Dans cet article, nous allons montrer comment donner définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle et d'un nombre en trigonométrie. Ici, nous parlerons des notations, donnerons des exemples d'entrées et donnerons des illustrations graphiques. En conclusion, faisons un parallèle entre les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente en trigonométrie et en géométrie.

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Définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente

Voyons comment se forme l'idée de sinus, cosinus, tangente et cotangente dans cours scolaire mathématiques. Dans les cours de géométrie, la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente est donnée angle aigu dans un triangle rectangle. Et plus tard, la trigonométrie est étudiée, qui parle du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation et du nombre. Présentons toutes ces définitions, donnons des exemples et donnons les commentaires nécessaires.

Angle aigu dans un triangle rectangle

Grâce au cours de géométrie, nous connaissons les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Ils sont donnés comme le rapport des côtés d’un triangle rectangle. Donnons leurs formulations.

Définition.

Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse.

Définition.

Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est une attitude jambe adjacenteà l'hypoténuse.

Définition.

Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle– c'est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

Définition.

Cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle- c'est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

Les désignations du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente y sont également introduites - respectivement sin, cos, tg et ctg.

Par exemple, si ABC est un triangle rectangle d’angle droit C, alors le sinus de l’angle aigu A égal au rapport le côté opposé BC à l'hypoténuse AB, c'est-à-dire sin∠A=BC/AB.

Ces définitions permettent de calculer les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu à partir des longueurs connues des côtés d'un triangle rectangle, ainsi qu'à partir de valeurs connues trouvez les longueurs des autres côtés en utilisant le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente et la longueur de l'un des côtés. Par exemple, si l'on savait que dans un triangle rectangle la branche AC est égale à 3 et l'hypoténuse AB est égale à 7, alors on pourrait calculer la valeur du cosinus de l'angle aigu A par définition : cos∠A=AC/ AB=3/7.

Angle de rotation

En trigonométrie, ils commencent à considérer l'angle plus largement - ils introduisent le concept d'angle de rotation. L'amplitude de l'angle de rotation, contrairement à un angle aigu, n'est pas limitée à 0 à 90 degrés ; l'angle de rotation en degrés (et en radians) peut être exprimé par n'importe quel nombre réel compris entre −∞ et +∞.

Dans cette optique, les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente ne sont pas données pour un angle aigu, mais pour un angle de taille arbitraire - l'angle de rotation. Ils sont donnés par les coordonnées x et y du point A 1, auquel va le soi-disant point de départ A(1, 0) après sa rotation d'un angle α autour du point O - le début du système de coordonnées cartésiennes rectangulaires et le centre du cercle unité.

Définition.

Sinus de l'angle de rotationα est l'ordonnée du point A 1 , soit sinα = y.

Définition.

Cosinus de l'angle de rotationα est appelé abscisse du point A 1, c'est-à-dire cosα = x.

Définition.

Tangente de l'angle de rotationα est le rapport de l'ordonnée du point A 1 à son abscisse, soit tanα = y/x.

Définition.

Cotangente de l'angle de rotationα est le rapport de l'abscisse du point A 1 à son ordonnée, soit ctgα = x/y.

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle α, puisque nous pouvons toujours déterminer l'abscisse et l'ordonnée du point, qui sont obtenues en faisant pivoter le point de départ d'un angle α. Mais la tangente et la cotangente ne sont définies pour aucun angle. La tangente n'est pas définie pour les angles α pour lesquels le point de départ va vers un point d'abscisse nulle (0, 1) ou (0, −1), et cela se produit aux angles 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). En effet, à de tels angles de rotation, l'expression tgα=y/x n'a pas de sens, puisqu'elle contient une division par zéro. Quant à la cotangente, elle n'est pas définie pour les angles α dont le point de départ va au point d'ordonnée zéro (1, 0) ou (−1, 0), et cela se produit pour les angles 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Ainsi, le sinus et le cosinus sont définis pour tous les angles de rotation, la tangente est définie pour tous les angles sauf 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), et la cotangente est définie pour tous les angles sauf 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Les définitions reprennent les désignations déjà connues de nous sin, cos, tg et ctg, elles sont également utilisées pour désigner sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation (on peut parfois retrouver les désignations tan et cotcorrespondant à tangente et cotangente) . Ainsi le sinus d'un angle de rotation de 30 degrés peut s'écrire sin30°, les entrées tg(−24°17′) et ctgα correspondent à la tangente de l'angle de rotation −24 degrés 17 minutes et la cotangente de l'angle de rotation α . Rappelons que lors de l'écriture de la mesure en radian d'un angle, la désignation « rad » est souvent omise. Par exemple, le cosinus d'un angle de rotation de trois pi rad est généralement noté cos3·π.

