La distance d'un point à une ligne donnée. Distance d'un point à une ligne droite sur un plan

Oh-oh-oh-oh-oh... eh bien, c'est dur, comme s'il se lisait une phrase =) Cependant, la relaxation aidera plus tard, d'autant plus qu'aujourd'hui j'ai acheté les accessoires appropriés. Par conséquent, passons à la première section, j'espère qu'à la fin de l'article je maintiendrai une humeur joyeuse.

La position relative de deux lignes droites

C'est le cas lorsque le public chante en chœur. Deux lignes droites peuvent:

1) correspondre ;

2) être parallèle : ;

3) ou se croisent en un seul point : .

Aide pour les nuls : s'il te plaît, souviens-toi signe mathématique intersections, cela se produira très souvent. La notation signifie que la ligne coupe la ligne au point .

Comment déterminer la position relative de deux lignes ?

Commençons par le premier cas :

Deux droites coïncident si et seulement si leurs coefficients correspondants sont proportionnels, c’est-à-dire qu’il existe un nombre « lambda » tel que les égalités soient satisfaites

Considérons les droites et créons trois équations à partir des coefficients correspondants : . De chaque équation, il s’ensuit que ces lignes coïncident.

En effet, si tous les coefficients de l'équation multiplier par –1 (changer de signe), et tous les coefficients de l'équation coupé par 2, vous obtenez la même équation : .

Le deuxième cas, lorsque les droites sont parallèles :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients des variables sont proportionnels : , Mais.

A titre d’exemple, considérons deux lignes droites. On vérifie la proportionnalité des coefficients correspondants pour les variables :

Cependant, cela est bien évident.

Et le troisième cas, lorsque les lignes se croisent :

Deux droites se coupent si et seulement si leurs coefficients des variables ne sont PAS proportionnels, c'est-à-dire qu'il n'existe AUCUNE valeur de « lambda » telle que les égalités soient satisfaites

Ainsi, pour les lignes droites nous allons créer un système :

De la première équation il résulte que , et de la deuxième équation : , ce qui signifie le système est incohérent(pas de solutions). Ainsi, les coefficients des variables ne sont pas proportionnels.

Conclusion : les lignes se croisent

DANS problèmes pratiques vous pouvez utiliser le schéma de solution que nous venons de discuter. D'ailleurs, cela rappelle beaucoup l'algorithme de vérification de la colinéarité des vecteurs, que nous avons examiné en classe Le concept de (in)dépendance linéaire des vecteurs. Base des vecteurs. Mais il existe un packaging plus civilisé :

Exemple 1

Se rendre compte arrangement mutuel direct:

Solution basé sur l'étude des vecteurs directeurs de droites :

a) A partir des équations on trouve les vecteurs directeurs des droites : .

, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires et que les droites se coupent.

Au cas où, je mettrai une pierre avec des panneaux au carrefour :

Les autres sautent par-dessus la pierre et suivent plus loin, directement jusqu'à Kashchei l'Immortel =)

b) Trouver les vecteurs directeurs des droites :

Les lignes ont le même vecteur directeur, ce qui signifie qu’elles sont soit parallèles, soit coïncidentes. Il n'est pas nécessaire de compter le déterminant ici.

Il est évident que les coefficients des inconnues sont proportionnels, et .

Voyons si l'égalité est vraie :

Ainsi,

c) Trouver les vecteurs directeurs des droites :

Calculons le déterminant constitué des coordonnées de ces vecteurs :
, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires. Les lignes sont soit parallèles, soit coïncidentes.

Le coefficient de proportionnalité « lambda » est facile à voir directement à partir du rapport des vecteurs de direction colinéaires. Cependant, cela peut également être trouvé à travers les coefficients des équations elles-mêmes : .

Voyons maintenant si l'égalité est vraie. Les deux termes gratuits sont nuls, donc :

La valeur résultante satisfait cette équation(n'importe quel nombre le satisfait généralement).

Les lignes coïncident donc.

Répondre:

Très vite, vous apprendrez (ou même avez déjà appris) à résoudre littéralement le problème discuté verbalement en quelques secondes. À cet égard, je ne vois pas l'intérêt d'offrir quoi que ce soit pour décision indépendante, il est préférable de poser une autre brique importante dans la fondation géométrique :

Comment construire une droite parallèle à une droite donnée ?

Par ignorance de cela tâche la plus simple Nightingale le voleur punit sévèrement.

Exemple 2

La droite est donnée par l'équation. Écrivez une équation pour une droite parallèle qui passe par ce point.

Solution: Désignons la ligne inconnue par la lettre . Que dit son état à son sujet ? La droite passe par le point. Et si les droites sont parallèles, alors il est évident que le vecteur directeur de la droite « tse » convient également pour construire la droite « de ».

Nous retirons le vecteur direction de l'équation :

Répondre:

L'exemple de géométrie semble simple :

Les tests analytiques comprennent les étapes suivantes :

1) On vérifie que les droites ont le même vecteur directeur (si l'équation de la droite n'est pas correctement simplifiée, alors les vecteurs seront colinéaires).

