Trouvez les asymptotes de la droite. Asymptotes des graphes de fonctions : leurs types, exemples de solutions

Comment insérer formules mathématiques sur le site ?

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Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliqué séquentiellement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Dans de nombreux cas, il est plus facile de construire le graphique d’une fonction si vous construisez d’abord les asymptotes de la courbe.

Définition 1. Les asymptotes sont ces lignes droites dont le graphique d'une fonction se rapproche arbitrairement lorsque la variable tend vers plus l'infini ou moins l'infini.

Définition 2. Une droite est appelée asymptote du graphique d'une fonction si la distance de point variable M le graphique de la fonction jusqu'à cette ligne tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne indéfiniment M depuis l'origine le long de n'importe quelle branche du graphe de fonctions.

Il existe trois types d'asymptotes : verticales, horizontales et obliques.

Définition . Droit x = un est asymptote verticale du graphique de la fonction, si point x = un est un point de discontinuité du deuxième type pour cette fonction.

De la définition il résulte que la droite x = un est l'asymptote verticale du graphique de la fonction f(x) si au moins une des conditions est remplie :

Dans ce cas, la fonction f(x) peuvent ne pas être définis du tout, respectivement, lorsque x ≥ un Et x ≤ un .

Commentaire:

Exemple 1. Graphique d'une fonction oui=ln x a une asymptote verticale x= 0 (c'est-à-dire coïncidant avec l'axe Oy) à la limite du domaine de définition, puisque la limite de la fonction lorsque x tend vers zéro depuis la droite est égale à moins l'infini :

(photo ci-dessus).

Exemple 2. Trouver les asymptotes du graphique de la fonction.

Exemple 3. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Si (la limite d'une fonction lorsque l'argument tend vers plus ou moins l'infini est égale à une certaine valeur b), Que oui = b – asymptote horizontale courbé oui = f(x) (à droite lorsque X tend vers plus l'infini, à gauche lorsque X tend vers moins l'infini, et bilatéral si les limites lorsque X tend vers plus ou moins l'infini sont égales).

Exemple 5. Graphique d'une fonction

à un> 1 a quitté l'asympotote horizontale oui= 0 (c'est-à-dire coïncidant avec l'axe Bœuf), puisque la limite de la fonction lorsque « x » tend vers moins l’infini est nulle :

La courbe n'a pas d'asymptote horizontale droite, puisque la limite de la fonction lorsque « x » tend vers plus l'infini est égale à l'infini :

Les asymptotes verticales et horizontales que nous avons examinées ci-dessus sont parallèles aux axes de coordonnées, donc pour les construire, nous n'avions besoin que de un certain nombre- un point sur l'axe des abscisses ou des ordonnées par lequel passe l'asymptote. Pour une asymptote oblique, une pente plus grande est nécessaire k, qui montre l'angle d'inclinaison de la ligne droite, et membre gratuit b, qui montre à quel point la ligne est au-dessus ou en dessous de l'origine. Ceux qui n'ont pas oublié la géométrie analytique, et à partir d'elle les équations d'une droite, remarqueront que pour une asymptote oblique ils trouvent une équation d'une droite avec un coefficient angulaire. L'existence d'une asymptote oblique est déterminée par le théorème suivant, sur la base duquel sont trouvés les coefficients qui viennent d'être mentionnés.

Théorème. Pour faire la courbe oui = f(x) avait une asymptote oui = kx + b, nécessaire et suffisant pour qu'ils existent limites finies k Et b de la fonction considérée lorsque la variable tend xà plus l'infini et moins l'infini :

(1)

(2)

Les nombres trouvés de cette façon k Et b et sont les coefficients d'asymptote oblique.

Dans le premier cas (lorsque x tend vers plus l'infini), une asymptote inclinée à droite est obtenue, dans le second (lorsque x tend vers moins l'infini), une asymptote oblique gauche est obtenue. L’asymptote oblique droite est représentée sur la Fig. ci-dessous.

