Transformée de Fourier
Lors de l'utilisation des transformées de Fourier, l'image est représentée comme une somme de complexes fonctions exponentielles variables d'amplitude, de fréquence et de phase. La transformée de Fourier joue très rôle important dans de nombreux domaines du traitement d'images, notamment l'amélioration, l'analyse, la restauration et la compression.
- Définitions de base de la transformée de Fourier
- Transformée de Fourier discrète, y compris transformée de Fourier rapide
- Application de la transformée de Fourier (quelques exemples application pratique transformée de Fourier)
Définitions de base de la transformée de Fourier
Si ƒ(m,n) est une fonction de deux variables spatiales discrètes m et n, alors la transformée de Fourier bidimensionnelle de la fonction ƒ(m,n) peut être représenté par l'expression suivante
Les variables sont des fréquences angulaires. Ainsi, représente une fonction ƒ(m,n) V domaine fréquentiel. est une fonction à valeurs complexes avec des fréquences correspondantes. Les fréquences sont dans la plage , . Noter que F(0,0) est représenté comme la somme de toutes les variables ƒ(m,n). Pour cette raison F(0,0) est souvent appelée la composante constante de la transformée de Fourier.
La transformée de Fourier bidimensionnelle inverse est représentée par l'expression
Ceux. cette expression représente ƒ(m,n) sous forme de somme nombre fini fonctions exponentielles complexes (ondes sinusoïdales) avec différentes fréquences. L'amplitude et la phase déterminent la contribution des fréquences à la représentation.
Visualisation de la transformée de Fourier
Pour illustrer la transformée de Fourier, supposons que la fonction ƒ(m,n) est égal à 1 et est représenté par un rectangle. Pour simplifier le schéma, la fonction ƒ(m,n) sera représenté comme une fonction continue de deux variables discrètes m Et n.
Fonction rectangulaire
La figure ci-dessous, utilisant la fonction maillage, visualise les valeurs d'amplitude obtenues à partir de la transformée de Fourier fonction rectangulaire montré dans la figure précédente. La visualisation d'amplitude est également appelée visualisation par transformée de Fourier.
Amplitude de l'image de la fonction rectangulaire
Le sommet de la fonction est au centre et affiche la valeur F(0,0), qui est la somme de toutes les valeurs ƒ(m,n). Tous les autres composants représentent la répartition de l’énergie sur les fréquences verticales et horizontales.
Une autre façon de visualiser la transformée de Fourier consiste à afficher les valeurs sous forme d'image.
Représentation logarithmique de la transformée de Fourier d'une fonction rectangulaire
Examinons des exemples de transformées de Fourier de fonctions de diverses formes simples.
Exemples de transformées de Fourier de fonctions de diverses formes simples
Transformation en cosinus discrète
Les transformées en cosinus discrètes représentent une image comme une somme de sinusoïdes avec différentes amplitudes et fréquences. Fonction dct2 dans l'application Image Boîte à outils de traitement implémente des transformations en cosinus discrètes bidimensionnelles d'images. L'une des caractéristiques de la transformée de Fourier discrète est que certains zones locales les images peuvent être caractérisées une petite quantité coefficients de transformée de Fourier discrète. Cette propriété est très souvent utilisée dans le développement de méthodes de compression d’images. Par exemple, la transformée en cosinus discrète est à la base d'une norme internationale utilisée dans l'algorithme de compression d'image avec perte JPEG. Le nom du format « JPEG » est constitué des premières lettres du nom groupe de travail, qui a participé à l’élaboration de cette norme (Joint Photographic Experts Group).
Transformation matricielle en cosinus discrète bidimensionnelle UN avec dimensions est implémenté selon l'expression suivante
Valeurs Bpq sont appelés les coefficients de la transformation cosinus discrète de la matrice UN.
(Il convient de noter que les indices matriciels dans MATLAB commencent toujours à 1 et non à 0. Par conséquent, les éléments matriciels représentés dans MATLAB par A(1,1) et B(1,1) correspondront aux éléments Un 00 Et B00à partir de la formule ci-dessus.)
