Le concept d’espace vectoriel constitue un cas particulier. Définition de l'espace linéaire

Conférence 6. Espace vectoriel.

Questions fondamentales.

1. Espace linéaire vectoriel.

2. Base et dimension de l'espace.

3. Orientation spatiale.

4. Décomposition d'un vecteur par base.

5. Coordonnées vectorielles.

1. Espace linéaire vectoriel.

Un ensemble constitué d'éléments de toute nature dans lequel ils sont définis opérations linéaires: L'ajout de deux éléments et la multiplication d'un élément par un nombre s'appellent espaces, et leurs éléments sont vecteurs cet espace et sont désignés de la même manière que quantités vectorielles en géométrie : . Vecteurs En règle générale, de tels espaces abstraits n'ont rien de commun avec les vecteurs géométriques ordinaires. Les éléments des espaces abstraits peuvent être des fonctions, un système de nombres, des matrices, etc., et dans un cas particulier, des vecteurs ordinaires. Par conséquent, ces espaces sont généralement appelés espaces vectoriels .

Les espaces vectoriels sont, Par exemple, un ensemble de vecteurs colinéaires, noté V1 , ensemble vecteurs coplanaires V2 , ensemble de vecteurs ordinaires (espace réel) V3 .

Pour ce cas particulier, nous pouvons donner définition suivante espace vectoriel.

Définition 1. L’ensemble des vecteurs est appelé espace vectoriel, si une combinaison linéaire de n'importe quel vecteur d'un ensemble est également un vecteur de cet ensemble. Les vecteurs eux-mêmes sont appelés éléments espace vectoriel.

Le concept général (abstrait) d’espace vectoriel est plus important, tant sur le plan théorique qu’appliqué.

Définition 2. Beaucoup R.éléments, dans lesquels la somme est déterminée pour deux éléments quelconques et pour tout élément https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> appelé vecteur(ou linéaire) espace, et ses éléments sont des vecteurs, si les opérations d'addition de vecteurs et de multiplication d'un vecteur par un nombre satisfont aux conditions suivantes ( axiomes) :

1) l'addition est commutative, c'est-à-dire.gif" width="184" height="25"> ;

3) il existe un tel élément (vecteur zéro) que pour tout https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" hauteur="27">;

5) pour tout vecteur et tout nombre λ l'égalité est vraie ;

6) pour tous les vecteurs et tous les nombres λ Et µ l'égalité est vraie : https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> et tous les nombres λ Et µ équitable ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Les axiomes les plus simples qui définissent un espace vectoriel sont les suivants : conséquences :

1. Dans un espace vectoriel, il n’y a qu’un seul zéro – l’élément – ​​le vecteur zéro.

2. Dans l’espace vectoriel, chaque vecteur a un seul vecteur opposé.

3. Pour chaque élément, l'égalité est satisfaite.

4. Pour tout nombre réel λ et vecteur zéro https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" largeur="145" hauteur="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> est un vecteur qui satisfait l'égalité https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Ainsi, en effet, la multitude de tous vecteurs géométriques est un espace linéaire (vecteur), puisque pour les éléments de cet ensemble sont définies les actions d'addition et de multiplication par un nombre qui satisfont aux axiomes formulés.

2. Base et dimension de l'espace.

Les concepts essentiels d'un espace vectoriel sont les concepts de base et de dimension.

Définition. Définir linéairement vecteurs indépendants, pris en dans un certain ordre, par lequel tout vecteur d'espace peut être exprimé linéairement, est appelé base cet espace. Vecteurs. Les composants de la base de l'espace sont appelés basique .

La base d'un ensemble de vecteurs situés sur une ligne arbitraire peut être considérée comme un vecteur colinéaire à cette ligne.

Base dans l'avion appelons deux vecteurs non colinéaires sur ce plan, pris dans un certain ordre https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Si les vecteurs de base sont perpendiculaires par paires (orthogonaux), alors la base est appelée orthogonal, et si ces vecteurs ont une longueur, égal à un, alors la base s'appelle orthonormé .

Le plus grand nombre les vecteurs de l'espace linéairement indépendants sont appelés dimension de cet espace, c'est-à-dire que la dimension de l'espace coïncide avec le nombre de vecteurs de base de cet espace.

Donc, selon ces définitions :

1. Espace unidimensionnel V1 est une ligne droite dont la base est constituée de un colinéaire vecteur https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. L'espace ordinaire est un espace tridimensionnel V3 , dont la base est constituée de trois non coplanaires vecteurs

De là, nous voyons que le nombre de vecteurs de base sur une droite, sur un plan, dans l'espace réel coïncide avec ce qu'on appelle habituellement en géométrie le nombre de dimensions (dimension) d'une droite, d'un plan, d'un espace. Il est donc naturel d’introduire une définition plus générale.

Définition. Espace vectoriel R. appelé n– dimensionnel s’il n’y en a pas plus de n vecteurs linéairement indépendants et est noté R. n. Nombre n appelé dimension espace.

Conformément à la dimension de l'espace, ils sont divisés en dimension finie Et dimension infinie. La dimension de l'espace nul est considérée comme égale à zéro par définition.

Remarque 1. Dans chaque espace, vous pouvez spécifier autant de bases que vous le souhaitez, mais toutes les bases espace donné sont constitués du même nombre de vecteurs.

Remarque 2. DANS n– dans un espace vectoriel dimensionnel, une base est toute collection ordonnée n vecteurs linéairement indépendants.

3. Orientation spatiale.

Pour ça pour orienter l'espace, il faut poser des bases et les déclarer positives .

On peut montrer que l’ensemble de toutes les bases de l’espace se divise en deux classes, c’est-à-dire en deux sous-ensembles disjoints.

a) toutes les bases appartenant à un sous-ensemble (classe) ont le même orientation (bases du même nom) ;

b) deux bases quelconques appartenant à divers sous-ensembles (classes), ont le contraire orientation, ( différents noms socles).

Si l’une des deux classes de bases d’un espace est déclarée positive et l’autre négative, alors on dit que cet espace orienté .

