Soit un champ vectoriel continu a) k et un contour orienté fermé L dans un domaine G. Définition 1. La circulation d'un vecteur a le long d'un contour fermé L est appelée intégrale curviligne 2ème espèce à partir du vecteur a le long du contour L. Ici dr est un vecteur dont la longueur est égale à la différentielle de l'arc L, et la direction coïncide avec la direction de la tangente à L, op-Fig. 31 déterminé par l'orientation du contour (Fig. 31) ; le symbole f signifie que l'intégrale est prise le long du contour alternatif L. b Exemple 1. calculer la circulation champ vectoriel le long de l'ellipse L : Par définition de la circulation on a Équations paramétriques de cette ellipse ont la forme : , et, donc, . En substituant ces expressions dans la formule (2), nous trouvons la circulation du champ vectoriel. Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ vectoriel Définition invariante d'un rotor d'un champ Signification physique rotor de champ Règles de calcul du rotor 8.1. Rotor (vortex) d'un champ de vecteurs Considérons le champ d'un vecteur dont P, Q, R sont continus et ont des dérivées partielles continues du premier ordre par rapport à tous leurs arguments. Définition 2. Le rotor du vecteur "(M) est un vecteur désigné par le symbole rot a et défini par l'égalité ou, sous une forme symbolique et facile à retenir, Ce déterminant est développé par les éléments de la première rangée , tandis que les opérations de multiplication des éléments de la deuxième ligne par les éléments de la troisième ligne sont comprises comme des opérations de différenciation, par exemple, Définition 3. Si dans un domaine G nous avons rot a = 0, alors le champ du vecteur a dans le domaine G est appelé irrotationnel. Exemple 2. Trouver le rotor du vecteur 4 D'après la formule (3) nous avons Puisque rot a est un vecteur, nous pouvons considérer un champ de vecteurs - le champ du rotor du vecteur a. En supposant que les coordonnées du vecteur a ont des dérivées partielles continues du second ordre, on calcule la divergence du vecteur rot a. On obtient ainsi que le champ du vecteur rota est solénoïdal. Théorème 7 (Stokes). La circulation du vecteur a le long d'un contour fermé orienté L est égale au flux rotorique de ce vecteur à travers toute surface E couverte par le contour L. On suppose que les coordonnées du vecteur a ont des dérivées partielles continues dans une région G de espace contenant la surface E, et que l'orientation du vecteur unitaire de la normale n° à la surface EC G est coordonnée avec l'orientation du contour L de sorte qu'à partir de la fin de la norme, le circuit autour du contour dans un temps donné la direction semble se dérouler dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Considérant cela, et en utilisant la définition d'un rotor (3), nous réécrivons la formule (4) sous la forme suivante : Considérons d'abord le cas où une surface lisse E et son contour L sont projetés de manière unique sur la région D du xOy. plan et sa limite - contour A, respectivement (Fig. 32). L'orientation du contour L donne lieu à une certaine orientation du contour A. Pour plus de précision, nous supposerons que le contour L est orienté de telle sorte que la surface E reste à gauche, de sorte que le vecteur normal n à la surface E est l'axe Oz angle vif 7 (cos 7 >0). Soit l'équation de la surface E et la fonction φ(x)y) continues et ayant des dérivées partielles continues gf et ^ in zone fermée D. Considérons que la droite intégrale L se trouve sur la surface E. Par conséquent, en utilisant l'équation de cette surface, nous pouvons remplacer r sous le signe intégral par ^(x, y). Les coordonnées du point variable de la courbe A sont égales aux coordonnées du point correspondant sur la courbe L, et donc l'intégration sur L peut être remplacée par l'intégration sur A. Appliquons la formule de Green à l'intégrale de droite. On passe maintenant de l'intégrale sur la région D à l'intégrale sur la surface E. Puisque dS = cos 7 da, alors de la formule (8) on obtient que le vecteur normal n° à la surface E est déterminé par l'expression k. À partir de là, cela est clair. Par conséquent, l'égalité (9) peut être réécrite comme suit : Considérant E une surface lisse qui se projette de manière unique sur les trois plans de coordonnées, nous sommes également convaincus de la validité des formules Circulation d'un champ vectoriel. Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ de vecteurs Définition invariante d'un rotor d'un champ Signification physique d'un rotor d'un champ Règles de calcul du rotor En additionnant les égalités terme par terme, on obtient la formule de Stokes ( 5), ou, en bref, Remarque 1. Nous avons montré que le champ du vecteur rote est solénoïdal, et donc le flux du vecteur rote ne dépend pas du type de surface E parcourue par le contour L. Remarque 2 La formule (4) a été dérivée en supposant que la surface £ est projetée de manière unique sur les trois plans de coordonnées. Si cette condition n'est pas remplie, alors on divise £ en parties de sorte que chaque partie condition spécifiée satisfait, puis nous utilisons l’additivité des intégrales. Exemple 3. Calculer la circulation d'un vecteur le long d'une ligne 1) en utilisant la définition ; 2) selon le théorème de Stokes. 4 1) Définissons paramétriquement la ligne L : Alors 2) Trouver rota : Étirons un morceau de plan sur le contour L Ensuite. Définition invariante du rotor de champ A partir du théorème de Stokes, on peut obtenir une définition invariante du rotor de champ, sans rapport avec le choix du système de coordonnées. Théorème 8. La projection du rotor a dans n'importe quelle direction ne dépend pas du choix du système de coordonnées et est égale à densité superficielle circulation du vecteur a le long du contour de la plateforme, perpendiculairement à cette direction, Ici (E) est une plateforme plane, perpendiculaire au vecteur je; 5 - superficie de ce site ; L - le contour du site, orienté de manière à ce que le circuit de contournement soit visible depuis l'extrémité du vecteur n dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; (E) M signifie que la zone (E) se contracte jusqu'au point M, auquel le vecteur rot a est considéré, et le vecteur normal n à cette zone reste tout le temps le même (Fig. 33). 4 Appliquons d'abord le théorème de Stokes à la circulation (a,dr) du vecteur a, puis à la résultante double intégrale- le théorème des valeurs moyennes : où (le produit scalaire est pris en un point milieu Mf du site (E)). Comme l'aire (E) attire vers le point M, le point moyen A/c tend également vers le point M et, en raison de la continuité supposée des dérivées partielles des coordonnées du vecteur a (et donc de la continuité de la pourriture a), nous obtenir Puisque la projection du vecteur rot a dans une direction arbitraire ne dépend pas du choix du système de coordonnées, alors le vecteur rota lui-même est invariant par rapport à ce choix. De là on obtient la définition invariante suivante du rotor de champ : le rotor de champ est un vecteur dont la longueur est égale à la plus grande densité de circulation superficielle en un point donné, dirigée perpendiculairement à la zone sur laquelle ce rotor densité la plus élevée la circulation est réalisée ; dans ce cas, l'orientation du vecteur rota est cohérente avec l'orientation du contour pour lequel la circulation est positive, selon la règle de la vis droite. 8.3. La signification physique d'un rotor de champ Laissez un corps rigide tourner autour axe fixe Je avec une vitesse angulaire et. Sans perte de généralité, on peut supposer que l'axe I coïncide avec l'axe Oz (Fig. 34). Soit M(g) le point du corps étudié, où le vecteur vitesse angulaire dans notre cas est égal à = wk, calculons le vecteur v de la vitesse linéaire du point M. D'où la circulation du champ vectoriel . Rotor d'un vecteur Théorème de Stokes Rotor (vortex) d'un champ vectoriel Définition invariante d'un rotor d'un champ Signification physique d'un rotor d'un champ Règles de calcul du rotor Ainsi, le vortex d'un champ de vitesse de rotation solide est la même en tous points du champ, parallèle à l'axe de rotation et égale à deux fois la vitesse angulaire de rotation. 8.4. Règles de calcul du rotor 1. Rotor vecteur constant c est égal au vecteur zéro, 2. Le rotor a la propriété de linéarité des nombres constants. 3. Rotor de produit fonction scalaire u(M) au vecteur a(M) est calculé par la formule

