Les parenthèses ouvertes d'expression diminuent. Comment ouvrir les parenthèses ? La règle d'ouverture des parenthèses lors de l'addition

Cette partie de l’équation est l’expression entre parenthèses. Pour ouvrir des parenthèses, regardez le signe devant les parenthèses. S'il y a un signe plus, ouvrir les parenthèses dans l'expression ne changera rien : supprimez simplement les parenthèses. S'il y a un signe moins, lors de l'ouverture des parenthèses, vous devez remplacer tous les signes qui étaient à l'origine entre parenthèses par les signes opposés. Par exemple, -(2x-3)=-2x+3.

Multiplier deux parenthèses.
Si l'équation contient le produit de deux parenthèses, développez les parenthèses selon la règle standard. Chaque terme de la première tranche est multiplié par chaque terme de la deuxième tranche. Les nombres résultants sont résumés. Dans ce cas, le produit de deux « plus » ou de deux « moins » donne au terme un signe « plus », et si les facteurs ont des signes différents, il reçoit un signe « moins ».
Considérons.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

En ouvrant des parenthèses, élevant parfois une expression à . Les formules de mise au carré et de cube doivent être connues par cœur et mémorisées.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(ab)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Les formules permettant de construire des expressions supérieures à trois peuvent être élaborées à l'aide du triangle de Pascal.

Sources:

• formule d'expansion des parenthèses

Les opérations mathématiques entre parenthèses peuvent contenir des variables et des expressions à des degrés divers des difficultés. Pour multiplier de telles expressions, il faudra chercher une solution dans vue générale, ouvrant les parenthèses et simplifiant le résultat. Si les parenthèses contiennent des opérations sans variables, uniquement avec valeurs numériques, alors il n'est pas nécessaire d'ouvrir les parenthèses, car si vous possédez un ordinateur, son utilisateur a accès à des ressources informatiques très importantes - il est plus facile de les utiliser que de simplifier l'expression.

Instructions

Multipliez séquentiellement chacun (ou le minuscule avec ) contenu dans une parenthèse par le contenu de toutes les autres parenthèses si vous souhaitez obtenir le résultat sous forme générale. Par exemple, écrivons l'expression originale comme suit : (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Ensuite, la multiplication séquentielle (c'est-à-dire l'ouverture des parenthèses) donnera le résultat suivant : (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Simplifiez le résultat en raccourcissant les expressions. Par exemple, l'expression obtenue à l'étape précédente peut être simplifiée comme suit : 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Utilisez une calculatrice si vous devez multiplier x est égal à 4,75, soit (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Pour calculer cette valeur, rendez-vous sur le site du moteur de recherche Google ou Nigma et saisissez l'expression dans le champ de requête sous sa forme originale (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google affichera 82.265625 immédiatement, sans cliquer sur un bouton, mais Nigma doit envoyer des données au serveur en cliquant sur un bouton.

Nous allons maintenant passer aux parenthèses ouvrantes dans les expressions dans lesquelles l'expression entre parenthèses est multipliée par un nombre ou une expression. Formulons une règle pour ouvrir les parenthèses précédées d'un signe moins : les parenthèses ainsi que le signe moins sont omises, et les signes de tous les termes entre parenthèses sont remplacés par les signes opposés.

Un type de transformation d’expression est l’expansion des parenthèses. Numérique, expressions littérales et les expressions avec des variables peuvent être composées à l'aide de parenthèses, qui peuvent indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées, contenir un nombre négatif, etc. Supposons que dans les expressions décrites ci-dessus, au lieu de nombres et de variables, il puisse y avoir n'importe quelle expression.

Et prêtons attention à un autre point concernant les particularités de l'écriture d'une solution lors de l'ouverture des parenthèses. Dans le paragraphe précédent, nous avons traité de ce qu’on appelle les parenthèses ouvrantes. Pour ce faire, il existe des règles d'ouverture des parenthèses, que nous allons maintenant passer en revue. Cette règle est dictée par le fait que nombres positifs Il est d'usage d'écrire sans parenthèses ; dans ce cas, les parenthèses sont inutiles. L'expression (−3,7)−(−2)+4+(−9) peut s'écrire sans parenthèses sous la forme −3,7+2+4−9.

