Calendrier des examens d'État unifiés 2019 officiel FIPI - tableau ajusté pour toutes les matières pour les lycéens. L'ordre de tenue de l'examen d'État unifié est déterminé par les jours principaux et de réserve. Pour les bacheliers qui ne réussissent pas le test, des examens complémentaires sont également proposés en période d'automne . Ajustement du planning mener l'examen d'État unifié 2019 est en route Institut fédéral dimensions pédagogiques conformément aux normes et méthodes approuvées, à la suite de quoi la version finale et officielle du calendrier est formée. Derniers changements Calendrier des examens d'État unifiés

-2019FIPI sont publiés 2 mois avant le début de l'examen. Si les jours de l'examen d'État unifié coïncident, l'étudiant doit venir passer l'examen le jour de réserve. Une date de réserve est également utilisée en cas d'absence pour motif valable ou maladie. Si des violations ont été identifiées lors de l'examen d'État unifié, vous devez alors déposer une plainte directement auprès de la commission du point de livraison. Dans ce cas, les résultats d'un groupe d'étudiants pourront être annulés et la reprise programmée un jour de réserve. En cas de violation répétée du jour de réserve, la décision de re- réussir l'examen d'État unifié

accepté par le centre régional, ou reporté à septembre. Jusqu’à présent, il n’y a pas eu de précédent de double violation.

• La réussite anticipée à l'examen d'État unifié en 2019 est prévue pour ceux qui :
• Enrôlé dans l'armée;
• Entre dans une université étrangère;
• Envoyé pour traitement ;

Congés pour compétitions sportives, Jeux olympiques, compétitions ;

06/05/2019 – études sociales.

06/07/2019 – en physique et littérature.

06/09/2019 – Langue russe.

13/06/2019 – Anglais, allemand, biologie.

19.06.2019 – chimie et histoire.

05/09/2019 – Langue russe.

09/08/2019 – mathématiques.

Jours de réserve

10/04/2019 – histoire, anglais, informatique, géographie.

04/12/2019 – physique, biologie, littérature, études sociales, allemand et autres langues étrangères.

14/04/2019 – Russe et mathématiques.

20/06/2019 – géographie et informatique.

21/06/2019 – littérature, chimie, physique. En études sociales.

22/06/2019 – en biologie, langue étrangère, histoire. .

23/06/2019 – reprise en anglais.

28/06/2019 – mathématiques, deux niveaux (professionnel et basique).

29/06/2019 – Langue russe.

16/09/2019 – tous les articles.

Ce calendrier est préliminaire ; des modifications peuvent être apportées avant la publication de la version finale approuvée. Des modifications sont apportées en lien avec l'adaptation des règles de déroulement de l'examen, ainsi qu'en fonction des recommandations du ministère de l'Éducation.

. Même avec de courtes pauses, le cerveau peut oublier des chaînes logiques importantes.

Le calendrier de l'examen d'État unifié 2019 de la FIPI montre qu'il est nécessaire de commencer une préparation intensive dès janvier. Chaque écolier de notre pays est tenu de passer les tests unifiés. examens d'état , qui démontrent le niveau de connaissances acquises à l'école et deviennent la base de la poursuite du développement éducation – admission à l’université. Un événement aussi important nécessite une longue préparation et chaque étudiant s'efforce donc de connaître le calendrier à l'avance. 2017.

Examens d'État unifiés

Caractéristiques de l'examen d'État unifié 2017 Jusqu’en 2017, les tests constituaient la principale forme de test de connaissances. En uniforme 2016 questions de test

Premièrement, à deux examens obligatoires un troisième est ajouté – cela devrait devenir une histoire. Certes, le nom du troisième élément n'est pas encore fermement établi, mais au début année scolaire cette information sera déjà rendue publique. Autrement dit, vous devrez apprendre la langue russe, les mathématiques et, très probablement, l'histoire - plus précisément, vous le saurez Date de l'examen d'État unifié 2017.

