- -
Genellikle, KORKUNÇ MATEMATİK ile birini korkutmak istediklerinde, çok karmaşık ve iğrenç bir şey olarak her türlü sinüs ve kosinüsleri örnek olarak gösterirler. Ama aslında anlaşılıp çözülebilecek güzel ve ilginç bir bölüm.
Konu 9. sınıfta başlıyor ve ilk seferde her şey her zaman net olmuyor, pek çok incelik ve püf noktası var. Konuyla ilgili bir şeyler söylemeye çalıştım.
Trigonometri dünyasına giriş:
Formüllere dalmadan önce sinüs, kosinüs vb.'nin ne olduğunu geometriden anlamanız gerekir.
Açının sinüsü- karşı (açı) tarafın hipotenüse oranı.
Kosinüs- komşunun hipotenüse oranı.
Teğet- bitişik tarafın karşı tarafı
Kotanjant- karşı tarafa bitişik.
Şimdi birim yarıçaplı bir daire düşünün koordinat uçağı ve üzerinde bir alfa açısı işaretleyin: (resimlerin en azından bazıları tıklanabilir)
- 
-
İnce kırmızı çizgiler, dairenin kesiştiği noktadan dik olan ve öküz ve oy eksenindeki dik açıdır. Kırmızı x ve y, eksenlerdeki x ve y koordinatlarının değeridir (gri x ve y, bunların yalnızca çizgiler değil koordinat eksenleri olduğunu belirtmek içindir).
Açıların öküz ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine hesaplandığı unutulmamalıdır.
Bunun için sinüs, kosinüs vb.'yi bulalım.
sin a: karşı kenar y'ye eşittir, hipotenüs ise 1'e eşittir.
sin a = y / 1 = y
Y ve 1'i nereden aldığımı tamamen açıklığa kavuşturmak için, harfleri düzenleyelim ve üçgenlere bakalım.
- -
AF = AE = 1 - dairenin yarıçapı.
Bu nedenle yarıçap olarak AB = 1'dir. AB - hipotenüs.
BD = CA = y - oh'nun değeri olarak.
AD = CB = x - oh'ya göre değer olarak.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Sonraki kosinüs:
çünkü: bitişik taraf- AD = x
çünkü a = AD / AB = x / 1 = x
Biz de çıktı alıyoruz teğet ve kotanjant.
tg a = y / x = sin a / cos a
karyola a = x / y = çünkü a / sin a
Aniden teğet ve kotanjant formülünü elde ettik.
Peki, bunun nasıl çözüldüğüne somut olarak bakalım.
Örneğin a = 45 derece.
Aldık dik üçgen 45 derecelik bir açıyla. Bazıları için bunun bir eşkenar üçgen olduğu hemen anlaşılıyor, ama yine de anlatacağım.
Üçgenin üçüncü açısını bulalım (birincisi 90, ikincisi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Eğer iki açı eşitse, kenarları da eşittir, kulağa böyle geliyor.
Öyle görünüyor ki, bu üçgenlerden ikisini üst üste koyarsak köşegeni olan bir kare elde ederiz. yarıçapa eşit= 1. Pisagor teoremine göre, kenarı a olan bir karenin köşegeninin ikinin köküne eşit olduğunu biliyoruz.
Şimdi düşünüyoruz. 1 (hipotenüs yani köşegen) karenin kenarı çarpı ikinin köküne eşitse, karenin kenarı da 1/sqrt(2) olmalıdır ve bu kesrin payını ve paydasını çarparsak ikinin kökünden sqrt(2)/2 elde ederiz. Üçgen ikizkenar olduğundan AD = AC => x = y
Trigonometrik fonksiyonlarımızı bulma:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
çünkü 45 = kare(2)/2 / 1 = kare(2)/2
tg 45 = kare(2)/2 / kare(2)/2 = 1
ctg 45 = kare(2)/2 / kare(2)/2 = 1
Diğer açı değerleriyle de aynı şekilde çalışmanız gerekiyor. Yalnızca üçgenler ikizkenar olmayacaktır, ancak kenarlar Pisagor teoremi kullanılarak aynı kolaylıkla bulunabilir.
Bu şekilde bir değerler tablosu elde ederiz trigonometrik fonksiyonlar farklı açılardan:
- 
-
Üstelik bu masa hileli ve çok kullanışlı.
Herhangi bir güçlük çekmeden kendiniz nasıl oluşturabilirsiniz: Bunun gibi bir tablo çizin ve kutulara 1 2 3 rakamlarını yazın.
- 
-
Şimdi bu 1 2 3'ün kökünü alıp 2'ye bölüyoruz. Şöyle çıkıyor:
- 
-
Şimdi sinüsün üzerini çizip kosinüsü yazıyoruz. Değerleri yansıtılmış sinüstür:
- 
-
Teğetin türetilmesi de aynı derecede kolaydır; sinüs çizgisinin değerini kosinüs çizgisinin değerine bölmeniz gerekir:
- 
-
Kotanjant değeri, tanjantın ters çevrilmiş değeridir. Sonuç olarak şöyle bir şey elde ediyoruz:
- 
-
Notörneğin bu teğet P/2'de mevcut değildir. Nedenini düşün. (Sıfıra bölemezsiniz.)
Burada hatırlamanız gerekenler: sinüs y değeri, kosinüs x değeridir. Teğet, y'nin x'e oranıdır ve kotanjant bunun tersidir. yani sinüs/kosinüs değerlerini belirlemek için yukarıda anlattığım tabloyu ve koordinat eksenleri olan bir daire çizmek yeterlidir (değerlere 0, 90, 180, 360).