Enfin, la troisième partie de la règle est simplement due aux particularités de l'écriture des nombres négatifs à gauche dans l'expression (dont nous avons parlé dans la section sur les parenthèses pour l'écriture des nombres négatifs). Vous pouvez rencontrer des expressions composées d'un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. Si vous ouvrez les parenthèses, en passant de l'interne à l'externe, alors la solution sera la suivante : −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Comment ouvrir les parenthèses ?

Voici une explication : −(−2 x) est +2 x, et puisque cette expression vient en premier, +2 x peut s'écrire 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x et −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La première partie de la règle écrite d'ouverture des parenthèses découle directement de la règle de multiplication des nombres négatifs. Sa deuxième partie est une conséquence de la règle de multiplication des nombres par différents signes. Passons à des exemples de parenthèses ouvrantes dans les produits et quotients de deux nombres de signes différents.

Parenthèses ouvrantes : règles, exemples, solutions.

La règle ci-dessus prend en compte toute la chaîne de ces actions et accélère considérablement le processus d'ouverture des parenthèses. La même règle vous permet d'ouvrir des parenthèses dans des expressions qui sont des produits et des expressions partielles avec un signe moins qui ne sont pas des sommes ni des différences.

Regardons des exemples d'application de cette règle. Donnons la règle correspondante. Ci-dessus, nous avons déjà rencontré des expressions de la forme −(a) et −(−a), qui sans parenthèses s'écrivent respectivement −a et a. Par exemple, −(3)=3, et. Ce sont des cas particuliers de la règle énoncée. Examinons maintenant des exemples de parenthèses ouvrantes lorsqu'elles contiennent des sommes ou des différences. Montrons des exemples d'utilisation de cette règle. Notons l'expression (b1+b2) par b, après quoi nous utilisons la règle de multiplication de la parenthèse par l'expression du paragraphe précédent, nous avons (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

Par récurrence, cette affirmation peut être étendue à un nombre arbitraire de termes dans chaque parenthèse. Il reste à ouvrir les parenthèses dans l'expression résultante, en utilisant les règles des paragraphes précédents, au final on obtient 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

La règle en mathématiques est d'ouvrir les parenthèses s'il y a (+) et (-) avant les parenthèses.

Cette expression est le produit de trois facteurs (2+4), 3 et (5+7·8). Vous devrez ouvrir les parenthèses de manière séquentielle. Maintenant, nous utilisons la règle pour multiplier une parenthèse par un nombre, nous avons ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Diplômes dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec en nature peut être considéré comme le produit de plusieurs parenthèses.

Par exemple, transformons l'expression (a+b+c)2. Tout d'abord, nous l'écrivons comme un produit de deux parenthèses (a+b+c)·(a+b+c), maintenant nous multiplions une parenthèse par une parenthèse, nous obtenons a·a+a·b+a·c+ b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Disons aussi que pour élever les sommes et les différences de deux nombres dans diplôme naturel Il est conseillé d'utiliser la formule binomiale de Newton. Par exemple, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Il n'est pas moins pratique de remplacer d'abord la division par la multiplication, puis d'utiliser la règle correspondante pour ouvrir les parenthèses dans un produit.

Reste à comprendre l'ordre d'ouverture des parenthèses à l'aide d'exemples. Prenons l'expression (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Nous substituons ces résultats dans l'expression originale : (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Il ne reste plus qu'à finir d'ouvrir les parenthèses, on a donc −5+3·2:4+6·7. Cela signifie que lorsque l'on passe du côté gauche de l'égalité vers la droite, les parenthèses s'ouvrent.

Notez que dans les trois exemples, nous avons simplement supprimé les parenthèses. Tout d’abord, ajoutez 445 à 889. Cette action peut être effectuée mentalement, mais elle n’est pas très facile. Ouvrons les parenthèses et voyons que la procédure modifiée simplifiera considérablement les calculs.

