Estimation du maximum de vraisemblance. Estimation ponctuelle des paramètres de distribution

Essence de la tâche estimation ponctuelle paramètres

ESTIMATION POINTE DES PARAMÈTRES DE DISTRIBUTION

Estimation ponctuelle implique de trouver le seul valeur numérique, qui est prise comme valeur du paramètre. Il est conseillé de déterminer une telle évaluation dans les cas où le volume de DE est suffisamment important. De plus, il n'existe pas de notion unique de volume suffisant de DE ; sa valeur dépend du type de paramètre évalué (il faudra revenir sur cette question lors de l'étude des méthodes). estimation d'intervalle paramètres, et au préalable nous considérerons un échantillon suffisant contenant au moins 10 valeurs). Lorsque le volume de DE est faible, les estimations ponctuelles peuvent différer considérablement des valeurs réelles des paramètres, ce qui les rend impropres à leur utilisation.

Problème d'estimation des paramètres ponctuels V version standard la production est la suivante.

Disponible : échantillon d'observations ( x 1 , x 2 , …, x n) derrière une variable aléatoire X. Taille de l'échantillon n fixé

La forme connue de la loi de distribution de la quantité X, par exemple, sous forme de densité de distribution f(Θ ,x), Où Θ – inconnu (dans cas général vecteur) paramètre de distribution. Le paramètre est une valeur non aléatoire.

Il faut trouver un devis Θ* paramètre Θ loi de distribution.

Limites : L'échantillon est représentatif.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre le problème de l'estimation des paramètres ponctuels, les plus courantes étant les méthodes du maximum de vraisemblance, des moments et des quantiles.

La méthode a été proposée par R. Fisher en 1912. La méthode est basée sur l'étude de la probabilité d'obtenir un échantillon d'observations (x 1 , x 2, …, xn). Cette probabilité est égale à

f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) … f(x n, Θ) dx 1 dx 2 … dx n.

Densité de probabilité conjointe

L(x 1, x 2 ..., x n; Θ) = f(x 1, Θ) f(x 2, Θ) ... f(x n, Θ),(2.7)

considéré en fonction du paramètre Θ , appelé fonction de vraisemblance .

En guise d'évaluation Θ* paramètre Θ il faut prendre la valeur qui rend la fonction de vraisemblance maximale. Pour trouver l'estimation, il faut remplacer dans la fonction de vraisemblance T sur q et résoudre l'équation

dL/jΘ* = 0.

Pour simplifier les calculs, on passe de la fonction de vraisemblance à son logarithme ln L. Cette transformation est autorisée puisque la fonction de vraisemblance est fonction positive, et il atteint un maximum au même point que son logarithme. Si le paramètre de distribution quantité de vecteur

Θ* =(q 1, q 2, …, qn),

puis les estimations probabilité maximale trouvé à partir du système d'équations

ré ln L(q 1, q 2, …, q n) /ré q 1 = 0;

ré ln L(q 1, q 2, …, q n) /ré q 2 = 0;

. . . . . . . . .

ré ln L(q 1, q 2, …, q n) /ré q n = 0.

Pour vérifier que le point optimal correspond au maximum de la fonction de vraisemblance, il faut trouver la dérivée seconde de cette fonction. Et si la dérivée seconde au point optimal est négative, alors les valeurs des paramètres trouvés maximisent la fonction.

Ainsi, trouver des estimations du maximum de vraisemblance comprend les étapes suivantes : construire la fonction de vraisemblance (son logarithme naturel) ; différenciation d'une fonction selon les paramètres requis et compilation d'un système d'équations ; résoudre un système d'équations pour trouver des estimations ; déterminer la dérivée seconde d'une fonction, vérifier son signe au point optimal de la dérivée première et tirer des conclusions.

Solution. Fonction de vraisemblance pour un échantillon ED de volume n

Fonction de vraisemblance du journal

Système d'équations pour trouver des estimations de paramètres

De la première équation il résulte :

ou enfin

Ainsi, la moyenne arithmétique est l’estimation du maximum de vraisemblance pour l’espérance mathématique.

A partir de la deuxième équation, nous pouvons trouver

La variance empirique est biaisée. Après avoir supprimé le décalage

Valeurs réelles estimations des paramètres : m =27,51, s 2 = 0,91.

