Definición 1. superficie cilíndrica Es una superficie formada por líneas rectas paralelas entre sí, llamada su formando .
Si algún plano intersecta a todos los generadores. superficies cilíndricas, lo cruza a lo largo de la línea R, entonces esta línea se llama guía esta superficie cilíndrica.
Teorema . Si se introducen en el espacio un sistema de coordenadas cartesiano y una ecuación en el plano xoy es la ecuación de alguna recta R, entonces esta ecuación en el espacio es la ecuación de una superficie cilíndrica l con línea guía R, y los generadores son paralelos al eje Onz(Figura 3.19, a).
Prueba. Punto 
se encuentra sobre una superficie cilíndrica l si y sólo si la proyección 
puntos METRO al avión xoy paralelo al eje Onz está en la línea R, es decir. si y sólo si la ecuación se cumple 
.
Se aplican conclusiones similares para ecuaciones de la forma 
(Figura 3.19, b) y 
(Figura 3.19, c).
Definición 2 . Las superficies cilíndricas cuyas guías son líneas de segundo orden se denominan superficies cilíndricas de segundo orden .
Existen tres tipos de cilindros de segundo orden: elíptico (Figura 3.20)
, (5.42)
hiperbólico (Figura 3.21)
, (5.43)
parabólico (Figura 3.22)
. (5.44)
Arroz. 3.20 figura. 3.21 figura. 3.22
Para los cilindros dados por las ecuaciones (5.42), (5.43) y (5.44), las líneas guía son, respectivamente, una elipse
,
hipérbola
,
parábola
,
y los generadores son paralelos al eje Onz.
Comentario. Como hemos visto, las superficies cónicas y cilíndricas de segundo orden tienen generadores rectilíneos, y cada una de estas superficies puede formarse mediante el movimiento de una línea recta en el espacio.
Resulta que entre todas las superficies de segundo orden, además del cilindro y el cono, un hiperboloide de una sola hoja y un paraboloide hiperbólico también tienen generadores rectilíneos y, al igual que en el caso de un cilindro y un cono, ambos Las superficies se pueden formar mediante el movimiento de una línea recta en el espacio (ver literatura especial).
§4. Reducir la ecuación general de superficie de segundo orden a forma canónica
En la ecuación general de superficie de segundo orden
a) forma cuadrática
Dónde 
;
b) forma lineal
Dónde 
;
V) miembro gratuito
.
Para llevar la ecuación (5.45) a su forma canónica, es necesario, en primer lugar, realizar dicha transformación de coordenadas. 
y, en consecuencia, la base ortonormal asociada 
, que transforma la forma cuadrática (5.46) a forma canónica(ver libro 2, capítulo 8, §3, cláusula 3.1).
La matriz de esta forma cuadrática es
,
donde, es decir matriz A– simétrico. Denotemos por 
valores propios, y a través de 
base ortonormal compuesta por vectores propios de la matriz A. Dejar
–
matriz de transición desde la base 
a la base 
, A 
– un nuevo sistema de coordenadas asociado a esta base.
Entonces, al transformar coordenadas
(5.48)
la forma cuadrática (5.46) toma la forma canónica
Dónde 
.
Ahora, aplicando la transformación de coordenadas (5.48) a la forma lineal (5.47), obtenemos
Dónde 
,
– coeficientes de nueva forma (5.47).
Por tanto, la ecuación (5.45) toma la forma
+.
Esta ecuación se puede reducir a forma canónica utilizando la transferencia paralela del sistema de coordenadas según las fórmulas
o 
(5.49)
Después de realizar la transformación del sistema de coordenadas mediante transferencia paralela(5.49), ecuación general de superficie de segundo orden (5.45) con respecto al sistema de coordenadas cartesiano 
expresará una de las siguientes diecisiete superficies:
1) elipsoide 
2) elipsoide imaginario 
3) hiperboloide de una sola hoja 
4) hiperboloide de dos hojas 
5) cono 
6) cono imaginario 
7) paraboloide elíptico
8) paraboloide hiperbólico
9) cilindro elíptico
10) cilindro elíptico imaginario
11) dos planos imaginarios que se cruzan
12) cilindro hiperbólico
13) dos planos que se cruzan
14) cilindro parabólico
15) dos planos paralelos
16) dos planos paralelos imaginarios
17) dos planos coincidentes
Ejemplo. Determinar el tipo y la ubicación de una superficie definida en relación con un sistema de coordenadas rectangular cartesiano 
y la base ortonormal asociada 
ecuación
Damos la forma cuadrática.