Comment étendre les parenthèses à un autre degré

Illustrer un exemple et une règle. Regardons un exemple : . Vous pouvez trouver la valeur d'une expression en additionnant 2 et 5, puis en prenant le nombre résultant de signe opposé. La règle ne change pas s’il n’y a pas deux, mais trois termes ou plus entre parenthèses. Commentaire. Les signes ne sont inversés que devant les termes. Pour ouvrir les parenthèses, dans ce cas nous devons nous rappeler la propriété distributive.

Pour les nombres simples entre parenthèses

Votre erreur n'est pas dans les signes, mais dans mauvais fonctionnement avec des fractions ? En 6e année, nous avons appris les nombres positifs et négatifs. Comment allons-nous résoudre des exemples et des équations ?

Combien y a-t-il entre parenthèses ? Que pouvez-vous dire de ces expressions ? Bien entendu, le résultat du premier et du deuxième exemples est le même, ce qui signifie qu'on peut mettre un signe égal entre eux : -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Qu'a-t-on fait des parenthèses ?

Démonstration de la diapositive 6 avec les règles d'ouverture des parenthèses. Ainsi, les règles d'ouverture des parenthèses nous aideront à résoudre des exemples et à simplifier les expressions. Ensuite, les élèves sont invités à travailler en binôme : ils doivent utiliser des flèches pour relier l'expression contenant des parenthèses avec l'expression correspondante sans parenthèses.

Diapositive 11 Il était une fois Ville ensoleillée Znayka et Dunno se sont demandé lequel d'entre eux avait résolu correctement l'équation. Ensuite, les élèves résolvent l’équation eux-mêmes en utilisant les règles d’ouverture des parenthèses. Résolution d'équations » Objectifs du cours : pédagogique (renforcement des connaissances sur le thème : « Ouverture des parenthèses.

Sujet de cours : « Parenthèses ouvrantes. Dans ce cas, vous devez multiplier chaque terme des premières parenthèses par chaque terme des deuxièmes parenthèses, puis additionner les résultats. Tout d'abord, les deux premiers facteurs sont pris, enfermés dans une parenthèse supplémentaire, et à l'intérieur de ces parenthèses, les parenthèses sont ouvertes selon l'une des règles déjà connues.

rawalan.freezeet.ru

Parenthèses ouvrantes : règles et exemples (7e année)

La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs expressions numériques . Par exemple, V numériquement\(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Cependant, si nous avons affaire à expression algébrique contenant variable- par exemple, comme ceci : \(2(x-3)\) - alors il est impossible de calculer la valeur entre parenthèses, la variable gêne. Par conséquent, dans ce cas, les parenthèses sont « ouvertes » en utilisant les règles appropriées.

Règles d'ouverture des parenthèses

S'il y a un signe plus devant la parenthèse, alors la parenthèse est simplement supprimée, l'expression qu'elle contient reste inchangée. Autrement dit:

Il faut ici préciser qu'en mathématiques, pour raccourcir les notations, il est d'usage de ne pas écrire le signe plus s'il apparaît en premier dans l'expression. Par exemple, si nous ajoutons deux nombres positifs, par exemple sept et trois, alors nous n'écrivons pas \(+7+3\), mais simplement \(7+3\), malgré le fait que sept soit aussi un nombre positif . De même, si vous voyez par exemple l’expression \((5+x)\) – sachez que avant le support il y a un plus, qui n'est pas écrit.

Exemple . Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires : \((x-11)+(2+3x)\).
Solution : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

S'il y a un signe moins devant la parenthèse, alors lorsque la parenthèse est supprimée, chaque terme de l'expression à l'intérieur change de signe pour le signe opposé :

Ici, il est nécessaire de préciser que pendant que a était entre parenthèses, il y avait un signe plus (ils ne l'ont tout simplement pas écrit), et après avoir retiré la parenthèse, ce plus s'est transformé en moins.

Exemple : Simplifiez l'expression \(2x-(-7+x)\).
Solution : à l'intérieur de la parenthèse il y a deux termes : \(-7\) et \(x\), et avant la parenthèse il y a un moins. Cela signifie que les signes changeront - et le sept sera désormais un plus et le x sera désormais un moins. Ouvrez le support et nous présentons des termes similaires .

Exemple. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

S'il y a un facteur devant la parenthèse, alors chaque membre de la parenthèse est multiplié par celui-ci, c'est-à-dire :

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Reste à considérer la dernière situation.

