La distancia de un punto a una recta dada. Distancia de un punto a una recta en un plano

Oh-oh-oh-oh-oh... bueno, es duro, como si estuviera leyendo una frase para sí mismo =) Sin embargo, la relajación ayudará más adelante, sobre todo porque hoy compré los accesorios adecuados. Por lo tanto, pasemos a la primera sección, espero que al final del artículo mantenga un buen humor.

La posición relativa de dos líneas rectas.

Este es el caso cuando el público canta a coro. Dos líneas rectas pueden:

1) partido;

2) ser paralelo: ;

3) o se cruzan en un solo punto: .

Ayuda para tontos : Atención - Recuerde signo matemático intersecciones, esto ocurrirá muy a menudo. La notación significa que la línea se cruza con la línea en el punto.

¿Cómo determinar la posición relativa de dos líneas?

Comencemos con el primer caso:

Dos rectas coinciden si y sólo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales, es decir, existe un número “lambda” tal que se satisfacen las igualdades

Consideremos las líneas rectas y creemos tres ecuaciones a partir de los coeficientes correspondientes: . De cada ecuación se deduce que, por tanto, estas rectas coinciden.

De hecho, si todos los coeficientes de la ecuación multiplicar por –1 (cambiar de signo) y todos los coeficientes de la ecuación cortado por 2, obtienes la misma ecuación: .

El segundo caso, cuando las rectas son paralelas:

Dos rectas son paralelas si y sólo si los coeficientes de las variables son proporcionales: , Pero.

Como ejemplo, considere dos líneas rectas. Comprobamos la proporcionalidad de los coeficientes correspondientes a las variables:

Sin embargo, es bastante obvio.

Y el tercer caso, cuando las líneas se cruzan:

Dos rectas se cortan si y sólo si los coeficientes de las variables NO son proporcionales, es decir, NO existe tal valor de “lambda” que permita satisfacer las igualdades

Entonces, para líneas rectas crearemos un sistema:

De la primera ecuación se deduce que , y de la segunda ecuación: , lo que significa el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por tanto, los coeficientes de las variables no son proporcionales.

Conclusión: las líneas se cruzan

EN problemas prácticos puede utilizar el esquema de solución que acabamos de comentar. Por cierto, recuerda mucho al algoritmo para verificar la colinealidad de los vectores, que vimos en clase. El concepto de (in)dependencia lineal de vectores. Base de vectores. Pero hay un embalaje más civilizado:

Ejemplo 1

Averiguar acuerdo mutuo directo:

Solución basado en el estudio de vectores directores de rectas:

a) De las ecuaciones encontramos los vectores directores de las rectas: .

, lo que significa que los vectores no son colineales y las rectas se cruzan.

Por si acaso, pondré una piedra con carteles en el cruce:

El resto salta la piedra y sigue más allá, directo a Kashchei el Inmortal =)

b) Encuentra los vectores directores de las rectas:

Las líneas tienen el mismo vector de dirección, lo que significa que son paralelas o coincidentes. No es necesario contar aquí el determinante.

Es obvio que los coeficientes de las incógnitas son proporcionales y .

Averigüemos si la igualdad es cierta:

De este modo,

c) Encuentra los vectores directores de las rectas:

Calculemos el determinante formado por las coordenadas de estos vectores:
, por tanto, los vectores directores son colineales. Las líneas son paralelas o coincidentes.

El coeficiente de proporcionalidad “lambda” es fácil de ver directamente a partir de la relación de vectores directores colineales. Sin embargo, también se puede encontrar a través de los coeficientes de las propias ecuaciones: .

Ahora averigüemos si la igualdad es cierta. Ambos términos libres son cero, entonces:

El valor resultante satisface esta ecuación(cualquier número generalmente lo satisface).

Por tanto, las líneas coinciden.

Respuesta:

Muy pronto aprenderás (o incluso ya habrás aprendido) a resolver un problema discutido verbalmente literalmente en cuestión de segundos. En este sentido, no veo ningún sentido en ofrecer nada por decisión independiente, es mejor colocar otro ladrillo importante en la base geométrica:

¿Cómo construir una recta paralela a una dada?

Por ignorancia de esto tarea más simple Nightingale el Ladrón castiga severamente.

Ejemplo 2

La línea recta está dada por la ecuación. Escribe una ecuación para una recta paralela que pasa por el punto.

Solución: Denotemos la línea desconocida con la letra . ¿Qué dice la condición sobre ella? La recta pasa por el punto. Y si las rectas son paralelas, entonces es obvio que el vector director de la recta "tse" también es adecuado para construir la recta "de".

Eliminamos el vector dirección de la ecuación:

Respuesta:

La geometría del ejemplo parece simple:

Las pruebas analíticas constan de los siguientes pasos:

1) Comprobamos que las rectas tengan el mismo vector director (si no se simplifica correctamente la ecuación de la recta, entonces los vectores serán colineales).

2) Compruebe si el punto satisface la ecuación resultante.

En la mayoría de los casos, las pruebas analíticas se pueden realizar fácilmente por vía oral. Miren las dos ecuaciones y muchos de ustedes determinarán rápidamente el paralelismo de las líneas sin ningún dibujo.

