Parabolün odağının koordinatlarını bulun. Kanonik parabol denklemi

Muhtemelen herkes parabolün ne olduğunu biliyor. Çeşitli sorunları çözerken bunu doğru ve yetkin bir şekilde nasıl kullanacağınız aşağıda açıklanmıştır. pratik problemler, bunu aşağıda çözeceğiz.

Öncelikle cebir ve geometrinin bu terime kazandırdığı temel kavramları özetleyelim. Bu grafiğin tüm olası türlerini ele alalım.

Bu fonksiyonun tüm temel özelliklerini bulalım. Temelleri anlayalım bir eğri oluşturma (geometri). Bu tür bir grafiğin üst ve diğer temel değerlerini nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Hadi öğrenelim: Denklemi kullanarak istenen eğriyi doğru bir şekilde nasıl oluşturacağınızı, nelere dikkat etmeniz gerektiğini. Temelleri görelim pratik uygulama insan hayatındaki bu eşsiz değer.

Parabol nedir ve neye benziyor?

Cebir: Bu terim ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini ifade eder.

Geometri: Bu, bir takım belirli özelliklere sahip olan ikinci dereceden bir eğridir:

Kanonik parabol denklemi

Resim gösteriyor dikdörtgen sistem koordinatlar (XOY), ekstremum, fonksiyonun apsis ekseni boyunca çizilen dallarının yönü.

Kanonik denklemşu forma sahiptir:

y 2 = 2 * p * x,

burada p katsayısı parabolün (AF) odak parametresidir.

Cebirde farklı şekilde yazılacaktır:

y = a x 2 + b x + c (tanınabilir model: y = x 2).

İkinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafiği

Fonksiyonun bir simetri ekseni ve bir merkezi (ekstremum) vardır. Tanım alanı apsis ekseninin tüm değerleridir.

– (-∞, M) veya (M, +∞) fonksiyonunun değer aralığı, eğrinin dallarının yönüne bağlıdır. Buradaki M parametresi satırın üst kısmındaki fonksiyonun değeri anlamına gelir.

Bir parabolün dallarının nereye yönlendirildiği nasıl belirlenir

Bu tür bir eğrinin yönünü bir ifadeden bulmak için ilk parametreden önceki işareti belirlemeniz gerekir. cebirsel ifade. Eğer a˃ 0 ise yukarı doğru yönlendirilirler. Tam tersi olursa aşağı.

Formülü kullanarak bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Ekstremumun bulunması birçok pratik problemin çözümünde temel adımdır. Elbette özel açabilirsiniz çevrimiçi hesap makineleri, ancak bunu kendi başınıza yapabilmek daha iyidir.

Nasıl belirlenir? Özel bir formül var. b 0'a eşit olmadığında bu noktanın koordinatlarını aramamız gerekir.

Köşeyi bulma formülleri:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Örnek.

y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 şeklinde bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun köşelerini bulalım.

Bunun gibi bir satır için:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Tepe noktasının koordinatlarını alıyoruz (-2, -41).

Parabol yer değiştirmesi

Klasik durum, ikinci dereceden bir fonksiyonda y = a x 2 + b x + c, ikinci ve üçüncü parametrelerin 0'a eşit olması ve = 1 - tepe noktasının (0; 0) noktasında olmasıdır.

Apsis veya ordinat eksenleri boyunca hareket, sırasıyla b ve c parametrelerindeki değişikliklerden kaynaklanmaktadır. Düzlemdeki çizgi, parametrenin değerine eşit birim sayısı kadar kaydırılacaktır.

Örnek.

Elimizde: b = 2, c = 3.

Bu, eğrinin klasik formunun apsis ekseni boyunca 2 birim parça ve ordinat ekseni boyunca 3 birim kaydırılacağı anlamına gelir.

İkinci dereceden denklem kullanarak parabol nasıl oluşturulur

Okul çocuklarının verilen parametreleri kullanarak bir parabolün nasıl doğru şekilde çizileceğini öğrenmesi önemlidir.

İfadeleri ve denklemleri analiz ederek aşağıdakileri görebilirsiniz:

1. İstenilen çizginin ordinat vektörü ile kesişme noktası şu değere sahip olacaktır: değere eşitİle.
2. Grafiğin tüm noktaları (x ekseni boyunca) fonksiyonun ana uç noktasına göre simetrik olacaktır.