Deuxièmement, RAO ( Académie russe Education) insiste sur l’introduction échelle de points notes de dissertation. Avant aujourd'hui L'essai a été évalué selon deux critères seulement : réussite ou échec. Ceci, selon les représentants de l'Académie russe de l'éducation, affecte négativement les connaissances des étudiants et donne des avantages à ceux qui sont tout simplement trop paresseux pour étudier la littérature - il est beaucoup plus facile d'obtenir une « réussite » dans un essai qu'un « A ». ».

Troisièmement, sur Résultats de l'examen d'État unifié Les notes du certificat seront également affectées. Plus les scores pour articles scolaires, le plus haut note finale pour l'examen d'État.

Quatrièmement, si les points obtenus n'atteignent pas le seuil, les étudiants auront la possibilité de repasser l'examen d'État unifié deux fois de plus. Il sera également possible de repasser si l'étudiant, pour une raison quelconque, n'est pas satisfait des points qu'il a marqués.

Bientôt Examen d'État unifié pour les écoliers vous devez en prendre un de votre choix. Ils peuvent être repris plusieurs fois jusqu'à ce que l'étudiant trouve le résultat satisfaisant.

Dates de l'examen d'État unifié en 2017

Le calendrier de l'examen d'État unifié en 2017 se compose de deux parties : les examens précoces et principaux.

Période précoce pour réussir l'examen d'État unifié

• Géographie, Informatique et TIC

• Langue russe / matière obligatoire

• histoire, chimie

• mathématiques / matière obligatoire

• Géographie, littérature

• langues étrangères(examen oral)

• langues étrangères, biologie, physique

• études sociales, littérature

À partir de la semaine prochaine, le temps de réserve commence pour tous les examens inclus dans la liste des examens d'État unifiés.

• réserve : géographie, chimie, informatique et TIC, langues étrangères (oral), histoire

• réserve : langues étrangères, littérature, physique, sciences humaines, biologie

• réserve : langue russe, mathématiques B, P

• Langue étrangère, histoire, études sociales (réserve)

• Langue étrangère (oral), géographie, physique, biologie (réserve).

Toutefois, pour exercer le droit de livraison anticipée Tous les étudiants ne sont pas pressés de passer un examen. Par conséquent, la plupart des étudiants seront intéressés par la deuxième section du calendrier de l'examen d'État unifié 2017 - la période principale.

• Géographie, Informatique et TIC

• mathématiques B

• mathématiques P

• science sociale

• physique, littérature

• langue russe

• langues étrangères, biologie

• langues étrangères (oral)

• langues étrangères (oral)

• chimie, histoire

Les jours de réserve pour l'examen d'État unifié commencent mardi.

• réserve : géographie, informatique et TIC

• réserve : littérature, chimie, physique, études sociales

• réserve : biologie, histoire langues étrangères

• réserve : langues étrangères

• réserve : mathématiques B, mathématiques P

• réserve : langue russe

• réserve : pour toutes les matières

Période supplémentaire (septembre)

Repasser les examens d'État unifiés en 2017

En plus des jours principaux et de réserve, le processus d'examen d'État unifié lui-même prévoit également une troisième période - une reprise. Le droit de repasser est accordé à chaque étudiant - aussi bien à ceux qui n'ont pas atteint le seuil minimum qu'à ceux qui souhaitent simplement améliorer leurs propres résultats et marquer plus de points. C'est vrai, pour améliorer propre niveau exigera une confiance remarquable dans propre force et la connaissance.

La reprise de l'examen d'État unifié a généralement lieu en septembre, le plus souvent dans la première quinzaine du mois. Cependant, le calendrier d'une éventuelle reprise ne sera connu qu'en août 2017.

Points bonus

Des points supplémentaires peuvent être ajoutés pour les résultats des examens. Ainsi, 10 points peuvent être ajoutés à :

• pour un certificat avec seulement des A ;
• pour les prix remportés aux Olympiades dans les matières scolaires ;
• pour les réalisations sportives.

