ve iki doğrunun her zaman bir noktada kesiştiğini belirtir. Ve bu iki aksiyomun hükümleri çok önemli olmasına rağmen , ancak ayırdığımız sürece

bazı noktaları sonsuzda tek bir düz çizgiye dönüştürdüğümüzde, pratikte Öklid geometrisinin özünü değiştirmiyoruz ve geometriye yeni bir şey katmıyoruz.

2-spin yöntemlerinin en etkili uygulama alanlarından birinin görelilik teorisindeki asimptotik problemlerin incelenmesi olduğu ortaya çıktı. Bu tür sorunlara bir örnek, önemli, asimptotik olarak düz bir uzay-zaman ve yerçekimi radyasyonunda bulunan toplam enerji-momentum miktarını belirlemeye hizmet edebilir. Bu durumda spinor yöntemleri, metriğin uyumlu dönüşümü yoluyla "sonsuzluğun sonlu hale getirildiği" yöntemle kombinasyon halinde özellikle etkilidir. Bu yöntemle, orijinal fiziksel metriği, uzay-zaman metriği ile uyumlu olarak ilişkili yeni, "fiziksel olmayan" bir metrikle değiştirerek, dönüştürüyoruz.

nerede - oldukça pürüzsüz ve her yerde pozitif fonksiyon Metrik tensör üzerinde tanımlanan ve onun ters tensörü aşağıdaki formüllere göre dönüştürülür.

Eğer uygun asimptotik yapıya sahipse ve uygun bir konformal faktör seçilirse, o zaman bazı sınır yüzeyleri 3 "bağlanabilir" [bu tanım "kenar" şeklinde okunur - "senaryo I"in kısaltmasıdır]. Bu yüzey, “fiziksel olmayan” metriğin sınırda yer alan yeni noktalara yozlaşmaya yol açmadan genişletilebileceği şekilde tanıtılmıştır. bir ölçüde pürüzsüzlük. J fonksiyonu uygun bir pürüzsüzlük derecesi ile de devam ettirilebilir, ancak yüzeyde kaybolur. Bu, fiziksel metriğin Y sınırında sonsuz olması gerektiği ve bu nedenle ona genişletilemeyeceği anlamına gelir. Dolayısıyla, fiziksel ölçümler açısından yeni noktalar (yani yüzeydeki noktalar yüzeyden sonsuz derecede uzaktadır)

onlara bitişik noktalar. Fizikte bu, “sonsuzdaki noktalara” karşılık gelir.

Bu tür bir uzay-zamana bir yüzey eklemek bize, sınırı olan düzgün bir manifold verir; bunu ve sembolüyle belirteceğiz.

Sınır sembolü manifoldun iç bölgesinin bir sembolüdür). Önerilen yaklaşımın avantajı artık güçlü uygulamalara uygulanabilmesidir. yerel yöntemler Böylece uzay-zamanın asimptotikleri hakkında bilgi sağlayacak diferansiyel geometri ve spinor cebiri. en önemli kanunlar Fiziksel ve geometrik niceliklerin azalması, örneğin asimptotik olarak düz uzay-zamandaki radyasyonla ilgili sorularda, sınıra kadar karmaşık geçişlere gerek yoktur. Ve asimptotik Öklidliğin tanımı genel teori görelilik artık uygun bir "koordinatsız" biçimde verilebilir. Konformal yöntemler, görelilik teorisi için çok uygundur çünkü çoğu konformal olarak değişmezdir: kütlesiz denklemler serbest alan, Weyl konformal tensörü, izotropik jeodezikler, izotropik hiperyüzeyler, göreli nedensellik ve (özellikle Minkowski uzayı durumunda) büküm teorisi. Önerilen yöntem, kullanılan yönteme benzer. kapsamlı analizler Bir Riemann küresi elde etmek için Argand düzlemine bir “sonsuzluk noktası” eklenir (Bölüm 1, § 2) ve projektif geometride kullanılan yöntem.