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Retirez le premier support et multipliez chaque membre par le deuxième support :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n’est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails ; vous pouvez les multiplier immédiatement. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
— ouvrez les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Commençons la tâche en ouvrant le support intérieur (celui à l'intérieur). En le développant, nous ne traitons que de ce qui s'y rapporte directement - c'est le support lui-même et le moins devant lui (surligné en vert). Nous réécrivons tout le reste (non mis en évidence) de la même manière.

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Un peu de théorie.

Produit d'un monôme et d'un polynôme. Le concept de polynôme

Parmi diverses expressions, qui sont considérés en algèbre, place importante occupent des sommes de monômes. Voici des exemples de telles expressions :

La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d'un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.

Représentons tous les termes sous forme de monômes vue générale:

Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :

Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Derrière degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, un binôme a le troisième degré et un trinôme a le deuxième.

Généralement, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants de son degré. Par exemple:

La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque la mise entre parenthèses est la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant propriétés distributives les multiplications peuvent être converties (simplifiées) en un polynôme, produit d'un monôme et d'un polynôme. Par exemple:

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.

Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Habituellement, la règle suivante est utilisée.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.

Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés

Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être u, c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Avez-vous remarqué que les noms expressions spécifiées aussi inachevé soit-il, par exemple, il ne s’agit bien sûr pas seulement du carré de la somme, mais du carré de la somme de a et b. Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent ; en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient des expressions diverses, parfois assez complexes.

Les expressions peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de forme standard ; en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes :

Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.

- carré de la somme égal à la somme carrés et doublez le produit.

— le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le double produit.

- la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent de remplacer ses parties de gauche par celles de droite dans les transformations et vice versa - les parties de droite par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.

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Parenthèses extensibles

Nous continuons à étudier les bases de l'algèbre. DANS Cette leçon nous apprendrons comment développer les parenthèses dans les expressions. Développer les parenthèses signifie supprimer les parenthèses d’une expression.

Pour ouvrir des parenthèses, vous n'avez besoin de mémoriser que deux règles. À cours réguliers Vous pouvez ouvrir les parenthèses avec yeux fermés, et les règles qui devaient être apprises par cœur peuvent être oubliées en toute sécurité.

La première règle pour ouvrir les parenthèses

Considérons l'expression suivante :

La valeur de cette expression est 2 . Ouvrons les parenthèses dans cette expression. Développer les parenthèses signifie s'en débarrasser sans affecter le sens de l'expression. Autrement dit, après s'être débarrassé des parenthèses, la valeur de l'expression 8+(−9+3) devrait toujours être égal à deux.

La première règle pour ouvrir les parenthèses est la suivante :

Lors de l'ouverture des parenthèses, s'il y a un plus devant les parenthèses, alors ce plus est omis avec les parenthèses.

On voit donc cela dans l'expression 8+(−9+3) Il y a un signe plus devant les parenthèses. Ce plus doit être omis ainsi que les parenthèses. En d’autres termes, les parenthèses disparaîtront avec le plus qui les précédait. Et ce qui était entre parenthèses sera écrit sans changement :

8−9+3 . Cette expressionéquivaut à 2 , comme l'expression précédente entre parenthèses, était égal à 2 .

8+(−9+3) Et 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 3 + (−1 − 4)

Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses restera inchangé :

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 + (−1)

DANS dans cet exemple les parenthèses ouvrantes sont devenues une sorte de opération inverse remplacer la soustraction par l'addition. Qu'est-ce que ça veut dire?

En expression 2−1 une soustraction a lieu, mais elle peut être remplacée par une addition. On obtient alors l'expression 2+(−1) . Mais si dans l'expression 2+(−1) ouvrez les supports, vous obtenez l'original 2−1 .

Par conséquent, la première règle d’ouverture des parenthèses peut être utilisée pour simplifier les expressions après certaines transformations. Autrement dit, débarrassez-le des parenthèses et simplifiez-le.

Par exemple, simplifions l'expression 2a+a−5b+b .