En conclusion de ce point, il convient de noter que lorsqu'on parle de sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation, l'expression « angle de rotation » ou le mot « rotation » est souvent omis. Autrement dit, au lieu de l'expression « sinus de l'angle de rotation alpha », l'expression « sinus de l'angle alpha » ou, encore plus courte, « sinus alpha » est généralement utilisée. Il en va de même pour le cosinus, la tangente et la cotangente.

On dira aussi que les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle sont cohérentes avec les définitions qui viennent d'être données pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle de rotation allant de 0 à 90 degrés. Nous justifierons cela.

Nombres

Définition.

Sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un nombre c'est le numéro égal au sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation en t radians, respectivement.

Par exemple, le cosinus du nombre 8 π est par définition le nombre égal au cosinus angle de 8·π rad. Et le cosinus de l'angle est 8 π rad égal à un, donc le cosinus du nombre 8·π est égal à 1.

Il existe une autre approche pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un nombre. Cela consiste dans le fait que tout le monde nombre réel t correspond au point cercle unitaire centré à l'origine du système de coordonnées rectangulaires, et le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont déterminés par les coordonnées de ce point. Regardons cela plus en détail.

Montrons comment s'établit une correspondance entre des nombres réels et des points sur un cercle :

• le nombre 0 se voit attribuer le point de départ A(1, 0) ;
• le nombre positif t est associé à un point sur le cercle unité, auquel on arrivera si l'on se déplace le long du cercle à partir du point de départ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et suivons le chemin longueur t ;
• nombre négatif t est associé au point du cercle unité, auquel nous arriverons si nous nous déplaçons le long du cercle à partir du point de départ dans le sens des aiguilles d'une montre et parcourons un chemin de longueur |t| .

Passons maintenant aux définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente du nombre t. Supposons que le nombre t correspond à un point du cercle A 1 (x, y) (par exemple, le nombre &pi/2; correspond au point A 1 (0, 1)).

Définition.

Sinus du nombre t est l'ordonnée du point sur le cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire sint=y.

Définition.

Cosinus du nombre t est appelé l'abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire coût=x.

Définition.

Tangente du nombre t est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse d'un point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire cible = y/x. Dans une autre formulation équivalente, la tangente d'un nombre t est le rapport du sinus de ce nombre au cosinus, c'est-à-dire cible = sint/coût.

Définition.

Cotangente du nombre t est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée d'un point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire ctgt=x/y. Une autre formulation est la suivante : la tangente du nombre t est le rapport du cosinus du nombre t au sinus du nombre t : ctgt=cost/sint.

Nous notons ici que les définitions qui viennent d'être données sont cohérentes avec la définition donnée au début de ce paragraphe. En effet, le point du cercle unité correspondant au nombre t coïncide avec le point obtenu en faisant pivoter le point de départ d'un angle de t radians.

Cela vaut quand même la peine de clarifier ce point. Disons que nous avons l'entrée sin3. Comment comprendre s’il s’agit du sinus du chiffre 3 ou du sinus de l’angle de rotation de 3 radians ? Cela ressort généralement clairement du contexte, sinon cela n’a probablement pas une importance fondamentale.

Fonctions trigonométriques d'argument angulaire et numérique

D'après les définitions données dans le paragraphe précédent, à chaque angle de rotation α correspond une valeur bien précise sinα, ainsi que la valeur cosα. De plus, tous les angles de rotation autres que 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) correspondent aux valeurs tgα, et les valeurs autres que 180°k, k∈Z (πk rad ) – valeurs ​​de ctgα. Donc sinα, cosα, tanα et ctgα sont des fonctions de l'angle α. En d’autres termes, ce sont des fonctions de l’argument angulaire.

De même, on peut parler des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente argument numérique. En effet, à chaque nombre réel t correspond une valeur sint bien précise, ainsi qu’un coût. De plus, tous les nombres autres que π/2+π·k, k∈Z correspondent aux valeurs cible, et les nombres π·k, k∈Z - valeurs ctgt.

Les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sont appelées fonctions trigonométriques de base.

Le contexte indique généralement clairement s'il s'agit de fonctions trigonométriques d'un argument angulaire ou d'un argument numérique. Sinon, on peut considérer la variable indépendante comme une mesure de l'angle ( argument d'angle), et un argument numérique.

