El trabajo del profesor sobre el teorema consta de varias etapas. Resaltamos la principal de estas etapas: 1) actualización de conocimientos, motivación para estudiar el teorema; 2) formulación del teorema y asimilación de su contenido; 3) prueba del teorema; 4) consolidación y aplicación del teorema
Tenga en cuenta que en cada caso concreto el propio profesor decide qué etapas utilizar, en qué medida y de cuáles se puede prescindir. Depende de las características de la clase, la experiencia previa del profesor, la complejidad del teorema de percepción, etc.
Etapa 1 – actualización de conocimientos(repetición básica) y motivación para estudiar el teorema.
Tecnología para organizar la repetición de referencias: profesor.
– divide la prueba en el número máximo de pasos;
– identifica todos los hechos matemáticos en los que se basa la prueba;
– analiza si todos ellos son conocidos por los estudiantes y en qué medida;
– organiza la repetición básica en forma de una conversación, un examen frontal, un sistema de tareas preparatorias (la mayoría de las veces “sobre dibujos ya hechos”, ver más abajo).
El profesor suele asociar la motivación para estudiar un teorema con la solución. problema practico, en el que el hecho reflejado en el teorema es necesario (ver ejemplo en la p. 30).
Etapa 2: presentar la formulación del teorema y dominar su contenido.
Describamos dos formas principales de introducir la formulación del teorema.
1er método. El propio profesor formula el teorema con o sin motivación previa.
No hay necesidad de apresurarse con la formulación. Sólo si es sencillo e inteligible se puede empezar con la redacción. Si la formulación no es simple, entonces el maestro primero dibuja una figura, averigua y escribe en la pizarra la condición, la conclusión del teorema, y solo después lo formula por completo.
Las ventajas del método son brevedad, claridad y ahorro de tiempo; desventaja: el formalismo y el dogmatismo son posibles.
2do método. Los estudiantes están preparados para formular el teorema de forma independiente.
En planimetría se suelen utilizar para este fin ejercicios para construir y medir figuras correspondientes.
Ejemplo. Para que los estudiantes descubran de forma independiente el teorema sobre las cuerdas de un círculo, el profesor sugiere siguientes preguntas y tareas:
– Dibuja dos cuerdas desiguales en un círculo.
– Establecer a ojo cuál está más cerca del centro.
– Formule su conclusión.
Las ventajas del método son el desarrollo de las habilidades creativas de los estudiantes, el aumento del interés por el estudio de la geometría; Desventajas: mucho tiempo, posible dispersión de la atención en detalles sin importancia.
Una vez formulado el teorema, trabajamos en la aclaración: especificamos la terminología, resaltamos la condición y la conclusión del teorema. Al mismo tiempo se realiza un breve registro de los datos y de lo que se desea acreditar; Se está construyendo el dibujo.
Requisitos de dibujo:
– debe representarse en general, no caso especial;
– las dimensiones del dibujo deben ser óptimas;
– los datos y los buscados se resaltan en color en el dibujo, se utilizan marcas y símbolos especiales para su designación.
Etapa 3 – demostración del teorema.
Anteriormente (ver 3.2) caracterizamos los conceptos básicos lógicos y métodos matemáticos demostraciones de teoremas.
El libro de texto determina en gran medida la elección del método de prueba: lógico (directo o indirecto, analítico, sintético o método por contradicción) y matemático (método de transformaciones geométricas o método de igualdad o semejanza de triángulos).
El profesor debe tener un buen conocimiento de la estructura de todos los tipos de prueba y ser capaz de traducir una prueba sintética a analítico y viceversa; elegir conscientemente una forma analítica o sintética de razonamiento en la lección (dependiendo de la edad y nivel de formación de los estudiantes, perfil de la clase, posible gasto de tiempo, etc.).
Los estudiantes deben comprender que el proceso de demostración consiste en construir una cadena consistente de razonamiento, justificada utilizando hechos matemáticos ya conocidos. La conclusión es su último eslabón.
Como sabemos, cada paso de esta cadena es un silogismo. En la escuela no existe la posibilidad, ni siquiera la necesidad, de introducir los términos “silogismo”, “premisa mayor”, “premisa menor”. Normalmente, al enseñar geometría en la escuela básica, se utilizan los términos "paso", "etapa": en cada paso de la demostración se indica una afirmación y su justificación.
Al principio, para comprender la estructura de la prueba, una vez encontrada, es útil diseñarla en forma de dos columnas, en una de las cuales hay declaraciones y en la otra, justificación.
Ejemplo. Signo de líneas paralelas.
Teorema: Si cuando dos rectas se cortan con una transversal, los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
La mayor dificultad es dominar la lógica de la prueba. Aquí pueden resultar de gran ayuda tarjetas especiales que se pueden utilizar como trabajo independiente. tarea, tareas para entrevistas individuales, etc. 1
La técnica para realizarlas es sencilla: al omitir algunos puntos en las columnas “declaración” y “justificación”, obtenemos una de las opciones para una tarjeta individual, que se puede utilizar como una hoja con base impresa(El alumno completa los fragmentos faltantes de la prueba).
Método de uso de las tarjetas: se emite una tarjeta y se solicita que la completen Asientos vacíos; A diferentes grupos de estudiantes se les ofrecen tarjetas con diferente contenido de texto, individualizando así la enseñanza de las matemáticas.
Para preparar a los estudiantes para estudiar la prueba muchos profesores usan teoremas método de elaboración de un plan de evidencia. Generalmente hay dos etapas.
1 enfoque. Dado plan listo Para demostrar un nuevo teorema, se pide a los estudiantes que lo demuestren ellos mismos utilizando un plan.
Ejemplo. Al teorema “Si en un cuadrilátero lados opuestos son iguales por pares, entonces es un paralelogramo”, se propone el siguiente plan:
1. Dibuja una diagonal
2. Demuestra la igualdad de los triángulos resultantes.
3. Demostrar el paralelismo de los lados opuestos de un cuadrilátero.
4. Saque una conclusión.
El plan se muestra a la clase, por ejemplo, en una pantalla utilizando una pizarra interactiva, un proyector multimedia o un retroproyector. como esto nuevo uniforme Los estudiantes perciben las tareas con un interés excepcional. Tan pronto como el plan aparece en la pantalla, se callan, piensan. Muchas personas expresan entonces el deseo de responder. ¿Cómo podemos explicar este mayor interés?
Primero, el plan divide la demostración de un teorema en una serie de pasos simples y elementales que los estudiantes ya pueden seguir. Si aún no han aprendido cómo implementarlos, entonces no tiene sentido darles un plan.
En segundo lugar, los estudiantes sienten que con la ayuda del plan podrán demostrar nuevo teorema. No escuches ni memorices, pruébalo tú mismo. Esto realmente les atrae.
En tercer lugar, el plan le permite cubrir toda la prueba en su conjunto y lograr una comprensión completa. En consecuencia, el impacto negativo se debilita cuando la mentalidad de memorización dificulta la comprensión. Esto genera confianza y aumenta el deseo de trabajar.
2do enfoque. A los estudiantes se les enseña Elaborar un plan para un teorema ya probado. Primero este trabajo se realiza de forma colectiva y luego de forma independiente. Además, aquí el profesor tiene que mostrar repetidamente ejemplos de elaboración de un plan. Los estudiantes perciben libremente. plan listo, pero no desarrollan inmediatamente las habilidades para elaborar un plan. Se obtienen muy buenos resultados en los casos en que se da uno para demostrar varios teoremas. plan General. Estos teoremas, unidos por una idea común, se aprenden de forma especialmente productiva.
Como ya hemos dicho, los libros de texto de planimetría presentan breves demostraciones sintéticas de teoremas. El docente debe enseñar sistemáticamente a los estudiantes:
1) construir pruebas a partir de pasos;
2) convertir pruebas de libros abreviadas en cadenas detalladas de pasos que indiquen justificaciones;
3) elaborar registros completos de la demostración de teoremas individuales.
