Realizamos esta prueba en dos etapas. Primero, supongamos que sí y observe que en este caso D(S°) según el teorema de dispersión de la suma. Según la desigualdad de Chebyshev, para cualquier t > 0

Para t > norte lado izquierdo menor que, y el último valor tiende a cero. Esto completa la primera parte de la prueba.

Descartemos ahora la condición restrictiva para la existencia de D(). Este caso se reduce al anterior mediante el método de truncamiento.

Definamos dos nuevos conjuntos. variables aleatorias, dependiendo de, de la siguiente manera:

Uk =, Vk =0, si (2.2)

U k = 0, V k =, si

Aquí k=1,… , n y es fijo. Entonces

para todos k.

Sea (f(j)) la distribución de probabilidad de variables aleatorias (la misma para todos los j). Supusimos que = M() existe, por lo que la suma

finito. Entonces también hay

donde la suma se realiza sobre todos aquellos j para los cuales. Tenga en cuenta que aunque depende de n, es lo mismo para

U 1, U 2, ..., U n. Además, para, y por lo tanto, para arbitrario > 0 y todo n suficientemente grande

U k son mutuamente independientes, y su suma U 1 +U 2 +…+U n se puede tratar exactamente de la misma manera que con X k en el caso de dispersión finita, aplicando la desigualdad de Chebyshev, obtenemos algo similar a (2.1)

Debido a (2.6), se deduce que

Como la serie (2.4) converge, la última suma tiende a cero a medida que n aumenta. Por lo tanto, para un n suficientemente grande

y por lo tanto

P(V 1 +…+V norte 0). (2.12)

Pero, tanto de (2.9) como de (2.12) obtenemos

Dado que y son arbitrarios, el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeño, lo que completa la demostración.

Teoría de los juegos "inofensivos"

Tras un análisis más detallado de la esencia de la ley. números grandes Usaremos la terminología tradicional de jugadores, aunque nuestras consideraciones permiten igualmente y aplicaciones más serias, y nuestros dos supuestos básicos son más realistas en estadística y física que en juego. Primero, supongamos que el jugador tiene capital ilimitado, de modo que ninguna pérdida puede provocar que el juego termine. (Rechazar esta suposición conduce al problema de la ruina del jugador, que siempre intriga a los estudiantes de la teoría de la probabilidad.) En segundo lugar, supongamos que el jugador no tiene el temperamento para interrumpir el juego cuando quiera: el número n de intentos debe fijarse de antemano y No debe depender de los juegos de movimientos. De lo contrario, el jugador, bendecido con un capital ilimitado, esperaría una serie de éxitos y en el momento adecuado pararía el juego. A un jugador así no le interesan las fluctuaciones probables en un momento dado, sino las fluctuaciones máximas en una larga serie de juegos, que se describen más por la ley del logaritmo iterado que por la ley de los grandes números.

Introduzcamos la variable aleatoria k como el pago (positivo o negativo) de késima repetición juegos. Entonces la suma S n = 1 +…+ k son las ganancias totales después de n repeticiones del juego. Si antes de cada repetición el jugador paga una contribución (no necesariamente positiva) por el derecho a participar en el juego, entonces n representa la contribución total pagada por él y S n son las ganancias netas totales. La ley de los grandes números se aplica si p=M(k) existe. En términos generales, para n grande es bastante plausible que la diferencia S n - parezca pequeña en comparación con n. Por lo tanto, si es menor que p, entonces para n grande el jugador probablemente obtendrá una recompensa del orden de magnitud. Del mismo modo, es casi seguro que una contribución resulta en una pérdida. En resumen, el azar es favorable al jugador y el azar es desfavorable.

Tenga en cuenta que todavía no hemos dicho nada sobre el caso. En este caso, la única conclusión posible es que si y es lo suficientemente grande, la ganancia o pérdida total S n - n será muy probabilidad alta pequeño en comparación con n. Pero no se sabe si S n - n resultará positivo o negativo, es decir, si el juego será rentable o ruinoso. Esto no fue tomado en cuenta teoría clásica, que llamó un precio inofensivo y un juego con “inofensivo”. Es necesario comprender que un juego “inofensivo” puede en realidad ser a la vez claramente rentable y ruinoso.