Cependant, à l'école, ils étudient principalement fonctions numériques, c'est-à-dire des fonctions dont les arguments, comme leurs valeurs de fonction correspondantes, sont des nombres. Par conséquent, si nous parlons de spécifiquement concernant les fonctions, il convient de considérer les fonctions trigonométriques comme des fonctions d'arguments numériques.

Relation entre les définitions de la géométrie et de la trigonométrie

Si l'on considère l'angle de rotation α allant de 0 à 90 degrés, alors les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation dans le contexte de la trigonométrie sont pleinement cohérentes avec les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle, donnés dans le cours de géométrie. Justifions cela.

Représentons-le dans un rectangle Système cartésien coordonne le cercle unitaire Oxy. Note point de départ UNE(1, 0) . Faisons-le pivoter d'un angle α allant de 0 à 90 degrés, nous obtenons le point A 1 (x, y). Déposons la perpendiculaire A 1 H du point A 1 à l'axe Ox.

Il est facile de voir que dans un triangle rectangle, l'angle A 1 OH est égal à l'angle de rotation α, la longueur de la jambe OH adjacente à cet angle est égale à l'abscisse du point A 1, soit |OH |=x, la longueur de la branche A 1 H opposée à l'angle est égale à l'ordonnée du point A 1, soit |A 1 H|=y, et la longueur de l'hypoténuse OA 1 est égale à un, puisque c'est le rayon du cercle unité. Alors, par définition géométrique, le sinus de l'angle aigu α dans un triangle rectangle A 1 OH est égal au rapport de la branche opposée à l'hypoténuse, c'est-à-dire sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=oui. Et par définition trigonométrique, le sinus de l'angle de rotation α est égal à l'ordonnée du point A 1, c'est-à-dire sinα=y. Cela montre que déterminer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle équivaut à déterminer le sinus de l'angle de rotation α lorsque α est compris entre 0 et 90 degrés.

De même, on peut montrer que les définitions du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu α sont cohérentes avec les définitions du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation α.

Bibliographie.

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7. Algèbre et j'ai commencé analyse mathematique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - I. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
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9. Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Niveau moyen

Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)

TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.

Dans les problèmes, l'angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,

et en cela

et en cela

Qu'est-ce qu'il y a de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il y a des spéciaux beaux noms pour ses côtés.

Attention au dessin !

Rappelez-vous et ne confondez pas : il y a deux jambes et il n'y a qu'une seule hypoténuse(un et unique, unique et le plus long) !

Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore.

Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Pythagore l'a complètement prouvé temps immemoriaux, et depuis, elle a apporté beaucoup de bénéfices à ceux qui la connaissent. Et le meilleur, c’est que c’est simple.

Donc, Théorème de Pythagore:

Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ! » ?

Dessinons ces mêmes Pantalon pythagoricien et regardons-les.

Est-ce que ça ne ressemble pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux ? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est précisément liée au théorème de Pythagore, ou plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :

"Somme superficies de carrés, construit sur les jambes, est égal à surface carrée, construit sur l'hypoténuse."

Cela semble-t-il vraiment un peu différent ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l’énoncé de son théorème, c’est exactement l’image qui en est ressortie.

Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon pythagoricien.

Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore ?

Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?

Vous voyez, dans les temps anciens, il n’y avait pas… d’algèbre ! Il n'y avait aucun signe, etc. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point il était terrible pour les pauvres anciens étudiants de se souvenir de tout avec des mots ??! Et nous pouvons être heureux d'avoir formulation simple Théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :

Cela devrait être facile maintenant :

Eh bien, le voici théorème principal discuté du triangle rectangle. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les niveaux de théorie suivants, et passons maintenant à... forêt Noire... la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien entendu, la « vraie » définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente devrait être examinée dans l’article. Mais je n’en ai vraiment pas envie, n’est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes concernant un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Pourquoi tout se passe-t-il au coin de la rue ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous !

1.
En fait, cela ressemble à ceci :

Et l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c’est-à-dire une jambe opposée (pour un angle) ? Bien sûr ! C'est une jambe !

Et l'angle ? Regarde attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Cela signifie que pour l'angle la jambe est adjacente, et

Maintenant, faites attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est cool :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je écrire cela avec des mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport à l’angle ? En face, bien sûr, il « se trouve » en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu’avons-nous ?