Pongamos un ejemplo de una demostración completa del teorema paso a paso.
Ejemplo. Una prueba completa de la prueba de paralelismo para líneas (la formulación y el resumen de la prueba se encuentran en la página anterior).
Dejar en la intersección de líneas. A Y V secante Con tenemos ángulos, por ejemplo, 2 y 3 – verticales, 1 y 3 – transversales.
1. Desde 3 y 2 – ángulos verticales, entonces 3 = 2 (los ángulos verticales son iguales).
2. Dado que 1 = 2 y 3 = 2, entonces 1 = 3 (si los lados derechos en igualdades verdaderas son iguales, entonces sus lados izquierdos son iguales).
3. Dado que 1 y 3 son ángulos transversales en la intersección de líneas A Y V secante Con y 1 = 3, entonces A V(si cuando dos rectas se cruzan con una transversal, los ángulos de inclinación son iguales, entonces las rectas son paralelas).
El teorema está demostrado .
En el proceso de demostración, es necesario utilizar plenamente las condiciones del teorema. Una de las formas es discutir en qué etapas y cómo se aplica tal o cual parte de la condición, y si todas ellas se utilizan en la prueba.
Para asegurar la asimilación de la evidencia, se utiliza ampliamente. aceptación de doble prueba: primero solo se discute la idea, el plan; la prueba se presenta en fragmentos. Después de esto, se presenta la prueba completa, con todas las sutilezas y matices.
En el experimento de V.F. Shatalov utiliza la repetición supermúltiple de la prueba, a menudo al nivel de una idea o plan.
Etapa 4 – consolidación y aplicación del teorema
La etapa de consolidación del teorema implica trabajar para identificar si se comprende la esencia del teorema en sí, la idea, el método de demostración y sus pasos individuales. Las técnicas de fijación pueden ser las siguientes:
– en el proceso de conversación con los estudiantes, resaltar una vez más la idea principal, el método y los pasos de prueba;
– ofrecerse a explicar los pasos individuales de la prueba;
– enumerar todos los axiomas, teoremas y definiciones que se utilizan en la demostración;
– averiguar dónde se utiliza tal o cual condición, si se utilizaron todas;
– ¿Existen otras formas de prueba?
– al realizar la fijación, es útil variar las designaciones en el dibujo, así como el dibujo en sí, etc.
La aplicación del teorema se organiza en el proceso de resolución de problemas en los que se utiliza. Hay que tener en cuenta que el libro de texto no siempre ofrece un sistema de problemas para aplicar un teorema específico, más a menudo se dan problemas individuales; profesor experimentado puede complementar. Los teoremas también se utilizan para demostrar otros teoremas en el curso posterior de planimetría y estereometría.
Tema 13. Teoremas y demostraciones.
En este tema se familiarizará con rasgo distintivo Las matemáticas, en comparación con la física y otras ciencias, reconocen sólo aquellas verdades o leyes que han sido probadas. En este sentido, se analizará el concepto de teorema y se considerarán algunos tipos de teoremas y métodos para demostrarlos.
13-09-03. Característica distintiva de las matemáticas.
Teoría
1.1. Si comparamos las matemáticas y la física, ambas ciencias utilizan tanto observaciones como evidencia. Junto con física experimental existe física teórica, en el que algunos enunciados, como los teoremas en matemáticas, se prueban sobre la base de leyes físicas deduciendo secuencialmente unas proposiciones a partir de otras. Sin embargo leyes fisicas Se reconocen como verdaderas sólo cuando se confirman. un número grande experimentos. Estas leyes pueden perfeccionarse con el tiempo.
Las matemáticas también utilizan observaciones.
Ejemplo 1: Observar que
podemos suponer que la suma de los primeros mil impares números naturales es igual a 1000000.
Esta afirmación se puede verificar cálculos directos, habiendo gastado gran cantidad tiempo.
También podemos hacer la suposición general de que para cualquier número natural la suma de los números impares iniciales es igual a . Esta afirmación no puede verificarse mediante cálculos directos, porque el conjunto de todos los números naturales es infinito. Sin embargo, la suposición hecha es correcta porque puede demostrarse.
Ejemplo 2. Podemos medir los ángulos de muchos triángulos..gif" height="20">, es cierto si tomamos como axioma el quinto postulado de Euclides. probado en el 7mo grado.
Ejemplo 3. Sustituyendo en un polinomio
en lugar de números naturales del 1 al 10, obtenemos números primos 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Se puede suponer que para cualquier valor natural trinomio cuadrático es un número primo. La verificación mostró que esto es cierto para cualquier número natural del 1 al 39. Sin embargo, la suposición es incorrecta, ya que el resultado es un número compuesto:
El uso de la prueba en lugar de la observación para establecer la verdad de los teoremas es el sello distintivo de las matemáticas.
Se considera una conclusión extraída de incluso numerosas observaciones. ley matemática sólo cuando probado.
1.2. Limitémonos al concepto intuitivo de prueba como la derivación secuencial de unos juicios de otros, sin realizar un análisis preciso del concepto de inferencia o inferencia. Analicemos el concepto de teorema con más detalle.
Se suele denominar teorema a un enunciado cuya verdad se establece mediante prueba. El concepto de teorema se desarrolló y se perfeccionó junto con el concepto de prueba.
EN sentido clásico Un teorema es un enunciado que se demuestra derivando ciertas proposiciones de otras. En este caso, se deben seleccionar algunos. leyes iniciales o axiomas, que se aceptan sin prueba.
El sistema de axiomas en geometría fue construido por primera vez por el antiguo matemático griego Euclides en su famosa obra Elementos. Siguiendo los axiomas de los Elementos de Euclides, teoremas y problemas para construir bajo nombre común ofertas. Los teoremas están ordenados en estricta secuencia.
Primero se enuncia cada teorema, luego se establece lo que se da y lo que hay que demostrar. Luego se presenta la prueba con todas las referencias a proposiciones y axiomas previamente probados. A veces la prueba termina con las palabras que era necesario probar. Traducido a todo lenguas europeas Los Elementos de Euclides, que incluían 13 libros, siguieron siendo hasta el siglo XVIII el único libro de texto utilizado para estudiar geometría en escuelas y universidades.
1.3. Para que sea más fácil identificar lo que está dado y lo que necesita ser demostrado, los teoremas se formulan en la forma si..., entonces.... La primera parte de la formulación del teorema entre si y entonces se llama condición teorema, y la segunda parte, que se escribe después de eso, se llama conclusión teoremas.
Las condiciones del teorema contienen una descripción de lo que se da y la conclusión contiene lo que debe demostrarse.
A veces esta forma de teorema se llama forma lógica teoremas, y se abrevia como la forma si-entonces.
Ejemplo 4. Considere el siguiente teorema.
Si es un número natural par, entonces es un número impar.
En este teorema, la condición es que cualquier número par..gif" ancho="32 alto=19" alto="19"> impar.
A menudo, la condición y la conclusión se escriben utilizando palabras diferentes.
Ejemplo 5. El teorema del ejemplo 1 se puede escribir de la siguiente forma:
Sea un número natural par. Entonces es un número impar.
En este caso, en lugar de la palabra si usan la palabra dejar, y en lugar de la palabra entonces escriben la palabra entonces.
Ejemplo 6. El teorema del Ejemplo 1 también se puede escribir de la siguiente forma:
Del hecho de que el número natural es par, se deduce que el número .gif" width="13" height="15"> implica que el número es impar.
En este caso, se omite la palabra si y en lugar de la palabra entonces se utiliza la palabra implica.
A veces se utilizan otros tipos de notación de teoremas.
