Physique d'Avogadro constante. constante d'Avogadro

Le modèle le plus simple mouvement oscillatoire les atomes d'une molécule diatomique peuvent servir de système de deux masses T/ et w ?, reliés par un ressort élastique. La vibration de deux atomes par rapport au centre de masse peut être remplacée par la vibration d'un équivalent

masse par rapport à la masse initiale zéro point R= 0, où

R.- distance entre les masses, Concernant- position du point d'équilibre.

En considération classique, on suppose que le ressort est idéal - force élastique F est directement proportionnel à la déformation - écart par rapport à l'équilibre x = R-R e, selon la loi de Hooke :

Où À- élasticité constante. Ainsi, la force est dirigée vers le retour à la position d’équilibre.

Utiliser ensemble les lois de Hooke et de Newton (F-ta), peut s'écrire :

(désignant ). La solution d’une telle équation est connue pour être

servir des fonctions harmoniques

Où xo- l'amplitude, et

Utiliser la masse réduite /l on a:

Une mesure de l'énergie potentielle d'un système V sert le travail

DANS mécanique quantique analyse vibratoire pour un modèle simple oscillateur harmonique assez compliqué. Il est basé sur la résolution de l'équation de Schrödinger

(o/- fonction d'onde vibratoire, E - énergie totale particules) et dépasse le cadre de notre présentation.

Pour un oscillateur quantique, cela n'est possible que série discrète valeurs d'énergie E et fréquences selon la formule E=hv. En plus, valeur minimum l'énergie de l'oscillateur n'est pas nulle. Cette quantité est appelée zéro énergie, il correspond au niveau d'énergie le plus bas de l'oscillateur et est égal à , son existence peut être expliquée à partir de la relation d'incertitude de Heisenberg.

Ainsi, conformément à mécanique quantique l'énergie de l'oscillateur harmonique est quantifiée :

Où v- oscillatoire Nombre quantique, qui peut prendre la valeur y=0, 1, 2, 3,....

Lorsqu'un oscillateur interagit avec des quanta un rayonnement électromagnétique trois facteurs doivent être pris en compte : 1) population de niveaux (probabilité de trouver une molécule à un niveau d'énergie); 2) la règle de fréquence (Bohr), selon laquelle l'énergie d'un quantum doit correspondre à la différence d'énergie de deux niveaux quelconques ;

3) règle de sélection pour les transitions quantiques : probabilité de transition, c'est-à-dire l'intensité des raies dans le spectre d'absorption est déterminée par la quantité moment dipolaire de transition (voir introduction théorique). Dans le cas de l’oscillateur harmonique le plus simple, la règle de sélection est obtenue en considérant les fonctions d’onde. Il stipule que les transitions ne peuvent se produire qu'entre des niveaux adjacents (« une étape ») : le nombre quantique vibrationnel change d'un Un V= 1. Puisque les distances entre les niveaux adjacents sont les mêmes, le spectre d'absorption d'un oscillateur harmonique ne doit contenir qu'une seule raie avec une fréquence

Puisque, conformément à la répartition de Boltzmann à température ambiante et plus basses températures le niveau vibratoire le plus bas est peuplé, alors la transition la plus intense se fait à partir du tout niveau faible(d=0), et la fréquence de cette ligne coïncide avec la fréquence des transitions plus faibles des niveaux supérieurs au niveau adjacent supérieur.

Graphiques des fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique pour différentes significations les énergies sont présentées dans la figure 2.3. Ils représentent des solutions de l'équation de Schrödinger pour un oscillateur harmonique

Où N, - facteur de normalisation, H 0- Polynômes d'Hermite, x = R-R e- écart par rapport à la position d'équilibre.

Moment dipolaire de transition pour les transitions vibratoires, R0(ou M ")égal à:

Où ju - moment dipolaire molécules; hésitation

corps fonctions d'ondeétats initial et final, respectivement. D'après la formule, il ressort clairement que la transition est autorisée,

si au point d'équilibre - le moment dipolaire de la molécule

change près de la position du point d’équilibre, (courbe ju=f(R) ne passe pas par le maximum à ce stade). L'intégrale (le deuxième facteur de la formule) ne doit pas non plus être égale à zéro. On peut montrer que cette condition est remplie si la transition se produit entre des niveaux adjacents, donc règle supplémentaire sélection Ai = 1.

Quand molécules diatomiques les spectres vibrationnels ne peuvent être observés que pour les molécules hétéronucléaires ; les molécules homonucléaires n'ont pas de moment dipolaire et ne changent pas lors des vibrations. Les spectres vibrationnels du CO2 présentent des vibrations (étirement et flexion antisymétriques), dans lesquelles le moment dipolaire change, mais des vibrations symétriques, dans lesquelles il reste inchangé, n'apparaissent pas.