Soit le champ un champ différentiable (c'est-à-dire que les projections du vecteur champ sur les axes de coordonnées sont des fonctions différentiables).

Définition. Champ vectoriel vortex (indiqué par pourriture ) est un vecteur dont la projection sur un vecteur arbitraire
est définie comme la limite du taux de circulation du champ le long d'un contour ( L), contenant un point M, et situé dans un plan perpendiculaire au vecteur
, à la superficie de la région délimitée par ce contour, à condition que ce contour se contracte jusqu'à un point M, et la superficie de la région ( S) tend vers zéro :

. (1.13)

Dans un espace tridimensionnel
via des coordonnées vectorielles rectangulaires cartésiennes
s'exprime ainsi :

ou sous une forme symbolique facile à retenir

. (1.15)

Théorème de Stokes. Soit les coordonnées du vecteur+

sont continues et ont des dérivées partielles continues. Puis la circulation du champ vectoriel le long d'une boucle fermée ( L) est égal au flux de tourbillons de champ à travers une surface arbitraire ( S), tendu sur ce contour :

. (1.16)

On suppose que l'orientation du contour ( L) et les surfaces ( S) sont cohérents : avec un parcours positif du contour, la normale est dirigée des « jambes vers la tête ».

Propriétés du rotor : 1) ;

Définition. 2) . Champ vectoriel est appelé irrotationnel dans cette région ( V

), Si. Exemple 1.
.

