Établir la loi de distribution d'une variable aléatoire au retour. Loi de distribution d'une variable aléatoire

Variable aléatoire On appelle grandeur qui, à la suite d'essais effectués dans les mêmes conditions, prend des valeurs, généralement différentes, en fonction de facteurs aléatoires non pris en compte. Exemples de variables aléatoires : le nombre de points tirés par dés, le nombre de produits défectueux dans un lot, l'écart du point d'impact du projectile par rapport à la cible, le temps de fonctionnement sans panne de l'appareil, etc. Il existe des variables aléatoires discrètes et continues. Discret Appelé variable aléatoire, valeurs possibles qui forment un ensemble dénombrable, fini ou infini (c'est-à-dire un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés).

Continu On appelle une variable aléatoire dont les valeurs possibles remplissent continuellement un intervalle fini ou infini axe des nombres. Le nombre de valeurs d'une variable aléatoire continue est toujours infini.

Nous désignerons des variables aléatoires en majuscules fin alphabet latin: X, Oui, . ; valeurs de variables aléatoires – lettres minuscules: X, y,. . Ainsi, X Désigne l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire, et X- Une partie de sa signification spécifique.

Loi de répartition Une variable aléatoire discrète est une correspondance spécifiée sous quelque forme que ce soit entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités.

Laissez les valeurs possibles de la variable aléatoire X Sont . À la suite du test, la variable aléatoire prendra l'une de ces valeurs, c'est-à-dire Un événement parmi un groupe complet d’événements incompatibles par paires se produira.

Que les probabilités de ces événements soient également connues :

Loi de distribution d'une variable aléatoire X Peut s'écrire sous la forme d'un tableau appelé Distribution proche Variable aléatoire discrète :

Variables aléatoires. Variable aléatoire discrète.
Attente

Deuxième partie sur théorie des probabilités dédié variables aléatoires , qui nous accompagnait de manière invisible dans littéralement chaque article sur le sujet. Et le moment est venu de formuler clairement de quoi il s’agit :

Aléatoire appelé taille, qui, à la suite du test, prendra un et un seul une valeur numérique qui dépend de facteurs aléatoires et est imprévisible à l’avance.

Les variables aléatoires sont généralement indiquerà travers * , et leurs significations sont écrites en petites lettres correspondantes avec des indices, par exemple .

* Parfois, des lettres grecques sont également utilisées

Nous sommes tombés sur un exemple sur première leçon sur la théorie des probabilités, où nous avons en fait considéré la variable aléatoire suivante :

– le nombre de points qui apparaîtront après avoir lancé les dés.

À la suite de ce test, il tombera seul et unique la ligne, laquelle exactement, ne peut pas être prédite (nous ne considérons pas les astuces); dans ce cas, la variable aléatoire peut prendre l'une des valeurs suivantes :

– le nombre de garçons sur 10 nouveau-nés.

Il est tout à fait clair que ce nombre n'est pas connu à l'avance, et les dix prochains enfants nés pourraient inclure :

Ou des garçons - un et un seul parmi les options répertoriées.

Et, pour garder la forme, un peu d'éducation physique :

– distance de saut en longueur (dans certaines unités).

Même un maître du sport ne peut pas le prédire :)

Cependant, vos hypothèses ?

Dès que beaucoup nombres réels infiniment, alors la variable aléatoire peut prendre une infinité de valeurs d'un certain intervalle. Et voilà en quoi cela consiste différence fondamentaleà partir des exemples précédents.

Ainsi, Il est conseillé de diviser les variables aléatoires en 2 grands groupes:

1) Discret (intermittent) variable aléatoire – prend des valeurs individuelles et isolées. Nombre de ces valeurs Certainement ou infini mais dénombrable.

...y a-t-il des termes peu clairs ? Nous répétons de toute urgence bases de l'algèbre!

2) Variable aléatoire continue – accepte Tous valeurs numériquesà partir d'un intervalle fini ou infini.

Note :V littérature pédagogique abréviations populaires DSV et NSV

Analysons d’abord la variable aléatoire discrète, puis - continu.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète

- Ce correspondance entre les valeurs possibles de cette quantité et leurs probabilités. Le plus souvent, la loi est écrite dans un tableau :

Le terme apparaît assez souvent rangée distribution, mais dans certaines situations, cela semble ambigu, et je m'en tiendrai donc à la "loi".

