y sin x fonksiyonunun grafiği çağrılır. Ders "y=sinx fonksiyonu, özellikleri ve grafiği"

İşlevsen = günahX

Fonksiyonun grafiği bir sinüzoiddir.

Sinüs dalgasının tekrarlanmayan kısmının tamamına sinüs dalgası denir.

Yarım sinüs dalgasına yarım sinüs dalgası (veya yay) denir.

Fonksiyon özelliklerisen = günahX:

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için sen= günah X Aşağıdaki ölçekleri kullanmak uygundur:

Kareli bir kağıt üzerinde iki karenin uzunluğunu parça birimi olarak alıyoruz.

Eksen üzerinde Xπ uzunluğunu ölçelim. Aynı zamanda kolaylık olması açısından 3.14'ü 3 şeklinde, yani kesirsiz olarak sunuyoruz. Daha sonra bir kağıda π hücresinde 6 hücre (üç çarpı 2 hücre) olacaktır. Ve her hücre kendi doğal adını alacaktır (birinciden altıncıya kadar): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. anlamları bunlar X.

Y ekseninde iki hücre içeren 1'i işaretliyoruz.

Değerlerimizi kullanarak fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım X:

Daha sonra bir program oluşturalım. Yarım dalga olduğu ortaya çıkacak, en yüksek nokta hangi (π/2; 1). Bu fonksiyonun grafiğidir sen= günah X segmentte. Oluşturulan grafiğe simetrik bir yarım dalga ekleyelim (kökene göre simetrik, yani -π segmentinde). Bu yarım dalganın tepesi (-1; -1) koordinatlarıyla x ekseninin altındadır. Sonuç bir dalga olacaktır. Bu fonksiyonun grafiğidir sen= günah X[-π segmentinde; π].

Dalgayı [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], vb. Tüm bu parçalarda, fonksiyonun grafiği [-π; π]. Aynı dalgalara sahip sürekli bir dalgalı çizgi elde edeceksiniz.

İşlevsen = çünküX.

Bir fonksiyonun grafiği sinüs dalgasıdır (bazen kosinüs dalgası da denir).

Fonksiyon özelliklerisen = çünküX:

İşlevsen = erkek arkadaş(X).

Önceki fonksiyonu ele alalım sen=çünkü X. Bildiğiniz gibi grafiği sinüs dalgasıdır. Bu fonksiyonun kosinüsünü şu şekilde çarparsak: belirli sayı m, o zaman dalga eksenden uzayacaktır X(veya m değerine bağlı olarak küçülecektir).
Bu yeni dalga, m'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu y = mf(x) fonksiyonunun grafiği olacaktır.

Dolayısıyla, y = mf(x) fonksiyonu, bilinen y = f(x) fonksiyonunun m ile çarpımıdır.

EğerM< 1, то синусоида сжимается к оси X katsayıya göreM. Eğerm > 1 ise sinüzoid eksenden gerilirX katsayıya göreM.

Uzatma veya sıkıştırma gerçekleştirirken, önce sinüs dalgasının yalnızca bir yarım dalgasını çizebilir ve ardından grafiğin tamamını tamamlayabilirsiniz.

İşlevy= F(kx).

Eğer fonksiyon y=erkek arkadaş(X) sinüzoidin eksenden gerilmesine yol açar X veya eksene doğru sıkıştırma X, o zaman y = f(kx) fonksiyonu eksenden gerilmeye yol açar sen veya eksene doğru sıkıştırma sen.

Ayrıca k herhangi bir gerçek sayıdır.

0'da< k< 1 синусоида растягивается от оси sen katsayıya görek. Eğerk > 1 ise sinüzoid eksene doğru sıkıştırılırsen katsayıya görek.

Bu fonksiyonun bir grafiğini çizerken, önce sinüs dalgasının bir yarım dalgasını oluşturabilir ve ardından bunu grafiğin tamamını tamamlamak için kullanabilirsiniz.

