Nous continuons à traiter de systèmes d'équations linéaires. Jusqu’à présent, nous avons considéré des systèmes dotés d’une solution unique. De tels systèmes peuvent être résolus de n'importe quelle manière : par méthode de substitution("école"), selon les formules de Cramer, méthode matricielle , Méthode gaussienne. Cependant, dans la pratique, deux autres cas sont répandus :

1) le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;

2) le système a une infinité de solutions.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode gaussienne. En fait, la méthode « scolaire » apportera également la réponse, mais en mathématiques supérieures Il est courant d'utiliser la méthode gaussienne élimination séquentielle inconnu. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode gaussienne, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode gaussienne

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera dans la fin de la solution. Tout d'abord, regardons quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérentes).

Exemple 1

Qu’est-ce qui attire immédiatement l’attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Il existe un théorème qui dit : "Si le nombre d'équations dans le système est inférieur au nombre de variables, alors le système soit incohérent, soit comporte une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.

Le début de la solution est tout à fait ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la réduisons à vue en escalier:

(1). Sur l'étape en haut à gauche, nous devons obtenir (+1) ou (–1). Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne donnera rien. L'unité devra s'organiser, et cela peut se faire de plusieurs manières. Nous l'avons fait. À la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par (–1).

(2). Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première, multipliée par 5.

(3). Une fois la transformation terminée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Peut. Nous divisons la deuxième ligne par 2, obtenant en même temps celle souhaitée (–1) à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par (–3).

(4). Ajoutez une deuxième ligne à la troisième ligne. Tout le monde a probablement remarqué la mauvaise ligne résultant de transformations élémentaires :

. Il est clair qu’il ne peut en être ainsi.

En effet, réécrivons la matrice résultante

revenons au système d’équations linéaires :

Si, à la suite de transformations élémentaires, on obtient une chaîne de la forme , Oùλ est un nombre différent de zéro, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions).

Comment écrire la fin d’une tâche ? Vous devez écrire la phrase :

« À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme a été obtenue, où λ ≠ 0 " Réponse : « Le système n’a pas de solutions (incohérent). »

Veuillez noter que dans ce cas, il n’y a pas d’inversion de l’algorithme gaussien, il n’y a pas de solutions et il n’y a tout simplement rien à trouver.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Nous vous rappelons encore que votre solution peut différer de notre solution ; la méthode gaussienne ne le précise pas ; algorithme sans ambiguïté, l'ordre des actions et les actions elles-mêmes doivent être devinées dans chaque cas indépendamment.

Un de plus caractéristique technique solutions : les transformations élémentaires peuvent être stoppées immédiatement, dès qu'une ligne comme , où λ ≠ 0 . Considérons exemple conditionnel: supposons qu'après la première transformation la matrice soit obtenue

.

Cette matrice n'a pas encore été réduite à une forme échelonnée, mais il n'est pas nécessaire de procéder à d'autres transformations élémentaires, puisqu'une ligne de forme est apparue, où λ ≠ 0 . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.

Lorsqu’un système d’équations linéaires n’a pas de solution, c’est presque un cadeau pour l’étudiant, étant donné qu’il s’avère solution courte, parfois littéralement en 2-3 actions. Mais tout dans ce monde est équilibré, et un problème dans lequel le système a une infinité de solutions n’est que plus long.

Exemple 3 :

Résoudre un système d'équations linéaires

Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une seule solution, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu’il en soit, la méthode gaussienne nous amènera de toute façon à la réponse. C'est sa polyvalence.

Le début est à nouveau standard. Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

C'est tout, et tu avais peur.

(1). Veuillez noter que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, nous nous contentons donc de deux sur la marche en haut à gauche. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par (–4). À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par (–2). À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par (–1).

Attention! Beaucoup pourraient être tentés par la quatrième ligne soustraire première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire ; l'expérience montre que la probabilité d'erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. On ajoute simplement : à la quatrième ligne on ajoute la première ligne, multipliée par (–1) – exactement comme ça !

(2). Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées. Là encore, nous devons montrer attention accrue , mais les lignes sont-elles vraiment proportionnelles ? Par mesure de sécurité, ce serait une bonne idée de multiplier la deuxième ligne par (–1) et de diviser la quatrième ligne par 2, ce qui donnerait trois lignes identiques. Et seulement après cela, supprimez-en deux. Grâce à des transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme pas à pas :

Lors de la rédaction d'une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.

Réécrivons le système d'équations correspondant :

"Ordinaire" la seule solution il n'y a aucune odeur de système ici. Mauvaise ligne où λ ≠ 0, non non plus. Cela signifie qu'il s'agit du troisième cas restant : le système a une infinité de solutions.

