Daire ve yazılı açı. Görsel kılavuz (2019)

Temel kurallar.

Çevreyle ilişkili tüm isimleri ne kadar iyi hatırlıyorsunuz? Her ihtimale karşı hatırlatalım - resimlere bakın - bilginizi tazeleyin.

İlk önce - Bir dairenin merkezi, daire üzerindeki tüm noktalara olan mesafelerin aynı olduğu bir noktadır.

İkincisi - yarıçap - çemberin merkezi ile bir noktayı birleştiren doğru parçası.

Çok fazla yarıçap var (çember üzerinde noktalar olduğu kadar), ancak Tüm yarıçaplar aynı uzunluğa sahiptir.

Bazen kısaca yarıçap aynen öyle diyorlar segmentin uzunluğu"merkez daire üzerindeki bir noktadır", parçanın kendisi değil.

Ve işte olanlar bir daire üzerinde iki noktayı birleştirirseniz? Ayrıca bir bölüm mü?

Yani bu segmente denir "akor".

Tıpkı yarıçapta olduğu gibi çap da genellikle bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren ve merkezden geçen bir parçanın uzunluğudur. Bu arada çap ve yarıçap arasında nasıl bir ilişki var? Dikkatli bak. Elbette, yarıçap yarıya eşitçap.

Akorların yanı sıra, sekantlar.

En basit şeyi hatırlıyor musun?

Merkezi açı iki yarıçap arasındaki açıdır.

Ve şimdi - yazılı açı

Yazılı açı - bir daire üzerinde bir noktada kesişen iki kiriş arasındaki açı.

Bu durumda, yazılı açının bir yay (veya bir akor) üzerinde durduğunu söylerler.

Resme bak:

Yay ve açı ölçümleri.

Çevre. Yaylar ve açılar derece ve radyan cinsinden ölçülür. İlk olarak dereceler hakkında. Açılarda sorun yok - yayın derece cinsinden nasıl ölçüleceğini öğrenmeniz gerekiyor.

Derece ölçüsü (yay boyutu), karşılık gelen merkez açının değeridir (derece cinsinden)

Burada "uygun" kelimesi ne anlama geliyor? Dikkatlice bakalım:

İki yay ve iki merkezi açı görüyor musunuz? Daha büyük bir yaya karşılık geliyor daha büyük açı(ve daha büyük olması sorun değil) ve daha küçük bir yay, daha küçük bir açıya karşılık gelir.

Böylece anlaştık: Yay, karşılık gelen merkez açıyla aynı sayıda derece içeriyor.

Ve şimdi korkutucu şeye gelince; radyanlarla ilgili!

Bu “radyan” ne tür bir canavar?

Bunu hayal edin: Radyan, açıları yarıçap cinsinden ölçmenin bir yoludur!

Radyan ölçen bir açı şu şekildedir merkez açı yay uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan.

Sonra şu soru ortaya çıkıyor: Düz bir açıda kaç radyan var?

Başka bir deyişle: yarım daireye kaç tane yarıçap “sığar”? Veya başka bir deyişle: yarım dairenin uzunluğu kaç katıdır? yarıçaptan daha büyük?

Bilim adamları bu soruyu Antik Yunan'da sordular.

Ve böylece, uzun bir araştırmadan sonra, çevrenin yarıçapa oranının, vb. gibi “insan” sayılarıyla ifade edilmek istenmediğini keşfettiler.

Ve bu tutumu kökten ifade etmek bile mümkün değil. Yani, yarım dairenin yarıçaptan kat veya kat daha büyük olduğunu söylemenin imkansız olduğu ortaya çıktı! İnsanların bunu ilk kez keşfetmesinin ne kadar şaşırtıcı olduğunu hayal edebiliyor musunuz? Yarım daire uzunluğunun yarıçapa oranı için “normal” sayılar yeterli değildi. Bir mektup girmem gerekiyordu.

Yani, bu yarım dairenin uzunluğunun yarıçapa oranını ifade eden bir sayıdır.

Şimdi şu soruyu cevaplayabiliriz: Düz açıda kaç radyan vardır? Radyan içerir. Tam da dairenin yarısının yarıçaptan kat kat daha büyük olması nedeniyle.