Ayrıca böyle bir fonksiyonun diskriminantı (D) bilinerek OX ile kesişim noktaları bulunabilir:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Bunu yapmak için ifadeyi sıfıra eşitlemeniz gerekir.

Bir parabolün köklerinin varlığı sonuca bağlıdır:

• D ˃ 0, o zaman x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0 ise x 1, 2 = -b / (2*a);
• D ˂ 0 ise OX vektörüyle kesişme noktası yoktur.

Bir parabol oluşturmak için algoritmayı alıyoruz:

• dalların yönünü belirlemek;
• tepe noktasının koordinatlarını bulun;
• ordinat ekseniyle kesişimi bulun;
• x ekseniyle kesişimi bulun.

Örnek 1.

y = x 2 - 5 * x + 4 fonksiyonu göz önüne alındığında. Bir parabol oluşturmak gereklidir. Algoritmayı takip ediyoruz:

1. a = 1, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
2. ekstrem koordinatlar: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ordinat ekseni ile y = 4 değerinde kesişir;
4. diskriminantı bulalım: D = 25 - 16 = 9;
5. kök arıyorum:

• X1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Örnek 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 fonksiyonu için bir parabol oluşturmanız gerekir. Verilen algoritmaya göre hareket ediyoruz:

1. a = 3, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
2. ekstrem koordinatlar: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y ekseni ile y = -1 değerinde kesişecektir;
4. diskriminantı bulalım: D = 4 + 12 = 16. Yani kökler:

• X1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Elde edilen noktaları kullanarak bir parabol oluşturabilirsiniz.

Directrix, eksantriklik, bir parabolün odağı

Kanonik denkleme göre F'nin odağının koordinatları vardır (p/2, 0).

AB düz çizgisi bir direktriktir (belirli bir uzunluktaki bir parabolün bir tür akoru). Denklemi: x = -p/2.

Eksantriklik (sabit) = 1.

Çözüm

Okul çocuklarının çalıştığı bir konuya baktık lise. Artık bir parabolün ikinci dereceden fonksiyonuna bakarak tepe noktasını nasıl bulacağınızı, dalların hangi yöne yönlendirileceğini, eksenler boyunca bir yer değiştirme olup olmadığını ve bir inşaat algoritmasına sahip olarak grafiğini çizebileceğinizi biliyorsunuz.

Görev No. 1. Odakların koordinatlarını belirleyin ve parabolün doğrultmanının denklemini oluşturun

Bu denklemin denklemle karşılaştırılması
2p=4 olduğunu buluruz, dolayısıyla . Yani asıl nokta
- bir parabolün odak noktaları ve düz çizgi
yani x=-1 veya x+1=0 onun direktrisidir.

Cevap: (1;0)

Problem No. 2. Tepe noktası orijinde olan bir parabolün odakları F(0;-4) noktasındadır. Bu parabolün denklemini yazın.

Problem No. 3. Tepe noktası orijinde olan bir parabolün doğrultmanı 2x+5=0 düz çizgisidir.

Bir denklem yazın ve parabolün odağının koordinatlarını bulun.

R
Çözüm: Tepe noktası orijinde olan bir parabolün doğrultmanı 2x+5=0 doğrusu olduğundan veya
, o zaman odak noktasının koordinatları vardır

bu nedenle istenen eğri Ox ekseni F('ye göre simetriktir) )
ve dalları sağa doğru yönlendirilmiştir (odağın apsisi pozitiftir). Bu nedenle parabolün denklemi şu şekildedir:

Çünkü
O
ve parabolün denklemi şöyle olacaktır:
ve odağının koordinatları F(2.5;0)'dır.

Cevap:
; F(2.5;0)

Görev No.4. Oy eksenine göre simetrik olan ve merkezi koordinat sisteminin orijininde olan bir parabolün denklemini, eğer B(1;-2) noktasından geçiyorsa yazın.

Parabol Oy eksenine göre simetrik olduğundan ve koordinat sisteminin orijininde bir tepe noktasına sahip olduğundan denklemi şu şekildedir:
. B(1;-2) noktası bir parabol üzerinde bulunduğundan, koordinatları parabolleri karşılar, yani.
,

Nerede
ve bu nedenle
- bir parabolün denklemi.

Cevap:

Problem No. 5. Eğer kemer bir parabol biçimindeyse, 24 m uzunluğunda bir köprünün kemerinin yüksekliğini bulun, bunun denklemi

Bir parabol çizelim
Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde. Köprünün yüksekliğini h ile gösterelim ve =24 - köprü kemerinin uzunluğu. O zaman A(12;-h) P:
.