Trouver le rotor du vecteur de champ de l'intensité du champ magnétique
Solution.Vecteur

sous forme de coordonnées :

. Calculons le rotor à l'aide de la formule (1.15) :
Champ de tension

- champ irrotationnel. Exemple 2.
Calculer la circulation vectorielle
le long du contour

1) directement, 2) par le théorème de Stokes. R. L décision. 1)Contours (
) – rayon du cercle , allongé dans l'avion z
=3 (voir Fig. 5). Choisissons l'orientation, comme indiqué sur la figure. Équations de droites paramétriques
, Donc ,. Pour la circulation vectorielle S nous avons:. 2) Pour calculer la circulation à l'aide du théorème de Stokes, on choisit une surface ( L), tendu sur le contour ( S).Naturellement comme ( L) tracez un cercle avec une ligne ( ) sa frontière. Selon l'orientation choisie du contour normal
au cercle il faut prendre égal
. Calculons le rotor :
.

.

Par le théorème de Stokes

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Problèmes à résoudre de manière autonome

6.
; 7.
Trouver des lignes vectorielles de champs vectoriels plats :
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, Rechercher des lignes vectorielles :
- , Où

Où

14.
,
;15.
,
.

vecteurs constants.

16.
, (S Trouver des lignes vectorielles passant par un point donné :
,
.

17.
, (S Calculez le flux d'un champ vectoriel à l'aide d'une intégrale de surface du premier type :
) : le côté supérieur d'un triangle délimité par des plans
;

18.
,
) : face externe du paraboloïde
, limité par l'avion
;

19.
, (S: surface latérale d'un cylindre circulaire
, limité par les avions

20.
, (S) : face externe d'une partie d'un paraboloïde
) : le côté supérieur d'un triangle délimité par des plans
;

21. , (S, situé dans le premier octant ;
) : surface totale du cône , allongé dans l'avion= 0;

22.
, (S) : surface fermée délimitée par un paraboloïde
,
,
,
;

23.
, (S et avion
.

) : la surface complète d'une pyramide délimitée par des plans

24.
, (S) : sphère
Calculez le débit en utilisant la méthode de projection sur les trois plans de coordonnées.

25.
, (S) : la face supérieure d'un cercle découpé en cône

26. , (S en surface
) : le côté supérieur d'un triangle obtenu en coupant un plan avec des plans de coordonnées ;
) : partie de l'avion .

, délimité par un cercle

27.
, (S, dans la direction du vecteur

28.
, (S Déterminez le flux de champ à l'aide de la formule de Gauss-Ostrogradsky :
,
,
;

29.
, (S et avion
;

30.
, (S) : une surface fermée arbitrairement lisse par morceaux ;
) : surface d'un cube
) : partie d'un paraboloïde , coupé par l'avion; V côté négatif;

31.
, (S axes
,
,
,

;

32. , (S axes
,
;

33. , (S):;

Trouver l'intégrale linéaire d'un vecteur sur le plan :

36.
moitié supérieure de l'ellipse
du point UN(un,0), au point B(-un,0);

37. a) segment droit O.B.; b) arc de parabole
; c) arc de parabole
; d) ligne brisée OAB UN, Où (1,0); d) ligne brisée Trouver des lignes vectorielles de champs vectoriels plats : OCB(0,1);

39. C

du point (-1, 1) au point (2, 2).

41.
,
Calculer l'intégrale de ligne :

44. segment de droite du point (1,1,1) au point (4,4,4) ;

45. un segment de droite allant du point (0,0,0) au point (1,1,1).
Compte tenu de la tension champ de force. Trouver le travail du champ lorsque la masse se déplace m

,
le long d'un tour de l'hélice
du point B(exactement t

46. =2);
Le champ de force est formé par une force égale en ampleur à la distance entre l'origine des coordonnées et le point de son application et dirigée vers l'origine des coordonnées. Trouver le travail effectué par le champ pour déplacer une unité de masse le long de l'arc d'une parabole
de l'abscisse
.

jusqu'au point d'abscisse

47. Dans les problèmes 47 à 51, trouvez le champ circulation :

48.
dans un sens négatif ; côté négatif ligne fermée formée de segments d'axes de coordonnées Et Oy
,
et autres astéroïdes

51. , situé dans le premier quadrant ;
ligne d'intersection du paraboloïde

52. avec des plans de coordonnées (dans le premier octant) ;
Un corps rigide tourne à une vitesse angulaire constante autour de l'axe Oz . Calculer la circulation du champ de vitesse linéaire le long d'un cercle de rayon R.

53. , dont le centre se situe sur l'axe de rotation si le plan du cercle est perpendiculaire à l'axe de rotation (la circulation est considérée dans le sens de rotation).
Trouver un domaine d'emploi lors du déplacement d'un point d'unité de masse le long d'une ligne fermée composée de trois segments droits situés dans plans de coordonnées

, coupant des segments égaux à l'unité sur les axes de coordonnées.