Los ejemplos de soluciones independientes de hoy serán creativos. Porque todavía tendrás que competir con Baba Yaga, y ella, ya sabes, es una amante de todo tipo de acertijos.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto paralelo a la recta si

Hay una racional y otra no tan racional. manera racional soluciones. Mayoría atajo- al final de la lección.

Trabajamos un poco con líneas paralelas y volveremos a ellas más tarde. El caso de líneas coincidentes es de poco interés, así que consideremos un problema que le resulta familiar desde currículum escolar:

¿Cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas?

si es heterosexual se cruzan en el punto , entonces sus coordenadas son la solución sistemas de ecuaciones lineales

¿Cómo encontrar el punto de intersección de líneas? Resuelve el sistema.

Aquí tienes significado geométrico sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas- Estas son dos líneas que se cruzan (la mayoría de las veces) en un plano.

Ejemplo 4

Encuentra el punto de intersección de líneas.

Solución: Hay dos formas de resolver: gráfica y analítica.

Método gráfico es simplemente dibujar las líneas dadas y encontrar el punto de intersección directamente desde el dibujo:

Aquí está nuestro punto: . Para comprobarlo, debes sustituir sus coordenadas en cada ecuación de la recta, deben encajar tanto allí como allí. En otras palabras, las coordenadas de un punto son una solución del sistema. Básicamente, analizamos una solución gráfica. sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones, dos incógnitas.

El método gráfico, por supuesto, no es malo, pero tiene desventajas notables. No, la cuestión no es que los alumnos de séptimo grado decidan de esta manera, la cuestión es que llevará tiempo crear un dibujo correcto y EXACTO. Además, algunas líneas rectas no son tan fáciles de construir y el punto de intersección en sí puede estar ubicado en algún lugar del trigésimo reino fuera de la hoja del cuaderno.

Por tanto, es más conveniente buscar el punto de intersección. método analítico. Resolvamos el sistema:

Para resolver el sistema se utilizó el método de suma de ecuaciones término por término. Para desarrollar habilidades relevantes, tome una lección ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones?

Respuesta:

La verificación es trivial: las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer cada ecuación del sistema.

Ejemplo 5

Encuentra el punto de intersección de las líneas si se cruzan.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Es conveniente dividir la tarea en varias etapas. El análisis de la condición sugiere que es necesario:
1) Escribe la ecuación de la recta.
2) Crea una ecuación de una línea recta.
3) Descubra la posición relativa de las líneas.
4) Si las rectas se cruzan, entonces encuentra el punto de intersección.

El desarrollo de un algoritmo de acción es típico de muchos. problemas geométricos, y me centraré repetidamente en esto.

Solución completa y la respuesta al final de la lección:

Ni siquiera un par de zapatos estaban gastados antes de llegar a la segunda sección de la lección:

Lineas perpendiculares. Distancia de un punto a una recta.
Ángulo entre rectas

Empecemos por una típica y muy tarea importante. En la primera parte aprendimos cómo construir una línea recta paralela a esta, y ahora la cabaña sobre muslos de pollo girará 90 grados:

¿Cómo construir una recta perpendicular a una determinada?

Ejemplo 6

La línea recta está dada por la ecuación. Escribe una ecuación perpendicular a la recta que pasa por el punto.

Solución: Por condición se sabe que . Sería bueno encontrar el vector director de la línea. Como las líneas son perpendiculares, el truco es simple:

De la ecuación “quitamos” el vector normal: , que será el vector director de la recta.

Compongamos la ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Respuesta:

Ampliemos el boceto geométrico:

Hmmm... Cielo naranja, mar naranja, camello naranja.

Verificación analítica de la solución:

1) Sacamos los vectores directores de las ecuaciones. y con la ayuda producto escalar de vectores llegamos a la conclusión de que las rectas son efectivamente perpendiculares: .

Por cierto, puedes usar vectores normales, es aún más fácil.

2) Compruebe si el punto satisface la ecuación resultante. .

La prueba, nuevamente, es fácil de realizar por vía oral.

Ejemplo 7

Encuentra el punto de intersección de líneas perpendiculares si se conoce la ecuación. y punto.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Existen varias acciones en el problema, por lo que conviene formular la solución punto por punto.

Es nuestro un viaje divertido continúa:

Distancia de un punto a una línea

Frente a nosotros hay una franja recta del río y nuestra tarea es llegar a ella por el camino más corto. No hay obstáculos y la ruta más óptima será avanzar en perpendicular. Es decir, la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular.

La distancia en geometría se denota tradicionalmente. letra griega“ro”, por ejemplo: – la distancia desde el punto “em” a la recta “de”.

Distancia de un punto a una línea expresado por la fórmula

Ejemplo 8

Encuentra la distancia de un punto a una recta.

Solución: todo lo que necesitas hacer es sustituir cuidadosamente los números en la fórmula y realizar los cálculos:

Respuesta:

Hagamos el dibujo:

La distancia encontrada desde el punto a la línea es exactamente la longitud del segmento rojo. Si haces un dibujo en papel a cuadros en una escala de 1 unidad. = 1 cm (2 celdas), entonces la distancia se puede medir con una regla común.