Pour simplifier cette expression, des termes similaires peuvent être donnés. Rappelons que pour réduire des termes similaires, il faut additionner les coefficients des termes similaires et multiplier le résultat par la partie commune de la lettre :

J'ai une expression 3a+(−4b). Supprimons les parenthèses dans cette expression. Il y a un plus devant les parenthèses, nous utilisons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire que nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses :

Donc l'expression 2a+a−5b+b simplifie à 3a−4b .

Après avoir ouvert certaines parenthèses, vous en rencontrerez peut-être d’autres en cours de route. Nous leur appliquons les mêmes règles qu’aux premiers. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante :

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans ce cas, la première règle d'ouverture des parenthèses s'applique, à savoir l'omission des parenthèses ainsi que du signe plus qui précède ces parenthèses :

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 6+(−3)+(−2)

Aux deux endroits où il y a des parenthèses, elles sont précédées d'un plus. Ici encore, la première règle des parenthèses ouvrantes s’applique :

Parfois, le premier terme entre parenthèses est écrit sans signe. Par exemple, dans l'expression 1+(2+3−4) premier terme entre parenthèses 2 écrit sans signe. La question se pose, quel signe apparaîtra devant les deux après que les parenthèses et le plus devant les parenthèses aient été omis ? La réponse s'impose d'elle-même : il y aura un plus devant les deux.

En fait, même entre parenthèses, il y a un plus devant les deux, mais nous ne le voyons pas car il n’est pas écrit. Nous l'avons déjà dit dossier complet les nombres positifs ressemblent à +1, +2, +3. Mais selon la tradition, les plus ne s'écrivent pas, c'est pourquoi nous voyons les nombres positifs qui nous sont familiers. 1, 2, 3 .

Par conséquent, pour développer les parenthèses dans l’expression 1+(2+3−4) , comme d'habitude, vous devez omettre les parenthèses ainsi que le signe plus devant ces parenthèses, mais écrivez le premier terme qui était entre parenthèses avec un signe plus :

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −5 + (2 − 3)

Il y a un plus devant les parenthèses, nous appliquons donc la première règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le plus qui précède ces parenthèses. Mais le premier terme, que l'on écrit entre parenthèses avec un signe plus :

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression (−5)

Il y a un plus devant les parenthèses, mais il n’est pas écrit car il n’y a pas d’autres nombres ou expressions avant. Notre tâche est de supprimer les parenthèses en appliquant la première règle d'ouverture des parenthèses, à savoir omettre les parenthèses avec ce plus (même s'il est invisible)

Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (−6a + b)

Il y a un plus devant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Il y a deux endroits dans cette expression où vous devez développer les parenthèses. Dans les deux sections, il y a un plus avant les parenthèses, ce qui signifie que ce plus est omis avec les parenthèses. Ce qui était entre parenthèses sera écrit tel quel :

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La deuxième règle pour ouvrir les parenthèses

Examinons maintenant la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses. Il est utilisé lorsqu'il y a un moins avant les parenthèses.

S'il y a un moins avant les parenthèses, alors ce moins est omis avec les parenthèses, mais les termes qui étaient entre parenthèses changent de signe pour le signe opposé.

Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression suivante

On voit qu'il y a un moins avant les parenthèses. Cela signifie que vous devez appliquer la deuxième règle d'expansion, à savoir omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant ces parenthèses. Dans ce cas, les termes qui étaient entre parenthèses changeront de signe en sens inverse :

Nous avons une expression sans parenthèses 5+2+3 . Cette expression est égale à 10, tout comme l’expression précédente entre parenthèses était égale à 10.