54.
Trouvez la divergence des champs suivants :
. À quelle fonction

55.
;56.
- volonté? vitesse linéaire
points de fluide en rotation

57.
- vitesse angulaire); l'intensité du champ magnétique,,J.

58.
; 59.
;

60. - permanent;
Calculer

au point (1,-1,1).

64.
;

Trouvez le flux du champ vectoriel à travers les surfaces fermées indiquées : 1) directement, 2) en utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradsky dans la formulation vectorielle :

73. 74.

75. Dans les problèmes 73 et 74, calculez le rotor des champs de vecteurs indiqués : Montrer que si le vecteur coordonne
.

76. avoir des dérivées partielles continues du second ordre, alors ligne fermée formée de segments d'axes de coordonnées Montrer et si
.

77. sont des vecteurs constants, alors
.

78. sont des vecteurs constants, alors
.

79. Montrer ce que
Montrer qu'un champ vectoriel

80. est irrotationnel. Montrer que le rotor du champ de vitesse linéaire
.

81. points d'un corps rigide en rotation est un vecteur constant dirigé parallèlement à l'axe de rotation, dont la grandeur est égale à deux fois la vitesse angulaire de rotation :
Quelle devrait être la fonction
?

Trouver la circulation du champ le long des contours indiqués 1) directement, 2) en utilisant le théorème de Stokes dans la formulation vectorielle :

84.
le long du contour formé par l'intersection du plan
avec des plans de coordonnées ;

15.2. Cas particuliers des champs de vecteurs. Opérations de second ordre

15.2.1. Champ de vecteurs potentiels

Définition. 2) . est appelé un champ de potentiel s'il existe une fonction scalaire
, dont le gradient forme ce champ :

. (2.1)

Fonction toi appelé potentiel de champ vectoriel .

Théorème. Pour qu’un champ soit potentiel, il faut et il suffit qu’il soit irrotationnel :

. (2.2)

La formule (2.2) est un critère de potentialité d'un champ vectoriel .

Propriétés des champs potentiels.

1) dans la région de continuité du potentiel de champ toi l'intégrale linéaire ne dépend pas du chemin d'intégration et est égale à l'incrément potentiel

2) circulation (1.9) du vecteur le long de tout contour fermé se trouvant entièrement dans la région de continuité de champ est égal à zéro :

. (2.4)

3) potentiel
se trouve selon la formule (2.3) :

, (2.5)

Où ( SUIS.) – une courbe arbitraire sous-tendant les points UN Et M. Si chemin ( SUIS.) prise sous la forme d'une ligne brisée constituée de segments parallèles aux axes de coordonnées (le nombre de ces lignes brisées est de six), alors pour trouver le potentiel, l'une des formules exprimant le potentiel peut être utilisée
via des intégrales définies
;
):

Exemple. Vérifiez que le champ vectoriel est potentiel et trouvez son potentiel.

Solution. Composons pour de ce domaine critère de potentialité (2.2) :

Le domaine est potentiel. Trouvons le potentiel
selon la formule (2.6) : pour point de départ pratique pour prendre le point UN(0,0,0):
.

Rotor (mathématiques)

Rotor, ou vortex est un opérateur différentiel vectoriel sur un champ vectoriel.

Désigné

(dans la littérature de langue russe) ou

(dans la littérature anglaise),

et aussi comme multiplication vectorielle de l'opérateur différentiel par un champ vectoriel :

Le résultat de l'action de cet opérateur sur un champ vectoriel spécifique F appelé rotor de champ F ou, en bref, juste rotor F et représente un nouveau champ vectoriel :

Champ de pourriture F(longueur et direction de la pourriture vectorielle F en chaque point de l'espace) caractérise en un sens la composante rotationnelle du champ F respectivement en chaque point.

Image intuitive

Si v(x,y,z) est le champ de vitesse du gaz (ou débit de liquide), alors pourrir v- un vecteur proportionnel au vecteur vitesse angulaire d'un très petit et léger grain de poussière (ou boule) situé dans l'écoulement (et entraîné par le mouvement du gaz ou du liquide ; bien que le centre de la boule puisse être fixe si on le souhaite, comme à condition qu'il puisse tourner librement autour de lui).

Spécifiquement pourrir v = 2 ω , Où ω - cette vitesse angulaire.

Pour une illustration simple de ce fait, voir ci-dessous.

Cette analogie peut être formulée de manière assez stricte (voir ci-dessous). La définition de base par circulation (donnée dans le paragraphe suivant) peut être considérée comme équivalente à celle ainsi obtenue.