Lors de la recherche de l’équation de l’asymptote oblique, il est nécessaire de prendre en compte la tendance de X à la fois vers l’infini plus et vers l’infini moins. Pour certaines fonctions, par exemple les fonctions fractionnaires rationnelles, ces limites coïncident, mais pour de nombreuses fonctions, ces limites sont différentes et une seule d'entre elles peut exister.

Si les limites coïncident et que x tend vers plus l'infini et moins l'infini, la droite oui = kx + b est l'asymptote bilatérale de la courbe.

Si au moins une des limites définissant l'asymptote oui = kx + b, n'existe pas, alors le graphique de la fonction n'a pas d'asymptote oblique (mais peut en avoir une verticale).

Il est facile de voir que l’asymptote horizontale oui = b est un cas particulier d'oblique oui = kx + bà k = 0 .

Par conséquent, si dans une direction une courbe a une asymptote horizontale, alors dans cette direction il n'y en a pas d'inclinée, et vice versa.

Exemple 6. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. La fonction est définie sur toute la droite numérique sauf x= 0, c'est à dire

Donc, au point de rupture x= 0 la courbe peut avoir une asymptote verticale. En effet, la limite de la fonction lorsque x tend vers zéro depuis la gauche est égale à plus l'infini :

Ainsi, x= 0 – asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Le graphique de cette fonction n'a pas d'asymptote horizontale, puisque la limite de la fonction lorsque x tend vers plus l'infini est égale à plus l'infini :

Découvrons la présence d'une asymptote oblique :

J'ai des limites finies k= 2 et b= 0 . Droit oui = 2x est l'asymptote inclinée bidirectionnelle du graphique de cette fonction (figure à l'intérieur de l'exemple).

Exemple 7. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. La fonction a un point d'arrêt x= −1 . Calculons les limites unilatérales et déterminons le type de discontinuité :

Conclusion: x= −1 est un point de discontinuité de seconde espèce, donc la droite x= −1 est l'asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Nous recherchons des asymptotes obliques. Parce que cette fonction- fractionnaire-rationnel, les limites à et à coïncideront. Ainsi, on retrouve les coefficients de substitution de la droite - asymptote oblique dans l'équation :

En remplaçant les coefficients trouvés dans l'équation de la droite par pente, on obtient l'équation d'asymptote oblique :

oui = −3x + 5 .

Sur la figure, le graphique de la fonction est indiqué en bordeaux et les asymptotes sont indiquées en noir.

Exemple 8. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Puisque cette fonction est continue, son graphique n'a pas d'asymptote verticale. Nous recherchons des asymptotes obliques :

.

Ainsi, le graphique de cette fonction a une asymptote oui= 0 à et n'a pas d'asymptote à .

Exemple 9. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Nous regardons d'abord asymptotes verticales. Pour ce faire, on retrouve le domaine de définition de la fonction. Une fonction est définie lorsque l'inégalité et . Signe de la variable x correspond au signe. Considérons donc l’inégalité équivalente. De là on obtient le domaine de définition de la fonction : . Une asymptote verticale ne peut être qu'à la limite du domaine de définition de la fonction. Mais x= 0 ne peut pas être une asymptote verticale, puisque la fonction est définie à x = 0 .

Considérons la limite de droite à (il n'y a pas de limite de gauche) :

.

Point x= 2 est un point de discontinuité de seconde espèce, donc la droite x= 2 - asymptote verticale du graphique de cette fonction.

Nous recherchons des asymptotes obliques :

Donc, oui = x+ 1 - asymptote oblique du graphique de cette fonction en . Nous recherchons une asymptote oblique à :

Donc, oui = −x− 1 - asymptote oblique en .

Exemple 10. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution. Une fonction a un domaine de définition . Puisque l’asymptote verticale du graphique de cette fonction ne peut être qu’à la limite du domaine de définition, on retrouve les limites unilatérales de la fonction en .