Está claro que en el “caso normal” no sólo existe M(k), sino también D(k). En este caso, la ley de los grandes números se complementa con el teorema del límite central, y este último dice que es muy plausible que en un juego “inofensivo” la ganancia neta como resultado de un juego largo S n - n sea de del orden de n 1/2 y que para n suficientemente grande esta ganancia será aproximadamente igualdad de oportunidades positivo o negativo. Por tanto, si se aplica el teorema central del límite, entonces el término juego "inofensivo" está justificado, aunque incluso en este caso estamos ante un teorema del límite, que se enfatiza con las palabras "como resultado de un juego largo". Análisis exhaustivo muestra que la convergencia en (1.3) empeora a medida que aumenta la dispersión. Si es grande, entonces aproximación normal será efectivo sólo para n extremadamente grande.

En concreto, imaginemos una máquina en la que, al colocar un rublo en ella, el jugador puede ganar (10--1) rublos con una probabilidad de 10, y en otros casos pierde el rublo rebajado. Aquí tenemos las pruebas de Bernoulli y el juego es "inofensivo". Habiendo completado un millón de pruebas, el jugador pagará por ello un millón de rublos. Durante este tiempo puede ganar 0, 1,2,... veces. Según la aproximación de Poisson para Distribución binomial, con una precisión de unos pocos decimales, la probabilidad de ganar exactamente k veces es igual a e -1 /k!. Así, con una probabilidad de 0,368. . . el jugador perderá un millón y con la misma probabilidad sólo recuperará sus gastos; tiene una probabilidad de 0,184... de adquirir exactamente un millón, etc. Aquí, 10 6 intentos equivalen a un solo intento en un juego con un pago que tiene una distribución de Poisson.

Evidentemente, no tiene sentido aplicar la ley de los grandes números en este tipo de situaciones. Este plan incluye seguros contra incendios, accidentes automovilísticos, etc. Una gran cantidad está expuesta al riesgo, pero la probabilidad correspondiente es muy pequeña. Sin embargo, aquí normalmente sólo hay una prueba por año, por lo que el número n de pruebas nunca llega a ser grande. Para el asegurado, el juego no es necesariamente “inofensivo”, aunque puede resultar bastante rentable económicamente. La ley de los grandes números no tiene nada que ver con eso. En cuanto a la compañía de seguros, se ocupa de una gran cantidad de juegos, pero debido a la gran variación, todavía aparecen fluctuaciones aleatorias. Las primas de seguro deben fijarse para evitar grandes pérdidas en determinados años y, por tanto, la empresa está más interesada en el problema de la ruina que en la ley de los grandes números.

Cuando la varianza es infinita, el término juego "inofensivo" deja de tener sentido; no hay razón para creer que la ganancia neta total S n - n fluctúe alrededor de cero. En realidad. Hay ejemplos de juegos “inofensivos” en los que la probabilidad de que el jugador sufra una pérdida neta como resultado tiende a uno. La ley de los grandes números sólo establece que esta pérdida será de menor orden que n. Sin embargo, no se puede afirmar nada más. Si n forma una secuencia arbitraria y n /n0, entonces es posible organizar un juego “inofensivo” en el que la probabilidad de que la pérdida neta total como resultado de n repeticiones del juego exceda a n tienda a uno.

La ley de los grandes números es ley central teoría de la probabilidad debido a que formula una conexión fundamental entre regularidad y aleatoriedad. En concreto, sostiene que un gran número de accidentes genera un patrón que permite predecir el curso de los acontecimientos. En su forma más general se expresa teorema de chebyshev:

Dejar ( Χ1; X2; … X norte ; ...) variables aleatorias independientes (se supone que son número infinito). Y dejemos que sus varianzas estén uniformemente acotadas (es decir, las varianzas de todas estas variables aleatorias no exceden una constante CON):

Entonces, no importa cuán pequeño sea el número positivo, se satisface la relación de probabilidad límite:

si el número de variables aleatorias es lo suficientemente grande. O, lo que es lo mismo, probabilidad

Así, el teorema de Chebyshev establece que si consideramos un número suficientemente grande norte variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … X norte), entonces el evento puede considerarse casi confiable (con una probabilidad cercana a la unidad) de que la desviación de la media aritmética de estas variables aleatorias de la media aritmética de sus expectativas matemáticas será de acuerdo con valor absoluto tan pequeño como quieras.