Consideremos otra tarea basada en el mismo dibujo:

La tarea es encontrar las coordenadas de un punto que sea simétrico al punto con respecto a la línea recta. . Sugiero realizar los pasos usted mismo, pero describiré el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentra una recta que sea perpendicular a la recta.

2) Encuentra el punto de intersección de las líneas: .

Ambas acciones se analizan en detalle en esta lección.

3) El punto es el punto medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los extremos. Por Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento. encontramos .

Sería buena idea comprobar que la distancia también es de 2,2 unidades.

Aquí pueden surgir dificultades en los cálculos, pero una microcalculadora es de gran ayuda en la torre, permitiéndole calcular fracciones comunes. Te he aconsejado muchas veces y te recomendaré nuevamente.

¿Cómo encontrar la distancia entre dos rectas paralelas?

Ejemplo 9

Encuentra la distancia entre dos rectas paralelas.

Este es otro ejemplo para que decidas por tu cuenta. Te daré una pequeña pista: hay infinitas formas de solucionar esto. Informe al final de la lección, pero es mejor intentar adivinar por sí mismo, creo que su ingenio estuvo bien desarrollado.

Ángulo entre dos rectas

Cada rincón es una jamba:

En geometría, el ángulo entre dos rectas se considera el ángulo MÁS PEQUEÑO, de lo que se deduce automáticamente que no puede ser obtuso. En la figura, el ángulo indicado por el arco rojo no se considera el ángulo entre líneas que se cruzan. Y su vecino “verde” o orientada opuestamente rincón "frambuesa".

Si las rectas son perpendiculares, entonces cualquiera de los 4 ángulos se puede tomar como ángulo entre ellas.

¿En qué se diferencian los ángulos? Orientación. En primer lugar, la dirección en la que se “desplaza” el ángulo es de fundamental importancia. En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se escribe con un signo menos, por ejemplo si .

¿Por qué te dije esto? Parece que podemos arreglárnoslas con el concepto habitual de ángulo. El hecho es que las fórmulas mediante las cuales encontraremos ángulos pueden fácilmente dar un resultado negativo, y esto no debería sorprenderte. Un ángulo con signo menos no es peor y tiene un significado geométrico muy específico. en el dibujo para ángulo negativo Asegúrese de indicar su orientación con una flecha (en el sentido de las agujas del reloj).

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos rectas? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10

Encuentra el ángulo entre líneas.

Solución Y Método uno

Considere dos líneas rectas dadas por las ecuaciones en vista general:

si es heterosexual no perpendicular, Eso orientado El ángulo entre ellos se puede calcular mediante la fórmula:

lo mas mucha atención invirtámoslo al denominador: esto es exactamente producto escalar vectores directores de rectas:

Si , entonces el denominador de la fórmula se vuelve cero, los vectores serán ortogonales y las líneas perpendiculares. Por eso se hizo una reserva sobre la no perpendicularidad de las líneas rectas en la formulación.

Con base en lo anterior, resulta conveniente formalizar la solución en dos pasos:

1) Calculemos producto escalar vectores directores de rectas:
, lo que significa que las líneas no son perpendiculares.

2) Encuentra el ángulo entre líneas rectas usando la fórmula:

Mediante el uso función inversa Es fácil encontrar la esquina en sí. En este caso, utilizamos la imparidad del arcotangente (ver. Gráficas y propiedades de funciones elementales.):

Respuesta:

En la respuesta indicamos valor exacto, así como un valor aproximado (preferiblemente tanto en grados como en radianes), calculado mediante una calculadora.

Bueno, menos, menos, no es gran cosa. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es de extrañar que el ángulo resultara tener una orientación negativa, porque en el enunciado del problema el primer número es una línea recta y el "desenroscado" del ángulo comenzó precisamente con él.

Si realmente quieres obtener un ángulo positivo, debes intercambiar las líneas, es decir, tomar los coeficientes de la segunda ecuación. , y toma los coeficientes de la primera ecuación. En resumen, debes comenzar con un directo. .

Este artículo habla sobre el tema. « distancia de un punto a una recta », Analiza la definición de la distancia de un punto a una línea con ejemplos ilustrados utilizando el método de coordenadas. Cada bloque teórico al final ha mostrado ejemplos de resolución de problemas similares.

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La distancia de un punto a una recta se encuentra determinando la distancia de un punto a otro. Miremos más de cerca.

Sean una recta a y un punto M 1 que no pertenece a la recta dada. A través de él trazamos una recta b, ubicada perpendicular a la recta a. Punto de intersección tomemos los rectos para N 1. Obtenemos que M 1 H 1 es una perpendicular que se bajó desde el punto M 1 hasta la recta a.

Definición 1

Distancia desde el punto M 1 a la recta a se llama distancia entre los puntos M 1 y H 1.

Hay definiciones que incluyen la longitud de la perpendicular.

Definición 2

Distancia de un punto a una línea es la longitud de la perpendicular trazada desde un punto dado hasta una recta dada.

Las definiciones son equivalentes. Considere la siguiente figura.