Et maintenant Très point important : puisque la variable aléatoire Nécessairement acceptera une des valeurs, puis les événements correspondants se forment groupe complet et la somme des probabilités de leur apparition est égale à un :

ou, s'il est écrit condensé :

Ainsi, par exemple, la loi de distribution de probabilité des points lancés sur un dé a la forme suivante :

Vous avez peut-être l’impression qu’une variable aléatoire discrète ne peut prendre que de « bonnes » valeurs entières. Dissipons l'illusion - ils peuvent être n'importe quoi :

Certains jeux ont prochaine loi répartition gagnante :

…vous rêvez probablement de telles tâches depuis longtemps 🙂 Je vais vous confier un secret – moi aussi. Surtout après avoir terminé les travaux théorie des champs.

Solution: puisqu'une variable aléatoire ne peut prendre qu'un seul des trois significations, puis les événements correspondants se forment groupe complet, ce qui signifie que la somme de leurs probabilités est égale à un :

Dénoncer le « partisan » :

– ainsi, la probabilité de gagner des unités conventionnelles est de 0,4.

Contrôle : c’est de cela qu’il fallait s’assurer.

Répondre:

Il n'est pas rare que vous deviez rédiger vous-même une loi sur la distribution. Pour cela, ils utilisent définition classique de la probabilité, théorèmes de multiplication/addition pour les probabilités d'événements et autres chips tervera:

La boîte contient 50 billets de loterie, parmi lesquels 12 sont gagnants, et 2 d'entre eux gagnent 1 000 roubles chacun, et le reste - 100 roubles chacun. Élaborez une loi pour la distribution d'une variable aléatoire - le montant des gains, si un ticket est tiré au hasard dans la boîte.

Solution: comme vous l'avez remarqué, les valeurs d'une variable aléatoire sont généralement placées dans par ordre croissant. Par conséquent, nous commençons par les plus petits gains, à savoir les roubles.

Il y a 50 billets de ce type au total - 12 = 38, et selon définition classique :
– la probabilité qu’un ticket tiré au sort soit perdant.

Dans d'autres cas, tout est simple. La probabilité de gagner des roubles est :

Et pour :

Vérifiez : – et c’est spécial bon moment de telles tâches !

Répondre: la loi souhaitée de répartition des gains :

La tâche suivante est à résoudre par vous-même :

La probabilité que le tireur atteigne la cible est de . Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire - le nombre de coups après 2 tirs.

...Je savais qu'il te manquait :) Souvenons-nous théorèmes de multiplication et d'addition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

La loi de distribution décrit complètement une variable aléatoire, mais en pratique il peut être utile (et parfois plus utile) de n'en connaître qu'une partie. caractéristiques numériques .

Attente d'une variable aléatoire discrète

Parlant dans un langage simple, Ce valeur moyenne attendue lorsque les tests sont répétés plusieurs fois. Laissez la variable aléatoire prendre des valeurs avec des probabilités en conséquence. Alors espérance mathématique de cette variable aléatoire est égal à somme de produits toutes ses valeurs aux probabilités correspondantes :

ou effondré :

Calculons, par exemple, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire - le nombre de points lancés sur un dé :

Quelle est la signification probabiliste du résultat obtenu ? Si vous lancez les dés suffisamment de fois, alors valeur moyenne Les points perdus seront proches de 3,5 - et plus vous effectuez de tests, plus vous vous en rapprochez. En fait, j'ai déjà parlé en détail de cet effet dans la leçon sur probabilité statistique.

Rappelons maintenant notre jeu hypothétique :

La question se pose : est-il rentable de jouer à ce jeu ? ...qui a des impressions ? On ne peut donc pas le dire « à la légère » ! Mais on peut facilement répondre à cette question en calculant l’espérance mathématique, essentiellement : moyenne pondérée par probabilité de gagner :

Ainsi, l'espérance mathématique de ce jeu perdant.

Ne vous fiez pas à vos impressions, faites confiance aux chiffres !

Oui, ici, vous pouvez gagner 10 voire 20 à 30 fois de suite, mais à long terme, une ruine inévitable nous attend. Et je ne vous conseillerais pas de jouer à de tels jeux :) Eh bien, peut-être seulement pour le plaisir.

De tout ce qui précède, il s'ensuit que l'espérance mathématique n'est plus une valeur ALÉATOIRE.

Tâche créative pour une recherche indépendante :

M. X joue à la roulette européenne prochain système: parie constamment 100 roubles sur le « rouge ». Élaborez une loi de distribution d'une variable aléatoire - ses gains. Calculez l'espérance mathématique des gains et arrondissez-la au kopeck le plus proche. Combien en moyenne Le joueur perd-il pour chaque cent misé ?