2) Vérifiez si le point satisfait à l’équation résultante.

Dans la plupart des cas, les tests analytiques peuvent être facilement effectués oralement. Regardez les deux équations, et beaucoup d’entre vous détermineront rapidement le parallélisme des droites sans aucun dessin.

Les exemples de solutions indépendantes d'aujourd'hui seront créatifs. Parce que vous devrez encore rivaliser avec Baba Yaga, et elle, vous le savez, est une amoureuse de toutes sortes d'énigmes.

Exemple 3

Écrire une équation pour une droite passant par un point parallèle à la droite si

Il y a un rationnel et un moins rationnel manière rationnelle solutions. La plupart raccourci- à la fin du cours.

Nous avons travaillé un peu avec des lignes parallèles et y reviendrons plus tard. Le cas des droites coïncidentes est de peu d’intérêt, considérons donc un problème qui vous est familier depuis programme scolaire:

Comment trouver le point d’intersection de deux droites ?

Si droit se croisent au point , alors ses coordonnées sont la solution systèmes d'équations linéaires

Comment trouver le point d’intersection des lignes ? Résolvez le système.

Voici signification géométrique systèmes de deux équations linéaires avec deux inconnues- ce sont deux lignes qui se croisent (le plus souvent) sur un plan.

Exemple 4

Trouver le point d'intersection des lignes

Solution: Il existe deux manières de résoudre : graphique et analytique.

Méthode graphique consiste simplement à tracer les lignes données et à connaître le point d'intersection directement à partir du dessin :

Voici notre point : . Pour vérifier, vous devez substituer ses coordonnées dans chaque équation de la droite ; elles doivent s'adapter à la fois là et là. En d’autres termes, les coordonnées d’un point sont une solution du système. Essentiellement, nous avons examiné une solution graphique systèmes d'équations linéaires avec deux équations, deux inconnues.

La méthode graphique n'est bien sûr pas mauvaise, mais présente des inconvénients notables. Non, le fait n'est pas que les élèves de septième année décident de cette façon, le fait est qu'il faudra du temps pour créer un dessin correct et PRÉCIS. De plus, certaines lignes droites ne sont pas si faciles à construire, et le point d'intersection lui-même peut être situé quelque part dans le trentième royaume en dehors de la feuille du cahier.

Il est donc plus judicieux de rechercher le point d'intersection méthode analytique. Résolvons le système :

Pour résoudre le système, la méthode d’addition d’équations terme par terme a été utilisée. Pour développer des compétences pertinentes, suivez une leçon Comment résoudre un système d'équations ?

Répondre:

La vérification est triviale : les coordonnées du point d'intersection doivent satisfaire chaque équation du système.

Exemple 5

Trouvez le point d'intersection des lignes si elles se croisent.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est pratique de diviser la tâche en plusieurs étapes. L'analyse de l'état suggère qu'il est nécessaire :
1) Écrivez l’équation de la droite.
2) Écrivez l’équation de la droite.
3) Découvrez la position relative des lignes.
4) Si les lignes se coupent, trouvez le point d'intersection.

Le développement d'un algorithme d'action est typique pour beaucoup problèmes géométriques, et je me concentrerai à plusieurs reprises sur ce point.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon :

Même une paire de chaussures n’était pas usée avant d’arriver à la deuxième partie de la leçon :

Les lignes perpendiculaire. Distance d'un point à une ligne.
Angle entre les lignes droites

Commençons par un exemple typique et très tâche importante. Dans la première partie, nous avons appris à construire une ligne droite parallèle à celle-ci, et maintenant la cabane sur cuisses de poulet va tourner de 90 degrés :

Comment construire une droite perpendiculaire à une droite donnée ?

Exemple 6

La droite est donnée par l'équation. Écrivez une équation perpendiculaire à la droite passant par ce point.

Solution: Par condition, on sait que . Ce serait bien de trouver le vecteur directeur de la ligne. Puisque les lignes sont perpendiculaires, l’astuce est simple :

De l'équation on "supprime" le vecteur normal : , qui sera le vecteur directeur de la droite.

Composons l'équation d'une droite à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur :

Répondre:

Développons l'esquisse géométrique :

Hmmm... Ciel orange, mer orange, chameau orange.

Vérification analytique de la solution :

1) On sort les vecteurs directeurs des équations et avec l'aide produit scalaire de vecteurs on arrive à la conclusion que les droites sont bien perpendiculaires : .

D’ailleurs, vous pouvez utiliser des vecteurs normaux, c’est encore plus simple.

2) Vérifiez si le point satisfait à l'équation résultante .

Le test, là encore, est facile à réaliser oralement.

Exemple 7

Trouver le point d'intersection des droites perpendiculaires si l'équation est connue et période.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il y a plusieurs actions dans le problème, il est donc pratique de formuler la solution point par point.

Est notre un voyage amusant continue:

Distance d'un point à une ligne

Devant nous se trouve une bande droite de la rivière et notre tâche est d'y accéder par le chemin le plus court. Il n’y a aucun obstacle et l’itinéraire le plus optimal sera de se déplacer perpendiculairement. Autrement dit, la distance d’un point à une ligne est la longueur du segment perpendiculaire.

