Eşdeğer matrisler. Rastgele doğrusal denklem sistemlerini çözme

Eşdeğer matrisler

Yukarıda bahsedildiği gibi, s mertebesindeki bir matrisin minörü, seçilen herhangi bir s satır ve s sütununun kesişiminde yer alan orijinal matrisin elemanlarından oluşan bir matrisin determinantıdır.

Tanım. Mertebesi mn olan bir matriste, r mertebesinden bir minör, eğer değilse temel olarak adlandırılır. sıfıra eşit ve r+1 ve daha yüksek mertebeden tüm küçükler sıfıra eşittir veya hiç mevcut değildir, yani. r, m veya n'den küçük olanıyla eşleşir.

Bir matrisin bir temel minör içeren sütunlarına ve satırlarına temel olanlar da denir.

Bir matrisin aynı sıraya sahip birkaç farklı temel minörü olabilir.

Tanım. Bir matrisin temel minörünün sırasına matrisin rütbesi denir ve Rg A ile gösterilir.

Çok önemli özellik Temel matris dönüşümlerinin özelliği, matrisin sıralamasını değiştirmemeleridir.

Tanım. Temel bir dönüşümün sonucu olarak elde edilen matrislere eşdeğer denir.

Eşit matrisler ile eşdeğer matrislerin tamamen farklı kavramlar olduğunu belirtmek gerekir.

Teorem. En büyük sayı Bir matristeki doğrusal bağımsız sütunlar, doğrusal bağımsız satırların sayısına eşittir.

Çünkü temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez, bu durumda matrisin sırasını bulma süreci önemli ölçüde basitleştirilebilir.

Örnek. Matrisin rütbesini belirleyin.

2. Örnek: Matrisin rütbesini belirleyin.

Temel dönüşümleri kullanarak orijinaline eşdeğer ancak daha küçük boyutlu bir matris bulmak mümkün değilse, o zaman matrisin sırasını bulmaya mümkün olan en yüksek mertebeden küçükleri hesaplayarak başlamalısınız. Yukarıdaki örnekte bunlar 3. dereceden küçüklerdir. Bunlardan en az biri sıfıra eşit değilse, matrisin sırası bu minörün sırasına eşittir.

Küçük temele dayalı teorem.

Teorem. Rastgele bir A matrisinde, her bir sütun (satır), temel minörün bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.

Yani sıralama keyfi matris A eşittir maksimum sayı bir matristeki doğrusal olarak bağımsız satırlar (sütunlar).

A bir kare matrisse ve det A = 0 ise, sütunlardan en az biri geri kalan sütunların doğrusal birleşimidir. Aynı şey dizeler için de geçerlidir. Bu ifade mülkten kaynaklanmaktadır. doğrusal bağımlılık determinantı sıfıra eşit.

Rastgele doğrusal denklem sistemlerini çözme

Yukarıda belirtildiği gibi, matris yöntemi ve Cramer'in yöntemi yalnızca bu sistemlere uygulanabilir doğrusal denklemler Bilinmeyenlerin sayısı denklem sayısına eşittir. Daha sonra keyfi doğrusal denklem sistemlerini ele alacağız.

Tanım. n bilinmeyenli m denklem sistemi genel görünümşu şekilde yazılmıştır:

burada aij katsayılardır ve bi sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sisteme yerleştirildiğinde denklemlerin her birini bir kimliğe dönüştüren n sayıda sayıdır.

Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa buna eklem adı verilir. Bir sistemin tek bir çözümü yoksa bu duruma tutarsız denir.

Tanım. Bir sistemin tek bir çözümü varsa belirli, birden fazla çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır.

Tanım. Bir doğrusal denklem sistemi için matris

A = sistemin matrisi olarak adlandırılır ve matris

A*= sistemin genişletilmiş matrisi olarak adlandırılır

Tanım. b1, b2, …,bm = 0 ise sistem homojen olarak adlandırılır. homojen sistem her zaman ortak çünkü her zaman sıfır çözümü vardır.

Temel sistem dönüşümleri

Temel dönüşümler şunları içerir:

1) Bir denklemin her iki tarafına diğerinin karşılık gelen kısımlarının sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılmasıyla toplanır.

2) Denklemlerin yeniden düzenlenmesi.

3) Tüm x'ler için özdeş olan denklemleri sistemden çıkarmak.

Kronecker-Kapeli teoremi (sistemin tutarlılık koşulu).

(Leopold Kronecker (1823-1891) Alman matematikçi)

Teorem: Bir sistem ancak ve ancak sistem matrisinin rütbesinin genişletilmiş matrisin rütbesine eşit olması durumunda tutarlıdır (en az bir çözümü vardır).