Prueba. Χ1; X2; … X norte):

(4)

; (5)

Teniendo en cuenta las condiciones (1), establecemos que

(6)

Por tanto, cuando la varianza es . Es decir, cuando la dispersión de los valores de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática disminuye sin límite. Y esto significa que cuando el valor, es decir, . O, para ser más precisos, la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe al menos de alguna manera de su expectativa matemática (una constante) tiende a cero. Es decir, para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño

Entonces, según el probado teorema de Chebyshev, la media aritmética gran número variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … X norte), al ser una variable aleatoria, en realidad pierde el carácter de aleatoriedad y se convierte, de hecho, en una constante inmutable. Esta constante es igual a la media aritmética de las expectativas matemáticas de los valores ( Χ1; X2; … X norte). Esta es la ley de los grandes números.

Se puede dar otra prueba del teorema de Chebyshev. Para ello utilizamos la desigualdad de Chebyshev. Es válido tanto para variables aleatorias discretas como continuas y tiene valor en sí mismo. La desigualdad de Chebyshev nos permite estimar la probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática no exceda en valor absoluto. numero positivo. Presentemos una prueba de la desigualdad de Chebyshev para variables aleatorias discretas.

La desigualdad de Chebyshev: La probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria X de su expectativa matemática en valor absoluto es menor que un número positivo, no menor que:

.

Prueba: Desde eventos que consisten en la implementación de desigualdades. Y , son opuestos, entonces la suma de sus probabilidades es igual a 1, es decir . De ahí la probabilidad que nos interesa. (*)

Lo encontraremos . Para esto encontremos la varianza variable aleatoria X.

Todos los términos de esta suma no son negativos. Descartemos aquellos términos para los cuales (para los términos restantes ), por lo que el importe sólo puede disminuir. Aceptemos asumir, para mayor certeza, que el k primeros términos (asumiremos que en la tabla de distribución valores posibles numerados en ese orden). De este modo,

Dado que ambos lados de la desigualdad son positivas, por lo tanto al elevarlas al cuadrado obtenemos la desigualdad equivalente . Usemos esta observación, reemplazando cada uno de los factores en la suma restante. número (en este caso la desigualdad solo puede aumentar), obtenemos. (**)

Según el teorema de la suma, la suma de las probabilidades es la probabilidad de que X tomará uno, sin importar cuál, de los valores , y para cualquiera de ellos la desviación satisface la desigualdad . De ello se deduce que la suma expresa la probabilidad . Esto nos permite reescribir la desigualdad (**) de la siguiente manera: . (***).

sustituyamos (***) V (*) y obtenemos , que era lo que había que demostrar.

Prueba del teorema 2 de Chebyshev:

Introduzcamos una nueva variable aleatoria en consideración: la media aritmética de variables aleatorias ( Χ1; X2; … X norte):

Utilizando las propiedades de expectativa matemática y dispersión, obtenemos:

; . (*)

Aplicando la desigualdad de Chebyshev a la cantidad, tenemos.

Considerando la relación (*),

Por condición, significa . (***) Sustituyendo lado derecho(***) en desigualdad (**) tenemos

De aquí, pasando al límite en , obtenemos

Como la probabilidad no puede exceder uno, finalmente obtenemos:

Que es lo que necesitábamos demostrar.

Detengámonos en un caso particular importante del teorema de Chebyshev. Es decir, considere el caso en el que variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … X norte) tener mismas leyes distribuciones y, por tanto, idénticas. características numéricas:

(8)

Entonces para la variable aleatoria , según (5), tenemos:

(9)

La relación de probabilidad límite (7) en este caso tomará la forma:

(10)

La conclusión que sigue de (10) es gran importancia para combatir errores aleatorios al realizar varios tipos de mediciones.