La distance en géométrie est traditionnellement notée lettre grecque« ro », par exemple : – la distance du point « em » à la droite « de ».

Distance d'un point à une ligne exprimé par la formule

Exemple 8

Trouver la distance d'un point à une ligne

Solution: il suffit de substituer soigneusement les nombres dans la formule et d'effectuer les calculs :

Répondre:

Faisons le dessin :

La distance trouvée entre le point et la ligne est exactement la longueur du segment rouge. Si vous faites un dessin sur papier à carreaux sur une échelle de 1 unité. = 1 cm (2 cellules), alors la distance peut être mesurée avec une règle ordinaire.

Considérons une autre tâche basée sur le même dessin :

La tâche consiste à trouver les coordonnées d'un point symétrique au point par rapport à la droite . Je suggère d'effectuer les étapes vous-même, mais je décrirai l'algorithme de solution avec résultats intermédiaires:

1) Trouvez une droite perpendiculaire à la droite.

2) Trouvez le point d'intersection des lignes : .

Les deux actions sont discutées en détail dans cette leçon.

3) Le point est le milieu du segment. On connaît les coordonnées du milieu et de l'une des extrémités. Par formules pour les coordonnées du milieu d'un segment nous trouvons .

Ce serait une bonne idée de vérifier que la distance est également de 2,2 unités.

Des difficultés de calcul peuvent survenir ici, mais une microcalculatrice est d'une grande aide dans la tour, vous permettant de calculer fractions communes. Je vous ai conseillé à plusieurs reprises et je vous recommanderai à nouveau.

Comment trouver la distance entre deux droites parallèles ?

Exemple 9

Trouver la distance entre deux lignes parallèles

Ceci est un autre exemple que vous pourrez décider vous-même. Je vais vous donner un petit indice : il existe une infinité de façons de résoudre ce problème. Débriefing à la fin du cours, mais il vaut mieux essayer de deviner par vous-même, je pense que votre ingéniosité était bien développée.

Angle entre deux droites

Chaque coin est un montant :


En géométrie, l'angle entre deux lignes droites est considéré comme le PLUS PETIT angle, d'où il s'ensuit automatiquement qu'il ne peut pas être obtus. Sur la figure, l'angle indiqué par l'arc rouge n'est pas considéré comme l'angle entre les lignes qui se croisent. Et son voisin « vert » ou orientation opposée coin "framboise".

Si les lignes sont perpendiculaires, alors n’importe lequel des 4 angles peut être pris comme angle entre eux.

En quoi les angles sont-ils différents ? Orientation. Premièrement, la direction dans laquelle l’angle « défile » est d’une importance fondamentale. Deuxièmement, un angle orienté négativement s'écrit avec un signe moins, par exemple si .

Pourquoi je t'ai dit ça ? Il semble que nous puissions nous contenter du concept habituel d’angle. Le fait est que les formules par lesquelles nous trouverons les angles peuvent facilement donner un résultat négatif, et cela ne devrait pas vous surprendre. Un angle avec un signe moins n'est pas pire et a une signification géométrique très précise. Sur le dessin de angle négatif Assurez-vous d'indiquer son orientation avec une flèche (dans le sens des aiguilles d'une montre).

Comment trouver l’angle entre deux droites ? Il existe deux formules de travail :

Exemple 10

Trouver l'angle entre les lignes

Solution Et Première méthode

Considérons deux droites données par les équations de vue générale:

Si droit pas perpendiculaire, Que orienté L'angle entre eux peut être calculé à l'aide de la formule :

Le plus attention particulière inversons-le au dénominateur - c'est exactement produit scalaire vecteurs directeurs de droites :

Si , alors le dénominateur de la formule devient zéro, les vecteurs seront orthogonaux et les lignes seront perpendiculaires. C'est pourquoi une réserve a été émise sur la non-perpendiculaire des droites dans la formulation.

Sur la base de ce qui précède, il convient de formaliser la solution en deux étapes :

1) Calculons produit scalaire vecteurs directeurs de droites :
, ce qui signifie que les lignes ne sont pas perpendiculaires.

2) Trouvez l'angle entre les lignes droites à l'aide de la formule :

En utilisant fonction inverse Il est facile de trouver le coin lui-même. Dans ce cas, nous utilisons l'étrangeté de l'arctangente (voir. Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires):

Répondre:

Dans la réponse, nous indiquons valeur exacte, ainsi qu'une valeur approximative (de préférence en degrés et en radians), calculée à l'aide d'une calculatrice.

Eh bien, moins, moins, ce n'est pas grave. Voici une illustration géométrique :

Il n'est pas surprenant que l'angle ait une orientation négative, car dans l'énoncé du problème, le premier nombre est une ligne droite et le « dévissage » de l'angle a commencé précisément par lui.

Si vous voulez vraiment obtenir un angle positif, vous devez échanger les droites, c'est-à-dire prendre les coefficients de la deuxième équation , et prenons les coefficients de la première équation. Bref, il faut commencer par un direct .