Compte tenu de l'éventuelle addition de points, il convient de penser à l'avance à passer l'examen d'État unifié : participer à des olympiades et des concours dans toutes les matières, pas seulement dans les matières spécialisées ; augmentez votre niveau de connaissances en recherchant d'excellentes notes ; participe à vie sportiveécoles.

a) Existe-t-il une progression arithmétique finie composée de cinq nombres naturels, tel que la somme des termes les plus grands et les plus petits de cette progression soit égale à 99 ?

b) Une progression arithmétique finie se compose de six nombres naturels. La somme des termes les plus grands et les plus petits de cette progression est 9. Trouvez tous les nombres qui composent cette progression.

c) Moyenne termes arithmétiques la progression arithmétique finie constituée de nombres naturels est 6,5. Lequel le plus grand nombre les membres peuvent-ils être dans cette progression ?

Solution.

a) La somme des premier et cinquième termes de cette progression est 2 un + 4d et est nombre pair. Puisque 99 est un nombre impair, la somme des termes les plus grands et les plus petits d’une progression arithmétique finie de 5 nombres naturels ne peut pas être égale à 99.

b) La somme des premier et sixième termes de cette progression est 2 un + 5d= 9. Depuis d d- un nombre naturel, on obtient d= 1. Alors un= 2. Numéros recherchés : 2, 3, 4, 5, 6, 7.

c) La moyenne arithmétique d'une progression est égale à la moitié de la somme de ses termes extrêmes, on obtient donc : Les nombres naturels de 1 à 12 constituent une progression dont la moyenne arithmétique des termes est 6,5, et le nombre de termes est. 12. Par conséquent, le plus grand quantité possible les nombres sont 12.

Pas de réponse; b) 2, 3, 4, 5, 6, 7 ; à 12.

Source : Examen d'État unifié - 2014. Vague principale.

Sont donnés n

a) La somme de tous ces nombres peut-elle être égale à 10 ?

n, si la somme de tous les nombres donnés est inférieure à 1000 ?

n, si la somme de tous les nombres donnés est 129.

Solution.

a) Oui, c'est possible. Les nombres 1, 2, 3, 4 forment une progression arithmétique et leur somme est 10.

b) Pour la somme des termes d'une progression arithmétique, l'inégalité suivante est vraie :

Alors, où trouve-t-on La somme des progressions arithmétiques 1, 2, ..., 44 est égale à 990 n est égale à 44.

c) Pour la somme des termes d'une progression arithmétique, ce qui suit est vrai :

Ainsi, le nombre est un diviseur du nombre 258. Si alors, puisque l'on trouve que ou Des progressions de 3 et 6 termes avec une somme de 129 existent : par exemple, 42, 43, 44 et 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Réponse : a) oui ; b) 44 ; c) 3, 6.

Source : Examen d'État unifié de mathématiques du 23/04/2013. Première vague. Option 901.

un 1 , un 2 , ..., un 7 Exactement trois nombres sont divisibles par 100 ?

un 1 , un 2 , ..., un 49 Exactement 11 nombres sont divisibles par 100 ?

n un 1 , un 2 , ..., un 2n plus de multiples de 100 que parmi les nombres un 2n + 1 , un 2n + 2 , ..., un 5n ?