Açıkçası, sistem (1) şeklinde yazılabilir.

Bu bölümün ilk üç paragrafı polinom matrislerinin denkliği doktrinine ayrılmıştır. Buna dayanarak, sonraki üç paragrafta, temel bölenlerin analitik bir teorisi, yani sabit (birkaç nominal) kare matrisi şuna indirgeyen bir teori inşa edilmiştir: normal biçim. Bölümün son iki paragrafında bir dönüşüm matrisi oluşturmak için iki yöntem verilmektedir.

§ 1. Bir polinom matrisinin temel dönüşümleri

Tanım 1. Bir polinom matrisi veya -matrisi, elemanları şu şekilde polinom olan dikdörtgen bir matristir:

polinomların en büyük derecesi buradadır.

bir polinom matrisini, 'ye göre bir matris polinomu olarak, yani matris katsayılarına sahip bir polinom olarak temsil edebiliriz:

Bir polinom matrisi üzerinde aşağıdaki temel işlemleri dikkate alalım:

1. Bazı satırları, örneğin th'yi bir sayıyla çarpmak.

2. Bazılarına, örneğin inci satırına bir başkasını, örneğin inci dizesini ekleyerek, daha önce rastgele bir polinomla çarpıyoruz.

3. Herhangi iki satırın yerini değiştirin, örneğin inci ve inci satırlar.

Okuyucuyu 1, 2, 3 numaralı işlemlerin soldaki bir polinom matrisini sırasıyla aşağıdakiyle çarpmaya eşdeğer olup olmadığını kontrol etmeye davet ediyoruz. kare matrisler emir:

(1)

yani, 1, 2, 3 işlemlerinin uygulanması sonucunda matris sırasıyla matrislere dönüştürülür , , . Bu nedenle 1, 2, 3 tipi işlemlere sol temel işlemler adı verilir.

Bir polinom matrisi üzerindeki doğru temel işlemler tamamen benzer bir şekilde tanımlanır (bu işlemler polinom matrisinin satırlarında değil sütunlarında gerçekleştirilir) ve karşılık gelen matrisler (sırasıyla):

Doğru temel işlemin uygulanması sonucunda matris sağdan karşılık gelen matris ile çarpılır.

Tür matrislere (veya aynısı olan türe) temel matrisler adını vereceğiz.

Belirleyici herhangi temel matris sıfıra bağlı değildir ve sıfırdan farklıdır. Bu nedenle, her sol (sağ) temel işlem için ters işlem, bu aynı zamanda sol (sırasıyla sağ) temel işlemdir.

Tanım 2. İki polinom matrisine, sırasıyla 1) sol temel işlemler, 2) sağ temel işlemler, 3) sol temel işlemler uygulanarak biri diğerinden elde ediliyorsa 1) sola eşdeğer, 2) sağa eşdeğer, 3) eşdeğer denir. ve doğru temel işlemler.

Matrislere karşılık gelen sol temel işlemler kullanılarak matris elde edilsin. Daha sonra

. (2).

Çarpımı ifade ederek eşitlik (2) formunu yazıyoruz.

, (3)

matrislerin her biri gibi sıfırdan farklı bir sabit determinantı vardır.

Bir sonraki bölümde, sıfırdan farklı sabit bir determinantı olan her kare matrisin, temel matrislerin bir ürünü olarak temsil edilebileceğini kanıtlayacağız. Bu nedenle eşitlik (3), eşitliğe (2) eşdeğerdir ve bu nedenle ve matrislerinin sol eşdeğerliği anlamına gelir.

Sağ denklik durumunda polinom matrisleri ve eşitlik (3) yerine eşitliğe sahip olacağız

, (3")

ve (ikili) denklik durumunda – eşitlik

Burada yine sıfırdan farklı ve bağımsız determinantları olan matrisler var.

Böylece Tanım 2, eşdeğer bir tanımla değiştirilebilir.

Tanım 2". İki dikdörtgen matrise sırasıyla 1) sol eşdeğer, 2) sağ eşdeğer, 3) eşdeğer denir.

1) , 2) , 3) ,

nerede ve sabit ve sıfır olmayan determinantlara sahip polinom kare matrislerdir.

Yukarıda tanıtılan tüm kavramları aşağıdaki önemli örnekle açıklıyoruz.

Doğrusal homojen bir sistem düşünün diferansiyel denklemler Sabit katsayılı, bilinmeyen bağımsız değişkenli -th mertebeden fonksiyonlar:

(4)

Yeni bir bilinmeyen fonksiyonun Mu denklemi; ikinci temel işlem, yeni bir bilinmeyen fonksiyonun tanıtılması anlamına gelir (yerine ); üçüncü işlem, ve (ör.) içeren terimlerin denklemlerindeki yerleri değiştirmek anlamına gelir. ).