(5.51)
a la forma canónica. La matriz de esta forma tiene la forma
.
Determinemos los valores propios de esta matriz a partir de la ecuación característica.
De aquí 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
ahora encontramos vectores propios matrices A: 1) dejar 
, entonces de la ecuación 
o en forma de coordenadas
encontrar donde 
– cualquier número, y por lo tanto 
, A 
. Del conjunto completo de vectores colineales. 
elige un vector 
, cuyo módulo 
, es decir. normalizar el vector 
.
2) para 
tenemos
.
De aquí 
, Dónde 
- cualquier número. Entonces 
, A 
. Normalizando el vector 
, encuentra el vector unitario 
:
,
Dónde 
.
3)
, entonces para los componentes 
vector 
tenemos un sistema
De donde, donde 
– cualquier número, y por lo tanto 
, A 
. Normalizando el vector 
, encuentra el vector unitario 
para la dirección dada por el vector 
:
Dónde 
.
Pasemos ahora de la base ortonormal 
a una base ortonormal 
, compuesto por vectores propios de la matriz. A y conectar con la última base un nuevo sistema de coordenadas rectangular cartesiano 
. La matriz de transición para tal transformación tiene la forma
,
y las coordenadas se convierten según las fórmulas
(5.52)
Aplicando esta transformación de coordenadas a la forma cuadrática (5.51), la reducimos a la forma canónica
, Dónde 
.
Determinemos ahora qué forma tiene la fórmula lineal.
, Dónde 
,
si las coordenadas se transforman según las fórmulas (5.52). Tenemos
Por tanto, si el sistema de coordenadas 
transformar usando las fórmulas (5.52), luego en relación con el nuevo sistema de coordenadas 
la superficie de segundo orden considerada está dada por la ecuación
La ecuación (5.53) se reduce a la forma canónica mediante la transferencia paralela del sistema de coordenadas según las fórmulas
después de lo cual, la ecuación de la superficie relativa al sistema de coordenadas. 
toma la forma
o 
Esta ecuación expresa un cilindro elíptico cuya elipse directora se encuentra en el plano coordenado. 
, y las líneas generadoras son paralelas al eje 
Comentario. Esquema de reducción ecuación general de una superficie de segundo orden a forma canónica, presentada en esta sección, también se puede aplicar para reducir la ecuación general de una curva de segundo orden a forma canónica.
Los estudiantes encuentran con mayor frecuencia superficies de segundo orden durante el primer año. Al principio, los problemas sobre este tema pueden parecer simples, pero a medida que estudias Matemáticas avanzadas y profundizando en el lado científico, finalmente puedes perder el rumbo sobre lo que está sucediendo. Para que esto no suceda, es necesario no solo memorizar, sino comprender cómo se obtiene tal o cual superficie, cómo los coeficientes cambiantes la afectan y su ubicación en relación con el sistema de coordenadas original, y cómo encontrar nuevo sistema(aquel en el que su centro coincide con el origen de coordenadas, y es paralelo a uno de ejes de coordenadas). Empecemos desde el principio.
Definición
Una superficie de segundo orden se denomina GMT, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación general de la siguiente forma:
Está claro que cada punto perteneciente a la superficie debe tener tres coordenadas en alguna base designada. Aunque en algunos casos lugar Los puntos pueden degenerar, por ejemplo, en un plano. Esto sólo significa que una de las coordenadas es constante e igual a cero en todo el rango de valores permitidos.
La forma escrita completa de la igualdad anterior se ve así:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - algunas constantes, x, y, z - variables correspondientes coordenadas afines Cualquier punto. En este caso, al menos uno de los factores constantes no debe ser igual a cero, es decir, ningún punto corresponderá a la ecuación.
En la gran mayoría de los ejemplos, muchos factores numéricos siguen siendo idénticamente iguales a cero y la ecuación se simplifica significativamente. En la práctica, determinar si un punto pertenece a una superficie no es difícil (basta con sustituir sus coordenadas en la ecuación y comprobar si se cumple la identidad). El punto clave en tal trabajo es llevar este último a la forma canónica.
La ecuación escrita arriba define cualquier superficie de segundo orden (todas las enumeradas a continuación). Veamos ejemplos a continuación.
Tipos de superficies de 2do orden.