Un ensemble infini de solutions à un système est brièvement écrit sous la forme de ce qu'on appelle solution générale du système.

On trouve la solution générale du système en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne. Pour les systèmes d'équations avec nombre infini de nouveaux concepts apparaissent : "variables de base" Et "variables libres". Définissons d'abord quelles variables nous avons basique, et quelles variables - gratuit. Il n'est pas nécessaire d'expliquer les termes en détail algèbre linéaire, rappelez-vous simplement qu'il existe de tels variables de base Et variables libres.

Les variables de base « reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice. DANS dans cet exemple les variables de base sont x 1 et x 3 .

Les variables libres sont tout restant variables qui n’ont pas reçu de pas. Dans notre cas, il y en a deux : x 2 et x 4 – variables libres.

Maintenant tu as besoin Tousvariables de base exprimer seulement à traversvariables libres. L’inverse de l’algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut. A partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base x 3:

Examinons maintenant la première équation : . Nous y substituons d’abord l’expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base x 1 via des variables libres x 2 et x 4:

En fin de compte, nous avons obtenu ce dont nous avions besoin - Tous variables de base ( x 1 et x 3) exprimé seulement à travers variables libres ( x 2 et x 4):

En fait, solution générale prêt:

.

Comment écrire correctement la solution générale ? Tout d'abord, les variables libres sont écrites dans la solution générale « par elles-mêmes » et strictement à leur place. DANS dans ce cas variables libres x 2 et x 4 doit être écrit en deuxième et quatrième positions :

.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

De la solution générale du système on peut trouver une infinité de solutions privées. C'est très simple. Variables libres x 2 et x 4 sont appelés ainsi parce qu'ils peuvent être donnés n'importe lequel valeurs finales . Les valeurs les plus populaires sont les valeurs nulles, car il s'agit de la solution partielle la plus simple à obtenir.

Remplacement ( x 2 = 0; x 4 = 0) dans la solution générale, on obtient une des solutions particulières :

, ou est une solution particulière correspondant à des variables libres avec des valeurs ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Une autre paire douce est celle, remplaçons ( x 2 = 1 et x 4 = 1) dans la solution générale :

, c'est-à-dire (-1 ; 1 ; 1 ; 1) – une autre solution particulière.

Il est facile de voir que le système d’équations a une infinité de solutions puisqu'on peut donner des variables libres n'importe lequel significations.

Chaque la solution particulière doit satisfaire à tout le mondeéquation du système. C'est la base d'une vérification « rapide » de l'exactitude de la solution. Prenons, par exemple, la solution particulière (-1 ; 1 ; 1 ; 1) et remplacez-la par côté gauche chaque équation du système original :

Tout doit être réuni. Et quelle que soit la solution particulière que vous recevez, tout devrait également être en accord.

À proprement parler, vérifier une solution particulière est parfois trompeur, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, mais la solution générale elle-même est en réalité trouvée de manière incorrecte. Par conséquent, tout d’abord, la vérification de la solution générale est plus approfondie et plus fiable.

Comment vérifier la solution générale résultante ?

Ce n'est pas difficile, mais cela nécessite de longues transformations. Nous devons prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et remplacez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

À gauche de la première équation du système :

Reçu côté droit la première équation originale du système.

À gauche de la deuxième équation du système :

Le côté droit de la deuxième équation initiale du système est obtenu.

Et puis - aux côtés gauches des troisième et quatrième équations du système. Cette vérification prend plus de temps, mais garantit l'exactitude à 100 % de la solution globale. De plus, certaines tâches nécessitent de vérifier la solution générale.

Exemple 4 :

Résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne. Trouvez la solution générale et deux solutions particulières. Vérifiez la solution générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions.

Exemple 5 :

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouvez deux solutions particulières et vérifiez la solution générale

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1). Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.

(2). À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (–5). À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (–7).

(3). Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, on en supprime une. C'est d'une telle beauté :

Les variables de base se trouvent donc sur les marches - les variables de base.

Il n'y a qu'une seule variable libre qui n'a pas reçu d'étape ici : .

(4). Mouvement inversé. Exprimons les variables de base via une variable libre :

De la troisième équation :

Considérons la deuxième équation et substituons-y l'expression trouvée :

, , ,

Considérons la première équation et substituons les expressions trouvées par :

Ainsi, la solution générale avec une variable libre x 4:

Encore une fois, comment ça s’est passé ? Variable libre x Le 4 occupe seul la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base , , sont également en place.

Vérifions immédiatement la solution générale.

Nous substituons les variables de base , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi la solution générale correcte est trouvée.