Yüzyıllar boyunca eski (ve o kadar da eski olmayan) insanlar (!) daha doğru hesaplamaya çalıştım gizemli numara, bunu (en azından yaklaşık olarak) “sıradan” sayılarla ifade etmek daha iyidir. Ve şimdi inanılmaz derecede tembeliz - yoğun bir günün ardından iki işaret bizim için yeterli, alıştık

Bir düşünün, bu, örneğin, yarıçapı bir olan bir dairenin uzunluğunun yaklaşık olarak eşit olduğu anlamına gelir, ancak bu tam uzunluğun "insan" bir sayı ile yazılması imkansızdır - bir mektuba ihtiyacınız vardır. Ve sonra bu çevre eşit olacaktır. Ve tabii ki yarıçapın çevresi eşittir.

Radyana geri dönelim.

Düz açının radyan içerdiğini zaten öğrenmiştik.

Neyimiz var:

Yani sevindim, yani sevindim. Aynı şekilde en popüler açılara sahip bir plaka elde edilir.

Yazılı ve merkezi açıların değerleri arasındaki ilişki.

Şaşırtıcı bir gerçek var:

Yazılı açı karşılık gelen merkez açının yarısı kadardır.

Bu ifadenin resimde nasıl göründüğüne bakın. "Karşılık gelen" bir merkezi açı, uçları yazılı açının uçlarıyla çakışan ve tepe noktası merkezde olan açıdır. Ve aynı zamanda, "karşılık gelen" merkezi açı, yazılı açıyla aynı akorda () "bakmalıdır".

Bu neden böyle? Önce bunu çözelim basit durum. Akorlardan birinin merkezden geçmesine izin verin. Bazen böyle olur, değil mi?

Burada ne oluyor? Hadi düşünelim. Sonuçta ikizkenar ve yarıçaplardır. Yani (onları etiketledi).

Şimdi bakalım. Burası dış köşe! Unutmayın ki dış köşe toplamlara eşit bitişik olmayan iki dahili olanı yazın ve şunu yazın:

Yani! Beklenmeyen etki. Ancak yazılı olanın merkezi bir açısı da vardır.

Bu, bu durumda merkez açının yazılı açının iki katı olduğunu kanıtladıkları anlamına gelir. Ama çok acıyor özel durum: Akorun her zaman merkezden geçmediği doğru değil mi? Ama sorun değil, şimdi bu özel vaka bize çok yardımcı olacak. Bakın: ikinci durum: merkezin içeride kalmasına izin verin.

Hadi şunu yapalım: çapı çizelim. Ve sonra... ilk durumda zaten analiz edilmiş olan iki resmi görüyoruz. Bu yüzden zaten buna sahibiz

Bu şu anlama gelir: (çizimde, a)

Peki kaldım son durum: köşenin dışında merkez.

Aynı şeyi yapıyoruz: çapı noktanın içinden çiziyoruz. Her şey aynı ama toplam yerine fark var.

Bu kadar!

Şimdi iki ana ve çok oluşturalım önemli sonuçlar yazılı açının merkez açının yarısı olduğu ifadesinden.

Sonuç 1

Bir yayı temel alan tüm yazılı açılar birbirine eşittir.

Gösteriyoruz:

Aynı yayı temel alan sayısız yazılı açı vardır (bu yaya sahibiz), tamamen farklı görünebilirler, ancak hepsi aynı merkez açıya () sahiptir, bu da tüm bu yazılı açıların kendi aralarında eşit olduğu anlamına gelir.

Sonuç 2

Çapın gördüğü açı dik açıdır.

Bakın: hangi açı merkezidir?

Kesinlikle, . Ama o eşittir! Peki, bu nedenle (ve daha birçok yazılı açının dayandığı) ve eşittir.

İki akor ve sekant arasındaki açı

Peki ya ilgilendiğimiz açı yazılı değilse ve merkezi DEĞİLSE, örneğin şöyle:

yoksa bunun gibi mi?

Bunu bir şekilde merkezi açılardan ifade etmek mümkün mü? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Bakın: ilgileniyoruz.

a) (dış köşe olarak). Ancak - yazılı, yayın üzerinde duruyor -. - yazılı, yayın üzerinde duruyor - .

Güzellik için diyorlar ki:

Akorlar arasındaki açı, bu açının içine alınan yayların açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.