Souvent, lors de l'orientation de l'espace, certaines bases sont appelées droite, et d'autres - gauche .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> sont appelés droite, si, lors de l'observation depuis la fin du troisième vecteur, la rotation la plus courte du premier vecteur https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > est réalisé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riz. 1.8. Base droite (a) et base gauche (b)

Habituellement, la bonne base de l'espace est déclarée comme étant une base positive.

La base droite (gauche) de l'espace peut également être déterminée à l'aide de la règle d'une vis ou d'une vrille « droite » (« gauche »).

Par analogie avec cela, la notion de droite et de gauche est introduite trois vecteurs non coplanaires qui doivent être ordonnés (Fig. 1.8).

Ainsi, dans cas général deux triplets ordonnés de vecteurs non coplanaires ont la même orientation (le même nom) dans l'espace V3 s'ils sont tous les deux à droite ou tous les deux à gauche, et - l'orientation opposée (opposé) si l'un d'eux est à droite et l'autre à gauche.

On fait la même chose dans le cas de l'espace V2 (avion).

4. Décomposition d'un vecteur par base.

Pour simplifier le raisonnement, considérons cette question en utilisant l'exemple d'un espace vectoriel tridimensionnel R.3 .

Soit https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> un vecteur arbitraire de cet espace.

Golovizine V.V. Cours d'algèbre et de géométrie.

4

Cours d'algèbre et de géométrie. Semestre 2.

Conférence 22. Espaces vectoriels.

Résumé : définition d'un espace vectoriel, ses propriétés les plus simples, systèmes de vecteurs, combinaison linéaire d'un système de vecteurs, combinaison linéaire triviale et non triviale, systèmes de vecteurs linéairement dépendants et indépendants, conditions de dépendance linéaire ou d'indépendance d'un système de vecteurs, sous-systèmes d'un système de vecteurs, systèmes de colonnes d'un espace vectoriel arithmétique.

article 1. Définition de l'espace vectoriel et de ses propriétés les plus simples.

Ici, pour la commodité du lecteur, nous répétons le contenu du paragraphe 13 de la leçon 1.

Définition. Soit un ensemble arbitraire non vide, dont nous appellerons les éléments vecteurs, et soit K un champ dont nous appellerons les éléments scalaires. Soit une opération algébrique binaire interne définie sur un ensemble, que nous désignerons par le signe + et appellerons l'addition vectorielle. Soit également définie une opération algébrique binaire externe sur l'ensemble, que nous appellerons multiplication d'un vecteur par un scalaire et notée par le signe de multiplication. En d’autres termes, deux mappages sont définis :

Un ensemble avec ces deux opérations algébriques est appelé un espace vectoriel sur le corps K si les axiomes suivants sont vérifiés :

1. L'addition est associative, c'est-à-dire

2. Il existe un vecteur nul, c'est-à-dire

3. Pour tout vecteur il existe un opposé :

Le vecteur y opposé au vecteur x est généralement noté -x, donc

5. La multiplication d'un vecteur par un scalaire obéit à la loi de l'associativité, c'est-à-dire

où le produit est le produit de scalaires définis dans le champ K.

6. , où 1 est l’unité du champ K.

7. La multiplication d'un vecteur par un scalaire est distributive par rapport à l'addition de vecteurs :

8. La multiplication d'un vecteur par un scalaire est distributive par rapport à l'addition de scalaires : .

Définition. Un espace vectoriel sur le corps des nombres réels est appelé espace vectoriel réel.

Théorème. (Les propriétés les plus simples des espaces vectoriels.)

1. Il n’y a qu’un seul vecteur nul dans un espace vectoriel.

2. Dans l’espace vectoriel, tout vecteur a un opposé unique.

3. ou
.

4. .

Preuve. 1) L'unicité du vecteur zéro se prouve au même titre que l'unicité de la matrice identité et, en général, comme l'unicité de l'élément neutre de toute opération algébrique binaire interne.

Soit 0 le vecteur zéro de l'espace vectoriel V. Alors. Laisser
– un autre vecteur nul. Alors. Prenons le premier cas
, et dans le second –
. Alors
Et
, d'où il résulte que
, etc.

2a) Nous prouvons d’abord que le produit d’un scalaire nul et de tout vecteur est égal à vecteur zéro.

Laisser
. Ensuite, en appliquant les axiomes de l’espace vectoriel, on obtient :

En ce qui concerne l'addition, un espace vectoriel est un groupe abélien et la loi d'annulation est valable dans n'importe quel groupe. En appliquant la loi d'annulation, il résulte de la dernière égalité

.

2b) Maintenant, nous prouvons l'énoncé 4). Laisser
– vecteur arbitraire. Alors

Il s'ensuit immédiatement que le vecteur
est l'opposé du vecteur x.

2c) Laissez maintenant
. Ensuite, en utilisant les axiomes de l’espace vectoriel,
Et
on obtient :

2d) Laissez
et supposons que
. Parce que
, où K est un corps, alors il y a
. Multiplions l'égalité
laissé sur
:
, qui suit
ou
ou
.

Le théorème a été prouvé.

article 2. Exemples d'espaces vectoriels.

1) Un ensemble de fonctions numériques réelles d'une variable, continues sur l'intervalle (0 ; 1) par rapport aux opérations habituelles d'addition de fonctions et de multiplication d'une fonction par un nombre.

2) Un ensemble de polynômes d'une lettre avec des coefficients du champ K Concernant l'addition de polynômes et la multiplication de polynômes par un scalaire.

3) Beaucoup nombres complexes concernant l'addition de nombres complexes et la multiplication par un nombre réel.

4) Un ensemble de matrices de même taille avec des éléments du champ K par rapport à l'addition matricielle et à la multiplication matricielle par un scalaire.

L’exemple suivant est un cas particulier important de l’exemple 4.

5) Soit un nombre naturel arbitraire. Désignons par l'ensemble de toutes les colonnes de hauteur n, c'est-à-dire ensemble de matrices sur un corps K de taille
.

L'ensemble est un espace vectoriel sur le corps K et est appelé espace vectoriel arithmétique de colonnes de hauteur n sur le corps K.

