Todo objeto matemático tiene alguna propiedades. Así, por ejemplo, un triángulo tiene las siguientes propiedades: tiene tres lados; 2) tres esquinas internas; 3) seis pares iguales esquinas externas etc. Tales declaraciones sobre la presencia o ausencia de cualquier propiedad en un objeto determinado se denominan juicios. Aquí hay más ejemplos de juicios: 1) un cuadrilátero tiene dos diagonales; 2) a cada número natural le sigue inmediatamente en la serie natural otro número natural; 3) un número par es divisible por dos, etc.
Los juicios también son ofertas, indicando relaciones o conexiones entre objetos, por ejemplo: “5 es mayor que 3”, “ AB es el lado del triangulo A B C", "Esquina A no está adyacente a la esquina EN", etc. Pero las preguntas o demandas no son juicios.?
Entre las propiedades de cualquier objeto existen las esenciales y no esenciales para su definición. Una propiedad es esencial si es inherente a este objeto y sin él no puede existir. Las propiedades irrelevantes suelen ser aleatorias; su ausencia, por regla general, no afecta la existencia del objeto. Tenga en cuenta que al resolver Tareas específicas Las propiedades de objetos que generalmente no son importantes también pueden ser esenciales para resolver un problema determinado.
Considere, por ejemplo, triángulo isósceles, mostrado en la Fig. 3. Sus propiedades: 1) lados de un triángulo AB Y Sol igual; 2) mediana BD perpendicular a la base C.A. y divide el ángulo EN Las mitades son las propiedades esenciales de este triángulo. Aquí están las propiedades: 3) base C.A. triángulo isósceles A B C horizontalmente o 4) el vértice de un triángulo isósceles se indica con la letra EN- son insignificantes. Si de alguna manera giramos este triángulo y su base resulta no ser horizontal o designamos el vértice con alguna otra letra, entonces el triángulo no dejará de ser isósceles.
Por tanto, para comprender qué tipo de objeto es, basta con conocer sus propiedades esenciales. En este caso dicen que hay concepto sobre este objeto. Por eso, concepto- se trata de un conjunto holístico de juicios sobre las propiedades esenciales del objeto correspondiente. Este conjunto de propiedades interrelacionadas de un objeto (por eso se llama holístico) se llama contenido del concepto sobre este objeto.
Tenga en cuenta que cuando hablan de un objeto matemático, normalmente se refieren al conjunto completo de objetos indicados por un término (nombre). Entonces, cuando hablan de un objeto matemático, un triángulo, se refieren a todo. figuras geometricas, que son triángulos. El conjunto de todos los triángulos es alcance del concepto sobre el triángulo. De la misma manera, el conjunto de todos los números naturales constituye el ámbito de los conceptos sobre un número natural. Por eso, alcance del concepto es el conjunto de todos los objetos denotados por el mismo término.
Entonces, cada concepto tiene un cierto alcance y contenido. Están interconectados: cuanto mayor es el volumen de un concepto, menor es su contenido, y viceversa: cuanto menor es el volumen, más contenido del concepto. Así, por ejemplo, el alcance del concepto “triángulo isósceles” es menor que el alcance del concepto “triángulo”, porque el alcance del primer concepto no incluye todos los triángulos, sino sólo los isósceles. Pero el contenido del primer concepto es obviamente mayor que el contenido del segundo, porque un triángulo isósceles no sólo tiene todas las propiedades de un triángulo, sino también propiedades especiales, inherente sólo a los triángulos isósceles.
El contenido del concepto de cualquier objeto matemático incluye muchas propiedades esenciales diferentes de este objeto. Sin embargo, para reconocer un objeto y establecer si pertenece o no a un concepto determinado, basta con comprobar si tiene sólo algunas propiedades esenciales. La indicación de estas propiedades esenciales de un objeto conceptual, que son suficientes para reconocer este objeto, se llama definición de un concepto.
Cualquier definición de un concepto matemático suele construirse así: primero se indica el nombre objeto de este concepto, luego enumera sus propiedades esenciales que permiten establecer si tal o cual objeto es un objeto este concepto O no.
Por ejemplo, la definición de paralelogramo: “Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos”. Como podemos ver, esta definición se construye de la siguiente manera: primero, se indica el nombre del objeto del concepto definido: un paralelogramo, luego se indican sus propiedades: 1) un paralelogramo es un cuadrilátero; 2) sus lados opuestos son paralelos. La primera propiedad es una indicación del concepto más general al que pertenece el concepto que se define. Este concepto más general se llama ancestral en relación con el concepto definido. EN en este caso El concepto genérico de paralelogramo es cuadrilátero. La segunda propiedad es una indicación. especies Propiedad que distingue un paralelogramo de otros tipos de cuadrilátero. He aquí otro ejemplo de definición: “Los números pares son aquellos números enteros, que son múltiplos del número 2". Esta definición, al igual que la anterior, se construye según el siguiente esquema:
En este caso tenemos: el nombre del concepto definido - Números pares, concepto genérico - números naturales, diferencias específicas - múltiplos del número 2.
La definición de conceptos según este esquema se llama definición a través de diferencias de género y especie.
A veces en matemáticas existen otras formas de definir conceptos. Considere, por ejemplo, la definición de triángulo: "Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos por pares que los conectan". Esta definición indica un concepto genérico para un triángulo: una figura, y como diferencia específica, se indica un método para construir dicha figura, que es un triángulo: es necesario tomar tres puntos que no se encuentren en la misma línea recta. y conecta cada par de ellos con un segmento. Esta definición se llama genético(de la palabra génesis- origen). Aquí hay otro ejemplo de una definición genética: "La simetría alrededor de un punto es una transformación de una figura F en forma F" en el que cada punto X cifras F va al punto X" cifras F", construido de la siguiente manera: sobre la continuación del segmento OH por punto ACERCA DE el segmento se pospone OH ", igual OH". Aquí, como un tipo de diferencia entre la transformación de simetría relativa a un punto y otros tipos de transformaciones, se indica el método de construcción de los puntos de la figura. F", figura simétrica F relativo al punto ACERCA DE.
También hay definiciones en matemáticas que indican cómo se pueden obtener uno tras otro en orden los objetos del concepto definido. Por ejemplo, la definición de progresión aritmética es la siguiente: "Una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número, se llama progresión aritmética". El concepto aquí definido es progresión aritmética, concepto genérico - secuencia numérica, como diferencia específica, se indica un método para obtener todos los miembros de la progresión, a partir del segundo, que consiste en que para obtener cualquier miembro se debe sumar el mismo número al miembro anterior. Esta definición se puede escribir como siguiente fórmula:
Esta definición se llama inductivo(de la palabra inducción- apuntando a inferencia de particular a general) o recurrente(de la palabra recursividad- devolver).