Solution.

a) Un exemple approprié est une progression avec un premier terme de 50 et une différence de 50. Parmi ses sept premiers termes (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350), trois exactement sont divisibles par 100.

b) Notons par d un 1 , un 2 , ..., un n d- entier naturel. Laisser m Et n- des entiers, m > n, pgcd( d, 100) désigne le plus grand diviseur commun Nombres d et 100. Nous avons

Par conséquent, la différence un m − un n est divisible par 100 si et seulement si la différence m − n un 1 , un 2 , ..., un n, ... sont des multiples de 100, alors ce sont des termes avec des nombres de la forme où q p k un 1 , un 2 , ..., un n, ... exactement un sera divisible par 100. Si alors parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 49 sera au moins 12 nombres multiples de 100. Si alors parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 49 ne sera pas plus de 10 nombres divisibles par 100. Cela signifie qu'il n'y a pas de progression parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 49 Exactement 11 nombres sont divisibles par 100.

c) Noter par [ X] partie entière du nombre X X k termes successifs de la progression un 1 , un 2 , ..., un n, ... exactement un sera divisible par 100, où d

Ainsi, parmi les chiffres un 1 , un 2 , ..., un 2n Plus aucun nombre ne sera un multiple de 100. De même, parmi les chiffres un 2n + 1 , un 2n + 2 , ..., un 5n au moins les nombres seront des multiples de 100. Une inégalité est satisfaite si et seulement si Cette égalité est satisfaite. Alors la différence entre les nombres et est inférieure à 1. Nous obtenons cela et Moyens et Depuis le nombre k n'excède pas 100, il s'ensuit que Considérons une progression avec le premier terme 69 et la différence 1. Puis parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 132 exactement deux est divisible par 100 ( un 32 = 100 et un 132 = 200). Parmi les chiffres un 133 , un 134 , ..., un 330 est exactement un divisible par 100 ( un 232 = 300). Cet exemple montre que n peut-être 66 ans.

Réponse : a) Oui, par exemple progression 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ... ; b) non ; c) 66.

a) Existe-t-il une telle progression dans laquelle parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 7 Exactement trois nombres sont divisibles par 36 ?

b) Existe-t-il une telle progression dans laquelle parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 30 sont exactement 9 nombres divisibles par 36 ?

c) Pour quel plus grand naturel n il se pourrait que parmi les chiffres un 1 , un 2 , ..., un 2n plus de multiples de 36 que parmi les nombres un 2n + 1 , un 2n + 2 , ..., un 5n ?

Solution.

a) Un exemple approprié est une progression avec le premier terme 18 et la différence 18. Parmi ses sept premiers termes (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126), trois exactement sont divisibles par 36.

b) Notons par d différence de progression arithmétique un 1 , un 2 , ..., un n, .... De la condition, il s'ensuit que d- entier naturel. Laisser m Et n- des entiers, m > n, pgcd( d, 36) désigne le plus grand commun diviseur des nombres d et 36. Nous avons

Par conséquent, la différence un m − un n est divisible par 36 si et seulement si la différence m − n est divisible par So, si parmi les termes d'une progression arithmétique un 1 , un 2 , ..., un n, ... sont des multiples de 36, alors ce sont des termes avec des nombres de la forme où q- numéro du premier terme, multiple d'un p parcourt tous les entiers non négatifs. Par conséquent, parmi tous k termes successifs de la progression un 1 , un 2 , ..., un n, ... exactement un sera divisible par 36. Si alors parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 30 sera au moins 10 nombres multiples de 36. Si alors parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 30 ne sera pas plus de 8 nombres divisibles par 36. Cela signifie qu'il n'y a pas de progression parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 30 Exactement 9 nombres sont divisibles par 36.

c) Noter par [ X] partie entière du nombre X- le plus grand entier n'excédant pas X. D'après ce qui a été prouvé au point b) parmi tous k termes successifs de la progression un 1 , un 2 , ..., un n, ... exactement un sera divisible par 36, où d- différence de progression arithmétique.

Ainsi, parmi les chiffres un 1 , un 2 , ..., un 2n Plus aucun nombre ne sera un multiple de 36. De même, parmi les chiffres un 2n + 1 , un 2n + 2 , ..., un 5n les multiples de 36 ne seront rien de moins que des nombres. Une inégalité est satisfaite si et seulement si Cette égalité est satisfaite. Alors la différence entre les nombres et est inférieure à 1. Nous obtenons cela et Moyens et Depuis le nombre k n'excède pas 36, il s'ensuit que Considérons une progression avec le premier terme 27 et la différence 1. Puis parmi les nombres un 1 , un 2 , ..., un 46 exactement deux est divisible par 36 ( un 10 = 36 et un 46 = 72). Parmi les chiffres un 47 , un 48 , ..., un 115 est exactement un divisible par 36 ( un 82 = 108). Cet exemple montre que n peut-être 23 ans.