Voyez-vous comment le numérateur et le dénominateur ont changé de place ?

Et maintenant les coins à nouveau et fait un échange :

Résumé

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore:

Le théorème principal sur les triangles rectangles est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droite, . Qu'en est-il d'une zone plus petite ? Certainement, . La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses. Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

C'est très confortable !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Des deux côtés

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

un)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Regardez le sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Selon un angle aigu

II. Des deux côtés

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi cela est-il ainsi?

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d’un rectangle ?

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regarde attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Alors commençons par ce « en plus… ».

Regardons et.

Mais triangles similaires tous les angles sont égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Alors, appliquons la similarité : .

Ce qui va se passer maintenant?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique. Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes : .

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux côtés :
• par jambe et hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin aigu : ou
• de la proportionnalité de deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé : .

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet angle droit, est égal à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

• via les jambes :

Retour avant

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si tu es intéressé ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Objectifs de la leçon:

• introduire les notions de sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle ;
• montrer comment le sinus, le cosinus et la tangente sont utilisés pour résoudre des problèmes ;
• développement de compétences pour observer, comparer, analyser et tirer des conclusions.

Pendant les cours

Mise à jour des connaissances (identifier la problématique principale de la leçon)

Réalisée sous la forme d'une enquête frontale.

Professeur. Au tableau, vous voyez un résumé de 6 problèmes< Рисунок 1>. Rappelez-vous lequel de ces problèmes vous savez déjà comment résoudre ? Résolvez ces problèmes. Formulez les théorèmes correspondants.

Image 1

Étudiants:

Tache 1. Réponse : 5. Dans un triangle rectangle, la jambe opposée à l'angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Tâche 2. Réponse : 41°. La somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180°.

Tâche 3. Réponse : 10. Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes.

Problèmes 4-6 nous ne pouvons pas décider.

Professeur. Pourquoi ne parvenez-vous pas à résoudre les problèmes 4 à 6 ? Quelle question se pose ?

Étudiants. Nous ne savons pas ce que sont tgB, sinA, cosB.

Professeur. sinA, cosB, tanB se lisent : « sinus de l'angle A », « cosinus de l'angle B » et « tangente de l'angle B ». Aujourd'hui, nous allons apprendre ce que signifie chacune de ces expressions et comment résoudre des problèmes comme 4-6.

Introduction de nouveau matériel

Mené sous la forme d’une conversation heuristique.

Professeur. Dessinez des triangles rectangles avec les branches 3 et 4, 6 et 8. Étiquetez-les ABC et A 1 B 1 C 1 de sorte que B et B 1 soient des angles opposés aux branches 4 et 8 et que les angles droits soient C, C 1. Les angles B et B1 sont-ils égaux ? Pourquoi?

Étudiants. Égal parce que les triangles sont semblables. AC : BC = A 1 C 1 : B 1 C 1 (3 : 4 = 6 : 8) et les angles entre eux sont droits.<Рисунок 2>

Professeur. Les égalités de quelles autres relations découlent de la similitude des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 ?

Étudiants. BC : AB = B 1 C 1 : A 1 B 1, AC : AB = A 1 C 1 : A 1 B 1.

Professeur. AC : AB = A 1 C 1 : A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC : AB = B 1 C 1 : A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC : BC = A 1 C 1 : B 1 C 1 = tgB = tgB 1. La jambe AC ​​est opposée à l’angle B et la jambe BC est adjacente à cet angle. Donnez les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente.

Étudiants. Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

Professeur. Notez vous-même le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle A (diapositive 1). Les formules résultantes (1), (2), (3) :

(1)

Ainsi, nous avons appris ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle. En général, les notions de sinus, cosinus et tangente ont longue histoire. En étudiant la relation entre les côtés et les angles d'un triangle, les scientifiques anciens ont trouvé des moyens de calculer divers éléments Triangle. Ces connaissances étaient principalement utilisées pour résoudre des problèmes d'astronomie pratique, pour déterminer des distances inaccessibles.

Consolidation

Professeur. Résolvons le problème n°591 (a, b).

La tâche est affichée à l'écran (diapositive 2). La tâche « a » est résolue au tableau avec explication complète; «b» – indépendamment, suivi d'une vérification mutuelle.

Trouver le sinus, le cosinus et la tangente des angles A et B du triangle ABC d'angle droit C, si : a) BC = 8, AB = 17 ; b) BC = 21, AC = 20.