Maintenant, à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. Toutes les variables sont exprimées ici par un seul variable libre x 4. Pas besoin de vous creuser la tête.

Laisser x 4 = 0 alors – la première solution particulière.

Laisser x 4 = 1 alors – une autre solution privée.

Répondre: Solution générale : . Solutions privées :

Et .

Exemple 6 :

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

Nous avons déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre solution peut différer de la nôtre. L'essentiel est que les décisions générales coïncident. Beaucoup de gens ont probablement remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, en inversant la méthode de Gauss, il fallait bricoler fractions ordinaires. En pratique, c'est effectivement le cas ; les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Soyez prêt mentalement et, surtout, techniquement.

Attardons-nous sur les fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus. La solution générale du système peut parfois inclure une ou plusieurs constantes.

Par exemple, une solution générale : . Ici, l'une des variables de base est égale à nombre constant: . Il n’y a rien d’exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels nombre d'équations plus de quantité variables. Cependant, la méthode gaussienne fonctionne dans les conditions les plus difficiles. Vous devez calmement réduire la matrice étendue du système à une forme pas à pas en utilisant un algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir une infinité de solutions et, curieusement, peut avoir une seule solution.

Répétons notre conseil : pour vous sentir à l'aise lors de la résolution d'un système à l'aide de la méthode gaussienne, vous devez maîtriser la résolution d'au moins une douzaine de systèmes.

Solutions et réponses :

Exemple 2 :

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas.

Transformations élémentaires effectuées :

(1) Les première et troisième lignes ont été inversées.

(2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par (–6). La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (–7).

(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par (–1).

À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, Où λ ≠ 0 .Cela signifie que le système est incohérent.Répondre: il n'y a pas de solutions.

Exemple 4 :

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées :

(1). La première ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne, multipliée par 3, a été ajoutée à la troisième ligne.

Il n'y a pas d'unité pour la deuxième étape , et la transformation (2) vise à l'obtenir.

(2). La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.

(3). Les deuxième et troisième lignes ont été interverties (nous avons déplacé le –1 résultant vers la deuxième étape)

(4). La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par 3.

(5). Les deux premières lignes ont vu leur signe changé (multiplié par –1), la troisième ligne a été divisée par 14.

Inverse:

(1). Ici sont les variables de base (qui se trouvent sur les marches), et – variables libres (qui n’ont pas obtenu de pas).

(2). Exprimons les variables de base en termes de variables libres :

De la troisième équation : .

(3). Considérons la deuxième équation :, solutions privées :

Répondre: Solution générale :

Nombres complexes

Dans cette section, nous présenterons le concept nombre complexe, considérer algébrique, trigonométrique Et forme exponentielle nombre complexe. Nous apprendrons également à effectuer des opérations avec des nombres complexes : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine.

Pour maîtriser les nombres complexes, aucune connaissance particulière d'un cours supérieur de mathématiques n'est requise et le matériel est accessible même aux écoliers. Il suffit de pouvoir performer opérations algébriques avec des nombres « normaux », et rappelez-vous la trigonométrie.

Tout d'abord, rappelons-nous les nombres « ordinaires ». En mathématiques, on les appelle beaucoup nombres réels et sont désignés par la lettre R, ou R (épais). Tous les nombres réels se trouvent sur la droite numérique familière :

Le groupe des nombres réels est très hétéroclite - il y a ici des nombres entiers, des fractions et nombres irrationnels. En même temps, chaque point axe des nombres doit correspondre à un nombre réel.

Solution de systèmes linéaires équations algébriques(SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important du cours d’algèbre linéaire. Un nombre énorme les problèmes de toutes les branches des mathématiques sont réduits à la résolution de systèmes d’équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

• ramasser méthode optimale des solutions à votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résolvez votre système d'équations linéaires en examinant les solutions détaillées exemples typiques et les tâches.

Brève description du matériel de l'article.

D'abord donnons tout définitions nécessaires, les concepts et introduire les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires vue générale, dans lequel le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale de homogène et systèmes hétérogèneséquations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous considérerons des systèmes d'équations pouvant être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que diverses tâches, dans la solution duquel surviennent les SLAE.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues - coefficients (certains réels ou nombres complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - matrice principale du système, - matrice colonnes d'inconnues, - matrice colonnes membres gratuits.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Habituellement, la matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale ne l'est pas égal à zéro, alors nous appellerons ces SLAE élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique, et dans le cas système homogène toutes les variables inconnues sont nulles.

Nous avons commencé à étudier de tels SLAE lycée. Pour les résoudre, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons remplacée dans les équations restantes, puis avons pris l'équation suivante, a exprimé la variable inconnue suivante et l'a remplacée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires grâce à la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant matrice inverse la solution à ce système peut être trouvée comme .