1.4. En algunos casos, las condiciones del teorema no están escritas en su formulación. Esto sucede cuando del texto se desprende claramente qué forma puede adoptar esta condición.
Ejemplo 8. Conoces el teorema: las medianas de un triángulo se cortan en un punto.
EN forma lógica este teorema se puede escribir de la siguiente manera:
Si dibujas todas las medianas en cualquier triángulo, estas medianas se cruzarán en un punto.
Ejemplo 9. El teorema sobre el infinito del conjunto de números primos se puede escribir como:
Si es el conjunto de todos los números primos, entonces es infinito.
Para establecer conexiones entre teoremas en matemáticas, utilizan lenguaje especial, que se discutirá parcialmente en los párrafos siguientes de este capítulo.
Preguntas de control
1. ¿Qué ejemplos de observaciones en matemáticas conoces?
2. ¿Qué axiomas de geometría conoces?
3. ¿Qué notación del teorema se llama forma lógica del teorema?
4. ¿Cuál es la condición del teorema?
5. ¿Cómo se llama la conclusión del teorema?
6. ¿Qué formas de escribir teoremas conoces?
Tareas y ejercicios.
1. ¿Qué suposiciones puedes hacer al observar:
a) el producto de dos números naturales adyacentes;
b) la suma de dos números naturales adyacentes;
c) la suma de tres números naturales consecutivos;
d) la suma de tres números impares;
d) últimos dígitos V notación decimal números .gif" ancho="13 alto=15" alto="15">;
f) el número de partes en las que divide el plano varias rectas que pasan por un punto;
g) el número de partes en que se divide el plano por varias rectas, de las cuales las rectas son paralelas por pares y se cortan .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > números de la forma , donde es un número natural;
d) la suma de dos números irracionales?
3. ¿Qué suposición puedes hacer al observar los centros de círculos circunscritos alrededor de triángulos obtusos?
4. Escribe el teorema en forma lógica:
a) cantidad esquinas internas convexo https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) cualesquiera dos rectangulares triángulo isósceles similar;
c) la igualdad es válida para cualquier número entero y ;
d) la altura de un triángulo isósceles trazado hasta su base biseca el ángulo en el vértice de este triángulo;
d) para cualquier números no negativos y se satisface la desigualdad;
e) la suma de dos esquinas opuestas un cuadrilátero inscrito en un círculo es 180;
g) el número no es un número racional;
h) todos los números primos mayores que 10 son impares;
i) las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectarias en el punto de intersección;
j) de todos los cuadriláteros inscritos en círculo dado, la plaza tiene la mayor superficie;
k) existe un número primo par;
l) ningún número primo puede representarse como la suma de dos números naturales impares diferentes;
n) la suma de los cubos de los primeros números naturales es el cuadrado de algún número natural.
5.* Cada uno de los teoremas dados en tarea anterior, escríbalo de varias maneras diferentes.
Respuestas e indicaciones
Tarea 1. ¿Qué suposiciones puedes hacer al observar:
a) el producto de dos números naturales adyacentes;
b) la suma de dos números naturales adyacentes;
c) la suma de tres números naturales consecutivos;
d) la suma de tres números impares;
d)últimos dígitos en notación decimalcon naturales;
mi) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" ancho="9 altura=20" altura="20"> Número de partes en las que se divide el avión. https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" ancho="17" alto="15"> las rectas son paralelas por pares y se cortan.gif" ancho="13 alto=20" alto="20"> Número de partes en las que se divide el avión. https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> solo se pueden obtener cuatro dígitos:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" ancho ="13" altura="15"> -gon es igual a;
b) dos triángulos isósceles rectángulos cualesquiera son semejantes;
c) igualdadfunciona para cualquier número enteroY;
Axioma hay una verdad obvia que no requiere prueba.
Teorema o una proposición es una verdad que requiere prueba.
Prueba Hay un conjunto de razonamientos que hacen obvia esta propuesta..
La prueba logra su objetivo cuando, con su ayuda, se descubre que la proposición dada es una consecuencia necesaria de los axiomas o de alguna otra proposición que ya haya sido demostrada.
Toda prueba se basa en el principio de que, con una inferencia correcta, no se puede sacar una conclusión falsa de una oración verdadera.
Composición del teorema. Todo teorema consta de dos partes, a) condiciones y b) conclusión o consecuencia.
A la condición a veces se le llama suposición. Se da y por eso a veces recibe el nombre dado.
Teorema inverso. Una oración en la que la conclusión de un teorema dado se convierte en una condición y la condición se convierte en una conclusión se llama teorema inverso..
En este caso este teorema llamado recto.
Dos teoremas juntos, directo e inverso, se denominan teoremas mutuamente inversos.
Están en tal relación mutua que, habiendo elegido cualquiera de ellos como directo, uno puede tomar el otro como inverso.
En dos proposiciones mutuamente inversas, una de ellas se sigue como consecuencia necesaria de la otra.
Si en el teorema denotamos la condición con la letra en primer lugar y la conclusión con la letra en segundo lugar, entonces el teorema directo se puede representar esquemáticamente mediante la expresión (Aa), y la inversa de la expresión(Automóvil club británico).
La expresión (Aa) representa esquemáticamente la proposición: si A es el caso, entonces a es el caso.
Si por esta propuesta(Aa) y el teorema (aA) se cumplen, entonces ambos teoremas (Aa) y (aA) se denominan teoremas mutuamente inversos.
Un ejemplo de dos teoremas mutuamente inversos pueden ser los siguientes teoremas:
primer teorema. En un triángulo se encuentran lados opuestos iguales ángulos iguales .
Segundo teorema. En un triángulo se encuentran ángulos opuestos iguales lados iguales .
En el primer teorema, la condición dada será la igualdad de los lados del triángulo, y la conclusión será la igualdad de los ángulos opuestos, y en el segundo, viceversa.
No todos los teoremas tienen su inverso.
Un ejemplo de oración aritmética que no tiene su inverso es el siguiente: teorema. Si dos productos tienen factores iguales, entonces los productos son iguales..
La suposición inversa no es cierta. De hecho, del hecho de que los productos sean iguales no se sigue que los factores sean iguales.
Un ejemplo de una oración geométrica para la cual la oración inversa no es válida es teorema: en cada cuadrado las diagonales son iguales.
Lo contrario sería: si las diagonales de un cuadrilátero son iguales, entonces será un cuadrado.
Esta suposición es incorrecta porque las diagonales son iguales en más de un cuadrado.
Dado que el supuesto opuesto no siempre es cierto, cada vez la propuesta opuesta requiere una prueba especial.
En teoria pruebas geométricas A veces es muy importante saber cuándo una determinada frase admite su contrario.
Lo siguiente puede servir para este propósito: regla de reversibilidad. Cuando, asumiendo que todo es posible y diferentes condiciones todas las conclusiones posibles y diferentes corresponden, se mantiene la proposición inversa.
Veamos esto como un ejemplo.
oferta directa. Si dos triángulos tienen dos lados iguales,entonces el tercer lado será mayor, igual o menor que el tercer lado del otro triángulo, dependiendo de si el ángulo entre los lados iguales es mayor, igual o menor que el ángulo correspondiente del otro triángulo.
En esta oración, tres supuestos diferentes y posibles sobre el ángulo corresponden a tres conclusiones diferentes y posibles sobre el lado opuesto, por lo tanto, de acuerdo con la regla de reversibilidad, este teorema permite suposición inversa:
Cuando dos triángulos tienen dos lados iguales, el ángulo entre ellos será mayor, igual o menor que el ángulo correspondiente del otro triángulo, dependiendo de si el tercer lado es mayor, igual o menor que el tercer lado. del triángulo dado.
Además de lo contrario, el teorema directo puede tener su opuesto.
Teorema opuesto hay uno en el que la negación de la condición implica la negación de la conclusión.