Las ecuaciones de superficies de segundo orden difieren solo en los valores de los coeficientes A nm. De vista general a determinados valores de las constantes se pueden obtener diversas superficies, clasificadas de la siguiente manera:
- Cilindros.
- Tipo elíptico.
- Tipo hiperbólico.
- Tipo cónico.
- Tipo parabólico.
- Aviones.
Cada uno de los tipos enumerados tiene una forma natural e imaginaria: en la forma imaginaria, el lugar geométrico de los puntos reales degenera en una forma más una figura sencilla, o está ausente por completo.
Cilindros
Este es el tipo más simple, ya que la curva relativamente compleja se encuentra sólo en la base, actuando como guía. Los generadores son líneas rectas, planos perpendiculares, en el que se encuentra la base.
El gráfico muestra cilindro circular - caso especial cilindro elíptico. En el plano XY, su proyección será una elipse (en nuestro caso, un círculo), una guía, y en XZ, un rectángulo, ya que los generadores son paralelos al eje Z. Para obtenerlo de la ecuación general, es. necesario dar los siguientes valores a los coeficientes:
En lugar de los símbolos habituales x, y, z, x con número de serie- No importa.
De hecho, 1/a 2 y las otras constantes indicadas aquí son los mismos coeficientes indicados en la ecuación general, pero se acostumbra escribirlos exactamente de esta forma: esto es representación canónica. En lo que sigue, esta entrada se utilizará exclusivamente.
Esto define un cilindro hiperbólico. El esquema es el mismo: la hipérbole será la guía.
Un cilindro parabólico se define de forma ligeramente diferente: su forma canónica incluye un coeficiente p, llamado parámetro. De hecho, el coeficiente es igual a q=2p, pero se acostumbra dividirlo en los dos factores presentados.
Existe otro tipo de cilindro: el imaginario. No tiene ningún sentido real un cilindro así. Se describe mediante la ecuación de un cilindro elíptico, pero en lugar de uno hay -1.
tipo elíptico
El elipsoide se puede estirar a lo largo de uno de los ejes (según el cual depende de los valores de las constantes a, b, c indicadas anteriormente; obviamente, el eje mayor corresponderá a un coeficiente mayor).
También hay un elipsoide imaginario, siempre que la suma de las coordenadas multiplicada por los coeficientes sea igual a -1:
Hiperboloides
Cuando aparece un signo menos en una de las constantes, la ecuación del elipsoide se convierte en la ecuación de un hiperboloide de una hoja. ¡Debes entender que este menos no tiene por qué estar ubicado delante de la coordenada x3! Solo determina cuál de los ejes será el eje de rotación del hiperboloide (o paralelo a él, ya que cuando aparecen términos adicionales en el cuadrado (por ejemplo, (x-2) 2), el centro de la figura se desplaza, como Como resultado, la superficie se mueve paralela a los ejes de coordenadas). Esto se aplica a todas las superficies de segundo orden.
Además, es necesario comprender que las ecuaciones se presentan en forma canónica y se pueden cambiar variando las constantes (¡manteniendo el signo!); al mismo tiempo, su apariencia (hiperboloide, cono, etc.) seguirá siendo la misma.
Esta ecuación viene dada por un hiperboloide de dos hojas.
Superficie cónica
En la ecuación del cono no hay unidad: es igual a cero.
Un cono es sólo un limitado superficie cónica. La siguiente imagen muestra que, de hecho, habrá dos llamados conos en el gráfico.
Nota importante: en todas las ecuaciones canónicas consideradas, se supone que las constantes son positivas por defecto. De lo contrario, el signo puede afectar el gráfico final.
Los planos de coordenadas se convierten en planos de simetría del cono, el centro de simetría se sitúa en el origen.
En la ecuación de un cono imaginario sólo hay ventajas; posee un único punto real.
Paraboloides
Las superficies de segundo orden en el espacio pueden tomar varias formas incluso con ecuaciones similares. Por ejemplo, los paraboloides son de dos tipos.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Un paraboloide elíptico, cuando el eje Z es perpendicular al dibujo, se proyectará en una elipse.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Paraboloide hiperbólico: en los tramos con planos paralelos a ZY se obtendrán parábolas, y en los tramos con planos paralelos a XY se obtendrán hipérbolas.
Planos que se cruzan
Hay casos en que las superficies de segundo orden degeneran en el plano. Estos planos se pueden organizar de varias maneras.