Digamos, por ejemplo, que necesita medir una determinada cantidad. A. Produciremos no uno, sino varios ( norte) mediciones repetidas independientes del valor de esta cantidad. Cualquier medición es inherente a un error aleatorio asociado con la imperfección del dispositivo de medición, todo tipo de interferencias aleatorias en la medición, etc. Por lo tanto los resultados ( Χ1; X2; … X norte) mediciones secuenciales individuales del valor deseado A, en términos generales, no se darán: serán variables aleatorias. Además, con cantidades que tienen distribuciones idénticas, porque las mediciones se realizan repetidamente, es decir, a constante Condiciones externas. Luego, para la cantidad, la media aritmética de los resultados de todos. norte mediciones - se cumplirá la relación de probabilidad límite (10). Esto significa que esta media aritmética pierde el carácter de aleatoriedad, convirtiéndose en A – significado verdadero cantidad medida. Esto, por cierto, se evidencia en las fórmulas (9), según las cuales:

(11)

Es decir, habiendo realizado un número suficientemente grande de mediciones repetidas de la cantidad deseada A, en cada uno de los cuales es posible un error de medición aleatorio, y luego encontrar el promedio resultados aritméticos Para estas medidas utilizamos la fórmula

A(12)

podemos obtener el valor y prácticamente sin errores aleatorios.

Esta conclusión es consecuencia de la ley de los grandes números. EN en este caso esta ley se manifiesta en el hecho de que al resumir los resultados de la medición en (4) errores aleatorios Las dimensiones individuales, que en principio aparecen con la misma frecuencia con un signo más y un signo menos, generalmente se anulan entre sí. Y el error restante aún se dividirá en PAG, es decir, disminuirá aún más en PAG una vez. Así que cuando valores grandes norte el valor será casi exactamente igual al valor medido A. Naturalmente, esta conclusión se utiliza ampliamente en la práctica.

Nota. En magnitud se anulan entre sí sólo errores aleatorios mediciones, es decir, errores asociados a la acción de factores aleatorios (interferencia). Pero los errores sistemáticos (permanentes), es decir, los errores inherentes a cada medición, naturalmente permanecen en . Por ejemplo, una flecha derribada (no ajustada) en un dispositivo provoca un error constante (sistemático) en cada medición y, por tanto, lo provoca en la media aritmética de los resultados de estas mediciones. Los errores sistemáticos deben eliminarse incluso antes de realizar las mediciones y no deben permitirse durante el proceso de medición.

Entonces, si α es el valor de división del dispositivo de medición, entonces todas las mediciones repetidas se realizan con una precisión de α. Pero entonces, naturalmente, la media aritmética de los resultados de todas las mediciones solo puede indicarse con una precisión de α, es decir, con una precisión determinada por la precisión del dispositivo.

Por lo tanto, no se debe pensar que, habiendo realizado un número suficientemente grande de mediciones repetidas de la cantidad A y luego encontrando la media aritmética de los resultados de estas mediciones, obtenemos exacto significado A. Lo obtendremos sólo dentro de la precisión del dispositivo de medición. Y aun así, si excluimos error sistematico mediciones.

Aquí hay otro importante. caso especial ley de los grandes números. Dejar x=k– el número de ocurrencias de algún evento A V PAG pruebas repetidas ( X- valor aleatorio). Y deja y – probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia de un evento A en una sola prueba. Considere una variable aleatoria: la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento A V PAG pruebas. Presentemos también norte variables aleatorias ( X 1, X 2, …X n), que representan el número de ocurrencias del evento. A en el primero, segundo,... PAG-ésimas pruebas. Entonces k = X 1 + X 2 +…+ X p y ocurrencia de un evento A prácticamente coincide con la probabilidad de que ocurra el evento A en una sola prueba. Esta conclusión se basa en encontrar las probabilidades de muchos eventos aleatorios, cuyas probabilidades no se pueden encontrar de otra manera (teóricamente).

Por ejemplo, supongamos que la prueba sea lanzar una moneda deformada (asimétrica) y el evento A Para este desafío, es una caída de cresta. probabilidad de evento A Por fórmula clásica o de alguna otra manera formula teorica es difícil de encontrar, porque dicha fórmula debe reflejar de alguna manera las características de la deformación de la moneda. Por tanto, el verdadero camino que conduce a la meta es uno: lanzar la moneda repetidamente (cuanto mayor sea el número de lanzamientos norte, mejor) y determinar empíricamente la frecuencia relativa de aparición del escudo de armas. Si norte es grande, entonces, de acuerdo con la ley de los números grandes, se puede afirmar con alta probabilidad que .