- 
-
Umarım ayırt edebilirsiniz çeyrekler:
- 
-
Sinüs, kosinüs vb.'nin işareti açının hangi çeyrekte olduğuna bağlıdır. Bununla birlikte, ikinci ve üçüncü çeyrekte x'in negatif, üçüncü ve dördüncü çeyrekte y'nin negatif olduğunu hesaba katarsanız, kesinlikle ilkel mantıksal düşünme sizi doğru cevaba götürecektir. Korkutucu ya da korkutucu bir şey yok.
bahsetmenin yanlış olmayacağını düşünüyorum azaltma formülleri ala hayaletler, herkesin duyduğu gibi, bunda bir nebze de olsa doğruluk payı var. Gereksiz olduğu için böyle formüller yoktur. Tüm bu eylemin anlamı şu: Sadece ilk çeyreğe ait açı değerlerini (30 derece, 45, 60) rahatlıkla buluyoruz. Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, dolayısıyla herhangi bir geniş açıyı ilk çeyreğe sürükleyebiliriz. O zaman anlamını hemen bulacağız. Ancak sadece sürüklemek yeterli değildir; işareti hatırlamanız gerekir. İndirgeme formülleri bunun içindir.
Yani elimizde geniş bir açı var, daha doğrusu 90 dereceden fazla: a = 120. Ve bunun sinüsünü ve kosinüsünü bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için 120'yi çalışabileceğimiz aşağıdaki açılara ayıracağız:
günah a = günah 120 = günah (90 + 30)
Bu açının ikinci çeyrekte olduğunu görüyoruz, oradaki sinüs pozitif, dolayısıyla sinüsün önündeki + işareti korunuyor.
90 dereceden kurtulmak için sinüsü kosinüs olarak değiştiririz. Bu, hatırlamanız gereken bir kuraldır:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Veya bunu başka bir şekilde hayal edebilirsiniz:
günah 120 = günah (180 - 60)
180 dereceden kurtulmak için fonksiyonu değiştirmiyoruz.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Aynı değeri elde ettik, yani her şey doğru. Şimdi kosinüs:
çünkü 120 = çünkü (90 + 30)
İkinci çeyrekteki kosinüs negatif olduğundan eksi işareti koyduk. Ve 90 dereceyi kaldırmamız gerektiğinden fonksiyonu tam tersiyle değiştiriyoruz.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Veya:
çünkü 120 = çünkü (180 - 60) = - çünkü 60 = - 1 / 2
İlk çeyreğe açıları aktarmak için bilmeniz, yapabilmeniz ve yapmanız gerekenler:
- açıyı sindirilebilir terimlere ayrıştırmak;
- açının hangi çeyrekte olduğunu dikkate alın ve bu çeyrekteki fonksiyon negatif veya pozitif ise uygun işareti koyun;
-gereksiz şeylerden kurtulun:
*90, 270, 450'den ve kalan 90+180n'den kurtulmanız gerekiyorsa (n herhangi bir tam sayıdır), o zaman fonksiyon tersine çevrilir (sinüsten kosinüse, teğetten kotanjanta ve tersi);
*180'den ve kalan 180+180n'den kurtulmanız gerekiyorsa (n herhangi bir tamsayıysa), fonksiyon değişmez. (Burada bir özellik var ama kelimelerle anlatmak zor ama olsun).
Bu kadar. Birkaç kuralı hatırlayıp kolayca kullanabiliyorken formülleri ezberlemenin gerekli olduğunu düşünmüyorum. Bu arada, bu formüllerin kanıtlanması çok kolaydır:
- 
-
Ayrıca hantal tablolar da derliyorlar, o zaman şunu biliyoruz:
- 
-
Trigonometrinin temel denklemleri: onları çok ama çok iyi, ezbere bilmeniz gerekiyor.
Temel bilgiler trigonometrik özdeşlik
(eşitlik):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
İnanmıyorsanız, kendiniz kontrol edip kendiniz görmek daha iyidir. Farklı açıların değerlerini değiştirin.
Bu formül çok ama çok faydalıdır, bunu her zaman hatırlayın. bunu kullanarak sinüsten kosinüse ve tersini ifade edebilirsiniz, bu bazen çok faydalıdır. Ancak diğer formüllerde olduğu gibi, bununla nasıl başa çıkacağınızı bilmeniz gerekir. Trigonometrik fonksiyonun işaretinin açının bulunduğu çeyreğe bağlı olduğunu daima unutmayın. Bu yüzden kökü çıkarırken çeyreği bilmeniz gerekir.
Teğet ve kotanjant: Bu formülleri zaten en başında türetmiştik.
tg a = sin a / cos a
karyola a = cos a / sin a
Teğet ve kotanjant çarpımı:
tg a * ctg a = 1
Çünkü:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - kesirler iptal edilir.
Gördüğünüz gibi tüm formüller bir oyun ve bir kombinasyondur.
İlk formülün kosinüs karesi ve sinüs karesine bölünmesiyle elde edilen iki tane daha var:
- 
-
Sıfıra bölemeyeceğiniz için son iki formülün a açısının değeri üzerinde bir sınırlama ile kullanılabileceğini lütfen unutmayın.
Toplama formülleri: vektör cebiri kullanılarak kanıtlanmıştır.
- 
-
Nadiren kullanılır, ancak doğru bir şekilde. Taramada formüller var ancak bunlar okunaksız olabilir veya dijital formun algılanması daha kolay olabilir:
- -
Formüller çift açı:
Toplama formüllerine göre elde edilirler, örneğin: çift açının kosinüsü cos 2a = cos (a + a) - bu size bir şey hatırlatıyor mu? Betayı alfayla değiştirdiler.
- 
-
Sonraki iki formül, sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ve cos^2(a) = 1 - sin^2(a) ilk ikamesinden türetilir.
Çift açının sinüsü daha basittir ve çok daha sık kullanılır:
- 
-
Ve özel sapkınlar, tan a = sin a / cos a, vb. verildiğinde, bir çift açının teğetini ve kotanjantını türetebilirler.
- 
-
Yukarıda adı geçen kişiler için Üçlü açı formülleri:çift açı formüllerini zaten bildiğimiz için 2a ve a açıları toplanarak elde edilirler.
- 
-
Yarım açı formülleri:
- 
-
Nasıl türetildiğini, daha doğrusu nasıl açıklayacağımı bilmiyorum... Bu formülleri ana trigonometrik özdeşliği a/2 ile değiştirerek yazarsak cevap yakınsar.