Açık koordinat biçiminde açıklama

Öncelikle Minkowski uzayı M için konformal sonsuzluğu oluşturma prosedürünü ele alalım. Bu durumda fiziksel metrik küresel koordinatlar benziyor

Kolaylık sağlamak için iki zaman parametresi sunuyoruz: gecikme ve ilerleme.

Uygun bir faktör seçme özgürlüğü oldukça büyüktür. Bununla birlikte, bizi burada ilgilendiren uzay-zaman durumunda (yani asimptotik olarak basit), genel değerlendirmelerden [bkz. formül (9.7.22)'den sonraki metin] fonksiyon, A ışınının afin parametresinin tersi olarak herhangi bir ışın boyunca (hem geçmişte hem de gelecekte) sıfıra yönelecek şekilde seçilmelidir (yani, boyunca ışın). Herhangi bir hiperyüzey, değerleri 0 olan ve aynı zamanda sabit kalan ışınlardan (izotropik düz çizgiler) inşa edilen, geleceğin ışık konisidir. Koordinat, bu radyal ışınların her birinin geleceği için afin parametre rolünü oynar. Benzer şekilde koordinat da bu ışınların geçmişine ilişkin afin bir parametre görevi görür. Bu nedenle, ışının üzerinde ve üzerinde koşulların sağlanmasını talep etmemiz gerekir. Eğer fonksiyonun sonlu uzay-zaman parçaları üzerinde de düzgün olmasını istiyorsak, o zaman seçim doğal olarak ortaya çıkar.

(faktör 2 daha sonra kolaylık olması açısından tanıtılmıştır) ve ardından

İşlevin diğer birçok biçimi de geçerlidir, ancak birazdan göreceğimiz gibi bu biçimin özellikle kullanışlı olduğu ortaya çıkıyor.

Böylece “sonsuzdaki noktalarımız” karşılık gelir nihai değerler koordinatlar, u ve o parametrelerle değiştirilmelidir;

Değişkenlerin değişim sınırları Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 9.1'de her nokta yarıçaplı bir 2-küreyi temsil etmektedir. Dikey çizgi uzaysal orijine karşılık gelir ve yalnızca bir koordinat tekilliğini temsil eder. Bu çizgideki (ve her yerdeki) uzay-zamanın kendisi elbette tekil değildir. Eğik çizgiler Minkowski uzayının (izotropik) sonsuzluğunu (sırasıyla sembollerle gösterilir) temsil eder (çünkü bu çizgiler değerlere karşılık gelir). Ancak metrik (9.1.5) bu çizgiler üzerinde açıkça ideal olarak düzenlidir. -zaman

Pirinç. 9.1. M uzayına karşılık gelen uzay bölgesi. Düz çizgi, bunun küresel simetri ekseni olduğu anlamına gelir.

ve metriği bu bölgelerin dışında tekil olmayacaktır. Dikey çizgi aynı zamanda düz çizgiyle tamamen aynı türde bir koordinat tekilliğidir. Dikey şeridin tamamı uzay-zamanı tanımlamak için kullanılabilir; bunun küresel yapısı, uzay benzeri bir 3-küre ile sonsuz bir zaman benzeri çarpımına karşılık gelir. çizgi (“Einstein'ın statik evreni”). Bunu doğrulamak için yeni koordinatlar seçelim

Bu metriğin içerdiği kısım diş telleri, birim 3-kürenin metriğidir.

Uzay-zamanın orijinal Minkowski uzayına uygun kısmı, noktaların ışık konileri arasında yer alan uzay olarak düşünülebilir. Bir noktanın koordinatları vardır ve bir noktanın koordinatları vardır. Bu kısım etrafını “sarar”.