La ley de los grandes números se manifiesta en muchos fenómenos naturales y sociales.

Ejemplo 1. Como es sabido, el gas colocado en un recipiente cerrado ejerce presión sobre las paredes del recipiente. Según las leyes del estado gaseoso, a temperatura constante del gas, esta presión es constante. La presión del gas es causada por impactos caóticos de moléculas individuales contra las paredes del recipiente. Las velocidades y direcciones de movimiento de todas las moléculas son diferentes, por lo tanto, las fuerzas de impacto de diferentes moléculas en las paredes del recipiente también son diferentes. Sin embargo, la presión del gas en las paredes del recipiente no está determinada por la fuerza de impacto de las moléculas individuales, sino por su promedio por la fuerza. Pero ella es como la promedio. numero enorme a pesar de todo fuerzas activas, según la ley de los grandes números, se mantendrá prácticamente sin cambios. Por tanto, la presión del gas en las paredes del recipiente permanece prácticamente sin cambios.

Ejemplo 2. Una compañía de seguros que se ocupa, por ejemplo, de seguros de automóviles, paga diferentes importes de seguro para diferentes eventos asegurados (accidentes de tráfico y accidentes de tráfico). Sin embargo, el valor promedio de este monto de seguro, como el promedio de muchos diferentes norte Los importes de los seguros independientes, según la ley de los grandes números, se mantendrán prácticamente sin cambios. Puede determinarse examinando las estadísticas reales de reclamaciones de seguros. Para que una compañía de seguros evite pérdidas, la prima de seguro promedio cobrada a sus clientes debe ser mayor que la prima promedio pagada por la compañía a sus clientes. Pero esta prima no debería ser demasiado alta para que la empresa sea competitiva (para competir en atractivo con otras compañías de seguros).

Al principio del curso ya hablamos de que leyes matemáticas Las teorías de probabilidad se obtienen abstrayendo patrones estadísticos reales inherentes a fenómenos aleatorios masivos. La presencia de estos patrones está asociada precisamente con la naturaleza masiva de los fenómenos, es decir, con un gran número de experimentos homogéneos realizados o con un gran número de influencias aleatorias acumulativas, que en su totalidad generan una variable aleatoria que está sujeta a una ley bien definida. Propiedad de estabilidad de masa fenómenos aleatorios conocido por la humanidad desde la antigüedad. Cualquiera que sea el ámbito en el que se manifieste, su esencia se reduce a lo siguiente: características específicas cada fenómeno aleatorio individual casi no tiene efecto sobre el resultado promedio de masas y fenómenos similares; las desviaciones aleatorias del promedio, inevitables en cada fenómeno individual, se anulan mutuamente, se nivelan, se nivelan en la masa. Es esta estabilidad de los promedios la que representa el contenido físico de la "ley de los grandes números", entendida en el sentido amplio de la palabra: con un número muy grande de fenómenos aleatorios, su resultado promedio prácticamente deja de ser aleatorio y puede predecirse. con un alto grado de certeza.

EN en el sentido estricto la palabra "ley de los grandes números" en la teoría de la probabilidad significa una serie teoremas matemáticos, en cada uno de los cuales, para determinadas condiciones, se establece el hecho de que las características medias de un gran número de experimentos se acercan a determinadas constantes.

En 2.3 ya formulamos el más simple de estos teoremas: el teorema de J. Bernoulli. Ella afirma que con una gran cantidad de experimentos, la frecuencia de un evento se acerca (más precisamente, converge en probabilidad) a la probabilidad de este evento. Con otros, más formas generales Introduciremos la ley de los grandes números en este capítulo. Todos ellos establecen el hecho y las condiciones de convergencia en la probabilidad de determinadas variables aleatorias a variables constantes y no aleatorias.