La transformée en cosinus discrète inverse est implémentée selon les expressions
L'expression de transformée en cosinus discrète inverse peut être interprétée comme une représentation matricielle UN avec des dimensions comme la somme des fonctions suivantes
Ces fonctions sont appelées fonctions fondamentales (de base) de la transformée en cosinus discrète. Coefficients de transformation en cosinus discret Bpq peuvent être considérés comme des poids pour chaque fonction de base. Par exemple, pour une matrice avec une taille d'élément, il y a 64 fonctions de base, qui est montré dans l'image.
64 fonctions de base obtenues pour une matrice avec des tailles d'éléments
Les fréquences horizontales augmentent de gauche à droite et les fréquences verticales augmentent de haut en bas.
Matrice de transformation en cosinus discrète
Application Traitement d'images Toolbox propose deux différentes manières implémentation de transformations cosinus discrètes. La première méthode est implémentée dans la fonction dct2. La fonction dct2 utilise la transformée de Fourier rapide pour accélérer les calculs. La deuxième méthode utilise la matrice de transformation en cosinus discrète, qui est renvoyée par la fonction dctmtx. La matrice de transformation T est formée selon l'expression suivante
Pour matrice UN with dimensions est une matrice avec dimensions , où chaque colonne contient une transformation en cosinus discrète unidimensionnelle UN. Transformation en cosinus discrète bidimensionnelle UN calculé comme B=T*A*T’. Transformation cosinus discrète bidimensionnelle inverse B calculé comme T'*B*T.
Transformations en cosinus discrètes et compression d'image
Dans l'algorithme de compression d'image JPEG, l'image originale est divisée en blocs de dimensions ou d'éléments. Ensuite, une transformée en cosinus discrète bidimensionnelle est calculée pour chaque bloc. Les coefficients des transformées en cosinus discrètes sont quantifiés, codés et transmis. Le récepteur JPEG décode les coefficients de transformation en cosinus discrète, calcule la transformation en cosinus discrète 2D inverse dans chaque bloc, puis les assemble en une seule image.
Considérons un exemple de calcul de transformations en cosinus discrètes bidimensionnelles en blocs avec les tailles des éléments de l'image originale. De plus, lors de la reconstruction de l'image, nous ne prendrons en compte que 10 coefficients de chaque bloc, le reste sera mis à zéro. Lors de la réalisation des calculs décrits, la matrice de transformation sera également utilisée.
I = imread("cameraman.tif"); je = im2double(je); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); masque = ; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",masque); I2 = blkproc(B2,,"P1 *x*P2",T",T); je montre (je); figure, je montre (I2)
La figure montre deux images – l’originale et celle reconstruite. Seuls 15 % des coefficients de transformée en cosinus discrète ont été utilisés dans la reconstruction d'images. Il faut cependant noter que la qualité de l’image reconstruite est tout à fait acceptable. Pour afficher d'autres propriétés de la transformée en cosinus discrète, consultez la fonction dctdemo.
Transformations du radon
La fonction radon de la boîte à outils de traitement d'images calcule une matrice de projections d'images dans des directions données. La projection d'une fonction bidimensionnelle f(x,y) est égale à l'intégrale le long de ligne spécifiée. La fonction Radon est le calcul de projections d'images sur un axe, qui sont spécifiées par des angles en degrés par rapport à l'horizontale dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La figure montre la projection d'une certaine figure à un angle spécifié
Projection à faisceau parallèle avec angle de rotation thêta
La figure ci-dessous montre les projections horizontales et verticales pour une simple fonction bidimensionnelle.
Projections horizontales et verticales d'une fonction simple
Les projections peuvent être calculées le long angle arbitraire thêta. La fonction radon intégrée à Image Processing Toolbox calcule les projections d’images dans certaines directions. La projection d'une fonction bidimensionnelle f(x,y) sur l'axe x' est une intégrale linéaire
Ainsi, les axes x' y' sont spécifiés en tournant d'un angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
L'image ci-dessous illustre la géométrie de la transformée de Radon.
Géométrie de transformation du radon
Visualisation des transformations du radon
Lors de l'exécution des transformations Radon, il est nécessaire de spécifier l'image d'origine et le vecteur des angles thêta.
Radon (I, thêta);
R. est une matrice dans laquelle chaque colonne est la transformée de Radon pour l'un des angles contenus dans le vecteur thêta. Le vecteur xp contient les coordonnées correspondantes le long de l'axe x. Le pixel central I est déterminé selon l'expression floor((size(I)+1)/2).