Réponse : a) Oui, par exemple la progression 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ... ; b) non ; c)23.

· Prototype de tâche ·

une canette Ségal à 8 ?

b) Peut Ségal à 1 ?

S.

Solution.

a) Le nombre 8 est la somme de quatre termes consécutifs d'une progression arithmétique. Par exemple, 8 = − 1 + 1 + 3 + 5.

b) Soit le nombre 1 la somme des premiers k termes d'une progression arithmétique avec le premier terme UN et la différence d. Alors

signifie le numéro k- diviseur 2, ce qui contredit la condition

c) Tout nombre naturel est la somme d'une progression arithmétique constituée de termes. Si on remplace tous les termes de cette progression par leurs opposés, on obtient une progression arithmétique composée de 2 n membres, dont la somme est - n.

Dans le paragraphe précédent, nous avons montré que S ne peut pas être égal à 1. De même, on peut montrer que S ne peut pas être égal à −1. Nombre S peut être égal à 0, par exemple pour une progression -1 ; 0 ; 1. Ainsi, S peut prendre n’importe quelle valeur entière sauf −1 et 1.

Réponse : a) oui ; b) non ; c) toutes les valeurs entières sauf −1 et 1.

Source : Examen d'État unifié de mathématiques du 08/05/2014. Vague précoce, jour de réserve. Option 1.

une canette Ségal à 9 ?

b) Peut Ségal à 2 ?

c) Trouver toutes les valeurs que cela peut prendre S.

Solution.

a) Le nombre est la somme de six termes consécutifs d'une progression arithmétique. Par exemple,

b) Soit le nombre la somme des premiers termes d'une progression arithmétique avec le premier terme et la différence Alors

cela signifie que le nombre est un diviseur, ce qui contredit la condition

c) Tout nombre naturel est la somme d'une progression arithmétique constituée de termes. Si l'on remplace tous les termes de cette progression par leurs opposés, on obtient une progression arithmétique constituée de termes dont la somme est égale à

Dans le paragraphe précédent, nous avons montré qu'il ne peut pas être égal. De même, nous pouvons montrer qu'il ne peut pas être égal, par exemple, pour une progression. Ainsi, il peut prendre n'importe quelle valeur entière sauf et.

Réponse : a) oui ; b) non ; c) toutes valeurs entières sauf et

Source : Examen d'État unifié de mathématiques du 08/05/2014. Vague précoce, jour de réserve. Option 2.

· Prototype de tâche ·

a) Existe-t-il une progression arithmétique de longueur 5 composée de termes de cette suite ?

b) Est-il possible de créer une progression arithmétique ? longueur infinieà partir de ces chiffres ?

c) La progression peut-elle avoir des membres de 2013 ?

Solution.

a) Considérez la séquence : il est facile de voir qu'il s'agit d'une progression avec une différence

b) Soit une progression arithmétique infinie dont tous les termes sont membres d'une séquence donnée. Soit, pour être précis, le premier terme de cette progression soit égal et la différence de cette progression soit égale à Ensuite nous prenons un naturel tel que Alors nous obtenons que Cela signifie que le ème terme de notre progression est négatif, mais cela ne peut pas l'être.

c) Considérons la progression arithmétique suivante : ... ; Il est clair que chacune de ces fractions fait partie de cette séquence.

Réponse : a) oui ; b) non ; c) oui.