Une asymptote du graphique d'une fonction y = f(x) est une ligne droite qui a la propriété que la distance du point (x, f(x)) à cette ligne droite tend vers zéro lorsque le point du graphique se déplace indéfiniment de l'origine.

Dans la figure 3.10. donné exemples graphiques asymptotes verticales, horizontales et obliques.

La recherche des asymptotes du graphique repose sur les trois théorèmes suivants.

Théorème de l'asymptote verticale. Supposons que la fonction y = f(x) soit définie dans un certain voisinage du point x 0 (en excluant peut-être ce point lui-même) et qu'au moins une des limites unilatérales de la fonction soit égale à l'infini, c'est-à-dire Alors la droite x = x 0 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction y = f(x).

Évidemment, la droite x = x 0 ne peut pas être une asymptote verticale si la fonction est continue au point x 0, puisque dans ce cas . Par conséquent, les asymptotes verticales doivent être recherchées aux points de discontinuité de la fonction ou aux extrémités de son domaine de définition.

Théorème de l'asymptote horizontale. Soit la fonction y = f(x) définie pour x suffisamment grand et il existe une limite finie de la fonction. Alors la droite y = b est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction.

Commentaire. Si une seule des limites est finie, alors la fonction a respectivement une asymptote horizontale du côté gauche ou du côté droit.

Dans le cas où , la fonction peut avoir une asymptote oblique.

Théorème de l'asymptote oblique. Laissez la fonction y = f(x) être définie pour x suffisamment grand et il y a des limites finies . Alors la droite y = kx + b est l'asymptote inclinée du graphique de la fonction.

Aucune preuve.

Une asymptote oblique, tout comme une asymptote horizontale, peut être droite ou gauche si la base des limites correspondantes est l'infini d'un certain signe.

L'étude des fonctions et la construction de leurs graphiques comprennent généralement les étapes suivantes :

1. Trouvez le domaine de définition de la fonction.

2. Examinez la fonction de parité paire-impaire.

3. Trouvez les asymptotes verticales en examinant les points de discontinuité et le comportement de la fonction aux limites du domaine de définition, s'ils sont finis.

4. Trouvez des asymptotes horizontales ou obliques en examinant le comportement de la fonction à l'infini.

5. Trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les intervalles de convexité de la fonction et les points d'inflexion.

7. Trouver les points d'intersection avec les axes de coordonnées et, éventuellement, quelques points supplémentaires, clarifiant le calendrier.

Fonction différentielle

On peut prouver que si une fonction a une limite égale à nombre fini, alors il peut être représenté comme la somme de ce nombre et d'une valeur infinitésimale de même base (et vice versa) : .

Appliquons ce théorème à une fonction différentiable : .

Ainsi, l'incrément de la fonction Dу est constitué de deux termes : 1) linéaire par rapport à Dх, c'est-à-dire f `(x)Dх; 2) non linéaire par rapport à Dx, c'est-à-dire a(Dx)Dх. En même temps, puisque , ce deuxième terme représente un infinitésimal plus ordre élevé que Dx (comme Dx tend vers zéro, il tend vers zéro encore plus vite).

Le différentiel d'une fonction est la partie principale, linéaire par rapport à Dx, de l'incrément de la fonction, égal au produit dérivée pour l'incrément de la variable indépendante dy = f `(x)Dx.

Trouvons la différentielle de la fonction y = x.

Puisque dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, alors dx = Dх, c'est-à-dire le différentiel d'une variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable.

Par conséquent, la formule de la différentielle d’une fonction peut s’écrire sous la forme dy = f `(x)dх. C'est pourquoi l'une des notations de la dérivée est la fraction dy/dx.

Signification géométrique différentiel illustré
Graphique 3.11. Prenons la fonction y = f(x) sur le graphique point arbitraire M(x,y). Donnons à l'argument x l'incrément Dx. Alors la fonction y = f(x) recevra l'incrément Dy = f(x + Dx) - f(x). Traçons une tangente au graphique de la fonction au point M, qui forme un angle a avec la direction positive de l'axe des abscisses, c'est-à-dire f `(x) = bronzage a. Depuis triangle rectangle MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Ainsi, la différentielle d'une fonction est l'incrément en ordonnée de la tangente tracée au graphe de la fonction en un point donné lorsque x reçoit l'incrément Dx.

Les propriétés d’un différentiel sont fondamentalement les mêmes que celles d’un dérivé :

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Cependant, il y a propriété importante Le différentiel d'une fonction que sa dérivée ne possède pas est l'invariance de la forme du différentiel.

D'après la définition du différentiel pour la fonction y = f(x), le différentiel dy = f `(x)dх. Si cette fonction y est complexe, c'est à dire y = f(u), où u = j(x), alors y = f et f `(x) = f `(u)*u`. Alors dy = f `(u)*u`dх. Mais pour la fonction
u = j(x) différentiel du = u`dх. D'où dy = f `(u)*du.

En comparant les égalités dy = f `(x)dх et dy = f `(u)*du, on s'assure que la formule différentielle ne change pas si au lieu d'une fonction de la variable indépendante x on considère une fonction du variable dépendante u. Cette propriété d'un différentiel est appelée invariance (c'est-à-dire immuabilité) de la forme (ou formule) du différentiel.

Cependant, il existe encore une différence entre ces deux formules : dans la première d'entre elles, le différentiel de la variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable, c'est-à-dire dx = Dx, et d'autre part, le différentiel de la fonction du n'est que la partie linéaire de l'incrément de cette fonction Du et seulement pour les petits Dx du » Du.

C'est exactement ainsi qu'il est formulé tâche typique, et cela implique de trouver TOUTES les asymptotes du graphique (verticales, inclinées/horizontales). Bien que, pour être plus précis en posant la question, nous parlons de recherche de la présence d'asymptotes (après tout, il se peut qu'il n'y en ait pas du tout).

Commençons par quelque chose de simple :

Exemple 1

La solution peut être commodément divisée en deux points :

1) Nous vérifions d’abord s’il existe des asymptotes verticales. Le dénominateur tend vers zéro en , et il est immédiatement clair qu'à ce stade la fonction souffre d'une discontinuité infinie, et la droite donné par l'équation, est l'asymptote verticale du graphique de la fonction. Mais avant de tirer une telle conclusion, il est nécessaire de trouver des limites unilatérales :

Je vous rappelle la technique de calcul sur laquelle je me suis également intéressé dans l'article continuité d'une fonction. Points de rupture. Dans l'expression sous le signe limite, nous substituons . Il n'y a rien d'intéressant au numérateur :
.

Mais au dénominateur, il s'avère infinitésimal nombre négatif :
, il détermine le sort de la limite.

La limite de gauche est infinie et, en principe, il est déjà possible de se prononcer sur la présence d'une asymptote verticale. Mais des limites unilatérales ne sont pas seulement nécessaires pour cela - elles AIDENT À COMPRENDRE COMMENT se trouve le graphique d'une fonction et à le construire CORRECTEMENT. Par conséquent, nous devons également calculer la limite à droite :

Conclusion : les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que la droite est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

Première limite fini, ce qui signifie qu'il faut « continuer la conversation » et trouver la deuxième limite :

La deuxième limite aussi fini.

Ainsi, notre asymptote est :

Conclusion : la droite spécifiée par l'équation est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Pour trouver l'asymptote horizontale, vous pouvez utiliser une formule simplifiée :

S'il existe une limite finie, alors la droite est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Il est facile de remarquer que le numérateur et le dénominateur de la fonction sont du même ordre de croissance, ce qui signifie que la limite souhaitée sera finie :

Répondre :

Selon la condition, il n'est pas nécessaire de faire un dessin, mais si la recherche de la fonction bat son plein, alors on fait immédiatement un croquis sur le brouillon :

Sur la base des trois limites trouvées, essayez de déterminer par vous-même comment le graphique de la fonction pourrait être localisé. Est-ce vraiment difficile ? Trouvez 5-6-7-8 points et marquez-les sur le dessin. Cependant, le graphe de cette fonction est construit à l'aide de transformations graphiques fonction élémentaire, et les lecteurs qui ont soigneusement examiné l'exemple 21 de l'article ci-dessus peuvent facilement deviner de quel type de courbe il s'agit.

Exemple 2

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Permettez-moi de vous rappeler que le processus est commodément divisé en deux points : les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. Dans l’exemple de solution, l’asymptote horizontale est trouvée à l’aide d’un schéma simplifié.

En pratique, les fonctions fractionnaires-rationnelles sont le plus souvent rencontrées, et après un entraînement aux hyperboles, nous compliquerons la tâche :

Exemple 3

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : Un, deux et c'est fait :

1) Les asymptotes verticales se trouvent à des points de discontinuité infinie, vous devez donc vérifier si le dénominateur tend vers zéro. Résolvons l'équation quadratique :

Le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines réelles, et le travail est significativement augmenté =)

Afin de trouver davantage de limites unilatérales trinôme quadratique Il est pratique de factoriser :
(pour une notation compacte, le « moins » était inclus dans la première parenthèse). Par mesure de sécurité, vérifions en ouvrant les parenthèses mentalement ou sur un brouillon.

Réécrivons la fonction sous la forme

Trouvons des limites unilatérales au point :

Et au point :

Ainsi, les droites sont des asymptotes verticales du graphique de la fonction en question.

2) Si vous regardez la fonction , alors il est bien évident que la limite sera finie et nous avons une asymptote horizontale. Montrons sa présence de manière brève :

Ainsi, la droite (axe des abscisses) est l'asymptote horizontale du graphique de cette fonction.

Répondre :

Les limites et asymptotes trouvées fournissent de nombreuses informations sur le graphique de la fonction. Essayez d'imaginer mentalement le dessin en tenant compte des faits suivants :

Esquissez votre version du graphique sur votre brouillon.

Bien entendu, les limites trouvées ne déterminent pas clairement l'apparence du graphique, et vous pouvez vous tromper, mais l'exercice lui-même vous apportera une aide précieuse lors de recherche complète fonctions La bonne image se trouve à la fin de la leçon.

Exemple 4

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Exemple 5

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ce sont des tâches pour une solution indépendante. Les deux graphiques présentent à nouveau des asymptotes horizontales, qui sont immédiatement détectées par les signes suivants: dans l'exemple 4 l'ordre de croissance du dénominateur est supérieur à l'ordre de croissance du numérateur, et dans l'exemple 5 le numérateur et le dénominateur sont du même ordre de croissance. Dans l'exemple de solution, la première fonction est examinée pour la présence d'asymptotes obliques dans leur intégralité et la seconde - à travers la limite.

Les asymptotes horizontales, selon mon impression subjective, sont nettement plus courantes que celles qui sont « véritablement inclinées ». Le cas général tant attendu :

Exemple 6

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : classique du genre :

1) Puisque le dénominateur est positif, la fonction est continue sur toute la droite numérique et il n’y a pas d’asymptote verticale. ...Est-ce que c'est bon ? Ce n'est pas le bon mot - excellent ! Le point n°1 est clos.

2) Vérifions la présence d'asymptotes obliques :

Première limite fini, alors passons à autre chose. Lors du calcul de la deuxième limite pour éliminer l'incertitude « l'infini moins l'infini », on réduit l'expression à un dénominateur commun :

La deuxième limite aussi fini, donc le graphique de la fonction en question a une asymptote oblique :

Conclusion :

Ainsi, lorsque le graphique de la fonction infiniment proche se rapproche d'une ligne droite :

Notez qu'il coupe son asymptote oblique à l'origine, et de tels points d'intersection sont tout à fait acceptables - il est important que « tout soit normal » à l'infini (en fait, c'est là que nous parlons d'asymptote).

Exemple 7

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Solution : il n’y a rien de particulier à commenter, je vais donc l’officialiser échantillon approximatif solution finale :

1) Asymptotes verticales. Explorons le point.

La ligne droite est l'asymptote verticale du graphique en .

2) Asymptotes obliques :

La ligne droite est l’asymptote inclinée du graphique en .

Répondre :

Les limites unilatérales et les asymptotes trouvées nous permettent de prédire avec une grande confiance à quoi ressemble le graphique de cette fonction. Dessin correct à la fin de la leçon.

Exemple 8

Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; pour faciliter le calcul de certaines limites, vous pouvez diviser le numérateur par le dénominateur terme par terme. Encore une fois, lors de l’analyse de vos résultats, essayez de tracer un graphique de cette fonction.

Évidemment, les propriétaires des « vraies » asymptotes obliques sont les graphiques de celles-ci. fonctions rationnelles fractionnaires, dans lequel le degré le plus élevé du numérateur est supérieur de un au degré le plus élevé du dénominateur. Si c'est plus, il n'y aura plus d'asymptote oblique (par exemple ).

Mais d’autres miracles se produisent dans la vie :

Exemple 9

Solution : la fonction est continue sur toute la droite numérique, ce qui signifie qu’il n’y a pas d’asymptote verticale. Mais il se peut qu'il y en ait des inclinés. Nous vérifions :

Je me souviens comment, à l'université, j'ai rencontré une fonction similaire et je n'arrivais tout simplement pas à croire qu'elle avait une asymptote oblique. Jusqu'à ce que je calcule la deuxième limite :

À proprement parler, il y a ici deux incertitudes : et , mais d'une manière ou d'une autre, vous devez utiliser la méthode de solution, qui est discutée dans les exemples 5-6 de l'article sur les limites complexité accrue. On multiplie et divise par l'expression conjuguée pour utiliser la formule :

Répondre :

Peut-être l’asymptote oblique la plus populaire.

Jusqu'à présent, l'infini a été « coupé d'un seul coup », mais il arrive que le graphe d'une fonction présente deux asymptotes obliques différentes en et en :

Exemple 10

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Solution : l'expression radicale est positive, ce qui signifie que le domaine de définition est n'importe quel nombre réel, et qu'il ne peut pas y avoir de bâtons verticaux.

Vérifions s'il existe des asymptotes obliques.

Si « x » tend vers « moins l’infini », alors :
(lorsque vous saisissez un « X » sous racine carrée il faut ajouter un signe moins pour ne pas perdre la négativité du dénominateur)

Cela semble inhabituel, mais ici l’incertitude est « l’infini moins l’infini ». Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

Ainsi, la droite est l’asymptote inclinée du graphique en .

Avec « plus l'infini » tout est plus trivial :

Et la ligne droite est à .

Répondre :

Si ;
, Si .

je ne peux pas résister image graphique:


C'est l'une des branches de l'hyperbole.

Il n'est pas rare que la présence potentielle d'asymptotes soit initialement limitée par le domaine de la fonction :

Exemple 11

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Solution : évidemment , on ne considère donc que le demi-plan droit, où se trouve un graphique de la fonction.

1) La fonction est continue sur l'intervalle, ce qui signifie que si une asymptote verticale existe, elle ne peut être que l'axe des ordonnées. Étudions le comportement de la fonction près du point droite:

Veuillez noter qu'il n'y a AUCUNE incertitude ici (de tels cas ont été soulignés au début de l'article Méthodes de résolution des limites).

Ainsi, la droite (axe des ordonnées) est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .

2) L'étude de l'asymptote oblique peut être réalisée en utilisant schéma complet, mais dans l'article L'Hopital Rules nous avons découvert que fonction linéaire ordre de croissance supérieur au logarithmique, donc : (Voir Exemple 1 de la même leçon).