Définition mathématique

La boucle d'un champ vectoriel est un vecteur dont la projection dans chaque direction n est la limite de la relation de circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour L, qui est le bord de la zone plane Δ S, perpendiculairement à cette direction, à la taille de cette zone, lorsque les dimensions de la zone tendent vers zéro, et que la zone elle-même se contracte jusqu'à un point :

La direction de parcours du contour est choisie de telle sorte que, en regardant dans la direction, le contour L marché dans le sens des aiguilles d’une montre.

En trois dimensions Système cartésien les coordonnées du rotor (tel que défini ci-dessus) sont calculées comme suit (ici F- désigne un certain champ vectoriel avec des composantes cartésiennes, et - vecteurs unitaires de coordonnées cartésiennes) :

Pour plus de commodité, nous pouvons représenter formellement le rotor comme un produit vectoriel de l'opérateur nabla (à gauche) et du champ vectoriel :

(La dernière égalité représente formellement produit vectoriel comme déterminant).

Définitions associées

Un champ vectoriel dont le rotor égal à zéroà tout moment est appelé irrotationnel et est potentiel. Puisque ces conditions sont nécessaires et suffisantes l’une pour l’autre, les deux termes sont des synonymes pratiques. (Cependant, ceci n'est vrai que pour le cas de champs définis sur un domaine simplement connecté).

Pour un peu plus de détails sur la conditionnalité mutuelle de la potentialité et la nature irrotationnelle du champ, voir ci-dessous (Propriétés de base).

Au contraire, un champ dont la courbure n'est pas égale à zéro est habituellement appelé vortex , un tel champ ne peut pas être potentiel.

Généralisation

La généralisation la plus directe du rotor appliqué aux champs vectoriels (et pseudovecteurs) définis sur des espaces de dimension arbitraire (à condition que la dimension de l'espace coïncide avec la dimension du vecteur champ) est la suivante :

avec index champ de force. Trouver le travail du champ lorsque la masse se déplace Et n de 1 à la dimension de l’espace.

Cela peut également être écrit comme un produit externe :

Dans ce cas, le rotor est un champ tensoriel antisymétrique de valence deux.

Dans le cas de la dimension 3, la convolution de ce tenseur avec le symbole de Levi-Civita donne définition habituelle rotor tridimensionnel donné dans l'article ci-dessus.

Pour un espace bidimensionnel, en outre, si vous le souhaitez, une formule similaire avec un produit pseudoscalaire peut être utilisée (un tel rotor sera un pseudoscalaire, coïncidant avec la projection du produit vectoriel traditionnel sur l'axe orthogonal aux deux dimensions données. espace dimensionnel - si l'on considère que l'espace bidimensionnel est intégré dans un espace tridimensionnel, de sorte que le produit vectoriel traditionnel a un sens).

Théorie des champs

Aussi connu sous le nom analyse vectorielle. Et pour certains, l'analyse vectorielle, connue sous le nom de théorie des champs =) Enfin, nous arrivons à ce sujet intéressant dans cette section ! mathématiques supérieures Je ne peux pas qualifier le langage de simple, cependant, dans les prochains articles, j'essaierai d'atteindre deux objectifs :

a) pour que tout le monde comprenne de quoi parle la conversation ;

b) et pour que les « nuls » apprennent à résoudre, au minimum, des choses simples - au moins au niveau des tâches qui sont proposées aux étudiants à temps partiel.

Tout le matériel sera présenté dans un style populaire, et si vous avez besoin d'un style plus strict et informations complètes, alors vous pouvez prendre, par exemple, le 3ème volume de Fichtenholtz ou regarder Wiki.

Et décryptons immédiatement le titre. En théorie, je pense que tout est clair - en meilleures traditions site, nous analyserons ses bases et nous concentrerons sur la pratique. Eh bien, à quoi associez-vous le mot « champ » ?

Terrain en herbe, terrain de football... Plus? Domaine d'activité, champ d'expérimentation. Salut les humanistes ! …Depuis cours scolaire? Champ électrique, magnétique, électromagnétique..., d'accord. Le champ gravitationnel de la Terre dans lequel nous nous trouvons. Super! Alors, qui a dit ça à propos du terrain ? valide Et nombres complexes? ...des monstres se sont rassemblés ici ! =) Heureusement algèbre déjà passé.

Dans les prochaines leçons, nous nous familiariserons avec un concept spécifique des champs, exemples concrets de la vie, et aussi apprendre à résoudre tâches thématiques analyse vectorielle. La théorie des champs est mieux étudiée, comme vous le devinez correctement, dans un champ - la nature, où il y a une forêt, une rivière, un lac, une maison de village, et j'invite chacun à s'immerger, sinon dans la chaude réalité estivale, alors dans Bon souvenirs:

Les domaines au sens considéré aujourd'hui sont scalaire Et vecteur, et nous commencerons par leurs « éléments de base ».