Les corps qui, lorsqu'ils se déplacent, effectuent des oscillations harmoniques sont appelés oscillateurs harmoniques. Examinons quelques exemples d'oscillateurs harmoniques.

Exemple 1. Un pendule à ressort est un corps de massem, capable d'osciller sous l'action d'une force élastique en apesanteur (m ressorts  m corps ) ressorts (Fig. 4.2).

T

Figure 4.3. Pendule physique.

Exemple 2. Un pendule physique est solide oscillant sous l'influence de la gravité autour d'un axe horizontal mobile qui ne coïncide pas avec son centre de gravité C (Fig. 4.3). L'axe passe par le point O. Si le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un petit angle  et relâché, il oscillera, suivant l'équation de base de la dynamique. mouvement de rotation solide
, Où J.- moment d'inertie pendule par rapport à l'axe, M est le moment de force rappelant pendule physique vers une position d’équilibre. Il est créé par la gravité, son moment est égal à
(je=OS). En conséquence nous obtenons
. Ce équation différentielle fluctuations pour angles arbitraires déviations. Aux petits angles, quand
,
ou, en prenant
, on obtient l'équation différentielle d'oscillation d'un pendule physique
.
Ses solutions ont la forme
ou
et période
.

. Ainsi, pour de petits écarts par rapport à la position d'équilibre, le pendule physique effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique Exemple 3.mUn pendule mathématique est un point matériel avec une massem(une balle lourde de petite taille), suspendue à un poids léger (par rapport àje. boule), élastique, fil inextensible long Si vous retirez la balle de sa position d'équilibre en la déviant de la verticale d'un petit angle , puis en la relâchant, elle oscillera. Si l'on considère ce système comme un pendule physique avec moment d'inertie d'un point matériel

,
.

J = ml 2, puis à partir des formules d'un pendule physique, nous obtenons des expressions pour la fréquence cyclique et la période d'oscillation d'un pendule mathématique. @

4. 4. Oscillations amorties Dans les exemples considérés d'oscillations harmoniques, la seule force agissant sur point matériel (corps), était force quasi-élastique

F et n’a pas pris en compte les forces de résistance présentes dans tout système réel. Par conséquent, les oscillations considérées peuvent être appelées oscillations harmoniques non amorties idéales. Disponibilité en réel la force de résistance de l'environnement entraîne une diminution de l'énergie du système. Si la perte d’énergie n’est pas compensée par le travail de forces extérieures, les oscillations s’éteindront. Les oscillations amorties sont celles dont l'amplitude diminue avec le temps.

Considérons les oscillations libres amorties. Aux basses vitesses, la force de traînée F C est proportionnelle à la vitesse v et inversement proportionnelle à celle-ci dans la direction
, où r - coefficient de traînée environnement. En utilisant Deuxième loi de Newton, on obtient l'équation différentielle oscillations amorties
,
,
. Notons
,
. L’équation différentielle prend alors la forme :

Figure 4.4. Dépendance du déplacement et de l'amplitude des oscillations amorties dans le temps.

Il s'agit d'une équation différentielle d'oscillations amorties. Ici  0 est la fréquence naturelle des oscillations du système, c'est-à-dire la fréquence des oscillations libres à r=0,  - le coefficient d'amortissement détermine le taux de diminution de l'amplitude. Les solutions de cette équation sous la condition  0 sont

ou
.

Le graphique de la dernière fonction est présenté sur la Fig. 4.4. La ligne pointillée supérieure donne le graphique de la fonction
, Et 0 est l'amplitude à l'instant initial. L'amplitude diminue avec le temps selon une loi exponentielle,  - le coefficient d'atténuation est inverse en amplitude temps de relaxation , c'est à dire. temps pendant lequel l'amplitude diminue de e fois, puisque

,
, = 1, . Fréquence et période des oscillations amorties
,
; à très faible résistance du milieu ( 2  0 2), la période d'oscillation est presque égale à
.

À mesure que  augmente, la période d'oscillation augmente et à > 0, la solution de l'équation différentielle montre qu'aucune oscillation ne se produit, mais qu'un mouvement monotone du système vers la position d'équilibre se produit. Ce type de mouvement est appelé apériodique. Pour caractériser le taux d'atténuation des oscillations, deux autres paramètres sont utilisés : le décrément d'amortissement D et . décrément logarithmique

Le décrément d'amortissement montre combien de fois l'amplitude de l'oscillation diminue au cours d'une période T.

N

Le logarithme népérien du décrément d'amortissement est un décrément logarithmique Parce que
, Que

, où N est le nombre d'oscillations par temps.