Trigonometrik fonksiyonların toplanması ve çıkarılması için formüller:
- 
-
Toplama formüllerinden elde ediliyor ama kimsenin umrunda değil. Sık sık olmazlar.
Anladığınız gibi, hala bir sürü formül var, listelemek anlamsız çünkü onlar hakkında yeterli bir şey yazamayacağım ve kuru formüller her yerde bulunabilir ve bunlar daha önceki mevcut formüllerle bir oyundur. Her şey son derece mantıklı ve kesindir. sana son olarak şunu söyleyeyim yöntem hakkında yardımcı açı:
a cosx + b sinx ifadesini Acos(x+) veya Asin(x+) biçimine dönüştürmeye yardımcı açı (veya ek bir argüman) ekleme yöntemi denir. Yöntem çözmek için kullanılır trigonometrik denklemler Ekstrem problemlerde fonksiyonların değerleri tahmin edilirken dikkat edilmesi gereken önemli nokta, bazı problemlerin yardımcı açı getirilmeden çözülemeyeceğidir.
Bu yöntemi nasıl açıklamaya çalışırsanız çalışın, hiçbir şey çıkmadı, bu yüzden bunu kendiniz yapmanız gerekecek:
- 
-
Korkunç bir şey ama faydalı. Sorunları çözerseniz çözüme kavuşacaktır.
Buradan örneğin: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Dersin bir sonraki bölümünde trigonometrik fonksiyonların grafikleri yer alacaktır. Ama bu bir ders için yeterli. Okulda altı ay boyunca bunu öğrettiklerini düşünürsek.
Sorularınızı yazın, sorunları çözün, bazı görevlerin taranmasını isteyin, çözün, deneyin.
Daima senin, Dan Faraday.
\(\blacktriangleright\) Düşünün dikdörtgen sistem koordinatları ve içinde birim yarıçapı ve merkezi orijinde olan bir daire.
\(1^\circ\) cinsinden açı- öyle merkez açı uzunluğu tüm dairenin uzunluğuna \(\dfrac1(360)\) eşit olan bir yayın üzerinde durur.
\(\blacktriangleright\) Tepe noktasının dairenin merkezinde olduğu ve bir kenarın her zaman \(Ox\) ekseninin pozitif yönü ile çakıştığı daire üzerindeki açıları dikkate alacağız (şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır) .
Köşeler bu şekilde işaretlenir \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):
\(0^\circ\) açısının, her iki tarafı da \(Ox\) ekseninin pozitif yönüyle çakışan bir açı olduğuna dikkat edin.
Böyle bir açının ikinci tarafının \(\alpha\) daireyle kesiştiği noktaya \(P_(\alpha)\) adı verilecektir.
\(P_(0)\) noktasının konumuna başlangıç konumu adı verilecektir.
Böylece bir daire içinde dönüş yaptığımızı söyleyebiliriz. ilk pozisyon\(P_0\)'ı \(P_(\alpha)\) açısına göre \(\alpha\) konumuna getirin.
\(\blacktriangleright\) Bir daire içinde saat yönünün tersine dönüş, pozitif açı. Saat yönünde dönüş negatif bir dönüştür.
Örneğin, şekilde köşeler işaretlenmiştir \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):
\(\blacktriangleright\) Bir daire üzerindeki \(P_(30^\circ)\) noktasını düşünün. Başlangıç konumundan \(P_(30^\circ)\ noktasına kadar bir daire içinde dönmek için, \(30^\circ\) (turuncu) açısı boyunca döndürmeniz gerekir. Eğer tam bir dönüş yaparsak (yani \(360^\circ\) ) ve bir kez daha \(30^\circ\) dönüş yaparsak, o zaman zaten bir dönüş yapmış olmamıza rağmen tekrar bu noktaya geleceğiz. bir açı \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(mavi). Bu noktaya \(-330^\circ\) (yeşil) yönüne dönerek de ulaşabiliriz. \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) vesaire.
Böylece daire üzerindeki her nokta şuna karşılık gelir: sonsuz küme açılar ve bu açılar birbirinden bir tamsayı kadar farklıdır tam devrimler (\(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Örneğin, \(30^\circ\) açısı \(360^\circ\) açıdan \(-330^\circ\) daha büyüktür ve \(2\cdot 360^\circ\) açıdan küçüktür \(750^\circ\) .
\(P_(30^\circ)\) noktasında bulunan tüm açılar şu şekilde yazılabilir: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).
\(\siyahüçgensağ\) \(1\) radyan cinsinden açı- bu, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir yayın üzerinde duran merkezi açıdır: 
Çünkü \(R\) yarıçaplı tüm dairenin uzunluğu \(2\pi R\)'ye eşittir ve derece ölçüsü olarak - \(360^\circ\), o zaman şunu elde ederiz: \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), Neresi \ Bu temel formül dereceleri radyana (veya tam tersi) dönüştürebilirsiniz.
Örnek 1.\(60^\circ\) açısının radyan ölçüsünü bulun.
Çünkü \(180^\circ = \pi \Rightarrow 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Rightarrow 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)
Örnek 2. Bulmak derece ölçüsü açı \(\dfrac34 \pi\) .
Çünkü \(\pi=180^\circ \Rightarrow \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).
Genellikle yazarlar, örneğin değil \(\dfrac(\pi)4 \text( rad)\), ancak basitçe \(\dfrac(\pi)4\) (yani "rad" ölçü birimi atlanmıştır). Bir açı yazarken derecelerin belirtilmesine lütfen dikkat edin. düşürme. Dolayısıyla, "açı \(1\)'a eşittir" yazarak "açı \(1\) dereceye eşittir"i değil, "açı \(1\) radyana eşittir"i kastediyoruz.
Çünkü \(\pi \thickapprox 3,14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3,14 \textbf(rad) \Rightarrow 1 \textbf(rad) \thickapprox 57^\circ\).