Solution. une) = . = , en utilisant le théorème de Pythagore on trouve AC = 15,

Professeur. Revenons maintenant aux problèmes 4 à 6<Рисунок 1>. Discutons de ce qui est connu dans les problèmes 4 à 6 et de ce qui doit être trouvé ?

Tâche 4. Ce qui est connu? Qu'est-ce que tu a besoin de trouver?

Étudiants. BC = 7 et tan B = 3,5 sont connus. Nous devons trouver la climatisation.

Professeur. Qu’est-ce que le tg B ?

Étudiants. .

Professeur. Nous travaillons avec la formule. La formule se compose de trois éléments. Nomme les. Quels composants sont connus ? Quel composant est inconnu ? Peux-tu le trouver? Trouve le.

Étudiants. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Professeur. À l'aide de cet exemple, résolvez les problèmes 5 et 6<Рисунок 1>. 1 élève travaille sur un tableau fermé

Professeur.

1. Dites-moi, avez-vous réussi à trouver les inconnues recherchées ?

2. Quel a été l’ordre de vos actions ?

3. Peut-être existe-t-il d’autres solutions ?

Étudiants.1. Oui. Facilement. En suivant l'exemple. Problème 5. Réponse : 10. Problème 6. Réponse : 2,5

2. Tout d'abord, nous remplaçons le sinus et le cosinus des angles correspondants par définition par les rapports correspondants, puis nous mettons les données connues dans les proportions résultantes, après quoi nous trouvons les inconnues inconnues.

Professeur. Lequel conclusion générale est-ce possible après avoir résolu les problèmes 4 à 6 ? Quels nouveaux problèmes avons-nous appris à résoudre dans un triangle rectangle ? Réfléchissez et formulez votre conclusion.

Étudiants. Si dans un triangle rectangle vous connaissez un côté et le rapport de ce côté à l'un des autres côtés, ou un côté et le rapport de l'un des autres côtés à un côté connu (soit le sinus, le cosinus ou la tangente), alors vous peut trouver cette deuxième face.

Résolution de problème.

Essayez maintenant de résoudre ces problèmes 7–9<Рисунок 3>.

figure 3

Étudiants. Nous ne savons pas comment les résoudre.

Professeur. Revenons au problème 1<Рисунок 1>. Modifions la condition du problème. Soit NK = 5, NM = 10. Trouvez l'angle M.

Étudiants. L'angle M est égal à 30°, puisque la jambe opposée à l'angle M est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Professeur. Autrement dit, il s’avère que si le sinus de l’angle est de 0,5, alors l’angle est de 30°. Résolvons maintenant les problèmes n°592 (a, c, d)

N° 592. Construire un angle un, si : a) c) d) .

Solution.

a) Sur les côtés de l'angle droit, réservez les segments de longueur 1 et 2, reliez les extrémités des segments. Dans le triangle résultant, l'angle opposé à la jambe 1 est l'angle souhaité un;

c) 0,2 = . D'un côté de l'angle droit à partir de son sommet, nous déposons un segment de longueur 1. Construisons un cercle de rayon 5 avec le centre à l'extrémité du segment délimité. Le point d'intersection du cercle avec le deuxième côté de l'angle droit est relié à l'extrémité du segment disposé du premier côté de l'angle. Dans le triangle résultant, l'angle adjacent à la branche de longueur 1 est l'angle un; (diapositive 4)

e) D'un côté de l'angle droit à partir de son sommet, nous déposons un segment de longueur 1. Construisons un cercle de rayon 2 avec le centre à l'extrémité du segment délimité. Le point d'intersection du cercle avec le deuxième côté de l'angle droit est relié à l'extrémité du segment disposé du premier côté de l'angle. Dans le triangle résultant, l'angle opposé à la jambe de longueur 1 est l'angle souhaité un.(diapositive 5)

Vous avez construit les angles, ce qui signifie que vous avez trouvé les angles. Ils peuvent être mesurés et présentés sous forme de tableau.

De même, vous pouvez résoudre les problèmes 7 à 9<Рисунок 3>

Résumer

Professeur. Répondez aux questions:

1. Quels sont le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle droit dans un triangle rectangle ?

2. Il y a 6 éléments dans un triangle rectangle. Quels nouveaux problèmes avez-vous appris à résoudre aujourd’hui ? Quel est votre ordre d’action ? Testez votre capacité à effectuer ces actions correctement (des cartes individuelles sont distribuées).

