L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître.

Les équations contenant le symbole \[\sqrtх\] sont appelées équations à racines carrées. La racine carrée d’un nombre non négatif \ est la suivante : nombre non négatif, dont le carré est égal à \.

\[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Le nombre ou l'expression sous le signe racine doit toujours être non négatif. Il y a différentes manières

solutions de telles équations :

Mettre un nombre au carré en le multipliant par lui-même ; Simplifier les racines, si possible, en les retirant;

racines complètes Usage nombres imaginaires pour obtenir la racine des nombres;

caractère négatif

Application de l'algorithme de division longue ;

Et d'autres.

Pour plus de clarté, résolvons l’équation suivante avec des racines carrées :

\[\sqrt (x-5) =3\]

On multiplie chaque côté de l'équation par lui-même pour se débarrasser des radicaux :

Nous avons maintenant devant nous l'équation linéaire la plus simple, qui peut être résolue comme suit :

Où puis-je résoudre une équation algébrique en ligne ?

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Matériel de la Uncyclopedia- des équations de la forme P(x 1, ..., x n) = O, où P est un polynôme dans les variables x 1, ..., x n. Ces variables sont appelées inconnues. Un ensemble ordonné de nombres (a 1, ..., a n) satisfait cette équation si, en remplaçant x 1 par un 1, x 2 par un 2, etc. l'égalité numérique correcte est obtenue (par exemple, le triple ordonné de nombres (3, 4, 5) satisfait l'équation x 2 + y 2 = z 2, puisque 3 2 + 4 2 = 5 2). Le nombre qui satisfait une équation algébrique à une inconnue est appelé la racine de cette équation. L'ensemble de tous les ensembles de nombres satisfaisants cette équation, il existe de nombreuses solutions à cette équation. Deux équations algébriques ayant le même ensemble de solutions sont dites équivalentes. Le degré du polynôme P est appelé degré de l'équation P(x 1, ..., x n) = 0. Par exemple, 3x - 5y + z = c est une équation du premier degré, x 2 + y 2 = z 2 est du deuxième degré, et x 4 est 3x 3 + 1 = 0 - quatrième degré. Les équations du premier degré sont aussi appelées linéaires (voir Équations linéaires).

Une équation algébrique à une inconnue a numéro final racines, et l’ensemble des solutions d’une équation algébrique avec un grand nombre les inconnues peuvent représenter ensemble infini certains ensembles de nombres. Par conséquent, ils ne considèrent généralement pas des équations algébriques individuelles à n inconnues, mais des systèmes d'équations et recherchent des ensembles de nombres qui satisfont simultanément toutes les équations d'un système donné. La combinaison de tous ces ensembles forme l’ensemble des solutions du système. Par exemple, l'ensemble des solutions du système d'équations x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 est : ((3 ; 1), (3 ; -1), (-3 ; 1), (-3; -1 )).

Les équations algébriques du 1er degré à une inconnue ont déjà été résolues dans Egypte ancienne Et Babylone antique. Les scribes babyloniens savaient comment décider et équations quadratiques, ainsi que les systèmes les plus simples équations linéaires et les équations du 2ème degré. À l'aide de tableaux spéciaux, ils ont également résolu certaines équations du troisième degré, par exemple x 3 + x = a. DANS Grèce antique les équations quadratiques ont été résolues en utilisant constructions géométriques. Le mathématicien grec Diophantus (IIIe siècle) a développé des méthodes pour résoudre des équations algébriques et des systèmes de telles équations avec de nombreuses inconnues dans nombres rationnels. Par exemple, il a résolu en nombres rationnels l'équation x 4 - y 4 + z 4 = n 2, le système d'équations y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3, etc. (voir Équations diophantiennes).