Problemlerde böyle yaklaşık bir değişiklik yapılamaz, ancak derece cinsinden \(1\) radyanın yaklaşık olarak eşit olduğunu bilmek çoğu zaman bazı problemlerin çözümüne yardımcı olur. Örneğin, bu şekilde bir daire üzerinde \(5\) radyanlık bir açı bulmak daha kolaydır: bu yaklaşık olarak \(285^\circ\) değerine eşittir.
\(\blacktriangleright\) Planimetri (düzlemde geometri) sürecinden şunu biliyoruz: açılar için \(0<\alpha< 90^\circ\)
определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
kenarları \(a, b, c\) ve açısı \(\alpha\) olan bir dik üçgen verilirse, o zaman:
Çünkü birim çember üzerinde herhangi bir açı tanımlanır \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), o zaman herhangi bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı belirlemeniz gerekir.
Birim çemberi ve onun üzerindeki \(\alpha\) açısını ve buna karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasını düşünün:
\(P_(\alpha)K\) dikmesini \(P_(\alpha)\) noktasından \(Ox\) eksenine indirelim. Bir dik üçgen \(\triangle OP_(\alpha)K\) elde ederiz ve bundan şunu elde ederiz: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\]\(OK\) parçasının \(P_(\alpha)\) noktasının abscissa \(x_(\alpha)\)'sından ve \(P_(\alpha)K\) segmentinden başka bir şey olmadığına dikkat edin. ordinat \(y_(\alpha)\) . Ayrıca şuna da dikkat edin: birim çemberi aldık, o zaman \(P_(\alpha)O=1\) onun yarıçapıdır.
Böylece, \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]
Dolayısıyla, eğer \(P_(\alpha)\) noktasının koordinatları \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\) varsa, o zaman karşılık gelen açı boyunca koordinatları \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .
Tanım: 1. \(\alpha\) açısının sinüsü, birim çember üzerinde bu açıya karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasının ordinatıdır.
2. \(\alpha\) açısının kosinüsü, birim çember üzerinde bu açıya karşılık gelen \(P_(\alpha)\) noktasının apsisidir.
Bu nedenle, \(Oy\) eksenine sinüs ekseni, \(Ox\) eksenine kosinüs ekseni adı verilir.
\(\blacktriangleright\) Daire, şekilde gösterildiği gibi \(4\) dörde bölünebilir. 
Çünkü \(I\) çeyreğinde tüm noktaların hem apsisi hem de koordinatları pozitiftir, bu durumda bu çeyrekteki tüm açıların kosinüsleri ve sinüsleri de pozitiftir.
Çünkü \(II\) çeyreğinde, tüm noktaların koordinatları pozitif ve apsisler negatiftir, bu durumda bu çeyrekteki tüm açıların kosinüsleri negatif ve sinüsleri pozitiftir.
Benzer şekilde, kalan çeyrekler için sinüs ve kosinüsün işaretini belirleyebilirsiniz.
Örnek 3.Örneğin, \(P_(\frac(\pi)(6))\) ve \(P_(-\frac(11\pi)6)\) noktaları çakıştığı için koordinatları eşittir, yani. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\right),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\sağ)\).
Örnek 4.\(P_(\alpha)\) ve \(P_(\pi-\alpha)\) noktalarını düşünün. Kolaylık olması açısından \(0) olsun<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .
\(Ox\) : \(OK\) ve \(OK_1\) eksenlerine dik çizelim. \(OKP_(\alpha)\) ve \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) üçgenlerinin hipotenüs ve açıları ( \(\angle P_(\alpha)OK=\angle P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Buradan, \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Çünkü nokta koordinatları \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) ve noktalar \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), buradan, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]
Bu şekilde diğer formüller denir azaltma formülleri: \[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(array)))\]
Bu formülleri kullanarak herhangi bir açının sinüsünü veya kosinüsünü bulabilir, bu değeri \(I\) çeyreğinden itibaren açının sinüsüne veya kosinüsüne düşürebilirsiniz.
İlk çeyrekteki açıların sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri ve kotanjantları tablosu:
\[(\large(\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ) )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(array)))\]
Bu değerlerin “Düzlemde geometri (planimetri)” bölümünde görüntülendiğine dikkat edin. Bölüm II” konusunun “Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant hakkında ilk bilgiler” konusuna bakın.
Örnek 5.\(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) öğesini bulun.
Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)
Böylece, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\right)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).
\(\blacktriangleright\) İndirgeme formüllerini hatırlamayı ve kullanmayı kolaylaştırmak için aşağıdaki kuralı uygulayabilirsiniz.
Dava 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]
Bir açının işareti hangi çeyreğin içinde olduğu belirlenerek bulunabilir. Bu kuralı kullanarak, \(\alpha\) açısının \(I\) çeyreğinde olduğunu varsayıyoruz.
Durum 2. Açı, \(n\in\mathbb(N)\) şeklinde temsil edilebiliyorsa, o zaman \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) açısının sinüsünün işareti vardır. \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) açısının kosinüsünün işaretidir.
İşaret \(1\) durumunda olduğu gibi belirlenir.
İlk durumda fonksiyonun değişmeden kaldığını ve ikinci durumda değiştiğini unutmayın (fonksiyonun bir ortak fonksiyona dönüştüğünü söylüyorlar).
Örnek 6.\(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) öğesini bulun.
Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), buradan, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\right)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)
Örnek 7.\(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) öğesini bulun.
Açıyı dönüştürelim: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), buradan, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)
\(\siyahüçgensağ\) Sinüs ve kosinüs değerleri aralığı.
Çünkü birim çember üzerindeki herhangi bir \(P_(\alpha)\) noktasının \(x_(\alpha)\) ve \(y_(\alpha)\) koordinatları \(-1\) ila \ aralığındadır (1\) ve \(\cos\alpha\) ve \(\sin\alpha\) sırasıyla bu noktanın apsisi ve ordinatıdır, o zaman \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\] 
Pisagor teoremine göre bir dik üçgenden şunu elde ederiz: \(x^2_(\alpha)+y^2_(\alpha)=1^2\)
Çünkü \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Rightarrow\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(temel trigonometrik kimlik (GTT))\]
\(\siyahüçgensağ\) Teğet ve kotanjant.