Oscillateur harmonique Oscillateur harmonique (en mécanique classique) - un système qui, lorsqu'il est déplacé d'une position d'équilibre, subit une force de rappel F , proportionnel au déplacement X

Où (selon la loi de Hooke) : k

- coefficient de rigidité du système. (en mécanique classique) - un système qui, lorsqu'il est déplacé d'une position d'équilibre, subit une force de rappel Si est la seule force agissant sur le système, alors le système est appelé simple ou oscillateur harmonique conservateur . Les vibrations libres d'un tel système sont proche de la position d'équilibre ( vibrations harmoniques). La fréquence et l'amplitude sont constantes et la fréquence ne dépend pas de l'amplitude.

Des exemples mécaniques d'oscillateur harmonique sont un pendule mathématique (avec de petits angles de déviation), un pendule de torsion et des systèmes acoustiques. Parmi d'autres analogues d'un oscillateur harmonique, il convient de souligner l'oscillateur harmonique électrique (voir circuit LC).

Vibrations gratuites

Oscillateur harmonique conservateur

Comme modèle d'oscillateur harmonique conservateur, nous prenons une charge de masse m, fixé au ressort par rigidité (selon la loi de Hooke) : .

Laisser , proportionnel au déplacement- déplacement de la charge par rapport à la position d'équilibre. Ensuite, selon la loi de Hooke, une force de rappel agira sur lui :

Alors énergie totale a une valeur constante

Simple mouvement harmonique - c'est le mouvement d'un simple oscillateur harmonique, mouvement périodique qui n’est ni forcé ni amorti. Un corps en mouvement harmonique simple est exposé à une seule force variable, directement proportionnelle au déplacement en ampleur. , proportionnel au déplacement de la position d’équilibre et est dirigé dans la direction opposée.

Ce mouvement est périodique : le corps oscille autour de la position d'équilibre selon une loi sinusoïdale. Chaque oscillation suivante est la même que la précédente et la période, la fréquence et l'amplitude des oscillations restent constantes. Si nous supposons que la position d'équilibre est en un point de coordonnée, égal à zéro, puis le décalage , proportionnel au déplacement le corps à partir de la position d'équilibre à tout moment est donné par la formule :

Où UN- amplitude des oscillations, F- fréquence, φ - phase initiale.

La fréquence des mouvements est déterminée propriétés caractéristiques système (par exemple, la masse d'un corps en mouvement), tandis que l'amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions initiales - le déplacement et la vitesse du corps au moment où les oscillations commencent. Les énergies cinétiques et potentielles du système dépendent également de ces propriétés et conditions.

Un simple mouvement harmonique peut être modèles mathématiques divers types mouvements tels que l'oscillation d'un ressort. D'autres cas qui peuvent être grossièrement considérés comme un simple mouvement harmonique sont le mouvement d'un pendule et la vibration des molécules.

Le mouvement harmonique simple constitue la base de certaines méthodes d’analyse de types de mouvement plus complexes. L'une de ces méthodes est la méthode basée sur la transformée de Fourier, dont l'essence se résume à l'expansion de plus type complexe mouvements en une série de mouvements harmoniques simples.

Tout système dans lequel un mouvement harmonique simple se produit possède deux propriétés clés :

1. Lorsqu’un système est déséquilibré, il doit y avoir une force de rappel qui tend à ramener le système à l’équilibre.
2. La force de rappel doit être exactement ou approximativement proportionnelle au déplacement.

Le système ressort de charge satisfait à ces deux conditions.

Une fois qu'une charge déplacée est soumise à une force de rappel, elle accélère et tend à revenir à sa position initiale. point de départ, c'est-à-dire à la position d'équilibre. À mesure que la charge s'approche de la position d'équilibre, la force de rappel diminue et tend vers zéro. Cependant, dans la situation , proportionnel au déplacement = 0 la charge a une certaine quantité de mouvement (impulsion), acquise grâce à l'action de la force de rappel. Par conséquent, la charge dépasse la position d'équilibre, commençant à nouveau à déformer le ressort (mais déjà en direction opposée). La force de rappel aura tendance à le ralentir jusqu'à ce que la vitesse devienne nulle ; et la force s'efforcera à nouveau de ramener la charge à sa position d'équilibre.

Tant qu'il n'y a pas de perte d'énergie dans le système, la charge oscillera comme décrit ci-dessus ; un tel mouvement est appelé périodique.

Une analyse plus approfondie montrera que dans le cas d’un système charge-ressort, le mouvement est simple harmonique.

Dynamique du mouvement harmonique simple

Pour les vibrations dans un espace unidimensionnel, en tenant compte de la deuxième loi de Newton ( F= m  d² , proportionnel au déplacement/d t² ) et la loi de Hooke ( (en mécanique classique) - un système qui, lorsqu'il est déplacé d'une position d'équilibre, subit une force de rappel = −kx, comme décrit ci-dessus), nous avons une équation différentielle linéaire du second ordre :

La solution de cette équation différentielle est sinusoïdale ; une solution est :

Où UN, ω et φ - constantes, et la position d'équilibre est prise comme position initiale. Chacune de ces constantes représente une valeur importante propriété physique mouvements: UN est l'amplitude, ω = 2π F- fréquence circulaire, et φ - phase initiale.