La ley de los grandes números juega un papel importante en aplicaciones prácticas teoría de probabilidad. La propiedad de las variables aleatorias, bajo ciertas condiciones, de comportarse prácticamente como no aleatorias permite operar con confianza con estas cantidades y predecir los resultados de fenómenos aleatorios masivos con casi total certeza.

Las posibilidades de tales predicciones en el campo de los fenómenos aleatorios masivos se amplían aún más con la presencia de otro grupo de teoremas límite, que no se refieren a los valores límite de variables aleatorias, sino a las leyes límite de distribución. Se trata de sobre un grupo de teoremas conocido como "teorema del límite central". Ya hemos dicho que al sumar un número suficientemente grande de variables aleatorias, la ley de distribución de la suma se acerca indefinidamente a la normal, sujeto a ciertas condiciones. Estas condiciones, que pueden formularse matemáticamente de diversas maneras (en una forma más o menos general), se reducen esencialmente al requisito de que la influencia sobre la suma de los términos individuales sea uniformemente pequeña, es decir, que la suma no incluya miembros que dominan claramente sobre la totalidad el resto según su influencia en la dispersión del importe. Las diversas formas del teorema del límite central difieren entre sí en las condiciones para las cuales se establece esta propiedad limitante de la suma de variables aleatorias.

Varias formas de la ley de los grandes números junto con diversas formas El teorema del límite central forma un conjunto de los llamados teoremas de límite de la teoría de la probabilidad. Los teoremas de límites permiten no sólo hacer pronósticos científicos en el campo de los fenómenos aleatorios, sino también evaluar la precisión de estos pronósticos.

En este capítulo consideraremos sólo algunos de los más formas simples teoremas de límite. Primero, consideraremos los teoremas relacionados con el grupo de la “ley de los grandes números”, luego los teoremas relacionados con el grupo del “teorema del límite central”.

La "ley de los grandes números" en la teoría de la probabilidad se entiende como una serie de teoremas matemáticos, cada uno de los cuales, bajo ciertas condiciones, establece el hecho de que las características promedio de un gran número de experimentos se aproximan a ciertas constantes.

Se basa en la desigualdad de Chebyshev:

La probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria X de su expectativa matemática en valor absoluto sea menor que un número positivo ε no es menor que:

Válido para r.v. discreto y continuo.

53. Teorema de Chebyshev.

Sea una secuencia infinita de variables aleatorias independientes. con la misma expectativa matemática y varianzas limitadas por la misma constante C:

Entonces, cualquiera que sea el número positivo, la probabilidad del evento tiende a uno.

54. Teorema de Bernoulli.

Sea n producido pruebas independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a p.

55. El concepto del teorema del límite central de Lyapunov.

La distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias independientes en condiciones muy generales se aproxima a la distribución normal.

Se sabe que las variables aleatorias normalmente distribuidas están ampliamente distribuidas en la práctica. La explicación de esto la dio A.M. Lyapunov en el teorema del límite central: si una variable aleatoria es la suma de un número muy grande de variables aleatorias mutuamente independientes, la influencia de cada una de las cuales sobre la suma total es insignificante, entonces tiene una distribución cercana a la normal.

56. Población general y muestra: definiciones y conceptos básicos.

La estadística matemática es una ciencia que se ocupa del desarrollo de métodos para obtener, describir y procesar datos experimentales con el fin de estudiar los patrones de fenómenos de masas aleatorios.

Problemas de estadística matemática:

Estimación de una función de distribución desconocida basada en los resultados de la medición.

Calificación parámetros desconocidos distribuciones.

Pruebas de hipótesis estáticas.

Estudiemos alguna característica cuantitativa x.

Luego bajo población general se comprende el conjunto de todos sus posibles significados.

Para estudiar propiedades de esta característica De la población general, una parte de los elementos se selecciona aleatoriamente mediante variantes Xi, que forman una población muestral o muestra.

El número de elementos de una colección se llama objeto n.

Muestreo: 1) muestreo repetido, en el que el objeto seleccionado (antes de seleccionar el siguiente) se devuelve a la población general.

2) muestreo sin repetición, en el que el objeto seleccionado se devuelve a la población general.