Çünkü \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)
\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), O:
1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)
2) teğet ve kotanjant \(I\) ve \(III\) çeyreklerde pozitif, \(II\) ve \(IV\) çeyreklerde negatiftir.
3) teğet ve kotanjant değer aralığı - tüm gerçek sayılar, yani. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)
4) Teğet ve kotanjant için indirgeme formülleri de tanımlanmıştır.
Dava 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\)) açısının tanjantının işareti vardır. \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine açı kotanjantının işareti \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ) olur.
Durum 2. Açı şu şekilde temsil edilebilirse \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), burada \(n\in\mathbb(N)\) , sonra \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerinde \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ) açısının tanjantının bir işareti vardır. \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] burada \(\bigodot\) yerine açı kotanjantının işareti \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ) olur.
5) teğet eksen, sinüs eksenine paralel \((1;0)\) noktasından geçer ve teğet eksenin pozitif yönü, sinüs ekseninin pozitif yönü ile çakışır;
kotanjant ekseni \((0;1)\) noktasından kosinüs eksenine paraleldir ve kotanjant ekseninin pozitif yönü kosinüs ekseninin pozitif yönüyle çakışır. 
Teğet ekseni örneğini kullanarak bu gerçeğin kanıtını vereceğiz.
\(\triangle OP_(\alpha)K \sim \triangle AOB \Rightarrow \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Rightarrow \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).
Dolayısıyla, eğer \(P_(\alpha)\) noktası dairenin merkezine düz bir çizgi ile bağlıysa, o zaman bu düz çizgi teğet doğruyu değeri \(\mathrm(tg)\ olan bir noktada kesecektir. ,\alfa\) . 
6) Aşağıdaki formüller ana trigonometrik özdeşlikten kaynaklanır: \
İlk formül OTT'nin sağ ve sol taraflarını \(\cos^2\alpha\'ya, ikincisi ise \(\sin^2\alpha\)'ye bölerek elde edilir.
Lütfen kosinüsün sıfır olduğu açılarda tanjantın tanımlanmadığını unutmayın (bu \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
kotanjant sinüsün sıfır olduğu açılarda tanımlanmamıştır (bu \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).
\(\siyahüçgensağ\) Kosinüsün düzgünlüğü ve sinüsün tekliği, teğet, kotanjant.
Bir \(f(x)\) fonksiyonunun \(f(-x)=f(x)\) olsa bile çağrıldığını hatırlayın.
\(f(-x)=-f(x)\) ise bir fonksiyona tek denir.
Daireden, \(\alpha\) açısının kosinüsünün, herhangi bir \(\alpha\) değeri için \(-\alpha\) açısının kosinüsüne eşit olduğu görülebilir: 
Dolayısıyla kosinüs çift bir fonksiyondur; bu, \[(\Large(\cos(-x)=\cos x))\] formülünün doğru olduğu anlamına gelir
Daireden, herhangi bir \(\alpha\) değeri için \(\alpha\) açısının sinüsünün \(-\alpha\) açısının sinüsüne zıt olduğu açıktır: 
Dolayısıyla sinüs tek bir fonksiyondur, bu da formülün doğru olduğu anlamına gelir \[(\Büyük(\sin(-x)=-\sin x))\]
Teğet ve kotanjant da tek fonksiyonlardır: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]
Çünkü \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))
Uygulamada görüldüğü gibi, Birleşik Devlet Sınavında okul çocuklarının karşılaştığı matematiğin en zor bölümlerinden biri trigonometridir. Üçgenlerde en boy oranları bilimi 8. sınıfta öğrenilmeye başlanır. Bu tür denklemler trigonometrik fonksiyonların işareti altında bir değişken içerir. Bunların en basitleri olmasına rağmen: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - neredeyse herkese tanıdık geliyor okul çocuğu, bunların uygulanması genellikle zordur.
Profil düzeyinde matematikte Birleşik Devlet Sınavında, doğru çözülmüş bir trigonometri görevi çok yüksek derecelendirilir. Bir öğrenci bu bölümdeki bir görevi doğru bir şekilde tamamladığında en fazla 4 birincil puan alabilir. Bunu yapmak için Birleşik Devlet Sınavı için trigonometri kopya kağıtları aramak neredeyse anlamsızdır. En makul çözüm sınava iyi hazırlanmaktır.
Nasıl yapılır?
Matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki trigonometrinin sizi korkutmamasını sağlamak için hazırlanırken portalımızı kullanın. Kullanışlı, basit ve etkilidir. Eğitim portalımızın hem Moskova hem de diğer şehirlerdeki öğrencilere açık olan bu bölümünde, Birleşik Devlet Sınavı için trigonometriye ilişkin teorik materyal ve formüller erişilebilir bir şekilde sunulmaktadır. Ayrıca tüm matematiksel tanımlar için, bunları çözme sürecinin ayrıntılı bir açıklamasını içeren örnekler seçtik.
Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için "Trigonometri" bölümündeki teoriyi inceledikten sonra, edinilen bilginin daha iyi özümsenmesi için "Kataloglar" a gitmenizi öneririz. Burada ilgilendiğiniz bir konudaki sorunları seçebilir ve çözümlerini görüntüleyebilirsiniz. Bu nedenle Birleşik Devlet Sınavında trigonometri teorisinin tekrarlanması mümkün olduğu kadar etkili olacaktır.
Neyi bilmeniz gerekiyor?
Öncelikle \(sin\), \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) dar açılarının \(0°\) ile \(90°) arasındaki değerlerini öğrenmeniz gerekir. \). Ayrıca Moskova'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken trigonometri problemlerini çözmenin temel yöntemlerini hatırlamakta fayda var. Görevleri tamamlarken denklemi en basit haline indirmeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. Bunu şu şekilde yapabilirsiniz:
- denklemin çarpanlara ayrılması;
- bir değişkenin değiştirilmesi (cebirsel denklemlere indirgeme);
- homojen bir denklem elde edilir;
- yarım köşeye doğru ilerliyoruz;
- ürünleri toplamlara dönüştürmek;
- bir yardımcı açı girerek;
- evrensel ikame yöntemini kullanarak.
