Lorsque nous résolvions des problèmes à l’aide d’équations, nous recherchions généralement une inconnue. Mais il existe également des problèmes pour lesquels il existe plusieurs inconnues. De tels problèmes sont généralement résolus en construisant des systèmes d’équations.
Deux cyclistes se dirigent l'un vers l'autre d'une ville à l'autre, la distance qui les sépare est de 30 km. Supposons que si le cycliste 1 part 2 heures plus tôt que son ami, alors ils se retrouveront 2,5 heures après le départ du cycliste 2 ; si le cycliste 2 part 2 heures plus tôt que le cycliste 1, alors le rendez-vous aura lieu 3 heures après le départ du premier. À quelle vitesse roule chaque cycliste ?
Solution.
1. Définissons la vitesse du cycliste 1 comme x km/h et la vitesse du cycliste 2 comme y km/h.
2. Si le premier cycliste part 2 heures plus tôt que le second, alors, selon la condition, il roulera 4,5 heures jusqu'au rendez-vous, tandis que le second mettra 2,5 heures. En 4,5 heures, le premier parcourra une distance de 4,5x km, et en 2,5 heures, le second parcourra une distance de 2,5y km.
3. La rencontre de deux cyclistes signifie qu'ils ont parcouru une distance totale de 30 km, soit 4,5x + 2,5 y = 30. Ceci est notre première équation.
4. Si le deuxième part pendant 2 heures plus tôt que le premier, puis, selon la condition, il voyagera 5 heures pour se rendre à la réunion, tandis que le premier prendra 3 heures. En utilisant un raisonnement similaire au raisonnement ci-dessus, on arrive à l'équation :
5. Nous avons donc un système d'équations
(4,5x + 2,5 y = 30,
(3x + 5 ans = 30.
6. Après avoir résolu le système d'équations résultant, nous trouverons les racines : x = 5, y = 3.
Ainsi, le premier cycliste roule à une vitesse de 5 km/h et le second à 3 km/h.
Réponse : 5 km/h, 3 km/h.
Au bout d'un an, l'investisseur a reçu 6 $ d'intérêts sur son épargne. En ajoutant 44 $, l’investisseur a laissé cet argent pour une autre année. À la fin de l’année, les intérêts ont de nouveau été accumulés et le dépôt ainsi que les intérêts s’élèvent désormais à 257,5 $. Quel était le montant du dépôt initial et combien d’intérêts la banque facture-t-elle ?
Solution.
1. Soit x ($) le dépôt initial et y (%) les intérêts courus annuellement.
2. Puis d'ici la fin de l'année (y/100) ∙ x $ seront ajoutés au dépôt initial.
De la condition, nous obtenons l’équation (ух/100) = 6.
3. Par condition, on sait qu'à la fin de l'année l'investisseur a contribué 44 $ supplémentaires, donc la contribution au début de la deuxième année était de x + 6 + 44, c'est-à-dire (x + 50)$. Ainsi, le montant reçu à la fin de la deuxième année, compte tenu des régularisations, était égal à (x + 50 + (y/100)(x + 50)) $. Selon la condition, ce montant est égal à 275,5 $. Cela nous a permis de créer une deuxième équation :
x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
4. Nous avons donc un système d'équations :
((x/100) = 6,
(x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
Après transformation du système d'équations, on obtient :
(xy = 600,
(100x + 50y + xy = 20750. 
Après avoir résolu le système d'équations, nous avons trouvé deux racines : 200 et 1,5. Seule la première valeur satisfait notre condition.
Remplacez la valeur de x dans l'équation et trouvez la valeur de y :
si x = 200, alors y = 3.
Ainsi, le dépôt initial était de 200 $ et la banque effectue une accumulation de 3 % par an.
Réponse : 200 $ ; 3%.
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Les systèmes d'équations ont été largement utilisés dans l'industrie économique avec modélisation mathématique divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, les itinéraires logistiques ( problème de transport) ou le placement des équipements.
Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.
Système équations linéaires nommer deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.
Équation linéaire
Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.
Types de systèmes d'équations linéaires
Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.
F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.
Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.
Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.
Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.
Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes partie droite qui est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.
Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.
Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables ; il peut y en avoir autant que l'on souhaite.
Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations
Il n'y a pas de commun méthode analytique solutions à de tels systèmes, toutes les méthodes sont basées sur solutions numériques. DANS cours scolaire mathématiques, méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et méthode matricielle, solution par méthode gaussienne.
La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière
Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires du programme de 7e année lycée assez simple et expliqué en détail. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.
Résolution de systèmes par la méthode de substitution
Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système
Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :
Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . Solution cet exemple ne pose pas de difficultés et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.
Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également inappropriée.
Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :
Solution utilisant l'addition algébrique
Lorsqu'ils recherchent des solutions à des systèmes à l'aide de la méthode d'addition, ils effectuent l'addition et la multiplication terme par terme des équations par différents numéros. Le but ultime les opérations mathématiques sont une équation à une variable.