Quelques problèmes géométriques: doublement d'un cube, trisection d'un angle (voir. Problèmes classiques antiquité), construction d'un heptagone régulier - conduit à la solution équations cubiques. Au cours de la solution, il a fallu trouver des points d'intersection sections coniques(ellipses, paraboles et hyperboles). Profiter méthodes géométriques, les mathématiciens de l'Orient médiéval étudiaient les solutions aux équations cubiques. Cependant, ils n’ont pas réussi à trouver une formule pour les résoudre. La première découverte majeure des mathématiques d’Europe occidentale a eu lieu au XVIe siècle. formule pour résoudre une équation cubique. Parce qu'à cette époque nombres négatifs ne se sont pas encore répandus, il était nécessaire d'analyser séparément des types d'équations tels que x 3 + px = q, x 3 + q = px, etc. Le mathématicien italien S. del Ferro (1465-1526) a résolu l'équation x 3 + px = q et communiqua la solution à son gendre et élève A. M. Fiore, qui défia le remarquable mathématicien autodidacte N. Tartaglia (1499-1557) à un tournoi mathématique. Quelques jours avant le tournoi, Tartaglia a retrouvé méthode générale résoudre des équations cubiques et gagné, résolvant rapidement les 30 problèmes qui lui étaient proposés. Cependant, la formule trouvée par Tartaglia pour résoudre l'équation x 3 + px + q = 0

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Création d'une symbolique algébrique et généralisation de la notion de nombre jusqu'à nombres complexes autorisé aux XVII-XVIII siècles. recherche propriétés généraleséquations algébriques diplômes supérieurs, ainsi que les propriétés générales des polynômes à une et plusieurs variables.

L'un des plus tâches importantes théorie des équations algébriques aux XVIIe-XVIIIe siècles. cherchait une formule pour résoudre une équation du 5ème degré. Après des recherches infructueuses de plusieurs générations d'algébristes, grâce aux efforts d'un scientifique français du XVIIIe siècle. J. Lagrange (1736-1813), le scientifique italien P. Ruffini (1765-1822) et le mathématicien norvégien N. Abel en fin XVIII - début XIX V. il a été prouvé qu'il n'existe aucune formule pouvant être utilisée pour exprimer les racines d'une équation du 5ème degré à travers les coefficients de l'équation, en utilisant uniquement des opérations arithmétiques et l'extraction des racines. Ces études ont été complétées par les travaux d'E. Galois, dont la théorie permet de déterminer pour toute équation si ses racines sont exprimées en radicaux. Même avant cela, K. F. Gauss avait résolu le problème de l'expression dans radicaux carrés racines de l'équation x n - 1 = 0, à laquelle se réduit le problème de la construction d'un n-gon régulier à l'aide d'un compas et d'une règle. En particulier, il est impossible de construire un heptagone, un ninegon, etc. régulier en utilisant ces outils. - une telle construction n'est possible que dans le cas où n est un nombre premier de la forme 2 2k + 1 ou un produit de différents nombres premiers ce genre.

Parallèlement à la recherche de formules à résoudre équations spécifiques la question de l'existence de racines pour toute équation algébrique a été étudiée. Au XVIIIe siècle Le philosophe et mathématicien français J. D'Alembert a prouvé que toute équation algébrique de degré non nul avec des coefficients complexes possède au moins un racine complexe. Il y avait des lacunes dans la preuve de D'Alembert, qui ont ensuite été comblées par Gauss. De ce théorème, il s'ensuit que tout. nième polynôme les puissances de x sont décomposées en un produit de n facteurs linéaires.

Actuellement, la théorie des systèmes d'équations algébriques est devenue un domaine mathématique indépendant appelé géométrie algébrique. Il étudie les lignes, les surfaces et les variétés de dimensions supérieures définies par des systèmes de telles équations.

Équations algébriques. Définition

Soit les fonctions f(x) et μ(x) définies sur un ensemble A. Et qu'il soit nécessaire de trouver un ensemble X sur lequel ces fonctions prennent valeurs égales, en d'autres termes, trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'égalité est vraie : f(x)= q(x).

Avec cette formulation, cette égalité est appelée une équation à x inconnu.

Une équation est dite algébrique si seules des opérations algébriques sont effectuées sur l'inconnue : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine. indicateur naturel.

