Sinüs ve kosinüsün pozitif olduğu yer. Trigonometride pozitif ve negatif açılar

Ders türü: bilginin sistemleştirilmesi ve ara kontrol.

Teçhizat: trigonometrik daire, testler, görev kartları.

Ders hedefleri:öğrenilenleri sistematize etmek teorik materyal bir açının sinüs, kosinüs, tanjant tanımlarına göre; Bu konuyla ilgili bilgi edinme derecesini ve pratikte uygulamayı kontrol edin.

Görevler:

• Bir açının sinüs, kosinüs ve tanjant kavramlarını genelleştirin ve birleştirin.
• Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin kapsamlı bir anlayış oluşturun.
• Öğrencilerin trigonometrik materyali inceleme isteği ve ihtiyacının gelişmesine katkıda bulunmak; bir iletişim kültürünü, gruplar halinde çalışma yeteneğini ve kendi kendine eğitim ihtiyacını geliştirmek.

“Kim genç yaştan itibaren kendi başına düşünür ve düşünürse,
O zaman daha güvenilir, daha güçlü, daha akıllı hale gelir.

(V. Shukshin)

DERSİN İLERLEMESİ

I. Organizasyon anı

Sınıf üç grupla temsil edilir. Her grubun bir danışmanı vardır.
Öğretmen dersin konusunu, amaçlarını ve hedeflerini anlatır.

II. Bilgiyi güncelleme (sınıfla ön çalışma)

1) Gruplar halinde görevler üzerinde çalışın:

1. Formüle edin günahın tanımı köşe.

– Sin α'nın her koordinat çeyreğinde hangi işaretleri vardır?
– Sin α ifadesi hangi değerlerde anlamlıdır ve hangi değerleri alabilir?

2. İkinci grup cos α için aynı sorulardır.

3. Üçüncü grup aynı tg α ve ctg α sorularına yanıtlar hazırlar.

Şu anda, üç öğrenci kartları (farklı grupların temsilcileri) kullanarak tahtada bağımsız olarak çalışır.

1 numaralı kart.

Pratik çalışma.
Kullanarak birim çember 50, 210 ve –210 açıları için sin α, cos α ve tan α değerlerini hesaplayın.

2 numaralı kart.

İfadenin işaretini belirleyin: tg 275; çünkü 370; günah 790; tg 4.1 ve sin 2.

3 numaralı kart.

1) Hesaplayın:
2) Karşılaştırın: cos 60 ve cos 2 30 – sin 2 30

2) Sözlü olarak:

a) Bir dizi sayı önerilmektedir: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Bunların arasında gereksiz olanlar da var. Hangi günah özelliğiα veya cos α bu sayıları ifade edebilir (Can sin α veya cos α bu değerleri alabilir).
b) İfade anlamlı mı: çünkü (-); günah 2; tg 3: ctg (- 5); ; ctg0;
cotg(–π). Neden?
c) En küçük ve en yüksek değer günah veya çünkü, tg, ctg.
d) Doğru mu?
1) α = 1000 ikinci çeyreğin açısıdır;
2) α = – 330 IV çeyreğinin açısıdır.
e) Sayılar birim çember üzerinde aynı noktaya karşılık gelir.

3) Yönetim kurulunda çalışmak

No. 567 (2; 4) – İfadenin değerini bulun
Sayı 583 (1-3) İfadenin işaretini belirleyin

Ev ödevi: not defterindeki tablo. 567(1, 3) Sayı 578

III. Ek bilgi edinme. Trigonometri avucunuzun içinde

Öğretmen: Açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin avucunuzun içinde “bulunduğu” ortaya çıktı. Elinizi (herhangi bir el) uzatın ve mümkün olduğunca uzağa yayın daha güçlü parmaklar(posterdeki gibi). Bir öğrenci davet edilir. Parmaklarımızın arasındaki açıları ölçüyoruz.
30, 45 ve 60 90'lik bir açının olduğu bir üçgen alın ve açının tepe noktasını avucunuzun içindeki Ay'ın tümseğine uygulayın. Ay Dağı, küçük parmağın uzantılarının kesiştiği noktada bulunur. baş parmak. Bir tarafını küçük parmakla, diğer tarafını da diğer parmaklardan biriyle birleştiriyoruz.
Kendini küçük parmağın arasında bulur ve baş parmak açı 90, serçe parmak ile yüzük parmağı arası – 30, serçe parmak ile orta parmak arası – 45, serçe parmak ile işaret parmağı arası – 60. Ve bu istisnasız tüm insanlar için geçerlidir.