Premièrement, scalaire. Très souvent, ce terme est identifié à tort avec nombre. Non, les choses sont un peu différentes : scalaire est une quantité dont chaque valeur peut être exprimée juste un numéro. Il existe de nombreux exemples en physique : longueur, largeur, aire, volume, densité, température, etc. Tout cela Quantités scalaires. Et d’ailleurs, la masse est aussi un exemple.

Deuxièmement, vecteur. Définition algébrique vecteur que j'ai abordé dans la leçon sur transformations linéaires et une de ses incarnations privées C'est tout simplement impossible de ne pas savoir=) Typique vecteur s'exprime deux ou plus Nombres(avec vos coordonnées). Et même pour un vecteur unidimensionnel un seul numéro pas assez– parce que le vecteur a aussi une direction. Et le point d'application si le vecteur pas célibataire. Les vecteurs caractérisent les champs de force physique, la vitesse et bien d’autres grandeurs.

Eh bien, vous pouvez maintenant commencer à récolter des concombres en aluminium :

Champ scalaire

Si chaque quelque point zones de l'espace conforme un certain nombre(plus souvent réel), alors ils disent que dans ce domaine il est donné champ scalaire.

Prenons par exemple une perpendiculaire émanant de la terre. Rayon. Mettez une pelle pour plus de clarté =) Quoi champs scalaires puis-je demander sur cette poutre ? La première chose qui me vient à l'esprit est champ de hauteur– lorsque chaque point du faisceau se voit attribuer sa hauteur au-dessus du niveau du sol. Ou, par exemple, champ pression atmosphérique – ici à chaque point du rayon correspond valeur numérique pression atmosphérique en un point donné.

Approchons-nous maintenant du lac et dessinons mentalement un avion au-dessus de sa surface. Si chaque point du fragment « eau » du plan est associé à la profondeur du lac, alors, s'il vous plaît, le champ scalaire est donné. A ces mêmes points, vous pouvez considérer d'autres grandeurs scalaires, par exemple la température de la surface de l'eau.

La propriété la plus importante champ scalaire est son invariance par rapport au système de coordonnées. Si traduit en langage humain, alors peu importe de quel côté nous regardons la pelle/le lac - un champ scalaire (hauteur, profondeur, température, etc.) cela ne changera pas. De plus, le champ scalaire, par exemple la profondeur, peut être défini sur une autre surface, par exemple sur une surface appropriée. hémisphère, ou directement sur le surface de l'eau. Pourquoi pas? N'est-il pas possible d'attribuer un numéro à chaque point de l'hémisphère situé au-dessus du lac ? J'ai suggéré la planéité uniquement par souci de commodité.

Ajoutons une coordonnée supplémentaire. Prenez une pierre dans votre main. Chaque point de cette pierre peut être attribué à son densité physique . Et encore une fois - quel que soit le système de coordonnées dans lequel nous le considérons, peu importe la façon dont nous le tordons dans notre main - le champ de densité scalaire restera inchangé. Cependant, certains pourraient contester ce fait =) Telle est la pierre philosophale.

Avec du pur point mathématique vision (au-delà de la signification physique ou autre signification privée) les champs scalaires sont traditionnellement spécifiés par nos fonctions « ordinaires » un , deux , trois Et plus de quantité variables. Parallèlement, en théorie des champs, les attributs traditionnels de ces fonctions sont largement utilisés, tels que domaine, lignes et surfaces de niveau.

AVEC espace tridimensionnel tout est pareil :
– ici, chaque point admissible dans l'espace est associé à un vecteur commençant à un point donné. La « recevabilité » est déterminée par les domaines de définition des fonctions, et si chacun d'eux est défini pour tous « X », « E », « Z », alors le champ vectoriel sera spécifié dans tout l'espace.

! Désignations : les champs vectoriels sont également désignés par la lettre ou, et leurs composants par ou, respectivement.

De ce qui précède, il est clair depuis longtemps que, au moins mathématiquement, les champs scalaires et vectoriels peuvent être définis dans l’espace. Cependant, avec des exemples physiques J'étais toujours prudent, car des concepts tels que température, la gravité(ou autres) après tout quelque part peut ne pas exister du tout. Mais ce n'est plus de l'horreur, mais la science-fiction=) Et pas seulement de la science-fiction. Parce que le vent, en règle générale, ne souffle pas à l’intérieur des pierres.

Il convient de noter que certains champs de vecteurs (mêmes champs de vitesse)évoluent rapidement au fil du temps, et donc dans de nombreux modèles physiques considérons une variable indépendante supplémentaire. À propos, il en va de même pour les champs scalaires - la température, en fait, n'est pas non plus « figée » dans le temps.

Cependant, dans le cadre des mathématiques, nous nous limiterons à la trinité, et lorsque de tels champs « se rencontrent », nous ferons référence à un moment fixe dans le temps ou à un temps pendant lequel le champ n'a pas changé.