Ainsi, entre les expressions 5−(−2−3) Et 5+2+3 vous pouvez mettre un signe égal, puisqu'ils sont égaux à la même valeur :

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemple 2. Développer les parenthèses dans l'expression 6 − (−2 − 5)

Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, à savoir, nous omettons les parenthèses ainsi que le moins qui précède ces parenthèses. Dans ce cas, on écrit les termes qui étaient entre parenthèses avec des signes opposés :

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemple 3. Développer les parenthèses dans l'expression 2 − (7 + 3)

Il y a un moins avant les parenthèses, nous appliquons donc la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses :

Exemple 4. Développer les parenthèses dans l'expression −(−3 + 4)

Exemple 5. Développer les parenthèses dans l'expression −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, vous devez appliquer la deuxième règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression +(−9−2) vous devez appliquer la première règle :

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemple 6. Développer les parenthèses dans l'expression −(−une − 1)

Exemple 7. Développer les parenthèses dans l'expression −(4a + 3)

Exemple 8. Développer les parenthèses dans l'expression un − (4b + 3) + 15

Exemple 9. Développer les parenthèses dans l'expression 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Il y a deux endroits où vous devez ouvrir les parenthèses. Dans le premier cas, vous devez appliquer la première règle pour l'ouverture des parenthèses, et lorsqu'il s'agit de l'expression −(3c+5) vous devez appliquer la deuxième règle :

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemple 10. Développer les parenthèses dans l'expression −une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Il y a trois endroits où vous devez ouvrir les supports. Vous devez d'abord appliquer la deuxième règle d'ouverture des parenthèses, puis la première, puis à nouveau la seconde :

−une − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −une + 4a − 6b + 8c − 15

Mécanisme d'ouverture du support

Les règles d'ouverture des parenthèses que nous avons maintenant examinées sont basées sur la loi distributive de la multiplication :

En fait parenthèses ouvrantes appeler la procédure lorsque multiplicateur commun multiplié par chaque terme entre parenthèses. Suite à cette multiplication, les parenthèses disparaissent. Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Par conséquent, si vous devez multiplier un nombre par une expression entre parenthèses (ou multiplier une expression entre parenthèses par un nombre), vous devez dire ouvrons les parenthèses.

Mais quel est le lien entre la loi distributive de la multiplication et les règles d’ouverture des parenthèses que nous avons examinées plus tôt ?

Le fait est qu’avant toute parenthèse, il existe un facteur commun. Dans l'exemple 3×(4+5) le facteur commun est 3 . Et dans l'exemple une(b+c) le facteur commun est une variable un.

S'il n'y a pas de nombres ou de variables avant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 ou −1 , en fonction du signe placé devant les parenthèses. S’il y a un plus devant les parenthèses, alors le facteur commun est 1 . S’il y a un moins avant les parenthèses, alors le facteur commun est −1 .

Par exemple, développons les parenthèses dans l’expression −(3b−1). Il y a un signe moins devant les parenthèses, vous devez donc utiliser la deuxième règle pour ouvrir les parenthèses, c'est-à-dire omettre les parenthèses ainsi que le signe moins devant les parenthèses. Et écrivez l'expression qui était entre parenthèses avec des signes opposés :

Nous avons élargi les parenthèses en utilisant la règle d'expansion des parenthèses. Mais ces mêmes parenthèses peuvent être ouvertes en utilisant la loi distributive de la multiplication. Pour ce faire, écrivez d'abord avant les parenthèses le facteur commun 1, qui n'a pas été écrit :

Le signe moins qui se trouvait auparavant avant les parenthèses faisait référence à cette unité. Vous pouvez maintenant ouvrir les parenthèses en utilisant la loi distributive de la multiplication. A cet effet, le facteur commun −1 vous devez multiplier par chaque terme entre parenthèses et additionner les résultats.

Pour plus de commodité, nous remplaçons la différence entre parenthèses par le montant :

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Un péché dernière fois nous avons l'expression −3b+1. Tout le monde conviendra que cette fois, plus de temps a été consacré à la résolution d'un exemple aussi simple. Par conséquent, il est plus sage d'utiliser des règles toutes faites pour ouvrir les parenthèses, dont nous avons discuté dans cette leçon :

Mais cela ne fait pas de mal de savoir comment fonctionnent ces règles.