Küçük parmak No. 0 – 0'a karşılık gelir,
isimsiz No. 1 - 30'a karşılık gelir,
ortalama No. 2 – 45’e karşılık gelir,
indeks numarası 3 - 60'a karşılık gelir,
Büyük No. 4 – 90’a karşılık gelir.

Böylece elimizde 4 parmağımız var ve formülü hatırlıyoruz:

Bu sadece anımsatıcı bir kuraldır. Genel olarak sin α veya cos α'nın değeri ezbere bilinmelidir, ancak bazen bu kural zor zamanlarda yardımcı olabilir.
Çünkü için bir kural bulun (açılar değişmez, ancak başparmaktan itibaren sayılır). Sin α veya cos α işaretleriyle ilişkili fiziksel bir duraklama.

IV. Bilgi ve becerilerinizi kontrol etmek

Geri bildirimle bağımsız çalışma

Her öğrenciye bir test (4 seçenekli) verilir ve cevap kağıdı herkes için aynıdır.

Test

Seçenek 1

1) Yarıçap hangi dönüş açısında 50 derecelik bir açıyla dönerken aynı konumu alacaktır?
2) İfadenin değerini bulun: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Hangi sayı sıfırdan az: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Seçenek 2

1) Hangi dönüş açısında yarıçap, 10'luk bir açıyla dönerken olduğu gibi aynı konumu alacaktır.
2) İfadenin değerini bulun: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Hangi sayı sıfırdan büyük: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Seçenek 3

1) İfadenin değerini bulun: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Hangi sayı sıfırdan küçüktür: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Sin α > 0 ise hangi çeyrek açı α açısıdır, çünkü α< 0.

Seçenek 4

1) İfadenin değerini bulun: tg 60 – 6ctg 90.
2) Hangi sayı sıfırdan küçüktür: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) CTg α ise hangi çeyrek açı α açısıdır?< 0, cos α> 0.

(anahtar kelime trigonometridir)

V. Trigonometri tarihinden bilgiler

Öğretmen: Trigonometri, insan yaşamı için oldukça önemli bir matematik dalıdır. Modern görünüm Trigonometri, 18. yüzyılın en büyük matematikçisi Leonhard Euler (İsviçre doğumlu) tarafından tanıtıldı. uzun yıllardır Rusya'da çalıştı ve St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin üyesiydi. O girdi bilinen tanımlar trigonometrik fonksiyonlar formüle edilmiş ve kanıtlanmış ünlü formüller, onlara daha sonra öğreteceğiz. Euler'in hayatı çok ilginç ve onu Yakovlev'in "Leonard Euler" kitabı aracılığıyla tanımanızı tavsiye ederim.

(Bu konuyla ilgili adamlardan mesaj var)

VI. Dersi özetlemek

Oyun "Tic Tac Toe"

En aktif iki öğrenci katılıyor.

Gruplardan destek alıyorlar. Görevlerin çözümleri bir not defterine yazılır.

Görevler

1) Hatayı bulun< О
a) günah 225 = – 1,1 c) günah 115

b) çünkü 1000 = 2 d) çünkü (– 115) > 0
2) Açıyı derece cinsinden ifade edin
3) 300 açısını radyan cinsinden ifade edin 4) En büyüğü nedir ve en küçük değer
şu ifadeye sahip olabilir: 1+ sin α;
5) İfadenin işaretini belirleyin: sin 260, cos 300. 6) Hangi çeyrekte sayı dairesi
bulunan nokta
7) İfadenin işaretlerini belirleyin: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Hesaplayın:

9) Karşılaştırın: sin 2 ve sin 350

Öğretmen: VII. Ders yansıması
Trigonometriyle nerede tanışabiliriz?