Cet article parle du sujet « distance d'un point à une ligne », Discute de la définition de la distance d'un point à une ligne avec des exemples illustrés en utilisant la méthode des coordonnées. Chaque bloc théorique à la fin présente des exemples de résolution de problèmes similaires.

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La distance d'un point à une ligne est trouvée en déterminant la distance d'un point à un autre. Regardons de plus près.

Soit une droite a et un point M 1 qui n'appartient pas à la droite donnée. On trace une droite b qui le traverse, située perpendiculairement à la droite a. Point d'intersection prenons les lignes droites pour N 1. On obtient que M 1 H 1 est une perpendiculaire qui a été abaissée du point M 1 à la droite a.

Définition 1

Distance du point M 1 à la droite a est appelée la distance entre les points M 1 et H 1.

Il existe des définitions qui incluent la longueur de la perpendiculaire.

Définition 2

Distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée d’un point donné à une ligne donnée.

Les définitions sont équivalentes. Considérez la figure ci-dessous.

On sait que la distance d’un point à une ligne est la plus petite possible. Regardons cela avec un exemple.

Si l'on prend un point Q situé sur une droite a, qui ne coïncide pas avec le point M 1, alors on constate que le segment M 1 Q est appelé segment incliné, abaissé de M 1 jusqu'à une droite a. Il faut indiquer que la perpendiculaire du point M 1 est inférieure à toute autre ligne inclinée tracée du point à la droite.

Pour le prouver, considérons le triangle M 1 Q 1 H 1, où M 1 Q 1 est l'hypoténuse. On sait que sa longueur est toujours supérieure à la longueur de n'importe laquelle des jambes. Cela signifie que nous avons que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Les données initiales pour trouver d'un point à une ligne permettent d'utiliser plusieurs méthodes de solution : via le théorème de Pythagore, détermination du sinus, du cosinus, de la tangente d'un angle et autres. La plupart des tâches de ce type sont résolues à l'école pendant les cours de géométrie.

Lorsque, lors de la recherche de la distance d'un point à une ligne, il est possible d'introduire un système de coordonnées rectangulaires, la méthode des coordonnées est utilisée. Dans ce paragraphe, nous examinerons les deux principales méthodes pour trouver la distance requise à partir d'un point donné.

La première méthode consiste à rechercher la distance comme une perpendiculaire tracée de M 1 à la droite a. La deuxième méthode utilise équation normale ligne droite a pour trouver la distance requise.

S'il y a un point sur le plan de coordonnées M 1 (x 1, y 1), situé à système rectangulaire coordonnées, droite a, et il faut trouver la distance M 1 H 1, le calcul peut se faire de deux manières. Regardons-les.

Première façon

S'il existe des coordonnées du point H 1 égales à x 2, y 2, alors la distance du point à la ligne est calculée à l'aide des coordonnées de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - oui 1) 2.

Passons maintenant à la recherche des coordonnées du point H 1.

On sait qu'une droite dans O x y correspond à l'équation d'une droite sur le plan. Prenons la méthode de définition d'une droite a en écrivant une équation générale d'une droite ou une équation à coefficient angulaire. On compose l'équation d'une droite qui passe par le point M 1 perpendiculaire à une droite donnée a. Désignons la ligne droite par la lettre b. H 1 est le point d'intersection des lignes a et b, ce qui signifie que pour déterminer les coordonnées, vous devez utiliser l'article dans lequel nous parlons de sur les coordonnées des points d'intersection de deux lignes.

On voit que l'algorithme pour trouver la distance d'un point donné M 1 (x 1, y 1) à la droite a est réalisé en fonction des points :

Définition 3

• trouver l'équation générale d'une droite a, ayant la forme A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ou une équation avec un coefficient d'angle, ayant la forme y = k 1 x + b 1 ;
• obtenir une équation générale de la ligne b, ayant la forme A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou une équation avec un coefficient angulaire y = k 2 x + b 2, si la ligne b coupe le point M 1 et est perpendiculaire à une ligne donnée a ;
• détermination des coordonnées x 2, y 2 du point H 1, qui est le point d'intersection de a et b, à cet effet le système d'équations linéaires est résolu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• calculer la distance requise d'un point à une ligne à l'aide de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Deuxième façon

Le théorème peut aider à répondre à la question de trouver la distance entre un point donné et une ligne droite donnée sur un plan.

Théorème

Le système de coordonnées rectangulaires a O x y a un point M 1 (x 1, y 1), à partir duquel une ligne droite est tracée vers le plan, donnée par l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p = 0, égal à La valeur absolue obtenue du côté gauche de l'équation normale de la droite, calculée à x = x 1, y = y 1, signifie que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Preuve

La droite a correspond à l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p = 0, alors n → = (cos α, cos β) est considéré comme le vecteur normal de la droite a à distance du origine à la ligne a avec p unités. Il faut afficher toutes les données de la figure, ajouter un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1), où le rayon vecteur du point M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Il est nécessaire de tracer une ligne droite d'un point à une ligne droite, que nous notons M 1 H 1 . Il faut montrer les projections M 2 et H 2 des points M 1 et H 2 sur une droite passant par le point O de vecteur directeur de la forme n → = (cos α, cos β), et noter le projection numérique du vecteur comme O M 1 → = (x 1, y 1) dans la direction n → = (cos α , cos β) comme n p n → O M 1 → .