Para poder utilizar los datos muestrales para juzgar con suficiente confianza sobre la característica de la población general que nos interesa, es necesario que la muestra sea representativa)

En virtud de la ley de los grandes números, se puede argumentar que una muestra será representativa si se realiza de forma aleatoria: cada objeto de la población debe tener la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Si el objeto de la población es lo suficientemente grande y la muestra constituye sólo una pequeña parte de esta población, entonces se borra la distinción entre muestras repetidas y no repetitivas.

Una lista de opciones dispuestas en orden ascendente se denomina serie de variación.

El número de observaciones de una opción dada se llama frecuencia ni, y la relación entre la frecuencia ni y el objeto de muestra es la frecuencia n-relativa wi.

La teoría de la probabilidad estudia los patrones inherentes a los fenómenos aleatorios masivos. Como cualquier otra ciencia, la teoría de la probabilidad tiene como objetivo predecir el resultado de un fenómeno o experimento en particular con la mayor precisión posible. Si el fenómeno es de naturaleza aislada, entonces la teoría de la probabilidad sólo puede predecir la probabilidad del resultado dentro de límites muy amplios. Las regularidades aparecen sólo con una gran cantidad de fenómenos aleatorios que ocurren en condiciones homogéneas.

En nombre común teoremas límite de la teoría de la probabilidad.

Hay dos tipos de teoremas de límite: la ley de los grandes números y el teorema de límite central.

Ley de los grandes números ocupado el lugar mas importante en la teoría de la probabilidad, es el vínculo entre la teoría de la probabilidad como ciencia matemática y patrones de fenómenos aleatorios durante observaciones masivas de ellos.

La ley juega muy papel importante en aplicaciones prácticas de la teoría de la probabilidad a los fenómenos naturales y procesos tecnicos asociado a la producción en masa.

Las leyes límite de distribución forman el tema de un grupo de teoremas: forma cuantitativa ley de los grandes números. Aquellos. la ley de los grandes números es una serie de teoremas, cada uno de los cuales establece el hecho de que las características promedio de un gran número de pruebas se acercan a ciertas constantes, es decir, Establecer el hecho de la convergencia en la probabilidad de algunas variables aleatorias a constantes. Estos son los teoremas de Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev.

1. A) Teorema de Bernoulli – ley de los grandes números ( fue formulado y demostrado anteriormente en el párrafo 3 del § 6 al considerar el teorema de la integral límite de Moivre-Laplace.)

Con un aumento ilimitado en el número de experimentos independientes homogéneos, la frecuencia de un evento diferirá tan poco como se desee de la probabilidad de un evento en un experimento separado. De lo contrario, la probabilidad de que la desviación Frecuencia relativa ocurrencia de un evento A de probabilidad constante R eventos A muy poco cuando tiende a 1 para cualquiera: .

b) Teorema de Chebyshev.

Con un aumento ilimitado en el número de pruebas independientes, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria con varianza finita converge en probabilidad a su expectativa matemática; de lo contrario, si variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con expectativa matemática y dispersión limitada, entonces para cualquiera se cumple lo siguiente: .

Teorema de Chebyshev (generalizado). Si las variables aleatorias en la secuencia son independientes por pares y sus varianzas satisfacen la condición , entonces para cualquier ε > 0 positivo la siguiente afirmación es verdadera:

o lo que es lo mismo .

c) Teorema de Markov. (ley de grandes números en formulación general)

Si las varianzas de variables aleatorias arbitrarias en la secuencia satisfacen la condición: , entonces para cualquier ε > 0 positivo se cumple el enunciado del teorema de Chebyshev: .

d) Teorema de Poisson.

Con un aumento ilimitado en el número de experimentos independientes en condiciones variables frecuencia de eventos A converge en probabilidad a la media aritmética de sus probabilidades para pruebas dadas.

Comentario. En ninguna de las formas de la ley de los grandes números nos ocupamos de las leyes de distribución de variables aleatorias. Pregunta relacionada con el hallazgo ley limite La distribución de la suma cuando el número de términos aumenta indefinidamente se considera mediante el teorema del límite central. distribuidos idénticamente, entonces llegamos a teorema integral De Moivre-Laplace (Sección 3 del § 6), que es el caso especial más simple del teorema del límite central.