İşlevsen = tgX.

Fonksiyon grafiği sen= tg X bir teğettir.

Grafiğin bir kısmını 0 ila π/2 aralığında oluşturmak yeterlidir ve ardından bunu 0 ila 3π/2 aralığında simetrik olarak devam ettirebilirsiniz.

Fonksiyon özelliklerisen = tgX:

İşlevsen = ctgX

Fonksiyon grafiği sen=ctg X aynı zamanda bir tanjantoiddir (bazen kotanjantoid olarak da adlandırılır).

Fonksiyon özelliklerisen = ctgX:

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında bir tanım vereceğiz trigonometrik fonksiyon y = sin t açık koordinat dairesi ve bir daire ve bir doğru üzerindeki bir fonksiyonun grafiğini düşünün. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı tek bir noktaya karşılık gelir birim çember Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Hatırlayalım geometrik yorumlama argüman. Argüman şu: merkez açı radyan cinsinden ölçülür. Eksen boyunca çizeceğiz gerçek sayılar veya radyan cinsinden açılar, eksen boyunca karşılık gelen fonksiyon değerleri.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). için öğretici Eğitim Kurumları (profil düzeyi) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analiz 10. sınıf için ( öğretici derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Eğitim portalı Sınavlara hazırlanmak için ().

Trigonometrik fonksiyonların davranışlarını ve fonksiyonlarını öğrendik. y = günah x özellikle, sayı satırının tamamında (veya argümanın tüm değerleri için) X) tamamen aralıktaki davranışıyla belirlenir 0 < X < π / 2 .

Bu nedenle öncelikle fonksiyonun grafiğini çizeceğiz. y = günah x tam da bu aralıkta.

Fonksiyonumuzun aşağıdaki değer tablosunu yapalım;

Koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları işaretleyip bunları düz bir çizgiyle birleştirerek şekilde gösterilen eğriyi elde ederiz.

Ortaya çıkan eğri, fonksiyon değerleri tablosu derlenmeden geometrik olarak da oluşturulabilir. y = günah x .

1. Yarıçapı 1 olan bir dairenin ilk çeyreğini 8 eşit parçaya bölün. Dairenin bölme noktalarının ordinatları, karşılık gelen açıların sinüsleridir.

2. Çemberin ilk çeyreği 0'dan 0'a kadar olan açılara karşılık gelir. π / 2 . Bu nedenle eksen üzerinde X Bir parçayı alıp 8 eşit parçaya bölelim.

3. Eksenlere paralel düz çizgiler çizelim X ve bölme noktalarından yatay çizgilerle kesişene kadar dikler oluşturuyoruz.

4. Kesişme noktalarını düzgün bir çizgiyle bağlayın.

Şimdi aralığa bakalım π / 2 < X < π .
Her argüman değeri X bu aralıktan şu şekilde temsil edilebilir:

X = π / 2 + φ

Nerede 0 < φ < π / 2 . İndirgeme formüllerine göre

günah( π / 2 + φ ) = çünkü φ = günah ( π / 2 - φ ).

Eksen noktaları X apsisli π / 2 + φ Ve π / 2 - φ eksen noktasına göre birbirine simetrik X apsisli π / 2 ve bu noktalardaki sinüsler aynıdır. Bu bize fonksiyonun grafiğini elde etmemizi sağlar y = günah x aralıkta [ π / 2 , π ] bu fonksiyonun grafiğini düz çizgiye göre aralıkta simetrik olarak görüntüleyerek X = π / 2 .

Şimdi özelliği kullanıyorum tek eşlik fonksiyonu y = günah x,

günah(- X) = - günah X,

bu fonksiyonu aralıkta çizmek kolaydır [- π , 0].

Y = sin x fonksiyonu 2π periyoduyla periyodiktir ;. Dolayısıyla bu fonksiyonun tüm grafiğini oluşturmak için şekilde gösterilen eğriyi periyodik olarak sola ve sağa bir periyodla devam ettirmek yeterlidir. 2π .