Primero veamos los planos que se cruzan:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Con esta modificación de la ecuación canónica, simplemente obtenemos dos planos que se cruzan (¡imaginarios!); todos los puntos reales están en el eje de la coordenada que está ausente en la ecuación (en la canónica, el eje Z).
Planos paralelos
Si solo hay una coordenada, las superficies de segundo orden degeneran en un par planos paralelos. No olvides que cualquier otra variable puede sustituir al jugador; entonces se obtendrán planos paralelos a otros ejes.
En este caso se vuelven imaginarios.
Aviones coincidentes
Con este ecuación simple un par de aviones degenera en uno: coinciden.
¡No olvides que en el caso de una base tridimensional, la ecuación anterior no especifica la línea recta y=0! Faltan las otras dos variables, pero eso sólo significa que su valor es constante e igual a cero.
Construcción
Una de las tareas más difíciles para un estudiante es la construcción de superficies de segundo orden. Es aún más difícil pasar de un sistema de coordenadas a otro, teniendo en cuenta los ángulos de inclinación de la curva con respecto a los ejes y el desplazamiento del centro. Repasemos cómo determinar consistentemente vista futura dibujar de forma analítica.
Para construir una superficie de segundo orden, es necesario:
- llevar la ecuación a forma canónica;
- determinar el tipo de superficie en estudio;
- construir en base a los valores de los coeficientes.
A continuación se muestran todos los tipos considerados:
Para reforzar esto, describiremos en detalle un ejemplo de este tipo de tarea.
Ejemplos
Digamos que tenemos la ecuación:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Llevémoslo a la forma canónica. Seleccionemos cuadrados completos, es decir, ordenaremos los términos disponibles de tal manera que sean una descomposición del cuadrado de la suma o diferencia. Por ejemplo: si (a+1) 2 =a 2 +2a+1, entonces a 2 +2a+1=(a+1) 2. Realizaremos una segunda operación. Paréntesis en en este caso no es necesario revelar, ya que esto solo complicará los cálculos, pero sacar a relucir multiplicador común 6 (entre paréntesis con cuadrado perfecto juego) necesitas:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
La variable zet aparece en este caso sólo una vez; puedes dejarla así por ahora.
Analicemos la ecuación en esta etapa: todas las incógnitas tienen un signo más delante; Dividiendo por seis sale uno. En consecuencia, tenemos ante nosotros una ecuación que define un elipsoide.
Observe que 144 se factorizó en 150-6 y luego -6 se movió hacia la derecha. ¿Por qué hubo que hacerlo de esta manera? Obviamente lo mas gran divisor V en este ejemplo-6, por lo tanto, para que una unidad permanezca a la derecha después de dividirla por ella, es necesario "apartar" exactamente 6 de 144 (el hecho de que la unidad deba estar a la derecha se indica por la presencia de un término libre: una constante no multiplicada por una incógnita).
Dividamos todo entre seis y obtengamos la ecuación canónica del elipsoide:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
En la clasificación de superficies de segundo orden utilizada anteriormente, se considera un caso especial cuando el centro de la figura está en el origen de coordenadas. En este ejemplo está compensado.
Suponemos que cada paréntesis con incógnitas es una variable nueva. Es decir: a=x-1, b=y+5, c=z. En las nuevas coordenadas, el centro del elipsoide coincide con el punto (0,0,0), por lo tanto, a=b=c=0, de donde: x=1, y=-5, z=0. En las coordenadas iniciales, el centro de la figura se encuentra en el punto (1,-5,0).
El elipsoide se obtendrá a partir de dos elipses: la primera en el plano XY y la segunda en el plano XZ (o YZ, no importa). Los coeficientes por los que se dividen las variables se elevan al cuadrado en la ecuación canónica. Por tanto, en el ejemplo anterior, sería más correcto dividir por raíz de dos, uno y raíz de tres.
El eje menor de la primera elipse, paralelo al eje Y, es igual a dos. El eje mayor es paralelo al eje X: dos raíces de dos. El eje menor de la segunda elipse, paralelo al eje Y, sigue siendo el mismo: es igual a dos. A eje mayor, paralelo al eje Z, es igual a dos raíces de tres.
Usando los datos obtenidos de la ecuación original convirtiéndola a forma canónica, podemos dibujar un elipsoide.
Resumiendo
El tema tratado en este artículo es bastante extenso, pero en realidad, como puedes ver ahora, no es muy complicado. Su desarrollo, de hecho, termina en el momento en que memorizas los nombres y ecuaciones de las superficies (y, por supuesto, su apariencia). En el ejemplo anterior, examinamos cada paso en detalle, pero llevar la ecuación a su forma canónica requiere un conocimiento mínimo de matemáticas superiores y no debería causar ninguna dificultad al estudiante.