Pour vérifier que les estimations obtenues maximisent la valeur de la fonction de vraisemblance, on prend les dérivées secondes

Dérivées secondes de la fonction ln( L(m,S)) quelles que soient les valeurs des paramètres inférieur à zéro Par conséquent, les valeurs des paramètres trouvées sont des estimations du maximum de vraisemblance.

La méthode du maximum de vraisemblance nous permet d'obtenir des résultats cohérents et efficaces (s'il en existe, alors la solution résultante donnera évaluations efficaces), estimations suffisantes et asymptotiquement distribuées normalement. Cette méthode peut produire des estimations biaisées et non biaisées. Le biais peut être éliminé en introduisant des corrections. La méthode est particulièrement utile avec de petits échantillons.

variable aléatoire continue avec densité Le type de densité est connu, mais les valeurs des paramètres sont inconnues. La fonction de vraisemblance est une fonction (ici - un échantillon de volume n à partir de la distribution de la variable aléatoire £). Il est facile de voir que la fonction de vraisemblance peut avoir un sens probabiliste, à savoir : considérons un vecteur aléatoire dont les composantes sont indépendamment, dans l'agrégat, des variables aléatoires identiquement distribuées avec la loi D(z). Alors l’élément de probabilité du vecteur E a la forme c’est-à-dire La fonction de vraisemblance est associée à la probabilité d'obtenir un échantillon fixe dans une séquence d'expériences P. L'idée principale de la méthode de vraisemblance est que, comme estimations des paramètres A, il est proposé de prendre de telles valeurs (3) qui fournissent un maximum de fonction de vraisemblance pour un échantillon fixe donné, c'est-à-dire qu'il est proposé de considérer l'échantillon obtenu dans l'expérience comme le plus probable. Trouver des estimations des paramètres pj se réduit à résoudre un système de k équations (k est le nombre de paramètres inconnus) : Puisque la fonction log L a un maximum au même point que la fonction de vraisemblance, le système d'équations de vraisemblance (19) est souvent écrit sous la forme Comme estimations de paramètres inconnus Il faut prendre des solutions du système (19) ou (20) qui dépendent réellement de l'échantillon et ne sont pas constantes. Dans le cas où £ est discret avec une série de distribution, la fonction de vraisemblance est appelée fonction et les estimations sont recherchées comme solutions du système. Méthode du maximum de vraisemblance ou équivalente. On peut montrer que les estimations du maximum de vraisemblance ont la propriété de cohérence. Il convient de noter que la méthode du maximum de vraisemblance conduit à plus calculs complexes que la méthode des moments, mais elle est théoriquement plus efficace, car les estimations du maximum de vraisemblance s'écartent moins des valeurs réelles des paramètres estimés que les estimations obtenues par la méthode des moments. Pour les distributions les plus fréquemment rencontrées dans les applications, les estimations de paramètres obtenues par la méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance coïncident dans la plupart des cas. Prshir 1. L'écart (de la taille de la pièce par rapport à la valeur nominale est une variable aléatoire normalement distribuée. Il est nécessaire de déterminer l'erreur systématique et la variance de l'écart par rapport à l'échantillon. M Par condition (est une variable aléatoire normalement distribuée avec espérance mathématique (erreur systématique) et variance à estimer à partir d'un échantillon de taille n : X\>...yXn. Dans ce cas, le système de fonction de vraisemblance (19) a la forme Ainsi, en excluant les solutions qui ne dépendent pas de Xx, nous obtenons c'est-à-dire les estimations du maximum de vraisemblance dans ce cas coïncident avec la moyenne et la variance empiriques déjà connues de nous > Exemple 2. Estimez le paramètre /i à partir de l’échantillon de variable aléatoire à distribution exponentielle. 4 La fonction de vraisemblance a la forme L'équation de vraisemblance nous conduit à une solution qui coïncide avec l'estimation du même paramètre obtenue par la méthode des moments, voir (17). ^ Exemple 3. En utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, estimez la probabilité d'apparition d'un blason si, lors de dix lancers de pièce, le blason est apparu 8 fois. -4 Soit la probabilité à estimer égale à p. Considérons variable aléatoire(avec une série de distribution. La fonction de vraisemblance (21) a la forme Méthode du maximum de vraisemblance L'équation donne comme estimation de la probabilité inconnue p la fréquence d'apparition des armoiries dans l'expérience. Conclusion de la discussion sur les méthodes de recherche estimations, nous soulignons que, même en disposant d'une très grande quantité de données expérimentales, nous ne pouvons toujours pas indiquer valeur exacte paramètre étant estimé ; de plus, comme cela a été souligné à plusieurs reprises, les estimations que nous obtenons sont proches de vraies valeurs paramètres évalués uniquement « en moyenne » ou « dans la plupart des cas ». Il est donc important problème statistique, que nous examinerons ensuite, est la tâche de déterminer l'exactitude et la fiabilité de l'évaluation que nous effectuons.