Regardons comment les projections sont calculées dans les transformations de Radon. Considérons des projections sous un angle de 0° et 45°.
I = zéros (100 100) ; je(25:75, 25:75) = 1 ; je montre (je)
Radon(Je,); chiffre; tracé(xp,R(:,1)); titre("R_(0^o) (x\prime)")
Transformations du radon à 0°
Chiffre; tracé(xp,R(:,2)); titre("R_(45^o) (x\prime)")
Transformations du radon à 45°
Transformations du radon à grand nombre les angles sont souvent affichés sous forme d’image. DANS dans cet exemple Les transformations du radon pour une image en forme de carré sont considérées dans une plage d'angle de 0° à 180° avec une résolution de 1°.
Thêta = 0:180 ;
= radon(I,thêta); imagesc(thêta,xp,R); titre("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\theta (degrés)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); palette de couleurs (chaud); barre de couleurs
Transformations du radon à l'aide de 180 projections
Utilisation des transformations Radon lors de la détection de lignes
Les transformations du radon sont similaires à d'autres opérations bien connues, connues sous le nom de transformations de Hoch. La fonction radon peut être utilisée pour détecter des lignes droites. Examinons les principales étapes de ce processus. R. correspond à =1° et x´= -80. Une ligne est tracée à partir du centre de l’image originale selon un angle à une distance x’. Une droite est tracée perpendiculairement à cette droite, qui correspond à la droite sur image originale. De plus, il y a d'autres lignes dans l'image qui sont présentées dans la matrice R. pics correspondants.
Géométrie de transformation du radon pour la détection de lignes droites
C'est l'une des transformées de Fourier largement utilisées dans les algorithmes de traitement du signal numérique (ses modifications sont utilisées dans la compression audio en MP3, la compression d'images en JPEG, etc.), ainsi que dans d'autres domaines liés à l'analyse des fréquences en discret (par exemple exemple, signal analogique numérisé. La transformée de Fourier discrète nécessite en entrée fonction discrète. De telles fonctions sont souvent créées par échantillonnage (valeurs d'échantillonnage de fonctions continues). Les transformées de Fourier discrètes aident à résoudre les problèmes partiels équations différentielles et effectuer des opérations telles que des convolutions. Les transformées de Fourier discrètes sont également activement utilisées en statistiques, dans l'analyse de séries chronologiques. Les transformations peuvent être unidimensionnelles, bidimensionnelles et même tridimensionnelles.
Conversion directe :
Conversion inversée :
Désignations :
§ N- le nombre de valeurs de signal mesurées sur une période, ainsi que le nombre de composantes de décomposition ;
§ - valeurs de signal mesurées (à des moments discrets avec des nombres qui sont des données d'entrée pour conversion directe et les week-ends pour le retour ;
§ - N amplitudes complexes des signaux sinusoïdaux composant le signal original ; sont des données de sortie pour une conversion directe et des données d'entrée pour une conversion inverse ; les amplitudes étant complexes, il est possible d'en calculer à la fois l'amplitude et la phase ;
§ est l'amplitude habituelle (réelle) du kième signal sinusoïdal ;
§argument( Xk) - phase du kème signal sinusoïdal (argument d'un nombre complexe) ;
§ k- fréquence du kème signal, égale à , où T- la période de temps pendant laquelle les données d'entrée ont été collectées.
De ce dernier point, il ressort clairement que la transformation décompose le signal en composantes sinusoïdales (appelées harmoniques) avec des fréquences allant de N oscillations par période à une oscillation par période. Étant donné que la fréquence d'échantillonnage elle-même est égale à N échantillons par période, les composants haute fréquence ne peuvent pas être affichés correctement - un effet de moiré se produit. Cela conduit au fait que la seconde moitié des N amplitudes complexes est en fait une image miroir de la première et ne contient aucune information supplémentaire.
Considérez un signal périodique x(t) de période égale à T. Développons-la en une série de Fourier :
Échantillonnons le signal pour qu'il y ait N échantillons par période. Signal discret Présentons-le sous forme de lectures : xn = x(tn), où , alors ces lectures à travers la série de Fourier s'écriront comme suit :
En utilisant la relation : , on obtient :
Où 
Nous avons donc Transformée de Fourier discrète inverse.