T
A noktası nasıl bir parabole aittir?
ise koordinatları bir parabol denklemini karşılar. Bu, parabol denkleminde mevcut koordinatlar (x;y) yerine belirli bir noktanın koordinatlarının kullanılmasını mümkün kılar. O zaman elimizde

Yani köprü kemerinin yüksekliği 3 m'dir.

Problem No. 6. Ufuk düzlemine belli bir açıyla yönlendirilen bir su akıntısı 2 m yüksekliğe çıkıyor ve hortumun ucundan 12 m aşağıya düşüyor. Jetin parabolik yörüngesini bulun.

Çözüm: Jetin parabolik yörüngesini Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemiyle ilişkilendirelim, böylece parabolik yörünge Oy eksenine simetrik olacak, dallar aşağıya doğru yönlendirilecek ve tepe noktası koordinatların orijininde yer alacaktır.

O zaman böyle bir parabolik yörüngenin denklemi şu şekildedir:
, A(6;-2) noktası P:
dolayısıyla koordinatları parabol denklemini karşılar. Parabolün mevcut x ve y koordinatları yerine A noktasının koordinatlarını değiştirme
, eşitlik verir

. Buradan,
- jetin parabolik yörüngesinin denklemi.

Cevap:

Kendiniz karar verin:

Problem No. 7. Bir reflektörün ekseninden geçen bir düzlemin kesiti bir paraboldür. Reflektörün genişliği 30 cm, derinliği 20 cm ise (reflektörün ekseni Ox eksenine çakışıyorsa) denklemini yazınız.

Cevap:

Problem No. 8. Su, bir parabolün dalını temsil eden bir akıntı halinde dünya yüzeyindeki bir delikten dışarı akıyor
. Deliğin yüksekliği ise tankın kenarından ne kadar uzakta dere yere düşüyor?

Cevap: 3 m.

Problem No. 9. Parabolik bir aynanın eksenel kesiti bir paraboldür

Aynanın “derinliği” 18,75 cm ise çapını belirleyin.

Cevap: 30cm.

Sorun No. 10. Altına atılan bir taş dar açı ufuk düzlemine ulaştı en büyük yükseklik 16 m., Parabolik bir yörünge çizen taş, atış noktasından 48 m. uzağa düştü. Taşın yörüngesini bulun.

Cevap:
.

Problem No. 11 Eğer odağı a) F(3;0); noktasında bulunuyorsa, köşesi orijinde olan bir parabol bulun.

b) F(-2;0);
c) F(0;4);
d) F(0;-)
Cevap: a)

;
B)

;
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
.

;

G)
c) F(0;4);
d) F(0;-)
V)
Problem No. 12 Eğer doğrultmanlar verilmişse, köşesi orijinde olan parabolleri bulun: a)

;

b)x=-5; c) y=3; d) y=-2;

Cevap: a)

; G)

Problem No. 13. Odak noktasının koordinatlarını bulun ve her bir parabol için doğrultman denklemini yazın.

Cevap:

A)

. Bu parabolleri oluşturun.

Cevap: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2y+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Problem No. 14. A(2;-2) ve B(1;2) noktalarının parabol üzerinde olup olmadığını kontrol edin

Cevap: A vardır, B değildir.
Problem No. 15. Köşesi orijinde olan, Ox eksenine göre simetrik olan ve noktadan geçen bir parabol için bir denklem yazın
Problem No. 16. Aşağıdaki durumlarda köşe noktası başlangıç ​​noktasında olan bir parabolün denklemini yazın:
A) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak üst yarı düzlemde bulunur ve odak parametresi 4'e eşittir;
.

B) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak alt yarı düzlemde bulunur ve odak parametresi 6'dır; B) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak sağ yarı düzlemde bulunur ve odak parametresi 3'e eşittir;.

d) parabol, ordinat eksenine göre simetrik olarak sol yarım düzlemde bulunur ve odak parametresi 5'e eşittir. Cevap a).