Mouvement circulaire universel

Le mouvement harmonique simple peut dans certains cas être considéré comme une projection unidimensionnelle du mouvement circulaire universel. Si un objet se déplace avec une vitesse angulaire constante ω le long d'un cercle de rayon r, dont le centre est l'origine du plan x−y, alors un tel mouvement le long de chacun des axes de coordonnées est une harmonique simple d'amplitude r et fréquence circulaire ω.

Un poids comme un simple pendule

Dans le rapprochement des petits angles, le mouvement d'un pendule simple est proche de l'harmonique simple. La période d'oscillation d'un tel pendule attaché à une tige de longueur ℓ avec accélération chute libre g est donné par la formule

Cela montre que la période d'oscillation ne dépend pas de l'amplitude et de la masse du pendule, mais dépend de l'accélération de la gravité. g, donc, avec la même longueur du pendule, sur la Lune il oscillera plus lentement, car la gravité y est plus faible et moins de valeur accélération de la chute libre.

Cette approximation n'est correcte que pour les petits angles de déviation, puisque l'expression de l'accélération angulaire est proportionnelle au sinus de la coordonnée :

que fait-il accélération angulaire directement proportionnel à l'angle θ, et cela satisfait à la définition du mouvement harmonique simple.

Oscillateur harmonique amorti

En prenant comme base le même modèle, nous y ajouterons la force de frottement visqueux. La force de frottement visqueux est dirigée contre la vitesse de déplacement de la charge par rapport au fluide et est proportionnelle à cette vitesse. Alors force maximale, agissant sur la charge, s'écrit :

En effectuant des actions similaires, nous obtenons une équation différentielle décrivant oscillateur amorti:

Ici, la désignation est introduite : . Le coefficient est appelé constante d’atténuation. Il a également la dimension de la fréquence.

La solution se décompose en trois cas.

L'amortissement critique est remarquable en ce sens que c'est à l'amortissement critique que l'oscillateur tend le plus rapidement vers la position d'équilibre. Si le frottement est moins que critique, il atteindra la position d’équilibre plus rapidement, mais la « dépassera » en raison de l’inertie et oscillera. Si le frottement est supérieur au seuil critique, alors l'oscillateur tendra de manière exponentielle vers la position d'équilibre, mais plus lentement, plus le frottement est important.

Par conséquent, dans les indicateurs à cadran (par exemple, dans les ampèremètres), ils tentent généralement d'introduire une atténuation critique afin que ses lectures puissent être lues le plus rapidement possible.

L'amortissement d'un oscillateur est aussi souvent caractérisé par un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité. Le facteur de qualité est généralement désigné par la lettre . Par définition, le facteur de qualité est égal à :

Plus le facteur de qualité est élevé, plus la décroissance des oscillations de l’oscillateur est lente.

Un oscillateur avec amortissement critique a un facteur de qualité de 0,5. En conséquence, le facteur de qualité indique le comportement de l'oscillateur. Si le facteur de qualité est supérieur à 0,5, alors le libre mouvement de l'oscillateur représente des oscillations ; Au fil du temps, il franchira la position d’équilibre un nombre illimité de fois. Un facteur de qualité inférieur ou égal à 0,5 correspond à un mouvement non oscillant de l'oscillateur ; V mouvement libre il franchira la position d'équilibre au plus une fois.

Le facteur de qualité est parfois appelé facteur de gain de l'oscillateur, car avec certaines méthodes d'excitation, lorsque la fréquence d'excitation coïncide avec celle de résonance, l'amplitude de l'oscillation s'avère environ fois supérieure à celle d'une excitation à basse fréquence.

De plus, le facteur de qualité est approximativement égal au nombre de cycles oscillatoires pendant lesquels l'amplitude d'oscillation diminue d'un facteur multiplié par .

Dans le cas d'un mouvement oscillatoire, l'amortissement est également caractérisé par des paramètres tels que :

• Durée de vie vibrations (alias temps de décroissance, c'est le même temps de relaxation) τ - temps pendant lequel l'amplitude des oscillations diminuera en e une fois.

Vibrations forcées

Les oscillations de l'oscillateur sont dites forcées lorsqu'une influence externe supplémentaire lui est appliquée. Cet effet peut être produit par divers moyens et par diverses lois. Par exemple, l'excitation d'une force est l'effet sur une charge d'une force qui ne dépend que du temps selon une certaine loi. L'excitation cinématique est l'effet sur l'oscillateur du mouvement du point d'attache du ressort le long de loi donnée. Il est également possible d'être affecté par le frottement lorsque, par exemple, le milieu avec lequel la charge subit un frottement se déplace selon une loi donnée.