Les variations dépendent de la localisation du point M1 lui-même. Regardons la figure ci-dessous.

Nous fixons les résultats en utilisant la formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Ensuite, nous apportons l'égalité sous cette forme M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p afin d'obtenir n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Le produit scalaire des vecteurs donne une formule transformée de la forme n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , qui est le produit dans formulaire de coordonnées de la forme n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Cela signifie que nous obtenons que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Il s'ensuit que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Le théorème a été prouvé.

On constate que pour trouver la distance du point M 1 (x 1, y 1) à la droite a sur le plan, il faut effectuer plusieurs actions :

Définition 4

• obtenir l'équation normale de la droite a cos α · x + cos β · y - p = 0, à condition que ce ne soit pas dans la tâche ;
• calcul de l'expression cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, où la valeur résultante prend M 1 H 1.

Appliquons ces méthodes pour résoudre les problèmes liés à la recherche de la distance entre un point et un plan.

Exemple 1

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 1, 2) et la droite 4 x - 3 y + 35 = 0.

Solution

Utilisons la première méthode pour résoudre.

Pour ce faire, il faut trouver l'équation générale de la droite b, qui passe par un point donné M 1 (- 1, 2), perpendiculaire à la droite 4 x - 3 y + 35 = 0. D'après la condition, il est clair que la ligne b est perpendiculaire à la ligne a, alors son vecteur directeur a des coordonnées égales à (4, - 3). Ainsi, nous avons la possibilité d'écrire l'équation canonique de la droite b sur le plan, puisqu'il existe des coordonnées du point M 1, qui appartient à la droite b. Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite b. On obtient que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. L'équation canonique résultante doit être convertie en une équation générale. Ensuite, nous obtenons cela

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Trouvons les coordonnées des points d'intersection des droites, que nous prendrons comme désignation H 1. Les transformations ressemblent à ceci :

4 x - 3 ans + 35 = 0 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 3 4 ans - 35 4 + 4 ans - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 ans = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 ans = 5 ⇔ x = - 5 ans = 5

D'après ce qui a été écrit ci-dessus, nous déduisons que les coordonnées du point H 1 sont égales à (- 5 ; 5).

Il faut calculer la distance du point M 1 à la droite a. On a que les coordonnées des points M 1 (- 1, 2) et H 1 (- 5, 5), puis on les substitue dans la formule pour trouver la distance et obtenir cela

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Deuxième solution.

Pour résoudre autrement, il est nécessaire d’obtenir l’équation normale de la droite. Nous calculons la valeur du facteur de normalisation et multiplions les deux côtés de l'équation 4 x - 3 y + 35 = 0. De là, nous obtenons que le facteur de normalisation est égal à - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, et l'équation normale sera de la forme - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 oui - 7 = 0 .

Selon l'algorithme de calcul, il faut obtenir l'équation normale de la droite et la calculer avec les valeurs x = - 1, y = 2. Ensuite, nous obtenons cela

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

De là, nous obtenons que la distance du point M 1 (- 1, 2) à la droite donnée 4 x - 3 y + 35 = 0 a la valeur - 5 = 5.

Répondre: 5 .

Il est clair que dans cette méthode Il est important d’utiliser l’équation normale d’une droite, puisque cette méthode est la plus courte. Mais la première méthode est pratique car elle est cohérente et logique, même si elle comporte plus de points de calcul.

Exemple 2

Sur le plan il y a un système de coordonnées rectangulaires O x y avec le point M 1 (8, 0) et la droite y = 1 2 x + 1. Trouver la distance entre un point donné et une ligne droite.

Solution

La première solution consiste à lancer équation donnée avec la pente vers une équation générale. Pour simplifier les choses, vous pouvez procéder différemment.

Si le produit des coefficients angulaires des droites perpendiculaires vaut - 1, alors pente la ligne perpendiculaire à celle donnée y = 1 2 x + 1 a la valeur 2. Nous obtenons maintenant l'équation d'une droite passant par un point de coordonnées M 1 (8, 0). Nous avons que y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nous procédons à la recherche des coordonnées du point H 1, c'est-à-dire les points d'intersection y = - 2 x + 16 et y = 1 2 x + 1. On compose un système d'équations et on obtient :

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Il s'ensuit que la distance du point de coordonnées M 1 (8, 0) à la droite y = 1 2 x + 1 est égale à la distance du point de départ et du point d'arrivée de coordonnées M 1 (8, 0) et H1 (6, 4) . Calculons et trouvons que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

La deuxième solution consiste à passer d’une équation à coefficient à sa forme normale. Autrement dit, nous obtenons y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, alors la valeur du facteur de normalisation sera - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Il s'ensuit que l'équation normale de la droite prend la forme - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Effectuons le calcul du point M 1 8, 0 à une droite de la forme - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Répondre: 2 5 .