El teorema opuesto puede tener su recíproco.
Para resumir todos estos teoremas, los presentamos esquemáticamente en la siguiente forma general:
Teorema directo o principal. Si se cumple la condición o propiedad A, entonces se cumple la conclusión o propiedad B.
Contrarrestar. Si ocurre B, entonces ocurre A.
Opuesto. Si A no ocurre, entonces B no ocurre.
opuesto opuesto. Si B no ocurre, entonces A no ocurre.
Los siguientes ejemplos ilustran casos específicos. relación mutua estos teoremas:
Teorema directo. Si cuando dos rectas dadas se cruzan con una tercera, los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas dadas son paralelas.
Teorema inverso. Si dos rectas son paralelas, cuando se cruzan con la tercera, los ángulos correspondientes son iguales.
Opuesto. Si cuando dos rectas se cortan con una tercera, los ángulos correspondientes no son iguales, las rectas no son paralelas.
opuesto opuesto. Si las rectas no son paralelas, los ángulos correspondientes no son iguales.
En una presentación geométrica de teoremas, basta con demostrar sólo dos de estos tres teoremas, luego los dos teoremas restantes son válidos sin demostración.
Esta conexión de teoremas se basa en la técnica mediante la cual, para demostrar teorema inverso A menudo se limitan sólo a demostrar el teorema opuesto.
Métodos de pruebas geométricas.
como prueba teoremas geométricos Hay dos formas principales: sintético Y analítico.
Estos métodos a veces reciben el nombre abreviado síntesis Y análisis.
Síntesis Existe un método de prueba en el que una proposición dada es consecuencia necesaria de otra, ya probada..
En síntesis, una cadena de evidencia comienza con alguna oración conocida y termina con esta oración. Durante la demostración, se compara la frase original con un axioma o con otra frase ya conocida. El método sintético es conveniente para derivar nuevas oraciones que no están especificadas de antemano. Para la prueba de esta proposición, presenta muchos inconvenientes. No muestra: a) cuál de los teoremas conocidos debe elegirse para que la proposición que se va a demostrar sea su consecuencia necesaria, y b) cuál de las consecuencias de la proposición elegida conduce a que la proposición sea demostrada.
Por tanto, se llama síntesis no a un método para descubrir nuevas verdades, sino a un método para presentarlas.
Sin embargo, incluso cuando se presentan teoremas utilizando el método sintético, existe un inconveniente en el sentido de que no está claro por qué se eligió esta y no otra proposición, o esta y no otra consecuencia de ella, como verdad inicial en la cadena de evidencia. .
Un ejemplo de método sintético de prueba es el siguiente teorema.
Teorema. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos..
Dan triangulo abc(dibujo 224).
Necesitamos demostrar que A + B + C = 2d.
Prueba. Dibujemos una línea recta DE paralela a AC.
La suma de los ángulos que se encuentran a un lado de una línea recta es igual a dos ángulos rectos, por lo tanto,
α + B + γ = 2d
entonces, reemplazando los ángulos α y γ en la igualdad anterior por ángulos iguales a ellos, tenemos:
A + B + C = 2d (CHD).
Aquí, la proposición inicial en la cadena de demostración es el teorema de la suma de los ángulos que se encuentran a un lado de una línea recta.
Se relaciona con los teoremas sobre la igualdad de los ángulos transversales en la intersección de dos paralelos y un tercero indirecto.
El teorema que se demuestra es una consecuencia necesaria de todos los teoremas propuestos y es la última conclusión de la cadena de demostraciones.
Análisis Hay una forma que es lo opuesto a la síntesis. En el análisis, una cadena de razonamiento comienza con un teorema por demostrar y termina con alguna otra verdad ya conocida..
El análisis se presenta de dos formas. De la proposición que se demuestra, podemos pasar a la proposición que sirve como base inmediata o como consecuencia inmediata.
Al pasar de una proposición dada a la proposición que le sirve de base inmediata, consideramos esta proposición como una consecuencia necesaria.
Al pasar de una proposición dada a su consecuencia inmediata, consideramos esta proposición como la base de una cadena de inferencias.
Primer método de análisis.. Al realizar el análisis moviéndose a la base, buscan la primera oración más cercana de la cual se sigue lo dado como consecuencia necesaria. Si esta proposición fue probada previamente, entonces esta proposición también está probada, pero si no, entonces busque la segunda proposición, subyacente para el primero.
Esta transición a la base debe continuar hasta que alcancemos una propuesta completamente probada. Esta proposición aparecerá como consecuencia necesaria de la última proposición probada.
Designando cada frase con una letra y colocándola delante o detrás de otra, según sirva de base o consecuencia de otra frase, podemos expresar esquemáticamente este método de análisis en la forma
donde M es la proposición dada, L es su base más cercana y H es una proposición completamente probada. Si la proposición H es verdadera, entonces la proposición K es verdadera; si K es verdadera, entonces L es verdadera; Si L es verdadera, entonces M también lo es.
Segundo método de análisis. Consiste en el paso de una proposición dada a su consecuencia. Esta técnica se utiliza con más frecuencia porque es más fácil encontrar la consecuencia necesaria que encontrar la base de alguna verdad. Utilizando este método, se deriva de una proposición dada el teorema que sirve como consecuencia inmediata. Si este corolario es una proposición previamente probada, entonces se detienen ahí; si no, pasan al siguiente corolario más cercano y generalmente continúan esta derivación secuencial de corolarios hasta llegar a una proposición completamente probada.
Si la última oración no es verdadera, entonces ésta no es verdadera, porque no se puede obtener una consecuencia incorrecta de una oración correcta.
Si la última oración es verdadera, entonces creer en la verdad de esta oración requiere que se cumplan ciertas condiciones.
Esquemáticamente, este método de análisis se puede representar en la forma
M - N - O - P - Q - R - S
donde M es una oración dada, N es una oración que sirve como consecuencia inmediata y S es la última oración de cuya validez estamos completamente convencidos.
A partir de dos proposiciones R y S, que están en tal conexión que si R es verdadera, entonces la proposición S también es verdadera, nosotros, como se sabe, no siempre podemos concluir inversamente que si S es verdadera, entonces la proposición R también es verdadera.
Para que se cumpla esta última conclusión, se requiere que los teoremas R y S sean proposiciones recíprocas.
Entonces, para verificar que los teoremas R y S están en una conexión tal que satisface el esquema R - S y el esquema S - R, es necesario demostrar que las proposiciones R y S son recíprocas.
Así, para poder concluir de la verdad de la última oración S que la oración dada M es verdadera, es necesario demostrar que cada dos oraciones adyacentes ofertas que valen la pena R y S, P y R, O y P, N y O, M y N satisfacen la ley de reversibilidad.
Si esto se demuestra, entonces la cadena de proposiciones se puede invertir, y junto al esquema M - N - O - P - Q - R - S el esquema
S - R - Q - P - O - N - M
de lo cual podemos concluir que si la proposición S es verdadera, entonces la proposición M también lo es.
Dado que es difícil demostrar la reversibilidad de dos frases cada vez, esto se evita combinando el método analítico con el sintético. Después de deducir la proposición S a partir de una proposición M como consecuencia suya, se mira si es posible deducir la proposición M como consecuencia necesaria de la proposición S.
Si la síntesis es un método llamado deducción o conclusión, entonces el análisis se puede llamar reducción(casting, orientación).
Ejemplo método analítico El siguiente teorema puede servir como prueba.
Teorema. Las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad.
Prueba. Si las diagonales se cruzan por la mitad, entonces los triángulos AOB y DOC son iguales (Fig. 225). La igualdad de los triángulos AOB y DOC se deriva del hecho de que AB = CD como lados opuestos de un paralelogramo y ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ como ángulos transversales.