Pour les candidatures cette méthode la pratique et l’observation sont nécessaires. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.
Algorithme de solution :
- Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. Par conséquent action arithmétique l'un des coefficients de la variable doit devenir égal à 1.
- Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
- Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.
Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable
Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.
La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.
L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à l'équation standard trinôme quadratique. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.
Il faut trouver la valeur discriminante par formule bien connue: D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant souhaité, b, a, c sont les facteurs du polynôme. DANS exemple donné a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant Au dessus de zéro, alors il y a deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant moins que zéro, alors il n'y a qu'une seule solution : x= -b / 2*a.
La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.
Méthode visuelle pour résoudre des systèmes
Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à s’appuyer sur axe de coordonnées graphiques de chaque équation incluse dans le système. Les coordonnées des points d'intersection des courbes et seront décision générale systèmes.
La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.
Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.
Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.
DANS exemple suivant Besoin de trouver solution graphique systèmes d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.
Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.
Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il ne faut pas oublier qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe ;
La matrice et ses variétés
Les matrices sont utilisées pour note courte systèmes d'équations linéaires. Une matrice est un tableau type spécial rempli de chiffres. n*m a n lignes et m colonnes.
Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec une infinité numéro possible lignes. Matrice avec des unités le long d'une des diagonales et d'autres zéro élément appelée unité.
Une matrice inverse est une matrice lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine ;
Règles pour convertir un système d'équations en matrice
Par rapport aux systèmes d'équations, les coefficients et membres gratuitséquations, une équation - une ligne de la matrice.
Une ligne d’une matrice est dite non nulle si au moins un élément de la ligne ne l’est pas. égal à zéro. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.
Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.
Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.
Options pour trouver la matrice inverse
La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 - matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.
Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.
Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle
La méthode matricielle de recherche de solution vous permet de réduire les entrées fastidieuses lors de la résolution de systèmes avec gros montant variables et équations.
Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.
Résolution de systèmes par la méthode gaussienne
DANS mathématiques supérieures La méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver systèmes variables avec un grand nombre d'équations linéaires.
La méthode de Gauss est très similaire aux solutions utilisant des substitutions et addition algébrique, mais plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Par transformations algébriques et substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.
Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.
DANS manuels scolaires pour la 7e année, un exemple de solution par la méthode gaussienne est décrit comme suit :
Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.
Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.
La méthode gaussienne est difficile à comprendre pour les étudiants lycée, mais c'est l'un des moyens les plus intéressants de développer l'ingéniosité des enfants inscrits dans des programmes d'apprentissage avancé en cours de mathématiques et de physique.
Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :
Les coefficients des équations et termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare côté gaucheéquations à partir de la droite. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.
Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et continue d'effectuer le nécessaire opérations algébriques jusqu'à ce que le résultat soit atteint.
Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.
Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.
L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.
Être capable de résoudre des systèmes d'équations linéaires est une très bonne chose, mais résoudre des systèmes d'équations en soi n'est qu'une méthode pour plus d'informations. tâches complexes. En utilisant des systèmes d'équations que vous pouvez résoudre diverses tâches que l'on rencontre dans la vie.
L'algèbre est la science de la résolution d'équations et de systèmes d'équations. C’est exactement la définition utilisée par les scientifiques à la fin du 20e siècle. Le célèbre scientifique René Descartes est célèbre pour l'une de ses œuvres, appelée « Méthode Descartes ». Descartes croyait que tout problème pouvait être réduit à un problème mathématique, tout problème de maths peut être réduit à système algébriqueéquations. Et n’importe quel système peut être réduit à la résolution d’une seule équation.
Malheureusement, Descartes n'a pas eu le temps de compléter complètement sa méthode et n'en a pas écrit tous les points, mais l'idée est très bonne.
Et maintenant, comme Descartes, nous allons résoudre des problèmes en utilisant des systèmes d'équations, bien sûr, pas n'importe lesquels, mais seulement ceux qui peuvent être réduits à la résolution de systèmes d'équations linéaires.
Schéma général pour résoudre le problème à l'aide de systèmes d'équations
Décrivons le schéma général de résolution de problèmes à l'aide de systèmes d'équations :
- 1. Pour les quantités inconnues, nous introduisons certaines notations et composons un système d'équations linéaires.
- 2. Résolvez le système d’équations linéaires résultant.
- 3. J'utilise les notations saisies et j'écris la réponse.
Essayons d'appliquer ce diagramme sur une tâche précise.
On sait que deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles et que deux cahiers et trois crayons coûtent 40 roubles. Vous devez savoir combien coûtent cinq crayons et six cahiers.
Solution:
Nous devons déterminer combien coûtent séparément un crayon et un cahier. Si nous disposons de telles données, il ne sera pas difficile de décider combien coûtent cinq crayons et six cahiers.