Dans cette leçon, nous avons appris encore une chose transformation identique. En ouvrant les parenthèses, en mettant le général entre parenthèses et en apportant des termes similaires, vous pouvez légèrement élargir l'éventail des problèmes à résoudre. Par exemple:

Ici, vous devez effectuer deux actions : ouvrez d'abord les parenthèses, puis apportez des termes similaires. Donc dans l'ordre :

1) Ouvrez les supports :

2) Nous présentons des termes similaires :

Dans l'expression résultante −10b+(−1) vous pouvez étendre les parenthèses :

Exemple 2. Ouvrez les parenthèses et ajoutez des termes similaires dans l'expression suivante :

1) Ouvrons les parenthèses :

2) Présentons des termes similaires. Cette fois, pour gagner du temps et de l'espace, nous n'écrirons pas comment les coefficients sont multipliés par la partie commune de la lettre

Exemple 3. Simplifier une expression 8m+3m et trouve sa valeur à m=−4

1) Tout d’abord, simplifions l’expression. Pour simplifier l'expression 8m+3m, vous pouvez en retirer le facteur commun m en dehors des parenthèses :

2) Trouver la valeur de l'expression m(8+3)à m=−4. Pour ce faire, dans l'expression m(8+3) au lieu d'une variable m remplacer le numéro −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Partout. Partout et où que vous regardiez, vous pouvez voir ces constructions :

Ces « constructions » suscitent des réactions mitigées parmi les lettrés. Au moins du genre « est-ce vraiment correct ?
En général, personnellement, je ne comprends pas d'où vient la « mode » de ne pas fermer les guillemets externes. La première et la seule analogie qui arrive à ce sujet est celle avec les parenthèses. Personne ne doute que deux parenthèses consécutives soient normales. Par exemple : « Payer la totalité du tirage (200 pièces (dont 100 défectueuses)). » Mais quelqu'un doutait de la normalité de mettre deux guillemets d'affilée (je me demande qui était le premier ?)... Et maintenant tout le monde est devenu complètement la conscience tranquille pour produire des structures telles que Firm Pupkov and Co. LLC.
Mais même si vous n'avez jamais vu la règle de votre vie, qui sera discutée ci-dessous, alors la seule option logique (en utilisant l'exemple des parenthèses) serait la suivante : LLC Firm Pupkov and Co.
Donc, la règle elle-même :
Si au début ou à la fin d'une citation (il en va de même pour le discours direct) il y a des guillemets internes et externes, alors ils doivent différer les uns des autres par leur conception (les soi-disant « chevrons » et « pétales »), et les guillemets externes ne doivent pas être omis, par exemple : C Les côtés du paquebot ont annoncé par radio : « Leningrad est entré sous les tropiques et continue sa route. » À propos de Joukovski, Belinsky écrit : « Les contemporains de la jeunesse de Joukovski le considéraient avant tout comme un auteur de ballades et, dans une de ses lettres, Batyushkov le traitait de « ballade ».
© Règles d'orthographe et de ponctuation russes. - Toula : Autographe, 1995. - 192 p.
En conséquence... si vous n'avez pas la possibilité de taper des guillemets « à chevrons », alors que pouvez-vous faire, vous devrez utiliser de telles icônes « ». Cependant, l'incapacité (ou le refus) d'utiliser des guillemets russes n'est en aucun cas une raison pour laquelle vous ne pouvez pas fermer les guillemets externes.

Ainsi, l'inexactitude de la conception de la SARL "Firm Pupkov and Co" semble avoir été corrigée. Il existe également des constructions comme la LLC "Pupkov and Co".
Il ressort tout à fait clairement de la règle que de telles constructions sont également analphabètes... (Correct : LLC "Firm "Pupkov and Co""

Cependant!
Le « Publisher and Author's Guide » d'A.E. Milchin (édition 2004) indique que deux options de conception peuvent être utilisées dans cas similaires. L'utilisation de « chevrons » et de « pattes » et (en l'absence de moyens techniques) l'utilisation de « chevrons » uniquement : deux d'ouverture et un de fermeture.
L'annuaire est « frais » et personnellement, j'ai tout de suite 2 questions ici. Premièrement, avec quelle joie peut-on utiliser un guillemet fermant (enfin, c'est illogique, voir ci-dessus), et deuxièmement, l'expression « en l'absence de moyens techniques » attire particulièrement l'attention. Comment ça se passe, excusez-moi ? Ouvrez maintenant le Bloc-notes et tapez « uniquement les arbres de Noël : deux d'ouverture et un de fermeture ». Il n'y a pas de tels symboles sur le clavier. Je n'arrive pas à imprimer « chevrons »... La combinaison Shift + 2 produit le signe " (qui, comme vous le savez, n'est pas un guillemet). Maintenant ouvert Microsoft Word et appuyez à nouveau sur Shift + 2. Le programme corrigera " en " (ou "). Eh bien, il s'avère que la règle qui existait depuis des décennies a été reprise et réécrite sous Microsoft Word ? Comme, depuis le Word de la « Firme » Pupkov. and Co" fait " Firm "Pupkov and Co", alors que cela soit maintenant acceptable et correct ???
Vraisemblablement. Et si tel est le cas, il y a tout lieu de douter de la justesse d’une telle innovation.