Pirinç. 9.2. Einstein silindiri üzerinde M uzayına karşılık gelen bölge.

ve "arka" tarafta koordinatlarla tek bir noktada kapanır. a noktasında bunun, noktanın 2-küre olarak değil, tek bir nokta olarak değerlendirilmesi gerektiği anlamına geldiğine dikkat edin. Söz konusu durum Şekil 2'de gösterilmektedir. 9.2'de iki boyut atılmıştır. Minkowski iki uzayı karenin iç kısmına uygundur (45° eğik olarak gösterilmiştir). Bu kare, Einstein'ın statik evreninin iki boyutlu bir versiyonunu temsil eden bir silindirin etrafını sarmaktadır. Eksik ölçümlerin dikkate alınması hiçbir şeyi önemli ölçüde değiştirmez. Bir noktanın yakınında bizi ilgilendiren bölge, o noktayla ilişkili gelecekteki ışık konisi içindedir. Bu ışık konisi (yani, noktadan geleceğe giden ışınlar tarafından "süpürülen" nokta) noktanın arka tarafına odaklanır. Einstein'ın evreni bir noktada (uzay ilişkisinde bu noktaya taban tabana zıttır. Bu noktaya yakın, bizi ilgilendiren bölge (Minkowski uzayı), noktanın gelecekteki ışık konisinden, yine uzaysal konumdan uzay benzeri yönlerde uzanır. bir noktaya odaklanılır.

Bu noktanın komşuluğunu orijin merkezli çemberlerin dış kısmı olarak tanımladık: sen (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Nokta z = ∞ yalıtılmış bir tekil noktadır analitik fonksiyon w = F (z ), eğer bu noktanın bazı komşuluklarında bu fonksiyonun başka tekil noktaları yoksa. Bu tekil noktanın tipini belirlemek için değişken değişikliği yaparız ve nokta z = ∞ noktaya gider z 1 = 0, fonksiyon w = F (z ) formunu alacak . Tekil nokta türü z = ∞ fonksiyonları w = F (z ) tekil noktanın tipini arayacağız z 1 = 0 fonksiyon w = φ (z 1). Fonksiyonun genişletilmesi ise w = F (z ) derece olarak z bir noktanın yakınında z = ∞, yani yeterince büyük modül değerlerinde z , formu var, ardından değiştiriliyor z tarihinde alacağız. Böylece değişkenin bu şekilde değişmesiyle Laurent serisinin ana ve düzgün kısımları yer değiştirir ve tekil noktanın türü de değişir. z = ∞ Laurent serisindeki fonksiyonun kuvvetler cinsinden açılımının doğru kısmındaki terimlerin sayısıyla belirlenir z bir noktanın yakınında z = 0. Bu nedenle
1 puan z = ∞ - çıkarılabilir tekil nokta, eğer bu genişletmede doğru kısım eksikse (terim hariç) A 0);
2. Nokta z = ∞ - kutup N -inci sıra eğer sağ kısım bir terimle bitiyorsa Bir · zn ;
3. Nokta z = ∞, eğer normal kısım sonsuz sayıda terim içeriyorsa, esasen tekil bir noktadır.

Bu durumda, değere göre tekil nokta türlerine ilişkin kriterler geçerli kalır: z= ∞ çıkarılabilir bir tekil nokta ise, bu sınır mevcuttur ve eğer z= ∞ bir kutup ise bu limit sonsuzdur, eğer z= ∞ esas itibariyle tekil bir nokta ise bu sınır mevcut değildir (ne sonlu ne de sonsuz).

Örnekler: 1. F (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Fonksiyon zaten kuvvetler cinsinden bir polinomdur z , en yüksek derece altıncıdır, dolayısıyla z
Aynı sonuç başka bir yolla da elde edilebilir. Değiştireceğiz z o zaman . İşlev için φ (z 1 puan z 1 = 0 altıncı dereceden bir kutuptur, dolayısıyla F (z ) nokta z = ∞ - altıncı derecenin kutbu.
2. . Bu işlev için bir güç genişletmesi elde edin z zor, öyleyse bulalım: ; limit mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla nokta z
3. . Güç genişletmenin doğru kısmı z sonsuz sayıda terim içerir, yani z = ∞ aslında tekil bir noktadır. Aksi takdirde bu gerçek, var olmadığı gerçeğinden yola çıkılarak tespit edilebilir.

Sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada bir fonksiyonun kalıntısı.