9. sınıfta hangi derslerde ve hatta şu anda bile sin α, cos α kavramlarını kullanıyorsunuz; tg a; ctg α ve hangi amaçla? Bir dizi karakteristik sonuç oluşturmanıza olanak tanır - sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın özellikleri . Bu yazıda üç ana özelliğe bakacağız. Bunlardan ilki, koordinat çeyreğinin α olduğu açıya bağlı olarak α açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının işaretlerini gösterir. Daha sonra, bu açı tam sayıda devirle değiştiğinde, a açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin değişmezliğini belirleyen periyodiklik özelliğini ele alacağız. Üçüncü özellik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri arasındaki ilişkiyi ifade eder zıt köşeler

α ve −α.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının özellikleriyle ilgileniyorsanız, bunları makalenin ilgili bölümünde inceleyebilirsiniz.

Sayfada gezinme.

Çeyreklere göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant işaretleri

Bu paragrafın altında “I, II, III ve IV koordinat çeyreklerinin açısı” ifadesi görünecektir. Bu açıların ne olduğunu açıklayalım.

Bir birim çember alalım, üzerine A(1, 0) başlangıç ​​noktasını işaretleyelim ve onu O noktası etrafında α açısı kadar döndürelim ve A 1 (x, y) noktasına ulaşacağımızı varsayalım. α açısı I, II, III, IV koordinat çeyreğinin açısıdır, eğer A 1 noktası sırasıyla I, II, III, IV çeyreklerinde yer alıyorsa; α açısı, A1 noktasının Ox veya Oy koordinat çizgilerinden herhangi birinde yer aldığı şekildeyse, o zaman bu açı dört çeyreğin hiçbirine ait değildir.

Açıklık sağlamak için, burada bir grafik gösterimi bulunmaktadır. Aşağıdaki çizimler sırasıyla I, II, III ve IV koordinat çeyreklerinin açıları olan 30, −210, 585 ve −45 derecelik dönüş açılarını göstermektedir.

Açılar 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … dereceler koordinat bölgelerinin hiçbirine ait değildir.

Şimdi hangi kadran açısının a olduğuna bağlı olarak hangi işaretlerin sinüs, kosinüs, tanjant ve dönme açısı a'nın kotanjant değerlerine sahip olduğunu bulalım.

Sinüs ve kosinüs için bunu yapmak kolaydır.

Tanım gereği, α açısının sinüsü A1 noktasının ordinatıdır. Açıkçası, I ve II koordinat çeyreklerinde pozitif, III ve IV çeyreklerinde ise negatiftir. Böylece, α açısının sinüsü 1. ve 2. çeyrekte artı işaretine, 3. ve 6. çeyrekte ise eksi işaretine sahiptir.

Buna karşılık, α açısının kosinüsü A1 noktasının apsisidir. I ve IV çeyreklerde olumlu, II ve III çeyreklerde ise negatif. Sonuç olarak, I ve IV çeyreklerinde a açısının kosinüsünün değerleri pozitif, II ve III çeyreklerinde ise negatiftir.

Teğet ve kotanjant çeyreklerinin işaretlerini belirlemek için tanımlarını hatırlamanız gerekir: teğet, A 1 noktasının ordinatının apsise oranıdır ve kotanjant, A 1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır. sonra sayıları bölme kuralları aynısıyla ve farklı işaretler bundan, A 1 noktasının apsis ve ordinat işaretleri aynı olduğunda teğet ve kotanjantın artı işaretine sahip olduğu ve A 1 noktasının apsis ve ordinat işaretleri farklı olduğunda eksi işareti olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, açının tanjantı ve kotanjantı I ve III koordinat çeyreklerinde + işaretine, II ve IV çeyreklerinde ise eksi işaretine sahiptir.

Nitekim örneğin ilk çeyrekte A1 noktasının hem apsis x'i hem de y ordinatı pozitiftir, bu durumda hem x/y bölümü hem de y/x bölümü pozitiftir, dolayısıyla teğet ve kotanjant + işaretlerine sahiptir. Ve ikinci çeyrekte, apsis x negatiftir ve ordinat y pozitiftir, dolayısıyla hem x/y hem de y/x negatiftir, dolayısıyla teğet ve kotanjant eksi işaretine sahiptir.

Hadi devam edelim aşağıdaki mülke sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.