Se sabe que la distancia de un punto a una recta es la menor de todas las posibles. Veamos esto con un ejemplo.

Si tomamos un punto Q que se encuentra en una recta a, que no coincide con el punto M 1, entonces obtenemos que el segmento M 1 Q se llama segmento inclinado, bajado de M 1 a una recta a. Es necesario indicar que la perpendicular desde el punto M 1 es menor que cualquier otra línea inclinada trazada desde el punto hasta la recta.

Para probar esto, considere el triángulo M 1 Q 1 H 1, donde M 1 Q 1 es la hipotenusa. Se sabe que su longitud es siempre mayor que la longitud de cualquiera de las patas. Esto significa que tenemos que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Los datos iniciales para encontrar desde un punto hasta una recta permiten el uso de varios métodos de solución: mediante el teorema de Pitágoras, determinación del seno, coseno, tangente de un ángulo y otros. La mayoría de tareas de este tipo se resuelven en la escuela durante las lecciones de geometría.

Cuando, al encontrar la distancia de un punto a una línea recta, es posible introducir un sistema de coordenadas rectangular, entonces se utiliza el método de coordenadas. En este párrafo, consideraremos los dos métodos principales para encontrar la distancia requerida desde un punto determinado.

El primer método consiste en buscar la distancia como una perpendicular trazada desde M 1 hasta la recta a. El segundo método utiliza ecuación normal línea recta a para encontrar la distancia requerida.

Si hay un punto en el plano con coordenadas M 1 (x 1, y 1), ubicado en sistema rectangular coordenadas, recta a, y es necesario encontrar la distancia M 1 H 1, el cálculo se puede realizar de dos formas. Mirémoslos.

primera manera

Si las coordenadas del punto H 1 son iguales a x 2, y 2, entonces la distancia desde el punto a la línea recta se calcula usando las coordenadas de la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pasemos ahora a encontrar las coordenadas del punto H 1.

Se sabe que una recta en O x y corresponde a la ecuación de una recta en el plano. Tomemos el método de definir una línea recta a escribiendo una ecuación general de una línea recta o una ecuación con un coeficiente angular. Redactamos la ecuación de una recta que pasa por el punto M 1 perpendicular a una recta dada a. Denotemos la línea recta con la letra b. H 1 es el punto de intersección de las líneas a y b, lo que significa que para determinar las coordenadas es necesario utilizar el artículo en el que estamos hablando acerca de sobre las coordenadas de los puntos de intersección de dos rectas.

Se puede observar que el algoritmo para encontrar la distancia desde un punto dado M 1 (x 1, y 1) a la recta a se realiza según los puntos:

Definición 3

encontrar la ecuación general de una recta a, que tiene la forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, o una ecuación con un coeficiente angular, que tiene la forma y = k 1 x + b 1;
obteniendo una ecuación general de la recta b, que tiene la forma A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o una ecuación con un coeficiente angular y = k 2 x + b 2, si la recta b cruza el punto M 1 y es perpendicular a una línea dada a;
determinación de las coordenadas x 2, y 2 del punto H 1, que es el punto de intersección de a y b, para ello se resuelve el sistema de ecuaciones lineales A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + segundo 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + segundo 1 y = k 2 x + segundo 2 ;
calcular la distancia requerida desde un punto a una línea usando la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Segunda manera

El teorema puede ayudar a responder la pregunta de encontrar la distancia desde un punto determinado hasta una línea recta determinada en un plano.

Teorema

El sistema de coordenadas rectangular tiene O x y tiene un punto M 1 (x 1, y 1), desde el cual se traza una línea recta hacia el plano, dada por la ecuación normal del plano, que tiene la forma cos α x + cos β y - p = 0, igual a El valor absoluto obtenido en el lado izquierdo de la ecuación normal de la recta, calculado en x = x 1, y = y 1, significa que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - pág.

Prueba

La recta a corresponde a la ecuación normal del plano, teniendo la forma cos α x + cos β y - p = 0, entonces n → = (cos α, cos β) se considera el vector normal de la recta a a una distancia del origen hasta la línea a con p unidades. Es necesario mostrar todos los datos en la figura, agregar un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1), donde el vector de radio del punto M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Es necesario trazar una línea recta desde un punto hasta una línea recta, que denotamos como M 1 H 1 . Es necesario representar las proyecciones M 2 y H 2 de los puntos M 1 y H 2 sobre una recta que pasa por el punto O con un vector director de la forma n → = (cos α, cos β), y denotar el proyección numérica del vector como O M 1 → = (x 1, y 1) en la dirección n → = (cos α , cos β) como n p n → O M 1 → .

Las variaciones dependen de la ubicación del propio punto M1. Miremos la figura a continuación.

Arreglamos los resultados usando la fórmula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Luego llevamos la igualdad a esta forma M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p para obtener n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

El producto escalar de vectores da como resultado una fórmula transformada de la forma n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , que es el producto en forma coordinada de la forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Esto significa que obtenemos que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Se deduce que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. El teorema ha sido demostrado.