Lignes vectorielles

Si les champs scalaires sont décrits lignes et surfaces planes, alors la « forme » du champ de vecteurs peut être caractérisée lignes vectorielles. Beaucoup de gens s'en souviennent probablement expérience scolaire: un aimant est placé sous une feuille de papier, et dessus (Voyons!) la limaille de fer se répand, qui « s’alignent » simplement le long des lignes de terrain.

Je vais essayer de le formuler plus simplement : chaque point d'une ligne vectorielle est le début vecteur de champ, qui se trouve sur la tangente en un point donné :

Bien entendu, les vecteurs lignes dans cas général ont des longueurs différentes, donc dans la figure ci-dessus, en se déplaçant de gauche à droite, leur longueur augmente - ici nous pouvons supposer que nous nous approchons, par exemple, d'un aimant. Dans les forces de sécurité champs physiques les lignes vectorielles sont appelées ainsi - les lignes électriques. Un autre exemple, plus simple, est le champ gravitationnel de la Terre : son les lignes électriques représenter des rayons avec le début au centre de la planète, et les vecteurs la gravité situé directement sur les rayons eux-mêmes.

Les lignes vectorielles des champs de vitesse sont appelées lignes actuelles. Imaginez encore tempête de poussière– les particules de poussière ainsi que les molécules d’air se déplacent le long de ces lignes. Semblable à la rivière : les trajectoires le long desquelles se déplacent les molécules du liquide (et pas seulement) - dans littéralement et il y a des rationalisations. En général, de nombreux concepts de la théorie des champs proviennent de l'hydrodynamique, que nous rencontrerons plus d'une fois.

Si un champ vectoriel « plat » est donné par une fonction non nulle, alors ses lignes de champ peuvent être trouvées à partir de équation différentielle. Solution équation donnée ensembles famille lignes vectorielles sur un plan. Parfois, dans les tâches, il est nécessaire de tracer plusieurs lignes de ce type, ce qui ne pose généralement pas de difficultés - nous avons choisi plusieurs valeurs pratiques de "tse", en avons dessiné quelques-unes hyperboles, et commande.

La situation avec un champ vectoriel spatial est plus intéressante. Ses lignes de champ sont déterminées par les relations . Ici, nous devons décider système de deux équations différentielles et j'aurai deux familles surfaces spatiales. Les lignes d'intersection de ces familles seront des lignes vectorielles spatiales. Si toutes les composantes (« pe », « ku », « er ») sont non nulles, alors il existe plusieurs solutions techniques. Je ne considérerai pas toutes ces méthodes. (parce que l'article atteindra des tailles indécentes), mais je me concentrerai sur un cas particulier courant, où l'une des composantes du champ vectoriel est égale à zéro. Listons toutes les options à la fois :

si , alors le système doit être résolu ;
si , alors le système ;
et si, alors.

Et pour une raison quelconque, nous n’avons pas pratiqué depuis longtemps :

Exemple 1

Trouver les lignes de champ du champ vectoriel

Solution: dans ce problème, on résout donc système:

Le sens est très simple. Ainsi, si une fonction spécifie un champ scalaire de profondeur du lac, alors la fonction vectorielle correspondante définit l'ensemble non libre vecteurs, dont chacun indique une direction montée rapide le fond à un moment ou à un autre et la vitesse de cette hausse.

Si une fonction spécifie un champ de température scalaire d'une certaine région de l'espace, alors le champ vectoriel correspondant caractérise la direction et la vitesse. échauffement le plus rapide espace en chaque point de cette zone.

Regardons le général problème de maths:

Exemple 3

Étant donné un champ scalaire et un point. Requis:

1) composer la fonction gradient du champ scalaire ;

Ce qui est égal à différence de potentiel .

En d’autres termes, dans un champ potentiel, seuls les champs initial et point final itinéraire. Et si ces points coïncident, alors le travail total des forces le long d'un contour fermé sera égal à zéro :

Ramassons une plume au sol et livrons-la au point de départ. Dans ce cas, la trajectoire de notre mouvement est encore une fois arbitraire ; vous pouvez même laisser tomber le stylo, le reprendre, etc.

Pourquoi le résultat final est-il nul ?

La plume est-elle tombée du point « a » au point « b » ? C'est tombé. La force de gravité a fait le travail.

Le stylo a-t-il touché le point « a » ? J'ai compris. Cela signifie qu'exactement le même travail a été fait contre la gravité, et peu importe avec quelles «aventures» et avec quelles forces - même si le vent l'a repoussé.

Note : En physique, le signe moins symbolise la direction opposée.

Ainsi, le travail total effectué par les forces est nul :

Comme je l'ai déjà noté, la conception physique et la conception laïque du travail sont différentes. Et cette différence vous aidera à bien comprendre non pas une plume ni même une brique, mais, par exemple, un piano :)

Ensemble, soulevez le piano et descendez-le dans les escaliers. Faites-le glisser dans la rue. Autant que vous voulez et où vous voulez. Et si personne n’a appelé l’imbécile, ramenez l’instrument. As tu travaillé? Certainement. Jusqu'à la septième sueur. Mais du point de vue physique, aucun travail n’a été fait.