Multiplions maintenant de manière scalaire l'expression de xn allumé et on obtient :
Nous utilisons ici : a) une expression pour la somme d'un nombre fini de termes (exposants) progression géométrique, et b) l'expression du symbole de Kronecker comme limite du rapport des fonctions d'Euler pour les nombres complexes. Il s'ensuit que :
Cette formule décrit transformée de Fourier discrète directe.
Dans la littérature, il est d'usage d'écrire le multiplicateur dans la transformation inverse, et donc les formules de transformation sont généralement écrites sous la forme suivante :
La transformée de Fourier discrète est une transformation linéaire qui transforme un vecteur d'échantillons temporels en un vecteur d'échantillons spectraux de même longueur. La transformation peut donc être implémentée comme une multiplication matrice carrée au vecteur:
Je crois que tout est aperçu général connaître l'existence d'un outil mathématique aussi merveilleux que la transformée de Fourier. Cependant, pour une raison quelconque, elle est si mal enseignée dans les universités que relativement peu de gens comprennent comment cette transformation fonctionne et comment elle doit être utilisée correctement. Pendant ce temps, les mathématiques de cette transformation sont étonnamment belles, simples et élégantes. J'invite tout le monde à en apprendre un peu plus sur la transformée de Fourier et sur le sujet connexe, à savoir comment signaux analogiques peuvent être efficacement convertis en fichiers numériques pour le traitement informatique.
Ne sert à rien formules complexes et Matlab, je vais essayer de répondre aux questions suivantes :
- FT, DTF, DTFT - quelles sont les différences et comment des formules apparemment complètement différentes donnent-elles des résultats conceptuellement similaires ?
- Comment interpréter correctement les résultats conversion rapide Fourier (FFT)
- Que faire si vous recevez un signal de 179 échantillons et que la FFT nécessite une séquence d'entrée de longueur également deux
- Pourquoi, lorsqu'on essaie d'obtenir le spectre d'une sinusoïde à l'aide de Fourier, au lieu du « bâton » unique attendu, un étrange gribouillis apparaît sur le graphique et que peut-on y faire ?
- Pourquoi les filtres analogiques sont-ils placés avant l'ADC et après le DAC ?
- Est-il possible de numériser un signal ADC avec une fréquence supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage (la réponse de l'école est incorrecte, la bonne réponse est possible)
- Comment restaurer le signal original à l'aide d'une séquence numérique
Je partirai de l'hypothèse que le lecteur comprend ce qu'est une intégrale, un nombre complexe (ainsi que son module et son argument), une convolution de fonctions, plus au moins une idée « pratique » de ce qu'est la fonction delta de Dirac. est. Si vous ne le savez pas, pas de problème, lisez les liens ci-dessus. Sous « produit de fonctions » dans ce texte Je comprendrai la « multiplication ponctuelle » partout
Nous devrions probablement commencer par le fait que conversion normale Fourier est une sorte de chose qui, comme son nom l'indique, transforme certaines fonctions en d'autres, c'est-à-dire qu'elle associe chaque fonction d'une variable réelle x(t) à son spectre ou image de Fourier y(w) :
Si nous donnons des analogies, alors un exemple de transformation de sens similaire peut être, par exemple, la différenciation, transformant une fonction en sa dérivée. Autrement dit, la transformée de Fourier est essentiellement la même opération que la dérivée, et elle est souvent notée de la même manière, en dessinant un « capuchon » triangulaire sur la fonction. Contrairement à la différenciation, qui peut également être définie pour les nombres réels, la transformée de Fourier « fonctionne » toujours avec des nombres complexes plus généraux. Pour cette raison, l'affichage des résultats de cette conversion pose toujours des problèmes, car nombres complexes sont déterminés non pas par une, mais par deux coordonnées sur le plan de fonctionnement nombres réels graphique. En règle générale, le moyen le plus pratique consiste à représenter les nombres complexes sous la forme d'un module et d'un argument et à les dessiner séparément sous forme de deux graphiques distincts :
Le graphique de l'argument de la valeur complexe est souvent appelé dans ce cas le « spectre de phase », et le graphique du module est souvent appelé « spectre d'amplitude ». Le spectre d’amplitude est généralement beaucoup plus intéressant et c’est pourquoi la partie « phase » du spectre est souvent ignorée. Dans cet article, nous nous concentrerons également sur les éléments « d’amplitude », mais il ne faut pas oublier l’existence de la partie phase manquante du graphique. De plus, au lieu du module de valeurs complexes habituel, il est souvent dessiné logarithme décimal multiplié par 10. Le résultat est un graphique logarithmique avec des valeurs affichées en décibels (dB).
Attention, pas grand-chose nombres négatifs le graphique logarithmique (-20 dB ou moins) correspond pratiquement zéro nombre sur le graphique « normal ». Par conséquent, les « queues » longues et larges de divers spectres sur de tels graphiques, lorsqu'elles sont affichées dans des coordonnées « ordinaires », disparaissent généralement pratiquement. La commodité d'une représentation aussi étrange à première vue vient du fait que les images de Fourier diverses fonctions il faut souvent se multiplier entre eux. Avec une telle multiplication ponctuelle d'images de Fourier à valeurs complexes, leurs spectres de phase sont ajoutés et leurs spectres d'amplitude sont multipliés. Le premier est facile à réaliser, tandis que le second est relativement difficile. Cependant, les logarithmes de l'amplitude s'additionnent en multipliant les amplitudes, donc graphiques logarithmiques les amplitudes, comme les graphiques de phase, peuvent être simplement ajoutées point par point. De plus, dans problèmes pratiques Il est souvent plus pratique d'opérer non pas avec « l'amplitude » du signal, mais avec sa « puissance » (le carré de l'amplitude). Sur échelle logarithmique les deux graphiques (amplitude et puissance) semblent identiques et ne diffèrent que par le coefficient - toutes les valeurs sur le graphique de puissance sont exactement deux fois plus grandes que sur l'échelle d'amplitude. En conséquence, pour tracer la répartition de la puissance par fréquence (en décibels), vous ne pouvez rien mettre au carré, mais calculer le logarithme décimal et le multiplier par 20.
Vous vous ennuyez ? Attendez encore un peu, nous en aurons bientôt fini avec la partie ennuyeuse de l'article expliquant comment interpréter les graphiques :). Mais avant cela, vous devez comprendre une chose extrêmement chose importante: Bien que tous les tracés spectraux ci-dessus aient été tracés pour certaines plages limitées de valeurs (nombres positifs en particulier), tous ces tracés continuent en réalité vers plus et moins l'infini. Les graphiques représentent simplement une partie « la plus significative » du graphique, qui est généralement reflétée pour valeurs négatives paramètre et est souvent répété périodiquement avec un certain pas lorsqu’il est considéré à plus grande échelle.
Après avoir décidé ce qui est dessiné sur les graphiques, revenons à la transformée de Fourier elle-même et à ses propriétés. Il y en a plusieurs différentes manières comment déterminer cette transformation, différant dans de petits détails (différentes normalisations). Par exemple, dans nos universités, pour une raison quelconque, ils utilisent souvent la normalisation de la transformée de Fourier, qui définit le spectre en termes de fréquence angulaire (radians par seconde). J'utiliserai une formulation occidentale plus pratique qui définit le spectre en termes de fréquence ordinaire (hertz). Direct et conversion inverse Fourier dans ce cas est déterminé par les formules de gauche, et certaines propriétés de cette transformation dont nous aurons besoin sont déterminées par une liste de sept points à droite :
La première de ces propriétés est la linéarité. Si nous prenons une combinaison linéaire de fonctions, alors la transformée de Fourier de cette combinaison sera la même combinaison linéaire des images de Fourier de ces fonctions. Cette propriété permet de réduire fonctions complexes et leurs transformations de Fourier en des transformées plus simples. Par exemple, la transformée de Fourier d'une fonction sinusoïdale de fréquence f et d'amplitude a est une combinaison de deux fonctions delta situées aux points f et -f et de coefficient a/2 :
Si nous prenons une fonction constituée de la somme d'un ensemble de sinusoïdes de fréquences différentes, alors selon la propriété de linéarité, la transformée de Fourier de cette fonction sera constituée d'un ensemble correspondant de fonctions delta. Cela permet de donner une interprétation naïve mais visuelle du spectre selon le principe « si dans le spectre d'une fonction la fréquence f correspond à l'amplitude a, alors la fonction originale peut être représentée comme une somme de sinusoïdes dont l'une sera une sinusoïde de fréquence f et d’amplitude 2a. À proprement parler, cette interprétation est incorrecte, puisque la fonction delta et le point sur le graphique sont des choses complètement différentes, mais comme nous le verrons plus tard, pour les transformées de Fourier discrètes, ce ne sera pas si loin de la vérité.
La deuxième propriété de la transformée de Fourier est l'indépendance du spectre d'amplitude par rapport au décalage temporel du signal. Si nous déplaçons une fonction vers la gauche ou la droite le long de l’axe des x, alors seule sa spectre de phase.
La troisième propriété est que l'étirement (compression) de la fonction d'origine le long de l'axe du temps (x) compresse (étire) proportionnellement son image de Fourier le long de l'échelle de fréquence (w). En particulier, le spectre d'un signal de durée finie est toujours infiniment large et, à l'inverse, le spectre de largeur finie correspond toujours à un signal de durée illimitée.
Les quatrième et cinquième propriétés sont peut-être les plus utiles de toutes. Ils permettent de réduire la convolution des fonctions à une multiplication ponctuelle de leurs images de Fourier, et vice versa - la multiplication ponctuelle des fonctions à la convolution de leurs images de Fourier. Un peu plus loin, je montrerai à quel point c'est pratique.
La sixième propriété parle de la symétrie des images de Fourier. En particulier, de cette propriété, il s'ensuit que dans la transformée de Fourier d'une fonction à valeur réelle (c'est-à-dire tout signal « réel »), le spectre d'amplitude est toujours même fonction, et le spectre de phase (s'il est amené à la plage -pi...pi) est impair. C’est pour cette raison que les spectres ne sont presque jamais représentés sur des graphiques. partie négative spectre - pour les signaux à valeur réelle, il ne fournit aucun nouvelles informations(mais, je le répète, ce n'est pas nul non plus).
Enfin, la dernière, septième propriété, dit que la transformée de Fourier préserve « l'énergie » du signal. Cela n'a de sens que pour les signaux de durée finie, dont l'énergie est finie, et suggère que le spectre de ces signaux à l'infini se rapproche rapidement de zéro. C'est précisément à cause de cette propriété que les graphiques de spectre ne représentent généralement que la partie « principale » du signal, qui transporte la part du lion de l'énergie - le reste du graphique tend simplement vers zéro (mais, encore une fois, n'est pas nul).
Armés de ces 7 propriétés, regardons les mathématiques de la « numérisation » d'un signal à traduire signal continu en une séquence de nombres. Pour ce faire, nous devons prendre une fonction connue sous le nom de « peigne de Dirac » :
Un peigne de Dirac est simplement une séquence périodique de fonctions delta avec un coefficient unité, commençant à zéro et procédant à l'étape T. Pour numériser les signaux, T est choisi un nombre aussi petit que possible, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Au lieu d'une fonction continue, après une telle multiplication, on obtient une séquence d'impulsions delta d'une certaine hauteur. De plus, selon la propriété 5 de la transformée de Fourier, le spectre du signal discret résultant est une convolution du spectre original avec le peigne de Dirac correspondant. Il est facile de comprendre que, sur la base des propriétés de convolution, le spectre du signal original est « copié » un nombre infini de fois le long de l’axe des fréquences avec un pas de 1/T, puis additionné.
Notez que si le spectre original avait une largeur finie et que nous utilisions une fréquence d'échantillonnage suffisamment élevée, alors les copies du spectre original ne se chevaucheraient pas et ne s'additionneraient donc pas. Il est facile de comprendre qu'à partir d'un spectre aussi « effondré », il sera facile de restaurer celui d'origine - il suffira simplement de prendre la composante spectrale dans la région de zéro, en « coupant » les copies supplémentaires allant à l'infini. La manière la plus simple de procéder est de multiplier le spectre par une fonction rectangulaire égale à T dans la plage -1/2T...1/2T et zéro en dehors de cette plage. Une telle transformée de Fourier correspond à la fonction sinc(Tx) et selon la propriété 4, une telle multiplication équivaut à la convolution de la séquence originale de fonctions delta avec la fonction sinc(Tx)
Autrement dit, en utilisant la transformée de Fourier, nous disposons d'un moyen de reconstruire facilement le signal original à partir d'un signal échantillonné dans le temps, à condition d'utiliser une fréquence d'échantillonnage au moins double (en raison de la présence de fréquences négatives dans le spectre). supérieure à la fréquence maximale présente dans le signal d'origine. Ce résultat est largement connu et est appelé « théorème de Kotelnikov/Shannon-Nyquist ». Cependant, comme il est facile de le constater maintenant (en comprenant la preuve), ce résultat, contrairement à une idée fausse largement répandue, détermine suffisant, mais pas nécessaire condition de restauration du signal original. Il suffit de s'assurer que la partie du spectre qui nous intéresse après échantillonnage du signal ne se chevauche pas, et si le signal est à bande suffisamment étroite (a une petite « largeur » de la partie non nulle du spectre), alors ce résultat peut souvent être obtenu à une fréquence d'échantillonnage bien inférieure au double de la fréquence maximale du signal. Cette technique est appelée « sous-échantillonnage » (sous-échantillonnage, échantillonnage passe-bande) et est assez largement utilisée dans le traitement de toutes sortes de signaux radio. Par exemple, si nous prenons une radio FM fonctionnant dans la bande de fréquences de 88 à 108 MHz, alors pour la numériser, nous pouvons utiliser un CAN avec une fréquence de seulement 43,5 MHz au lieu des 216 MHz supposés par le théorème de Kotelnikov. Dans ce cas, cependant, vous aurez besoin d’un ADC de haute qualité et d’un bon filtre.
Permettez-moi de noter que la « duplication » des hautes fréquences avec des fréquences d'ordres inférieurs (aliasing) est une propriété immédiate de l'échantillonnage du signal qui « gâche » de manière irréversible le résultat. Par conséquent, si le signal peut, en principe, contenir des fréquences d'ordre élevé (c'est-à-dire presque toujours), un filtre analogique est placé devant l'ADC, « coupant » tout ce qui est inutile directement dans le signal d'origine (puisqu'après l'avoir échantillonné il sera trop tard pour le faire). Les caractéristiques de ces filtres, en tant qu'appareils analogiques, ne sont pas idéales, de sorte que certains « dommages » au signal se produisent toujours, et en pratique, il s'ensuit que les fréquences les plus élevées du spectre sont, en règle générale, peu fiables. Pour réduire ce problème, le signal est souvent suréchantillonné, en réglant le filtre analogique d'entrée sur une bande passante inférieure et en utilisant uniquement la partie inférieure de la plage de fréquences théoriquement disponible du CAN.
Soit dit en passant, une autre idée fausse courante est que le signal à la sortie du DAC est tracé par « étapes ». Les « étapes » correspondent à la convolution d'une séquence de signal échantillonnée avec une fonction rectangulaire de largeur T et de hauteur 1 :
Le spectre du signal avec cette transformation est multiplié par l'image de Fourier de cette fonction rectangulaire, et pour une fonction rectangulaire similaire il est à nouveau sinc(w), « étiré » d'autant plus que la largeur du rectangle correspondant est petite. Le spectre du signal échantillonné avec un tel « DAC » est multiplié point par point par ce spectre. Dans ce cas, les hautes fréquences inutiles avec des « copies supplémentaires » du spectre ne sont pas complètement coupées, mais la partie supérieure de la partie « utile » du spectre, au contraire, est atténuée.
Dans la pratique, bien entendu, personne ne fait cela. Il existe de nombreuses approches différentes pour construire un DAC, mais même dans le sens le plus proche d'un DAC de type pondération, les impulsions rectangulaires du DAC, au contraire, sont choisies pour être aussi courtes que possible (se rapprochant de la séquence réelle de delta fonctions) afin d’éviter une suppression excessive de la partie utile du spectre. Les fréquences « supplémentaires » dans le signal à large bande résultant sont presque toujours annulées en faisant passer le signal à travers un filtre passe-bas analogique, de sorte qu'il n'y ait pas d'« étapes numériques » ni « à l'intérieur » du convertisseur, ni, surtout, à sa sortie.
Cependant, revenons à la transformée de Fourier. La transformée de Fourier décrite ci-dessus appliquée à une séquence de signal pré-échantillonnée est appelée transformée de Fourier en temps discret (DTFT). Le spectre obtenu par une telle transformation est toujours 1/T-périodique, donc le spectre DTFT est entièrement déterminé par ses valeurs sur le segment )