Exemple 3

Il faut calculer la distance du point de coordonnées M 1 (- 2, 4) aux lignes 2 x - 3 = 0 et y + 1 = 0.

Solution

On obtient l'équation aspect normal droite 2 x - 3 = 0 :

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Nous procédons ensuite au calcul de la distance du point M 1 - 2, 4 à la droite x - 3 2 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

L'équation de la droite y + 1 = 0 a un facteur de normalisation de valeur égale à -1. Cela signifie que l'équation prendra la forme - y - 1 = 0. On procède au calcul de la distance du point M 1 (- 2, 4) à la droite - y - 1 = 0. On trouve qu'il est égal à - 4 - 1 = 5.

Répondre: 3 1 2 et 5.

Examinons de plus près comment trouver la distance entre un point donné de l'avion et axes de coordonnées O x et O y.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, l'axe O y a une équation d'une ligne droite, qui est incomplète et a la forme x = 0, et O x - y = 0. Les équations sont normales pour les axes de coordonnées, il faut alors trouver la distance du point de coordonnées M 1 x 1, y 1 aux lignes. Ceci est fait sur la base des formules M 1 H 1 = x 1 et M 1 H 1 = y 1. Regardons la figure ci-dessous.

Exemple 4

Trouvez la distance du point M 1 (6, - 7) aux lignes de coordonnées situées dans le plan O x y.

Solution

Puisque l'équation y = 0 se rapporte à la droite O x, nous pouvons trouver la distance de M 1 s coordonnées données, à cette droite en utilisant la formule. Nous obtenons que 6 = 6.

Puisque l'équation x = 0 fait référence à la droite O y, vous pouvez trouver la distance de M 1 à cette droite à l'aide de la formule. Nous obtenons alors cela - 7 = 7.

Répondre: la distance de M 1 à O x a une valeur de 6, et de M 1 à O y a une valeur de 7.

Lorsque dans l'espace tridimensionnel nous avons un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), il faut trouver la distance du point A à la droite a.

Considérons deux méthodes qui permettent de calculer la distance d'un point à une droite a située dans l'espace. Le premier cas considère la distance du point M 1 à une ligne, où un point sur la ligne est appelé H 1 et est la base d'une perpendiculaire tracée du point M 1 à la ligne a. Le deuxième cas suggère qu'il faut rechercher les points de ce plan comme la hauteur du parallélogramme.

Première façon

De la définition on a que la distance du point M 1 situé sur la droite a est la longueur de la perpendiculaire M 1 H 1, puis on obtient celle avec les coordonnées trouvées du point H 1, puis on trouve la distance entre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) et H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , basé sur la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

On constate que toute la solution va vers la recherche des coordonnées de la base de la perpendiculaire tracée de M 1 à la droite a. Cela se fait comme suit : H 1 est le point où la droite a coupe le plan qui passe par le point donné.

Cela signifie que l'algorithme pour déterminer la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) à la ligne a dans l'espace implique plusieurs points :

Définition 5

• établir l'équation du plan χ comme une équation du plan passant par un point donné situé perpendiculairement à la droite ;
• détermination des coordonnées (x 2, y 2, z 2) appartenant au point H 1, qui est le point d'intersection de la droite a et du plan χ ;
• calculer la distance d'un point à une ligne en utilisant la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Deuxième façon

A partir de la condition nous avons une droite a, alors nous pouvons déterminer le vecteur directeur a → = a x, a y, a z avec les coordonnées x 3, y 3, z 3 et un certain point M 3 appartenant à la droite a. Si vous avez les coordonnées des points M 1 (x 1, y 1) et M 3 x 3, y 3, z 3, vous pouvez calculer M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Il faut mettre de côté les vecteurs a → = a x , a y , a z et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 à partir du point M 3 , les connecter et obtenir un parallélogramme chiffre. M 1 H 1 est la hauteur du parallélogramme.

Regardons la figure ci-dessous.

On a que la hauteur M 1 H 1 est la distance requise, alors il faut la trouver à l'aide de la formule. Autrement dit, nous recherchons M 1 H 1.

Notons l'aire du parallélogramme par la lettre S, trouvée par la formule utilisant le vecteur a → = (a x, a y, a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3. oui 1 - oui 3, z 1 - z 3. La formule d'aire est S = a → × M 3 M 1 → . Aussi, l'aire de la figure est égale au produit des longueurs de ses côtés et de la hauteur, on obtient que S = a → · M 1 H 1 avec a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, qui est la longueur du vecteur a → = (a x, a y, a z), étant côté égal parallélogramme. Cela signifie que M 1 H 1 est la distance du point à la ligne. On le trouve en utilisant la formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) à une droite a dans l'espace, vous devez effectuer plusieurs étapes de l'algorithme :

Définition 6

• détermination du vecteur directeur de la droite a - a → = (a x, a y, a z) ;
• calculer la longueur du vecteur directeur a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obtenir les coordonnées x 3 , y 3 , z 3 appartenant au point M 3 situé sur la droite a ;
• calculer les coordonnées du vecteur M 3 M 1 → ;
• trouver le produit vectoriel des vecteurs a → (a x , a y , a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 comme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pour obtenir la longueur en utilisant la formule a → × M 3 M 1 → ;
• calculer la distance d'un point à une ligne M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Résoudre les problèmes de recherche de la distance entre un point donné et une ligne donnée dans l'espace