Source : A. Larin : Option de formation n°22.

a) Existe-t-il des progressions pour lesquelles et sont des nombres naturels distincts ?

b) Existe-t-il des progressions pour lesquelles et sont des nombres naturels distincts ?

dans lequel plus petite valeur peut prendre une fraction si l'on sait que et sont des nombres naturels distincts.

Solution.

a) Un exemple approprié est celui des progressions et respectivement. Pour ces progressions nous avons et

b) Supposons que de telles progressions existent. Alors l'un des nombres ou n'est pas inférieur à 1, et le second est supérieur à 1. Cela signifie soit et , et, par conséquent, Par conséquent, en utilisant les propriétés d'une progression arithmétique, nous obtenons :

Nous sommes arrivés à une contradiction.

c) Désignons par et les différences de progressions arithmétiques et, respectivement. Il découle de la condition que les nombres sont à la fois naturels et entiers et non égal à zéro. Nous avons:

Les dénominateurs des fractions et sont positifs, et les numérateurs de ces fractions ont même signe. Cela signifie que les nombres et ont le même signe, c'est-à-dire soit , soit Dans les deux cas, nous obtenons que

Si les progressions et sont des progressions et respectivement, alors et Cet exemple montre que la plus petite valeur possible de la fraction est

Réponse : a) oui, par exemple, et en conséquence ; b) non ; à 2 heures.

· Prototype de tâche ·

Les progressions arithmétiques croissantes sont constituées de nombres naturels.

a) Existe-t-il de telles progressions pour lesquelles ?

b) Existe-t-il de telles progressions pour lesquelles ?

dans lequel valeur la plus élevée peut accepter un travail si ?

Solution.

a) Un exemple approprié est celui des progressions et respectivement. Pour ces progressions nous avons

b) Désignons par et les différences de progressions arithmétiques et, respectivement. Alors

Si , alors nous sommes arrivés à une contradiction, car selon la condition et

c) Comme précédemment, nous désignons par et les différences de progressions arithmétiques et, respectivement. Alors, par condition et par ce qui a été prouvé au point b, on a : Donc,

Si les progressions et sont des progressions et respectivement, alors

Cet exemple montre que la plus grande valeur possible du produit est

Réponse : a) oui, par exemple, et en conséquence ; b) non ; c) 98.

Sont donnés n divers nombres naturels qui composent une progression arithmétique

a) La somme de tous ces nombres peut-elle être égale à 14 ?

b) Quelle est la plus grande valeur n, si la somme de tous les nombres donnés est inférieure à 900 ?

c) Trouvez tout valeurs possibles n, si la somme de tous les nombres donnés est 123.

Solution.

a) Oui, c'est possible. Les nombres 2, 3, 4, 5 forment une progression arithmétique, leur somme est 14.

b) Laissez un- premier membre, d- différence, n- le nombre de termes de la progression, alors leur somme est égale pour que le nombre de termes soit le plus grand, il faut que le premier terme et la différence soient le plus petit. Qu'ils soient égaux à 1, alors par condition le Plus Grand solution naturelle cette inégalité n= 41. Ce résultat est obtenu avec progression

c) Pour la somme des termes d'une progression arithmétique on a :

Ainsi, le nombre de termes de la progression n est un diviseur du nombre 246. Si alors côté gauche supérieur à 246 : donc, Puisque nous trouvons que ou Des progressions de trois et six termes avec une somme de 123 existent : par exemple, 40, 41, 42 et 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Type d'emploi : 11

Condition

Natasha doit fabriquer 300 grues en papier. Chaque jour, elle fabrique le même nombre de grues que la veille. Le premier jour, Natasha a fabriqué 6 grues. Combien de grues ont été fabriquées le dernier jour si l’ensemble du travail a duré 15 jours ?

Solution

Il découle de la condition que le nombre de « grues » à papier augmente du même nombre chaque jour. Le nombre de « grues » en papier fabriquées quotidiennement forme une progression arithmétique, le premier terme de la progression étant égal à 6. D'après la formule de la somme des premiers termes d'une progression arithmétique, on a

a_1+a_2+a_3+...+a_(15)= \frac(a_1+a_(15))(2)\cdot15= 300,

6+a_(15)=40,

a_(15)=40-6=34.

Le dernier jour, Natasha a fabriqué 34 « grues » en papier

Répondre

Type d'emploi : 11
Sujet : Arithmétique et progressions géométriques

Condition

Kolya doit planter 350 rosiers. Chaque jour, il plante le même nombre d'arbustes en plus que la veille. Le premier jour, il a planté 8 rosiers. Combien d'arbustes ont été plantés le dernier jour si tout le travail prenait 20 jours ?

Solution

De cette condition, il résulte que le nombre de rosiers plantés a augmenté du même nombre chaque jour. Le nombre de rosiers plantés quotidiennement forme une progression arithmétique, le premier terme étant 8. En utilisant la formule de la somme des premiers termes d'une progression arithmétique, on obtient a_1+a_2+a_3+...+a_(20)= \frac(a_1+a_(20))(2)\cdot20= 350,

8+a_(20)=35,

a_(20)=35-8=27.

Le dernier jour, Kolya a planté 27 rosiers.

Répondre

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau de profil" Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 11
Sujet : Progressions arithmétiques et géométriques

Condition

Le carreleur doit poser 320 m2 de carrelage. S'il pose 6 m2 de plus par jour que prévu, les travaux seront terminés 12 jours plus tôt. Déterminez combien mètres carrés carreaux par jour que le carreleur envisage de poser.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec nombre est appelé le ème terme de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons séquence de nombres, dans lequel la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au 6ème siècle et était compris de manière plus générale. dans un sens large, comme une séquence de nombres infinie. Le nom « arithmétique » a été transféré de la théorie des proportions continues, étudiée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence de nombres dont chaque membre est égal au précédent ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est désigné.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
d)

J'ai compris? Comparons nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème terme. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter le numéro de progression à la valeur précédente jusqu'à atteindre le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le ème terme de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s’il fallait trouver la valeur du ème terme de la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne ferions pas d'erreurs en additionnant des nombres.
Bien entendu, les mathématiciens ont trouvé une méthode selon laquelle il n’est pas nécessaire d’ajouter la différence d’une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :

Voyons par exemple en quoi consiste la valeur du ième terme de cette progression arithmétique :


Autrement dit:

Essayez de trouver vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée.

As-tu calculé ? Comparez vos notes avec la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons ajouté séquentiellement les termes de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule- emmenons-la à Forme générale et on obtient :

Les progressions arithmétiques peuvent être croissantes ou décroissantes.

En augmentant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Vérifions quel sera le ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :

Depuis lors:

Ainsi, nous sommes convaincus que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver vous-même les ième et ième termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons le problème - nous en dériverons la propriété de progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Laissez, ah, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors cela n’a rien de compliqué, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il est possible de se tromper dans les calculs.
Demandez-vous maintenant s'il est possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr que oui, et c’est ce que nous allons essayer de faire ressortir maintenant.

Notons le terme requis de la progression arithmétique car la formule pour le trouver nous est connue - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, Alors:

• le terme précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les termes précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des termes de progression précédents et suivants est la double valeur du terme de progression situé entre eux. En d’autres termes, pour trouver la valeur du terme de progression étant donné les valeurs précédentes et connues valeurs consécutives, vous devez les additionner et les diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Sécurisons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, ce n’est pas du tout difficile.

Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une formule qui, selon la légende, a été facilement déduite par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « roi des mathématiciens » - Karl Gauss...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves d'autres classes, lui a confié la tâche suivante en classe : « Calculer la somme de tous les nombres naturels de à (selon d'autres sources à) inclus. » Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné une minute plus tard la bonne réponse à la tâche, tandis que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Carl Gauss a remarqué une certaine tendance que vous pouvez facilement remarquer aussi.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -èmes termes : nous devons trouver la somme de ces termes de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si la tâche nécessite de trouver la somme de ses termes, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Examinez de plus près les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Droite! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires au total dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les chiffres.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale et que les paires similaires sont égales, nous obtenons que montant total est égal à:
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de remplacer la formule du ème terme par la formule de somme.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Carl Gauss : calculez vous-même à quoi est égale la somme des nombres à partir du ème et la somme des nombres à partir du ème.