Notons x le prix d'un crayon en roubles. Et y est le prix d'un ordinateur portable en roubles. Maintenant, lisez attentivement la condition et créez une équation.
"deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles" signifie
- 2*x+3*y = 35 ;
"deux cahiers et trois crayons coûtent 40 roubles" donc
- 3*x+2*y = 40 ;
On obtient un système d'équations :
(2*x+3*y = 35 ;
(3*x+2*y = 40 ;
Le premier point est terminé. Il est maintenant nécessaire de résoudre le système d'équations résultant en utilisant l'une des méthodes connues.
Après avoir résolu, nous obtenons x=10 et y=5.
En revenant à la notation originale, nous constatons que le prix d'un crayon est de 10 roubles et le prix d'un cahier est de 5 roubles.
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À contre-courant
Avec le flux
N° 1193. Mathématiques 5e année. N.Ya.Vilenkin
? km/h
? km/h
№ 14.1
La distance entre deux points le long du fleuve est de 80 km. Le bateau parcourt cette distance le long du fleuve en 4 heures, et à contre-courant en 5 heures. Trouvez la vitesse du bateau en aval et en amont.
Avec le flux
4(x+y)
5(x-y)
Répondre:
№ 14.4
Un bateau parcourt 10 km en aval en 4 heures de moins qu'en 6 heures à contre-courant. Trouver propre vitesse bateaux, si un radeau sur la même rivière en 15 heures parcourt la même distance en 15 heures qu'un bateau voyage sur un lac en 2 heures.
À contre-courant
Avec le flux
4(x+y)
sur 10
6(x-y)
4(x+y) +10 =6(x-y)
4x+4a+10=6x-6a
4x-6x+4a+6a=-10
Répondre:
№ 14.10
Non, ha
en 1 jour
Quantité
jours
Total ha
1 conducteur de tracteur
2 conducteurs de tracteur
№ 14.10
- Deux conducteurs de tracteurs ont labouré ensemble 678 hectares. Le premier conducteur de tracteur a travaillé 8 jours et le second 11 jours. Combien d'hectares chaque conducteur de tracteur a-t-il labouré par jour, si le premier conducteur de tracteur a labouré 22 hectares de moins tous les 3 jours que le second en 4 jours ?
Non, ha
en 1 jour
Quantité
jours
Total ha
1 conducteur de tracteur
sur 22 hectares
moins
2 conducteurs de tracteur
Répondre:
№ 14.5
Un bateau à moteur parcourt 120 km en 5 heures à contre-courant du fleuve et 180 km en 6 heures en aval. Trouvez la vitesse du débit de la rivière et la propre vitesse du navire.
Avec le flux
6(x+y)
5(x-y)
Répondre:
№ 14.11
Qté.
dans 1 heure
Quantité
heures
Total
Brigade
Brigade
№ 14.11
- Deux équipes travaillaient à la récolte des pommes de terre. Le premier jour, une équipe a travaillé pendant 2 heures et la seconde pendant 3 heures, et elles ont collecté 23 centimes de pommes de terre. Le deuxième jour, la première équipe a récolté 2 quintaux de plus en 3 heures de travail que la seconde en 2 heures. Combien de centièmes de pommes de terre chaque équipe a-t-elle récolté en 1 heure de travail ?
Qté.
dans 1 heure
Quantité
heures
Total
Brigade
par 2 ct
plus
Brigade
Répondre:
№ 14.7
numéro x-1
numéro y-2
3(x-y)=(x+y)+6
2(x-y)=(x+y)+9
Répondre:
№ 14.12
Quantité t
pour 1 vol
Quantité
vols
Total
tonnes
voiture
voiture
№ 14.12
- Le premier jour, 27 tonnes de céréales ont été exportées, un véhicule effectuant 4 voyages et l'autre 3 voyages. Le lendemain, la deuxième voiture a transporté 11 tonnes de plus en 4 voyages que la première voiture en 3 voyages. Combien de tonnes de céréales ont été transportées dans chaque véhicule en un seul voyage ?
Quantité t
pour 1 vol
Quantité
vols
Total
tonnes
voiture
à 11 heures
plus
voiture
Répondre:
№ 14.14
Quantité kg
dans 1 boîte
Quantité
des boites
Total
cerises
pour 3 tiroirs
moins
cerise
№ 14.14
- 84 kg de cerises et de griottes ont été achetés au marché, et 3 caisses de cerises de moins ont été achetées que de cerises. Combien de cartons de cerises et de griottes ont été achetés séparément, si 1 carton contient 8 kg de cerises et 10 kg de griottes ?
Quantité kg
dans 1 boîte
Quantité
des boites
Total
cerises
cerise
Répondre:
№ 14.8
№ 14.25
№ 14.31
10 A + B - formule pour un nombre à deux chiffres
A est le nombre de dizaines, B est le nombre d'unités