Sin embargo, no todos los conceptos matemáticos pueden definirse lógicamente de la manera anterior. De hecho, toda definición de un concepto matemático reduce el concepto definido a un concepto genérico más amplio (más general, es decir, de mayor volumen); concepto amplio etc. Es obvio que este proceso de reducir algunos conceptos a conceptos más amplios y más conceptos generales debe tener un final, no puede ser interminable. En otras palabras, al final, a la hora de definir conceptos, debemos llegar a conceptos que ya no son reducibles a otros, es decir, que no son lógicamente definibles. Estos conceptos en matemáticas se llaman primario o principal.
Por ejemplo, al definir un paralelogramo, lo reducimos al concepto de cuadrilátero; al definir un cuadrilátero, lo reducimos al concepto de polígono, luego al concepto de figura geométrica, que una vez definido se reduce a el concepto de punto. El concepto de punto ya no es definible, es decir, primario. Los conceptos primarios en matemáticas, además del punto, son los conceptos de recta, plano, pertenencia, número, conjunto (conjunto) y algunos otros.
Entonces, lo segundo que debes aprender en matemáticas es la capacidad de construir de alguna manera definiciones de conceptos matemáticos. Esta habilidad es bastante compleja y hablaremos de ella en la próxima conversación. Mientras tanto, complete la siguiente tarea para consolidar la información que recibió en esta conversación.
Tarea 3
3.1. ¿Cuáles de las siguientes propiedades de un trapezoide son esenciales y cuáles no son importantes?
a) Los dos lados del trapezoide son paralelos.
b) Ambos ángulos en en una base más grande picante.
c) La suma de los ángulos de un trapezoide pertenecientes a un lado es 180°.
d) Las bases del trapezoide son horizontales.
e) Ambos ángulos en base más pequeña los trapecios son romos.
3.2. ¿Cómo se relacionan los objetos matemáticos y los conceptos matemáticos?
3.3. Indique cuáles de las siguientes frases son sentencias y cuáles no:
a) En un triángulo hay tres medianas.
b) Las medianas de un triángulo se cortan en un punto.
c) ¿Cuál es el producto de potencias con las mismas bases?
d) Logaritmo del producto numeros positivos igual a la suma logaritmos de factores.
3.4. En las definiciones siguientes, resalte el nombre de los objetos de los conceptos definidos, el concepto genérico y las diferencias específicas:
a) Números que se pueden escribir en la forma fracciones ordinarias, se llaman racionales.
b) aritmética raíz cuadrada del numero A llamado número no negativo, cuyo cuadrado es igual a A.
c) Dos rectas en un plano se llaman paralelas si no se cortan.
d) Si el punto ACERCA DE es el punto medio del segmento AB, entonces los puntos A Y EN son llamados puntos simétricos relativo al punto ACERCA DE.
3.5. Formule la definición genética de círculo, sabiendo que se forma como resultado de la rotación de un segmento en un plano alrededor de uno de sus extremos; el segundo extremo de este segmento describe en este caso un círculo;
3.6. Los términos de la secuencia de Fibonacci (ca. 1170-1250) se dan mediante la siguiente fórmula: un n+2 =un n+1 +un n. Formule una definición de esta secuencia. ¿Cuál es esta definición?
3.7. Damos la siguiente descripción de la construcción de rectas perpendiculares: “Sea A Y b- dos líneas que se cruzan. Cuando se cruzan, se forman cuatro esquinas. Sea α uno de estos ángulos. Entonces cualquiera de los otros tres ángulos será adyacente al ángulo α o vertical al ángulo α. Se deduce que si uno de los ángulos es recto, entonces los demás ángulos también lo son. En este caso decimos que las rectas se cortan en ángulo recto y las llamamos perpendicular".
Con base en esta descripción, formule una definición de líneas perpendiculares.
3.8. El módulo de un número está determinado por la siguiente fórmula:
Formule una definición verbal del módulo de un número.
3.9. Una secuencia se llama creciente si cada miembro es mayor que el miembro anterior. Escribe esta definición usando una fórmula.
3.10. Como sabes, un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados son iguales y triangulo regular- este es aquel en el que todos los lados son iguales. ¿Es un triángulo regular isósceles?
3.11. Indique los conceptos genéricos más cercanos a los siguientes conceptos: a) cuadrado; b) grado c indicador natural; V) ángulos verticales; d) número primo; d) acorde.
3.12. Especifique varios conceptos genéricos para el concepto de rombo.
3.13. ¿Es necesario (y es posible) probar definiciones?
Alcance y contenido del concepto. Relaciones entre conceptos
Capítulo 6. Conceptos matemáticos
1. ¿Qué enunciado se llama teorema?
2. Para un teorema de la forma A(X) Þ EN(X) escribe lo contrario, lo contrario, lo contrario de la oración. ¿En qué caso las proposiciones resultantes serán teoremas?
Todo objeto matemático tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, un rombo tiene 4 esquinas, 4 lados, los lados opuestos son paralelos. Puede especificar otras propiedades, por ejemplo, diagonal C.A. ubicado horizontalmente.
Las propiedades se distinguen entre esenciales y no esenciales. Una propiedad se considera esencial para un objeto si es inherente a ese objeto y sin él no puede existir. Las propiedades no esenciales son aquellas propiedades cuya ausencia no afecta la existencia del objeto.
Propiedades esenciales: tener 4 lados iguales, 4 ángulos.
Propiedades no esenciales: vértice EN se encuentra frente a la parte superior D, diagonal C.A. ubicado horizontalmente.
Para comprender qué es un objeto determinado, es necesario conocer sus propiedades esenciales. En este caso decimos que existe un concepto sobre este objeto.
Cuando la gente habla de un concepto matemático, normalmente se refiere a muchos objetos denotados por un término. Entonces, cuando hablamos de triángulo, nos referimos a todas las figuras geométricas que son triángulos.
Cualquier concepto tiene volumen y contenido.
Definición. El alcance de un concepto es el conjunto de todos los objetos denotados por un término.
Definición. El contenido de un concepto es el conjunto de todas las propiedades esenciales de un objeto reflejadas en ese concepto.
Ejemplo. Consideremos el concepto de "paralelogramo". El volumen del concepto es un conjunto de diferentes paralelogramos (incluidos rombos, rectángulos, cuadrados). El contenido del concepto incluye propiedades de los paralelogramos como "tener 4 lados", "tener lados opuestos paralelos", "tener iguales ángulos opuestos" etc.
Existe tal conexión entre el volumen y el contenido de un concepto: cuanto “mayor” es el volumen de un concepto, “menor” su contenido y viceversa. Por ejemplo, el alcance del concepto "rombo" es parte del concepto "paralelogramo", y el contenido del concepto "rombo" contiene más propiedades que en el contenido del concepto “paralelogramo”. Por ejemplo, en el contenido del concepto "rombo" está la propiedad "todos los lados son iguales", que no está en el contenido del concepto "paralelogramo".
Las relaciones entre conceptos están estrechamente relacionadas con las relaciones entre sus volúmenes.
Acordemos designar conceptos. letras minusculas A, b, Con, d,…, y sus volúmenes en consecuencia A, EN, CON, D,… .
Si el alcance de los conceptos A Y b no se cruzan, es decir A Ç EN= Æ, entonces dicen que los conceptos A Y b incompatible. Ejemplos de conceptos incompatibles son los conceptos de trapezoide y triángulo.
Si el alcance de los conceptos A Y b cruzarse, es decir A Ç EN¹ Æ, entonces dicen que los conceptos A Y b compatible. Un ejemplo es un rectángulo y un rombo.
Si el alcance de los conceptos A Y b coincidir, es decir A = EN, entonces dicen que los conceptos A Y b Son identicos. Un ejemplo es un cuadrado y un rombo con ángulo recto.
Si el alcance del concepto A es un subconjunto propio del alcance del concepto b, es decir. AÌ EN, A ¹ EN, entonces dicen que:
un concepto A es específico en relación con el concepto b, concepto b– genérico en relación al concepto A;
segundo) concepto A más estrecho que un concepto b, concepto b más amplio que el concepto A;
c) concepto A Hay caso especial conceptos b, y el concepto b– generalización del concepto A.
Ejemplo: el concepto “cuadrado” es específico en relación al concepto “rectángulo”, y el concepto “rectángulo” es genérico en relación al concepto “cuadrado”.
Echemos un vistazo más de cerca a la última relación.
1) Los conceptos de género y especie son relativos. Un mismo concepto puede ser específico respecto de un concepto y genérico respecto de otro. Por ejemplo, el concepto de “rectángulo” es genérico en relación al concepto de “cuadrado” y específico en relación al concepto de “paralelogramo”.
2) Para un concepto dado, a menudo es posible indicar varios conceptos genéricos, entre los cuales se puede indicar el más cercano. Por ejemplo, conceptos genéricos para el concepto “cuadrado” serán los conceptos “rectángulo”, “paralelogramo”, “cuadrángulo”. El más cercano entre ellos será el concepto de "rectángulo".
3) El concepto de especie tiene todas las propiedades del concepto genérico. Por ejemplo, el concepto de “rombo” es específico en relación al concepto de “paralelogramo”; Los rombos tienen todas las propiedades de los paralelogramos.
Consideremos la relación entre los conceptos de "segmento" y "línea recta". Los alcances de estos conceptos no se superponen, porque Ningún segmento puede considerarse recto y viceversa. Podemos decir de estos conceptos que están en relación con el todo y la parte: un segmento es parte de una recta, y no su tipo. Tenga en cuenta que una parte no siempre tiene las propiedades del todo. Una recta es infinita, pero un segmento no.
La aparición de nuevos conceptos en matemáticas y, por tanto, de nuevos términos que los denotan, presupone su definición.
Una definición suele ser una oración que explica la esencia de un nuevo término. Como regla general, esto se hace sobre la base de conceptos previamente introducidos. Definir un concepto significa indicar las propiedades esenciales de un objeto, que son suficientes para reconocerlo.
Hay definiciones explícitas e implícitas.
Explícito las definiciones tienen la forma de igualdad, la coincidencia de dos conceptos, se puede representar de esta forma: A sí (por definición) b. Las palabras "es (por definición)" generalmente se reemplazan por el símbolo, y luego la definición se ve así: Ab.
Considere la definición de cuadrado: "Un cuadrado es un rectángulo con lados iguales". En esta definición, podemos distinguir el concepto definido de "cuadrado" y el concepto definitorio de "rectángulo de lados iguales".
Ejemplos de definiciones explícitas.
Definición a través de la diferencia de género y especie. Parece que:concepto definitorio
Un ejemplo de tal definición es la definición de cuadrado dada anteriormente.
Requisitos para la determinación por género y diferencia específica:
ü La definición debe ser proporcionada: los volúmenes de los conceptos definidos y definitorios deben coincidir. Por ejemplo, la definición “Un cuadrado es un cuadrilátero de lados iguales” no es proporcional, porque el conjunto de cuadriláteros de lados iguales es el conjunto de rombos.
ü La definición no debe contener círculo vicioso– No se puede definir un concepto a través de sí mismo. Por tanto, es imposible dar la siguiente definición: “la suma es la acción en la que se suman números”.
ü La definición debe ser clara: los significados de los términos incluidos en el concepto definitorio deben conocerse en el momento de definir el nuevo concepto. Por ejemplo, no se puede definir un cuadrado como un rombo con ángulos rectos si aún no se ha aprendido el concepto de paralelogramo.
ü La definición debe ser suficiente: la definición debe indicar todas las propiedades que permitan identificar sin ambigüedades los objetos que pertenecen al alcance del concepto que se está definiendo. Por ejemplo, en la definición “La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide un ángulo por la mitad” no tiene esta propiedad, porque no se indica que el rayo salga del vértice de la esquina.
ü La definición no debe ser redundante: no se deben especificar propiedades innecesarias. Por tanto, en la definición "Un rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales y las diagonales son mutuamente perpendiculares", la propiedad de que las diagonales son mutuamente perpendiculares es superflua.
2) Genético: se indica el método de formación del objeto determinado. Por ejemplo: “Una polilínea es una línea que consta de puntos y segmentos que los conectan
3) Inductivo: se indican algunos objetos básicos de la teoría y reglas que permiten obtener otros nuevos a partir de los existentes. Por ejemplo: " Progresión geométrica es una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número”.
Implícito Las definiciones no tienen la forma de coincidencia de dos conceptos. En ellos es imposible distinguir los conceptos definidos y definitorios.
Ejemplos de definiciones implícitas.
1) Contextual: el contenido de un nuevo concepto se revela a través de un pasaje de texto, a través del contexto. Ejemplo: después de grabar 3 + X= 9 y una lista de los números 2, 3, 6 y 7 es el texto: “ X – numero desconocido, que es necesario encontrar. ¿Qué número debería sustituirse en su lugar? X para que la igualdad sea verdadera? Este es el número 6." De este texto se deduce que una ecuación es una igualdad con un número desconocido que debe encontrarse, y resolver una ecuación significa encontrar dicho valor. X, cuando se sustituye en la ecuación, se obtiene la igualdad correcta.
2) Ostensivo: la introducción de términos mostrando, demostrando los objetos que denotan estos términos. Ejemplo: 2< 7, 2 · 4 >5 son desigualdades.
Las definiciones implícitas se utilizan a menudo en escuela primaria.
Preguntas de control
1. ¿Qué propiedades se consideran esenciales y no esenciales para un objeto?
2. ¿Qué se entiende por alcance de un concepto?
3. ¿Qué se entiende por contenido de un concepto?
4. ¿En qué relación están los volúmenes de conceptos si los conceptos son incompatibles, compatibles, idénticos, si un concepto es específico en relación con otro concepto?
5. ¿Qué significa definir un concepto?
6. ¿Qué definiciones se refieren a explícito e implícito?
7. ¿Qué reglas se deben seguir al formular definiciones de conceptos por género y diferencia específica?
Todo objeto matemático tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, un rombo tiene 4 esquinas, 4 lados, los lados opuestos son paralelos. Puede especificar otras propiedades, por ejemplo, diagonal C.A. ubicado horizontalmente.
Las propiedades se distinguen entre esenciales y no esenciales. Una propiedad se considera esencial para un objeto si es inherente a ese objeto y sin él no puede existir. Las propiedades no esenciales son aquellas propiedades cuya ausencia no afecta la existencia del objeto.
Propiedades esenciales: tener 4 lados iguales, 4 ángulos.
Propiedades no esenciales: vértice EN se encuentra frente a la parte superior D, diagonal C.A. ubicado horizontalmente.
Para comprender qué es un objeto determinado, es necesario conocer sus propiedades esenciales. En este caso decimos que existe un concepto sobre este objeto.
Cuando la gente habla de un concepto matemático, normalmente se refiere a muchos objetos denotados por un término. Entonces, cuando hablamos de triángulo, nos referimos a todas las figuras geométricas que son triángulos.
Cualquier concepto tiene volumen y contenido.
Definición. El alcance de un concepto es el conjunto de todos los objetos denotados por un término.
Definición. El contenido de un concepto es el conjunto de todas las propiedades esenciales de un objeto reflejadas en ese concepto.
Ejemplo. Consideremos el concepto de "paralelogramo". El volumen del concepto es un conjunto de diferentes paralelogramos (incluidos rombos, rectángulos, cuadrados). El contenido del concepto incluye propiedades de los paralelogramos como "tener 4 lados", "tener lados opuestos paralelos", "tener ángulos opuestos iguales", etc.
Existe tal conexión entre el volumen y el contenido de un concepto: cuanto “mayor” es el volumen de un concepto, “menor” su contenido y viceversa. Por ejemplo, el alcance del concepto "rombo" es parte del concepto "paralelogramo", y el contenido del concepto "rombo" contiene más propiedades que el contenido del concepto "paralelogramo". Por ejemplo, en el contenido del concepto "rombo" está la propiedad "todos los lados son iguales", que no está en el contenido del concepto "paralelogramo".
Las relaciones entre conceptos están estrechamente relacionadas con las relaciones entre sus volúmenes.
Acordemos denotar conceptos en letras minúsculas. A, b, Con, d,…, y sus volúmenes en consecuencia A, EN, CON, D,… .
Si el alcance de los conceptos A Y b no se cruzan, es decir A Ç EN= Æ, entonces dicen que los conceptos A Y b incompatible. Ejemplos de conceptos incompatibles son los conceptos de trapezoide y triángulo.
Si el alcance de los conceptos A Y b cruzarse, es decir A Ç EN¹ Æ, entonces dicen que los conceptos A Y b compatible. Un ejemplo es un rectángulo y un rombo.
Si el alcance de los conceptos A Y b coincidir, es decir A = EN, entonces dicen que los conceptos A Y b Son identicos. Un ejemplo es un cuadrado y un rombo con ángulo recto.
Si el alcance del concepto A es un subconjunto propio del alcance del concepto b, es decir. AÌ EN, A ¹ EN, entonces dicen que:
un concepto A es específico en relación con el concepto b, concepto b– genérico en relación al concepto A;
segundo) concepto A más estrecho que un concepto b, concepto b más amplio que el concepto A;
c) concepto A hay un caso especial del concepto b, y el concepto b– generalización del concepto A.
Ejemplo: el concepto “cuadrado” es específico en relación al concepto “rectángulo”, y el concepto “rectángulo” es genérico en relación al concepto “cuadrado”.
Echemos un vistazo más de cerca a la última relación.
1) Los conceptos de género y especie son relativos. Un mismo concepto puede ser específico respecto de un concepto y genérico respecto de otro. Por ejemplo, el concepto de “rectángulo” es genérico en relación al concepto de “cuadrado” y específico en relación al concepto de “paralelogramo”.
2) Para un concepto dado, a menudo es posible indicar varios conceptos genéricos, entre los cuales se puede indicar el más cercano. Por ejemplo, conceptos genéricos para el concepto “cuadrado” serán los conceptos “rectángulo”, “paralelogramo”, “cuadrángulo”. El más cercano entre ellos será el concepto de "rectángulo".
3) El concepto de especie tiene todas las propiedades del concepto genérico. Por ejemplo, el concepto de “rombo” es específico en relación al concepto de “paralelogramo”; Los rombos tienen todas las propiedades de los paralelogramos.
Consideremos la relación entre los conceptos de "segmento" y "línea recta". Los alcances de estos conceptos no se superponen, porque Ningún segmento puede considerarse recto y viceversa. Podemos decir de estos conceptos que están en relación con el todo y la parte: un segmento es parte de una recta, y no su tipo. Tenga en cuenta que una parte no siempre tiene las propiedades del todo. Una recta es infinita, pero un segmento no.
En primer lugar , los conceptos de género y especie son relativos : un mismo concepto puede ser genérico con relación a un concepto y específico con relación a otro. Por ejemplo, el concepto de “rectángulo” es genérico en relación al concepto de “cuadrado” y específico en relación al concepto de “cuadrilátero”.
En segundo lugar, Para un concepto dado, a menudo es posible especificar varios conceptos genéricos. Así, para el concepto de “rectángulo” los conceptos genéricos son “cuadrángulo”, “paralelogramo”, “polígono”. Entre ellos, puedes indicar el más cercano. Para el concepto de "rectángulo", el concepto más cercano es "paralelogramo".
Tercero, concepto de especie Tiene todas las propiedades de un concepto genérico. Por ejemplo, un cuadrado, al ser un concepto específico en relación al concepto de “rectángulo”, tiene todas las propiedades inherentes a un rectángulo.
Dado que el volumen de un concepto es un conjunto, es conveniente, a la hora de establecer relaciones entre los volúmenes de conceptos, representarlos mediante círculos de Euler.
| EN |
Los volúmenes de conceptos no se cruzan, ya que ni un solo segmento se puede llamar línea recta, ni una sola línea recta se puede llamar segmento. En consecuencia, estos conceptos no están en relación con el género y la especie.
Sobre los conceptos “recta” y “segmento” podemos decir que están en relación con el todo y la parte: un segmento es parte de una línea, y no su tipo.
Nota: Si un concepto de especie tiene todas las propiedades de un concepto genérico, entonces una parte no necesariamente tiene todas las propiedades del todo.
Por ejemplo, el segmento no tiene las mismas propiedades de recta que su infinito.
3. Definición de conceptos
La aparición de nuevos conceptos en matemáticas y, por tanto, de nuevos términos que los denotan, presupone su definición.
Una definición suele ser una oración que explica la esencia de un nuevo término (o designación). Como regla general, esto se hace sobre la base de conceptos previamente introducidos. Por ejemplo, Un rectángulo se puede definir de la siguiente manera: "Un rectángulo es un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos". Hay dos partes en esta definición: concepto definible(rectángulo) y concepto definitorio(un cuadrilátero con todos los ángulos rectos). Si denotamos el primer concepto con a y el segundo con b, entonces esta definición se puede presentar de la siguiente forma:
a es (por definición) b
Las palabras "es (por definición)" generalmente se reemplazan por el símbolo, y luego la definición se ve así: A b
Dicen: "a es equivalente a b por definición". También puedes leer esta entrada de esta manera: “y si y sólo si b”.
Las definiciones con esta estructura se llaman obvio. Echemos un vistazo más de cerca.
Volvamos nuevamente a la definición de rectángulo, o mejor dicho, a su segunda parte: el concepto definitorio. Incluye:
1) el concepto de “cuadrilátero”, que es ancestral en relación con el concepto de “rectángulo”,
2) la propiedad "tener todos los ángulos rectos", que nos permite seleccionar un tipo de todos los cuadriláteros posibles: los rectángulos; por eso lo llaman diferencia de especies.
Definición. Las diferencias específicas son propiedades (una o más) que permiten distinguir objetos definidos del alcance del concepto genérico.
Los resultados de nuestro análisis se pueden presentar en forma de diagrama.
Concepto definitorio
Tenga en cuenta que en la representación visual de la estructura de la definición a través de la diferencia de género y especie, cometimos algunas imprecisiones. En primer lugar, las palabras “concepto genérico” significan que estamos hablando acerca de sobre el concepto genérico en relación con el definido. En segundo lugar, no está del todo claro qué significa el signo “+”, que se sabe que se utiliza para indicar la suma de números. El significado de este signo quedará claro un poco más adelante, cuando analicemos el significado matemático de la conjunción "y". Mientras tanto, conozcamos otra posibilidad de representar visualmente la definición a través del género y la diferencia específica. Si el concepto definido se denota con la letra A, definido por la letra b, un concepto genérico (en relación con lo que se está definiendo) - por la letra Con, y la diferencia de especies se indica con la letra R, entonces la definición a través de la diferencia de género y especie se puede representar de la siguiente manera:
A 
¿Por qué se indica la diferencia de especies? letra mayúscula, lo descubriremos más tarde.
Sabemos que cualquier concepto tiene un volumen. Si el concepto a se define por género y diferencia específica, entonces sobre su volumen - el conjunto A - podemos decir que contiene objetos que pertenecen al conjunto C (el volumen del concepto genérico c) y tienen la propiedad P: A = ( x | xО C y P(x)).
Por ejemplo, si se da la definición: "Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto", entonces el alcance del concepto " esquina filosa" es un subconjunto del conjunto de todos los ángulos planos que tienen la propiedad de ser "menos que rectos".
Dado que la definición de un concepto a través del género y la diferencia específica es esencialmente un acuerdo condicional sobre la introducción de un nuevo término para reemplazar cualquier conjunto de términos conocidos, es imposible decir acerca de la definición si es correcta o incorrecta; no está probado ni refutado. Pero al formular definiciones, se adhieren a una serie de reglas. Nombramos los principales.
Requisitos para definir conceptos.
La determinación debe ser proporcionada.
Esto significa que el alcance de los conceptos definidos y definitorios debe coincidir. Esta regla se deriva del hecho de que los conceptos definidos y definitorios son intercambiables.
Por ejemplo, los conceptos "rectángulo" y "cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos" son proporcionales. Si el alcance del concepto definitorio incluye el alcance del concepto definido, entonces se habla del error de una definición demasiado amplia. Así, la definición de “Directo a Y b se llaman paralelos si no tienen puntos comunes o coincidir” es demasiado amplio, ya que también se satisface cruzando líneas rectas. Si el alcance del concepto definitorio es más limitado que el alcance del concepto definido, entonces se produce el error de una definición demasiado estrecha. Por ejemplo, definición de "Directo a Y b se llaman paralelas si no tienen puntos comunes” es demasiado estrecha, ya que no se satisface con rectas coincidentes.
No debería haber ningún círculo vicioso en la definición (o en su sistema).
Esto significa que es imposible definir un concepto a través de sí mismo (la definición no debe contener el término que se define) o definirlo a través de otro concepto que se define a través de él.
Tomemos los siguientes conceptos. matemáticas elementales, como “multiplicación” y “producto”, y dales las siguientes definiciones:
La multiplicación de números es la acción mediante la cual se encuentra el producto de estos números.
El producto de los números es el resultado de su multiplicación.
Vemos que la multiplicación se define mediante el concepto de producto, y el producto, mediante el concepto de multiplicación. Las definiciones formaron, como se dice en matemáticas, un círculo vicioso. Como resultado, se interrumpe la cadena de definiciones secuenciales construidas dentro del curso.
El círculo vicioso también está contenido en la siguiente definición: “La solución de una ecuación es el número que es su solución”. Aquí el concepto de “resolver una ecuación” se define, en esencia, mediante la solución de una ecuación.
La definición debe ser clara.
Esta es una regla obvia a primera vista, pero significa mucho. En primer lugar, se requiere que los significados de los términos incluidos en el concepto definitorio se conozcan en el momento en que se introduzca la definición del nuevo concepto.
Por ejemplo, No se puede definir un rectángulo como un paralelogramo con un ángulo recto si aún no se ha considerado el concepto de “paralelogramo”.
Las condiciones para la claridad de la definición también incluyen la recomendación de incluir en la diferencia específica sólo tantas propiedades como sean necesarias y suficientes para aislar los objetos definidos del alcance del concepto genérico.
Consideremos Por ejemplo, Esta es la definición de rectángulo: "Un rectángulo es un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos y los lados opuestos son iguales".
Es fácil ver que esta definición es proporcionada y no hay en ella ningún círculo vicioso. Pero se puede demostrar que la propiedad “en un rectángulo, los lados opuestos son iguales” incluida en la definición se deriva de la propiedad “en un rectángulo, todos los ángulos son rectos”. En este caso se considera que esta definición La segunda propiedad de un rectángulo es redundante. Por tanto, es más correcto definir un rectángulo de esta manera: “Un rectángulo es un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos”.
Comentario. Para que una definición sea clara, es deseable que no contenga propiedades redundantes en la parte que la define, es decir, propiedades que pueden distinguirse de otras incluidas en esta definición. Sin embargo, en ocasiones para las presentaciones de próstata se viola esta regla.
Para garantizar la claridad de la definición, también es importante tener un concepto que sea genérico en relación con lo que se está definiendo. La omisión de un concepto genérico hace que la definición sea desproporcionada. Por ejemplo, la siguiente definición de cuadrado es inaceptable: "Un cuadrado es cuando todos los lados son iguales".
A lo dicho cabe añadir que, Al formular una definición, debemos esforzarnos por indicar en el concepto definitorio no solo un concepto genérico en relación con el que se está definiendo, sino el más cercano. Esto a menudo permite reducir el número de propiedades incluidas en una distinción de especie.
Por ejemplo, si para definir un cuadrado elegimos el concepto de “cuadrilátero” como genérico, entonces será necesario incluir dos propiedades en la diferencia específica: “tener todos los ángulos rectos” y “tener todos los ángulos rectos”. lados iguales" Como resultado, obtenemos la definición: "Un cuadrado es un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos y todos los lados son iguales".
Si elegimos como concepto genérico el concepto genérico más cercano a un cuadrado (un rectángulo), obtenemos más definición corta cuadrado: "Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos iguales".
Un mismo concepto puede definirse mediante la diferencia de género y especie, observando las reglas formuladas anteriormente, de diferentes maneras.
Entonces un cuadrado se puede definir como:
a) un rectángulo cuyos lados adyacentes son iguales;
b) un rectángulo que tiene un ángulo recto;
c) un rombo que tiene un ángulo recto;
d) un paralelogramo en el que todos los lados son iguales y los ángulos son rectos.
Son posibles diferentes definiciones del mismo concepto porque más propiedades incluidas en el contenido del concepto, sólo algunas están incluidas en la definición. Y cuando se elige una de las definiciones posibles, se parte de cuál es más simple y más apropiada para una mayor construcción de la teoría.
Si se da el mismo concepto, Por ejemplo, dos diferentes definiciones, entonces es necesario demostrar su equivalencia, es decir para asegurarse de que las propiedades incluidas en una definición implican las propiedades incluidas en otra, y viceversa.
Concluyendo nuestra consideración de las definiciones de conceptos por género y diferencia específica, nombremos la secuencia de acciones que debemos seguir si queremos reproducir la definición de un concepto familiar o construir una definición de uno nuevo:
1. Nombra el concepto (término) que se está definiendo.
2. Indique el concepto genérico (en relación con el definido) más cercano.
3. Enumere las propiedades que distinguen los objetos definidos del volumen genérico, es decir formular diferencias de especies.
4. Comprobar si se cumplen las reglas para definir el concepto (es proporcionado, existe un círculo vicioso, etc.).
Ejemplos de explícito relaciones género-especie entre los muchos conceptos matemáticos que se tratan en escuela primaria, ya no tanto. Pero teniendo en cuenta la importancia de la definición a través de las características de género y especie en educación avanzada Es aconsejable asegurarse de que los estudiantes comprendan la esencia de la definición de este tipo ya en los grados de primaria.
5. Definiciones implícitas
Cuando se estudian matemáticas en los grados de primaria, rara vez se utilizan definiciones mediante la distinción de género y especie. Esto se debe tanto a las características del curso como a las capacidades de los niños. Pero los conceptos en curso inicial hay muchas matemáticas; hablamos de esto al comienzo de la conferencia. ¿Cómo se determinan?
Al estudiar matemáticas en la escuela primaria, los llamados implícito definiciones. En su estructura es imposible distinguir lo determinado y lo determinante.
Entrenando niños de primaria interés especial entre las definiciones implícitas están contextual Y ostensivo definiciones.
En las definiciones contextuales, el contenido de un nuevo concepto se revela a través de un pasaje de texto, a través del contexto, a través del análisis de una situación específica que describe el significado del concepto definido con otros conocidos, y con ello se revela indirectamente su contenido. Por ejemplo, utilizando en el trabajo con niños expresiones como "encontrar el significado de la expresión", "comparar el significado de las expresiones 5 + a y (a - 3) × 2, si a = 7", "leer expresiones que son sumas" , "leer expresiones y luego leer las ecuaciones", ampliamos el concepto de " expresión matemática"como un registro que consta de números o variables y signos de acción.
O bien, un ejemplo de definición contextual podría ser la definición de una ecuación y su solución dada en un libro de texto de matemáticas de tercer grado. Aquí, después de la entrada ð + 6 = 15 y la lista de números 0,5,9,10, está el texto: “¿A qué número debes sumar 6 para obtener 15? Denotemos el número desconocido. letra latina x(x):
X + 6 = 15 es una ecuación.
Resolver una ecuación significa encontrar un número desconocido. EN ecuación dada el número desconocido es 9, ya que 9+6=15.
Explica por qué los números son 0; 5 y 10 no son adecuados”.
Del texto anterior se deduce que una ecuación es una igualdad en la que hay un número desconocido. Se puede designar con la letra x y se debe encontrar este número. Además, de este texto se deduce que la solución de una ecuación es un número que, cuando se sustituye por x, convierte la ecuación en una verdadera igualdad.
Casi todas las definiciones que encontramos en La vida cotidiana Estas son definiciones contextuales. Habiendo escuchado palabra desconocida, intentamos establecer nosotros mismos su significado en base a todo lo dicho.
Algo similar sucede en la enseñanza a estudiantes más jóvenes. Muchos conceptos matemáticos en la escuela primaria se definen a través del contexto. Este, Por ejemplo, conceptos como "grande - pequeño", "cualquiera", "cualquiera", "uno", "muchos", "número", "operación aritmética", "ecuación", "tarea", etc.
Las definiciones contextuales permanecen en la mayor parte incompleto e inacabado. Se utilizan debido a la falta de preparación de los escolares más jóvenes para dominar la definición completa, y especialmente científica.
Las definiciones ostensivas son definiciones por demostración.. Se parecen a definiciones contextuales ordinarias, pero el contexto aquí no es un pasaje de ningún texto, sino la situación en la que se encuentra el objeto designado por el concepto.
Por ejemplo, el maestro muestra un cuadrado (dibujo o modelo de papel) y dice "Mira, es un cuadrado". Ésta es una definición ostensiva típica.
También se utilizan para introducir términos mostrando los objetos a los que se refieren estos términos. Por ejemplo, de esta forma se pueden definir los conceptos de igualdad y desigualdad en la escuela primaria:
2 × 7 > 2 × 6 9 × 3 = 27
78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6
37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4
En la escuela primaria, las definiciones ostensivas se utilizan cuando se consideran conceptos tales como "color rojo (blanco, negro, etc.)", "izquierda - derecha", "de izquierda a derecha", "dígito", "número anterior y siguiente", " señales" operaciones aritmeticas", "signos comparativos", "triángulo", "cuadrilátero", "cubo", etc.
A partir de la asimilación ostensiva de los significados de las palabras, es posible introducir el significado verbal de nuevas palabras y frases en el diccionario del niño. Las definiciones ostensivas -y sólo ellas- conectan palabras con cosas. Sin ellos, el lenguaje es sólo un cordón verbal que no tiene contenido objetivo y sustancial.
Las definiciones ostensivas, al igual que las contextuales, se caracterizan por ser algo incompletas. De hecho, la definición por demostración no distingue un concepto de otras oraciones; no indica las propiedades características de estos conceptos. Por lo tanto, después de una definición contextual u ostensiva de un concepto, es necesario un estudio más profundo de las propiedades de dichos objetos definidos.
Tenga en cuenta que en los grados primarios definiciones válidas como "La palabra "pentágono" significará un polígono de cinco lados". Este es el llamado "definición nominal» .
Definiciones específicas Se puede considerar un concepto por el método de su formación o aparición. Este tipo de definición se llama genético.
Ejemplos de definiciones genéticas: “Un ángulo son los rayos que salen de un punto”, “La diagonal de un rectángulo es un segmento que conecta vértices opuestos rectángulo." En la escuela primaria definiciones genéticas Se utiliza para conceptos como "segmento", "línea discontinua", "ángulo recto", "círculo".
Los conceptos genéticos incluyen definición a través de una lista .
Por ejemplo, “La serie natural de números son los números 1, 2, 3, 4, etc.”
Algunos conceptos en los grados de primaria se introducen sólo a través de término.
Por ejemplo, unidades de tiempo año, mes, hora, minuto.
Hay conceptos en la escuela primaria que se enseñan. lenguaje simbólico en forma de igualdad, por ejemplo, a ×1 = a, a × 0 = 0
En los grados de primaria, muchos conceptos matemáticos se aprenden primero de manera superficial y vaga. En el primer contacto, los escolares aprenden solo algunas propiedades de los conceptos y tienen una idea muy limitada de su alcance. Y esto es natural. No todos los conceptos son fáciles de entender. Pero no cabe duda de que la comprensión y el uso oportuno por parte del docente de cierto tipo de definiciones de conceptos matemáticos es una de las condiciones para la formación de conocimiento solido sobre estos conceptos.
Los conceptos matemáticos pueden estar en diferentes relaciones.
Los conceptos están en relación con el género y la especie si el alcance de un concepto incluye el alcance de otro concepto, pero no coincide con él.
1) Un cuadrado y un rectángulo están en relación con el género y la especie, donde un rectángulo es un concepto genérico y un cuadrado es un concepto específico, ya que todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados.
2) Un segmento y una línea recta no guardan relación con el género y la especie, ya que un segmento es parte de una línea recta, y no su variedad. Ellos son en relación con la parte y el todo.
Ya estoy en eso edad preescolar Los niños comienzan temprano a comprender las relaciones género-especie sin nombrarlas explícitamente. Por ejemplo, al completar la tarea: “Nómbrelo en una palabra” (Fig.4), quieren decir que los conceptos “cuadrado”, “rectángulo”, “trapezoide”, “rombo”,
"paralelogramo" son específicos en relación con el concepto de "cuadrilátero".
Si los alcances de los conceptos coinciden, entonces estos conceptos son idénticos.
Por ejemplo, los conceptos " triángulo equilátero" y "triángulo equiangular" son idénticos. En la escuela, durante las lecciones de ruso, los niños aprenden el concepto de "sinónimos", palabras que difieren en sonido, pero que tienen el mismo significado.
Algunas características de las relaciones genéricas entre conceptos.
1) Los conceptos de género y especie son relativos. Un mismo concepto puede ser genérico respecto de un concepto y específico respecto de otro. Por ejemplo: el concepto “rectángulo” es genérico del concepto “cuadrado”, pero específico del concepto “cuadrilátero”.
2) Para un concepto dado, a menudo se pueden especificar varios conceptos genéricos. Por ejemplo, para el concepto “cuadrado” los conceptos genéricos son “rectángulo”, “rombo”, “cuadrángulo”, “polígono”, “figura geométrica”.
3) El concepto de especie tiene todas las propiedades del concepto genérico. Por ejemplo: un cuadrado tiene todas las propiedades de un rectángulo.
4) Si dos conceptos están en relación con género y especie, entonces existe una relación entre sus volúmenes y contenidos: si el volumen es mayor, entonces el contenido es menor y viceversa. Por ejemplo, el alcance del concepto "rectángulo" es mayor que el alcance del concepto "cuadrado", ya que todos los objetos del segundo concepto son también objetos del primer concepto. El contenido del concepto "rectángulo" es menor que el contenido del concepto "cuadrado", ya que un cuadrado tiene todas las propiedades de un rectángulo e incluso otras propiedades inherentes únicamente a él.
Tarea 2
Nombra cuáles de los siguientes conceptos están relacionados con el género y el tipo: círculo, línea quebrada, triángulo, segmento, polígono, radio, círculo.
Definición de conceptos
Para reconocer un objeto no es necesario comprobar sus propiedades esenciales; basta con unas pocas. Esto es lo que dicen cuando se define un concepto.
Definición del concepto- Este operación lógica, que cubre el contenido del concepto o establece el significado del término
Definición del concepto le permite distinguir proyectos definidos de otros objetos. Así, por ejemplo, la definición de los conceptos “ triángulo rectángulo" te permite distinguirlo de otros triángulos.
Existir diferentes tipos definiciones. Hay definiciones explícitas e implícitas (Fig. 5).
Las definiciones explícitas toman la forma de igualdad de dos conceptos. C de ellos se llaman determinado, otro - definiendo.
Por ejemplo: “Un triángulo rectángulo es un triángulo cuyo triángulo tiene un ángulo recto”. Aquí el concepto definido es “un triángulo primangular”, y el concepto definitorio es “un triángulo que tiene un ángulo recto”.
El tipo más común de definición explícita es la división. a través de diferencias de género y especie. La definición anterior de triángulo rectángulo se refiere a tales definiciones. El concepto de "triángulo", contenido en la definición de aves, es el concepto genérico más cercano al concepto de "triángulo rectángulo", y la propiedad "tener un prugol" permite distinguir un tipo de triángulo rectángulo de todos los triángulos.
diferencia de especies- una propiedad esencial que distingue el concepto de especie del concepto de género completo.
La estructura de la definición a través del género y diferencia específica de la imagen; esquemáticamente en la Figura 6. Con este esquema, puede construir conceptos no solo en matemáticas, sino también en otras ciencias.
Reglas básicas para la determinación mediante diferencia de género y especie.
1) La definición debe ser proporcionada.
Esto significa que el alcance de los conceptos definidos y definitorios debe coincidir. Por ejemplo, en la definición “Un cuadrado es un cuadrilátero de lados iguales”, se cometió un error. Aquí, el volumen del concepto definido es menor que el volumen del concepto definitorio (el volumen del concepto definitorio contiene rombos, que no son necesariamente cuadrados).
2) No debería haber ningún círculo vicioso en la definición (o en su sistema).
Un círculo surge cuando el concepto que se está definiendo se define a través de sí mismo. Un círculo en el sistema de definiciones significa que el concepto que se define se define a través del definitorio y el concepto definitorio a través del definido. Por ejemplo: “Las rectas perpendiculares son rectas que al cruzarse forman ángulos rectos. Los ángulos rectos son los ángulos que se forman cuando las líneas perpendiculares se cruzan”.
3) La definición debe ser clara.
El significado de todos los términos incluidos en la parte definitoria debe ser claro y claramente definido. Por ejemplo, si los niños no están familiarizados con los ángulos rectos, no se les debe dar la siguiente definición: “Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene todos los ángulos rectos”.
4) El objeto que se define debe existir.
A veces, al dar definiciones por analogía, se cometen errores. Por ejemplo: "Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene todos los ángulos rectos". Para corregir el error, puedes invitarlos a dibujar este objeto.
5) Se acostumbra llamar al concepto genérico más cercano.
Para reconocer un objeto no es necesario comprobar todas sus propiedades esenciales; sólo unas pocas son suficientes. Esto se utiliza al definir un concepto.
La definición de un concepto es una operación lógica que revela el contenido del concepto o establece el significado del término.
La definición de un concepto permite distinguir los objetos definidos de otros objetos. Por ejemplo, la definición del concepto “triángulo rectángulo” nos permite distinguirlo de otros triángulos.
Hay diferentes tipos de definiciones. Hay definiciones explícitas e implícitas (Fig. 5). Las definiciones explícitas toman la forma de igualdad de dos conceptos. Uno de ellos se llama determinable, el otro, definitorio.
Por ejemplo: "Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto". Aquí el concepto definido es “un triángulo rectángulo”, y el concepto definitorio es “un triángulo que tiene un ángulo recto”.
El tipo más común de definición explícita es la definición mediante género y distinción específica. La definición anterior de triángulo rectángulo es una de esas definiciones. El concepto de "triángulo", contenido en el concepto definitorio, es el concepto genérico más cercano al concepto de "triángulo rectángulo", y la propiedad "tener un ángulo recto" nos permite seleccionar uno de los tipos entre todos los triángulos. - un triángulo rectángulo.
diferencia de especies- una propiedad esencial que distingue el concepto de especie del concepto de género completo.
La estructura de la definición a través de la diferencia de género y especie se muestra esquemáticamente en la Figura 6. Usando este esquema, es posible construir definiciones de conceptos no solo en matemáticas, sino también en otras ciencias.
Para un concepto suelen existir varios conceptos genéricos por ejemplo, para el concepto “cuadrado” podemos formular; diferentes definiciones:
Un cuadrado es un rectángulo en el que todos los lados son iguales;
Este es un rombo con todos los ángulos rectos;
Este es un cuadrilátero en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son rectos;
Este es un polígono con 4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
La primera definición se considera conveniente, ya que “rectángulo” es el concepto genérico más cercano al concepto “cuadrado”.
6) Es deseable que el determinante no contenga propiedades redundantes.
Es conveniente enumerar muchas propiedades esenciales, pero la definición resulta engorrosa. Cuando se trabaja con niños, a veces se viola esta regla. Por ejemplo, un niño se apresura a comunicar todas las propiedades esenciales de un cuadrado y da la siguiente definición: “Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y 4 lados iguales”.
Tarea 4
Pi disponible errores lógicos V siguientes definiciones:
líneas paralelas: líneas que no tienen puntos comunes ni coinciden;
ángulos adyacentes- estos son ángulos que suman 180 grados;
un rectángulo es un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos y los lados opuestos son iguales;
triángulo obtuso- este es un triángulo con todos los ángulos obtusos;
Las rectas perpendiculares son rectas que son perpendiculares.
Al desarrollar los conceptos matemáticos iniciales de los niños, la mayoría de las veces utilizan definiciones implícitas, que no tienen la forma de igualdad de dos conceptos, por ejemplo definiciones ostensivas y contextuales.
Definición ostensiva- se trata de una definición implícita en la que se nombra y muestra el objeto para el que se introduce el término.
Por ejemplo:
Este es un círculo (Fig. 7).
Las definiciones a través de la visualización son incompletas y poco concluyentes, pero son las que conectan las palabras con las cosas.
Al presentarles a los niños en edad preescolar y primaria conceptos matemáticos 7, especialmente al comienzo del entrenamiento, se utilizan principalmente definiciones ostensivas. Sin embargo, en el futuro esto requerirá el estudio de las propiedades esenciales de los objetos, es decir, la formación en los niños de ideas sobre el volumen y el contenido de los conceptos inicialmente definidos ostensivamente.
La definición contextual es una definición implícita en la que el contenido de un nuevo concepto se revela en el contexto: un pasaje de texto.
Por ejemplo, al desarrollar la actividad de contar en niños en edad preescolar, a los niños se les enseña a usar correctamente los números cardinales y ordinales: “Para responder a la pregunta “¿cuánto?”, es necesario contar así: uno, dos, tres: esto es conteo cuantitativo, y para responder a la pregunta "¿cuál?" "Debemos contar así: primero, segundo, tercero: este es un conteo ordinal".
Las definiciones contextuales siguen siendo en gran medida incompletas y poco claras, por lo que es necesario identificar las propiedades esenciales de dicho concepto definido.
oraciones matemáticas
Las relaciones entre objetos y propiedades se expresan mediante oraciones. Las oraciones se pueden formular usando palabras y escribir usando simbolos matematicos:
Las oraciones compuestas se forman a partir de oraciones elementales utilizando las conjunciones "y", "o", la partícula "no", etc. Estas palabras se llaman conectivos lógicos.
Ejemplos oraciones compuestas diferentes en estructura se muestran en la Figura 8:
Tarea 5
Determinar la estructura de las oraciones e identificar las oraciones elementales en ellas:
- “Las líneas paralelas no se cruzan”;
- « Lados opuestos los rectángulos son paralelos e iguales";
- “El número termina en cero o quíntuple”.