Référence : La roulette européenne contient 18 secteurs rouges, 18 noirs et 1 secteur vert (« zéro »). Si un « rouge » apparaît, le joueur est payé le double de la mise, sinon cela va aux revenus du casino.

Il existe de nombreux autres systèmes de roulette pour lesquels vous pouvez créer vos propres tables de probabilités. Mais c’est le cas lorsque nous n’avons besoin d’aucune loi ou table de distribution, car il est établi avec certitude que l’espérance mathématique du joueur sera exactement la même. La seule chose qui change d'un système à l'autre est dispersion, que nous découvrirons dans la 2ème partie de la leçon.

Mais d’abord, il sera utile de tendre les doigts sur les touches de la calculatrice :

Une variable aléatoire est spécifiée par sa loi de distribution de probabilité :

Trouvez si l'on sait cela. Effectuer une vérification.

Alors passons à l'étude variance d'une variable aléatoire discrète, et si possible, TOUT DE SUITE!!- pour ne pas perdre le fil du sujet.

Solutions et réponses :

Exemple 3. Solution: par condition – la probabilité d’atteindre la cible. Alors:
– probabilité de raté.

Composons la loi de répartition des coups pour deux plans :

- pas un seul coup. Par théorème de multiplication des probabilités événements indépendants :

- un coup. Par théorèmes d'addition de probabilités d'incompatibilité et de multiplication d'événements indépendants:

- deux coups sûrs. D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Vérifier : 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Répondre :

Note : vous pouvez utiliser des notations - cela n'a pas d'importance.

Exemple 4. Solution: le joueur gagne 100 roubles dans 18 cas sur 37, et donc la loi de répartition de ses gains a la forme suivante :

Calculons l'espérance mathématique :

Ainsi, pour chaque cent pari, le joueur perd en moyenne 2,7 roubles.

Exemple 5. Solution: par définition de l'espérance mathématique :

Échangeons les parties et faisons des simplifications :

Ainsi:

Vérifions :

, c'est ce qui devait être vérifié.

Répondre :

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Variables aléatoires discrètes

Variable aléatoire Une variable est appelée une variable qui, à la suite de chaque test, prend une valeur jusqu'alors inconnue, en fonction de raisons aléatoires. Les variables aléatoires sont indiquées en majuscules en lettres latines: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Selon leur type, les variables aléatoires peuvent être discret Et continu.

Variable aléatoire discrète- il s'agit d'une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. Par dénombrabilité, nous entendons que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 . Voici des exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $n$ tirs, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) le nombre d'emblèmes abandonnés lors du lancer d'une pièce, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) le nombre de navires arrivant à bord (un ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète $X$ peut prendre des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ avec des probabilités $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. En règle générale, cette correspondance est précisée à l'aide d'un tableau dont la première ligne indique les valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$, et la deuxième ligne contient les probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs.

$\début
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fin$

Exemple 2 . Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de points obtenu en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $X$ peut prendre valeurs suivantes 1 $,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Les probabilités de toutes ces valeurs sont égales à 1/6$. Puis la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\début
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fin$

Commentaire. Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ les événements $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forment un groupe complet d'événements, alors la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $\somme

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Attente d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance mathématique est calculée comme la somme des produits des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ et des probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs, soit : $M\gauche(X\droite)=\somme ^n_ $. Dans la littérature de langue anglaise, une autre notation $E\left(X\right)$ est utilisée.

Propriétés de l'espérance mathématique$M\gauche(X\droite)$ :

1. $M\left(X\right)$ est contenu entre le plus petit et valeurs les plus élevées variable aléatoire $X$.
2. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $M\gauche(C\droite)=C$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique : $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemple 3 . Trouvons le mathématique attente de la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

On peut remarquer que $M\left(X\right)$ se situe entre la plus petite ($1$) et la plus grande ($6$) valeurs de la variable aléatoire $X$.

Exemple 4 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=2$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $3X+5$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemple 5 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=4$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $2X-9$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles de variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser différemment autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants GPA pour l'examen de théorie des probabilités, il s'est avéré égal à 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré être de bons étudiants, et dans l'autre groupe, il n'y avait que des étudiants C et d'excellents étudiants. Par conséquent, il existe un besoin pour une caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la dispersion.

Variance d'une variable aléatoire discrète$X$ est égal à :

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ est utilisée. Très souvent, la variance $D\left(X\right)$ est calculée à l'aide de la formule $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Propriétés de dispersion$D\gauche(X\droite)$ :

1. La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $D\gauche(X\droite)\ge 0$.
2. La variance de la constante est nulle, c'est-à-dire $D\gauche(C\droite)=0$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dispersion à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire : $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La variance de la différence entre variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Exemple 6 . Calculons la variance de la variable aléatoire $X$ à partir de l'exemple $2$.