Descubrimos que para encontrar la distancia desde el punto M 1 (x 1 , y 1) a la línea recta a en el plano, es necesario realizar varias acciones:

Definición 4

obtener la ecuación normal de la recta a cos α · x + cos β · y - p = 0, siempre que no esté en la tarea;
cálculo de la expresión cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, donde el valor resultante toma M 1 H 1.

Apliquemos estos métodos para resolver problemas para encontrar la distancia de un punto a un plano.

Ejemplo 1

Encuentra la distancia desde el punto de coordenadas M 1 (- 1, 2) a la recta 4 x - 3 y + 35 = 0.

Solución

Usemos el primer método para resolver.

Para ello es necesario encontrar la ecuación general de la recta b, que pasa por un punto dado M 1 (- 1, 2), perpendicular a la recta 4 x - 3 y + 35 = 0. De la condición se desprende claramente que la línea b es perpendicular a la línea a, entonces su vector director tiene coordenadas iguales a (4, - 3). Así, tenemos la oportunidad de escribir la ecuación canónica de la recta b en el plano, ya que existen coordenadas del punto M 1, que pertenece a la recta b. Determinemos las coordenadas del vector director de la recta b. Obtenemos que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. La ecuación canónica resultante debe convertirse en una general. Entonces entendemos eso

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Encontremos las coordenadas de los puntos de intersección de las líneas, que tomaremos como designación H 1. Las transformaciones se ven así:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

De lo escrito anteriormente, tenemos que las coordenadas del punto H 1 son iguales a (- 5; 5).

Es necesario calcular la distancia desde el punto M 1 hasta la recta a. Tenemos que las coordenadas de los puntos M 1 (- 1, 2) y H 1 (- 5, 5), luego las sustituimos en la fórmula para encontrar la distancia y obtener eso

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Segunda solución.

Para resolver de otra forma es necesario obtener la ecuación normal de la recta. Calculamos el valor del factor de normalización y multiplicamos ambos lados de la ecuación 4 x - 3 y + 35 = 0. De aquí obtenemos que el factor de normalización es igual a - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, y la ecuación normal tendrá la forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Según el algoritmo de cálculo, es necesario obtener la ecuación normal de la recta y calcularla con los valores x = - 1, y = 2. Entonces entendemos eso

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

De esto obtenemos que la distancia desde el punto M 1 (- 1, 2) a la recta dada 4 x - 3 y + 35 = 0 tiene el valor - 5 = 5.

Respuesta: 5 .

Está claro que en este método Es importante utilizar la ecuación normal de una recta, ya que este método es el más corto. Pero el primer método es conveniente porque es coherente y lógico, aunque tiene más puntos de cálculo.

Ejemplo 2

En el plano hay un sistema de coordenadas rectangular O x y con punto M 1 (8, 0) y recta y = 1 2 x + 1. Encuentra la distancia desde un punto dado a una línea recta.

Solución

La primera solución consiste en fundir ecuación dada con la pendiente de una ecuación general. Para simplificar, puedes hacerlo de otra manera.

Si el producto de los coeficientes angulares de rectas perpendiculares tiene un valor de - 1, entonces pendiente La recta perpendicular a la dada y = 1 2 x + 1 tiene el valor 2. Ahora obtenemos la ecuación de una recta que pasa por un punto con coordenadas M 1 (8, 0). Tenemos que y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Procedemos a encontrar las coordenadas del punto H 1, es decir, los puntos de intersección y = - 2 x + 16 e y = 1 2 x + 1. Formamos un sistema de ecuaciones y obtenemos:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

De ello se deduce que la distancia desde el punto de coordenadas M 1 (8, 0) a la recta y = 1 2 x + 1 es igual a la distancia desde el punto inicial y el punto final de coordenadas M 1 (8, 0) y H1 (6, 4). Calculemos y encontremos que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

La solución de la segunda forma es pasar de una ecuación con un coeficiente a su forma normal. Es decir, obtenemos y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, entonces el valor del factor de normalización será - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Se deduce que la ecuación normal de la recta toma la forma - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Realicemos el cálculo desde el punto M 1 8, 0 hasta una recta de la forma - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Obtenemos:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Respuesta: 2 5 .

Ejemplo 3

Es necesario calcular la distancia desde el punto de coordenadas M 1 (- 2, 4) hasta las rectas 2 x - 3 = 0 e y + 1 = 0.

Solución

Obtenemos la ecuación aspecto normal recta 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Luego procedemos a calcular la distancia desde el punto M 1 - 2, 4 a la recta x - 3 2 = 0. Obtenemos:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

La ecuación de la recta y + 1 = 0 tiene un factor de normalización con un valor igual a -1. Esto significa que la ecuación tomará la forma - y - 1 = 0. Procedemos a calcular la distancia desde el punto M 1 (- 2, 4) a la recta - y - 1 = 0. Encontramos que es igual a - 4 - 1 = 5.

Respuesta: 3 1 2 y 5.

Echemos un vistazo más de cerca a encontrar la distancia desde un punto dado en el avión hasta ejes de coordenadas O x y O y.