Le célèbre taxonomiste Joe Felsenstein (1978) a été le premier à proposer que les théories phylogénétiques soient évaluées sur une base non parsimologique.

recherche, mais au moyen de statistiques mathématiques. C’est ainsi qu’a été développée la méthode du maximum de vraisemblance. .

Cette méthode s'appuie sur des connaissances préalables moyens possibles l'évolution, c'est-à-dire qu'elle nécessite la création d'un modèle de changements de traits avant l'analyse. C'est pour construire ces modèles que l'on utilise les lois de la statistique.

Sous croyable la probabilité d'observer des données si un certain modèle d'événements est accepté est comprise. Divers modèles peut rendre les données observées plus ou moins probables. Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie et n’obtenez face qu’une fois sur cent, vous pouvez alors supposer que la pièce est défectueuse. Si vous acceptez ce modèle, la probabilité du résultat obtenu sera assez élevée. Si vous partez du modèle selon lequel la pièce est défectueuse, vous pourriez vous attendre à voir des faces dans cinquante cas au lieu d'un. Obtenir une seule face sur 100 lancers d’une mauvaise pièce est statistiquement improbable. En d’autres termes, la probabilité d’obtenir un résultat d’une face sur cent pile est très faible dans le modèle d’une pièce non défectueuse.

La crédibilité est quantité mathématique. Il est généralement calculé à l'aide de la formule :

où Pr(D|H) est la probabilité d'obtenir les données D si l'hypothèse H est acceptée . La barre verticale dans la formule indique « pour un donné ». Puisque L s’avère souvent être une petite valeur, les études utilisent généralement logarithme népérien crédibilité.

Il est important de faire la distinction entre la probabilité d’obtenir des données observées et la probabilité que le modèle d’événements accepté soit correct. La vraisemblance des données ne dit rien sur la vraisemblance du modèle lui-même. Le philosophe-biologiste E. Sober a utilisé exemple suivant afin de clarifier cette distinction. Imaginez que vous entendez un bruit fort dans la pièce au-dessus de vous. Vous pourriez supposer que cela est dû aux gnomes qui jouent au bowling dans le grenier. Pour ce modèle, votre observation (un bruit fort au-dessus de vous) a une forte probabilité (si les nains jouaient réellement au-dessus de vous, vous l'entendrez presque certainement). Cependant, la probabilité que votre hypothèse soit vraie, c'est-à-dire que ce soient les nains qui soient à l'origine du bruit, est complètement différente. Ce n’étaient certainement pas des nains. Donc, dans ce cas, votre hypothèse fournit aux données une grande plausibilité, mais en elle-même diplôme le plus élevé peu probable.

En utilisant ce système En raisonnant, la méthode du maximum de vraisemblance permet d'évaluer statistiquement des arbres phylogénétiques obtenus à l'aide de la cladistique traditionnelle. Essentiellement, cette méthode conclut

recherche le cladogramme qui fournit la probabilité la plus élevée de l'ensemble de données disponible.

Considérons un exemple illustrant l'utilisation de la méthode du maximum de vraisemblance. Supposons que nous ayons quatre taxons pour lesquels les séquences nucléotidiques d'un certain site d'ADN ont été établies (Fig. 16).

Si le modèle suppose la possibilité de réversions, alors nous pouvons enraciner cet arbre à n'importe quel nœud. L'un des arbres racines possibles est illustré à la Fig. 17.2.

Nous ne savons pas quels nucléotides étaient présents dans le locus en question dans ancêtres communs taxons 1 à 4 (ces ancêtres correspondent aux nœuds X et Y sur le cladogramme). Pour chacun de ces nœuds, il existe quatre variantes nucléotidiques qui auraient pu y être présentes sous des formes ancestrales, ce qui donne lieu à 16 scénarios phylogénétiques menant à l'arbre 2. L'un de ces scénarios est représenté sur la Fig. 17.3.

La probabilité de ce scénario peut être déterminée par la formule :

où P A est la probabilité de présence du nucléotide A dans la racine de l'arbre, qui est égale à la fréquence moyenne du nucléotide A (dans le cas général = 0,25) ; P AG – probabilité de remplacer A par G ; P AC – probabilité de remplacer A par C ; P AT – probabilité de remplacer A par T ; les deux derniers facteurs sont la probabilité que le nucléotide T soit stocké respectivement dans les nœuds X et Y.

Un autre scénario possible, qui vous permet d'obtenir les mêmes données, est illustré à la Fig. 17.4. Puisqu’il existe 16 de ces scénarios, la probabilité de chacun d’eux peut être déterminée, et la somme de ces probabilités sera la probabilité de l’arbre illustré à la Fig. 17.2 :

Où P arbre 2 est la probabilité d'observer des données au lieu indiqué par un astérisque pour l'arbre 2.

La probabilité d'observer toutes les données dans tous les locus d'une séquence donnée est le produit des probabilités pour chaque locus i de 1 à N :

Étant donné que ces valeurs sont très petites, un autre indicateur est utilisé - le logarithme népérien de la vraisemblance lnL i pour chaque lieu i. Dans ce cas, la log-vraisemblance de l’arbre est la somme des log-vraisemblances pour chaque locus :

La valeur de l'arbre lnL est le logarithme de la probabilité d'observer des données lors du choix d'un certain modèle évolutif et d'un arbre avec ses caractéristiques

séquence de branchement et longueur de branche. Programmes informatiques, utilisé dans la méthode du maximum de vraisemblance (par exemple, le package cladistique déjà mentionné PAUP), recherchez un arbre avec indicateur maximum lnL. La différence doublée des log-vraisemblances de deux modèles 2Δ (où Δ = lnL arbre A- lnL arbreB) obéit à la loi connue distribution statistique x2. Cela vous permet d’évaluer si un modèle est fiable meilleur qu’un autre. Cela fait du maximum de vraisemblance un outil puissant pour tester des hypothèses.

Dans le cas de quatre taxons, des calculs de lnL sont nécessaires pour 15 arbres. À grand nombre Il s'avère impossible d'évaluer tous les arbres pour les taxons, c'est pourquoi des méthodes heuristiques sont utilisées pour la recherche (voir ci-dessus).

Dans l'exemple considéré, nous avons utilisé les valeurs des probabilités de remplacement (substitution) de nucléotides en cours d'évolution. Le calcul de ces probabilités est en soi une tâche statistique. Afin de reconstruire l'arbre évolutif, nous devons faire certaines hypothèses sur le processus de substitution et exprimer ces hypothèses sous la forme d'un modèle.

Dans le modèle le plus simple, les probabilités de remplacer un nucléotide par un autre nucléotide sont considérées comme égales. Ce modèle simple n'a qu'un seul paramètre - le taux de substitution et est connu sous le nom de modèle Jukes-Cantor à un paramètre ou JC (Jukes et Cantor, 1969). Lorsque nous utilisons ce modèle, nous devons connaître la vitesse à laquelle la substitution nucléotidique se produit. Si nous savons qu'à un moment donné t= 0 dans un certain site il y a un nucléotide G, alors on peut calculer la probabilité que dans ce site après un certain temps t le nucléotide G reste, et la probabilité que ce site soit remplacé par un autre nucléotide, par exemple A Ces probabilités sont notées respectivement P(gg) et P(ga). Si le taux de substitution est égal à une certaine valeur α par unité de temps, alors

Puisque, selon le modèle à un paramètre, toutes les substitutions sont également probables, une affirmation plus générale ressemblerait à ceci :

Des modèles évolutifs plus complexes ont également été développés. Observations empiriques indiquer que certaines substitutions peuvent se produire

plus souvent que les autres. Les substitutions, à la suite desquelles une purine est remplacée par une autre purine, sont appelées transitions, et les remplacements de purine par de la pyrimidine ou de pyrimidine par de la purine sont appelés transversions. On pourrait s’attendre à ce que les transversions se produisent plus fréquemment que les transitions, puisque seulement une substitution possible sur trois pour un nucléotide est une transition. Cependant, c’est généralement le contraire qui se produit : les transitions ont tendance à se produire plus fréquemment que les transversions. Cela est particulièrement vrai pour l’ADN mitochondrial.

Une autre raison pour laquelle certaines substitutions de nucléotides se produisent plus fréquemment que d’autres est due à des rapports de bases inégaux. Par exemple, l’ADN mitochondrial des insectes est plus riche en adénine et en thymine que celui des vertébrés. Si certains motifs sont plus courants, on peut s’attendre à ce que certaines substitutions se produisent plus fréquemment que d’autres. Par exemple, si une séquence contient très peu de guanine, il est peu probable qu’une substitution de ce nucléotide se produise.

Les modèles diffèrent en ce que dans certains un ou plusieurs paramètres (par exemple, le rapport des bases, le taux de substitution) restent fixes et varient dans d'autres. Il existe des dizaines de modèles évolutifs. Nous présentons ci-dessous les plus célèbres d’entre eux.

Déjà mentionné Modèle Jukes-Cantor (JC) caractérisé par le fait que les fréquences de base sont les mêmes : π A = πC = πG = πT , les transversions et les transitions ont les mêmes taux α=β, et toutes les substitutions sont également probables.

Modèle Kimura à deux paramètres (K2P) suppose fréquences égales bases π A =π C =π G =π T , et les transversions et transitions ont différentes vitesses α≠β.

Modèle Felsenstein (F81) suppose que les fréquences de base sont différentes π A ≠π C ≠π G ≠π T , et les taux de substitution sont les mêmes α=β.

Modèle général réversible (REV) suppose différentes fréquences de base π A ≠π C ≠π G ≠π T , et les six paires de substitutions ont des vitesses différentes.

Les modèles mentionnés ci-dessus supposent que les taux de substitution sont les mêmes sur tous les sites. Cependant, le modèle peut également prendre en compte les différences dans les taux de substitution selon les sites. Les valeurs des fréquences de base et des taux de substitution peuvent soit être attribuées a priori, soit ces valeurs peuvent être obtenues à partir des données en utilisant programmes spéciaux, par exemple PAUP.

Analyse bayésienne

La méthode du maximum de vraisemblance estime la vraisemblance des modèles phylogénétiques après qu'ils ont été générés à partir des données disponibles. Cependant, la connaissance modèles généraux l'évolution d'un groupe donné permet de créer une série des modèles de phylogénie les plus probables sans utiliser de données de base (par exemple, des séquences nucléotidiques). Une fois ces données obtenues, il est possible d’évaluer leur adéquation avec les modèles pré-construits, et de reconsidérer la vraisemblance de ces modèles initiaux. La méthode qui permet de faire cela s'appelle Analyse bayésienne , et constitue la plus récente des méthodes d’étude de la phylogénie (voir. examen détaillé: Hülsenbeck et coll., 2001).

Selon la terminologie standard, les probabilités initiales sont généralement appelées probabilités antérieures (puisqu'elles sont acceptées avant la réception des données) et les probabilités révisées sont a posteriori (puisqu'ils sont calculés après la réception des données).

Base mathématique L'analyse bayésienne est le théorème de Bayes, dans lequel probabilité a priori arbre Pr[ Arbre] et vraisemblance Pr[ Données|Arbre] sont utilisés pour calculer la probabilité a posteriori de l'arbre Pr[ Arbre|Données]:

La probabilité a posteriori d’un arbre peut être considérée comme la probabilité que l’arbre reflète le véritable cours de l’évolution. L'arbre avec la probabilité a posteriori la plus élevée est sélectionné comme modèle de phylogénie le plus probable. La distribution de probabilité a posteriori des arbres est calculée à l'aide de méthodes de modélisation informatique.

Le maximum de vraisemblance et l'analyse bayésienne nécessitent des modèles évolutifs qui décrivent les changements de traits. Création modèles mathématiques l'évolution morphologique n'est actuellement pas possible. Pour cette raison, les méthodes statistiques d’analyse phylogénétique s’appliquent uniquement aux données moléculaires.

Et d'autres).

L’estimation du maximum de vraisemblance est populaire méthode statistique, qui est utilisé pour créer un modèle statistique à partir de données et fournir des estimations des paramètres du modèle.

Correspond à de nombreuses méthodes d'estimation bien connues dans le domaine des statistiques. Par exemple, disons que vous vous intéressez à la croissance de la population ukrainienne. Supposons que vous disposiez de données de taille pour un certain nombre de personnes plutôt que pour l'ensemble de la population. De plus, la croissance est considérée comme normale quantité distribuée avec une variance et une moyenne inconnues. La moyenne et la variance de la croissance de l’échantillon sont très probablement celles de l’ensemble de la population.