Periyodiklik özelliği

Şimdi bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının belki de en belirgin özelliklerine bakacağız. Şöyledir: açı bir tam sayı değiştiğinde tam devrimler bu açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri değişmez.

Bu anlaşılabilir bir durumdur: açı tam sayıda devirle değiştiğinde, başlangıç ​​noktası Ve birim çember üzerinde her zaman A 1 noktasına ulaşacağız, bu nedenle A 1 noktasının koordinatları değişmediğinden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri değişmeden kalır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın dikkate alınan özellikleri formüller kullanılarak şu şekilde yazılabilir: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , burada α radyan cinsinden dönme açısıdır, z herhangi bir değerdir, mutlak değer bu, α açısının değiştiği tam devir sayısını gösterir ve z sayısının işareti dönüş yönünü gösterir.

Dönme açısı α derece olarak belirtilirse, belirtilen formüller şu şekilde yeniden yazılacaktır: sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Bu özelliğin kullanımına örnekler verelim. Örneğin, , Çünkü , A . İşte başka bir örnek: veya .

Bu özellik, indirgeme formülleriyle birlikte, “büyük” açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri hesaplanırken sıklıkla kullanılır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın dikkate alınan özelliklerine bazen periyodiklik özelliği denir.

Karşıt açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantlarının özellikleri

A 1, başlangıç ​​noktası A(1, 0)'ın O noktası etrafında α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta olsun ve A 2 noktası, A noktasının α açısının tersi yönünde −α açısı kadar döndürülmesinin sonucu olsun.

Sinüslerin, kosinüslerin, teğetlerin ve zıt açıların kotanjantlarının özelliği oldukça dayanmaktadır. apaçık gerçek: yukarıda bahsedilen A 1 ve A 2 noktaları ya çakışır (oda) ya da Ox eksenine göre simetrik olarak konumlandırılır. Yani, eğer A 1 noktasının koordinatları (x, y) varsa, o zaman A 2 noktasının koordinatları (x, −y) olacaktır. Buradan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını kullanarak eşitlikleri ve .
Bunları karşılaştırarak, formun zıt açıları olan α ve −α'nın sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri ve kotanjantları arasındaki ilişkilere ulaşırız.
Bu, formüller biçiminde ele alınan özelliktir.

Bu özelliğin kullanımına örnekler verelim. Örneğin eşitlikler ve .

Sadece sinüs, kosinüs, teğet ve zıt açıların kotanjantlarının özelliğinin, önceki özellik gibi, sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri hesaplanırken sıklıkla kullanıldığını ve negatiften tamamen kaçınmanıza izin verdiğini not etmek kalır. açılar.

Referanslar.

• Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
• Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Zaten aşina iseniz trigonometrik daire ve sadece hafızanızı tazelemek istiyorum bireysel unsurlar, ya da tamamen sabırsızsınız, o zaman işte burada:

Burada her şeyi ayrıntılı olarak adım adım analiz edeceğiz.

Trigonometrik çember bir lüks değil, zorunluluktur

Trigonometri Birçok insan onu aşılmaz bir çalılıkla ilişkilendirir. Aniden, trigonometrik fonksiyonların o kadar çok değeri, o kadar çok formül birikiyor ki... Ama sanki başlangıçta işe yaramadı ve... başlıyoruz... tam bir yanlış anlama...

Pes etmemek çok önemli trigonometrik fonksiyonların değerleri, - mahmuza her zaman bir değerler tablosuyla bakabileceğinizi söylüyorlar.

Değerleri olan bir tabloya sürekli bakarsanız trigonometrik formüller, gelin bu alışkanlıktan kurtulalım!

Bize yardım edecek! Onunla birkaç kez çalışacaksın ve sonra kafanda belirecek. O nedir daha iyi tablolar? Evet, tabloda sınırlı sayıda değer bulacaksınız, ancak daire üzerinde - HER ŞEY!

Örneğin, bakarken söyleyin standart masa trigonometrik formüllerin değerleri , diyelim ki 300 dereceye veya -45'e eşit olan sinüs nedir?

Mümkün değil mi?.. elbette bağlantı kurabilirsiniz azaltma formülleri... Ve trigonometrik çembere bakarak bu tür soruları rahatlıkla cevaplayabilirsiniz. Ve yakında nasıl yapılacağını öğreneceksiniz!

Ve karar verirken trigonometrik denklemler ve trigonometrik çember olmadan eşitsizlikler - hiçbir yerde.

Trigonometrik çembere giriş

Sırayla gidelim.

Öncelikle bu sayı dizisini yazalım:

Ve şimdi bu:

Ve son olarak bu:

Tabii ki, aslında birinci sırada, ikinci sırada ve son sırada olduğu açıktır. Yani zincirle daha çok ilgileneceğiz.

Ama ne kadar güzel çıktı! Bir şey olursa bu “mucize merdiveni” yeniden canlandıracağız.

Ve neden buna ihtiyacımız var?

Bu zincirin ilk çeyreğindeki sinüs ve kosinüslerin ana değerleridir.

Hadi çizelim dikdörtgen sistem koordinatlar birim yarıçaplı bir dairedir (yani uzunluk boyunca herhangi bir yarıçapı alırız ve uzunluğunu birim olarak bildiririz).

“0-Başlangıç” kirişinden köşeleri ok yönünde yerleştiriyoruz (şekle bakın).

Çember üzerinde karşılık gelen noktaları alıyoruz. Yani noktaları eksenlerin her birine yansıtırsak, yukarıdaki zincirdeki değerleri tam olarak elde ederiz.

Neden bu, diye mi soruyorsun?

Her şeyi analiz etmeyelim. düşünelim prensip, diğer benzer durumlarla başa çıkmanıza olanak tanır.

AOB üçgeni dikdörtgendir ve içerir. Ve b açısının karşısında hipotenüsün yarısı büyüklüğünde bir kenar bulunduğunu biliyoruz (hipotenüs = dairenin yarıçapı, yani 1'e sahibiz).

Bu, AB= (ve dolayısıyla OM=) anlamına gelir. Ve Pisagor teoremine göre

Umarım bir şeyler zaten netleşiyordur?

Yani B noktası değere, M noktası da değere karşılık gelecektir.

İlk çeyreğin diğer değerleriyle aynı.

Anladığınız gibi tanıdık eksen (öküz) olacak kosinüs ekseni, ve eksen (oy) – sinüs ekseni . Daha sonra.

Kosinüs ekseni boyunca sıfırın solunda (sinüs ekseni boyunca sıfırın altında) elbette negatif değerler olacaktır.

İşte, trigonometride onsuz hiçbir yerin olamayacağı Yüce Allah burada.

Ancak trigonometrik çemberin nasıl kullanılacağı hakkında konuşacağız.

Trigonometri bir bilim olarak Antik Doğu'da ortaya çıkmıştır. Birinci trigonometrik oranlar doğru bir takvim oluşturmak ve yıldızlara göre gezinmek için gökbilimciler tarafından geliştirildi. Küresel trigonometri ile ilgili bu hesaplamalar okul kursu Bir düzlem üçgenin kenar ve açı oranlarını inceleyin.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgilenen bir matematik dalıdır.

MS 1. binyılda kültür ve bilimin en parlak döneminde, bilgi Antik Doğu Yunanistan'a. Ancak trigonometrinin ana keşifleri kocaların erdemidir Arap Halifeliği. Özellikle Türkmen bilim adamı el-Marazwi, teğet ve kotanjant gibi fonksiyonları tanıtarak sinüs, teğet ve kotanjantlara ilişkin ilk değer tablolarını derledi. Sinüs ve kosinüs kavramları Hintli bilim adamları tarafından tanıtıldı. Trigonometri, Öklid, Arşimet ve Eratosten gibi antik çağın büyük figürlerinin eserlerinde büyük ilgi gördü.

Trigonometrinin temel büyüklükleri

Temel trigonometrik fonksiyonlar sayısal argüman– bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin kendi grafiği vardır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bu miktarların değerlerini hesaplamaya yönelik formüller Pisagor teoremine dayanmaktadır. Formülasyondaki okul çocukları tarafından daha iyi bilinir: “ Pisagor pantolonu, her yönde eşittir”, çünkü kanıt ikizkenar örneği kullanılarak verilmiştir. dik üçgen.

Sinüs, kosinüs ve diğer bağımlılıklar arasındaki ilişkiyi kurar. keskin köşeler ve herhangi bir dik üçgenin kenarları. A açısı için bu büyüklükleri hesaplamak için formüller sunalım ve trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri izleyelim:

Gördüğünüz gibi tg ve ctg ters fonksiyonlardır. A kenarını günah A ve hipotenüs c'nin çarpımı olarak ve b kenarını cos A * c olarak hayal edersek, şunu elde ederiz: aşağıdaki formüller teğet ve kotanjant için:

Trigonometrik daire

Bahsedilen miktarlar arasındaki ilişki grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:

Çevre, içinde bu durumda, her şeyi temsil eder olası değerlerα açısı - 0° ila 360° arası. Şekilden de görülebileceği gibi her fonksiyon negatif veya pozitif değer açının büyüklüğüne bağlıdır. Örneğin, eğer α dairenin 1. ve 2. çeyreğine aitse, yani 0° ila 180° aralığındaysa sin α, “+” işaretine sahip olacaktır. 180° ila 360° arası (III ve IV çeyrekler) α için sin α yalnızca negatif bir değer olabilir.

İnşa etmeye çalışalım trigonometrik tablolar Belirli açılar için miktarların değerini bulun.

α'nın 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve benzeri değerlerine özel durumlar denir. Onlar için trigonometrik fonksiyonların değerleri hesaplanır ve özel tablolar halinde sunulur.

Bu açılar rastgele seçilmemiştir. Tablolardaki π gösterimi radyanlar içindir. Rad, bir daire yayının uzunluğunun yarıçapına karşılık geldiği açıdır. Bu değer radyan cinsinden hesaplanırken evrensel bir bağımlılık oluşturmak için tanıtıldı; yarıçapın cm cinsinden gerçek uzunluğu önemli değil.

Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin tablolardaki açılar radyan değerlerine karşılık gelir:

Yani 2π olduğunu tahmin etmek zor değil tam daire veya 360°.

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri: sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjantın temel özelliklerini dikkate almak ve karşılaştırmak için bunların fonksiyonlarını çizmek gerekir. Bu, iki boyutlu bir koordinat sisteminde yer alan bir eğri şeklinde yapılabilir.

Dikkate almak karşılaştırma tablosu sinüs ve kosinüs özellikleri:

Bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemek çok basittir. Trigonometrik büyüklüklerin işaretlerini içeren bir trigonometrik daire hayal etmek ve grafiği OX eksenine göre zihinsel olarak "katlamak" yeterlidir. İşaretler çakışıyorsa fonksiyon çifttir, aksi halde tektir.

Radyanların tanıtılması ve sinüs ve kosinüs dalgalarının temel özelliklerinin listelenmesi, aşağıdaki modeli sunmamıza olanak tanır:

Formülün doğru olduğunu doğrulamak çok kolaydır. Örneğin, x = π/2 için sinüs 1'dir, x = 0'ın kosinüsü de öyle. Kontrol, tablolara bakılarak veya verilen değerler için fonksiyon eğrileri izlenerek yapılabilir.

Teğetsoitlerin ve kotanjantsoitlerin özellikleri

Teğet ve kotanjant fonksiyonlarının grafikleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından önemli ölçüde farklıdır. Tg ve ctg değerleri birbirinin tersidir.

1. Y = ten rengi x.
2. Teğet, x = π/2 + πk noktasında y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
3. Teğetoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
4. Tg (- x) = - tg x, yani fonksiyon tektir.
5. x = πk için Tg x = 0.
6. Fonksiyon artıyor.
7. Tg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ için (— π/2 + πk, πk).
9. Türev (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

düşünelim grafik görüntü Metinde aşağıdaki kotanjantoidler.

Kotanjantoidlerin ana özellikleri:

1. Y = karyola x.
2. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak, teğetsel Y'de tüm gerçek sayılar kümesinin değerleri alınabilir.
3. Kotanjantoid, x = πk'de y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
4. Bir kotangentoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
5. Ctg (- x) = - ctg x, yani fonksiyon tektir.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk için.
7. Fonksiyon azalıyor.
8. Ctg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) için.
10. Türev (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Doğru