Bu durumda çoğu zaman öğrenci çözüm sırasında listelenen yöntemlerden birkaçını kullanmak zorunda kalır.
Trigonometrik dönüşümler gerçekleştirirken şu ipuçlarını izleyin:
- Örneğe baştan sona hemen bir çözüm bulmaya çalışmayın.
- Örneğin tamamını bir kerede dönüştürmeye çalışmayın. İleriye doğru küçük adımlar atın.
- Trigonometrideki trigonometrik formüllere ek olarak tüm adil cebirsel dönüşümleri (paranteze alma, kesirleri kısaltma, kısaltılmış çarpma formülleri vb.) kullanabileceğinizi unutmayın.
- Her şeyin iyi olacağına inanın.
Temel trigonometrik formüller
Trigonometrideki formüllerin çoğu genellikle hem sağdan sola hem de soldan sağa kullanılır, dolayısıyla bu formülleri o kadar iyi öğrenmeniz gerekir ki, belirli bir formülü her iki yönde de kolayca uygulayabilirsiniz. Öncelikle trigonometrik fonksiyonların tanımlarını yazalım. Bir dik üçgen olsun:
O halde sinüsün tanımı:
Kosinüs tanımı:
Teğet tanımı:
Kotanjant tanımı:
Temel trigonometrik kimlik:
Temel trigonometrik özdeşliğin en basit sonuçları:
Çift açı formülleri.Çift açının sinüsü:
Çift açının kosinüsü:
Çift açının tanjantı:
Çift açının kotanjantı:
Ek trigonometrik formüller
Trigonometrik toplama formülleri. Toplamın sinüsü:
Farkın sinüsü:
Toplamın kosinüsü:
Farkın kosinüsü:
Toplamın tanjantı:
Farkın tanjantı:
Miktarın kotanjantı:
Farkın kotanjantı:
Bir toplamı ürüne dönüştürmek için trigonometrik formüller. Sinüslerin toplamı:
Sinüs farkı:
Kosinüslerin toplamı:
Kosinüs farkı:
Teğetlerin toplamı:
Teğet fark:
Kotanjantların toplamı:
Kotanjant farkı:
Bir çarpımı toplama dönüştürmek için trigonometrik formüller. Sinüslerin çarpımı:
Sinüs ve kosinüs çarpımı:
Kosinüs çarpımı:
Derece indirgeme formülleri.
Yarım açı formülleri.
Trigonometrik indirgeme formülleri
Kosinüs fonksiyonu denir ortak işlev sinüs fonksiyonları ve bunun tersi. Benzer şekilde teğet ve kotanjant fonksiyonlar da eş fonksiyonlardır. İndirgeme formülleri aşağıdaki kurala göre formüle edilebilir:
- İndirgeme formülünde 90 dereceden veya 270 dereceden bir açı çıkarılırsa (eklenirse), indirgenmiş fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür;
- İndirgeme formülünde açı 180 dereceden veya 360 dereceden çıkarılırsa (eklenirse), azaltılmış fonksiyonun adı korunur;
- Bu durumda, çıkarılan (eklenen) açının dar olduğunu düşünürsek, azaltılmış (yani orijinal) fonksiyonun karşılık gelen çeyrekte sahip olduğu işaret, azaltılmış fonksiyonun önüne yerleştirilir.
Azaltma formülleri tablo şeklinde verilmiştir:
İle trigonometrik daire Trigonometrik fonksiyonların tablosal değerlerini belirlemek kolaydır:
Trigonometrik denklemler
Belirli bir trigonometrik denklemi çözmek için, aşağıda tartışılacak olan en basit trigonometrik denklemlerden birine indirgenmesi gerekir. Bunun için:
- Yukarıda verilen trigonometrik formülleri kullanabilirsiniz. Aynı zamanda örneğin tamamını bir anda dönüştürmeye çalışmanıza gerek yok, küçük adımlarla ilerlemeniz gerekiyor.
- Bazı ifadeleri cebirsel yöntemler kullanarak dönüştürme olasılığını unutmamalıyız; örneğin, parantezlerden bir şey çıkarın veya tam tersine parantezleri açın, bir kesri azaltın, kısaltılmış bir çarpma formülü uygulayın, kesirleri ortak bir paydaya getirin vb.
- Trigonometrik denklemleri çözerken şunları kullanabilirsiniz: gruplama yöntemi. Birkaç faktörün çarpımının sıfıra eşit olması için herhangi birinin sıfıra eşit olmasının yeterli olduğu unutulmamalıdır ve geri kalanı vardı.
- Başvuruyor değişken değiştirme yöntemi Her zamanki gibi, değiştirmeyi uyguladıktan sonra denklem daha basit hale gelmeli ve orijinal değişkeni içermemelidir. Ayrıca ters değiştirme yapmayı da hatırlamanız gerekir.
- Homojen denklemlerin trigonometride sıklıkla ortaya çıktığını unutmayın.
- Modülleri açarken veya trigonometrik fonksiyonlarla irrasyonel denklemleri çözerken, karşılık gelen denklemleri sıradan fonksiyonlarla çözmenin tüm inceliklerini hatırlamanız ve hesaba katmanız gerekir.
- ODZ'yi hatırlayın (trigonometrik denklemlerde, ODZ üzerindeki kısıtlamalar esas olarak sıfıra bölünemeyeceğiniz gerçeğine iner, ancak diğer kısıtlamaları, özellikle de rasyonel güçlerdeki ve çift güçlerin kökleri altındaki ifadelerin pozitifliği hakkında unutmayın). Ayrıca sinüs ve kosinüs değerlerinin yalnızca eksi bir ile artı bir (dahil) aralığında olabileceğini unutmayın.
Önemli olan ne yapacağınızı bilmiyorsanız en azından bir şeyler yapın ve asıl önemli olan trigonometrik formülleri doğru kullanmaktır. Eğer elde ettiğiniz şey giderek daha iyi hale gelirse çözüme devam edin, daha da kötüye giderse en başa dönün ve başka formüller uygulamaya çalışın, doğru çözüme ulaşana kadar bunu yapın.
En basit trigonometrik denklemlerin çözümleri için formüller. Sinüs için çözümü yazmanın iki eşdeğer biçimi vardır:
Diğer trigonometrik fonksiyonlar için gösterim açıktır. Kosinüs için:
Teğet için:
Kotanjant için:
Bazı özel durumlarda trigonometrik denklemlerin çözümü:
Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması, CT'de yapabildiğiniz maksimum düzeyde mükemmel bir sonuç göstermenize olanak sağlayacaktır.
Bir hata mı buldunuz?
Eğitim materyallerinde bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız lütfen e-posta ile yazınız. Ayrıca sosyal ağdaki () bir hatayı da bildirebilirsiniz. Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.
“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.
Sinüs, kosinüs, teğet - bu kelimeleri lise öğrencilerinin huzurunda telaffuz ederken, üçte ikisinin daha fazla konuşmaya olan ilgisini kaybedeceğinden emin olabilirsiniz. Bunun nedeni, okulda trigonometrinin temellerinin gerçeklikten tamamen ayrı olarak öğretilmesi ve bu nedenle öğrencilerin formüller ve teoremler üzerinde çalışmanın anlamını görememeleridir.
Aslında, daha yakından incelendiğinde, bu bilgi alanının hem uygulamalı hem de çok ilginç olduğu ortaya çıkıyor - trigonometri astronomi, inşaat, fizik, müzik ve diğer birçok alanda kullanılıyor.
Temel kavramları tanıyalım ve matematik biliminin bu dalını incelemek için çeşitli nedenleri adlandıralım.
Hikaye
İnsanlığın hangi noktada geleceğin trigonometrisini sıfırdan yaratmaya başladığı bilinmiyor. Bununla birlikte, MÖ 2. binyılda Mısırlıların bu bilimin temellerine aşina oldukları belgelenmiştir: arkeologlar, piramidin bilinen iki taraftaki eğim açısını bulmanın gerekli olduğu bir görevi olan bir papirüs bulmuşlardır.
Eski Babil'in bilim adamları daha ciddi başarılar elde etti. Yüzyıllar boyunca astronomi inceleyerek bir dizi teoremde ustalaştılar, açıları ölçmek için özel yöntemler tanıttılar, bu arada bugün kullanıyoruz: dereceler, dakikalar ve saniyeler, Greko-Romen kültüründe Avrupa bilimi tarafından ödünç alındı. bu birimler Babillilerden geldi.
Trigonometrinin temelleriyle ilgili ünlü Pisagor teoreminin yaklaşık dört bin yıl önce Babilliler tarafından bilindiği varsayılmaktadır.
İsim
Kelimenin tam anlamıyla, "trigonometri" terimi "üçgenlerin ölçümü" olarak tercüme edilebilir. Yüzyıllar boyunca bilimin bu bölümündeki çalışmanın ana amacı dik üçgen veya daha doğrusu açıların büyüklükleri ile kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiydi (bugün trigonometrinin sıfırdan incelenmesi bu bölümle başlıyor) . Hayatta, bir nesnenin gerekli tüm parametrelerini (veya nesneye olan mesafeyi) ölçmenin pratik olarak imkansız olduğu ve daha sonra eksik verilerin hesaplamalar yoluyla elde edilmesinin gerekli olduğu durumlar vardır.
Örneğin geçmişte insanlar uzay nesnelerine olan mesafeyi ölçemiyordu, ancak bu mesafeleri hesaplama girişimleri çağımızın başlangıcından çok önce yapılmıştı. Trigonometri navigasyonda da çok önemli bir rol oynadı: Biraz bilgi sahibi olan kaptan geceleri her zaman yıldızlara göre yön bulabilir ve rotayı ayarlayabilirdi.
Temel konseptler
Trigonometriye sıfırdan hakim olmak, birkaç temel terimi anlamayı ve hatırlamayı gerektirir.
Belirli bir açının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Karşı bacağın, düşündüğümüz açının karşısında kalan taraf olduğunu açıklığa kavuşturalım. Böylece, eğer bir açı 30 derece ise, üçgenin herhangi bir boyutu için bu açının sinüsü her zaman ½'ye eşit olacaktır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.
Teğet, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır (veya aynı şekilde sinüsün kosinüse oranıdır). Kotanjant, teğete bölünen birimdir.
Yarıçapı bir birim olan bir dairenin uzunluğunun yarısı olan ünlü Pi sayısından (3,14...) bahsetmeye değer.
Popüler hatalar
Trigonometriyi sıfırdan öğrenen insanlar, çoğunlukla dikkatsizlik nedeniyle bir takım hatalar yaparlar.
Öncelikle geometri problemlerini çözerken sinüs ve kosinüs kullanımının yalnızca dik üçgende mümkün olduğunu unutmamalısınız. Bir öğrencinin "otomatik olarak" bir üçgenin en uzun kenarını hipotenüs olarak alması ve yanlış hesaplama sonuçları alması olur.
İkincisi, ilk başta seçilen açı için sinüs ve kosinüs değerlerini karıştırmak kolaydır: 30 derecelik sinüsün sayısal olarak 60 kosinüsüne eşit olduğunu ve bunun tersi olduğunu hatırlayın. Yanlış bir sayı koyarsanız sonraki tüm hesaplamalar yanlış olacaktır.
Üçüncüsü, sorun tamamen çözülene kadar hiçbir değeri yuvarlamamalı, kök çıkarmamalı veya ortak bir kesri ondalık sayı olarak yazmamalısınız. Genellikle öğrenciler bir trigonometri probleminde "güzel" bir sayı elde etmeye çalışırlar ve hemen üçün kökünü çıkarmaya çalışırlar, ancak tam olarak tek bir eylemden sonra bu kök azaltılabilir.