Construisons la matrice inverse en utilisant la matrice de ajouts algébriqueséléments de la matrice A (si nécessaire, voir article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour matrices carrées ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste en une exclusion séquentielle de variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que seule la variable inconnue x n reste dans la dernière équation. Ce processus de transformation des équations d'un système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la deuxième, multipliée par , à quatrième équation ajoutons la seconde multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation nous ajoutons la seconde multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnue x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

DANS cas général le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Ainsi, nous avons appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Mineure ordre le plus élevé la matrice A, différente de zéro, est appelée basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures ; il y a toujours une base mineure.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang de la matrice étendue est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant moins de nombre variables inconnues n, puis sur les côtés gauches des équations on laisse les termes qui forment la base mineure, et on transfère les termes restants sur les côtés droits des équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :


C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :


Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste de signes opposés sur les côtés droits :


Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , Où - nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Résolvons le système élémentaire d'équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumons.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineur égal au nombre variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, que nous trouvons par n'importe quelle méthode connue de nous.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur cohérence. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Regardez-le description détaillée et analysé des exemples dans l'article la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si on note linéairement solutions indépendantes SLAE homogène puisque X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices colonnes de dimension n par 1 ), alors la solution générale à ce système homogène est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule définit tout solutions possibles le SLAE d'origine, en d'autres termes, en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), en utilisant la formule, nous obtiendrons l'une des solutions du SLAE homogène d'origine.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons gratuitement des inconnus valeurs variables 1,0,0,…,0 et calculez les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,...,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière de l'original SLAE hétérogène, que l'on obtient en donnant aux inconnues libres les valeurs 0,0,...,0 et en calculant les valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons. Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues sur les côtés droits des équations, et on transfère les termes à inconnues libres sur les côtés droits :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Système fondamental Les solutions de ce SLAE consistent en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Un nombre infini de solutions d'un système sont brièvement écrites sous la forme de ce qu'on appelle la solution générale du système.

On trouve la solution générale du système en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne.

Nous devons d'abord définir quelles variables nous avons basique, et quelles variables gratuit. Vous n’avez pas à vous soucier des termes de l’algèbre linéaire, rappelez-vous simplement qu’il existe de tels termes. variables de base Et variables libres.

Les variables de base « reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice.
Dans cet exemple, les variables de base sont et

Les variables libres sont tout restant variables qui n’ont pas reçu de pas. Dans notre cas il y en a deux : – les variables libres.

Maintenant tu as besoin Tous variables de base exprimer seulement à travers variables libres.

L’inverse de l’algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut.
A partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base :

Examinons maintenant la première équation : . Nous y substituons d’abord l’expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base en termes de variables libres :

En fin de compte, nous avons obtenu ce dont nous avions besoin - Tous les variables de base ( et ) sont exprimées seulement à travers variables libres :

En fait, la solution générale est prête :

Comment écrire correctement la solution générale ?
Les variables libres sont écrites dans la solution générale « par elles-mêmes » et strictement à leur place. Dans ce cas, les variables libres doivent être écrites en deuxième et quatrième positions :
.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

De la solution générale du système on peut trouver une infinité de solutions privées. C'est très simple.

Des variables libres peuvent être données toutes les valeurs. Les valeurs les plus populaires sont les valeurs nulles, car la solution particulière est la plus simple à obtenir. Remplaçons par la solution générale :

– solution privée.

Une autre paire intéressante est celle-là, remplaçons-les dans la solution générale :

– une autre solution privée.

Il est facile de voir que le système d’équations a une infinité de solutions(puisqu'on peut donner des variables libres n'importe lequel valeurs)

Chaque la solution particulière doit satisfaire à tout le mondeéquation du système. C'est la base d'une vérification « rapide » de l'exactitude de la solution. Prenons, par exemple, une solution particulière et remplacez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :

Tout doit être réuni. Et quelle que soit la solution particulière que vous recevez, tout devrait également être en accord.

Mais, à proprement parler, vérifier une solution particulière est parfois trompeur, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, mais la solution générale elle-même est en réalité trouvée de manière incorrecte.

Par conséquent, la vérification de la solution générale est plus approfondie et plus fiable. Comment vérifier la solution générale résultante ?

Ce n'est pas difficile, mais assez fastidieux. Nous devons prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et remplacez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

À gauche de la première équation du système :

À gauche de la deuxième équation du système :


Le côté droit de l’équation originale est obtenu.