Les équations algébriques ne contiennent que des fonctions algébriques (entières, rationnelles, irrationnelles). Équation algébrique dans vue générale peut être représenté par un polynôme de nième degré à coefficients réels :

Par exemple,

L'ensemble A est appelé un ensemble (aire) valeurs acceptables inconnu pour cette équation.

L'ensemble X est appelé l'ensemble des solutions, et chacune de ses solutions x=a est la racine de cette équation. Résoudre une équation, c’est trouver l’ensemble de toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y en a pas.

Méthodes de résolution d'équations algébriques

Dans de nombreux domaines scientifiques et problèmes d'ingénierie il faut résoudre une équation de la forme

où f(x) est une fonction non linéaire continue donnée.

Analytiquement, il est possible de trouver des solutions uniquement pour les équations les plus simples. Dans la plupart des cas, il est nécessaire de résoudre une équation de type (1) à l’aide de méthodes numériques.

La solution numérique de l'équation (1) s'effectue généralement en deux étapes. Dans un premier temps, vous devez trouver de tels intervalles de changement dans la variable x où se trouve une seule racine. Ce problème est généralement résolu graphiquement. Lors de la deuxième étape, les racines individuelles sont clarifiées. Diverses méthodes sont utilisées pour cela.

Méthodes de résolution équations non linéaires sont divisés en directs et itératifs. Les méthodes directes permettent d'écrire des racines sous la forme d'une formule. Cependant, les équations rencontrées dans la pratique ne peuvent pas toujours être résolues méthodes simples. Pour les résoudre, nous utilisons méthodes itératives, c'est-à-dire méthodes d’approximations successives.

Méthodes directes - la solution est trouvée à l'avance numéro connu opérations arithmétiques, la décision est stricte. Exemples : méthode gaussienne, méthode racine carrée, la règle de Cramer, etc.

Les méthodes itératives sont des méthodes d'approximations successives dans lesquelles il est impossible de prédire le nombre d'opérations arithmétiques qui seront nécessaires pour résoudre une équation (un système) avec une précision donnée. Exemples: méthode itérations simples, méthode Gauss-Seidel, méthode de division d'un segment en deux, etc.

Cet article étudie et compare la méthode d'itération simple et la demi-division segment.

Équations algébriques – équations de la forme

où est un polynôme en variables. Ces variables sont appelées inconnues. Un ensemble ordonné de nombres satisfait cette équation si, lorsqu'il est remplacé par , par , etc. l'égalité numérique correcte est obtenue (par exemple, le triplet ordonné de nombres (3, 4, 5) satisfait l'équation, puisque ). Le nombre qui satisfait une équation algébrique à une inconnue est appelé la racine de cette équation. L'ensemble de tous les ensembles de nombres satisfaisant une équation donnée est l'ensemble des solutions de cette équation. Deux équations algébriques ayant le même ensemble de solutions sont dites équivalentes. Le degré d’un polynôme est appelé degré de l’équation. Par exemple, - une équation du premier degré, - une équation du deuxième degré, et - quatrième degré. Les équations du premier degré sont aussi appelées linéaires (voir Équations linéaires).

Une équation algébrique à une inconnue a un nombre fini de racines, et l'ensemble des solutions d'une équation algébrique à un grand nombre d'inconnues peut être un nombre infini d'ensembles spécifiques de nombres. Par conséquent, ils ne considèrent généralement pas des équations algébriques individuelles avec des inconnues, mais des systèmes d'équations et recherchent des ensembles de nombres qui satisfont simultanément toutes les équations d'un système donné. La combinaison de tous ces ensembles forme l’ensemble des solutions du système. Par exemple, l'ensemble des solutions du système d'équations est : .

Les équations algébriques du 1er degré à une inconnue étaient déjà résolues dans l’Égypte ancienne et dans l’ancienne Babylone. Les scribes babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques, ainsi que les systèmes les plus simples d'équations linéaires et d'équations du 2e degré. À l’aide de tableaux spéciaux, ils ont également résolu certaines équations du 3e degré, par exemple. Dans la Grèce antique, les équations quadratiques étaient résolues à l’aide de constructions géométriques. Le mathématicien grec Diophante (IIIe siècle) a développé des méthodes pour résoudre des équations algébriques et des systèmes de telles équations avec de nombreuses inconnues dans les nombres rationnels. Par exemple, il a résolu l'équation des nombres rationnels , système d'équations, etc. (voir Équations diophantiennes).