En particulier, si au lieu d'un champ arbitraire K on prend le champ des nombres réels, alors l'espace vectoriel
est appelé espace vectoriel arithmétique réel des colonnes de hauteur n.

De même, un espace vectoriel est aussi un ensemble de matrices sur un champ de taille K
ou, en d’autres termes, des chaînes de longueur n. Il est également désigné par et est également appelé espace vectoriel arithmétique des chaînes de longueur n sur le champ K.

article 3. Systèmes vectoriels spatiaux vectoriels.

Définition. Un système de vecteurs dans un espace vectoriel est tout ensemble fini non vide de vecteurs dans cet espace.

Désignation:
.

Définition. Expression

, (1)

où sont les scalaires du champ K, sont les vecteurs de l'espace vectoriel V, est appelé une combinaison linéaire du système de vecteurs
. Les scalaires sont appelés coefficients de cette combinaison linéaire.

Définition. Si tous les coefficients d'une combinaison linéaire (1) sont égaux à zéro, alors une telle combinaison linéaire est dite triviale, sinon non triviale.

Exemple. Laisser
système de trois vecteurs dans un espace vectorielV. Alors

– combinaison linéaire triviale d'un système de vecteurs donné ;

est une combinaison linéaire non triviale d'un système de vecteurs donné, car le premier coefficient de cette combinaison
.

Définition. Si n'importe quel vecteur x de l'espace vectoriel V peut être représenté par :

alors ils disent que le vecteur x est exprimé linéairement à travers les vecteurs du système
. Dans ce cas, on dit aussi que le système
représente linéairement le vecteur x.

Commentaire. Dans cette définition et dans la définition précédente, le mot « linéaire » est souvent omis et on dit que le système représente un vecteur ou que le vecteur est exprimé en termes de vecteurs système, etc.

Exemple. Laisser
est un système de deux colonnes d'un espace vectoriel réel arithmétique de colonnes de hauteur 2. Alors la colonne
exprimé linéairement à travers les colonnes du système ou ce système columns représente linéairement la colonne x. Vraiment,

article 4. Systèmes de vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants dans un espace vectoriel.

Puisque le produit d'un scalaire nul par n'importe quel vecteur est un vecteur nul et que la somme des vecteurs nuls est égale à un vecteur nul, alors pour tout système de vecteurs l'égalité

Il s'ensuit que le vecteur zéro est exprimé linéairement à travers les vecteurs de tout système de vecteurs ou, en d'autres termes, tout système de vecteurs représente linéairement le vecteur zéro.

Exemple. Laisser
. Dans ce cas, la colonne nulle peut être exprimé linéairement à travers les colonnes du système de plusieurs manières :

ou

Pour distinguer ces méthodes de représentation linéaire du vecteur zéro, nous introduisons la définition suivante.

Définition. Si l'égalité est vraie

et en même temps tous les coefficients , alors ils disent que le système
représente trivialement le vecteur nul. Si en égalité (3) au moins un des coefficients
Pas égal à zéro, alors ils disent que le système de vecteurs
représente le vecteur nul de manière non triviale.

Le dernier exemple nous montre qu’il existe des systèmes de vecteurs qui peuvent représenter le vecteur zéro de manière non triviale. Depuis exemple suivant nous verrons qu'il existe des systèmes de vecteurs qui ne peuvent pas représenter le vecteur zéro de manière non triviale.

Exemple. Laisser
– un système de deux colonnes d'un espace vectoriel. Considérons l'égalité :

,

Où
coefficients inconnus encore. En utilisant les règles de multiplication d'une colonne par un scalaire (nombre) et d'addition de colonnes, on obtient l'égalité :

.

De la définition de l'égalité matricielle, il s'ensuit que
Et
.

Ainsi, ce système ne peut pas représenter la colonne nulle de manière non triviale.

Des exemples ci-dessus, il s’ensuit qu’il existe deux types de systèmes vectoriels. Certains systèmes représentent le vecteur nul de manière non triviale, tandis que d'autres ne le font pas. Notez encore une fois que tout système de vecteurs représente trivialement le vecteur zéro.

Définition. Un système de vecteurs dans un espace vectoriel qui représente UNIQUEMENT le vecteur nul de manière triviale est appelé linéairement indépendant.

Définition. Un système de vecteurs dans un espace vectoriel qui peut représenter le vecteur zéro de manière non triviale est appelé linéairement dépendant.

La dernière définition peut être donnée sous une forme plus détaillée.

Définition. Système vectoriel
l'espace vectoriel V est dit linéairement dépendant s'il existe un tel ensemble non nul de scalaires de champ K

Commentaire. Tout système vectoriel
peut représenter trivialement le vecteur nul :

Mais cela ne suffit pas pour savoir si un système de vecteurs donné est linéairement dépendant ou linéairement indépendant. De la définition, il s'ensuit qu'un système de vecteurs linéairement indépendant ne peut pas représenter le vecteur zéro de manière non triviale, mais seulement de manière triviale. Par conséquent, afin de vérifier l'indépendance linéaire d'un système de vecteurs donné, nous devons considérer la représentation de zéro par une combinaison linéaire arbitraire de ce système de vecteurs :

Si cette égalité est impossible à condition qu'au moins un coefficient de cette combinaison linéaire soit non nul, alors ce système est, par définition, linéairement indépendant.

Ainsi dans les exemples du paragraphe précédent le système de colonnes
est linéairement indépendant, et le système de colonnes
est linéairement dépendant.

L'indépendance linéaire du système de colonnes est prouvée de la même manière ,, ... ,

à partir de l'espace où K est un corps arbitraire, n est un nombre naturel arbitraire.

Les théorèmes suivants fournissent plusieurs critères de dépendance linéaire et, par conséquent, d'indépendance linéaire des systèmes vectoriels.

Théorème. (Condition nécessaire et suffisante pour la dépendance linéaire d'un système de vecteurs.)

Un système de vecteurs dans un espace vectoriel est linéairement dépendant si et seulement si l'un des vecteurs du système est exprimé linéairement en termes d'autres vecteurs de ce système.