Así, vemos que una determinada sentencia es sustituida sucesivamente por otra, y dicha sustitución se va realizando hasta llegar a una sentencia que ya ha sido probada.
Comparación de síntesis con análisis.. El método analítico conduce con mayor precisión a la demostración de un teorema dado, porque a partir de un teorema dado es más fácil pasar a su base o corolario más cercano.
Aunque el análisis explica mejor que la síntesis por qué se eligió tal o cual camino para demostrar el teorema, la incertidumbre en las demostraciones no se elimina por completo en el sentido de que al reemplazar sucesivamente una oración por otra, no siempre podemos llegar a una oración que conocemos. , porque a veces no es visible cuál de las consecuencias o cuál de los fundamentos de una proposición dada debe elegirse para probarla. Las dificultades aumentan aún más cuando es necesario trazar nuevas líneas auxiliares para la prueba. A veces resulta difícil dar indicaciones correctas sobre cuáles de ellos facilitan la demostración de un teorema determinado.
Análisis, como todos trucos lógicos, sólo facilita y ayuda a encontrar la prueba de una proposición dada, pero no siempre conduce necesariamente a la prueba misma.
Además de estas líneas, hay método indirecto prueba, conocida como prueba por contradicción o método de reducción al absurdo.
Método de prueba por contradicción. Consiste en que para probar una proposición dada, uno está convencido de la imposibilidad de suponer lo contrario..
En base a esto, esta prueba se llama prueba por contradicción. Logra su objetivo siempre que entre dos proposiciones, dadas y opuestas, se produzca ciertamente una.
En este caso, para probar lo dado, habiendo admitido la proposición contraria, deducen de ella consecuencias que contradicen los axiomas o teoremas ya probados. Si una de las consecuencias de esta oración es falsa, entonces la oración opuesta es falsa y, por lo tanto, la oración dada es verdadera.
Esta técnica se utiliza a menudo para demostrar teoremas inversos u opuestos a los datos.
No es difícil notar que este método es el segundo método de análisis, en el que se procede secuencialmente desde una proposición dada hasta sus consecuencias.
Un ejemplo de la aplicación de este método es la demostración del teorema dado anteriormente: lados iguales se encuentran frente a ángulos iguales en un triángulo (Teorema 26).
En geometría también se utilizan métodos que dependen del contenido mismo de las verdades geométricas. Las verdades geométricas se relacionan con extensiones geométricas. Estas extensiones tienen ciertas propiedades, sujeto a los sentidos externos. La extensión geométrica puede considerarse como un todo, accesible a la observación mediante los sentidos externos. La contemplación más sensual contribuye también a la persuasión de la prueba. Es imposible prescindir de él en geometría.
Entre las técnicas que se llevan a cabo en geometría se encuentran: método de imposición, método de proporcionalidad y método de límites.
Método de aplicación consiste en el hecho de que una cantidad geométrica se superpone a otra. De esta forma, se convence de la igualdad o desigualdad de las extensiones geométricas, según se combinen o no al superponerse.
Método de proporcionalidad Consiste en aplicar las propiedades de las proporciones a las extensiones geométricas.. Este método se utiliza para demostrar teoremas relacionados con cifras similares y a segmentos proporcionales.
Método de límites consiste en que en lugar de extensiones dadas se consideran las propiedades de extensiones cercanas en sus propiedades a la dada, y las conclusiones obtenidas al considerar algunas se aplican a otras extensiones similares.
Métodos para resolver problemas geométricos.
Al decidir problemas geométricos La síntesis y el análisis se utilizan de la misma manera que para demostrar teoremas.
Al resolver un problema sintéticamente, toman otro problema que saben resolver, luego de su solución deducen la solución al siguiente problema, como su consecuencia necesaria, y hacen esto hasta llegar a la solución de este problema.
El método sintético para resolver el problema tiene las mismas desventajas que el método sintético de prueba.
Por lo tanto, el análisis se utiliza con mayor frecuencia y con más éxito para resolver problemas.
Al resolver un problema, el análisis reemplaza esta tarea nuevo. Llamaremos a este nuevo problema reemplazando.
Si dos problemas están en una relación tal que las condiciones del segundo son consecuencias necesarias de las condiciones del primero, entonces llamaremos al primer problema. primario, y el segundo - derivado.
Hay dos formas de analizar.
primera manera. El problema de reemplazo se elige de modo que las condiciones de este problema sigan como consecuencia necesaria de las condiciones del nuevo problema de reemplazo, es decir, en nuestra terminología, pasan de este problema al primero. tarea inicial. Si se conoce la solución a este problema, entonces la solución a este problema aparece como una consecuencia necesaria de la solución al problema inicial. Si se desconoce su solución, pasan al segundo o tercer problema inicial y continúan haciéndolo hasta que obtienen un problema cuya solución se conoce.
Habiendo resuelto esto última tarea, al mismo tiempo llegan consistentemente a la solución a este problema.
Segunda manera. Es posible pasar de un problema dado a otro cuyas condiciones sean consecuencia de las condiciones de éste, es decir, de un problema dado se pasa a su derivada.
Reemplazando de esta manera un problema sucesivamente por otro de sus derivados, podemos llegar a un problema cuya solución ya se conoce. Resolver este problema a veces hace posible resolverlo también.
Esta transición de un problema dado a su derivado se utiliza con más frecuencia, porque es más fácil pasar a una consecuencia que buscar una base para alguna verdad.
En este caso particular de análisis, generalmente se supone que el problema ha sido resuelto y de este supuesto se derivan relaciones que hacen posible resolver este problema.
Al pasar de una tarea determinada a su reemplazo, es muy importante prestar atención a si las dos tareas tendrán la propiedad de reversibilidad mutua. Esta reciprocidad en las condiciones de dos problemas se produce cuando una tarea, siendo inicial de otra, puede al mismo tiempo ser su derivada; en caso contrario, cuando dos tareas están en tal relación que las condiciones de una pueden ser consecuencias necesarias de la otra y viceversa.
Si dos problemas, el actual y el nuevo, tienen estas propiedades, entonces nueva tarea reemplaza completamente a este. En este caso, todas las soluciones de uno también serán soluciones del otro.
Si las condiciones de dos problemas no tienen las propiedades de invertibilidad mutua, entonces, al reemplazar este problema por uno nuevo, podemos encontrar soluciones adicionales o perder algunas de las soluciones.
Si el problema de reemplazo es un derivado del dado, entonces podemos encontrar algunas soluciones adicionales; si es inicial para uno determinado, entonces podemos encontrar algunas soluciones perdidas.
Como a menudo pasan de un problema dado a un problema derivado, a menudo tienen que obtener soluciones innecesarias.
Para separar las soluciones innecesarias y encontrar las perdidas, se verifican todas las soluciones encontradas.
Verificación ¿Hay alguna manera de separar soluciones extrañas (innecesarias)?. Complementa el análisis.
La solución analítica de un problema indica la construcción que es necesario realizar para resolver el problema. Al realizar esta construcción, actúan en la resolución del problema de forma contraria al análisis, es decir, recurren a un método sintético. Este método sintético muchas veces puede sustituir la verificación real de las soluciones encontradas.
El uso combinado de síntesis y análisis proporciona un medio para evitar los errores que pueden ocurrir al utilizar solo uno de estos métodos de solución.
Resolvamos el mismo problema de forma sintética y analítica. La siguiente tarea puede servir como ejemplo.
Tarea. Dividir este segmento AB en relación extrema y media.
Solución. Construyamos la perpendicular BO desde el final del segmento AB. igual a la mitad AB (dibujo 226). Desde el centro O describimos una circunferencia de radio BO, conectamos el centro O con el punto A y trazamos sobre el segmento AB un segmento AC igual a AD, entonces el segmento AC o AD será el requerido.
Prueba. La recta AB es tangente a la circunferencia, por lo tanto
donde tenemos:
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
Como DE = AB y AD = AC, entonces en la proporción anterior tenemos:
AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC
¿De dónde sacamos la proporción?
Esta solución es sintética. En él partimos de famoso teorema sobre las propiedades de una tangente y la solución a este problema siguió como consecuencia necesaria de este teorema.
Solucion analitica. Supongamos que el problema se ha resuelto y, por lo tanto, se ha encontrado el segmento AC, entonces
AB/CA = CA/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + CA)/AB = AB/AC (2).
De la última proporción queda claro que AB es una tangente, AB + AC se cruza, AC es su segmento exterior y AB es su segmento interior.
De esto se desprende que construcción. Es necesario construir una perpendicular igual a ½AB desde el extremo B, trazar un círculo, conectar O con A y colocar la parte AC = AD en el segmento AB.
En eso solucion analitica Reemplazamos este problema que satisface la condición (1) con una tarea que satisface la condición (2).
La condición (2) también indica la forma de resolver el problema en sí mediante la construcción.
Por lo general, habiendo encontrado una solución a un problema mediante un método analítico, hacen una construcción en la que, mediante un método de razonamiento sintético, prueban que esta construcción realmente resuelve el problema y con esta prueba reemplazan la verificación, que pretende eliminar. soluciones extrañas.
EN en este ejemplo Existe completa reversibilidad entre problemas que satisfacen las condiciones (1) y (2), porque las condiciones (1) implican las condiciones (2) como consecuencia necesaria y viceversa, por lo que aquí no hay soluciones perdidas o superfluas.
El estudio de los métodos secundarios y auxiliares para la resolución de problemas aún no ha llegado a su finalización total y completa en su tratamiento. Evitaremos examinarlos en detalle por ahora.
E.V. Petrova, profesora de matemáticas en la escuela secundaria nº 25 de Vladimir
La evidencia es un razonamiento que convence. (Yu.A. Shikhanovich)
Estudio y demostración de teoremas.Implementación papel moderno las matemáticas sugieren mejoras formación matemática estudiantes, lugar importante que se centra en la capacidad de descubrir patrones, justificarlos y aplicarlos en la práctica. Formación de algoritmos, heurísticos, pensamiento abstracto estudiantes también se lleva a cabo principalmente en el proceso de prueba. La enseñanza de las matemáticas implica enseñar métodos de actividad para adquirir conocimientos, lo que requiere identificación y dominio en el proceso de enseñanza de las matemáticas. varios esquemas razonamiento utilizado en matemáticas. En las ciencias experimentales, recurrimos constantemente a observaciones y experimentos para probar ciertas afirmaciones. La situación es completamente diferente en matemáticas. Un teorema se considera probado sólo si se deduce lógicamente de otras proposiciones. Por tanto, el problema de enseñar a los estudiantes la demostración siempre ha sido uno de los centrales en la metodología de la enseñanza de las matemáticas.
Actualmente, el proceso en curso de humanización de la educación pasa por centrar la educación en el desarrollo de la personalidad, en la formación de la moral, lo que se ve facilitado por la enseñanza de la evidencia, donde se le da un papel importante a aprender a encontrar métodos de evidencia, compararlos, y eligiendo el más sencillo.
¿Qué significa demostrar un teorema, qué es una demostración?
Cuando convences a tu amigo de algo o defiendes tu opinión, tu punto de vista en una disputa con él, esencialmente estás presentando pruebas (con habilidad o sin habilidad, otra cuestión).
prueba matemática Debe haber una cadena de consecuencias lógicas desde los axiomas iniciales, definiciones, condiciones del teorema y teoremas previamente probados hasta la conclusión requerida.La carga principal de desarrollar la capacidad de demostración de los estudiantes recae en el curso de geometría. D. Polya señaló papel importante, qué papel juega la evidencia en la construcción de un sistema geométrico: “El sistema geométrico está cimentado por la evidencia. Cada teorema está conectado con axiomas, definiciones y teoremas anteriores mediante alguna demostración. Sin entender esa evidencia, no se puede entender la esencia misma del sistema”. Históricamente, la geometría como materia académica Tiene gran importancia estudiar el mundo que nos rodea y crear condiciones favorables presentar a los estudiantes la creatividad Actividades de investigación. El estudio de la geometría contribuye al desarrollo de la capacidad de demostrar, es decir, capacidad de pensar lógicamente y razonar. El desarrollo del pensamiento lógico se produce durante el estudio de las demostraciones de teoremas presentados en los libros de texto y por el profesor, mientras se resuelven problemas.¿Qué significa demostrar un teorema, qué es una demostración? Prueba en En un amplio sentido- Este es un razonamiento lógico, durante el cual la verdad de un pensamiento se justifica con la ayuda de otras disposiciones. En matemáticas, es inaceptable referirse, por ejemplo, a relaciones obvias ilustradas por un dibujo. Una demostración matemática debe ser una cadena de consecuencias lógicas desde los axiomas iniciales, definiciones, condiciones del teorema y teoremas previamente probados hasta la conclusión requerida.
Así, al demostrar un teorema, lo reducimos a teoremas previamente demostrados, y éstos, a su vez, a otros, etc. Es obvio que este proceso de reducción debe ser finito y, por lo tanto, cualquier prueba finalmente reduce el teorema que se está demostrando a las definiciones y axiomas originales aceptados sin prueba.
Proceso de prueba – proceso difícil pensamiento, y se forma sólo gradualmente, de lo simple a lo más estructuras complejas. Por lo tanto, la prueba de enseñanza es sistema complejo, cuya estructura está determinada por numerosas conexiones entre sus distintos componentes.
A la edad de 13 o 14 años, el cerebro de un escolar se vuelve capaz de dominar el pensamiento razonado, abstracto y razonado. El desarrollo del pensamiento basado en evidencia, señala P. P. Blonsky, pasa por dos etapas. EN adolescencia un escolar más bien asimila pruebas que las utiliza de forma independiente, y menos aún las crea: a esta edad, la prueba es más una cuestión de memoria. A una edad temprana ya se desempeñan notablemente. pensamiento crítico a la evidencia aportada y al deseo de obtener su propia evidencia.Todo lo anterior lleva a la conclusión de la necesidad de estudiar las estrategias cognitivas individuales de los escolares a la hora de estudiar y demostrar teoremas.
Este es mi primer año trabajando en este problema.Primero, definí el propósito, objetivos e hipótesis del estudio.
Objetivo: Identificar y desarrollar estrategias individuales para estudiar y demostrar teoremas en octavo grado.
Tareas:
1. Identificar estrategias individuales para estudiar y demostrar teoremas a partir del cuestionario (con elementos de la hoja de análisis).
2. Desarrollar las estrategias individuales de los estudiantes a través de la discusión de los resultados obtenidos, creando un banco de acciones exitosas al completar el estudio y demostrar teoremas.
3. Desarrollar asesoramiento sobre estudio exitoso teoremas en geometría.
4. Analizar los resultados de los estudiantes que dominan los teoremas antes y después de usar la tecnología CRPS, desarrollar y probar un recordatorio de las actividades exitosas de los estudiantes.
Hipótesis: La comprensión de los estudiantes de sus propias acciones al estudiar teoremas les permitirá desarrollar habilidades para probar y resolver problemas en geometría y lograr más altos resultados capacitación.
Libros de texto escolares La geometría muestra una demostración de teoremas ya preparada, pero no enseña el proceso de demostración en sí.Los estudiantes suelen tener dificultades para dominar los teoremas y reproducir sus demostraciones.. Es bien conocido el miedo de muchos estudiantes ante la palabra “teorema”. El trabajo decidido de acuerdo con la teoría de la formación gradual ayuda a superarlo. acciones mentales P.Ya. Galperín. Para asegurar la asimilación de los teoremas, sus demostraciones y aprender a resolver problemas de geometría, de acuerdo con esta teoría es necesario organizar actividad independiente estudiantes. Es necesario enseñar a los estudiantes a demostrar el teorema por sí mismos.
Al enseñar evidencia debemos entender cómo enseñar a los estudiantes cómo analizar evidencia ya preparada, reproducirla, descubrir hechos de forma independiente, buscar otras formas de evidencia y también refutar las propuestas presentadas.
Comencé mi experimento con una pregunta a la que recibí una respuesta inesperada.
En la primera etapa, se pidió a los estudiantes que describieran las acciones que realizan al presentar y demostrar un teorema. Como resultado, se obtuvieron las siguientes opciones:
***
Leí el teorema del libro de texto.
Estoy enseñando.
Demuestro un teorema en clase.
***
Enseño como un poema. Cuando te lo digo, tengo miedo de perderme.
. ***
1. Aprendo el teorema del libro de texto.
2. Escribo brevemente la prueba por mí mismo.
3. Demuestro el teorema usando notas.
4. Le cuento a mi madre la prueba.
5. En clase le demuestro el teorema al profesor.
Después del análisis estrategias individuales Entendí por qué a los chicos les resulta difícil demostrar el teorema. Esto sucede porque fundamentalmente no entienden lo que significa "aprender un teorema".A continuación, identifiqué las razones de las dificultades. Esto y mala calidad conocimiento, incapacidad para aplicarlo, falta de conciencia de las operaciones mentales, incapacidad para establecer conexiones entre pasos lógicos, mala motivación, etc. La implementación del requisito de "demostrar el teorema" implica una serie de acciones. Sin dominar estas acciones no surgirán en el pensamiento del estudiante asociaciones que le permitan avanzar en la demostración de teoremas. Entre estos operaciones mentales incluir: resaltar la condición y conclusión del teorema, registrarlas verbal y gráficamente, dividir la prueba en partes, analizar cada una de ellas, sacar conclusiones y seguir adelante. Por tanto, es necesario formar en el pensamiento de los estudiantes las acciones necesarias para realizar la prueba de acción.
Al estudiar el teorema "El primer signo de semejanza de triángulos", preparé un cuestionario para los estudiantes. Estas preguntas nos hicieron pensar en el contenido del teorema, en las etapas de la demostración y al mismo tiempo evocaron las asociaciones necesarias en el pensamiento de los estudiantes.
Cuestionario.
¿Qué acción utilizaste para empezar a familiarizarte con el teorema?
¿Cómo entiendes que esto es un teorema?
¿Qué te motiva a estudiar la demostración de un teorema?
¿Cuántas veces has leído el teorema?
¿Qué se da?
¿Qué hay que demostrar?
¿Ayudará el dibujo a demostrar el teorema?
¿Cómo empezaste a estudiar la demostración del teorema?
¿Se puede dividir la demostración del teorema en partes?
¿El conocimiento de qué hechos, teoremas y definiciones le resultó útil?
¿Qué te impidió demostrar el teorema?
¿Qué ayudó a demostrar el teorema?
¿Cómo entendiste que el teorema estaba demostrado?
¿Qué descubrimiento hiciste por ti mismo?
¿Usted es feliz? ¿Cómo te hace sentir esto?
¿Qué consejo le darías a quienes están por estudiar el teorema? ?
Estas son algunas de las respuestas a estas preguntas.
Julia:
Abrí el libro de texto, encontré el teorema y lo conocí visualmente.
Lo leí.
Empecé a estudiarlo porque me interesaba.
Leí el teorema 2 veces.
Se da el primer signo de semejanza de triángulos.
¿Qué pasa si 2 ángulos de un triángulo son iguales a 2? ángulos correspondientes otro triángulo, entonces esos triángulos son semejantes.
Sí.
Desde el texto.
Sí.
Sí.
Falta de concentración, muchas palabras nuevas.
Dibujo.
Cuando entendí de qué se trataba el teorema, miré la demostración.
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Antón:
Desde la apertura del libro de texto.
Allí dice que esto es un teorema.
Conocimiento del teorema y evaluación.
2 veces.
Dos triángulos.
Similitud de triángulos.
Sí.
De la lectura.
Sí.
Teorema sobre la razón de áreas de triángulos semejantes.
Desconocimiento de algunos hechos necesarios.
La memoria ayudó.
El libro de texto dice que el teorema ha sido demostrado.
Aprendí un nuevo teorema.
Sí, estoy feliz.
Ten cuidado.
alina:
Busco el teorema que necesito en el libro de texto, lo leo y trato de entender el texto.
Entiendo que esto es un teorema, porque la regla va acompañada de una prueba de este hecho.
Capacidad de resolución de problemas y comprensión.
Releo el teorema hasta que lo recuerdo, de 4 a 6 veces.
Dados 2 triángulos, se indican ángulos iguales.
La similitud de estos dos triángulos.
El dibujo me ayudará a comprender mejor lo que se debe probar y a comprender la condición.
Primero leeré la prueba completa, luego haré un dibujo y, leyéndolo con atención, comenzaré a desmontar la prueba.
Lo que se da – enfoque para resolver el problema – prueba – conclusión.
Me ayudó con la demostración el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, la definición de triángulos semejantes, el teorema de la razón de las áreas de triángulos semejantes.
Nada se interpuso en el camino.
Conociendo la definición de triangulos semejantes, conocimiento de otros teoremas y hechos.
Se da la conclusión, y cuando obtuvimos lo que necesitábamos demostrar, termino con las palabras "el teorema está demostrado".
Descubrí un nuevo signo de semejanza de triángulos y por primera vez pude descubrir yo mismo la demostración del nuevo teorema.
Aprende el teorema en silencio, profundizando en el texto. Primero, aprenda la formulación del teorema, recuerde el material que puede ayudar con la demostración.
Victoria:
Abrí el libro de texto, encontré el teorema que necesitaba, lo leí e intenté recordarlo.
Esta es una proposición que necesita ser probada.
Me motiva: a) sacar una buena nota, porque esto es muy importante para mis padres y mi futuro; b) Se desarrolla el estudio de los teoremas. pensamiento lógico, y se necesita lógica para resolver problemas de geometría. Esto significa que al estudiar teoremas aprendo a resolver problemas.
Dado: 2 triángulos, cuyos ángulos son iguales.
Necesitamos demostrar que los dos triángulos son semejantes.
Sí. El dibujo me ayuda mucho a demostrar teoremas y resolver problemas. A veces un dibujo sugiere una solución a un problema.
Leí la demostración del teorema varias veces en el libro de texto, la anoté brevemente en un cuaderno y luego intenté repetir el teorema y la demostración oralmente.
Quizás en 2 partes.
Los conocimientos que había adquirido antes, incluso desde el séptimo grado, me resultaron útiles.
Nada me molestó. Lo principal es saber por qué es necesario todo esto.
Para demostrar el teorema me ayudó un libro de texto y un gran deseo de saber lo que todavía no sé.
Lógicamente determiné que no había nada más que probar.
El teorema en sí ya es un descubrimiento para mí; antes no conocía esta propiedad.
Me alegro de haber podido demostrar el teorema, un sentimiento de satisfacción, un sentimiento de orgullo por haber entendido todo.
Lea atentamente el teorema y la prueba, intente comprenderlos, léalos varias veces, demuestre el teorema ante alguien o ante un espejo. Le recomendaría tener este cuestionario delante de usted; le ayudará.
Con la ayuda de este cuestionario, los propios chicos demostraron el teorema. Para estudiantes este trabajo Fue inusual, interesante y difícil. Revisamos y resumimos todas las respuestas, observando su diversidad, e identificamos las más acción racional al realizar este trabajo. En la siguiente lección, todos los estudiantes encuestados pudieron demostrar el teorema con notas positivas.