Exemple 4

Résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne. Trouvez la solution générale et deux solutions particulières. Vérifiez la solution générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions. Qu’est-ce qui est important dans le processus de décision lui-même ? Attention, et encore attention. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Et quelques exemples supplémentaires pour renforcer le matériel

Exemple 5

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouvez deux solutions particulières et vérifiez la solution générale

Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.
(2) À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –5. À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –7.
(3) Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, on en supprime une.

C'est d'une telle beauté :

Les variables de base se trouvent donc sur les marches - les variables de base.
Il n'y a qu'une seule variable libre qui n'a pas obtenu de pas :

Inverse:
Exprimons les variables de base via une variable libre :
De la troisième équation :

Considérons la deuxième équation et substituons-y l'expression trouvée :

Considérons la première équation et substituons les expressions trouvées par :

Oui, une calculatrice qui calcule des fractions ordinaires reste pratique.

La solution générale est donc :

Encore une fois, comment ça s’est passé ? La variable libre occupe seule la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base , , ont également pris leur place ordinale.

Vérifions immédiatement la solution générale. Le boulot est pour les noirs, mais je l'ai déjà fait, alors attrape-le =)

Nous substituons trois héros , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi la solution générale est trouvée correctement.

Maintenant, à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. La seule variable libre ici est le chef. Pas besoin de vous creuser la tête.

Qu'il en soit alors – solution privée.
Qu'il en soit alors – une autre solution privée.

Répondre: Solution générale : , solutions privées : , .

Je n'aurais pas dû me souvenir des Noirs, car toutes sortes de motivations sadiques me sont venues à l'esprit, et je me suis souvenu d'un dessin animé où des membres du Ku Klux Klan dans leurs robes blanches couraient à travers le terrain de football après un footballeur noir. Je m'assois et je souris tranquillement. Tu sais à quel point c'est distrayant...

Beaucoup de mathématiques sont nuisibles, tellement semblables dernier exemple pour une décision indépendante.

Exemple 6

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

J'ai déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre solution peut différer de la mienne, l'essentiel est que les solutions générales coïncident.

Probablement, beaucoup de gens ont remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, lors du déroulement inverse de la méthode gaussienne, nous devions bricoler des fractions ordinaires. En pratique, c'est effectivement le cas ; les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Soyez prêt mentalement et, surtout, techniquement.

Je m'attarderai sur certaines fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus.

La solution générale du système peut parfois inclure une ou plusieurs constantes, par exemple : . Ici l'une des variables de base est égale à un nombre constant : . Il n’y a rien d’exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est supérieur au nombre de variables. La méthode gaussienne fonctionne dans les conditions les plus sévères ; il faut calmement réduire la matrice étendue du système à une forme pas à pas en utilisant un algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir une infinité de solutions et, curieusement, peut avoir une seule solution.

Et, bien sûr, je le répéterai dans mes conseils : pour vous sentir à l'aise lors de la résolution d'un système à l'aide de la méthode gaussienne, vous devez maîtriser la résolution d'au moins une douzaine de systèmes.

Je vous souhaite du succès !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution:Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas.

Transformations élémentaires effectuées :
(1) Les première et troisième lignes ont été inversées.
(2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –6. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –7.
(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.
À la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue , Où , ce qui signifie que le système est incohérent.
Répondre: il n'y a pas de solutions.

Exemple 4 : Solution: Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :


Conversions effectuées :
(1) La première ligne multipliée par 2 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.

Il n'y a pas d'unité pour la deuxième étape , et la transformation (2) vise à l'obtenir.

(2) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3.
(3) Les deuxième et troisième lignes ont été interverties (nous avons déplacé le –1 résultant vers la deuxième étape)
(4) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 3.
(5) Le signe des deux premières lignes a été modifié (multiplié par –1), la troisième ligne a été divisée par 14.

Mouvement inversé.
– les variables de base (celles des marches), – variables libres (ceux qui n’ont pas obtenu de pas).

1. Systèmes d'équations linéaires avec un paramètre

Les systèmes d'équations linéaires avec un paramètre sont résolus en utilisant les mêmes méthodes de base que systèmes conventionnelséquations : méthode de substitution, méthode d'addition d'équations et méthode graphique. Connaissance de l'interprétation graphique systèmes linéaires permet de répondre facilement à la question sur le nombre de racines et leur existence.

Exemple 1.

Trouvez toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations n'a pas de solution.

(x + (une 2 – 3)y = une,
(x + y = 2.

Solution.

Examinons plusieurs façons de résoudre ce problème.

1 façon. On utilise la propriété : le système n'a pas de solutions si le rapport des coefficients devant x est égal au rapport des coefficients devant y, mais pas égal au rapport des termes libres (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Nous avons alors :

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ou système

(et 2 – 3 = 1,
(une ≠ 2.