Ortaya çıkan eğri denir sinüzoid . Bu fonksiyonun grafiğidir y = günah x.

Şekil, fonksiyonun tüm özelliklerini iyi bir şekilde göstermektedir y = günah x bunu daha önce kanıtlamıştık. Bu özellikleri hatırlayalım.

1) İşlev y = günah x tüm değerler için tanımlanmış X , dolayısıyla tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.

2) İşlev y = günah x sınırlı. Bu iki sayı da dahil olmak üzere kabul ettiği tüm değerler -1 ile 1 arasındadır. Sonuç olarak, bu fonksiyonun varyasyon aralığı -1 eşitsizliği ile belirlenir. < en < 1. Ne zaman X = π / 2 + 2k π fonksiyon alır en yüksek değerler, 1'e eşit ve x = - için π / 2 + 2k π - en küçük değerler, -1'e eşit.

3) İşlev y = günah x tektir (sinüs dalgası orijine göre simetriktir).

4) İşlev y = günah x periyot 2 ile periyodik π .

5) 2n aralıklarla π < X < π + 2n π (n herhangi bir tam sayıdır) pozitiftir ve aralıklarla π + 2k π < X < 2π + 2k π (k herhangi bir tamsayıdır) negatiftir. x = k'de π fonksiyon sıfıra gider. Dolayısıyla x argümanının bu değerleri (0; ± π ; ±2 π ; ...) fonksiyon sıfırları olarak adlandırılır y = günah x

6) Aralıklarla - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π işlev y = günah X monoton ve aralıklarla artar π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monoton olarak azalır.

Fonksiyonun davranışına özellikle dikkat etmelisiniz. y = günah x noktaya yakın X = 0 .

Örneğin, günah 0,012 ≈ 0,012; günah(-0,05) ≈ -0,05;

günah 2° = günah π 2 / 180 = günah π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Aynı zamanda, x'in herhangi bir değeri için şunu da belirtmek gerekir:

| günah X| < | x | . (1)

Nitekim şekilde gösterilen dairenin yarıçapı 1'e eşit olsun,
A / AOB = X.

O zaman günah X= AC. Ama klima< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yayın uzunluğu açıkça eşittir X, çemberin yarıçapı 1 olduğundan. Yani 0'da< X < π / 2

günah x< х.

Dolayısıyla fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle y = günah x bunu göstermek kolaydır - π / 2 < X < 0

| günah X| < | x | .

Nihayet ne zaman X = 0

| günah x | = | x |.

Böylece | X | < π / 2 eşitsizlik (1) kanıtlanmıştır. Aslında bu eşitsizlik | X | > π / 2 şundan dolayı | günah X | < 1 A π / 2 > 1

Egzersizler

1.Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x şunları belirleyin: a) günah 2; b) günah 4; c) günah (-3).

2. Fonksiyon grafiğine göre y = günah x aralıktan hangi sayıyı belirleyin
[ - π / 2 , π / 2 ]'nin sinüsü şuna eşittir: a) 0,6; b) -0,8.

3. Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x hangi sayıların sinüsü olduğunu belirleyin,
1/2'ye eşittir.

4. Yaklaşık olarak aşağıdakileri bulun (tabloları kullanmadan): a) sin 1°; b) günah 0,03;
c) günah (-0,015); d) günah (-2°30").

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik fonksiyonunun tanımını verip, fonksiyonun çember ve doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir. Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Tartışma, radyan cinsinden ölçülen merkezi açıdır. Eksen boyunca gerçek sayıları veya açıları radyan cinsinden, eksen boyunca fonksiyonun karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik fonksiyonunun tanımını verip, fonksiyonun çember ve doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir. Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Tartışma, radyan cinsinden ölçülen merkezi açıdır. Eksen boyunca gerçek sayıları veya açıları radyan cinsinden, eksen boyunca fonksiyonun karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().