"Sinüs" kelimesinin etimolojisi
“Sinüs” kelimesinin tarihi gerçekten sıra dışıdır. Gerçek şu ki, bu kelimenin Latinceden birebir çevirisi “içi boş” anlamına geliyor. Bunun nedeni, bir dilden diğerine çeviri sırasında kelimenin doğru anlaşılmasının kaybolmasıdır.
Temel trigonometrik fonksiyonların isimleri, sinüs kavramının Sanskritçe'de "string" kelimesiyle belirtildiği Hindistan'dan gelmektedir - gerçek şu ki, segment, üzerinde durduğu dairenin yayı ile birlikte bir yay gibi görünüyordu . Arap medeniyetinin en parlak döneminde, Hintlerin trigonometri alanındaki başarıları ödünç alındı ve terim, transkripsiyon olarak Arapçaya geçti. Öyle oldu ki, bu dilde zaten bir depresyonu ifade eden benzer bir kelime vardı ve eğer Araplar yerli ve ödünç alınmış kelime arasındaki fonetik farkı anladıysa, o zaman bilimsel incelemeleri Latince'ye çeviren Avrupalılar, hiçbir şeyi olmayan Arapça kelimeyi yanlışlıkla tam anlamıyla tercüme ettiler. sinüs kavramıyla ilgilidir. Bu güne kadar hala kullanıyoruz.
Değer tabloları
Olası tüm açıların sinüsleri, kosinüsleri ve teğetleri için sayısal değerleri içeren tablolar vardır. Aşağıda, "kuklalar" için trigonometrinin zorunlu bir bölümü olarak öğrenilmesi gereken 0, 30, 45, 60 ve 90 derecelik açılara ilişkin verileri sunuyoruz; neyse ki bunların hatırlanması oldukça kolaydır;
Bir açının sinüs veya kosinüsünün sayısal değeri "aklınızdan çıkarsa", bunu kendiniz elde etmenin bir yolu vardır.
Geometrik gösterim
Bir daire çizelim ve apsis ve koordinat eksenlerini merkezinden geçirelim. Apsis ekseni yatay, ordinat ekseni dikeydir. Genellikle sırasıyla "X" ve "Y" olarak imzalanırlar. Şimdi dairenin merkezinden düz bir çizgi çizeceğiz, böylece daire ile X ekseni arasında ihtiyacımız olan açı elde edilecek. Son olarak, düz çizginin daireyle kesiştiği noktadan X eksenine dik olarak düşüyoruz. Ortaya çıkan parçanın uzunluğu, açımızın sinüsünün sayısal değerine eşit olacaktır.
Örneğin bir sınav sırasında gerekli değeri unuttuysanız ve elinizde bir trigonometri ders kitabınız yoksa bu yöntem çok uygundur. Bu şekilde kesin bir sayı elde edemezsiniz, ancak ½ ile 1,73/2 (30 derecelik açının sinüs ve kosinüsü) arasındaki farkı kesinlikle göreceksiniz.
Başvuru
Trigonometriyi kullanan ilk uzmanlardan bazıları, açık denizde başlarının üzerindeki gökyüzü dışında başka bir referans noktası olmayan denizcilerdi. Bugün, gemi kaptanları (uçaklar ve diğer ulaşım araçları) yıldızları kullanarak en kısa yolu aramıyorlar, ancak trigonometri kullanılmadan imkansız olan GPS navigasyonuna aktif olarak başvuruyorlar.
Fiziğin neredeyse her bölümünde sinüs ve kosinüsleri kullanan hesaplamalar bulacaksınız: mekanikte kuvvet uygulaması, kinematikte nesnelerin yolunun hesaplanması, titreşimler, dalga yayılımı, ışığın kırılması - temel trigonometri olmadan yapamazsınız. formüller.
Trigonometri olmadan düşünülemeyen bir diğer meslek de kadastroculuktur. Bir teodolit ve bir seviye veya daha karmaşık bir cihaz olan bir takometre kullanarak, bu insanlar dünya yüzeyindeki farklı noktalar arasındaki yükseklik farkını ölçerler.
Tekrarlanabilirlik
Trigonometri, bir üçgenin yalnızca açıları ve kenarlarıyla ilgilenmez, ancak burası varlığının başladığı yerdir. Döngüselliğin mevcut olduğu tüm alanlarda (biyoloji, tıp, fizik, müzik vb.) muhtemelen adı size tanıdık gelen bir grafikle karşılaşacaksınız - bu bir sinüs dalgasıdır.
Böyle bir grafik, zaman ekseni boyunca açılmış ve dalgaya benzeyen bir dairedir. Eğer fizik dersinde osiloskopla çalıştıysanız neyden bahsettiğimizi biliyorsunuzdur. Hem müzik ekolayzır hem de kalp atış hızı monitörü, çalışmalarında trigonometri formüllerini kullanır.
Nihayet
Trigonometrinin nasıl öğrenileceğini düşünürken, çoğu ortaokul ve lise öğrencisi, yalnızca ders kitaplarından sıkıcı bilgilerle tanıştıkları için bunun zor ve pratik olmayan bir bilim olduğunu düşünmeye başlar.
Pratik olmama konusuna gelince, hemen hemen her faaliyet alanında sinüsleri ve teğetleri kullanma becerisinin bir dereceye kadar gerekli olduğunu zaten gördük. Karmaşıklığa gelince... Düşünün: Eğer insanlar bu bilgiyi iki bin yıldan fazla bir süre önce kullanmış olsaydı, bir yetişkinin günümüzün lise öğrencisinden daha az bilgiye sahip olduğu bir zamanda, bu bilim alanını temel düzeyde incelemek kişisel olarak sizin için gerçekçi midir? Sorunları çözmek için birkaç saatlik düşünceli pratik yapın - ve mankenler için trigonometri adı verilen temel kursu inceleyerek hedefinize ulaşacaksınız.