Son tekil nokta için A , Nerede γ - dışında başka hiçbir devre içermeyen bir devre A , tekil noktalar, onun tarafından sınırlanan ve tekil noktayı içeren alan solda (saat yönünün tersine) kalacak şekilde geçilir.

Benzer şekilde tanımlayalım: , burada Γ - böyle bir mahalleyi sınırlayan konturdur sen (∞, R ) puan z = ∞, başka tekil noktalar içermez ve bu komşuluğun solda (yani saat yönünde) kalması için geçilebilir. Bu nedenle, fonksiyonun tüm diğer (son) tekil noktaları Γ − konturunun içinde yer almalıdır. Γ − konturunu geçme yönünü değiştirelim: . Kalıntılar hakkındaki ana teoreme göre Toplamanın tüm sonlu tekil noktalar üzerinde gerçekleştirildiği yer. Bu nedenle nihayet

onlar. sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada kalıntı toplamına eşit ters işaretle alınan tüm sonlu tekil noktalar üzerindeki kalıntılar.

Sonuç olarak, var toplam toplam teoremi: eğer fonksiyon w = F (z ) düzlemin her yerinde analitiktir İLE sonlu sayıda tekil nokta hariç z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , bu durumda tüm sonlu tekil noktalardaki kalıntıların ve sonsuzdaki kalıntının toplamı sıfıra eşittir.

şunu unutmayın: z = ∞ çıkarılabilir tekil bir noktaysa, buradaki kalıntı sıfırdan farklı olabilir. Yani fonksiyon için açıkçası; z = 0 bu fonksiyonun tek sonlu tekil noktasıdır, dolayısıyla , buna rağmen, yani. z = ∞ çıkarılabilir bir tekil noktadır.

Tanım
Alt sıra (βn) sonsuz büyük dizi denir eğer herhangi biri içinse, keyfi olarak çok sayıda M-öyle bir şey var doğal sayı N M, M'ye bağlıdır, öyle ki tüm doğal n > N M için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
|βn | >M.
Bu durumda yazıyorlar
.
Veya adresinde.
Sonsuza doğru yöneldiğini söylüyorlar ya da sonsuza yakınsar.

Eğer, bir N sayısından başlayarak 0 , O
( artı sonsuza yakınsar).
Eğer o zaman
( eksi sonsuza yakınsar).

Bu tanımları varoluş ve evrensellik mantıksal sembollerini kullanarak yazalım:
(1) .
(2) .
(3) .

(2) ve (3) limitli diziler sonsuzluğun özel durumlarıdır büyük dizi(1). Bu tanımlardan, eğer bir dizinin limiti artı veya eksi sonsuza eşitse, o zaman aynı zamanda sonsuza da eşit olacağı sonucu çıkar:
.
Elbette bunun tersi doğru değil. Bir dizinin üyeleri değişen işaretlere sahip olabilir. Bu durumda limit sonsuza eşit olabilir ancak belirli bir işareti yoktur.

Ayrıca, eğer bazı özellikler limiti sonsuza eşit olan rastgele bir dizi için geçerliyse, aynı özelliğin limiti artı veya eksi sonsuza eşit olan bir dizi için de geçerli olduğunu unutmayın.

Birçok matematik ders kitabında sonsuz büyük bir dizinin tanımı M sayısının pozitif olduğunu belirtir: M > 0 . Ancak bu gereklilik gereksizdir. İptal edilirse hiçbir çelişki ortaya çıkmaz. Sadece küçük veya negatif değerler bizi ilgilendirmiyor. Biz keyfi olarak büyük dizilerin davranışıyla ilgileniyoruz. pozitif değerler M. Bu nedenle, ihtiyaç ortaya çıkarsa, M önceden herhangi biri tarafından aşağıdan sınırlanabilir. verilen numara

a, yani M > a olduğunu varsayalım. ε - mahalleyi ne zaman tanımladık? bitiş noktası > 0 , o zaman gereksinim ε önemli bir şey. Şu tarihte: negatif değerler

eşitsizliğin hiçbir şekilde karşılanması mümkün değildir.