Combien as-tu reçu ?
Gauss a découvert que la somme des termes est égale, ainsi que la somme des termes. C'est ce que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des termes d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des gens pleins d'esprit ont pleinement utilisé les propriétés de la progression arithmétique.
Par exemple, imaginez L'Egypte ancienne et le plus construction à grande échelle cette fois-là - la construction d'une pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici, dites-vous ? Regardez attentivement et trouvez une régularité dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés à la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur le moniteur, vous vous souvenez de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

DANS dans ce cas La progression ressemble à ceci : .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de termes d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (calculons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. J'ai compris? Bravo, vous maîtrisez la somme des nièmes termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, on ne peut pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
Avez-vous réussi ?
La bonne réponse est les blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se met en forme pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha fera-t-elle des squats par semaine si elle faisait des squats lors de la première séance d'entraînement ?
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus.
3. Lors du stockage des journaux, les enregistreurs les empilent de telle manière que chacun couche supérieure contient un journal de moins que le précédent. Combien y a-t-il de rondins dans une maçonnerie, si les fondations de la maçonnerie sont constituées de rondins ?

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait faire des squats une fois par jour.

2. Premier nombre impair, dernier nombre.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs est la moitié, cependant, vérifions ce fait à l'aide de la formule pour trouver le ème terme d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Remplaçons les données disponibles dans la formule :

   Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale.

3. Rappelons-nous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors au total, il y a un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplaçons les données dans la formule :

   Répondre: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons-le

1. - une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant ou décroissant.
2. Trouver une formule Le ème terme d'une progression arithmétique s'écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres en progression.
4. La somme des termes d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n’importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d’autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel et unique. Et nous n’attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le ème terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal et la différence l'est). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le ème terme, il faut connaître le ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide de cette formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez-le. Alors:

Eh bien, est-ce que la formule est claire maintenant ?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Lequel? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Voici quoi :

(C'est pourquoi on l'appelle différence car elle est égale à la différence des termes successifs de la progression).

Donc la formule :

Alors le centième terme est égal à :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

D'après la légende, grand mathématicien Karl Gauss, enfant de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et dernier rendez-vous est égal, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3ème à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires au total ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, bien sûr. Donc,

La formule générale de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous nombres à deux chiffres, multiples.

Solution:

Le premier de ces chiffres est le suivant. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant au numéro précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

Formule du ème terme pour cette progression :

Combien de termes y a-t-il dans la progression s’ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :

Répondre: .

Maintenant, décidez vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court plus de mètres que la veille. Combien de kilomètres au total parcourra-t-il en une semaine s'il courait des km m le premier jour ?
2. Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que la veille. Le premier jour, il a parcouru des kilomètres. Combien de jours faut-il parcourir pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il lors du dernier jour de son voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il était vendu pour des roubles.

Réponses:

1. Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Répondre:
2. Ici, il est donné : , doit être trouvé.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans tâche précédente:
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
   Calculons le chemin parcouru au cours du dernier jour à l'aide de la formule du ème terme :
   (km).
   Répondre:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Il s'agit d'une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être croissante () et décroissante ().

Par exemple:

Formule pour trouver le nième terme d'une progression arithmétique

s'écrit par la formule, où est le nombre de nombres en progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il permet de retrouver facilement un terme d'une progression si ses termes voisins sont connus - où est le nombre de nombres dans la progression.

Somme des termes d'une progression arithmétique

Il existe deux façons de connaître le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.