À partir de la première équation a 2 = 4, donc, en tenant compte de la condition selon laquelle a ≠ 2, nous obtenons la réponse.

Réponse : a = -2.

Méthode 2. Nous résolvons par méthode de substitution.

(2 – y + (une 2 – 3)y = une,
(x = 2 – y,

((une 2 – 3)y – y = une – 2,
(x = 2 – y.

Après soustraction dans la première équation multiplicateur commun y hors parenthèses, on obtient :

((une 2 – 4)y = une – 2,
(x = 2 – y.

Le système n'a pas de solution si la première équation n'a pas de solution, c'est-à-dire

(et 2 – 4 = 0,
(une – 2 ≠ 0.

Évidemment, a = ±2, mais en tenant compte de la deuxième condition, la réponse ne vient qu'avec une réponse négative.

Répondre: une = -2.

Exemple 2.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations a un nombre infini de solutions.

(8x + ay = 2,
(hache + 2y = 1.

Solution.

Selon la propriété, si le rapport des coefficients de x et y est le même et est égal au rapport des membres libres du système, alors il a un nombre infini de solutions (c'est-à-dire a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Donc 8/a = a/2 = 2/1. En résolvant chacune des équations résultantes, nous constatons que a = 4 est la réponse dans cet exemple.

Répondre: une = 4.

2. Systèmes équations rationnelles avec paramètre

Exemple 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = une.

Solution.

Multiplions la première équation du système par 2 :

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = une.

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons 5|x| = 4 – une. Cette équation aura une solution unique pour a = 4. Dans d'autres cas, cette équation aura deux solutions (pour a< 4) или ни одного (при а > 4).

Réponse : a = 4.

Exemple 4.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations a une solution unique.

(x + y = une,
(y – x 2 = 1.

Solution.

Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode graphique. Ainsi, le graphique de la deuxième équation du système est une parabole élevée le long de l'axe Oy vers le haut d'un segment unitaire. La première équation spécifie l'ensemble des droites parallèles à la droite y = -x (Figure 1). Il ressort clairement de la figure que le système a une solution si la droite y = -x + a est tangente à la parabole en un point de coordonnées (-0,5, 1,25). En substituant ces coordonnées dans l'équation de la droite au lieu de x et y, nous trouvons la valeur du paramètre a :

1,25 = 0,5 + une ;

Réponse : a = 0,75.

Exemple 5.

A l'aide de la méthode de substitution, découvrez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(hache – y = une + 1,
(hache + (a + 2)y = 2.

Solution.

À partir de la première équation, nous exprimons y et le substituons dans la seconde :

(y = hache – a – 1,
(hache + (une + 2)(hache – une – 1) = 2.

Réduisons la deuxième équation à la forme kx = b, qui aura une solution unique pour k ≠ 0. On a :

hache + une 2 x – une 2 – une + 2ax – 2a – 2 = 2 ;

un 2 x + 3ax = 2 + un 2 + 3a + 2.

Nous représentons le trinôme carré a 2 + 3a + 2 comme produit de parenthèses

(a + 2)(a + 1), et à gauche on sort x entre parenthèses :

(une 2 + 3une)x = 2 + (une + 2)(une + 1).

Évidemment, a 2 + 3a ne doit pas être égal à zéro, donc

une 2 + 3une ≠ 0, une(une + 3) ≠ 0, ce qui signifie une ≠ 0 et ≠ -3.

Répondre: une ≠ 0 ; ≠ -3.

Exemple 6.

À l'aide de la méthode de solution graphique, déterminez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = une.

Solution.

Sur la base de la condition, nous construisons un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 3 segment unitaire, c'est précisément cela qui est précisé par la première équation du système

x 2 + y 2 = 9. La deuxième équation du système (y = |x| + a) est une ligne brisée. En utilisant chiffre 2 nous considérons tout cas possibles sa position par rapport au cercle. Il est facile de voir que a = 3.

Réponse : a = 3.

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Cependant, dans la pratique, deux autres cas sont répandus :

– Le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;
– Le système est cohérent et propose une infinité de solutions.

Note : Le terme « cohérence » implique que le système a au moins une certaine solution. Dans un certain nombre de problèmes, il est nécessaire d'examiner d'abord la compatibilité du système ; comment procéder, voir l'article sur rang des matrices.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode gaussienne. En fait, la méthode « scolaire » conduira également à la réponse, mais en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne d'élimination séquentielle des inconnues. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode gaussienne, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode gaussienne pour les nuls.

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera dans la fin de la solution. Tout d'abord, regardons quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérentes).