Exemple 7 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=2$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $4X+1$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ gauche(X\droite)=16\cdot 2=32$.

Exemple 8 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=3$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $3-2X$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ gauche(X\droite)=4\cdot 3=12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La méthode de représentation d'une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire : la fonction de distribution.

Fonction de répartition La variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\right )=P\left(X 6$, puis $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ gauche(X=3\droite)+P\gauche(X=4\droite)+P\gauche(X=5\droite)+P\gauche(X=6\droite)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Graphique de la fonction de distribution $F\left(x\right)$ :

Lois fondamentales de la distribution

1. Loi de distribution binomiale.

La loi de distribution binomiale décrit la probabilité d'apparition de l'événement A m fois en n tests indépendants, à condition que la probabilité p d'occurrence de l'événement A dans chaque essai soit constante.

Par exemple, le service commercial d'un magasin d'électroménager reçoit en moyenne une commande d'achat de téléviseurs sur 10 appels. Établir une loi de distribution de probabilité pour l'achat de m téléviseurs. Construisez un polygone de distribution de probabilité.

Dans le tableau m - le nombre de commandes reçues par l'entreprise pour l'achat d'un téléviseur. C n m est le nombre de combinaisons de m téléviseurs par n, p est la probabilité d'apparition de l'événement A, c'est-à-dire en commandant un téléviseur, q est la probabilité que l'événement A ne se produise pas, c'est-à-dire ne commandant pas de téléviseur, P m,n est la probabilité de commander m téléviseurs sur n. La figure 1 montre le polygone de distribution de probabilité.

2.Distribution géométrique.

La distribution géométrique d'une variable aléatoire a la forme suivante :

P m est la probabilité d'occurrence de l'événement A dans l'essai numéro m.
p est la probabilité que l'événement A se produise dans un essai.
q = 1 -p

Exemple. Une entreprise de réparation d'électroménager a reçu un lot de 10 unités de rechange pour machines à laver. Il arrive parfois qu’un lot contienne 1 bloc défectueux. Une inspection est effectuée jusqu'à ce qu'une unité défectueuse soit détectée. Il est nécessaire d'établir une loi de répartition du nombre de blocs vérifiés. La probabilité qu'un bloc soit défectueux est de 0,1. Construisez un polygone de distribution de probabilité.

Le tableau montre qu'à mesure que le nombre m augmente, la probabilité qu'un bloc défectueux soit détecté diminue. La dernière ligne (m=10) combine deux probabilités : 1 - que le dixième bloc s'est avéré défectueux - 0,038742049, 2 - que tous les blocs vérifiés se sont avérés fonctionner - 0,34867844. Puisque la probabilité que l'unité soit défectueuse est relativement faible (p = 0,1), alors la probabilité dernier événement P m (10 blocs testés) est relativement élevé. Fig.2.

3. Distribution hypergéométrique.

La distribution hypergéométrique d'une variable aléatoire a la forme suivante :

Par exemple, établissez une loi de distribution pour 7 nombres devinés sur 49. Dans dans cet exemple nombres totaux N=49, n=7 nombres supprimés, M - nombres totaux qui ont propriété donnée, c'est-à-dire de nombres correctement devinés, m est le nombre de nombres correctement devinés parmi ceux retirés.

Le tableau montre que la probabilité de deviner un nombre m=1 est plus élevée qu'avec m=0. Cependant, la probabilité commence alors à diminuer rapidement. Ainsi, la probabilité de deviner 4 nombres est déjà inférieure à 0,005, et 5 est négligeable.

4.Loi de distribution de poisson.

Une variable aléatoire X a une distribution de Poisson si sa loi de distribution a la forme :

Np = const
n est le nombre de tests tendant vers l'infini
p est la probabilité qu'un événement se produise, tendant vers zéro
m est le nombre d'occurrences de l'événement A

Par exemple, chaque jour, une entreprise vendant des téléviseurs reçoit environ 100 appels. La probabilité de commander un téléviseur de marque A est de 0,08 ; B-0,06 et C-0,04. Élaborer une loi pour la répartition des commandes d'achat de téléviseurs catégories A, B et C. Construire un polygone de distribution de probabilité.