; B)

; V)

yani ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. Açık koordinat düzlemi(x'in değerlerini aldığımız adım ne kadar küçük olursa (içinde bu durumda adım 1) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Başlıkla="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Başlıkla="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse, parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. Parabolün işarete bağlı olarak eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada ((0;0) noktasında olduğu gibi) yeni sistem koordinatlar) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer davayla ilgileniyorsak, en baştan bir tane koyarız birim segmenti sağa, bir yukarı, - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir yukarı adım bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Ayırt ediciye bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tam sayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) bu nokta mesela, değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksenle (oy) kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

Örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?

Hadi alalım ikinci dereceden üç terimli ve onu vurgulayın mükemmel kare: Bak, bunu anladık, . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Bir parabol şu şekilde verilirse (yani iki sayının çarpımı olarak gösterilirse) doğrusal çarpanlar), sonra parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Düzlem üzerinde bir çizgi ve bu çizginin üzerinde olmayan bir nokta düşünün. VE elips, Ve hiperbol Belirli bir noktaya olan uzaklığın, belirli bir düz çizgiye olan uzaklığa oranının sabit bir değer olduğu noktaların geometrik yeri birleşik bir şekilde tanımlanabilir.

sıra ε. 0 1'de - hiperbol. ε parametresi elipsin ve hiperbolün dışmerkezliği. Mümkün olanlardan pozitif değerler bir parametre ε, yani ε = 1'in kullanılmadığı ortaya çıkar. Bu değer, belirli bir noktadan ve belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik konumuna karşılık gelir.

Tanım 8.1. Geometrik yer Düzlemin sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktalarına denir. parabol.

Sabit noktaya denir parabolün odağı ve düz çizgi - bir parabolün doğrultmanı. Aynı zamanda inanılıyor ki parabolün dışmerkezliği bire eşittir.

Geometrik değerlendirmelerden, parabolün, doğrultmana dik olan ve parabolün odağından geçen düz çizgiye göre simetrik olduğu sonucu çıkar. Bu düz çizgiye parabolün simetri ekseni veya kısaca denir. parabol ekseni. Bir parabol simetri eksenini tek bir noktada keser. Bu noktaya denir parabolün tepe noktası. Parabolün odağını ekseninin direktriks ile kesişme noktasına bağlayan segmentin ortasında bulunur (Şekil 8.3).

Parabol denklemi. Bir parabolün denklemini türetmek için düzlemi seçiyoruz köken parabolün tepe noktasında, x ekseni- pozitif yönü odağın konumuyla belirlenen parabolün ekseni (bkz. Şekil 8.3). Bu koordinat sistemine denir kanonik söz konusu parabol için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.

Odaktan doğrultmana olan mesafeyi p ile gösterelim. Onu aradılar parabolün odak parametresi.

O zaman odak noktası F(p/2; 0) koordinatlarına sahiptir ve d doğrultmanı x = - p/2 denklemiyle tanımlanır. F noktasından ve d doğrusundan eşit uzaklıkta olan M(x; y) noktalarının konumu denklemle verilir.

Denklemin (8.2) karesini alıp benzerlerini sunalım. Denklemi elde ederiz

buna denir kanonik parabol denklemi.

Bu durumda kare almanın eşdeğer dönüşüm denklem (8.2), çünkü denklemin her iki tarafı da radikal altındaki ifade gibi negatif değildir.

Parabol türü. Formu bilindiğini düşündüğümüz y 2 = x parabolünü x ekseni boyunca 1/(2p) katsayısıyla sıkıştırırsak bir parabol elde ederiz. genel görünüm, denklem (8.3) ile tanımlanır.

Örnek 8.2. Kanonik koordinatları (25; 10) olan bir noktadan geçen bir parabolün odak koordinatlarını ve doğrultma denklemini bulalım.

Kanonik koordinatlarda parabolün denklemi y 2 = 2px biçimindedir. (25; 10) noktası parabolün üzerinde olduğundan, 100 = 50p ve dolayısıyla p = 2. Bu nedenle, y 2 = 4x parabolün kanonik denklemidir, x = - 1 onun doğrultman denklemidir ve odak (1; 0) noktasındadır.

Bir parabolün optik özelliği. Parabol aşağıdakilere sahiptir optik özellik. Bir ışık kaynağı parabolün odağına konulursa her şey ışık ışınları parabolden yansıtıldıktan sonra parabolün eksenine paralel olacaklardır (Şekil 8.4). Optik özellik, parabolün herhangi bir M noktasında olduğu anlamına gelir. normal vektör teğet, odak yarıçapı MF ve apsis ekseni ile eşit açılar yapar.