Pour un ensemble de données fixes et basiques modèle probabiliste, en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, nous obtiendrons les valeurs des paramètres du modèle qui rendent les données « plus proches » des données réelles. L'estimation du maximum de vraisemblance offre un moyen unique et simple de déterminer des solutions dans le cas d'une distribution normale.

La méthode d’estimation du maximum de vraisemblance est utilisée pour large gamme modèles statistiques, notamment :

modèles linéaires et modèles linéaires généralisés ;
analyse factorielle;
modélisation d'équations structurelles ;
de nombreuses situations, dans le cadre de tests d'hypothèses et intervalle de confiance formation;
modèles à choix discrets.

L'essence de la méthode

appelé estimation du maximum de vraisemblance paramètre Ainsi, un estimateur du maximum de vraisemblance est un estimateur qui maximise la fonction de vraisemblance étant donné une réalisation d'échantillon fixe.

Souvent, la fonction log-vraisemblance est utilisée à la place de la fonction de vraisemblance. Puisque la fonction augmente de manière monotone sur tout le domaine de définition, le maximum de toute fonction est le maximum de la fonction, et vice versa. Ainsi

Si la fonction de vraisemblance est différentiable, alors condition nécessaire extremum - égalité à zéro de son gradient :

État suffisant extremum peut être formulé comme le caractère défini négatif du Hessien - la matrice des dérivées secondes :

Important Pour évaluer les propriétés des estimations de la méthode du maximum de vraisemblance, on utilise ce qu'on appelle la matrice d'information, égale par définition :

Au point optimal, la matrice d'information coïncide avec l'espérance mathématique du Hessien, prise avec un signe moins :

Propriétés

En général, les estimations du maximum de vraisemblance peuvent être biaisées (voir exemples), mais elles sont cohérentes. asymptotiquement efficace et asymptotiquement normal estimations. La normalité asymptotique signifie que

où est la matrice d'informations asymptotique

L'efficacité asymptotique signifie que la matrice de covariance asymptotique est une limite inférieure pour tous les estimateurs asymptotiquement normaux cohérents.

Exemples

La dernière égalité peut être réécrite comme suit :

où , d'où on peut voir que la fonction de vraisemblance atteint son maximum au point . Ainsi

. .

Pour trouver son maximum, on assimile les dérivées partielles à zéro :

- la moyenne de l'échantillon, et - la variance de l'échantillon.

Méthode du maximum de vraisemblance conditionnelle

Maximum de vraisemblance conditionnelle (ML conditionnelle) utilisé dans les modèles de régression. L'essence de la méthode est qu'elle est incomplète distribution conjointe toutes les variables (dépendantes et régresseurs), mais seulement conditionnel distribution de la variable dépendante entre les facteurs, c'est-à-dire, en fait, la distribution erreurs aléatoires modèle de régression. Fonction complète la vraisemblance est le produit " fonction conditionnelle vraisemblance » et la densité de la distribution des facteurs. Le MMP conditionnel est équivalent version complète MMP dans le cas où la répartition des facteurs ne dépend en aucune façon des paramètres estimés. Cette condition est souvent violée dans les modèles de séries chronologiques, tels que le modèle autorégressif. DANS dans ce cas, les régresseurs sont les valeurs passées de la variable dépendante, ce qui signifie que leurs valeurs obéissent également au même modèle AR, c'est-à-dire que la distribution des régresseurs dépend des paramètres estimés. Dans de tels cas, les résultats de l’application du conditionnel et méthode complète les probabilités maximales seront différentes.

Voir aussi

Remarques

Littérature

Magnus Y.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A.Économétrie. Cours débutant. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN978-5-7749-0473-0

Fondation Wikimédia.

2010.

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- Un dispositif de calcul d'une estimation de la séquence de symboles la plus probable qui maximise la fonction de vraisemblance du signal reçu. [L.M. Nevdiaev. Technologies des télécommunications. Ouvrage de référence du dictionnaire explicatif anglais-russe. Edité par Yu.M... méthode du maximum de vraisemblance - méthode du maximum de vraisemblance - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Sujets en général Synonymes méthode du maximum de vraisemblance EN méthode du maximum de vraisemblance ... annuaire. Edité par Yu.M...

méthode du maximum de vraisemblance - Méthode générale calcul des estimations de paramètres. On recherche des estimations qui maximisent la fonction de vraisemblance de l'échantillon, égal au produit valeurs de la fonction de distribution pour chaque valeur de données observée. La méthode du maximum de vraisemblance est meilleure... Dictionnaire de statistiques sociologiques