Preuve. Nécessité. Laissez le système
linéairement dépendant. Ensuite, par définition, il représente le vecteur zéro de manière non triviale, c'est-à-dire il existe une combinaison linéaire non triviale de ce système de vecteurs égale au vecteur zéro :

où au moins un des coefficients de cette combinaison linéaire n'est pas égal à zéro. Laisser
,
.

Divisons les deux côtés de l'égalité précédente par ce coefficient non nul (c'est-à-dire multiplions par :

Notons :
, Où.

ceux. l'un des vecteurs du système est exprimé linéairement à travers d'autres vecteurs de ce système, etc.

Adéquation. Soit l'un des vecteurs du système exprimé linéairement à travers d'autres vecteurs de ce système :

Déplaçons le vecteur V côté droit cette égalité :

Puisque le coefficient du vecteur est égal
, alors nous avons une représentation non triviale de zéro par un système de vecteurs
, ce qui signifie que ce système de vecteurs est linéairement dépendant, etc.

Le théorème a été prouvé.

Conséquence.

1. Un système de vecteurs dans un espace vectoriel est linéairement indépendant si et seulement si aucun des vecteurs du système n'est exprimé linéairement en termes d'autres vecteurs de ce système.

2. Un système de vecteurs contenant un vecteur zéro ou deux vecteur égal, est linéairement dépendant.

Preuve.

1) Nécessité. Soit le système linéairement indépendant. Supposons le contraire et il existe un vecteur du système qui s'exprime linéairement à travers d'autres vecteurs de ce système. Alors, d’après le théorème, le système est linéairement dépendant et on arrive à une contradiction.

Adéquation. Qu'aucun des vecteurs du système ne soit exprimé par rapport aux autres. Supposons le contraire. Supposons que le système soit linéairement dépendant, mais il résulte alors du théorème qu'il existe un vecteur du système qui peut être exprimé linéairement à travers d'autres vecteurs de ce système, et nous arrivons à nouveau à une contradiction.

2a) Soit le système contient un vecteur nul. Supposons avec certitude que le vecteur
:. Alors l'égalité est évidente

ceux. l'un des vecteurs du système s'exprime linéairement à travers les autres vecteurs de ce système. Il résulte du théorème qu'un tel système de vecteurs est linéairement dépendant, etc.

Notez que ce fait peut être prouvé directement à partir de la définition d’un système de vecteurs linéairement dépendants.

Parce que
, alors l'égalité suivante est évidente

Il s’agit d’une représentation non triviale du vecteur zéro, ce qui signifie que le système
est linéairement dépendant.

2b) Soit le système avoir deux vecteurs égaux. Laissez pour certitude
. Alors l'égalité est évidente

Ceux. le premier vecteur est exprimé linéairement à travers les vecteurs restants du même système. Il résulte du théorème que ce système est linéairement dépendant, etc.

Semblable à la précédente, cette affirmation peut être prouvée directement en définissant un système linéairement dépendant.

En effet, depuis
, alors l'égalité est vraie

ceux. nous avons une représentation non triviale du vecteur zéro.

L'enquête a été prouvée.

Théorème (Sur la dépendance linéaire d'un système d'un vecteur.

Un système constitué d'un vecteur est linéairement dépendant si et seulement si ce vecteur est nul.

Preuve.

Nécessité. Laissez le système
linéairement dépendant, c'est-à-dire il existe une représentation non triviale du vecteur zéro

,

Où
Et
. Des propriétés les plus simples de l’espace vectoriel, il s’ensuit que alors
.

Adéquation. Soit le système constitué d'un vecteur zéro
. Alors ce système représente le vecteur zéro de manière non triviale

,

d'où découle dépendance linéaire systèmes
.

Le théorème a été prouvé.

Conséquence. Un système constitué d’un vecteur est linéairement indépendant si et seulement si ce vecteur est différent de zéro.

La démonstration est laissée en exercice au lecteur.

ESPACE VECTORIEL (espace linéaire), l'un des concepts fondamentaux algèbre, généralisant le concept de collection de vecteurs (libres). Dans l'espace vectoriel, au lieu de vecteurs, tous les objets pouvant être ajoutés et multipliés par des nombres sont pris en compte ; cela nécessite que le principal propriétés algébriques Ces opérations étaient les mêmes que pour les vecteurs en géométrie élémentaire. DANS définition précise les nombres sont remplacés par des éléments de n'importe quel champ K. Un espace vectoriel sur le champ K est un ensemble V avec l'opération d'addition d'éléments de V et l'opération de multiplication d'éléments de V par des éléments du champ K, qui ont les propriétés suivantes :

x + y = y + x pour tout x, y de V, c'est-à-dire, par rapport à l'addition, V est un groupe abélien ;

λ(x + y) = λ χ + λу pour tout λ de K et x, y de V ;

(λ + μ)x = λx + μx pour tout λ, μ de K et x de V ;

(λ μ)х = λ(μх) pour tout λ, μ de K et x de V ;

1x = x pour tout x de V, ici 1 signifie l'unité du champ K.

Des exemples d'espace vectoriel sont : les ensembles L 1, L 2 et L 3 de tous les vecteurs de la géométrie élémentaire, respectivement, sur une droite, un plan et dans l'espace avec les opérations habituelles d'addition de vecteurs et de multiplication par un nombre ; coordonner à l'espace vectoriel K n, dont les éléments sont toutes les lignes possibles (vecteurs) de longueur n avec des éléments du champ K, et les opérations sont données par les formules

l'ensemble F(M, K) de toutes les fonctions définies sur un ensemble fixe M et prenant des valeurs dans le champ K, avec les opérations habituelles sur les fonctions :

Les éléments de l'espace vectoriel e 1 ..., e n sont appelés linéairement indépendants si de l'égalité λ 1 e 1 + ... +λ n e n = 0 Є V il s'ensuit que tous λ 1, λ 2,..., λ n = 0 Є K. Sinon, les éléments e 1, e 2, ···> e n sont appelés linéairement dépendants. Si dans un espace vectoriel V n + 1 éléments e 1 ,..., e n+1 sont linéairement dépendants et il y a n linéairement éléments indépendants, alors V est appelé un espace vectoriel à n dimensions, et n est la dimension de l'espace vectoriel V. Si dans un espace vectoriel V pour tout nombre naturel n il y a n vecteurs linéairement indépendants, alors V est appelé un vecteur de dimension infinie espace. Par exemple, les espaces vectoriels L 1, L 2, L 3 et K n sont respectivement à 1, 2, 3 et n dimensions ; si M - ensemble infini, alors l'espace vectoriel F(M, K) est de dimension infinie.

Un espace vectoriel V et U sur un corps K sont dits isomorphes s'il existe une application biunivoque φ : V -> U telle que φ(x+y) = φ(x) + φ(y) pour tout x, y de V et φ (λx) = λ φ(x) pour tout λ de K et x de V. Les espaces vectoriels isomorphes sont algébriquement indiscernables. La classification des espaces vectoriels de dimension finie, jusqu'à l'isomorphisme, est donnée par leur dimension : tout espace vectoriel à n dimensions sur le champ K est isomorphe à l'espace vectoriel de coordonnées K n. Voir aussi Espace de Hilbert, Algèbre linéaire.

ESPACE VECTORIEL, un espace linéaire sur le corps K, est un groupe abélien E écrit additivement, dans lequel la multiplication des éléments par scalaires est définie, c'est-à-dire la cartographie

K × E → E : (λ, x) → λx,

satisfaisant les axiomes suivants (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K) :

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅x = x.

Des axiomes 1) à 4) découlent les éléments suivants : propriétés importantes espace vectoriel (0 ∈ E):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅x = 0,

Éléments de V. p. Les points VP, ou vecteurs, et les éléments du champ K sont des scalaires.

La plus grande application en mathématiques et applications se fait sur le corps ℂ des nombres complexes ou sur le corps ℝ des nombres réels ; ils sont appelés respectivement, complexe v. p. ou réel v. p.

Les axiomes de v. p. révèlent certains algébriques. propriétés de nombreuses classes de fonctions souvent rencontrées en analyse. Parmi les exemples d'espaces verticaux, les plus fondamentaux et les plus anciens sont les espaces euclidiens à n dimensions. Presque pareil exemples importants existe de nombreux espaces fonctionnels : espace fonctions continues, espace des fonctions mesurables, espace des fonctions sommables, espace de l'analytique. fonctions, espace de fonctions à variation limitée.

Le concept de V. p. cas particulier le concept de module sur un anneau, à savoir, un v. p. est un module unitaire sur un champ. Un module unitaire sur un champ asymétrique non commutatif est également appelé. espace vectoriel sur le corps ; la théorie d'un tel V. p. plus compliqué que la théorie V. p. sur le terrain.

L'un des tâches importantes L'étude de la géométrie de l'espace V. est liée à l'espace V., c'est-à-dire l'étude des lignes dans l'espace V., des ensembles plats et convexes dans l'espace V., des sous-espaces de l'espace V. et des bases dans l'espace V..

Le sous-espace vectoriel, ou simplement le sous-espace, V. p. E sur le champ K est appelé. un sous-ensemble F ⊂ E fermé sous les actions d'addition et de multiplication par un scalaire. Un sous-espace, considéré séparément de l'espace qui le contient, est un espace sur le même corps.

Une droite passant par deux points x et y B. p. un ensemble d'éléments z ∈ E de la forme z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Un ensemble G ∈ E est appelé. un ensemble plat si, avec deux points quelconques, il contient une droite passant par ces points. Chaque ensemble plat est obtenu à partir d'un certain sous-espace en utilisant un décalage ( transfert parallèle) : G = x + F ; cela signifie que chaque élément z ∈ G peut être représenté de manière unique sous la forme z = x + y, y ∈ F, et cette égalité fournit une correspondance biunivoque entre F et G.

L'ensemble de tous les décalages F x = x + F d'un sous-espace donné F forme un espace V sur K, appelé. espace factoriel E/F, si l’on définit les opérations comme suit :

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Soit M = (x α) α∈A un ensemble arbitraire de vecteurs de E ; une combinaison linéaire de vecteurs x α ∈ E est appelée. le vecteur x défini par la formule

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

dans lequel seul un nombre fini de coefficients sont non nuls. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs d'un ensemble M donné est le plus petit sous-espace contenant M, et est appelé. étendue linéaire de l'ensemble M. La combinaison linéaire est appelée. trivial si tous les coefficients λ α sont égaux à zéro. L'ensemble M est appelé. un ensemble linéairement indépendant si toutes les combinaisons linéaires non triviales de vecteurs de M sont différentes de zéro.

Tout ensemble linéairement indépendant est contenu dans un certain ensemble linéairement indépendant maximal M0, c'est-à-dire dans un ensemble qui cesse d'être linéairement indépendant après y avoir ajouté un élément de E.

Chaque élément x ∈ E peut être représenté de manière unique comme une combinaison linéaire d'éléments d'un ensemble maximal linéairement indépendant :

X = ∑ α λ α X α , X α ∈ M 0 .

À cet égard, l'ensemble maximal linéairement indépendant est appelé. base du V. p. (base algébrique). Toutes les bases d'un VP donné ont la même cardinalité, ce qu'on appelle. dimension V. p. Si cette puissance est finie, l'espace est appelé. V. p. de dimension finie ; sinon on l'appelle V. p. de dimension infinie.

Le champ K peut être considéré comme un espace vertical unidimensionnel sur le champ K ; la base de cet élément V. est constituée d'un élément ; il peut s'agir de n'importe quel élément autre que zéro. Un vecteur de dimension finie avec une base de n éléments est appelé. espace à n dimensions.

Dans la théorie des ensembles convexes réels et complexes, la théorie des ensembles convexes joue un rôle important. L'ensemble M dans un V.p réel est appelé. ensemble convexe, si, avec deux de ses points x, y, le segment tx + (1 - t)y, t ∈ , appartient également à M.

Une grande place dans la théorie des espaces verticaux est occupée par la théorie des fonctionnelles linéaires sur les espaces verticaux et la théorie connexe de la dualité. Soit E un CV sur le corps K. On appelle une fonctionnelle linéaire sur E. cartographie additive et homogène f : E → K :

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

L'ensemble E* de toutes les fonctionnelles linéaires sur E forme une lacune sur le corps K par rapport aux opérations

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈E*.

C'est V.p. espace conjugué (ou double) (à E). Un certain nombre de théories géométriques sont associées au concept d'espace conjugué. termes. Soit D ⊂ E (respectivement Г ⊂ E*) ; l'annihilateur de l'ensemble D, ou le complément orthogonal de l'ensemble D (respectivement l'ensemble Г) est appelé. beaucoup

D ⊥ = (f ∈ E* : f(x) = 0 pour tout x ∈ D)

(respectivement Г ⊥ = (x ∈ E : f(x) = 0 pour tout f ∈ Г)) ; ici D ⊥ et Г ⊥ sont respectivement des sous-espaces des espaces E* et E Si f ne l'est pas. élément zéro de E*, alors (f) est le maximum propre sous-espace linéaire en E, appelé parfois hypersubespace ; le déplacement d'un tel sous-espace est appelé. hyperplan en E ; chaque hyperplan a la forme

(x : f(x) = λ), où f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Si F est un sous-espace d'un B. p E, alors il existe des isomorphismes naturels entre F* et

E*/F ⊥ et entre (E/F)* et F ⊥ .

Le sous-ensemble Г ⊂ E* est appelé un sous-ensemble total sur E si son annihilateur ne contient que l'élément zéro : Г ⊥ = (0).

Chaque ensemble linéairement indépendant (x α ) α∈A ⊂ E peut être associé à un ensemble conjugué (f α ) α∈A ⊂ E*, c'est-à-dire un ensemble tel que f α (x β) = δ αβ (symbole de Kronecker) pour tout α, β ∈ A. L'ensemble des paires (x α, f α) est appelé. avec un système biorthogonal. Si l'ensemble (x α) est une base dans E, alors (f α) est totalement sur E.

La théorie de transformations linéaires V. p. Soit E 1, E 2 deux V. p. sur le même corps K. Une application linéaire, ou opérateur linéaire, mappant V. p. de E 1 à E 2), appelé. cartographie additive et homogène de l'espace E 1 à E 2 :

T(x + y) = Tx + Ty ; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Un cas particulier de ce concept est la fonctionnelle linéaire, ou opérateur linéaire de E 1 à K. Une application linéaire est, par exemple, une application naturelle d'un quasi-espace E sur l'espace quotient E/F, qui associe à chaque élément x ∈ E un ensemble plat F x ∈ E/F. L'ensemble ℒ(E 1, E 2) de tous les opérateurs linéaires T : E 1 → E 2 forme un V. p par rapport aux opérations.

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x ; (λТ)х = λТх; x ∈E1 ; λ ∈ K ; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

Deux V. articles E 1 et E 2 appelés. isomorphe c. éléments s'il existe un opérateur linéaire (« isomorphisme ») qui effectue une correspondance biunivoque entre leurs éléments. E 1 et E 2 sont isomorphes si et seulement si leurs bases ont la même cardinalité.

Soit T un opérateur linéaire mappant E 1 à E 2 . L'opérateur linéaire conjugué, ou opérateur linéaire dual, par rapport à T, est appelé. opérateur linéaire T* de E* 2 à E* 1, défini par l'égalité

(T*φ)x = φ(Tx) pour tout x ∈ E 1, φ ∈ E* 2.

Les relations T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ sont vraies, ce qui implique que T* est un isomorphisme si et seulement si T est un isomorphisme.

La théorie des cartographies bilinéaires et des cartographies multilinéaires d'espaces verticaux est étroitement liée à la théorie des cartographies linéaires d'espaces verticaux.

Un groupe important de problèmes dans la théorie des applications linéaires est constitué par les problèmes de continuation des applications linéaires. Soit F un sous-espace de V. p E 1, E 2 un espace linéaire sur le même corps que E 1, et soit T 0 une application linéaire de F dans E 2 ; il faut trouver l'extension T de l'application T 0, définie sur l'ensemble de E 1 et qui est une application linéaire de E 1 à E 2. Une telle continuation existe toujours, mais des restrictions supplémentaires sur les fonctions (liées à structures supplémentaires dans VP, par exemple, par topologie ou relation d'ordre) peut rendre le problème insoluble. Des exemples de résolution du problème de continuation sont le théorème de Han-Banach et les théorèmes sur la continuation de fonctionnelles positives dans des espaces avec un cône.

Une section importante de la théorie des opérations virtuelles est la théorie des opérations sur les vecteurs, c'est-à-dire les méthodes permettant de construire de nouveaux vecteurs à l'aide de vecteurs connus. Des exemples de telles opérations sont les opérations bien connues consistant à prendre un sous-espace et à former un espace quotient à partir d'un sous-espace. D'autres opérations importantes consistent à construire une somme directe, produit direct et le produit tensoriel de V. p.

Soit (E α ) α∈I une famille d'espaces variables sur le corps K. L'ensemble E - le produit des ensembles E α - peut être transformé en une famille d'espaces verticaux sur le corps K en introduisant les opérations

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K ; x α , y α ∈ E α , α ∈ I ;

reçu V. p. E appelé. le produit direct de V. p E α et est noté P α∈I E α. Le sous-espace d'un V. p E, constitué de tous ces ensembles (x α), pour chacun desquels l'ensemble (α : x α ≠ 0) est fini, est appelé. somme directe de V. p E α et est noté Σ α E α ou Σ α + E α ; Pour nombre fini les termes de ces définitions coïncident ; dans ce cas les notations suivantes sont utilisées :

Soient E 1, E 2 deux points V. sur le corps K ; E" 1, E" 2 sont les sous-espaces totaux de V. p E* 1, E* 2 et E 1 □ E 2 -B. n., qui a pour base la totalité de tous les éléments de l'espace E 1 × E 2. Chaque élément x □ y ∈ E 1 □ E 2 est associé à une fonction bilinéaire b = T(x, y) sur E" 1 × E 2 selon la formule b(f, g) = f(x)g(y ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 . Cette application des vecteurs de base x □ y ∈ E 1 □ E 2 peut être étendue à une application linéaire de T V. p E 1 □ E 2 dans V. p. . de toutes les fonctionnelles bilinéaires sur E " 1 × E" 2. Soit E 0 = T -1 (0). Le produit tensoriel des V. p E 1 et E 2 est appelé l'espace factoriel E 1 ○ E 2 =. (E 1 □ E 2)/E 0 ; l'image de l'élément x □ y est notée x ○ y. L'espace vectoriel E 1 ○ E 2 est isomorphe à l'espace vectoriel des fonctionnelles bilinéaires sur E 1 × E 2 (voir Produit tensoriel des espaces vectoriels).

Lit. : Bourbaki N., Algèbre. Structures algébriques. Algèbre linéaire et multilinéaire, trans. du français, M., 1962 ; Raikov D. A., Espaces vectoriels, M., 1962 ; Jour M. M., Espaces linéaires normalisés, trans. de l'anglais, M., 1961 ; , Edward R., Analyse fonctionnelle, trans. de l'anglais, M., 1969 ; Halmos P., Espaces vectoriels de dimension finie, trans. de l'anglais, M., 1963 ; Glazman I. M., Lyubich Yu., Dimension finie analyse linéaire en problèmes, M., 1969.

M.I. Cadets.

Sources :

1. Encyclopédie mathématique. T. 1 (A - D). Éd. conseil : I. M. Vinogradov (rédacteur en chef) [et autres] - M., « Encyclopédie soviétique », 1977, 1152 stb. de l'illus.

1) X+à=à+X(commutabilité de l'addition);

2)(X+à) +z=x+ (oui+z) (associativité d'addition) ;

3) il existe un vecteur nul 0 (ou vecteur nul) satisfaisant la condition x+ 0 =x : pour n'importe quel vecteur x;

4) pour n'importe quel vecteur X il existe un vecteur opposé à tel que X+à = 0 ,

5) 1x=X,

6) un(bx) = (ab)X(associativité de multiplication) ;

7) (un+b)X=ah+bx (propriété distributive par rapport au facteur numérique);

8) un(X+à) =ah+oui(propriété distributive par rapport au multiplicateur vectoriel).

Un espace vectoriel (ou linéaire) est un ensemble R, constitué d'éléments de toute nature (appelés vecteurs), dans lequel sont définies les opérations d'addition d'éléments et de multiplication d'éléments par des nombres réels satisfaisant aux conditions UN(les conditions 1 à 3 expriment que l'opération d'addition définie dans Espace vectoriel, le transforme en groupe commutatif). Expression

un 1 e 1+un 2 et 2+ … +un n e n (1)

Appelé une combinaison linéaire de vecteurs e 1 , e 2 ,..., e n avec des chances un 1 , un 2,..., un . La combinaison linéaire (1) est dite non triviale si au moins un des coefficients une 1 , une 2 ,..., une n différent de zéro. Vecteurs e 1 , e 2 ,..., e n sont appelés linéairement dépendants s'il existe une combinaison non triviale (1), qui est un vecteur nul. Sinon (c'est-à-dire si seulement une combinaison triviale de vecteurs e 1 , e 2 ,..., e négal au vecteur zéro) vecteurs e 1, e 2 ,..., e n sont appelés linéairement indépendants.

Les vecteurs (libres) de l'espace tridimensionnel satisfont condition suivante(condition B) : il existe trois vecteurs linéairement indépendants ; quatre vecteurs sont linéairement dépendants (trois vecteurs non nuls qui ne se trouvent pas dans le même plan sont linéairement indépendants).

Espace vectoriel est appelé n-dimensionnel (ou a une « dimension n"), si ça existe néléments linéairement indépendants e 1 , e 2 ,..., e n , et n'importe quel n+ 1 les éléments sont linéairement dépendants (condition généralisée B). Espace vectoriel sont appelés de dimension infinie s'ils contiennent un élément naturel n existe n vecteurs linéairement indépendants. N'importe lequel n vecteurs à n dimensions linéairement indépendants Espace vectoriel constituent la base de cet espace. Si e 1 , e 2 ,..., e n- base Espace vectoriel, alors n'importe quel vecteur X cet espace peut être représenté uniquement comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

x=un 1 e 1+un 2 et 2+... +un n e n.

En même temps, les chiffres une 1 , une 2, ..., une n sont appelés coordonnées vectorielles X dans cette base.

Exemples Espace vectoriel L'ensemble de tous les vecteurs de l'espace tridimensionnel forme évidemment Espace vectoriel Plus exemple complexe peut servir de soi-disant n-dimensionnel espace arithmétique. Les vecteurs de cet espace sont des systèmes ordonnés de n nombres réels : l 1, l 2,..., l n. La somme de deux vecteurs et le produit par un nombre sont déterminés par les relations :

(l 1 , l 2 , …, ln) + (m 1, m 2, …, mn) = (l1+m1, l2+m 2 , …, l n+mn);

un(l 1 , l 2 , …, ln) = (al 1, al 2, …, al n).

La base dans cet espace peut être, par exemple, prochain système depuis n vecteurs e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Beaucoup R. tous les polynômes un 0+un 1 toi+ … +un n un(tous les diplômes n) à partir d'une variable à coefficients réels une 0 , une 1 ,..., une n avec ordinaire règles algébriques ajouter des polynômes et multiplier des polynômes par des formes de nombres réels Espace vectoriel Polynômes 1, toi, toi 2 ,..., toi(pour tout n) sont linéairement indépendants dans R, C'est pourquoi R- dimension infinie Espace vectoriel

Polynômes de degré non supérieur à n formulaire Espace vectoriel dimensions n+ 1 ; sa base peut être des polynômes 1, u, u 2 ,..., u n .

Sous-espaces Espace vectoriel DANS . p. R" appelé sous-espace R, Si R"ÍR(c'est-à-dire chaque vecteur de l'espace R" il y a aussi un vecteur spatial R.) et si pour chaque vecteur v О r" et pour deux vecteurs v1 Et v2(v 1 , v 2 О R") vecteur lv(pour tout je) et vecteur v1+v2 est le même, que les vecteurs soient ou non considérés v, v1, v2 comme éléments de l'espace R" ou R. Vecteurs de coque linéaires x 1 , x 2 ,... xp est appelé l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces vecteurs, c'est-à-dire les vecteurs de la forme un 1x1+un 2x2+ … +un p x p. Dans un espace tridimensionnel, l'étendue linéaire d'un vecteur non nul x1 sera évidemment l'ensemble de tous les vecteurs se trouvant sur la droite définie par le vecteur x1. Portée linéaire de deux vecteurs ne se trouvant pas sur la même ligne x1 Et x2 sera l'ensemble de tous les vecteurs situés dans le plan défini par les vecteurs x1 Et x2 . Dans le cas général de l'arbitraire Espace vectoriel R. vecteurs de coque linéaires x 1 , x 2 ,..., xp de cet espace est un sous-espace de l'espace R. dimensions r. En n dimensions Espace vectoriel il existe des sous-espaces de toutes dimensions plus petits r. Toute dimension finie (d'une dimension donnée k) sous-espace R" Espace vectoriel R. il existe une étendue linéaire de tout k vecteurs linéairement indépendants situés dans R". L'espace composé de tous les polynômes de degré £n(étendue linéaire des polynômes 1, toi, toi 2 ,..., toi), Il y a ( n+ 1 )- sous-espace dimensionnel de l'espace R. tous les polynômes.

Espaces euclidiens. Pour le développement méthodes géométriques théoriquement Espace vectoriel vous devez indiquer des moyens de généraliser des concepts tels que la longueur des vecteurs, l'angle entre les vecteurs, etc. L'un des moyens possibles est-ce pour deux vecteurs quelconques X Et à depuis R. le nombre indiqué par ( x, y) et appelé produit scalaire de vecteurs X Et toi. Dans ce cas, il faut que les axiomes suivants soient satisfaits produit scalaire:

1) (x, y) = (oui, x) (commutabilité);

2) (x1+x2,y) = (x 1 , oui) + (x2,y) (propriété distributive);

3) (hache, oui) =un(x, y),

4) (x, x) ³ 0 pour n'importe qui X, et ( x, x) = 0 uniquement pour X= 0 .

Le produit scalaire habituel dans l’espace tridimensionnel satisfait ces axiomes. Espace vectoriel, dans lequel un produit scalaire est défini qui satisfait aux axiomes énumérés, est appelé un espace euclidien ; il peut être de dimension finie (n-dimensionnelle) ou de dimension infinie. Un espace euclidien de dimension infinie est généralement appelé Espace de Hilbert. Longueur | x| vecteur x et l'angle entre les vecteurs X Et à Les espaces euclidiens sont définis par le produit scalaire par les formules

Un exemple d'espace euclidien est l'habituel espace tridimensionnel avec le produit scalaire défini en calcul vectoriel. Espace euclidien à n dimensions (arithmétique) F n on obtient en définissant dans n-arithmétique dimensionnelle Espace vectoriel produit scalaire des vecteurs x = (l 1 , …, ln)et toi= (m 1 , …, m n) rapport

(x, y) =je 1 m 1+je 2 m 2+… +l n m n . (2)

Dans ce cas, les exigences 1) à 4) sont évidemment remplies.

Dans les espaces euclidiens, le concept de vecteurs orthogonaux (perpendiculaires) est introduit. Ce sont les vecteurs X Et à sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : ( x, y) = 0. Dans l'espace considéré F n condition d'orthogonalité vectorielle x= (l 1 , …, ln) Et oui= (m 1 , …, m n), comme il ressort de la relation (2), a la forme :

je 1 m 1+je 2 m 2+… +l n m n= 0. (3)

Application de V. p. Concept Espace vectoriel(et diverses généralisations) est largement utilisé en mathématiques et dans ses applications aux sciences naturelles. Laissez, par exemple, R- l'ensemble de toutes les solutions d'un homogène linéaire équation différentielle o n+un 1(x)oui (n+ 1 ) + … +un(x)oui= 0 . Il est clair que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par un nombre sont des solutions à cette équation. Ainsi, R. satisfait aux conditions A. Il est prouvé que pour R. La condition généralisée B est donc satisfaite. R. est Espace vectoriel Toute base dans le considéré Espace vectoriel appelé système fondamental solutions dont la connaissance permet de trouver toutes les solutions de l'équation considérée. La notion d'espace euclidien permet de géométriser complètement la théorie des systèmes d'équations linéaires homogènes :

Considérons dans l'espace euclidien F n vecteurs un je = (un i1 , un i2 , …, un dans),je=1, 2,...,n et solution vectorielle toi= (tu 1 , tu 2 ,..., tu). Utilisation de la formule (2) pour le produit scalaire des vecteurs Fr, Donnons au système (4) la forme suivante :

(un je, toi) =0, je=1, 2, …, m. (5)

Des relations (5) et de la formule (3), il s'ensuit que la solution vectorielle toi orthogonal à tous les vecteurs un je. En d’autres termes, ce vecteur est orthogonal à l’enveloppe linéaire des vecteurs un je, c'est la solution toi est n'importe quel vecteur du complément orthogonal coque linéaire vecteurs un je. Rôle important les dimensions infinies jouent également en mathématiques et en physique espaces linéaires. Un exemple d'un tel espace est l'espace AVEC fonctions continues sur un segment avec l'opération habituelle d'addition et de multiplication par des nombres réels. L'espace de tous les polynômes mentionnés ci-dessus est un sous-espace de l'espace AVEC.

Lit. : Alexandrov P. S., Conférences sur géométrie analytique, M., 1968 ; Gelfand I, M., Conférences sur algèbre linéaire, M.-L., 1948.

E.G. Pozniak.

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