Bunu kısa olsun diye yazıyorlar ama tabi ki bu formülü kullanırken merkez açıları da aklınızda tutmanız gerekiyor.

b) Ve şimdi - “dışarıda”! Nasıl olunur? Evet, neredeyse aynı! Ancak şimdi (yine dış açı özelliğini uyguluyoruz). İşte şimdi.

Ve bu demek ki... Notalara ve üsluplara güzellik ve kısalık getirelim:

Sekantlar arasındaki açı, bu açının içine alınan yayların açısal değerlerindeki farkın yarısına eşittir.

Artık çemberle ilgili açılar hakkındaki tüm temel bilgilerle donanmış durumdasınız. Devam edin, zorlukların üstesinden gelin!

DAİRE VE İÇİ AÇI. ORTALAMA SEVİYE

Beş yaşındaki bir çocuk bile dairenin ne olduğunu biliyor değil mi? Matematikçilerin her zaman olduğu gibi bu konuda da anlaşılması güç bir tanımı var ama biz bunu vermeyeceğiz (bkz.) Bunun yerine çemberle ilişkili noktaların, doğruların ve açıların ne dendiğini hatırlayalım.

Önemli Şartlar

İlk önce:

dairenin merkezi- Çember üzerindeki tüm noktaların aynı uzaklıkta olduğu bir nokta.

İkincisi:

Kabul edilen başka bir ifade daha var: "Akor yayı daraltır." Örneğin, buradaki şekilde akor yayın altında yer alıyor. Ve eğer bir akor aniden merkezden geçerse, o zaman özel isim: "çap".

Bu arada çap ve yarıçap arasında nasıl bir ilişki var? Dikkatli bak. Elbette,

Ve şimdi köşelerin isimleri.

Doğal değil mi? Açının kenarları merkezden uzanır; bu, açının merkezi olduğu anlamına gelir.

Bazen zorlukların ortaya çıktığı yer burasıdır. Dikkat etmek - Bir dairenin içinde HERHANGİ bir açı yazılı DEĞİLDİR, ancak yalnızca tepe noktası çemberin üzerinde "oturan" kişi.

Şimdi resimlerdeki farkı görelim:

Başka bir şekilde şunu söylüyorlar:

Burada zor bir nokta var. "Karşılık gelen" veya "kendi" merkez açısı nedir? Tepe noktası dairenin merkezinde ve uçları yayın uçlarında olan bir açı mı? Kesinlikle bu şekilde değil. Çizime bakın.

Ancak bunlardan biri köşeye bile benzemiyor; daha büyük. Ancak bir üçgenin daha fazla açısı olamaz ama bir dairenin pekala açısı olabilir! Yani: daha küçük olan AB yayı daha küçük bir açıya (turuncu) karşılık gelir ve daha büyük olan yay daha büyük bir açıya karşılık gelir. Aynen öyle değil mi?

Yazılı ve merkezi açıların büyüklükleri arasındaki ilişki

Bu çok önemli açıklamayı unutmayın:

Ders kitaplarında aynı gerçeği şöyle yazmayı seviyorlar:

Formülasyonun merkezi açıyla daha basit olduğu doğru değil mi?

Ama yine de, iki formülasyon arasında bir yazışma bulalım ve aynı zamanda çizimlerde "karşılık gelen" merkez açıyı ve yazılı açının "dayandığı" yayı bulmayı öğrenelim.

Bakın: işte bir daire ve yazılı bir açı:

"Karşılık gelen" merkez açısı nerede?

Tekrar bakalım:

Kural nedir?

Ancak! Bu durumda, yazılı ve merkezi açıların yayda aynı tarafa "bakması" önemlidir. Örneğin:

İşin garibi, mavi! Çünkü yay uzun, çemberin yarısından daha uzun! O yüzden asla kafanızı karıştırmayın!

Yazılı açının "yarımlığından" ne gibi bir sonuç çıkarılabilir?

Ancak örneğin:

Çapın kapsadığı açı

Matematikçilerin aynı şeyler hakkında konuşmayı sevdiklerini zaten fark etmişsinizdir. farklı kelimelerle? Buna neden ihtiyaç duyuyorlar? Görüyorsunuz, matematiğin dili resmi olmasına rağmen canlıdır ve bu nedenle sıradan dil, her seferinde bunu daha uygun bir şekilde söylemek istiyorum. "Bir açının bir yayın üzerinde durmasının" ne anlama geldiğini zaten görmüştük. Ve hayal edin, aynı resme "akorun üzerinde duran açı" deniyor. Ne üstüne? Evet, elbette bu yayı sıkılaştırana!