Exemple 1

Qu’est-ce qui attire immédiatement l’attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Si le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables, alors nous pouvons immédiatement dire que le système est soit incohérent, soit qu'il a une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.

Le début de la solution est tout à fait ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la mettons sous une forme pas à pas :

(1) Sur l’étape en haut à gauche, nous devons obtenir +1 ou –1. Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne donnera rien. L'unité devra s'organiser, et cela peut se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : à la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par –1.

(2) Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 5.

(3) Une fois la transformation terminée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Peut. Nous divisons la deuxième ligne par 2, obtenant en même temps le –1 requis à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par –3.

(4) Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne.

Tout le monde a probablement remarqué la mauvaise ligne résultant de transformations élémentaires : . Il est clair qu’il ne peut en être ainsi. En effet, réécrivons la matrice résultante revenons au système d’équations linéaires :

Si, à la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, où est un nombre différent de zéro, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions).

Comment écrire la fin d’une tâche ? Dessinons à la craie blanche : « à la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme , où » est obtenue et donnons la réponse : le système n'a pas de solutions (incohérent).

Si, selon la condition, il est nécessaire de RECHERCHER la compatibilité du système, alors il est nécessaire de formaliser la solution dans un style plus solide en utilisant le concept rang matriciel et théorème de Kronecker-Capelli.

Veuillez noter qu'il n'y a pas d'inversion de l'algorithme gaussien ici - il n'y a pas de solutions et il n'y a tout simplement rien à trouver.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. Je vous rappelle encore que votre solution peut différer de la mienne ; l'algorithme gaussien n'a pas une forte « rigidité ».

Autre particularité technique de la solution : les transformations élémentaires peuvent être stoppées immédiatement, dès qu'une ligne comme , où . Considérons un exemple conditionnel : supposons qu'après la première transformation la matrice soit obtenue . La matrice n'a pas encore été réduite à une forme échelonnée, mais il n'est pas nécessaire de procéder à d'autres transformations élémentaires, puisqu'une ligne de la forme est apparue, où . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.

Lorsqu'un système d'équations linéaires n'a pas de solution, c'est presque un cadeau, car une solution courte est obtenue, parfois littéralement en 2-3 étapes.

Mais tout dans ce monde est équilibré, et un problème dans lequel le système a une infinité de solutions n’est que plus long.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires

Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une seule solution, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu’il en soit, la méthode gaussienne nous amènera de toute façon à la réponse. C'est sa polyvalence.

Le début est à nouveau standard. Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

C'est tout, et tu avais peur.

(1) Veuillez noter que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, donc 2 convient parfaitement sur l'étape en haut à gauche. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –4. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –1.

Attention! Beaucoup pourraient être tentés par la quatrième ligne soustraire première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire ; l'expérience montre que la probabilité d'erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. Ajoutez simplement : à la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –1 – exactement comme ça !

(2) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées.

Là encore, nous devons montrer attention accrue, mais les lignes sont-elles vraiment proportionnelles ? Par mesure de sécurité (surtout pour une théière), ce serait une bonne idée de multiplier la deuxième ligne par –1, et de diviser la quatrième ligne par 2, ce qui donnerait trois lignes identiques. Et seulement après cela, supprimez-en deux.

Grâce à des transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme pas à pas :

Lors de la rédaction d'une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.

Réécrivons le système d'équations correspondant :

Il n’y a ici aucune odeur de solution unique « ordinaire » au système. Il n’y a pas non plus de mauvaise ligne. Cela signifie qu'il s'agit du troisième cas restant : le système a une infinité de solutions. Parfois, selon la condition, il est nécessaire d'enquêter sur la compatibilité du système (c'est-à-dire prouver qu'une solution existe), vous pouvez lire à ce sujet dans le dernier paragraphe de l'article Comment trouver le rang d’une matrice ? Mais pour l’instant, revenons sur les bases :

Un ensemble infini de solutions à un système est brièvement écrit sous la forme de ce qu'on appelle solution générale du système .

On trouve la solution générale du système en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne.

Nous devons d'abord définir quelles variables nous avons basique, et quelles variables gratuit. Vous n’avez pas à vous soucier des termes de l’algèbre linéaire, rappelez-vous simplement qu’il existe de tels termes. variables de base Et variables libres.

Les variables de base « reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice.
Dans cet exemple, les variables de base sont et

Les variables libres sont tout restant variables qui n’ont pas reçu de pas. Dans notre cas il y en a deux : – les variables libres.

Maintenant tu as besoin Tous variables de base exprimer seulement à travers variables libres.

