Farklı derecelerde eşitsizlikler. Üstel eşitsizlikler

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir.

Üstel denklemleri çözmek genellikle a x = a b denklemini çözmekle sonuçlanır; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x = b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan ifadeyi kanıtlayalım.

x 1 = x 2 eşitliğinin geçerli olmadığını varsayalım, yani. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ise üstel fonksiyon y = a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği karşılanmalıdır< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç problemi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 formunda yazalım, buradan x + 2 = 0 elde ederiz, yani. x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 olduğundan denklem 8 x ∙ 3 x = 24 2 veya 24 x = 24 2 olarak yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol taraftaki parantezlerden çıkarıyoruz ortak çarpan 3 x - 2, 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x – 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x /7 x = 1 olarak yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x = a'yı değiştirerek verilen denklem ikinci dereceden denklem a 2 – 4a – 45 = 0'a indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluruz: a 1 = 9 ve 2 = -5, dolayısıyla 3 x = 9, 3 x = -5.

Üstel fonksiyon negatif değerler alamadığı için 3 x = 9 denkleminin kökü 2'dir ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur.

Cevap. x = 2.

Çözüm üstel eşitsizlikler genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerini çözmeye gelir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания üstel fonksiyon.

Bazı sorunlara bakalım.

Eşitsizliği çöz 3 x< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3x şeklinde yazalım.< 3 4 . Так как 3 >1 ise y = 3 x fonksiyonu artmaktadır.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece, x'te< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t'yi gösterelim, sonra şunu elde ederiz: ikinci dereceden eşitsizlik t2 + t – 2 > 0.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x € R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y = (1/3) x ve y = x – 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturalım.

2) Şeklimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 noktasında kesiştiği sonucuna varabiliriz. Kontrol şunu kanıtlar:

x = 1 bu denklemin köküdür:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 – 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulalım veya olmadığını kanıtlayalım. (1/3) x fonksiyonu azalıyor, y = x – 2/3 fonksiyonu artıyor. Bu nedenle, x > 1 için, ilk fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten fazladır; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için karşılandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

ve x = b en basitidir üstel denklem. Onun içinde A Sıfırın üstünde Ve A bire eşit değildir.

Üstel denklemleri çözme

Üstel fonksiyonun özelliklerinden, değer aralığının pozitif değerlerle sınırlı olduğunu biliyoruz. gerçek sayılar. O halde b = 0 ise denklemin çözümü yoktur. Aynı durum b denkleminde de ortaya çıkar.

Şimdi b>0 olduğunu varsayalım. Üstel fonksiyonda taban ise A birden büyükse, fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A Tamamlandı sonraki koşul 0

Buna dayanarak ve kök teoremini uygulayarak, a x = b denkleminin b>0 ve pozitif için tek bir kökü olduğunu buluruz. A Olumsuz bire eşit. Bunu bulmak için b'yi b = a c biçiminde temsil etmeniz gerekir.
O zaman açıktır ki İle a x = a c denkleminin bir çözümü olacaktır.

Hadi düşünelim sonraki örnek: denklem 5'i çözün (x 2 - 2*x - 1) = 25.

25'i 5 2 olarak düşünelim, şunu elde ederiz:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Veya eşdeğeri nedir:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Bulduklarımızı çözüyoruz ikinci dereceden denklem herhangi biri bilinen yöntemler. x = 3 ve x = -1 olmak üzere iki kök elde ederiz.

Cevap: 3;-1.

4 x - 5*2 x + 4 = 0 denklemini çözelim. t=2 x yerine koyalım ve aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edelim:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Bu denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözüyoruz. Kökleri elde ederiz t1 = 1 t2 = 4

Şimdi 2 x = 1 ve 2 x = 4 denklemlerini çözüyoruz.

Cevap: 0;2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

En basit üstel eşitsizliklerin çözümü de artan ve azalan fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A aşağıdaki koşul karşılanıyor 0, bu durumda bu fonksiyon tüm reel sayılar kümesinde azalan olacaktır.