De la condition nous avons : m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)

(le tableau n'est pas donné dans son intégralité)

Si n est suffisamment grand pour aller vers l’infini et que la valeur de p tend vers zéro, alors le produit np va à nombre constant, Que cette loi est une approximation de la loi de distribution binomiale. D'après le graphique, il ressort clairement que plus probable p, plus la courbe est proche de l'axe m, c'est-à-dire plus plat. (Fig.4)

Il convient de noter que les distributions binomiale, géométrique, hypergéométrique et de Poisson expriment la distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

5. Loi de distribution uniforme.

Si la densité de probabilité ?(x) est une valeur constante sur un certain intervalle, alors la loi de distribution est dite uniforme. La figure 5 montre des graphiques de la fonction de distribution de probabilité et de la densité de probabilité loi uniforme distributions.

6. Loi de distribution normale (loi de Gauss).

Parmi les lois de distribution des variables aléatoires continues, la plus courante est loi normale distributions. Une variable aléatoire est distribuée selon la loi de distribution normale si sa densité de probabilité a la forme :

Où
a est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire
? - moyenne écart type

Le graphique de densité de probabilité d'une variable aléatoire qui a une loi de distribution normale est symétrique par rapport à la droite x=a, c'est-à-dire que x est égal à l'espérance mathématique. Ainsi, si x=a, alors la courbe a un maximum égal à :

Lorsque la valeur de l'espérance mathématique change, la courbe se déplace le long de l'axe Ox. Le graphique (Fig. 6) montre qu'à x=3 la courbe a un maximum, car l'espérance mathématique est 3. Si l'espérance mathématique prend une valeur différente, par exemple a=6, alors la courbe aura un maximum en x=6. En parlant de l'écart type, comme le montre le graphique, plus l'écart type est grand, plus petit est le valeur maximale densité de probabilité d'une variable aléatoire.

Une fonction qui exprime la distribution d'une variable aléatoire sur l'intervalle (-?, x), et qui a une loi de distribution normale, est exprimée par la fonction de Laplace à l'aide de la formule suivante :

Ceux. la probabilité d'une variable aléatoire X se compose de deux parties : la probabilité où x prend des valeurs de moins l'infini à a, égale à 0,5, et la deuxième partie - de a à x. (Fig.7)

Étudions ensemble

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Leçon : Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète s'appelle la correspondance entre les valeurs possibles et leurs probabilités. Il peut être spécifié sous forme de tableau, graphique et analytique.

Ce qu'est une variable aléatoire est discuté dans cette leçon.

Avec la méthode tabulaire de spécification, la première ligne du tableau contient les valeurs possibles, et la seconde leurs probabilités, c'est-à-dire

Cette quantité est appelée la série de distribution variable aléatoire discrète.

X=x1, X=x2, X=xn forment un groupe complet, puisque dans un essai la variable aléatoire prendra une et une seule valeur possible. Par conséquent, la somme de leurs probabilités est égale à un, c’est-à-dire p1 + p2 + pn = 1 ou

Si l'ensemble des valeurs de X est infini, alors Exemple 1. Il y a 100 billets émis dans une loterie en espèces. Un gain de 1 000 roubles et 10 gains de 100 roubles sont tirés au sort. Trouvez la loi de distribution de la variable aléatoire X - le coût d'un gain possible pour le propriétaire d'un billet de loterie.

La loi de répartition requise a la forme :

Contrôle; 0,01+0,1+0,89=1.
À graphiquement fixant la loi de distribution pour plan de coordonnées construisez des points (Xi:Pi), puis connectez-les avec des segments droits. Reçu ligne brisée appelé polygone de distribution. Par exemple 1, le polygone de distribution est illustré à la figure 1.

À manière analytique les affectations de la loi de distribution indiquent une formule reliant les probabilités d'une variable aléatoire avec ses valeurs possibles.

Exemples de distributions discrètes

Distribution binomiale

Supposons que n essais soient effectués, dans chacun desquels A se produit avec probabilité constante p ne se produit donc pas avec une probabilité constante q = 1- p. Considérons la variable aléatoire X- le nombre d'occurrences de l'événement A dans ces n essais. Les valeurs possibles de X sont x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. La probabilité que cela soit possible

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est appelée Windows XP Word 2003 Excel 2003 Lois de distribution des variables aléatoires discrètes La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est toute relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et […]

Comme on le sait, variable aléatoire appelé quantité variable, qui peut prendre l'une ou l'autre valeur selon les cas. Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin (X, Y, Z) et leurs valeurs sont désignées par les lettres minuscules correspondantes (x, y, z). Les variables aléatoires sont divisées en discontinues (discrètes) et continues.

Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne prend qu'un ensemble fini ou infini (dénombrable) de valeurs avec certaines probabilités non nulles.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est une fonction qui relie les valeurs d'une variable aléatoire avec leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution peut être spécifiée de l'une des manières suivantes.

1 . La loi de distribution peut être donnée par le tableau :

où λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) en utilisant fonction de distribution F(x) , qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X< x).

Propriétés de la fonction F(x)

3 . La loi de distribution peut être spécifiée graphiquement – polygone de distribution (polygone) (voir problème 3).

A noter que pour résoudre certains problèmes il n’est pas nécessaire de connaître la loi de distribution. Dans certains cas, il suffit de connaître un ou plusieurs chiffres qui reflètent le plus caractéristiques importantes droit de la distribution. Il peut s'agir d'un nombre qui a la signification de « valeur moyenne » d'une variable aléatoire, ou d'un nombre indiquant la taille moyenne de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne.

Les nombres de ce type sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. :

• Caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire discrète Attente mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire discrète.
  M(X)=Σ X je p je
• Pour la distribution binomiale M(X)=np, pour la distribution de Poisson M(X)=λ Dispersion variable aléatoire discrète D(X)=M2 ou. La différence X–M(X) est appelée l’écart d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.
  Pour la distribution binomiale D(X)=npq, pour la distribution de Poisson D(X)=λ
• Écart type (écart type) σ(X)=√D(X).

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète »

Tâche 1.

1000 billets de loterie ont été émis : 5 d'entre eux gagneront 500 roubles, 10 gagneront 100 roubles, 20 gagneront 50 roubles, 50 gagneront 10 roubles. Déterminez la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire X - gains par ticket.

Solution. Selon les conditions du problème, les valeurs suivantes de la variable aléatoire X sont possibles : 0, 10, 50, 100 et 500.

Le nombre de tickets sans gain est de 1000 – (5+10+20+50) = 915, alors P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De même, on retrouve toutes les autres probabilités : P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Présentons la loi résultante sous forme de tableau :

Trouvons l'espérance mathématique de la valeur X : M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tâche 3.

L'appareil se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment.

Solution. 1. La probabilité de défaillance de chaque élément dans une expérience est de 0,1. Élaborez une loi de distribution pour le nombre d'éléments défaillants dans une expérience, construisez un polygone de distribution. Trouvez la fonction de distribution F(x) et tracez-la. Trouvez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire discrète.

La variable aléatoire discrète X = (le nombre d'éléments défaillants dans une expérience) a les valeurs possibles suivantes : x 1 =0 (aucun des éléments du dispositif n'a échoué), x 2 =1 (un élément a échoué), x 3 =2 ( deux éléments ont échoué) et x 4 = 3 (trois éléments ont échoué). Les défaillances des éléments sont indépendantes les unes des autres, les probabilités de défaillance de chaque élément sont égales, donc applicable Formule de Bernoulli
. Considérant que, selon la condition n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, on détermine les probabilités des valeurs :
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729 ;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243 ;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027 ;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001 ;

Vérifier : ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1. Ainsi, le souhaité loi binomiale

Nous traçons les valeurs possibles de x i le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes p i le long de l'axe des ordonnées. Construisons les points M 1 (0 ; 0,729), M 2 (1 ; 0,243), M 3 (2 ; 0,027), M 4 (3 ; 0,001). En reliant ces points avec des segments de droite, on obtient le polygone de distribution souhaité.

3. Trouvons la fonction de distribution F(x) = Р(Х

Graphique de la fonction F(x)

4. Pour la distribution binomiale X :
- espérance mathématique M(X) = np = 3*0,1 = 0,3 ;
- variance D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27 ;
- écart type σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Variables aléatoires ».

Tâche 1 . Il y a 100 billets émis pour la loterie. Un gain de 50 USD a été tiré au sort. et dix victoires de 10 USD chacune. Trouvez la loi de distribution de la valeur X - le coût des gains possibles.

Solution. Valeurs possibles pour X : x 1 = 0 ; x 2 = 10 et x 3 = 50. Puisqu’il y a 89 tickets « vides », alors p 1 = 0,89, probabilité de gagner 10$. (10 billets) – p 2 = 0,10 et pour gagner 50 USD -p 3 = 0,01. Ainsi:

Facile à contrôler : .

Tâche 2. La probabilité que l'acheteur ait lu l'annonce du produit à l'avance est de 0,6 (p = 0,6). Le contrôle sélectif de la qualité de la publicité est effectué en interrogeant les acheteurs avant le premier qui a préalablement étudié la publicité. Etablir une série de répartition du nombre d'acheteurs interrogés.