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 2, - 4, - 1 et la ligne x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Solution

La première méthode commence par écrire l'équation du plan χ passant par M 1 et perpendiculaire point donné. On obtient une expression du genre :

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il est nécessaire de trouver les coordonnées du point H 1, qui est le point d'intersection avec le plan χ avec la ligne spécifiée par la condition. Nous devrions passer de Forme canoniqueà celui qui se croise. On obtient alors un système d'équations de la forme :

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Il faut calculer le système x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 par la méthode de Cramer, alors on obtient ça :

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

De là, nous avons ce H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

La deuxième méthode consiste à commencer par rechercher des coordonnées dans équation canonique. Pour ce faire, vous devez faire attention aux dénominateurs de la fraction. Alors a → = 2, - 1, 5 est le vecteur directeur de la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Il faut calculer la longueur à l'aide de la formule a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Il est clair que la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 coupe le point M 3 (- 1 , 0 , - 5), on a donc que le vecteur d'origine M 3 (- 1 , 0 , - 5) et sa fin au point M 1 2, - 4, - 1 est M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Nous trouvons produit vectoriel une → = (2, - 1, 5) et M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

On obtient une expression de la forme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · je → + 7 · j → - 5 · k →

nous constatons que la longueur du produit vectoriel est égale à a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Nous avons toutes les données pour utiliser la formule de calcul de la distance à partir d'un point pour une ligne droite, alors appliquons-la et obtenons :

M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → = 330 30 = 11

Répondre: 11 .

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La distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne. DANS géométrie descriptive c'est déterminé graphiquement selon l'algorithme ci-dessous.

Algorithme

1. La ligne droite est déplacée vers une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. A cet effet, des méthodes de transformation de projections orthogonales sont utilisées.
2. À partir d’un point, une perpendiculaire est tracée à une ligne. Au coeur de cette construction réside le théorème sur la projection d'un angle droit.
3. La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en transformant ses projections ou en utilisant la méthode du triangle rectangle.

La figure suivante montre dessin complexe point M et ligne b définis par le segment CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.

Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la droite jusqu'à la position parallèle au plan projections. Il est important de comprendre qu'après les transformations, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il convient ici d'utiliser la méthode de remplacement du plan, qui n'implique pas de déplacement de figures dans l'espace.

Les résultats de la première étape de construction sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. DANS nouveau système(P 1, P 4) les points C"" 1, D"" 1, M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.

En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, à partir de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 jusqu'à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en taille réelle. A l'aide de la ligne de communication, on détermine la position du point N" et on réalise la projection M"N" du segment MN.

Sur étape finale vous devez déterminer la taille du segment MN à partir de ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1. Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0, qui a un côté N"" 1 N 0 égal à la différence(Y M 1 – Y N 1) supprimant les points M" et N" de l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.

Deuxième solution

• Parallèlement au CD, nous introduisons un nouveau plan frontal P4. Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C"" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
• Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un supplémentaire plan horizontal P 5 sur laquelle la droite b est projetée jusqu'au point C" 2 = b" 2.
• La distance entre le point M et la ligne b est déterminée par la longueur du segment M" 2 C" 2, indiquée en rouge.

Tâches similaires :

La capacité de trouver la distance entre différents objets géométriques est importante lors du calcul de la surface des formes et de leurs volumes. Dans cet article, nous examinerons la question de savoir comment trouver la distance d'un point à une ligne dans l'espace et sur un plan.

Description mathématique d'une ligne

Pour comprendre comment trouver la distance d'un point à une ligne, vous devez comprendre la question devoir de mathématiques ces objets géométriques.

Tout est simple avec un point ; il est décrit par un ensemble de coordonnées dont le nombre correspond à la dimension de l'espace. Par exemple, sur un plan, ce sont deux coordonnées, dans un espace tridimensionnel - trois.

Quant à un objet unidimensionnel - une ligne droite, plusieurs types d'équations sont utilisés pour le décrire. Considérons-en seulement deux.

Le premier type est appelé équation vectorielle. Vous trouverez ci-dessous des expressions pour les lignes dans un espace tridimensionnel et bidimensionnel :

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a ; b ; c) ;

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Dans ces expressions, les coordonnées d'indice nul décrivent le point par lequel passe une ligne donnée, l'ensemble des coordonnées (a; b; c) et (a; b) sont ce qu'on appelle les vecteurs directeurs de la ligne correspondante, α est un paramètre qui peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

L'équation vectorielle est pratique dans le sens où elle contient explicitement le vecteur directeur de la ligne, dont les coordonnées peuvent être utilisées lors de la résolution de problèmes de parallélisme ou de perpendiculaire de divers objets géométriques, par exemple deux lignes droites.