Sonsuzdaki noktaların komşulukları

Sonlu limitleri göz önünde bulundurduğumuzda bir noktanın komşuluğu kavramını ortaya attık. Bir bitiş noktasının komşuluğunun bu noktayı içeren açık bir aralık olduğunu hatırlayın. Ayrıca sonsuzdaki noktaların komşulukları kavramını da tanıtabiliriz.
M keyfi bir sayı olsun."Sonsuzluk" noktasının komşuluğu
, , kümesi denir."Sonsuzluk" noktasının komşuluğu
"Artı sonsuzluk" noktasının komşuluğu"Sonsuzluk" noktasının komşuluğu

"Eksi sonsuzluk" noktasının yakınında
(4) ,
Kesin olarak konuşursak, "sonsuzluk" noktasının komşuluğu kümedir 1 nerede M 2 ve M

Artık bir dizinin limitinin hem sonlu hem de sonlu için geçerli olan birleşik bir tanımını verebiliriz. sonsuz sınırlara.

Sıra sınırının evrensel tanımı.
Bir a noktası (sonlu veya sonsuzda), eğer bu noktanın herhangi bir komşuluğu için, dizinin sayılarla birlikte tüm elemanları bu mahalleye ait olacak şekilde bir doğal sayı varsa, bu dizinin limitidir.

Dolayısıyla, eğer bir limit mevcutsa, o zaman a noktasının komşuluğu dışında yalnızca son sayı bir dizinin üyeleri veya boş küme. Bu şart gerekli ve yeterlidir. Bu özelliğin kanıtı tam olarak aynıdır sonlu sınırlar.

Yakınsak bir dizinin komşuluk özelliği
Bir a noktasının (sonlu veya sonsuzda) dizinin limiti olabilmesi için, bu noktanın herhangi bir komşuluğunun dışında dizinin sonlu sayıda teriminin veya boş bir kümenin bulunması gerekli ve yeterlidir.
Kanıt .

Ayrıca bazen ε - sonsuzdaki noktaların komşulukları kavramı da tanıtılmaktadır.
Sonlu bir a noktasının ε-komşuluğunun küme olduğunu hatırlayın.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım. ε a noktasının komşuluğunu göstersin. Daha sonra bitiş noktası için,
.
Sonsuzdaki noktalar için:
;
;
.
ε - mahalle kavramlarını kullanarak başka bir şey verebiliriz evrensel çözünürlüklü dizi sınırı:

Bir a noktası (terminal veya sonsuzda) herhangi bir durum için dizinin limitidir. pozitif sayı ε > 0 ε'ya bağlı olarak bir N ε doğal sayısı vardır, öyle ki tüm n > N ε sayıları için x n terimleri a noktasının ε-komşuluğuna aittir:
.

Varlık ve evrenselliğin mantıksal simgeleri kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
.

Sonsuz büyük dizilere örnekler

Önce üç basit benzer örneğe bakacağız, sonra daha karmaşık bir örneği çözeceğiz.

örnek 1

.
Sonsuz büyük bir dizinin tanımını yazalım:
(1) .
Bizim durumumuzda
.

Sayıları ve eşitsizliklerle bağlayarak tanıtıyoruz:
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre eğer ve ise
.
Bu eşitsizliğin herhangi bir n için geçerli olduğuna dikkat edin. Bu nedenle şu şekilde seçim yapabilirsiniz:
;
.

Yani herhangi biri için eşitsizliği sağlayan bir doğal sayı bulabiliriz. O zaman herkes için
.
Bu demektir . Yani dizi sonsuz büyüklüktedir.

Örnek 2

Sonsuz büyük bir dizinin tanımını kullanarak şunu gösterin:
.

(2) .
Verilen dizinin genel terimi şu şekildedir:
.

Numaraları girin ve:
.
.

O zaman herkes için eşitsizliği sağlayan bir doğal sayı bulunabilir, yani herkes için,
.
Bu demektir .