Acil hedefimiz herhangi bir matrisin belirli bir değere indirgenebileceğini kanıtlamak. standart tipler. Eşdeğer matrislerin dili bu yolda faydalıdır.

Bırak olsun. Bir matrisin bir matrise l_equivalent (n_equivalent veya eşdeğer) olduğunu söyleyeceğiz ve matrisin bir matristen şu şekilde elde edilip edilemeyeceğini (veya) göstereceğiz: sonlu sayı satır (sırasıyla sütun veya satır ve sütun) temel dönüşümler. L_eşdeğer ve n_eşdeğer matrislerin eşdeğer olduğu açıktır.

İlk önce herhangi bir matrisin şuna indirgenebileceğini göstereceğiz: özel tip azaltılmış denir.

Bırak olsun. Bu matrisin sıfır olmayan bir satırının, sütunun dışındaki tüm elemanları sıfıra eşit olacak şekilde 1'e eşit bir eleman içermesi durumunda indirgenmiş forma sahip olduğu söylenir. Çizginin işaretli tek elemanını bu çizginin baş elemanı olarak adlandıracağız ve onu bir daire içine alacağız. Başka bir deyişle, bir matrisin bir satırı, eğer bu matris formdaki bir sütunu içeriyorsa indirgenmiş forma sahiptir.

Örneğin aşağıdaki matriste

çizgi o zamandan beri aşağıdaki forma sahiptir. Bu örnekte bir elemanın aynı zamanda çizginin baş elemanı gibi görünmesine dikkat edelim. Gelecekte, verilen türdeki bir çizgi öncü özelliklere sahip birkaç öğe içeriyorsa, bunlardan yalnızca birini keyfi bir şekilde seçeceğiz.

Bir matrisin sıfırdan farklı satırlarının her biri indirgenmiş bir forma sahipse, matrisin indirgenmiş forma sahip olduğu söylenir. Örneğin, matris

aşağıdaki forma sahiptir.

Önerme 1.3 Herhangi bir matris için indirgenmiş formun eşdeğer bir matrisi vardır.

Aslında, eğer matris (1.1) formuna sahipse ve o zaman içinde temel dönüşümler gerçekleştirildikten sonra

matrisi alıyoruz

burada dize aşağıdaki forma sahiptir.

İkinci olarak, eğer matristeki satır azaltılırsa, temel dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra matrisin satırı azaltılacaktır. Gerçekten de verildiğinden beri öyle bir sütun var ki

ancak o zaman ve sonuç olarak dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra sütun değişmez, yani. . Bu nedenle çizgi aşağıdaki forma sahiptir.

Artık matrisin sıfır olmayan her satırını yukarıdaki şekilde sırayla dönüştürdüğümüzde, sonlu sayıda adımdan sonra indirgenmiş formda bir matris elde edeceğimiz açıktır. Matris elde etmek için yalnızca satır temel dönüşümleri kullanıldığından, matris bir matrise l_eşdeğerdir. >

Örnek 7. Matrise l_eşdeğer olan indirgenmiş formda bir matris oluşturun

İzin vermek R Ve S iki vektör uzayları boyutlar N Ve M sırasıyla sayı alanı üzerinde k ve izin ver A doğrusal haritalama operatörü R V S. Operatör matrisinin nasıl değiştiğini bulalım A boşluklardaki tabanları değiştirirken R V S.

Boşluklarda keyfi bazlar seçelim R V S ve sırasıyla ve ile belirtin. Daha sonra (doğrusal operatörlere bakın) vektör eşitliği

matris eşitliğine karşılık gelir

Nerede X Ve en vektörler X Ve sen, sırasıyla tabanlarda ve koordinat sütunları şeklinde sunulur.

Şimdi boşluklardan seçim yapalım R Ve S diğer bazlar Ve . Yeni tabanlarda vektör eşitliği (1), matris eşitliğine karşılık gelecektir.

Daha sonra (3) ve (4)'ü hesaba katarsak,

Tanım 1. İki dikdörtgen matrisler A ve B aynı boyutlar iki kare tekil olmayan matris varsa eşdeğer olduğu söylenir P Ve T eşitlik geçerli olacak şekilde

şunu unutmayın: A-sıra matrisi m×n, O P Ve T kare sıralı matrisler M Ve N, sırasıyla.

(6)'dan aynı doğrusal operatöre karşılık gelen iki matrisin olduğu sonucu çıkar A mekanlarda farklı taban seçenekleri için R Ve S birbirine eşdeğerdir. Bunun tersi de doğrudur. A matrisi operatöre karşılık geliyorsa A ve matris B matrise eşdeğerdir A, o zaman aynı doğrusal operatöre karşılık gelir A diğer üsler için R Ve S.

İki matrisin hangi koşullar altında eşdeğer olduğunu bulalım.

Teorem. Aynı büyüklükteki iki matrisin eşdeğer olabilmesi için rütbelerinin aynı olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Gereklilik. Bir matrisi tekil olmayan kare bir matrisle çarpmak matrisin sırasını değiştiremeyeceğinden (7)'den şunu elde ederiz:

Yeterlilik. Doğrusal bir operatör verilsin A, alanı temsil eden R V S ve bu operatörün matris tarafından yanıtlanmasına izin verin A boyut m×nüslerde R ve içinde S, sırasıyla. ile belirtelim R sayı doğrusaldır bağımsız vektörler arasından evet 1 , evet 2 ,..., evetN. İlkleri doğrusal bağımsız olsun R vektörler evet 1 , evet 2 ,..., evetR. Sonra geri kalanı hayır vektörler bu vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir:

Uzayda yeni bir temel tanımlayalım R:

Bu vektörleri bazı vektörlerle tamamlayalım temel almak S.

Daha sonra operatör matrisi A yeni üslerde , (9) ve (10)'a göre aşağıdaki forma sahip olacaktır:

matrisin neresinde e" - ana çaprazda duruyorlar R birimler ve geri kalan elemanlar sıfırdır.

Matrislerden beri A Ve e" aynı operatörle eşleş A, o zaman birbirlerine eşdeğerdirler. Yukarıda eşdeğer matrislerin aynı rütbeye sahip olduğunu, dolayısıyla orijinal matrisin rütbesinin olduğunu gösterdik. A eşittir R.

Yukarıdakilerden keyfi olarak şu sonuç çıkıyor: m×n sıra matrisi R matrise eşdeğerdir e" - emir m×n. Ancak e" - boyutun belirtilmesiyle benzersiz bir şekilde belirlenir m×n matris ve rütbesi R. Bu nedenle tüm dikdörtgen mertebeden matrisler m×n ve rütbe R aynı matrise eşdeğerdir e" ve dolayısıyla birbirine eşdeğerdir.■

Bir matrisin en basit biçimi doğrusal operatör.

Matrisler A Ve B tekil olmayan matrisler varsa buna eşdeğer denir Q Ve T, Ne A=QBT.

Teorem 6.1. Matrisler eşdeğerse sıraları da eşittir.

Kanıt. Ürünün sıralaması faktörlerin sıralamasını aşmadığından . O zamandan beri. İki eşitsizliği birleştirerek gerekli ifadeyi elde ederiz.

Teorem 6.2. Bir matrisin satır ve sütunlarıyla temel dönüşümler A sıranın birim matrisi olan blok formuna indirgenebilir k ve 0 karşılık gelen boyutların sıfır matrisidir.

Kanıt. Matris indirgeme için bir algoritma sunalım Aİle belirtilen tür. Sütun numaraları şurada belirtilecektir: köşeli parantezler ve satır numaraları parantez içindedir.

1. Hadi koyalım R=1.

2. O zaman 4. adıma gideriz, aksi takdirde 3. adıma gideriz.

3. Dizelerle dönüşümler yapalım , Nerede Ben=R+1,…,M ve sütunlarla , Nerede J=R+1,…,N, Ve . Hadi artıralım R 1'e gidin ve 2. adıma dönün.

4. Eğer, Ben=R+1,…,M, J=R+1,…,N, o zaman bitti. Aksi takdirde bulacağız Ben,J>R, Ne . Satırları ve sütunları yeniden düzenleyip 2. adıma dönelim.

Açıkçası, algoritma, sonuncusu gerekli forma sahip olan bir eşdeğer matris dizisi oluşturacaktır.

Teorem 6.3. Matrisler A Ve B aynı büyüklüktekiler ancak ve ancak sıralamaları eşitse eşdeğerdir.

Kanıt. Matrisler eşdeğerse sıraları da eşittir (Teorem 6.1). Matrislerin rütbeleri eşit olsun. O halde tekil olmayan matrisler vardır ki , Nerede R=rgA=RGB(Teorem 6.2). Buradan, ve matrisler A Ve B– eşdeğerdir.

Bu paragrafın sonuçları şunları bulmanızı sağlar: en basit biçim doğrusal operatörün matrisleri ve doğrusal operatörün matrisinin bu en basit forma sahip olduğu uzayların tabanları.