El análisis del cronograma futuro basado en la igualdad existente ya es más que tarea difícil. Pero para resolverlo con éxito, basta con comprender cómo se construyen las correspondientes curvas de segundo orden: elipses, parábolas y otras.
Los casos de degeneración son un apartado aún más sencillo. Debido a la ausencia de algunas variables, no sólo se simplifican los cálculos, como se mencionó anteriormente, sino también la propia construcción.
Tan pronto como pueda nombrar con seguridad todo tipo de superficies, variar constantes y convertir un gráfico en una forma u otra, dominará el tema.
¡Buena suerte en tus estudios!
Con la diferencia de que en lugar de gráficos "planos", consideraremos las superficies espaciales más comunes y también aprenderemos a construirlas manualmente. Pasé bastante tiempo seleccionando herramientas de software para crear dibujos tridimensionales y encontré un par de buenas aplicaciones, pero a pesar de toda la facilidad de uso, estos programas no resuelven lo importante. pregunta practica. El hecho es que en el futuro histórico previsible, los estudiantes seguirán armados con una regla y un lápiz, e incluso teniendo un dibujo "a máquina" de alta calidad, muchos no podrán transferirlo correctamente a papel a cuadros. Por lo tanto, en el manual Atención especial está dedicado a la técnica de la construcción manual, y una parte importante de las ilustraciones de la página son un producto hecho a mano.
¿Qué tiene de diferente esto? material de referencia de análogos?
tener una decente experiencia práctica, Sé muy bien con qué superficies tengo que lidiar más a menudo problemas reales matemáticas superiores, y espero que este artículo te ayude en lo antes posible reponga su equipaje con conocimientos relevantes y habilidades aplicadas, que deberían ser suficientes en el 90-95% de los casos.
Lo que necesitas saber este momento?
Lo más básico:
En primer lugar, es necesario poder construir correctamente sistema de coordenadas cartesiano espacial (ver el comienzo del artículo Gráficas y propiedades de funciones. ) .
¿Qué ganarás después de leer este artículo?
Botella Después de dominar los materiales de la lección, aprenderá a determinar rápidamente el tipo de superficie por su función y/o ecuación, imaginará cómo se ubica en el espacio y, por supuesto, hará dibujos. Está bien si no tienes todo en tu cabeza después de la primera lectura; siempre puedes volver a cualquier párrafo más adelante según sea necesario.
La información está al alcance de todos: para dominarla no se necesitan conocimientos especiales, talento artístico especial ni visión espacial.
¡Comenzar!
En la práctica, la superficie espacial suele venir dada función de dos variables o una ecuación de la forma (la constante del lado derecho suele ser igual a cero o uno). La primera designación es más típica de Análisis matemático, el segundo – para geometría analítica . La ecuación es esencialmente dado implícitamente una función de 2 variables, que en casos típicos se puede reducir fácilmente a la forma . te recuerdo ejemplo más simple C:
– ecuación plana amable .
– función plana en explícitamente .
Empecemos con ello:
Ecuaciones comunes de planos.
Opciones típicas disposición de aviones en sistema rectangular Las coordenadas se analizan en detalle al principio del artículo. Ecuación plana . Sin embargo, detengámonos una vez más en las ecuaciones que tienen gran valor para practicar.
En primer lugar, debes reconocer de forma totalmente automática las ecuaciones de los planos que son paralelos a los planos de coordenadas. Los fragmentos de planos se representan habitualmente como rectángulos, que en los dos últimos casos parecen paralelogramos. De forma predeterminada, puede elegir cualquier dimensión (dentro de límites razonables, por supuesto), pero es deseable que el punto en el que el eje de coordenadas "perfora" el plano sea el centro de simetría: 
Estrictamente hablando, los ejes de coordenadas en algunos lugares deberían representarse con líneas de puntos, pero para evitar confusiones descuidaremos este matiz.
– (dibujo de la izquierda) la desigualdad especifica el medio espacio más alejado de nosotros, excluyendo el propio plano;
– (dibujo del medio) la desigualdad especifica el semiespacio derecho, incluido el plano;
– (dibujo de la derecha) la doble desigualdad define una “capa” ubicada entre los planos, incluidos ambos planos.
Para el autocalentamiento:
Ejemplo 1
Dibuja un cuerpo delimitado por planos.
Crear un sistema de desigualdades que definan un cuerpo determinado.
Un viejo conocido debería surgir de debajo de la mina de tu lápiz. cuboides . No olvides que los bordes y caras invisibles deben dibujarse con una línea de puntos. Dibujo terminado al final de la lección.
Por favor, NO DESCUIDAR Objetivos de aprendizaje, aunque parezcan demasiado simples. De lo contrario, puede suceder que te hayas perdido uno, te hayas perdido dos y luego hayas pasado una hora completa probando un dibujo tridimensional en algún lugar. ejemplo real. Además, Trabajo mecánico¡Te ayudará a aprender el material de manera mucho más efectiva y a desarrollar tu inteligencia! No es casualidad que jardín de infancia Y escuela primaria Los niños están cargados de dibujos, modelos, kits de construcción y otras tareas para las habilidades motoras finas dedos. Perdón por la digresión, pero no dejes que mis dos cuadernos se pierdan. Psicología del desarrollo =)
Llamaremos condicionalmente al siguiente grupo de planos "proporcionalidad directa": estos son planos que pasan por los ejes de coordenadas:
2) una ecuación de la forma especifica un plano que pasa por el eje;
3) una ecuación de la forma especifica un plano que pasa por el eje.
Aunque el signo formal es obvio (qué variable falta en la ecuación: el avión pasa por ese eje), siempre es útil comprender la esencia de los eventos que tienen lugar:
Ejemplo 2
Construir plano
¿Cuál es la mejor manera de construir? yo sugiero siguiente algoritmo:
Primero, reescribamos la ecuación en la forma , de donde se ve claramente que la "y" puede tomar cualquier significados. Fijemos el valor, es decir, consideraremos el plano de coordenadas. Conjunto de ecuaciones linea espacial , que se encuentra en un plano de coordenadas dado. Representemos esta línea en el dibujo. La recta pasa por el origen de coordenadas, por lo que para construirla basta con encontrar un punto. Dejar . Aparta un punto y dibuja una línea recta.
Ahora volvemos a la ecuación del avión. Ya que la "Y" acepta cualquier valores, entonces la línea recta construida en el plano se “replica” continuamente hacia la izquierda y hacia la derecha. Así es exactamente como se forma nuestro avión, pasando por el eje. Para completar el dibujo, a la izquierda y a la derecha de la recta ponemos dos lineas paralelas y “cerrar” el paralelogramo simbólico con segmentos horizontales transversales: 
Dado que la condición no imponía restricciones adicionales, un fragmento del avión podía representarse en tamaños un poco más pequeños o un poco más grandes.
Repitamos una vez más el significado de espacio. desigualdad lineal Por ejemplo . ¿Cómo determinar el medio espacio que define? tomemos algún punto no pertenecer a plano, por ejemplo, un punto del semiespacio más cercano a nosotros y sustituir sus coordenadas en la desigualdad:
Recibió verdadera desigualdad, lo que significa que la desigualdad especifica el semiespacio inferior (en relación con el plano), mientras que el plano en sí no está incluido en la solución.
Ejemplo 3
Construir aviones
A) ;
b) .
Estas son tareas para autoconstrucción, en caso de dificultades, utilice un razonamiento similar. Breves instrucciones y dibujos al final de la lección.
En la práctica, los planos paralelos al eje son especialmente habituales. El caso especial cuando el avión pasa por el eje se acaba de comentar en el punto “be”, y ahora analizaremos más Tarea común:
Ejemplo 4
Construir plano
Solución: la variable “z” no está incluida explícitamente en la ecuación, lo que significa que el plano es paralelo al eje de la aplicación. Utilicemos la misma técnica que en los ejemplos anteriores.
Reescribamos la ecuación del plano en la forma 
de lo cual está claro que "zet" puede tomar cualquier significados. Arreglemos esto y dibujemos una línea recta "plana" regular en el plano "nativo". Para construirlo conviene tomar puntos de referencia.
Como "Z" acepta Todo valores, entonces la línea recta construida se "multiplica" continuamente hacia arriba y hacia abajo, formando así el plano deseado 
. Dibujamos con cuidado un paralelogramo de tamaño razonable: 
Listo.
Ecuación de un plano en segmentos.
La variedad aplicada más importante. Si Todo impares ecuación general del avión
distinto de cero, entonces se puede representar en la forma 
Lo que es llamado ecuación del plano en segmentos. Es obvio que el plano interseca los ejes de coordenadas en los puntos , y la gran ventaja de tal ecuación es la facilidad de construir un dibujo:
Ejemplo 5
Construir plano
Solución: Primero, creemos una ecuación del plano en segmentos. Arrojemos el término libre a la derecha y dividamos ambos lados entre 12: 
¡No, no hay ningún error tipográfico aquí y todas las cosas suceden en el espacio! Examinamos la superficie propuesta utilizando el mismo método que se utilizó recientemente para los aviones. Reescribamos la ecuación en la forma 
, de lo que se deduce que "zet" toma cualquier significados. Fijemos y construyamos una elipse en el plano. Ya que "zet" acepta Todo valores, entonces la elipse construida se "replica" continuamente hacia arriba y hacia abajo. Es fácil entender que la superficie infinito:
Esta superficie se llama cilindro elíptico
. Una elipse (a cualquier altura) se llama guía cilindro, y las líneas paralelas que pasan por cada punto de la elipse se llaman formando cilindro (que son literalmente las palabras lo forman). El eje es eje de simetria superficie (¡pero no parte de ella!).
Las coordenadas de cualquier punto perteneciente a una superficie determinada satisfacen necesariamente la ecuación 
.
Espacial la desigualdad especifica el "interior" de la "tubería" infinita, incluida la propia superficie cilíndrica y, en consecuencia, desigualdad opuesta define el conjunto de puntos fuera del cilindro.
EN problemas prácticos El caso especial más popular es cuando guía el cilindro es círculo :
Ejemplo 8
construir una superficie dado por la ecuación
Es imposible representar una "tubería" sin fin, por lo que el arte suele limitarse a "recortar".
Primero, es conveniente construir un círculo de radio en el plano, y luego un par de círculos más arriba y abajo. Los círculos resultantes ( guías cilindro) conecte cuidadosamente con cuatro líneas rectas paralelas ( formando cilindro): 
No olvides utilizar líneas de puntos para las líneas que son invisibles para nosotros.
Las coordenadas de cualquier punto perteneciente a un cilindro dado satisfacen la ecuación 
. Las coordenadas de cualquier punto que se encuentre estrictamente dentro de la "tubería" satisfacen la desigualdad 
, y la desigualdad 
define un conjunto de puntos de la parte externa. Para una mejor comprensión, recomiendo considerar varios puntos específicos Espacio y compruébalo por ti mismo.
Ejemplo 9
Construir una superficie y encontrar su proyección sobre el plano.
Reescribamos la ecuación en la forma 
de lo cual se deduce que "x" toma cualquier significados. Arreglemos y representemos en el avión. círculo
– con centro en el origen, radio unitario. Dado que "x" acepta continuamente Todo valores, entonces el círculo construido genera un cilindro circular con un eje de simetría. Dibuja otro círculo ( guía cilindro) y conéctelos con cuidado con líneas rectas ( formando cilindro). En algunos lugares había superposiciones, pero qué hacer, tal pendiente: 
Esta vez me limité a colocar un trozo de cilindro en el hueco, y esto no es casualidad. En la práctica, a menudo es necesario representar sólo un pequeño fragmento de la superficie.
Aquí, por cierto, hay 6 generatrices: dos líneas rectas adicionales "cubren" la superficie desde las esquinas superior izquierda e inferior derecha.
Ahora veamos la proyección de un cilindro sobre un plano. Muchos lectores entienden qué es la proyección, pero, sin embargo, realicemos otro ejercicio físico de cinco minutos. Por favor, párese e incline la cabeza sobre el dibujo de modo que la punta del eje apunte perpendicular a su frente. Lo que parece un cilindro desde este ángulo es su proyección sobre un plano. Pero parece una franja interminable, encerrada entre líneas rectas, incluidas las líneas rectas mismas. Esta proyección- eso es exactamente dominio funciones (“canal” superior del cilindro), (“canal” inferior).
Por cierto, aclaremos la situación con proyecciones sobre otros planos de coordenadas. Deje que los rayos del sol brillen sobre el cilindro desde la punta y a lo largo del eje. La sombra (proyección) de un cilindro sobre un plano es una franja infinita similar: una parte del plano delimitada por líneas rectas (- cualquiera), incluidas las líneas rectas mismas.
Pero la proyección sobre el avión es algo diferente. Si miras el cilindro desde la punta del eje, entonces se proyectará en un círculo de radio unitario. 
, con el que iniciamos la construcción.
Ejemplo 10
Construir una superficie y encontrar sus proyecciones en planos coordenados.
Esta es una tarea para decisión independiente. Si la condición no es muy clara, eleva al cuadrado ambos lados y analiza el resultado; averigüe qué parte del cilindro está especificada por la función. Utilice la técnica de construcción utilizada repetidamente anteriormente. Solución rápida, dibujo y comentarios al final de la lección.
Las superficies elípticas y otras superficies cilíndricas se pueden desplazar con respecto a los ejes de coordenadas, por ejemplo:
(basado en motivos familiares del artículo sobre líneas de segundo orden
)
– un cilindro de radio unitario con un eje de simetría que pasa por un punto paralelo al eje. Sin embargo, en la práctica, estos cilindros se encuentran muy raramente, y es absolutamente increíble encontrar una superficie cilíndrica que sea "oblicua" con respecto a los ejes de coordenadas.
Cilindros parabólicos
Como el nombre sugiere, guía tal cilindro es parábola .
Ejemplo 11
Construya una superficie y encuentre sus proyecciones en planos coordenados.
No pude resistirme a este ejemplo =)
Solución: Sigamos por el camino trillado. Reescribamos la ecuación en la forma, de donde se deduce que "zet" puede tomar cualquier valor. Fijemos y construyamos una parábola ordinaria en el plano, habiendo marcado previamente los puntos de referencia triviales. Como "Z" acepta Todo valores, entonces la parábola construida se "replica" continuamente hacia arriba y hacia abajo hasta el infinito. Colocamos la misma parábola, digamos, a una altura (en el plano) y las conectamos cuidadosamente con líneas rectas paralelas ( formando el cilindro): 
te recuerdo técnica útil: si inicialmente no está seguro de la calidad del dibujo, es mejor dibujar primero las líneas muy finas con un lápiz. Luego evaluamos la calidad del boceto, descubrimos las áreas donde la superficie está oculta a nuestros ojos y solo entonces aplicamos presión sobre el lápiz.
Proyecciones.
1) La proyección de un cilindro sobre un plano es una parábola. Cabe señalar que en este caso es imposible hablar de dominio de definición de una función de dos variables – por la razón de que la ecuación del cilindro no es reducible a forma funcional.
2) La proyección de un cilindro sobre un plano es un semiplano, incluido el eje.
3) Y finalmente, la proyección del cilindro sobre el plano es todo el plano.
Ejemplo 12
Construir cilindros parabólicos:
a) limítese a un fragmento de la superficie en el medio espacio cercano;
b) en el intervalo
En caso de dificultades, no nos apresuramos a razonar por analogía con ejemplos anteriores; afortunadamente, la tecnología está bien desarrollada; No es crítico que las superficies queden un poco toscas; es importante visualizar correctamente la imagen fundamental. A mí personalmente no me importa mucho la belleza de las líneas; si consigo un dibujo aceptable con una calificación de C, normalmente no lo rehago. Por cierto, la solución de muestra utiliza otra técnica para mejorar la calidad del dibujo ;-)
Cilindros hiperbólicos
Guías tales cilindros son hipérboles. Este tipo de superficie, según mis observaciones, es mucho menos común que los tipos anteriores, por lo que me limitaré a un único dibujo esquemático de un cilindro hiperbólico: 
El principio de razonamiento aquí es exactamente el mismo: el habitual. hipérbole escolar
desde el plano continuamente “se multiplica” hacia arriba y hacia abajo hasta el infinito.
Los cilindros considerados pertenecen a los llamados superficies de segundo orden, y ahora seguiremos conociendo a otros representantes de este grupo:
Elipsoide. esfera y bola
ecuación canónica un elipsoide en un sistema de coordenadas rectangular tiene la forma 
, Dónde - numeros positivos (semiejes elipsoide), que en caso general diferente. Un elipsoide se llama superficie, entonces cuerpo, limitado por una superficie determinada. El cuerpo, como muchos han adivinado, está determinado por la desigualdad. 
y coordenadas de cualquier punto interno(así como cualquier punto de la superficie) necesariamente satisfacen esta desigualdad. El diseño es simétrico respecto a ejes coordenados y planos coordenados: 
El origen del término “elipsoide” también es obvio: si la superficie está “cortada” planos coordinados, entonces las secciones tendrán tres diferentes (en el caso general)