Certains problèmes géométriques : doublement d'un cube, trisection d'un angle (voir Problèmes classiques de l'Antiquité), construction d'un heptagone régulier - conduisent à la solution d'équations cubiques. Au fur et à mesure de l'avancée de la solution, il a fallu trouver les points d'intersection des sections coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). À l’aide de méthodes géométriques, les mathématiciens de l’Orient médiéval étudiaient les solutions des équations cubiques. Cependant, ils n’ont pas réussi à trouver une formule pour les résoudre. La première découverte majeure des mathématiques d’Europe occidentale a eu lieu au XVIe siècle. formule pour résoudre une équation cubique. Comme à cette époque les nombres négatifs n'étaient pas encore répandus, il était nécessaire d'analyser séparément des types d'équations tels que , etc. Le mathématicien italien S. del Ferro (1465-1526) a résolu l'équation et a rapporté la solution à son fils. -droit et étudiant A.-M . Fiore, qui a défié le remarquable mathématicien autodidacte N. Tartaglia (1499-1557) dans un tournoi mathématique. Quelques jours avant le tournoi, Tartaglia a trouvé une méthode générale pour résoudre des équations cubiques et a gagné, résolvant rapidement les 30 problèmes qui lui étaient proposés. Cependant, la formule trouvée par Tartaglia pour résoudre l'équation

La création du symbolisme algébrique et la généralisation de la notion de nombre jusqu'aux nombres complexes l'ont rendu possible aux XVIIe-XVIIIe siècles. explorer les propriétés générales des équations algébriques de degrés supérieurs, ainsi que les propriétés générales des polynômes à une et plusieurs variables.

L'un des problèmes les plus importants de la théorie des équations algébriques aux XVIIe et XVIIIe siècles. cherchait une formule pour résoudre une équation du 5ème degré. Après des recherches infructueuses de plusieurs générations d'algébristes, grâce aux efforts d'un scientifique français du XVIIIe siècle. J. Lagrange (1736-1813), le scientifique italien P. Ruffini (1765-1822) et le mathématicien norvégien N. Abel à la fin du XVIIIe – début du XIXe siècle. il a été prouvé qu'il n'existe aucune formule pouvant être utilisée pour exprimer les racines d'une équation du 5ème degré à travers les coefficients de l'équation, en utilisant uniquement des opérations arithmétiques et l'extraction des racines. Ces études ont été complétées par les travaux d'E. Galois, dont la théorie permet de déterminer pour toute équation si ses racines sont exprimées en radicaux. Même avant cela, K.F. Gauss a résolu le problème de l'expression des racines de l'équation en radicaux carrés, auquel se réduit le problème de la construction d'un triangle régulier à l'aide d'un compas et d'une règle. En particulier, il est impossible de construire un heptagone, un ninegon, etc. régulier en utilisant ces outils. – une telle construction n'est possible que dans le cas où - un nombre premier de la forme ou un produit de différents nombres premiers de ce type.

Parallèlement à la recherche de formules permettant de résoudre des équations spécifiques, la question de l'existence de racines pour toute équation algébrique a été étudiée. Au XVIIIe siècle le philosophe et mathématicien français J. D'Alembert a prouvé que toute équation algébrique de degré non nul avec des coefficients complexes a au moins une racine complexe. Il y avait des lacunes dans la preuve de D'Alembert, qui ont ensuite été comblées par Gauss. De ce théorème, il résulte que tout polynôme de degré 0 peut être décomposé en un produit de facteurs linéaires.

Actuellement, la théorie des systèmes d'équations algébriques est devenue un domaine mathématique indépendant appelé géométrie algébrique. Il étudie les lignes, les surfaces et les variétés de dimensions supérieures définies par des systèmes de telles équations.