Conclusion : l'axe des x est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en .

Répondre :

Si ;
, Si .

Dessin pour plus de clarté :

Il est intéressant de noter qu'une fonction apparemment similaire n'a aucune asymptote (ceux qui le souhaitent peuvent le vérifier).

Deux exemples finaux pour l'auto-apprentissage :

Exemple 12

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Pour vérifier les asymptotes verticales, vous devez d'abord trouver le domaine de définition de la fonction, puis calculer une paire de limites unilatérales aux points « suspects ». Les asymptotes obliques ne sont pas non plus exclues, puisque la fonction est définie à l'infini « plus » et « moins ».

Exemple 13

Examiner le graphique d'une fonction pour la présence d'asymptotes

Mais ici, il ne peut y avoir que des asymptotes obliques, et les directions doivent être considérées séparément.

J'espère que vous avez trouvé la bonne asymptote =)

Je vous souhaite du succès !

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution :
. Trouvons les limites unilatérales :

Droit est l'asymptote verticale du graphique de la fonction en .
2) Asymptotes obliques.

Droit .
Répondre :

Dessinà l'exemple 3 :

Exemple 4 :Solution :
1) Asymptotes verticales. La fonction subit une rupture infinie en un point . Calculons les limites unilatérales :

Remarque : un nombre infinitésimal négatif à une puissance paire est égal à un nombre infinitésimal positif : .

Droit est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
2) Asymptotes obliques.


Droit (axe des abscisses) est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction à .
Répondre :

Une asymptote du graphique d'une fonction y = f(x) est une ligne droite qui a la propriété que la distance du point (x, f(x)) à cette ligne droite tend vers zéro lorsque le point du graphique se déplace indéfiniment de l'origine.

Dans la figure 3.10. des exemples graphiques d'asymptotes verticales, horizontales et obliques sont donnés.

La recherche des asymptotes du graphique repose sur les trois théorèmes suivants.

Théorème de l'asymptote verticale. Supposons que la fonction y = f(x) soit définie dans un certain voisinage du point x 0 (en excluant peut-être ce point lui-même) et qu'au moins une des limites unilatérales de la fonction soit égale à l'infini, c'est-à-dire Alors la droite x = x 0 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction y = f(x).

Évidemment, la droite x = x 0 ne peut pas être une asymptote verticale si la fonction est continue au point x 0, puisque dans ce cas . Par conséquent, les asymptotes verticales doivent être recherchées aux points de discontinuité de la fonction ou aux extrémités de son domaine de définition.

Théorème de l'asymptote horizontale. Soit la fonction y = f(x) définie pour x suffisamment grand et il existe une limite finie de la fonction. Alors la droite y = b est l'asymptote horizontale du graphique de la fonction.

Commentaire. Si une seule des limites est finie, alors la fonction a respectivement une asymptote horizontale du côté gauche ou du côté droit.

Dans le cas où , la fonction peut avoir une asymptote oblique.

Théorème de l'asymptote oblique. Laissez la fonction y = f(x) être définie pour x suffisamment grand et il y a des limites finies . Alors la droite y = kx + b est l'asymptote inclinée du graphique de la fonction.

Aucune preuve.

Une asymptote oblique, tout comme une asymptote horizontale, peut être droite ou gauche si la base des limites correspondantes est l'infini d'un certain signe.

L'étude des fonctions et la construction de leurs graphiques comprennent généralement les étapes suivantes :

1. Trouvez le domaine de définition de la fonction.

2. Examinez la fonction de parité paire-impaire.

3. Trouvez les asymptotes verticales en examinant les points de discontinuité et le comportement de la fonction aux limites du domaine de définition, s'ils sont finis.

4. Trouvez des asymptotes horizontales ou obliques en examinant le comportement de la fonction à l'infini.