A continuación, mis alumnos y yo discutimos estrategias para estudiar y demostrar el teorema, identificamos patrones comunes y diferentes de sus acciones, creamos un banco de acciones exitosas, llamando trabajo final"Mis pasos."
Los niños demostraron ellos mismos el segundo signo de similitud de los triángulos utilizando la lista "Mis pasos". Pero al estudiar el tercer criterio de similitud (esta lección se grabó en video y el resumen de la lección se encuentra a continuación), pudimos compilar un recordatorio de la demostración del teorema, que utilizamos con éxito para demostrar otros teoremas tanto en este clase y en otra clase de este paralelo.
Memorándum.
Al estudiar y demostrar teoremas es necesario:
Reemplace los términos del teorema con definiciones de los conceptos que denotan o sus características.
Separe los elementos de la condición y la conclusión con las palabras "dado" y "probar".
Escriba todas las cantidades conocidas en la columna "Dada".
En la columna "Evidencia", escriba lo que debe probarse.
Haz un dibujo claro y ordenado. Márcalo en con letras latinas lo que inicialmente se conoce.
Divide el teorema en partes.
Pruebe cada parte por separado.
Termine la prueba con la conclusión “por lo tanto, aprobación inicial Así es, el teorema está demostrado".
Cierra el libro de texto, demuestra el teorema a alguien, inténtalo.
Habiendo colocado el recordatorio frente a él, ahora cualquier niño puede comprender el teorema de forma independiente y demostrarlo. Esta nota ayuda a extraer información de las condiciones del teorema, aislar elementos individuales, combínelos, saque conclusiones independientes, formule los requisitos de cada etapa de la prueba, evalúe sus conocimientos en el proceso de trabajo y elimine las "lagunas". Nuestro trabajo despertó no menos interés entre mis colegas matemáticos.
El uso de la tecnología CRPS ha permitido lograr una dinámica positiva en el estudio y demostración de teoremas en geometría. Ahora todos los estudiantes de octavo grado entienden lo que significan las palabras del maestro "aprende el teorema". Los chicos empezaron a sentirse atraídos por el independiente. actividad cognitiva, su motivación ha cambiado, ha aparecido la confianza en sí mismos y propia fuerza, surgió una actitud responsable hacia las propias actividades. Aquí hay una estrategia para estudiar y demostrar con éxito el teorema después de familiarizarse con los principios básicos de CRPS:
Sasha:
Leí atentamente el teorema del libro de texto.
Leo cada palabra, tomando nota de nuevos términos y frases.
Estoy leyendo la prueba.
Decido si todo está claro para mí.
Si algo no me queda claro lo vuelvo a leer, prestando atención a cada palabra.
Si todo está claro, averiguo y anoto lo que se da y lo que hay que demostrar.
Hago un dibujo que cumple las condiciones del teorema indicando todos los datos.
Volví a leer la prueba con atención.
Intento dividir la prueba en partes lógicas.
Pruebo el teorema por partes, sacando las conclusiones necesarias.
Leí el teorema nuevamente.
Habiendo cerrado el libro de texto, usando el dibujo, demuestro el teorema.
¡Eso es todo, aprendí el teorema y lo probé!
Ahora intentaré aplicar los conocimientos adquiridos durante el estudio del teorema.
Las observaciones, el análisis de estrategias y las conversaciones con los estudiantes permitieron determinar las perspectivas de trabajo: la necesidad de estudiar la estrategia de demostración heurística de teoremas y demostración por contradicción.
Desarrollo de lecciones
Tema: geometría.
Profesora: Petrova Elena Vladimirovna
Clase: 8 "g"
Tema de la lección: el tercer signo de semejanza de triángulos.
El propósito de la lección: redactar una nota sobre el estudio y la demostración de teoremas, para verificarlo al estudiar el tercer criterio para la semejanza de triángulos.
Objetivos de la lección formulados sobre la base de actividades:
- educativo: desarrollo de la motivación para estudiar geometría; formación actitud respetuosa a una opinión diferente, a un punto de vista diferente; desarrollo de la independencia en la resolución de problemas personales.
- educativo : Cree una nota que promueva el estudio exitoso y la demostración de teoremas, aplíquela a autoestudio
el tercer criterio para la similitud de triángulos.
- desarrollando: Desarrollar la capacidad de analizar, resaltar lo principal, comparar, generalizar, sistematizar, explicar conceptos y probarlos.
Escenario
Nombre artístico
Tareas
Actividades del profesor (métodos y técnicas de enseñanza)
Actividades estudiantiles (formas de organización de actividades educativas)
Resultado esperado (conocimientos, habilidades, métodos de actividad)
Motivación para actividades educacionales
Crear condiciones para el surgimiento de una necesidad interna de inclusión en las actividades educativas.
Tengo dos triángulos. Los lados de uno de ellos miden 3 cm, 5 cm y 4 cm, y el otro mide 12 cm, 20 cm y 16 cm. ¿Cómo saber si estos triángulos son semejantes?
Analiza la situación e intenta solucionar el problema.
Los estudiantes pensarán en resolver este problema, pero no podrán resolverlo.
Identificar la ubicación y la causa del problema.
Descubra los motivos: ¿por qué no podemos responder a la pregunta planteada?
Organizar las actividades de los estudiantes de tal manera que los conduzcan a la causa de la dificultad.
Durante la discusión, los estudiantes descubren qué les impide resolver este problema y qué podría ayudarlos a salir de una situación difícil.
Los estudiantes se dan cuenta de que no tienen conocimientos suficientes para resolver el problema.
Construir un proyecto para salir de un problema.
Ayude a los estudiantes a encontrar una salida a la situación.
El maestro ayuda a establecer metas con la ayuda de dirigir el diálogo y alentar la acción.
Los estudiantes establecen metas y eligen una forma de lograrlas: estudian otro signo de similitud de triángulos.
Analizada la situación, llegamos a la conclusión de que es necesario crear una guía para el estudio y demostración de teoremas.
Implementación del plan planificado.
Crea un recordatorio universal.
El docente guía el proceso.
Los estudiantes crean su propia nota individualmente basándose en “mis pasos” identificados en lecciones anteriores para poder estudiar con éxito el teorema; y luego, en el proceso de discusión, creamos un recordatorio universal.
Crear un recordatorio para demostrar con éxito cualquier teorema del libro de texto.
Implementación del proyecto terminado.
Usa el libro de texto para observar el tercer criterio para la similitud de triángulos.
El docente guía el proceso.
Utilizando el libro de texto, los estudiantes analizan un teorema que es nuevo para ellos y, con la ayuda de una nota, describen su demostración en sus cuadernos.
Se analizó el teorema y se anotó su demostración en un cuaderno.
Consolidación primaria con programación en habla externa.
Descubra todos los puntos poco claros del teorema.
El profesor ayuda a los estudiantes documentando cómo han superado las dificultades que han surgido.
Correlaciona las notas del cuaderno con el plan de prueba, aclara las dudas que te han surgido y saca conclusiones.
.Analizar el trabajo realizado y revisar verbalmente las evidencias.
Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición.
Demuestre el tercer criterio para la similitud de triángulos.
El profesor sugiere, utilizando la nota compilada, demostrar el teorema en la pizarra.
Los estudiantes prueban el teorema a su propia discreción en la pizarra.
Uno de los chicos podrá responder en la pizarra.
Reflexión sobre las actividades de aprendizaje en el aula.
Registra el grado de consecución de objetivos.
Los estudiantes entienden que ahora este problema se puede resolver, es decir. La autoestima del estudiante aumenta.
Los estudiantes disfrutarán este tipo de actividad y comprenderán que este es el enfoque más eficaz para aprender y demostrar un teorema.