Solution. Selon les conditions du problème, p = 0,6. De : q=1 -p = 0,4. En substituant ces valeurs, on obtient : et construire une série de distribution :

Tâche 3. Un ordinateur se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment : l’unité centrale, le moniteur et le clavier. Avec une seule forte augmentation de tension, la probabilité de défaillance de chaque élément est de 0,1. A partir de la distribution de Bernoulli, établir une loi de répartition du nombre d'éléments défaillants lors d'une surtension dans le réseau.

Solution. Considérons Distribution de Bernoulli(ou binôme) : la probabilité que n tests, l'événement A apparaîtra exactement k une fois: , ou:

DANS Revenons à la tâche.

Valeurs possibles pour X (nombre d'échecs) :

x 0 =0 – aucun des éléments n'a échoué ;

x 1 =1 – défaillance d'un élément ;

x 2 =2 – défaillance de deux éléments ;

x 3 = 3 – défaillance de tous les éléments.

Puisque, par condition, p = 0,1, alors q = 1 – p = 0,9. En utilisant la formule de Bernoulli, on obtient

, ,

, .

Contrôle: .

Par conséquent, la loi de distribution requise :

Problème 4. 5 000 cartouches produites. Probabilité qu'une cartouche soit défectueuse . Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 3 cartouches défectueuses dans l’ensemble du lot ?

Solution. En vigueur Distribution de Poisson: Cette distribution est utilisée pour déterminer la probabilité que, pour de très grandes

nombre de tests (tests de masse), dans chacun desquels la probabilité de l'événement A est très faible, l'événement A se produira k fois : , Où .

Ici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. On trouve alors la probabilité souhaitée : .

Problème 5. Lors du tir jusqu'au premier coup avec une probabilité de coup p = 0,6 lors du tir, vous devez trouver la probabilité qu'un coup se produise au troisième coup.

Solution. Appliquons une distribution géométrique : effectuons des essais indépendants, dans chacun desquels A a une probabilité d'occurrence p (et de non-occurrence q = 1 – p). Le test se termine dès que l'événement A se produit.

Dans de telles conditions, la probabilité que l'événement A se produise lors du kième essai est déterminée par la formule : . Ici p = 0,6 ; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Par conséquent, .

Problème 6. Soit la loi de distribution d'une variable aléatoire X :

Trouvez l'espérance mathématique.

Solution. .

Notez que la signification probabiliste de l'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Problème 7. Trouvez la variance de la variable aléatoire X avec la loi de distribution suivante :

Solution. Ici .

Loi de distribution pour la valeur au carré de X 2 :

Variation requise : .

La dispersion caractérise la mesure de l'écart (dispersion) d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.

Problème 8. Soit une variable aléatoire donnée par la distribution :

Trouvez ses caractéristiques numériques.

Solution : m, m 2 ,

M 2 , m.

À propos de la variable aléatoire X, nous pouvons dire soit : son espérance mathématique est de 6,4 m avec une variance de 13,04 m 2 , ou – son espérance mathématique est de 6,4 m avec un écart de m La deuxième formulation est évidemment plus claire.

Tâche 9. Variable aléatoire X donné par la fonction de distribution :
.

Trouver la probabilité qu'à la suite du test, la valeur X prenne la valeur contenue dans l'intervalle .

Solution. La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle donné est égale à l'incrément de la fonction intégrale dans cet intervalle, c'est-à-dire . Dans notre cas et donc

.

Tâche 10. Variable aléatoire discrète X est donnée par la loi de distribution :

Trouver la fonction de distribution F(x ) et tracez-le.

Solution. Depuis la fonction de distribution,

Pour , Que

à ;

à ;

à ;

à ;

Graphique pertinent :

Problème 11. Variable aléatoire continue X donné par la fonction de distribution différentielle : .

Trouver la probabilité de réussite X par intervalle

Solution. Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de la loi de distribution exponentielle.

Utilisons la formule : .

Tâche 12. Trouver les caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète X spécifiée par la loi de distribution :

LOI DE DISTRIBUTION ET CARACTÉRISTIQUES

VARIABLES ALÉATOIRES

Variables aléatoires, leur classification et méthodes de description.

Une quantité aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, mais laquelle n'est pas connue à l'avance. Par conséquent, pour une variable aléatoire, vous ne pouvez spécifier que des valeurs, dont l'une sera certainement le résultat d'une expérience. Dans ce qui suit nous appellerons ces valeurs valeurs possibles de la variable aléatoire. Puisqu'une variable aléatoire caractérise quantitativement le résultat aléatoire d'une expérience, elle peut être considérée comme une caractéristique quantitative d'un événement aléatoire.