Bir yay yerine akora güvenmek ne zaman daha uygundur?

Özellikle bu akor bir çap olduğunda.

Böyle bir durum için şaşırtıcı derecede basit, güzel ve faydalı bir açıklama var!

Bakın: işte daire, çap ve ona dayanan açı.

DAİRE VE İÇİ AÇI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Temel kavramlar.

3. Yay ve açı ölçümleri.

Radyan açısı, yay uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan merkezi açıdır.

Bu, yarım dairenin uzunluğunun yarıçapına oranını ifade eden bir sayıdır.

Yarıçapın çevresi eşittir.

4. Yazılı ve merkezi açıların değerleri arasındaki ilişki.

Yazılı ve merkezi açı kavramı

Öncelikle merkez açı kavramını tanıtalım.

Not 1

Dikkat Bir merkez açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.

Şimdi yazılı açı kavramını tanıtalım.

Tanım 2

Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları aynı daireyle kesişen açıya yazılı açı denir (Şekil 2).

Şekil 2. Yazılı açı

Yazılı açı teoremi

Teorem 1

Yazılı açının derece ölçüsü yarıya eşittir derece ölçüsü dayandığı yay.

Kanıt.

Bize $O$ noktasında merkezi olan bir daire verilsin. Yazılı açıyı $ACB$ olarak gösterelim (Şekil 2). Aşağıdaki üç durum mümkündür:

Işın $CO$ açının herhangi bir tarafıyla çakışıyor. Bu $CB$ tarafı olsun (Şekil 3).

Figür 3.

Bu durumda, $AB$ yayı $(180)^(()^\circ )$'dan küçüktür, dolayısıyla $AOB$ merkez açısı $AB$ yayına eşittir. $AO=OC=r$ olduğundan, $AOC$ üçgeni ikizkenardır. Bu, $CAO$ ve $ACO$ taban açılarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Hakkındaki teorem ile dış açıüçgenimiz var:

Işın $CO$ bölüyor iç köşe iki açıda. Daireyi $D$ noktasında kesmesine izin verin (Şekil 4).

Şekil 4.

Aldık

Işın $CO$, iç açıyı iki açıya bölmez ve hiçbir kenarıyla çakışmaz (Şekil 5).

Şekil 5.

$ACD$ ve $DCB$ açılarını ayrı ayrı ele alalım. 1. maddede kanıtlanana göre, şunu elde ederiz:

Aldık

Teorem kanıtlandı.

Hadi verelim sonuçlar bu teoremden.

Sonuç 1: Aynı yay üzerinde bulunan yazılı açılar birbirine eşittir.

Sonuç 2:Çapa karşılık gelen yazılı açı dik açıdır.

Merkezi açı köşesi çemberin merkezinde olan açıdır.
Yazılı açı- tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları onunla kesişen bir açı.

Şekilde merkezi ve yazılı açılar ile bunların en önemli özellikleri gösterilmektedir.

Bu yüzden, Merkez açının büyüklüğü, üzerinde durduğu yayın açısal büyüklüğüne eşittir. Bu, 90 derecelik bir merkez açının, 90 derecelik bir yayın, yani bir dairenin üzerinde duracağı anlamına gelir. 60°'ye eşit olan merkez açı, 60 derecelik bir yay üzerinde, yani dairenin altıncı kısmında yer alır.

Yazılı açının büyüklüğü aynı yaya göre merkez açıdan iki kat daha küçüktür.

Ayrıca problemleri çözmek için “akor” kavramına ihtiyacımız olacak.

Eşit merkezi açılar eşit akorlara karşılık gelir.

1. Çemberin çapının oluşturduğu yazılı açı nedir? Cevabınızı derece cinsinden verin.

Çapın kapsadığı yazılı açı dik açıdır.

2. Merkez açı, aynı dairesel yayın gördüğü dar yazılı açıdan 36° daha büyüktür. Yazılı açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Merkez açı x'e eşit olsun ve aynı yayın gördüğü yazılı açı da y'ye eşit olsun.

x = 2y olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Çemberin yarıçapı 1'e eşittir. Kirişin gördüğü geniş yazılı açının değerini bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

AB akoru eşit olsun. Bu akorun oluşturduğu geniş yazılı açı α ile gösterilecektir.
AOB üçgeninde AO ve OB kenarları 1'e, AB kenarı ise 'ye eşittir. Bu tür üçgenlerle zaten karşılaştık. Açıkçası, AOB üçgeni dikdörtgen ve ikizkenardır, yani AOB açısı 90°'dir.
O zaman ACB yayı 90°'ye, AKB yayı ise 360° - 90° = 270°'ye eşittir.
Yazılı açı α AKB yayına dayanmaktadır ve yarısına eşittir açısal büyüklük bu yayın 135°'sidir.

Cevap: 135.

4. AB akoru, daireyi derece değerleri 5:7 oranında olan iki parçaya böler. Bu kiriş, dairenin daha küçük yayına ait olan C noktasından hangi açıda görülebilir? Cevabınızı derece cinsinden verin.

Bu görevdeki en önemli şey koşulların doğru çizilmesi ve anlaşılmasıdır. Şu soruyu nasıl anlıyorsunuz: "Akor C noktasından hangi açıda görülebilir?"
C noktasında oturduğunuzu ve AB akorunda olup biten her şeyi görmeniz gerektiğini hayal edin. AB akoru sanki sinema salonundaki bir ekranmış gibi :-)
Açıkçası ACB açısını bulmanız gerekiyor.
AB kirişinin daireyi böldüğü iki yayın toplamı 360°'ye eşittir.
5x + 7x = 360°
Dolayısıyla x = 30° ve yazılı açı ACB 210°'ye eşit bir yay üzerinde duruyor.
Yazılı açının büyüklüğü, üzerinde durduğu yayın açısal büyüklüğünün yarısına eşittir, bu da ACB açısının 105°'ye eşit olduğu anlamına gelir.

Planimetri, özellikleri inceleyen bir geometri dalıdır. düz rakamlar. Bunlar sadece herkesi değil ünlü üçgenler, kareler, dikdörtgenler, aynı zamanda düz çizgiler ve açılar. Planimetride daire içindeki açılar gibi kavramlar da vardır: merkezi ve yazılı. Peki bunlar ne anlama geliyor?

Merkezi açı nedir?

Merkezi açının ne olduğunu anlamak için bir daire tanımlamanız gerekir. Bir daire, belirli bir noktadan (dairenin merkezi) eşit uzaklıktaki tüm noktaların toplamıdır.

Onu bir daireden ayırmak çok önemlidir. Bir dairenin kapalı bir çizgi olduğunu ve dairenin de onunla sınırlanan bir düzlemin parçası olduğunu hatırlamanız gerekir. Bir dairenin içine bir çokgen veya bir açı yazılabilir.

Merkezi açı, köşesi dairenin merkeziyle çakışan ve kenarları daireyi iki noktada kesen açıdır. Bir açının kesişme noktalarıyla sınırladığı yaya, verilen açının dayandığı yay denir.

1 numaralı örneğe bakalım.

Resimde AOB açısı merkezidir çünkü açının tepe noktası ve dairenin merkezi bir O noktasıdır. C noktasını içermeyen AB yayının üzerindedir.

Yazılı bir açının merkezi açıdan farkı nedir?

Ancak merkez açıların yanı sıra yazılı açılar da vardır. Onların farkı nedir? Tıpkı merkez açı gibi, dairenin içine yazılan açı da belirli bir yayın üzerinde durur. Ancak tepe noktası dairenin merkezi ile çakışmıyor, üzerinde yatıyor.

Hadi verelim sonraki örnek.

ACB açısına, merkezi O noktasında olan bir daireye yazılan açı denir. C noktası daireye aittir, yani üzerinde yer alır. Açı AB yayının üzerindedir.

Geometri problemleriyle başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için yazılı ve merkezi açıları ayırt edebilmek yeterli değildir. Kural olarak, bunları çözmek için bir dairenin merkezi açısını tam olarak nasıl bulacağınızı bilmeniz ve değerini derece cinsinden hesaplayabilmeniz gerekir.

Yani merkez açı, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.

Resimde AOB açısı 66°'ye eşit olan AB yayının üzerindedir. Bu, AOB açısının da 66° olduğu anlamına gelir.

Böylece, merkezi açılar eşit yaylar, eşittir.

Şekilde DC yayı AB yayına eşittir. Yani AOB açısı açıya eşit DOC.

Çemberin içine yazılan açı, aynı yayın üzerinde duran merkez açıya eşit gibi görünebilir. Ancak bu ciddi bir hatadır. Aslında sadece çizime bakıp bu açıları birbiriyle karşılaştırdığınızda bile derece ölçülerinin eşit olacağını görebilirsiniz. Farklı anlamlar. Peki bir dairenin yazılı açısı nedir?

Yazılı açının derece ölçüsü, üzerinde bulunduğu yayın yarısına, eğer aynı yay üzerinde duruyorsa merkez açının yarısına eşittir.

Bir örneğe bakalım. ASV açısı 66°'ye eşit bir yay üzerinde durur.

Bu, ACB açısı = 66°: 2 = 33° anlamına gelir

Bu teoremin bazı sonuçlarını ele alalım.

Yazılı açılar, aynı yaya, kirişe veya eşit yaylara dayanıyorsa eşittir.
Yazılı açılar bir akor üzerinde duruyorsa ancak köşeleri aynı doğrultuda uzanıyorsa farklı taraflar buradan, bu tür açıların derece ölçülerinin toplamı 180°'dir, çünkü bu durumda her iki açı da yayların üzerinde durur, derece ölçüsü toplamda 360° (tüm daire), 360°: 2 = 180°
Yazılı bir açı belirli bir dairenin çapına bağlıysa, çap 180°'ye eşit bir yayın karşısında olduğundan derece ölçüsü 90°'dir, 180°: 2 = 90°
Bir dairedeki merkezi ve yazılı açılar aynı yay veya kiriş üzerinde duruyorsa, yazılı açı merkezi olanın yarısına eşittir.

Bu konuyla ilgili sorunlar nerede bulunabilir? Türleri ve çözümleri

Çember ve özellikleri geometrinin, özellikle de planimetrinin en önemli bölümlerinden biri olduğundan, çemberdeki yazılı ve merkez açılar, geometride geniş ve ayrıntılı olarak incelenen bir konudur. okul kursu. Mülklerine yönelik sorunlar esas olarak bulunur Devlet sınavı(OGE) ve Birleşik Devlet Sınavı (USE). Kural olarak, bu sorunları çözmek için bir daire üzerindeki açıları derece cinsinden bulmanız gerekir.

Bir yayı temel alan açılar

Bu tür problem belki de en kolay olanlardan biridir, çünkü onu çözmek için sadece iki tanesini bilmeniz gerekir. basit özellikler: Her iki açı da yazılıysa ve aynı kirişe dayanıyorsa, bunlar eşittir; eğer içlerinden biri merkezi ise, o zaman karşılık gelen yazılı açı bunun yarısına eşittir. Ancak bunları çözerken son derece dikkatli olmanız gerekir: Bazen bu özelliği fark etmek zordur ve öğrenciler bu kadar basit problemleri çözerken çıkmaza girerler. Bir örneğe bakalım.

Görev No.1

Merkezi O noktasında olan bir daire veriliyor. AOB açısı 54°'dir. ASV açısının derece ölçüsünü bulun.

Bu görev tek bir eylemle çözülür. Bunun cevabını hızlı bir şekilde bulmak için ihtiyacınız olan tek şey, her iki açının da bulunduğu yayın ortak olduğunu fark etmektir. Bunu gördükten sonra zaten tanıdık bir özelliği uygulayabilirsiniz. ACB açısı AOB açısının yarısına eşittir. Araç,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Cevap: 54°.

Aynı çemberin farklı yaylarının oluşturduğu açılar

Bazen problem koşulları, istenen açının dayandığı yayın boyutunu doğrudan belirtmez. Bunu hesaplamak için bu açıların büyüklüğünü analiz etmeniz ve bunları karşılaştırmanız gerekir. bilinen özellikler daireler.

Sorun 2

Merkezi O noktasında olan bir çemberde AOC açısı 120°, AOB açısı 30°'dir. SİZİN açınızı bulun.

Başlangıç olarak, bu sorunu özellikleri kullanarak çözmenin mümkün olduğunu söylemekte fayda var. ikizkenar üçgenler ancak bu, çalıştırmayı gerektirecektir büyük miktar matematiksel işlemler. Bu nedenle burada bir dairedeki merkezi ve yazılı açıların özelliklerini kullanarak çözümün bir analizini sunacağız.

Yani, AOS açısı AC yayına dayanır ve merkezidir, bu da AC yayının AOS açısına eşit olduğu anlamına gelir.

Aynı şekilde AOB açısı AB yayı üzerindedir.

Bunu ve tüm dairenin derece ölçüsünü (360°) bilerek, BC yayının büyüklüğünü kolaylıkla bulabilirsiniz.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

CAB açısının tepe noktası A noktası çemberin üzerindedir. Bu, CAB açısının yazılı bir açı olduğu ve NE yayının yarısına eşit olduğu anlamına gelir.

Açı CAB = 210°: 2 = 110°

Cevap: 110°

Yayların ilişkisine dayalı problemler

Bazı problemler açı değerlerine ilişkin verileri hiç içermediğinden, bunları yalnızca ünlü teoremler ve bir dairenin özellikleri.

Sorun 1

Akoru çevreleyen dairenin içine yazılan açıyı bulun, yarıçapa eşit daire verilmiştir.

Parçanın uçlarını dairenin merkezine bağlayan çizgileri zihinsel olarak çizerseniz, bir üçgen elde edersiniz. İncelediğinizde bu çizgilerin dairenin yarıçapları olduğunu, yani üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğunu görebilirsiniz. Bütün açıların olduğu biliniyor. eşkenar üçgen 60°'ye eşittir. Bu, üçgenin tepe noktasını içeren AB yayının 60°'ye eşit olduğu anlamına gelir. Buradan istenilen açının dayandığı AB yayını buluruz.

AB = 360° - 60° = 300°

ABC açısı = 300°: 2 = 150°

Cevap: 150°

Sorun 2

Merkezi O noktasında olan bir çemberde yayların oranı 3:7'dir. En küçük yazılı açıyı bulun.

Çözmek için bir parçayı X olarak gösterelim, sonra bir yay sırasıyla 3X'e, ikincisi ise 7X'e eşit olsun. Çemberin derece ölçüsünün 360° olduğunu bilerek bir denklem oluşturalım.

3X + 7X = 360°

Duruma göre daha küçük bir açı bulmanız gerekiyor. Açıkçası, eğer açının büyüklüğü, dayandığı yay ile doğru orantılıysa, o zaman istenen (daha küçük) açı, 3X'e eşit bir yaya karşılık gelir.

Bu, daha küçük açının (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54° olduğu anlamına gelir.

Cevap: 54°

Merkezi O noktasında olan bir dairede AOB açısı 60° ve küçük yayın uzunluğu 50'dir. Büyük yayın uzunluğunu hesaplayın.

Daha büyük bir yayın uzunluğunu hesaplamak için, daha küçük yayın daha büyük olanla ilişkisini gösteren bir oran oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için her iki yayın büyüklüğünü derece cinsinden hesaplıyoruz. Küçük yay, üzerine gelen açıya eşittir. Derece ölçüsü 60° olacaktır. Büyük yay, dairenin derece ölçüsü (diğer verilerden bağımsız olarak 360°'ye eşittir) ile küçük yay arasındaki farka eşittir.

Ana yay 360° - 60° = 300°'dir.

300°: 60° = 5 olduğundan büyük yay, küçük yaydan 5 kat daha büyüktür.

Büyük yay = 50 * 5 = 250

Tabii ki, çözüme yönelik başka yaklaşımlar da var benzer görevler ancak hepsi şu ya da bu şekilde merkezi ve yazılı açıların, üçgenlerin ve dairelerin özelliklerine dayanmaktadır. Bunları başarılı bir şekilde çözmek için çizimi dikkatlice incelemeniz ve problemin verileriyle karşılaştırmanız ve ayrıca kendi düşüncenizi uygulayabilmeniz gerekir. teorik bilgi pratikte.

DAİRE VE DAİRE. SİLİNDİR.

§ 76. YAZILI VE DİĞER BAZI AÇILAR.

1. Yazılı açı.

Tepe noktası daire üzerinde olan ve kenarları kiriş olan açıya yazılı açı denir.

ABC açısı yazılı bir açıdır. Yanları arasına alınmış AC yayının üzerinde durur (Şek. 330).

Teorem. Yazılı bir açı, dayandığı yayın yarısıyla ölçülür.

Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: Yazılı bir açı, üzerinde durduğu yayın yarısında bulunan yay dereceleri, dakikaları ve saniyeleri kadar açısal derece, dakika ve saniye içerir.

Bu teoremi ispatlarken üç durum dikkate alınmalıdır.

İlk vaka. Çemberin merkezi yazılı açının yanında yer alır (Şek. 331).

İzin vermek / ABC yazılı bir açıdır ve O çemberinin merkezi BC kenarındadır. AC yayının yarısı kadar ölçüldüğünü kanıtlamak gerekir.

A noktasını çemberin merkezine bağlayalım. Bir ikizkenar elde ederiz /\ AOB, hangi
AO = OB, aynı dairenin yarıçapı olarak. Buradan, / bir = / İÇİNDE. / AOC, AOB üçgeninin dışındadır, dolayısıyla / AOC = / A+ / B (§ 39, paragraf 2) ve A ve B açıları eşit olduğundan, o zaman / B 1/2'dir / AOC.

Ancak / AOC ark AC ile ölçülür, bu nedenle, / B, AC yayının yarısı kadar ölçülür.

Örneğin, AC 60° 18" içeriyorsa, o zaman / B 30°9" içerir.

İkinci vaka. Çemberin merkezi, yazılı açının kenarları arasında yer alır (Şek. 332).

İzin vermek / ABD - yazılı açı. O çemberinin merkezi kenarları arasında yer alır. Bunu kanıtlamak gerekli / ABD, AD yayının yarısı kadar ölçülür.

Bunu kanıtlamak için güneşin çapını çizelim. ABD açısı iki açıya bölünmüştür: / 1 ve / 2.

/ 1 yarım yay AC ile ölçülür ve / 2 CD yayının yarısı kadar ölçülür, dolayısıyla tamamı / ABD, 1/2 AC + 1/2 CD, yani AD yayının yarısı ile ölçülür.
Örneğin, eğer AD 124°'yi içeriyorsa, o zaman / B 62° içerir.

Üçüncü durum. Çemberin merkezi yazılı açının dışında yer alır (Şek. 333).

İzin vermek / MAD - yazılı açı. O çemberinin merkezi köşenin dışındadır. Bunu kanıtlamak gerekli / MAD, MD yayının yarısı kadar ölçülür.

Bunu kanıtlamak için AB çapını çizelim. / Çılgın = / MAV- / DAB. Ancak / MAV 1/2 MV'de ölçülür ve / DAB 1/2 DB olarak ölçülür. Buradan, / MAD ölçülür
1/2 (MB - DB), yani 1/2 MD.
Örneğin MD 48° 38"16" içeriyorsa, o zaman / MAD, 24° 19" 8" içerir.

Sonuçlar. 1. Aynı yayı gören tüm yazılı açılar birbirine eşittir çünkü bunlar aynı yayın yarısı kadar ölçülür (Şekil 334, a).

2. Çapın kapsadığı yazılı açı, yarım daireye karşılık geldiği için dik açıdır. Yarım daire 180 yay derecesi içerir, yani çapa dayalı açı 90 yay derecesi içerir (Şekil 334, b).

2. Bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu açı.

Teorem. Bir teğet ve bir kirişin oluşturduğu açı, kenarları arasında kalan yayın yarısı kadar ölçülür.

İzin vermek / CAB, CA kirişi ve AB teğetinden oluşur (Şekil 335). SA'nın yarısı kadar ölçüldüğünü kanıtlamak gerekir. C || noktasından geçen düz bir CD çizgisi çizelim. AB. Yazılı / ACD, AD yayının yarısı kadar ölçülür, ancak AD = CA, çünkü bunlar teğet ile ona paralel kiriş arasında yer alır. Buradan, / DCA, CA yayının yarısı kadar ölçülür. Bundan beri / KAB = / DCA ise CA yayının yarısı kadar ölçülür.

Egzersizler.

1. Çizim 336'da blokların çemberine olan teğetleri bulun.

2. Çizim 337'ye göre, ADC açısının AC ve BC yaylarının toplamının yarısı kadar ölçüldüğünü kanıtlayın.

3. Çizim 337, b'yi kullanarak AMB açısının AB ve CE yaylarının yarı farkıyla ölçüldüğünü kanıtlayın.