Contenu approximatif des cartes : 1. B triangle ABC l'angle C est une droite, BC = 2, Trouvez AB. 2. Dans le triangle ABC, l'angle C est une droite, AC = 8, . Trouvez AB. 3. Dans le triangle ABC, l'angle C est égal à 90°, AC = 6, . Trouvez le soleil.

Les élèves comparent leur travail avec des solutions toutes faites sur les cartes correspondantes.

Devoirs: question 15, page 159 ; N° 591(c,d),592(b,d,f) (diapositive 6)

Les références

1. Géométrie. 7e à 9e années : manuel. Pour organismes éducatifs/ [ L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et autres]. – 2e éd. – M. : Éducation, 2014.

L’un des domaines mathématiques avec lesquels les élèves ont le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant : pour maîtriser couramment ce domaine de connaissances, il faut avoir pensée spatiale, capacité à trouver des sinus, cosinus, tangentes, cotangentes à l'aide de formules, simplifier des expressions, être capable d'utiliser pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'utiliser la trigonométrie pour prouver des théorèmes, ce qui nécessite soit un développement mémoire mathématique, ou la capacité de dériver des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

Se familiariser avec cette science doit commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, le principal objet d'étude dans cette section science mathématiqueétaient des triangles rectangles. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question à l'aide de deux côtés et d'un angle ou de deux angles et d'un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même dans l'art.

Première étape

Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés uniquement en utilisant l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans Vie courante cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les élèves utilisent les connaissances acquises en physique et en résolvant des problèmes abstraits. équations trigonométriques, dont le travail commence au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint un niveau de développement supérieur, des formules avec sinus, cosinus, tangente et cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent et où la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudié à l'école, mais il faut connaître son existence au moins parce que la surface de la terre, et la surface de toute autre planète est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera en espace tridimensionnel"en forme d'arc".

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Attention, il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique traite de telles formes, qui sont utilisées en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle de 90 degrés. C'est le plus long. On se souvient que d'après le théorème de Pythagore, son valeur numériqueégal à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il ne faut pas oublier que la somme des angles d’un triangle est système rectangulaire les coordonnées sont de 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une bonne compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si dans votre réponse à un problème vous obtenez un sinus ou un cosinus d'une valeur supérieure à 1, recherchez une erreur dans les calculs ou le raisonnement. Cette réponse est clairement incorrecte.

Enfin, la tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. En divisant le sinus par le cosinus, on obtient le même résultat. Regardez : d'après la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, on obtient la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente est donc le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant un par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons passer aux formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, vous ne pouvez pas vous passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c’est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais cela permet de gagner du temps si l'on a besoin de connaître la taille de l'angle plutôt que son côté.

De nombreux étudiants ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire pour résoudre tâches scolaires: la somme de un et du carré de la tangente de l'angle est égale à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s’avère qu’une simple opération mathématique ne formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : savoir ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de conversion et plusieurs formules de base vous pouvez à tout moment retirer les sommes supplémentaires requises formules complexes sur une feuille de papier.

Formules pour les angles doubles et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments sous la forme double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en guise d'entraînement essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être réorganisées pour réduire la puissance du sinus, du cosinus et de la tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. A l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule qu'en divisant la longueur de chaque côté d'un triangle par l'angle opposé, on obtient même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle contenant tous les points d'un triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s’avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison de la distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus courantes.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions en décimales tant que vous n'avez pas obtenu le résultat final - vous pouvez laisser la réponse ainsi fraction commune, sauf indication contraire dans les conditions. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d’erreur, mais il ne faut pas oublier qu’à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître qui, selon l’idée de l’auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez votre temps en tâches inutiles. opérations mathématiques. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou la racine de deux, car elles se retrouvent dans les problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « laids ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s’applique à n’importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus est de 30 degrés égal au cosinusà 60 ans et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie car ils n'en comprennent pas le sens pratique. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance jusqu'à étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie, sous une forme ou une autre, est utilisée partout, de la musique à la médecine.

Enfin

Donc tu es sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l’intérêt de la trigonométrie réside dans le fait qu’en utilisant les paramètres connus d’un triangle, vous devez calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total : longueur trois côtés et les tailles des trois angles. La seule différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont fournies.

Vous savez maintenant comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse. Puisque ces termes ne signifient rien de plus qu’un rapport, et qu’un rapport est une fraction, objectif principal problème trigonométrique consiste à trouver les racines d’une équation ordinaire ou d’un système d’équations. Et ici, les mathématiques scolaires régulières vous aideront.