Örnek 3

Sonsuz büyük bir dizinin tanımını kullanarak şunu gösterin:
.

Eksi sonsuza eşit bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
(3) .
Verilen dizinin genel terimi şu şekildedir:
.

Numaraları girin ve:
.
Buradan açıkça görülüyor ki eğer ve ise o zaman
.

Herhangi biri için eşitsizliği sağlayan bir doğal sayı bulmak mümkün olduğundan, o zaman
.

Verilen N olarak aşağıdaki eşitsizliği karşılayan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.

Örnek 4

Sonsuz büyük bir dizinin tanımını kullanarak şunu gösterin:
.

Bunu yazacağız ortak üye diziler:
.
Artı sonsuza eşit bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
(2) .

n bir doğal sayı olduğundan, n = 1, 2, 3, ... , O
;
;
.

Sayıları ve M'yi eşitsizliklerle bağlayarak tanıtıyoruz:
.
Buradan açıkça görülüyor ki eğer ve ise o zaman
.

Yani herhangi bir M sayısı için eşitsizliği sağlayan bir doğal sayı bulabiliriz. O zaman herkes için
.
Bu demektir .

Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Kuyu matematiksel analiz. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Tanım. Sonsuzluğa işaret karmaşık düzlem isminde izole tekil nokta benzersiz analitik fonksiyon F(z), Eğer dıştan belli bir yarıçaptaki daire R,

onlar. Çünkü fonksiyonun sonlu tekil noktası yoktur F(z).

Fonksiyonu sonsuzdaki bir noktada incelemek için ikameyi yaparız
İşlev

noktada bir tekilliğe sahip olacak ζ = 0 ve bu nokta izole edilecek çünkü

çemberin içinde
Şarta göre başka tekil noktalar yoktur. Bu konuda analitik olmak

daire (sözde olanlar hariç) ζ = 0), fonksiyon
güçlerde bir Laurent serisinde genişletilebilir ζ . Önceki paragrafta açıklanan sınıflandırma tamamen değişmeden kalır.

Ancak orijinal değişkene dönersek z, sonra pozitif ve negatif kuvvetlerdeki seriler z yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir:

Örnekler. 1.
. Nokta z = Ben − 3. derecenin kutbu.

2.
. Nokta z = ∞ − esas olarak tekil nokta.

§18. Yalıtılmış bir tekil noktada analitik bir fonksiyonun kalıntısı.

Bırakın nokta z 0, tek değerli bir analitik fonksiyonun yalıtılmış tekil noktasıdır

F(z). Öncekine göre, bu noktanın civarında F(z) Laurent serisiyle benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:
Nerede

Tanım.Kesinti analitik fonksiyon F(z) izole edilmiş tekil bir noktada z 0

isminde karmaşık sayı, integralin değerine eşit
fonksiyonun analitik etki alanında yer alan ve kendi içinde tek bir tekil nokta içeren herhangi bir kapalı kontur boyunca pozitif yönde alınan z 0 .

Kesinti Res sembolü ile gösterilir. [F(z),z 0 ].

Düzenli veya çıkarılabilir tekil bir noktadaki kalıntının sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır.

Bir kutupta veya esas olarak tekil bir noktada, kalıntı katsayıya eşittir İle-1 satır Laurent:

Örnek. Bir fonksiyonun kalıntısını bulun
.

(Bunu görmek kolay olsun

katsayı İle Terimler ile çarpıldığında -1 elde edilir N= 0:Çözünürlük[ F(z),Ben ] =
}

Fonksiyonların kalıntılarını hesaplamak genellikle mümkündür. basit bir şekilde. Fonksiyona izin ver F(z) dahil. z Birinci dereceden 0 kutbu. Bu durumda, fonksiyonun Laurent serisindeki açılımı şu şekildedir (§16):. Bu eşitliği (z−z 0) ile çarpalım ve 'deki limite gidelim.
. Sonuç olarak şunu elde ederiz: Res[ F(z),z 0 ] =
Yani, içinde