Le deuxième type d’équation que nous considérerons pour une droite est dit général. Dans l'espace, ce type est donné équations générales deux avions. Dans l'avion, il a le formulaire suivant:

A × x + B × y + C = 0

Lors du tracé d'un graphique, il est souvent écrit comme une dépendance à X/Y, c'est-à-dire :

y = -A / B × x + (-C / B)

Ici Membre gratuit-C/B correspond à la coordonnée de l'intersection de la ligne avec l'axe des y, et le coefficient -A/B est associé à l'angle d'inclinaison de la ligne par rapport à l'axe des x.

Le concept de distance entre une ligne et un point

Après avoir traité les équations, vous pouvez répondre directement à la question de savoir comment trouver la distance d'un point à une ligne droite. En 7e année, les écoles commencent à réfléchir à cette question en déterminant la valeur appropriée.

La distance entre une droite et un point est la longueur du segment perpendiculaire à cette droite, qui est omis du point en question. La figure ci-dessous montre une droite r et un point A. Le segment perpendiculaire à la droite r est représenté en bleu. Sa longueur est la distance requise.

En photo ici cas bidimensionnel, néanmoins cette définition les distances sont également valables pour un problème tridimensionnel.

Formules requises

Selon la forme sous laquelle l'équation de la droite est écrite et dans quel espace le problème est résolu, deux formules de base, donnant une réponse à la question de savoir comment trouver la distance entre une ligne et un point.

Notons point connu symbole P2. Si l'équation d'une droite est donnée dans forme vectorielle, alors pour d la distance entre les objets considérés la formule est valable :

ré = || / |v¯|

Autrement dit, pour déterminer d, vous devez calculer le module du produit vectoriel du guide pour le vecteur droite v¯ et le vecteur P 1 P 2 ¯, dont le début se situe à un point arbitraire P 1 sur la droite , et la fin est au point P 2 , puis divisez ce module par la longueur v ¯. Cette formule est universelle pour les plats et espace tridimensionnel.

Si le problème est considéré sur un plan dans le système de coordonnées xy et que l'équation de la droite est donnée sous forme générale, alors formule suivante Vous pouvez trouver la distance entre une ligne droite et un point comme ceci :

Ligne droite : A × x + B × y + C = 0 ;

Point : P 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ;

Distance : d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A2 + B2)

La formule ci-dessus est assez simple, mais son utilisation est limitée par les conditions évoquées ci-dessus.

Coordonnées de la projection d'un point sur une droite et distance

Vous pouvez également répondre à la question de savoir comment trouver la distance d'un point à une ligne d'une autre manière qui n'implique pas la mémorisation des formules données. Cette méthode consiste à déterminer un point sur une ligne qui est la projection du point d'origine.

Supposons qu'il existe un point M et une droite r. La projection sur r d'un point M correspond à un certain point M 1 . La distance de M à r est égale à la longueur du vecteur MM 1 ¯.

Comment trouver les coordonnées de M 1 ? Très simple. Il suffit de rappeler que le vecteur ligne v¯ sera perpendiculaire à MM 1 ¯, c'est-à-dire que leur produit scalaire doit être égal à zéro. En ajoutant à cette condition le fait que les coordonnées M 1 doivent satisfaire l'équation de la droite r, on obtient un système d'équations linéaires simples. Grâce à sa solution, les coordonnées de la projection du point M sur r sont obtenues.

La technique décrite dans ce paragraphe pour trouver la distance d'une droite à un point peut être utilisée pour un plan et pour l'espace, mais son application nécessite des connaissances équation vectorielle pour une ligne droite.

Problème d'avion

Il est maintenant temps de montrer comment utiliser l'appareil mathématique présenté pour résoudre de vrais problèmes. Supposons qu'un point M(-4; 5) soit donné sur le plan. Il faut trouver la distance du point M à une droite, qui est décrite par une équation générale :

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Autrement dit, M ne se trouve pas sur une droite.

L'équation d'une droite n'étant pas donnée sous forme générale, on la réduit à une telle forme afin de pouvoir utiliser formule correspondante, nous avons:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Maintenant, vous pouvez remplacer numéros connus dans la formule pour d :

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Problème dans l'espace

Considérons maintenant le cas dans l'espace. Que la ligne droite soit décrite l'équation suivante:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Quelle est la distance entre lui et le point M(0; 2; -3) ?

Comme dans le cas précédent, vérifions si M appartient à la ligne donnée. Pour ce faire, nous substituons les coordonnées dans l'équation et la réécrivons explicitement :

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3 ;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2 ;

Depuis reçu différents paramètresα, alors M ne se trouve pas sur cette droite. Calculons maintenant la distance qui le sépare de la ligne droite.

Pour utiliser la formule de d, prenons point arbitraire sur une droite, par exemple P(1; -1; 0), alors :

Calculons le produit vectoriel entre PM¯ et le vecteur directeur de la droite v¯. On a:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Maintenant, nous substituons les modules du vecteur trouvé et du vecteur v¯ dans la formule pour d, nous obtenons :

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Cette réponse pourrait être obtenue en utilisant la technique décrite ci-dessus, qui consiste à résoudre un système d'équations linéaires. En cela et tâches précédentes les valeurs calculées de la distance d'une ligne droite à un point sont présentées en unités du système de coordonnées correspondant.