En un sistema de coordenadas rectangular, el eje O y tiene una ecuación de línea recta, que es incompleta y tiene la forma x = 0, y O x - y = 0. Las ecuaciones son normales para los ejes de coordenadas, entonces es necesario encontrar la distancia desde el punto de coordenadas M 1 x 1, y 1 a las rectas. Esto se hace basándose en las fórmulas M 1 H 1 = x 1 y M 1 H 1 = y 1. Miremos la figura a continuación.

Ejemplo 4

Encuentre la distancia desde el punto M 1 (6, - 7) a las líneas de coordenadas ubicadas en el plano O x y.

Solución

Dado que la ecuación y = 0 se relaciona con la recta O x, podemos encontrar la distancia desde M 1 s coordenadas dadas, a esta recta usando la fórmula. Obtenemos que 6 = 6.

Dado que la ecuación x = 0 se refiere a la línea recta O y, puedes encontrar la distancia desde M 1 a esta línea recta usando la fórmula. Entonces obtenemos que - 7 = 7.

Respuesta: la distancia de M 1 a O x tiene un valor de 6, y de M 1 a O y tiene un valor de 7.

Cuando en el espacio tridimensional tenemos un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1), es necesario encontrar la distancia desde el punto A a la recta a.

Consideremos dos métodos que le permiten calcular la distancia desde un punto a una línea recta ubicada en el espacio. El primer caso considera la distancia desde el punto M 1 a una recta, donde un punto de la recta se llama H 1 y es la base de una perpendicular trazada desde el punto M 1 hasta la recta a. El segundo caso sugiere que los puntos de este plano deben buscarse como la altura del paralelogramo.

primera manera

De la definición tenemos que la distancia al punto M 1 ubicado en la recta a es la longitud de la perpendicular M 1 H 1, luego obtenemos que con las coordenadas encontradas del punto H 1, luego encontramos la distancia entre M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) y H 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), según la fórmula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Encontramos que toda la solución va hacia encontrar las coordenadas de la base de la perpendicular trazada desde M 1 hasta la recta a. Esto se hace de la siguiente manera: H 1 es el punto donde la recta a se cruza con el plano que pasa por el punto dado.

Esto significa que el algoritmo para determinar la distancia desde el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) a la línea a en el espacio implica varios puntos:

Definición 5

elaborar la ecuación del plano χ como ecuación del plano que pasa por un punto dado ubicado perpendicular a la recta;
determinación de las coordenadas (x 2, y 2, z 2) pertenecientes al punto H 1, que es el punto de intersección de la recta a y el plano χ;
calcular la distancia de un punto a una línea usando la fórmula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Segunda manera

A partir de la condición tenemos una recta a, entonces podemos determinar el vector director a → = a x, a y, a z con coordenadas x 3, y 3, z 3 y un cierto punto M 3 perteneciente a la recta a. Si tienes las coordenadas de los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 3 x 3, y 3, z 3, puedes calcular M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Debemos apartar los vectores a → = a x , a y , a z y M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 del punto M 3 , conectarlos y obtener una figura de paralelogramo . M 1 H 1 es la altura del paralelogramo.

Miremos la figura a continuación.

Tenemos que la altura M 1 H 1 es la distancia requerida, entonces es necesario encontrarla usando la fórmula. Es decir, buscamos M 1 H 1.

Denotamos el área del paralelogramo con la letra S, encontrada mediante la fórmula usando el vector a → = (a x, a y, a z) y M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. La fórmula del área es S = a → × M 3 M 1 → . Además, el área de la figura es igual al producto de las longitudes de sus lados por la altura, obtenemos que S = a → · M 1 H 1 con a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, que es la longitud del vector a → = (a x, a y, a z), siendo lado igual paralelogramo. Esto significa que M 1 H 1 es la distancia del punto a la recta. Se encuentra usando la fórmula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Para encontrar la distancia desde un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) a una línea recta a en el espacio, es necesario realizar varios pasos del algoritmo:

Definición 6

determinación del vector director de la recta a - a → = (a x, a y, a z);
calcular la longitud del vector director a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
obteniendo las coordenadas x 3 , y 3 , z 3 pertenecientes al punto M 3 ubicado en la recta a;
calcular las coordenadas del vector M 3 M 1 → ;
encontrar el producto vectorial de los vectores a → (a x , a y , a z ) y M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 como a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 para obtener la longitud usando la fórmula a → × M 3 M 1 → ;
calcular la distancia de un punto a una línea M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Resolver problemas de encontrar la distancia desde un punto dado a una línea dada en el espacio

Ejemplo 5

Encuentra la distancia desde el punto con coordenadas M 1 2, - 4, - 1 a la recta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Solución

El primer método comienza escribiendo la ecuación del plano χ que pasa por M 1 y es perpendicular a Punto dado. Obtenemos una expresión como:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Es necesario encontrar las coordenadas del punto H 1, que es el punto de intersección con el plano χ de la recta especificada por la condición. deberíamos pasar de forma canónica al que se cruza. Luego obtenemos un sistema de ecuaciones de la forma:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Es necesario calcular el sistema x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 por el método de Cramer, entonces obtenemos que:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

De aquí tenemos que H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

El segundo método es comenzar buscando coordenadas en ecuación canónica. Para hacer esto, debes prestar atención a los denominadores de la fracción. Entonces a → = 2, - 1, 5 es el vector director de la recta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Es necesario calcular la longitud usando la fórmula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Está claro que la recta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 corta el punto M 3 (- 1 , 0 , - 5), por lo tanto tenemos que el vector con origen M 3 (- 1 , 0 , - 5) y su extremo en el punto M 1 2, - 4, - 1 es M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Encontramos producto vectorial a → = (2, - 1, 5) y M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Obtenemos una expresión de la forma a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

encontramos que la longitud del producto vectorial es igual a a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Tenemos todos los datos para usar la fórmula para calcular la distancia desde un punto para una línea recta, así que apliquémosla y obtenemos:

M 1 H 1 = un → × M 3 M 1 → un → = 330 30 = 11

Respuesta: 11 .