L'expression « différence de potentiel » est tentante de parler davantage du champ électrostatique potentiel, mais choquer vos lecteurs n'est pas du tout humain =) De plus, il existe d'innombrables exemples, car tout champ de gradient est potentiel, il y en a une douzaine.

Mais il est facile de dire « un centime par douzaine » : on nous donne ici un champ vectoriel - comment déterminer si c'est potentiel ou non ?

Rotor de champ vectoriel

Ou lui vortex composante, qui est également exprimée par des vecteurs.

Reprenons la plume dans nos mains et envoyons-la soigneusement flotter sur la rivière. Pour la pureté de l’expérience, nous supposerons qu’elle est homogène et symétrique par rapport à son centre. L'essieu coince.

Considérons champ vectoriel vitesse du courant et un certain point de la surface de l'eau au-dessus duquel se trouve le centre de la plume.

Si dans à ce point le stylo tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis nous le ferons correspondre avec le sortant non libre vecteur ascendant. En même temps, plus le stylo tourne vite, plus ce vecteur est long, ... pour une raison quelconque, il me semble si noir sous les rayons lumineux du soleil... Si la rotation se produit dans le sens des aiguilles d'une montre, alors le vecteur « regarde » vers le bas. Si le stylo ne tourne pas du tout, alors le vecteur est nul.

Rencontre - ça y est vecteur de rotor champ de vitesse vectoriel, il caractérise le sens de « tourbillonnement » du liquide dans à ce point Et vitesse angulaire rotation du stylo (mais pas la direction ou la vitesse du courant lui-même !).

Il est absolument clair que tous les points du fleuve ont un vecteur rotatif (y compris ceux qui sont « sous l'eau »), donc, pour champ vectoriel de la vitesse du courant nous avons défini un nouveau champ vectoriel !

Si un champ vectoriel est donné par une fonction, alors son champ rotorique est donné par la formule suivante fonction vectorielle:

De plus, si les vecteurs champ rotorique les rivières sont de grande ampleur et ont tendance à changer de direction, cela ne veut pas du tout dire que nous parlons d'une rivière sinueuse et agitée (retour à l'exemple). Cette situation peut également être observée dans un canal rectiligne - lorsque, par exemple, la vitesse est plus élevée au milieu et plus faible près des berges. Autrement dit, la rotation du stylo est générée différentes vitesses courants V voisin lignes actuelles.

En revanche, si les vecteurs du rotor sont courts, alors il pourrait s'agir d'une rivière de montagne « sinueuse » ! Il est important que dans lignes de courant adjacentes la vitesse du courant lui-même (rapide ou lent) différait légèrement.

Et enfin, nous répondons à la question posée ci-dessus : à tout moment champ de potentiel son rotor est nul:

Ou plutôt le vecteur zéro.

Le champ potentiel est également appelé irrotationnel champ.

Bien sûr, il n’existe pas de flux « idéal », mais bien souvent on peut observer que champ de vitesse les rivières sont proches du potentiel - elles flottent calmement Divers articles et ne tournez pas, ...avez-vous également présenté cette photo ? Cependant, ils peuvent nager très vite, et dans une courbe, puis ralentir, puis accélérer - il est important que la vitesse du courant soit en lignes de courant adjacentes a été préservé constante.

Et bien sûr, notre champ gravitationnel mortel. Pour la prochaine expérience, n'importe quel assez lourd et objet homogène, par exemple, un livre fermé, une canette de bière non ouverte ou, en passant, une brique qui a attendu dans les coulisses =) Pincez ses extrémités avec vos mains, soulevez-la et relâchez-la délicatement dans chute libre. Il ne tournera pas. Et si c’est le cas, alors c’est votre « effort personnel » ou la brique que vous avez obtenue n’était pas la bonne. Ne soyez pas paresseux et vérifiez ce fait ! Ne jette rien par la fenêtre, ce n'est plus une plume

Et puis avec la conscience tranquille Et tonus accru peux-tu revenir à tâches pratiques:

Exemple 5

Montrer qu'un champ de vecteurs est potentiel et trouver son potentiel

Solution: la condition énonce directement la potentialité du champ, et notre tâche est de prouver ce fait. Trouvons la fonction du rotor ou, comme on dit plus souvent, le rotor d'un champ donné :

Pour plus de commodité, nous notons les composants du champ :

et commençons à les trouver dérivées partielles– il est pratique de les « trier » dans un ordre « rotatif », de gauche à droite :
- Et tout de suite regarde ça (pour éviter de faire un travail supplémentaire en cas de résultat non nul). Allons-nous en: