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Publicado en http://www.allbest.ru/

Ministerio de Educación y Ciencia

República de Kazajstán

EKSTU lleva el nombre. D. Serikbaeva

Trabajo del curso

disciplina: Física

sobre el tema de: "Vibraciones armónicasmétodovector de amplitud giratoria, ométodovectordiagramas»

Completado por: alumno del grupo 14-GRK-1

Seri??anov?.E

Comprobado por: Nurkenova B.D.

Ust-Kamenogorsk - 2014

• circuito oscilatorio
• Vibraciones armónicas
• Vibraciones forzadas
• Resonancia
• Autooscilaciones
• Definición de vibraciones.
• Método gráfico de suma de oscilaciones. diagrama vectorial
• Método del vector de amplitud rotatoria.
• La suma es recíproca vibraciones perpendiculares
• Adición de vibraciones de la misma dirección y de la misma frecuencia.
• Varias formas de la trayectoria de la suma de oscilaciones. figuras de lissajous
• Bibliografía

circuito oscilatorio

Oscilaciones Se denominan movimientos o procesos que se caracterizan por una cierta repetibilidad en el tiempo. Los procesos oscilatorios están muy extendidos en la naturaleza y la tecnología, por ejemplo, la oscilación del péndulo de un reloj, alternando electricidad etc. Durante el movimiento oscilatorio del péndulo, la coordenada de su centro de masa cambia, en el caso corriente alterna El voltaje y la corriente fluctúan en el circuito. La naturaleza física de las vibraciones puede ser diferente, por lo que se distinguen las vibraciones mecánicas, electromagnéticas y de otro tipo. Sin embargo, diferentes procesos oscilatorios se describen mediante las mismas características y las mismas ecuaciones. Esto implica la conveniencia de un enfoque unificado para el estudio de oscilaciones de diversas naturalezas físicas. Por ejemplo, un enfoque unificado para el estudio de mecánica y vibraciones electromagnéticas fue utilizado por el físico inglés D.W. Rayleigh (1842-1919) y A.G. Stoletov, ingeniero experimental ruso P.N. Lébedev (1866-1912). Una gran contribución al desarrollo de la teoría de las oscilaciones la hizo: L.I. Mandelstam (1879-1944) y sus alumnos.

Oscilaciones son llamados gratis(o propio), si se realizan con cargo al original energía perfecta con la posterior ausencia de influencias externas sobre el sistema oscilatorio (un sistema que oscila). El tipo más simple de oscilaciones son vibraciones armónicas- oscilaciones en las que la cantidad fluctuante cambia con el tiempo según la ley del seno (coseno). La consideración de las vibraciones armónicas es importante por dos razones:

Las vibraciones que se encuentran en la naturaleza y la tecnología a menudo tienen un carácter cercano al armónico;

Varios procesos periódicos(procesos repetidos a intervalos regulares) se pueden representar como una superposición de oscilaciones armónicas.

Vibraciones armónicas

amplitud del vector de resonancia de vibración

Las oscilaciones armónicas del valor s se describen mediante una ecuación como

s = A cos (0 t +), (1)

Dónde

a) A- valor máximo valor fluctuante, llamado amplitud de vibración,

segundo) 0 - frecuencia circular (cíclica),

-fase inicial de oscilación en el momento t=0,

c) (0 t +) - fase de oscilación en el momento t.

La fase de oscilación determina los valores de la cantidad oscilante en este momento tiempo. Dado que el coseno varía de 1 a -1, s puede tomar valores de +A a -A.

Ciertos estados de un sistema que realiza oscilaciones armónicas se repiten después de un período de tiempo T, llamado período de oscilación, para lo cual la fase de oscilación recibe un incremento igual a 2, es decir

0(t+T)+ =(0t+)+2,

dónde

T=2/0 (2)

Magnitud, periodo inverso vacilación,

=1/T (3)

es decir, el número de oscilaciones completas realizadas por unidad de tiempo se llama frecuencia de vibración. Comparando (2) y (3), obtenemos

0=2 .

Unidad de frecuencia - hercios(Hz): 1 Hz: la frecuencia del proceso periódico, a la que se completa 1 ciclo del proceso en 1 segundo.

Anotemos la primera y segunda derivadas temporales de la cantidad s que oscila armónicamente:

(4)

(5)

es decir, tenemos oscilaciones armónicas con la misma frecuencia cíclica. Las amplitudes de las cantidades (5) y (4) son respectivamente iguales. Y . La fase de la cantidad (4) se diferencia de la fase de la cantidad (1) en /2, y la fase de la cantidad (5) difiere de la fase de la cantidad (1) en . Por lo tanto, en momentos en que s =0, adquiere valores más altos; cuando s alcanza el valor negativo máximo, entonces adquiere el mayor valor positivo .

De la expresión (5) se deduce ecuación diferencial de oscilaciones armónicas

(6)

donde s =A cos (0 t +). La solución a esta ecuación es la expresión (1).

Las oscilaciones armónicas se representan gráficamente. método del vector de amplitud giratoria, o método de diagrama vectorial.

Para ello, desde un punto arbitrario O, seleccionado en el eje x en un ángulo igual a la fase inicial de la oscilación, se traza el vector A, cuyo módulo es igual a la amplitud A de la oscilación en cuestión.

Si este vector se gira con velocidad angular 0, igual a la frecuencia cíclica de las oscilaciones, entonces la proyección del final del vector se moverá a lo largo del eje x y tomará valores de -A a +A, y el valor de oscilación cambiará con el tiempo de acuerdo con la ley s = A cos (0 t +). De este modo, oscilación armónica puede representarse mediante una proyección sobre algún eje elegido arbitrariamente del vector de amplitud A, trazado desde punto arbitrario eje en un ángulo igual a la fase inicial, y girando con velocidad angular 0 alrededor de este punto.

Vibraciones forzadas

Las oscilaciones que ocurren bajo la influencia de una fuerza periódica externa se denominan forzadas.

Una fuerza externa realiza un trabajo positivo y proporciona un flujo de energía al sistema oscilatorio. No permite que las vibraciones desaparezcan, a pesar de la acción de las fuerzas de fricción.

Una fuerza externa periódica puede variar en el tiempo según varias leyes. De particular interés es el caso cuando una fuerza externa que varía a lo largo ley armónica con frecuencia u, afecta a un sistema oscilatorio capaz de realizar sus propias oscilaciones a una determinada frecuencia u0.

Si las oscilaciones libres ocurren a una frecuencia u0, que está determinada por los parámetros del sistema, entonces las oscilaciones forzadas constantes siempre ocurren a una frecuencia u Fuerza externa.

Después del inicio de la influencia de una fuerza externa sobre el sistema oscilatorio, es necesario algún tiempo Dt para que se establezcan las oscilaciones forzadas. El tiempo de establecimiento es, en orden de magnitud, igual al tiempo de amortiguación f de las oscilaciones libres en el sistema oscilatorio.

En el momento inicial, ambos procesos se excitan en el sistema oscilatorio: oscilaciones forzadas a la frecuencia u y oscilaciones libres a la frecuencia natural u0. Pero las vibraciones libres se amortiguan debido a la inevitable presencia de fuerzas de fricción. Por lo tanto, después de un tiempo, en el sistema oscilatorio solo quedan oscilaciones estacionarias a la frecuencia de la fuerza impulsora externa.

Consideremos, como ejemplo, las oscilaciones forzadas de un cuerpo sobre un resorte (Fig. 1). Se aplica una fuerza externa al extremo libre del resorte. Obliga al extremo libre (izquierdo en la Fig. 1) del resorte a moverse de acuerdo con la ley.

y = ym cos yt.

donde ym es la amplitud de las oscilaciones, u es la frecuencia circular.

Esta ley de movimiento se puede lograr utilizando un mecanismo de biela, que no se muestra en la Fig. 1.

Figura 1. Vibraciones forzadas de una carga sobre un resorte. El extremo libre del resorte se mueve según la ley y = ym cos yt. l es la longitud del resorte no deformado, k es la rigidez del resorte.

Si el extremo izquierdo del resorte se desplaza una distancia y, y el extremo derecho una distancia x desde su posición original cuando el resorte no estaba deformado, entonces el alargamiento del resorte Dl es igual a:

Dl = x - y = x - ym cos yt.

Segunda ley de Newton para un cuerpo de masa m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos yt.

En esta ecuación, la fuerza que actúa sobre un cuerpo se representa como dos términos. El primer término del lado derecho es fuerza elástica, tendiendo a devolver el cuerpo a la posición de equilibrio (x = 0). El segundo término es el efecto periódico externo sobre el cuerpo. Este término se llama fuerza impulsora.

La amplitud de las oscilaciones forzadas xm y la fase inicial y dependen de la relación de frecuencias u0 y u y de la amplitud ym de la fuerza externa.

En frecuencias muy bajas, cuando<< щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Resonancia

Si la frecuencia u de la fuerza externa se acerca a la frecuencia natural u0, a fuerte aumento amplitudes de oscilaciones forzadas. Este fenómeno se llama resonancia. La dependencia de la amplitud xm de las oscilaciones forzadas de la frecuencia u de la fuerza impulsora se denomina característica resonante o curva de resonancia (Fig. 2).

En resonancia, la amplitud xm de vibración de la carga puede ser muchas veces mayor que la amplitud ym de vibración del extremo libre (izquierdo) del resorte causada por influencia externa. En ausencia de fricción, la amplitud de las oscilaciones forzadas durante la resonancia debería aumentar sin límite. En condiciones reales, la amplitud de las oscilaciones forzadas en estado estacionario está determinada por la condición: el trabajo de una fuerza externa durante el período de oscilación debe ser igual a la pérdida de energía mecánica durante el mismo tiempo debido a la fricción. Cuanto menor sea la fricción (es decir, cuanto mayor sea el factor de calidad Q del sistema oscilatorio), mayor será la amplitud de las oscilaciones forzadas en resonancia.

En sistemas oscilatorios con factor de calidad no muy alto (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

El fenómeno de la resonancia puede provocar la destrucción de puentes, edificios y otras estructuras si las frecuencias naturales de sus oscilaciones coinciden periódicamente con la frecuencia. fuerza actuante, que surgió, por ejemplo, debido a la rotación de un motor desequilibrado.

Figura 2.

Curvas de resonancia a diferentes niveles de atenuación: 1 - sistema oscilatorio sin fricción; en resonancia, la amplitud xm de las oscilaciones forzadas aumenta infinitamente; 2, 3, 4 - curvas de resonancia real para sistemas oscilatorios con diferentes factores de calidad: Q2 > Q3 > Q4. En bajas frecuencias (u<< щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> u0) xm > 0.

Las oscilaciones forzadas son oscilaciones no amortiguadas. Las inevitables pérdidas de energía debidas a la fricción se compensan con el suministro de energía de fuente externa fuerza que actúa periódicamente. Hay sistemas en los que las oscilaciones no amortiguadas surgen no debido a influencias externas periódicas, sino como resultado de la capacidad de dichos sistemas para regular el suministro de energía de una fuente constante. Estos sistemas se denominan autooscilatorios y el proceso No oscilaciones amortiguadas en tales sistemas: autooscilaciones. En un sistema autooscilante se pueden distinguir tres elementos característicos: un sistema oscilatorio, una fuente de energía y un dispositivo de retroalimentación entre el sistema oscilatorio y la fuente. Como sistema oscilatorio se puede utilizar cualquier sistema mecánico capaz de realizar sus propias oscilaciones amortiguadas (por ejemplo, el péndulo de un reloj de pared).

La fuente de energía puede ser la energía de deformación de un resorte o la energía potencial de una carga en un campo gravitacional. Un dispositivo de retroalimentación es un mecanismo mediante el cual un sistema autooscilante regula el flujo de energía de una fuente. La figura 3 muestra el diagrama de interacción. varios elementos sistema autooscilante.

Figura 3. Diagrama funcional sistema autooscilante

Autooscilaciones

Un ejemplo de sistema mecánico autooscilante es un mecanismo de reloj con carrera de anclaje (Figura 4). La rueda dentada con dientes oblicuos está rígidamente unida a un tambor dentado, a través del cual se lanza una cadena con un peso. En el extremo superior del péndulo hay un ancla (ancla) con dos placas de material duro, curvado a lo largo de un arco circular con el centro en el eje del péndulo. En los relojes de mano, el peso se reemplaza por un resorte y el péndulo se reemplaza por un equilibrador, un volante unido a un resorte en espiral. El equilibrador realiza vibraciones de torsión alrededor de su eje. sistema vibratorio En un reloj hay un péndulo o un equilibrador. La fuente de energía es un peso elevado o un resorte enrollado. El dispositivo mediante el cual se proporciona retroalimentación es un ancla, que permite que la rueda gire un diente en medio ciclo. Comentario llevado a cabo por la interacción del ancla con la rueda de rodadura. Con cada oscilación del péndulo, un diente de la rueda empuja la horquilla del ancla en la dirección del movimiento del péndulo, transfiriéndole una cierta porción de energía, que compensa las pérdidas de energía debidas a la fricción. Así, la energía potencial del peso (o resorte torcido) se transfiere gradualmente, en porciones separadas, al péndulo.

Los sistemas mecánicos autooscilantes están muy extendidos en la vida que nos rodea y en la tecnología. Las autooscilaciones ocurren en las máquinas de vapor y Combustión interna, campanas eléctricas, cuerdas de arco instrumentos musicales, columnas de aire en los tubos de los instrumentos de viento, cuerdas vocales al hablar o cantar, etc.

Figura 4. Mecanismo de reloj con péndulo.

Detección de oscilación

Las oscilaciones son movimientos o procesos que se repiten total o casi completamente a intervalos regulares. Oscilaciones descritas por la ecuación.

,

donde x es el desplazamiento del valor oscilante desde la posición de equilibrio; w - frecuencia cíclica, que determina el número de oscilaciones realizadas en 2 p segundos t - el tiempo se llama armónico.

Método gráfico de suma de oscilaciones. diagrama vectorial

El método del vector de amplitud de rotación consiste en representar una oscilación armónica mediante un vector cuya longitud es igual a la amplitud de la oscilación, y cuya dirección forma un ángulo con el eje x igual a la fase inicial de las oscilaciones se llama amplitud de rotación. método vectorial.

Es conveniente agregar oscilaciones armónicas de la misma dirección y frecuencia, representándolas en forma de vectores en un plano, gráficamente.

1). Elijamos una línea recta dirigida, un eje a lo largo del cual trazaremos el valor oscilante x.

2). Desde un cierto punto O tomado sobre el eje, trazamos un segmento dirigido, un vector de longitud A, que forma un cierto ángulo con el eje.

3). Al girar el vector A alrededor del punto O con una velocidad angular u 0, obtenemos que la proyección del extremo del vector sobre el eje realizará oscilaciones armónicas con una amplitud igual a la longitud del vector, con una frecuencia circular igual a la angular. velocidad de rotación del vector, y con una fase inicial, igual al ángulo, formado por un vector con un eje en el momento inicial del tiempo: la proyección del final del vector se moverá a lo largo del eje x, tomando valores de - A a + A, y la coordenada de esta proyección cambiará tiempo según la ley

El diagrama obtenido mediante este método de representar vibraciones se denomina diagrama vectorial.

Adición de vibraciones mutuamente perpendiculares.

Consideremos dos mutuamente perpendiculares. cantidades vectoriales xey, cambiando en el tiempo con la misma frecuencia u según la ley armónica:

(1)

Donde e x y e y son vectores unitarios ejes de coordenadas xey, A y B - amplitudes de vibración. Los valores xey pueden ser, por ejemplo, desplazamientos punto material(partículas) desde la posición de equilibrio.

En el caso de una partícula oscilante, las cantidades xey se pueden representar como:

, (2)

Determinan las coordenadas de la partícula en el plano xy.

Las expresiones (2) representan lo dado en forma paramétrica ecuación de la trayectoria a lo largo de la cual se moverá la partícula. El tipo de trayectoria depende de la diferencia de fase entre ambas oscilaciones.

Al excluir el parámetro t de las ecuaciones (2), obtenemos la ecuación de trayectoria en en la forma habitual. De la primera ecuación: (3). Respectivamente

(4)

Según la fórmula del coseno de la suma:

, Entonces

Transformemos esta ecuación.

(5)

Obtuvimos la ecuación de una elipse cuyos ejes están girados con respecto a los ejes de coordenadas xey. La orientación de la elipse y su semieje dependen bastante de una manera compleja sobre las amplitudes A y B y la diferencia de fase b.

La suma es una oscilación de la misma dirección y de la misma frecuencia.

Considere la suma de dos oscilaciones armónicas x 1 y x 2 de la misma dirección y la misma frecuencia:

, (1)

Podemos representar ambas oscilaciones usando los vectores A 1 y A 2. Usando las reglas de la suma de vectores, podemos encontrar el vector resultante A, que es la suma de dos vectores A 1 y A 2.

El vector A representa la oscilación resultante, porque la figura muestra que la proyección de este vector sobre el eje x es igual a la suma de las proyecciones de los vectores sumados:

El vector A gira con la misma velocidad angular u 0 que los vectores A 1 y A 2, por lo que la suma de x 1 y x 2 es una oscilación armónica con frecuencia (u 0, amplitud A y fase inicial b. Usando el teorema del coseno, encuentra eso

(2)

(3)

Reemplazar la suma de funciones por la suma de vectores, lo cual es posible con la representación de oscilaciones armónicas mediante vectores, simplifica enormemente los cálculos.

Varias formas de la trayectoria de la suma de oscilaciones. Figuras de Lissajous.

La diferencia de fase b es cero.

Con una diferencia de fase, igual a cero, la ecuación (5) se simplifica de la siguiente manera:

De aquí:

- ecuación de una línea recta.

El movimiento resultante es una oscilación armónica a lo largo de esta línea recta con una frecuencia u y una amplitud igual a (Fig. 1 a).

La diferencia de fase b es igual a ±р.

Cuando la diferencia de fase b es igual a ±р, la ecuación (5) tiene la forma

- el movimiento resultante es una oscilación armónica a lo largo de una línea recta

(Figura 1b)

Figura 1

La diferencia de fase es

Los casos difieren en la dirección del movimiento a lo largo de una elipse o círculo.

Cuando la diferencia de fase es igual a, la ecuación (5) se convierte en la ecuación de una elipse reducida a los ejes de coordenadas:

Los semiejes de la elipse son iguales a las amplitudes de vibración correspondientes. Si las amplitudes de A y B son iguales, la elipse se convierte en un círculo.

El movimiento uniforme a lo largo de un círculo de radio R con velocidad angular u se puede representar como la suma de dos oscilaciones mutuamente perpendiculares:

,

(El signo más en la expresión de y corresponde al movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj, el signo menos al movimiento en el sentido de las agujas del reloj).

A diferentes frecuencias de oscilaciones mutuamente perpendiculares, las trayectorias del movimiento resultante tomarán la forma de curvas complejas llamadas figuras de Lissajous.

Figura de Lissajous para relación de frecuencia 1:2 y diferencia de fase p/2

Figura de Lissajous para relación de frecuencia 3:4 y diferencia de fase p/2

Bibliografía

Gevorkyan R.G. Curso de física. -M, 1979, -656 p.

I. V. Savelyev. Bien Física General. -METRO. 1990

J. Orir. Física volumen 1, - M. 1981

Trofimova T.I. Curso de física, -M. 2006, -560 pág.

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Un diagrama vectorial es una forma de especificar gráficamente movimiento oscilatorio como vector.

El valor oscilante ξ (de cualquier naturaleza física) se traza a lo largo del eje horizontal. El vector trazado desde el punto 0 es igual en magnitud a la amplitud de la oscilación A y está dirigido en un ángulo α igual a la fase inicial de la oscilación con respecto al eje ξ. Si hacemos girar este vector con una velocidad angular ω igual a la frecuencia cíclica de las oscilaciones, entonces la proyección de este vector sobre el eje ξ da el valor de la cantidad oscilante en un momento arbitrario en el tiempo.

Suma de oscilaciones de la misma frecuencia y la misma dirección.

Sumen dos oscilaciones: Construimos diagramas vectoriales y sumamos vectores:

Por el teorema del coseno

Porque Eso

Es obvio (ver diagrama) que la fase inicial de la oscilación resultante está determinada por la relación:

Adición de oscilaciones de frecuencias cercanas.

PAG En otras palabras, se suman dos oscilaciones con frecuencias casi idénticas, es decir

De trigonometría:

Aplicando a nuestro caso, obtenemos:

La gráfica de la vibración resultante es una gráfica de latidos, es decir oscilaciones casi armónicas de frecuencia ω, cuya amplitud varía lentamente con la frecuencia Δω.

Amplitud Debido a la presencia del signo del módulo (la amplitud es siempre > 0), la frecuencia con la que cambia la amplitud no es igual a Δω / 2, sino el doble - Δω.

Adición de vibraciones mutuamente perpendiculares.

Supongamos que un cuerpo pequeño oscila sobre resortes mutuamente perpendiculares de igual rigidez. ¿Qué trayectoria seguirá este cuerpo?

Estas son las ecuaciones de trayectoria en forma paramétrica. Para obtener una relación explícita entre las coordenadas xey, es necesario excluir el parámetro t de las ecuaciones.

De la primera ecuación: ,

desde el segundo

Después de la sustitución

Deshagámonos de la raíz:

- esta es la ecuación de la elipse

h
casos especiales:

27. Oscilaciones amortiguadas. Vibraciones forzadas. Resonancia.

Amortiguación de vibraciones libres

Debido a la resistencia, las oscilaciones libres siempre desaparecen tarde o temprano. Consideremos el proceso de amortiguación de vibraciones. Supongamos que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad del cuerpo. (el coeficiente de proporcionalidad se indica con 2 mg por razones de conveniencia, que se revelarán más adelante). Tendremos en cuenta el caso en el que durante el período de oscilación su atenuación sea pequeña. Entonces podemos suponer que la amortiguación tendrá un ligero efecto sobre la frecuencia, pero afectará la amplitud de las oscilaciones. Entonces, la ecuación de oscilaciones amortiguadas se puede representar como Aquí A(t) representa alguna función decreciente que debe determinarse. Partiremos de la ley de conservación y transformación de la energía. El cambio en la energía de oscilación es igual a la fuerza de resistencia promedio durante el período de trabajo, es decir Dividamos ambos lados de la ecuación por dt. A la derecha tendremos dx/dt, es decir la velocidad es v, y a la izquierda se obtiene la derivada de la energía con respecto al tiempo. Por lo tanto, teniendo en cuenta Pero la energía cinética promedio igual a la mitad de la energía total. Por lo tanto podemos escribir que Dividamos ambos lados por E y multipliquemos por dt. lo entendemos Integramos ambos lados de la ecuación resultante: Después de la potenciación obtenemos La constante de integración C se encuentra a partir de las condiciones iniciales. Sea en t = 0 E = E0, entonces E0 = C. En consecuencia, Pero E ~A^2. Por tanto, la amplitud de las oscilaciones amortiguadas disminuye según la ley exponencial:

Y Por tanto, debido a la resistencia, la amplitud de las oscilaciones disminuye y generalmente tienen el aspecto que se muestra en la figura. 4.2. El coeficiente se llama coeficiente de atenuación. Sin embargo, no caracteriza completamente la atenuación. Normalmente, la amortiguación de las oscilaciones se caracteriza por una disminución de la amortiguación. Este último muestra cuántas veces disminuye la amplitud de las oscilaciones durante un tiempo igual al período de oscilaciones. Es decir, la disminución de la amortiguación se determina de la siguiente manera: El logaritmo de la disminución de la amortiguación se llama disminución logarítmica y obviamente es igual a;

Vibraciones forzadas

Si el sistema oscilatorio está expuesto a una fuerza periódica externa, se producen las llamadas oscilaciones forzadas, que tienen un carácter no amortiguado. Las oscilaciones forzadas deben distinguirse de las autooscilaciones. En el caso de las autooscilaciones del sistema, se supone un mecanismo especial que, al mismo tiempo que sus propias oscilaciones, "suministra" pequeñas porciones de energía desde un determinado depósito de energía al sistema. Así, las oscilaciones naturales se mantienen y no desaparecen. En el caso de las autooscilaciones, el sistema parece impulsarse a sí mismo. Un ejemplo de sistema autooscilante es un reloj. El reloj está equipado con un mecanismo de trinquete, con la ayuda del cual el péndulo recibe pequeños golpes (de un resorte comprimido) al compás de sus propias vibraciones. En el caso de oscilaciones forzadas, el sistema es empujado por una fuerza externa. A continuación nos detendremos en este caso, suponiendo que la resistencia en el sistema es pequeña y puede ignorarse. Como modelo de oscilaciones forzadas, tendremos en mente el mismo cuerpo suspendido de un resorte, sobre el que actúa una fuerza periódica externa (por ejemplo, una fuerza de naturaleza electromagnética). Sin tener en cuenta la resistencia, la ecuación de movimiento de dicho cuerpo proyectado sobre el eje x tiene la forma: donde w* es la frecuencia cíclica, B es la amplitud de la fuerza externa. Se sabe que existen oscilaciones. Por tanto, buscaremos una solución particular a la ecuación en forma de función sinusoidal. Sustituyamos la función en la ecuación, para la cual derivamos dos veces con respecto al tiempo. . La sustitución conduce a la relación.

La ecuación se vuelve identidad si se cumplen tres condiciones: . Entonces y la ecuación de oscilaciones forzadas se puede representar en la forma Ocurren con una frecuencia que coincide con la frecuencia de la fuerza externa, y su amplitud no se establece arbitrariamente, como en el caso de las oscilaciones libres, sino que se establece por sí misma. Este valor establecido depende de la relación entre la frecuencia natural de las oscilaciones del sistema y la frecuencia de la fuerza externa según la fórmula

norte y fig. La Figura 4.3 muestra un gráfico de la dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza externa. Se puede ver que la amplitud de las oscilaciones aumenta significativamente a medida que la frecuencia de la fuerza externa se acerca a la frecuencia de las oscilaciones naturales. El fenómeno de un fuerte aumento en la amplitud de las oscilaciones forzadas cuando coinciden la frecuencia natural y la frecuencia de la fuerza externa se llama resonancia.

En resonancia, la amplitud de las oscilaciones debe ser infinitamente grande. En realidad, durante la resonancia, la amplitud de las oscilaciones forzadas es siempre finita. Esto se explica por el hecho de que en la resonancia y cerca de ella nuestra suposición de resistencia insignificante se vuelve incorrecta. Incluso si la resistencia en el sistema es pequeña, en resonancia es significativa. Su presencia hace que la amplitud de las oscilaciones en resonancia sea un valor finito. Por tanto, la gráfica real de la dependencia de la amplitud de oscilación con la frecuencia tiene la forma que se muestra en la Fig. 4.4. Cuanto mayor sea la resistencia en el sistema, menor será la amplitud máxima en el punto de resonancia.

Como regla general, la resonancia en sistemas mecánicos- un fenómeno indeseable, y su intentan evitar: intentan diseñar estructuras mecánicas que estén sujetas a oscilaciones y vibraciones de tal manera que la frecuencia natural de las oscilaciones esté alejada de los posibles valores de las frecuencias de las influencias externas. Pero en varios dispositivos la resonancia se utiliza como un fenómeno positivo. Por ejemplo, la resonancia de oscilaciones electromagnéticas se utiliza ampliamente en las comunicaciones por radio y la resonancia de rayos g en instrumentos de precisión.

Estado del sistema termodinámico. Procesos

Estados termodinámicos y procesos termodinámicos.

Cuando además de las leyes de la mecánica se requiere la aplicación de las leyes de la termodinámica, el sistema se denomina sistema termodinámico. La necesidad de utilizar este concepto surge si el número de elementos del sistema (por ejemplo, el número de moléculas de gas) es muy grande y el movimiento de sus elementos individuales es microscópico en comparación con el movimiento del sistema mismo o su macroscópico. componentes. En este caso, la termodinámica describe movimientos macroscópicos (cambios en estados macroscópicos) sistema termodinámico.

Los parámetros que describen tales movimientos (cambios) de un sistema termodinámico generalmente se dividen en externos e internos. Esta división es muy condicional y depende de la tarea específica. Entonces, por ejemplo, un gas en un globo con una cubierta elástica tiene la presión del aire ambiente como parámetro externo, y para un gas en un recipiente con una cubierta rígida, el parámetro externo es el volumen limitado por esta cubierta. En un sistema termodinámico, el volumen y la presión pueden cambiar independientemente uno del otro. Para describir teóricamente sus cambios, es necesario introducir al menos un parámetro más: la temperatura.

En la mayoría de los termodinámicos tres tareas los parámetros son suficientes para describir el estado del sistema termodinámico. En este caso, los cambios en el sistema se describen utilizando tres coordenadas termodinámicas asociadas con los parámetros termodinámicos correspondientes.

Estado de equilibrio- estado de equilibrio termodinámico - es un estado de un sistema termodinámico en el que no hay flujos (energía, materia, momento, etc.) y los parámetros macroscópicos del sistema son estables y no cambian con el tiempo.

La termodinámica clásica establece que un sistema termodinámico aislado (dejado a su suerte) tiende a un estado de equilibrio termodinámico y, una vez alcanzado, no puede salir espontáneamente de él. A menudo llamo a esta declaración ley cero de la termodinámica.

Los sistemas en estado de equilibrio termodinámico tienen las siguientes propiedades mi:

Si dos sistemas termodinámicos que tienen contacto térmico están en un estado de equilibrio termodinámico, entonces el sistema termodinámico total está en un estado de equilibrio termodinámico.

Si un sistema termodinámico está en equilibrio termodinámico con otros dos sistemas, entonces estos dos sistemas están en equilibrio termodinámico entre sí.

Consideremos sistemas termodinámicos que se encuentran en un estado de equilibrio termodinámico. La termodinámica del desequilibrio se ocupa de la descripción de sistemas que se encuentran en un estado de desequilibrio, es decir, en un estado en el que tienen lugar flujos macroscópicos. La transición de un estado termodinámico a otro se llama proceso termodinámico. A continuación consideraremos únicamente procesos cuasiestáticos o, lo que es lo mismo, procesos de cuasiequilibrio. El caso límite de un proceso de cuasiequilibrio es un proceso de equilibrio que ocurre infinitamente lento y que consiste en estados continuamente sucesivos de equilibrio termodinámico. En realidad, tal proceso no puede ocurrir; sin embargo, si los cambios macroscópicos en el sistema ocurren con la suficiente lentitud (en intervalos de tiempo que exceden significativamente el tiempo de establecimiento del equilibrio termodinámico), es posible aproximarse al proceso real como cuasiestático (cuasiestático). equilibrio). Esta aproximación permite realizar cálculos con una precisión suficientemente alta para una gran clase de problemas prácticos. El proceso de equilibrio es reversible, es decir, aquel en el que un retorno a los valores de los parámetros de estado que ocurrieron en el momento anterior debería llevar el sistema termodinámico al estado anterior sin ningún cambio en los cuerpos que rodean el sistema.

La aplicación práctica de procesos de cuasiequilibrio en cualquier dispositivo técnico es ineficaz. Así, el uso de un proceso de cuasiequilibrio en una máquina térmica, por ejemplo, que se produce a una temperatura casi constante (ver la descripción del ciclo de Carnot en el tercer capítulo), conduce inevitablemente al hecho de que dicha máquina funcionará muy lentamente (en el límite - infinitamente lento) y tienen una potencia muy pequeña. Por lo tanto, en la práctica, los procesos de cuasiequilibrio no se utilizan en dispositivos técnicos. Sin embargo, dado que las predicciones de la termodinámica de equilibrio para sistemas reales coinciden con una precisión suficientemente alta con los datos obtenidos experimentalmente para tales sistemas, se utiliza ampliamente para calcular procesos termodinámicos en diversos dispositivos técnicos.

Si durante un proceso termodinámico el sistema vuelve a su estado original, dicho proceso se denomina circular o cíclico. Los procesos circulares, como cualquier otro proceso termodinámico, pueden estar en equilibrio (y por lo tanto reversibles) o en no equilibrio (irreversible). En un proceso circular reversible, una vez que el sistema termodinámico regresa a su estado original, no surgen perturbaciones termodinámicas en los cuerpos circundantes y sus estados permanecen en equilibrio. En este caso, los parámetros externos del sistema, luego del proceso cíclico, vuelven a sus valores originales. En un proceso circular irreversible, una vez finalizado, los cuerpos circundantes pasan a estados de desequilibrio y los parámetros externos del sistema termodinámico cambian.

Vibraciones forzadas. Resonancia.

Hasta ahora hemos considerado oscilaciones naturales, oscilaciones que se producen en ausencia de influencias externas. La influencia externa sólo fue necesaria para desequilibrar el sistema, después de lo cual se lo dejó a su suerte. La ecuación diferencial de las oscilaciones naturales no contiene ningún rastro de influencia externa sobre el sistema: esta influencia se refleja sólo en las condiciones iniciales.

Establecimiento de oscilaciones.

Pero muy a menudo uno tiene que lidiar con fluctuaciones que ocurren con una influencia externa constantemente presente. Particularmente importante y al mismo tiempo bastante sencillo de estudiar es el caso en el que la fuerza externa es periódica. Una característica común Las oscilaciones forzadas que ocurren bajo la influencia de una fuerza externa periódica es que algún tiempo después del inicio de la fuerza externa, el sistema "olvida" completamente su estado inicial, las oscilaciones se vuelven de naturaleza estacionaria y no dependen de las condiciones iniciales. Condiciones iniciales aparecen sólo durante el período de establecimiento de oscilaciones, que generalmente se denomina proceso de transición.

Efecto sinusoidal.

Consideremos primero el caso más simple de oscilaciones forzadas de un oscilador bajo la influencia de una fuerza externa que varía según una ley sinusoidal.

Este influencia externa se puede hacer en el sistema diferentes caminos. Por ejemplo, se puede tomar un péndulo en forma de bola sobre una varilla larga y un resorte largo con baja rigidez y fijarlo a la varilla del péndulo cerca del punto de suspensión, como se muestra en la Fig. 178. Se debe hacer que el otro extremo de un resorte ubicado horizontalmente se mueva de acuerdo con la Ley B con la ayuda de un mecanismo de manivela accionado por un motor eléctrico. La fuerza impulsora que actúa sobre el péndulo desde el resorte será prácticamente sinusoidal si el rango de movimiento del extremo izquierdo del resorte B es mucho mayor que la amplitud de oscilación de la varilla del péndulo en el punto donde está unido el resorte.

Ecuación de movimiento.

Ud. La ecuación de movimiento para este y otros sistemas similares, en los que, junto con la fuerza restauradora y la fuerza de resistencia, una fuerza externa impulsora que actúa sobre el oscilador, variando sinusoidalmente con el tiempo, se puede escribir en la formaAquí lado izquierdo De acuerdo con la segunda ley de Newton, es el producto de la masa por la aceleración. El primer término del lado derecho representa la fuerza restauradora proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio. Para una carga suspendida sobre un resorte, ésta es una fuerza elástica, y en todos los demás casos, cuando naturaleza física En caso contrario, esta fuerza se denomina cuasielástica. El segundo término es la fuerza de fricción, proporcional a la velocidad, por ejemplo, la fuerza de resistencia del aire o la fuerza de fricción en un eje. Consideraremos constantes la amplitud y la frecuencia de la fuerza impulsora que hace oscilar el sistema. Dividamos ambos lados de la ecuación por masa e introduzcamos la notación en ausencia de una fuerza impulsora. parte derecha La ecuación desaparece y, como era de esperar, se reduce a la ecuación de sus propias oscilaciones amortiguadas. La experiencia demuestra que en todos los sistemas, bajo la influencia de una fuerza externa sinusoidal, eventualmente se producen oscilaciones que también se producen según una ley sinusoidal. la frecuencia de la fuerza impulsora co y c amplitud constante a, pero con algún cambio de fase con respecto a la fuerza impulsora. Estas oscilaciones se denominan oscilaciones forzadas de estado estacionario. Consideremos primero las oscilaciones forzadas en estado estacionario y, por simplicidad, despreciaremos la fricción. En este caso, la ecuación no tendrá un término que contenga velocidad. Intentemos buscar una solución correspondiente a oscilaciones forzadas en estado estacionario, en la forma Calculemos la segunda derivada y sustituyémosla en la ecuación para que sea. válido en cualquier momento, los coeficientes de la izquierda y la derecha deben ser los mismos. De esta condición encontramos la amplitud de las oscilaciones. Estudiemos la dependencia de la amplitud a de la frecuencia c de la fuerza motriz. La gráfica de esta dependencia se muestra en la Fig. 179. Sustituyendo valores aquí, vemos que una fuerza constante en el tiempo simplemente desplaza el oscilador a una nueva posición de equilibrio, desplazada de la anterior. De ello se deduce que cuando se produce el desplazamiento, las relaciones de fase. A medida que la frecuencia aumenta con la fuerza motriz de la rueda de estado estacionario. 179. El gráfico de las dependencias ocurre en fase con la fuerza impulsora, y su amplitud aumenta constantemente, lentamente al principio, y a medida que se acerca cada vez más rápido, la amplitud de las oscilaciones aumenta indefinidamente para valores que exceden la frecuencia de las oscilaciones naturales. , la fórmula da para un significado negativo(Figura 179). De la fórmula se desprende claramente que cuando las oscilaciones ocurren en antifase con la fuerza impulsora: cuando la fuerza actúa en una dirección, el oscilador se desplaza en la dirección opuesta. Con un aumento ilimitado en la frecuencia de la fuerza impulsora, la amplitud de las oscilaciones tiende a cero.

Es conveniente considerar que la amplitud de las oscilaciones es positiva en todos los casos, lo cual es fácil de lograr introduciendo un cambio de fase entre el conductor. Aquí a todavía está dado por la fórmula, y el cambio de fase es igual a cero en. En la figura 1 se muestran gráficos de la fuerza motriz versus la frecuencia. 180.

Resonancia.

La dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza impulsora no es monótona. Un fuerte aumento en la amplitud de las oscilaciones forzadas a medida que la frecuencia de la fuerza impulsora se acerca a la frecuencia natural co0 del oscilador se llama resonancia. La fórmula proporciona una expresión para la amplitud de las oscilaciones forzadas sin tener en cuenta la fricción. Es con este descuido que la amplitud de las oscilaciones se vuelve infinita con una coincidencia exacta de frecuencias. En realidad, la amplitud de las oscilaciones, por supuesto, no puede llegar al infinito. Esto significa que al describir oscilaciones forzadas cercanas a la resonancia, es fundamentalmente necesario tener en cuenta la fricción. Cuando se tiene en cuenta la fricción, la amplitud de las oscilaciones forzadas en resonancia resulta ser finita. Cuanto mayor sea la fricción en el sistema, menor será. Lejos de la resonancia, la fórmula se puede utilizar para encontrar la amplitud de las oscilaciones incluso en presencia de fricción, si no es demasiado fuerte. Además, esta fórmula, obtenida sin tener en cuenta la fricción, tiene significado fisico sólo cuando todavía hay fricción. El hecho es que el concepto mismo de oscilaciones forzadas en estado estacionario es aplicable sólo a sistemas en los que hay fricción.

Si no hubiera fricción alguna, entonces el proceso de establecimiento de oscilaciones continuaría indefinidamente. En realidad, esto significa que la expresión para la amplitud de las oscilaciones forzadas obtenida sin tener en cuenta la fricción describirá correctamente las oscilaciones en el sistema solo después de suficiente brecha grande tiempo después del inicio de la fuerza motriz. Las palabras "un período de tiempo suficientemente largo" significan aquí que el proceso de transición ya ha terminado, cuya duración coincide con el tiempo característico de decadencia de las oscilaciones naturales en el sistema. Con baja fricción, las oscilaciones forzadas en estado estacionario ocurren en fase con la fuerza impulsora en co y en antifase en, como en ausencia de fricción. Sin embargo, cerca de la resonancia, la fase no cambia abruptamente, sino continuamente, y con una coincidencia exacta de frecuencias, el desplazamiento se retrasa en fase con respecto a la fuerza impulsora (un cuarto de período). La velocidad cambia en fase con la fuerza motriz, lo que garantiza la mayor condiciones favorables para transferir energía desde la fuente de fuerza impulsora externa al oscilador.

¿Qué significado físico tiene cada uno de los términos en la ecuación que describe las oscilaciones forzadas del oscilador?

¿Qué son las oscilaciones forzadas en estado estacionario?

¿En qué condiciones podemos utilizar la fórmula para la amplitud de las oscilaciones forzadas en estado estacionario, obtenida sin tener en cuenta la fricción?

¿Qué es la resonancia? Dé ejemplos que conozca de la manifestación y uso del fenómeno de la resonancia.

Describa el cambio de fase entre la fuerza motriz y la mezcla en diferentes proporciones entre la frecuencia de la fuerza impulsora y la frecuencia natural del oscilador.

¿Qué determina la duración del proceso de establecimiento de oscilaciones forzadas? Justifica tu respuesta.

Diagramas vectoriales.

Puede verificar la validez de las afirmaciones anteriores si obtiene una solución a la ecuación que describe las oscilaciones forzadas en estado estacionario en presencia de fricción. Dado que las oscilaciones en estado estacionario ocurren con la frecuencia de la fuerza impulsora c y un cierto cambio de fase, la solución a la ecuación correspondiente a tales oscilaciones debe buscarse en la forma En este caso, la velocidad y la aceleración, obviamente, también cambiarán. con el tiempo de acuerdo con una ley armónica. La amplitud a de las oscilaciones forzadas en estado estacionario y las fases de cambio se determinan convenientemente mediante diagramas vectoriales. Aprovechemos el hecho de que el valor instantáneo de cualquier cantidad que varía según la ley armónica se puede representar como una proyección de un vector en alguna dirección preseleccionada, y el vector mismo gira uniformemente en el plano con una frecuencia co, y su longitud constante es igual al valor de amplitud de esta cantidad oscilante. De acuerdo con esto, asociamos a cada término de la ecuación un vector que gira con velocidad angular, cuya longitud es igual al valor de amplitud de este término, ya que la proyección de la suma de varios vectores es igual a la suma de los. proyecciones de estos vectores, la ecuación significa que la suma de los vectores asociados con los términos del lado izquierdo es igual al vector asociado con la cantidad del lado derecho. Para construir estos vectores, escribimos los valores instantáneos de todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación, teniendo en cuenta las relaciones, de las fórmulas se desprende claramente que el vector de longitud asociado con la cantidad está por delante en un ángulo de. el vector asociado con la cantidad. El vector de longitud asignado al miembro está por delante del vector de longitud. estos vectores están dirigidos en direcciones opuestas.

La posición relativa de estos vectores para un momento arbitrario en el tiempo se muestra en la Fig. 181. Todo el sistema de vectores gira como un todo con velocidad angular c en sentido antihorario alrededor de un punto. Los valores instantáneos de todas las cantidades se obtienen proyectando los vectores correspondientes en una dirección preseleccionada. El vector asociado con el lado derecho de la ecuación es igual a la suma vectores mostrados en la Fig. 181. Esta adición se muestra en la Fig. 182. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos de donde encontramos la amplitud de las oscilaciones forzadas en estado estacionario. El cambio de fase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento, como se puede ver en el diagrama vectorial de la Fig. 182 es negativo porque el vector de longitud está por detrás del vector. Por lo tanto, las oscilaciones forzadas en estado estacionario ocurren de acuerdo con la ley armónica, donde están determinadas por fórmulas.

Curvas de resonancia.

La amplitud de las oscilaciones forzadas establecidas es proporcional a la amplitud de la fuerza impulsora. Estudiemos la dependencia de la amplitud de oscilación de la frecuencia de la fuerza impulsora. Con una atenuación baja, esta dependencia tiene un carácter muy marcado. Si, entonces, como co tiende a la frecuencia de las oscilaciones libres, la amplitud de las oscilaciones forzadas a tiende al infinito, lo que coincide con el resultado obtenido anteriormente. En presencia de amortiguación, la amplitud de las oscilaciones en resonancia ya no llega al infinito, aunque excede significativamente la amplitud de las oscilaciones bajo la influencia de una fuerza externa de la misma magnitud, pero que tiene una frecuencia alejada de la resonante. Curvas de resonancia en diferentes significados La constante de amortiguación y se muestra en la figura. 183.

Para encontrar el límite de la frecuencia de resonancia, es necesario encontrar en qué punto la expresión radical en la fórmula tiene un mínimo. Igualando la derivada de esta expresión con respecto a cero o complementándola a cuadrado lleno, estamos convencidos de que la amplitud máxima de las oscilaciones forzadas se produce cuando la frecuencia de resonancia es menor que la frecuencia de las oscilaciones libres del sistema. En y pequeña, la frecuencia de resonancia es casi idéntica. Como la frecuencia de la fuerza impulsora tiende a infinito en, la amplitud a, como puede verse, tiende a cero bajo la acción de una fuerza externa constante. Este es un desplazamiento estático del oscilador desde la posición de equilibrio bajo la influencia fuerza constante.Amplitud máxima. Encontramos la amplitud de las oscilaciones forzadas en resonancia sustituyendo la frecuencia de en la expresión. Cuanto menor es la constante de amortiguación, mayor es la amplitud de las oscilaciones en resonancia. Al estudiar las oscilaciones forzadas cerca de una resonancia, no se puede descuidar la fricción, por pequeña que sea: sólo cuando se tiene en cuenta la amortiguación, la amplitud en la resonancia es finita. Es interesante comparar el valor con un desplazamiento estático bajo la resonancia. influencia de la fuerza. Al componer la relación, obtenemos una amortiguación baja. Sustituyendo aquí y teniendo en cuenta que existe una vida útil de oscilaciones amortiguadas naturales para el mismo sistema en ausencia de fuerzas externas, encontramos que existe el número de oscilaciones realizadas. oscilador amortiguado durante la vida de las oscilaciones. Por tanto, las propiedades resonantes del sistema se caracterizan por el mismo parámetro que sus propias oscilaciones amortiguadas. La fórmula permite analizar el cambio de fase entre Fuerza externa y desplazamiento, en vibraciones forzadas. Cuando el valor de d es cercano a cero. Esto significa que a bajas frecuencias el desplazamiento del oscilador se produce en fase con la fuerza externa. Cuando la manivela gira lentamente en la Fig. 178 el péndulo se mueve en el tiempo con el extremo derecho de la biela. Si tiende a cero desde el lado de los valores negativos, el cambio de fase es igual y el oscilador se desplaza en antifase con la fuerza impulsora. En resonancia, como se desprende de esto, el desplazamiento está retrasado en fase con respecto a la fuerza externa. La segunda de las fórmulas muestra que en este caso la fuerza externa cambia en fase con la velocidad y actúa en la dirección del movimiento todo el tiempo. Que así es exactamente como debería ser se desprende de consideraciones intuitivas. De la fórmula se puede ver que la amplitud de las oscilaciones de velocidad durante las oscilaciones forzadas en estado estacionario es igual. Con la ayuda de lo que obtenemos, la dependencia de la amplitud de la velocidad de la frecuencia de la fuerza externa se muestra en la Fig. 184. La curva de resonancia de la velocidad, aunque similar a la curva de resonancia del desplazamiento, difiere de ella en algunos aspectos. Por lo tanto, bajo la acción de una fuerza constante, el oscilador experimenta un desplazamiento estático desde la posición de equilibrio y su velocidad una vez finalizado el proceso de transición es cero. De la fórmula se desprende claramente que la amplitud de la velocidad en desaparece. La resonancia de velocidad ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide exactamente con la frecuencia de las oscilaciones libres.

Diagrama vectorial. Adición de vibraciones.

La solución a una serie de problemas de la teoría de las oscilaciones se vuelve mucho más fácil y visual si las oscilaciones se representan gráficamente mediante el método. diagramas vectoriales. Elijamos algún eje X. Desde el punto 0 en el eje trazamos el vector de longitud , que inicialmente forma un ángulo con el eje (Fig. 2.14.1). Si hacemos girar este vector con velocidad angular, entonces la proyección del extremo del vector sobre el eje X cambiará con el tiempo por ley

.

En consecuencia, la proyección del extremo del vector sobre el eje realizará una oscilación armónica con una amplitud igual a la longitud del vector, con una frecuencia circular igual a la velocidad angular de rotación del vector y con una fase inicial igual al ángulo que forma el vector con el eje en el momento inicial del tiempo. Esquina, formado por un vector con el eje en un momento dado determina la fase de oscilación en ese momento - .

De lo anterior se deduce que una oscilación armónica se puede representar utilizando un vector, cuya longitud es igual a la amplitud de la oscilación, y su dirección forma un ángulo con un cierto eje, igual a fase fluctuaciones. Ésta es la esencia del método del diagrama vectorial.

Suma de oscilaciones de la misma dirección.

Considere la suma de dos oscilaciones armónicas, cuyas direcciones son paralelas:

. (2.14.1)

Compensación resultante X será la suma y . Esta será una oscilación con amplitud.

Utilicemos el método del diagrama vectorial (Fig. 2.14.2). En la figura, y - fases de las oscilaciones resultantes y sumadas, respectivamente. Es fácil ver lo que se puede encontrar sumando los vectores y . Sin embargo, si las frecuencias de las oscilaciones agregadas son diferentes, entonces la amplitud resultante cambia de magnitud con el tiempo y el vector gira a una velocidad variable, es decir, la vibración no será armónica, pero representará algún complejo proceso oscilatorio. Para que la oscilación resultante sea armónica, las frecuencias de las oscilaciones sumadas deben ser las mismas

y la oscilación resultante ocurre con la misma frecuencia

.

De la construcción se desprende claramente que

Analicemos la expresión (2.14.2) para la amplitud de la oscilación resultante. Si la diferencia de fase de las oscilaciones agregadas es cero(las oscilaciones están en fase), la amplitud es igual a la suma de las amplitudes de las oscilaciones sumadas, es decir. tiene el máximo de valor posible . Si la diferencia de fase es(las oscilaciones están en antifase), entonces la amplitud resultante es igual a la diferencia de amplitud, es decir. tiene el mínimo valor posible .

Adición de vibraciones mutuamente perpendiculares.

Deje que la partícula realice dos oscilaciones armónicas con la misma frecuencia: una a lo largo de la dirección, que denotamos X, otro - en dirección perpendicular y. En este caso, la partícula se moverá a lo largo de un cierto caso general, trayectoria curvilínea, cuya forma depende de la diferencia en las fases de las oscilaciones.

Elijamos el inicio del conteo del tiempo de modo que la fase inicial de una oscilación sea igual a cero:

. (2.14.3)

Para obtener la ecuación de la trayectoria de las partículas, es necesario excluir de (2.14.3) t. De la primera ecuación, a. Medio, . Reescribamos la segunda ecuación.

o

.

Transferiendo el primer término del lado derecho de la ecuación al izquierdo, elevando al cuadrado la ecuación resultante y realizando transformaciones, obtenemos

. (2.14.4)

Esta ecuación es la ecuación de una elipse cuyos ejes están girados con respecto a los ejes. X Y y en algún ángulo. Pero en algunos casos especiales se obtienen resultados más sencillos.

1. La diferencia de fase es cero. Entonces de (2.14.4) obtenemos

o . (2.14.5)

Ésta es la ecuación de una línea recta (Fig. 2.14.3). Así, la partícula oscila a lo largo de esta línea recta con una frecuencia y amplitud iguales a .

Puede suceder que el oscilador participe en dos oscilaciones idénticamente dirigidas con diferentes amplitudes, frecuencias y fases iniciales. Consideremos la suma de tales oscilaciones.

Suma de oscilaciones con las mismas frecuencias.

Para simplificar, consideremos primero el caso en el que las frecuencias de las oscilaciones sumadas son las mismas. Las soluciones generales de oscilaciones armónicas agregadas tienen la forma:

Dónde x1, x2- variables que describen fluctuaciones, Un 1, Un 2- sus amplitudes, y , - fases iniciales. swing resultante

fácil de encontrar usando diagrama vectorial. Este método utiliza la analogía entre rotación y proceso oscilatorio.

Tomemos la solución general (1.23) para la vibración armónica. Seleccionemos un eje 0x. Desde el punto 0 tracemos un vector de longitud A formando con el eje 0x esquina . Si hacemos girar este vector con velocidad angular, entonces la proyección del extremo de este vector se moverá a lo largo del eje. 0x de +A antes -A, y la magnitud de la proyección cambiará según la ley

Así, la proyección del final del vector sobre el eje. 0x realizará oscilaciones armónicas con una amplitud igual a la longitud del vector, con una frecuencia circular igual a la velocidad angular de rotación del vector, y con una fase inicial igual al ángulo formado por el vector con el eje en el momento inicial de tiempo (Fig. 1.12).

Arroz. 1.12. Diagrama vectorial para solución general (1.23)

Apliquemos ahora esta técnica a la suma de oscilaciones (1.34). Representemos ambas oscilaciones usando vectores. A 1 Y A 2 Tomemos su suma vectorial (figura 1.13)

Arroz. 1.13. Diagrama vectorial para sumar oscilaciones idénticamente dirigidas de la misma frecuencia.

Proyección vectorial A 1 por eje 0x igual a la suma de las proyecciones de los vectores correspondientes

Entonces el vector A representa la oscilación resultante. Este vector gira con la misma velocidad angular, por lo que el movimiento resultante será una oscilación armónica con frecuencia , amplitud A y fase inicial a. Según el teorema del coseno:

En particular, si las fases de las oscilaciones sumadas son iguales o difieren en una cantidad que es múltiplo (es decir, ), entonces la amplitud de la oscilación resultante es igual a la suma de las amplitudes

Si las oscilaciones agregadas están en antifase (es decir, ), Eso

Latidos

En esta sección consideraremos el caso de la suma de oscilaciones armónicas idénticamente dirigidas con diferentes frecuencias. En la practica interés especial Representa el caso en el que las oscilaciones añadidas difieren poco en frecuencia. Como veremos, como resultado de la suma de estas oscilaciones se obtienen oscilaciones con amplitud que cambia periódicamente, llamadas late.

Por simplicidad, consideramos el caso en el que las amplitudes de las oscilaciones sumadas son iguales. A, y las fases iniciales de ambas oscilaciones son cero. Las frecuencias de las oscilaciones sumadas son iguales, respectivamente, a y . Entonces,

Sumamos estas expresiones y tenemos en cuenta fórmula bien conocida trigonometría:

Si entonces en el argumento del segundo coseno podemos despreciar el desplazamiento de frecuencia:

Además, el multiplicador entre paréntesis cambia lentamente en comparación con . Por lo tanto la oscilación resultante X puede ser visto como modulado oscilación armónica con frecuencia w, cuya amplitud efectiva cambia con el tiempo según la ley (1.40) (figura 1.14):

Destaquemos que en sentido estricto tal oscilación no es armónica, y recordamos una vez más que, según la definición, una oscilación es armónica si ocurre según la ley , y sus tres parámetros son estrictamente constantes en el tiempo.

Arroz. 1.14. Latidos al agregar oscilaciones con frecuencias cercanas.

Frecuencia de pulsación de amplitud (se llama frecuencia de latido) es igual a la diferencia entre las frecuencias de las oscilaciones sumadas. El período de latido es