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La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. EN geometría descriptiva esta determinado gráficamente según el siguiente algoritmo.

Algoritmo

La línea recta se mueve a una posición en la que será paralela a cualquier plano de proyección. Para ello se utilizan métodos de transformación de proyecciones ortogonales.
Desde un punto se traza una perpendicular a una recta. En el núcleo de esta construcción radica el teorema de la proyección de un ángulo recto.
La longitud de una perpendicular se determina transformando sus proyecciones o utilizando el método del triángulo rectángulo.

La siguiente figura muestra dibujo complejo punto M y recta b definida por el segmento CD. Necesitas encontrar la distancia entre ellos.

Según nuestro algoritmo, lo primero que debemos hacer es mover la línea recta a la posición paralelo al plano proyecciones. Es importante entender que una vez realizadas las transformaciones, la distancia real entre el punto y la línea no debería cambiar. Por eso es conveniente utilizar aquí el método de sustitución de planos, que no implica mover figuras en el espacio.

Los resultados de la primera etapa de construcción se muestran a continuación. La figura muestra cómo se introduce un plano frontal adicional P 4 paralelo a b. EN nuevo sistema(P 1, P 4) los puntos C"" 1, D"" 1, M"" 1 están a la misma distancia del eje X 1 que C"", D"", M"" del eje X.

Realizando la segunda parte del algoritmo, desde M"" 1 bajamos la perpendicular M"" 1 N"" 1 a la recta b"" 1, ya que el ángulo recto MND entre by MN se proyecta sobre el plano P 4 en tamaño completo. Utilizando la línea de comunicación determinamos la posición del punto N" y realizamos la proyección M"N" del segmento MN.

En etapa final es necesario determinar el tamaño del segmento MN a partir de sus proyecciones M"N" y M"" 1 N"" 1. Para esto estamos construyendo triángulo rectángulo M"" 1 N"" 1 N 0, que tiene el lado N"" 1 N 0 igual a la diferencia(Y M 1 – Y N 1) eliminando los puntos M" y N" del eje X 1. La longitud de la hipotenusa M"" 1 N 0 del triángulo M"" 1 N"" 1 N 0 corresponde a la distancia deseada de M a b.

Segunda solución

Paralelamente al CD, presentamos un nuevo plano frontal P 4. Intersecta a P 1 a lo largo del eje X 1 y X 1 ∥C"D". De acuerdo con el método de sustitución de planos, determinamos las proyecciones de los puntos C"" 1, D"" 1 y M"" 1, como se muestra en la figura.
Perpendicular a C"" 1 D"" 1 construimos un adicional plano horizontal P 5 sobre el cual se proyecta la recta b hasta el punto C" 2 = b" 2.
La distancia entre el punto M y la línea b está determinada por la longitud del segmento M" 2 C" 2, indicado en rojo.

Tareas similares:

La capacidad de encontrar la distancia entre diferentes objetos geométricos es importante al calcular el área de superficie de las formas y sus volúmenes. En este artículo consideraremos la cuestión de cómo encontrar la distancia de un punto a una línea recta en el espacio y en el plano.

Descripción matemática de una recta.

Para entender cómo encontrar la distancia de un punto a una línea, debes entender la pregunta. tarea de matematicas estos objetos geométricos.

Con un punto todo es sencillo; está descrito por un conjunto de coordenadas, cuyo número corresponde a la dimensión del espacio. Por ejemplo, en un plano, estas son dos coordenadas, en el espacio tridimensional, tres.

En cuanto a un objeto unidimensional, una línea recta, se utilizan varios tipos de ecuaciones para describirlo. Consideremos sólo dos de ellos.

El primer tipo se llama ecuación vectorial. A continuación se muestran expresiones para líneas en espacios tridimensionales y bidimensionales:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

En estas expresiones, las coordenadas con índices cero describen el punto por el que pasa una recta dada, el conjunto de coordenadas (a; b; c) y (a; b) son los llamados vectores directores de la recta correspondiente, α es un parámetro que puede tomar cualquier valor real.

La ecuación vectorial es conveniente en el sentido de que contiene explícitamente el vector director de la línea, cuyas coordenadas se pueden utilizar para resolver problemas de paralelismo o perpendicularidad de varios objetos geométricos, por ejemplo, dos líneas rectas.