L’inverse de l’algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut.
A partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base :

Examinons maintenant la première équation : . Nous y substituons d’abord l’expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base en termes de variables libres :

En fin de compte, nous avons obtenu ce dont nous avions besoin - Tous les variables de base ( et ) sont exprimées seulement à travers variables libres :

En fait, la solution générale est prête :

Comment écrire correctement la solution générale ?
Les variables libres sont écrites dans la solution générale « par elles-mêmes » et strictement à leur place. Dans ce cas, les variables libres doivent être écrites en deuxième et quatrième positions :
.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

Donner des variables gratuites valeurs arbitraires, vous pouvez en trouver une infinité solutions privées. Les valeurs les plus populaires sont les zéros, car la solution particulière est la plus simple à obtenir. Remplaçons par la solution générale :

– solution privée.

Une autre paire intéressante est celle-là, remplaçons-les dans la solution générale :

– une autre solution privée.

Il est facile de voir que le système d’équations a une infinité de solutions(puisqu'on peut donner des variables libres n'importe lequel valeurs)

Chaque la solution particulière doit satisfaire à tout le mondeéquation du système. C'est la base d'une vérification « rapide » de l'exactitude de la solution. Prenons, par exemple, une solution particulière et remplacez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :

Tout doit être réuni. Et quelle que soit la solution particulière que vous recevez, tout devrait également être en accord.

Mais, à proprement parler, vérifier une solution particulière est parfois trompeur, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, mais la solution générale elle-même est en réalité trouvée de manière incorrecte.

Par conséquent, la vérification de la solution générale est plus approfondie et plus fiable. Comment vérifier la solution générale résultante ?

Ce n'est pas difficile, mais assez fastidieux. Nous devons prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et remplacez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

À gauche de la première équation du système :

À gauche de la deuxième équation du système :


Le côté droit de l’équation originale est obtenu.

Exemple 4

Résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne. Trouvez la solution générale et deux solutions particulières. Vérifiez la solution générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions. Qu’est-ce qui est important dans le processus de décision lui-même ? Attention, et encore attention. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Et quelques exemples supplémentaires pour renforcer le matériel

Exemple 5

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouvez deux solutions particulières et vérifiez la solution générale

Solution: Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.
(2) À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –5. À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –7.
(3) Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, on en supprime une.

C'est d'une telle beauté :

Les variables de base se trouvent donc sur les marches - les variables de base.
Il n'y a qu'une seule variable libre qui n'a pas obtenu de pas :

Inverse:
Exprimons les variables de base via une variable libre :
De la troisième équation :

Considérons la deuxième équation et substituons-y l'expression trouvée :

Considérons la première équation et substituons les expressions trouvées par :

Oui, une calculatrice qui calcule des fractions ordinaires reste pratique.

La solution générale est donc :

Encore une fois, comment ça s’est passé ? La variable libre occupe seule la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base ont également pris leur place ordinale.

Vérifions immédiatement la solution générale. Le boulot est pour les noirs, mais je l'ai déjà fait, alors attrape-le =)

Nous substituons trois héros , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi la solution générale est trouvée correctement.

Maintenant, à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. La seule variable libre ici est le chef. Pas besoin de vous creuser la tête.

Qu'il en soit alors – solution privée.
Soit alors une autre solution particulière.

Répondre:Solution générale : , solutions privées : , .

Je n'aurais pas dû me souvenir des Noirs... ...parce que toutes sortes de motivations sadiques me sont venues à l'esprit et je me suis souvenu du célèbre Photoshop dans lequel des hommes du Ku Klux Klan en robes blanches courent à travers le terrain après un footballeur noir. Je m'assois et je souris tranquillement. Tu sais à quel point c'est distrayant...

De nombreuses mathématiques sont nuisibles, voici donc un dernier exemple similaire que vous pourrez résoudre vous-même.

Exemple 6

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

J'ai déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre solution peut différer de la mienne, l'essentiel est que les solutions générales coïncident.

Probablement, beaucoup de gens ont remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, lors du déroulement inverse de la méthode gaussienne, nous devions bricoler des fractions ordinaires. En pratique, c'est effectivement le cas ; les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Soyez prêt mentalement et, surtout, techniquement.

Je m'attarderai sur certaines fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus.

La solution générale du système peut parfois inclure une ou plusieurs constantes, par exemple : . Ici l'une des variables de base est égale à un nombre constant : . Il n’y a rien d’exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est supérieur au nombre de variables. La méthode gaussienne fonctionne dans les conditions les plus sévères ; il faut calmement réduire la matrice étendue du système à une forme pas à pas en utilisant un algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir une infinité de solutions et, curieusement, peut avoir une seule solution.