Les variables aléatoires sont généralement désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin, par exemple X..Y..Z, et leurs valeurs possibles par les minuscules correspondantes.

Il existe trois types de variables aléatoires :

Discret; Continu; Mixte.

Discret est une variable aléatoire dont le nombre de valeurs possibles forme un ensemble dénombrable. À son tour, un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés est appelé dénombrable. Le mot « discret » vient du latin discretus, signifiant « discontinu, constitué de parties distinctes ».

Exemple 1. Une variable aléatoire discrète est le nombre de pièces défectueuses X dans un lot de nproduits. En effet, les valeurs possibles de cette variable aléatoire sont une suite d'entiers allant de 0 à n.

Exemple 2. Une variable aléatoire discrète est le nombre de tirs avant le premier coup sur la cible. Ici, comme dans l'exemple 1, les valeurs possibles peuvent être numérotées, bien que dans le cas limite la valeur possible soit un nombre infiniment grand.

Continu est une variable aléatoire dont les valeurs possibles remplissent en permanence un certain intervalle de l'axe numérique, parfois appelé intervalle d'existence de cette variable aléatoire. Ainsi, sur tout intervalle fini d'existence, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infiniment grand.

Exemple 3. Une variable aléatoire continue est la consommation électrique mensuelle d'une entreprise.

Exemple 4. Une variable aléatoire continue est l'erreur de mesure de la hauteur à l'aide d'un altimètre. D'après le principe de fonctionnement de l'altimètre, l'erreur est comprise entre 0 et 2 m. L'intervalle d'existence de cette variable aléatoire est donc l'intervalle de 0 à 2 m.

Loi de distribution des variables aléatoires.

Une variable aléatoire est considérée comme complètement spécifiée si ses valeurs possibles sont indiquées sur l'axe numérique et que la loi de distribution est établie.

Loi de distribution d'une variable aléatoire est une relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

Une variable aléatoire est dite distribuée selon une loi donnée, ou soumise à une loi de distribution donnée. Un certain nombre de probabilités, de fonctions de distribution, de densité de probabilité et de fonctions caractéristiques sont utilisées comme lois de distribution.

La loi de distribution donne une description probable complète d'une variable aléatoire. Selon la loi de distribution, on peut juger avant l'expérience quelles valeurs possibles d'une variable aléatoire apparaîtront le plus souvent et lesquelles moins souvent.

Pour une variable aléatoire discrète, la loi de distribution peut être précisée sous forme de tableau, analytiquement (sous forme de formule) et graphiquement.

La forme la plus simple de spécification de la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est un tableau (matrice), qui répertorie par ordre croissant toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes, c'est-à-dire

Un tel tableau est appelé une série de distribution d'une variable aléatoire discrète. 1

Les événements X 1, X 2,..., X n, consistant dans le fait qu'à la suite du test, la variable aléatoire X prendra respectivement les valeurs x 1, x 2,...x n, sont incohérent et les seuls possibles (puisque le tableau répertorie toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire), c'est-à-dire former un groupe complet. Par conséquent, la somme de leurs probabilités est égale à 1. Ainsi, pour toute variable aléatoire discrète

(Cette unité est en quelque sorte répartie parmi les valeurs de la variable aléatoire, d'où le terme « distribution »).

La série de distribution peut être représentée graphiquement si les valeurs de la variable aléatoire sont tracées le long de l'axe des abscisses et leurs probabilités correspondantes sont tracées le long de l'axe des ordonnées. La connexion des points obtenus forme une ligne brisée, appelée polygone ou polygone de distribution de probabilité (Fig. 1).

Exemple La loterie comprend : une voiture d'une valeur de 5 000 den. unités, 4 téléviseurs coûtant 250 den. unités, 5 magnétoscopes d'une valeur de 200 den. unités Au total, 1000 billets sont vendus pendant 7 jours. unités Élaborer une loi de répartition des gains nets reçus par un participant à la loterie qui a acheté un billet.

Solution. Les valeurs possibles de la variable aléatoire X - les gains nets par ticket - sont égales à 0-7 = -7 argent. unités (si le ticket n'est pas gagnant), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unités (si le billet contient respectivement les gains d'un magnétoscope, d'un téléviseur ou d'une voiture). Considérant que sur 1000 billets, le nombre de non-gagnants est de 990 et que les gains indiqués sont respectivement de 5, 4 et 1, et en utilisant la définition classique de la probabilité, nous obtenons.