El segundo tipo de ecuación que consideraremos para una recta se llama general. En el espacio se da este tipo. ecuaciones generales dos aviones. En el avión tiene el siguiente formulario:

A × x + B × y + C = 0

Al trazar una gráfica, a menudo se escribe como una dependencia de X/Y, es decir:

y = -A / B × x +(-C / B)

Aquí miembro gratuito-C / B corresponde a la coordenada de intersección de la línea con el eje y, y el coeficiente -A / B está asociado con el ángulo de inclinación de la línea con el eje x.

El concepto de distancia entre una recta y un punto.

Habiendo entendido las ecuaciones, puede pasar directamente a responder la pregunta de cómo encontrar la distancia desde un punto a una línea recta. En séptimo grado, las escuelas comienzan a considerar este tema determinando el valor apropiado.

La distancia entre una recta y un punto es la longitud del segmento perpendicular a esta recta, que se omite del punto en cuestión. La siguiente figura muestra una línea recta r y un punto A. El segmento perpendicular a la línea recta r se muestra en azul. Su longitud es la distancia requerida.

En la foto aquí caso bidimensional, sin embargo esta definición las distancias también son válidas para un problema tridimensional.

Fórmulas requeridas

Dependiendo de la forma en que se escriba la ecuación de la recta y en qué espacio se resuelva el problema, dos fórmulas básicas, dando respuesta a la pregunta de cómo encontrar la distancia entre una línea y un punto.

denotemos punto conocido símbolo P 2 . Si la ecuación de una recta está dada en forma vectorial, entonces para d la distancia entre los objetos considerados la fórmula es válida:

re = || / |v¯|

Es decir, para determinar d, se debe calcular el módulo del producto vectorial de la guía para el vector de línea recta v¯ y el vector P 1 P 2 ¯, cuyo comienzo se encuentra en un punto arbitrario P 1 en la línea recta. , y el final está en el punto P 2 , luego divide este módulo por la longitud v ¯. Esta fórmula es universal para pisos y espacio tridimensional.

Si el problema se considera en un plano en el sistema de coordenadas xy y la ecuación de la recta se da en forma general, entonces siguiente fórmula Puedes encontrar la distancia desde una línea recta a un punto como este:

Línea recta: A × x + B × y + C = 0;
Punto: P 2 (x 2; y 2; z 2);
Distancia: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

La fórmula anterior es bastante simple, pero su uso está limitado por las condiciones mencionadas anteriormente.

Coordenadas de la proyección de un punto sobre una recta y distancia.

También puedes responder a la pregunta de cómo encontrar la distancia de un punto a una recta de otra forma que no implique memorizar las fórmulas dadas. Este método implica determinar un punto en una línea que es la proyección del punto original.

Supongamos que hay un punto M y una recta r. La proyección sobre r de un punto M corresponde a un determinado punto M 1 . La distancia de M a r es igual a la longitud del vector MM 1 ¯.

¿Cómo encontrar las coordenadas de M 1? Muy simple. Basta recordar que el vector lineal v¯ será perpendicular a MM 1 ¯, es decir, su producto escalar debe ser igual a cero. Sumando a esta condición el hecho de que las coordenadas M 1 deben satisfacer la ecuación de la recta r, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales simples. Como resultado de su solución se obtienen las coordenadas de la proyección del punto M sobre r.

La técnica descrita en este párrafo para encontrar la distancia de una línea recta a un punto se puede utilizar para un plano y para el espacio, pero su aplicación requiere conocimientos. ecuación vectorial para línea recta.

problema de avión

Ahora es el momento de mostrar cómo utilizar el aparato matemático presentado para resolver problemas reales. Supongamos que se da un punto M(-4; 5) en el plano. Es necesario encontrar la distancia desde el punto M a una línea recta, que se describe mediante la ecuación general:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Es decir, M no se encuentra sobre una recta.

Dado que la ecuación de una línea recta no está dada en forma general, la reducimos a tal forma para poder usar fórmula correspondiente, tenemos:

y = 3 × x + 6 =>
3 × x - y + 6 = 0

Ahora puedes sustituir números conocidos en la fórmula para d:

re = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

problema en el espacio

Ahora consideremos el caso en el espacio. Deja que se describa la línea recta. la siguiente ecuación:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

¿Cuál es la distancia desde él hasta el punto M(0; 2; -3)?

Al igual que en el caso anterior, comprobemos si M pertenece a la línea dada. Para hacer esto, sustituimos las coordenadas en la ecuación y la reescribimos explícitamente:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Desde recibido diferentes parámetrosα, entonces M no se encuentra en esta recta. Calculemos ahora la distancia desde él hasta la línea recta.

Para usar la fórmula para d, tome punto arbitrario en línea recta, por ejemplo P(1; -1; 0), entonces:

Calculemos el producto vectorial entre PM¯ y el vector director de la recta v¯. Obtenemos:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Ahora sustituimos los módulos del vector encontrado y el vector v¯ en la fórmula de d, obtenemos:

re = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Esta respuesta podría obtenerse utilizando la técnica descrita anteriormente, que implica resolver un sistema de ecuaciones lineales. En esto y tareas anteriores los valores calculados de la distancia desde una línea recta hasta un punto se presentan en unidades del sistema de coordenadas correspondiente.