Oui, et encore une précision... sur le « manque de moyens techniques ». Le fait est que sur n'importe quel ordinateur Windows, il y a toujours " moyens techniques» pour saisir à la fois « arbres de Noël » et « pattes », donc cette nouvelle « règle » (pour moi elle est entre guillemets) est incorrecte dès le début !

Tous les caractères spéciaux d'une police peuvent être facilement saisis en connaissant le numéro correspondant de ce caractère. Il suffit de maintenir Alt enfoncé et de taper sur le clavier NumLock (NumLock est enfoncé, le voyant est allumé) le numéro du symbole correspondant :

„ Alt + 0132 (pied gauche)
" Alt + 0147 (pied droit)
« Alt + 0171 (chevron gauche)
» Alt + 0187 (chevron droit)

La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. Par exemple, dans l'expression numérique \(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
Solution : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solution : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Reste à considérer la dernière situation.

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Supprimez le premier support - multipliez chaque membre par le deuxième support :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Puis la seconde.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n’est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails ; vous pouvez les multiplier immédiatement. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- bien comprendre l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
- ouvrir les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solution :

Développer des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d’obtenir une note supérieure à C en 8e et 9e années. Par conséquent, je vous recommande de bien comprendre ce sujet.

Dans presque tous les textes, vous pouvez trouver des parenthèses et des tirets. Mais les utilisateurs ne les formatent pas toujours correctement. Par exemple, il n'est pas rare de voir un tiret sans un ou deux espaces, où le texte est collé au caractère. Il en va de même pour les parenthèses dont l'utilisation est inappropriée ou sans tenir compte des règles d'écriture surcharge le texte. Cet article aborde les problèmes d'écriture des parenthèses et des tirets conformément aux règles généralement acceptées.

Règles d'écriture des parenthèses

Lorsque vous écrivez des parenthèses, suivez les mêmes règles que pour les guillemets. Par exemple, deux parenthèses ne sont pas alignées.

Il existe plusieurs cas courants où des parenthèses sont utilisées :

Mots individuels, groupes de mots et phrases entières qui n'ont pas relation directeà l'idée principale exprimée par l'auteur. Phrases prononcées avec désinvolture lorsque l’auteur n’attire pas l’attention du lecteur sur elles. Les expressions entre parenthèses sont exclues de structure syntaxique des offres.

Exemple: " Et même si je comprends moi-même que lorsqu'elle m'arrache les cheveux, elle ne le fait que par pitié dans son cœur (car, je le répète sans gêne, elle me tire les cheveux, jeune homme, confirma-t-il avec beaucoup de dignité en entendant à nouveau le rire) , mais, mon Dieu, et si elle ne l'avait fait qu'une fois... Mais non ! Non! tout cela est en vain, et il n'y a rien à dire ! il n'y a rien à dire !.. car plus d'une fois la chose désirée s'est déjà produite, et plus d'une fois ils ont eu pitié de moi, mais... c'est déjà mon trait, et je suis une bête née! (F.M. Dostoïevski, « Crime et Châtiment »)

De brèves remarques visant à clarifier un mot ou une expression particulière dans une phrase sont placées entre parenthèses.

Exemple: " Un bavardage normal et rassurant s'ensuivit, accompagné d'une sincère sympathie (nous avons tous notre place ici et nous sommes tous, en général, de bonnes personnes) Il y a aussi un soupçon de soulagement moqueur. Pas moi! Je n’ai pas fait cette bêtise, c’était clair sur leurs visages."(S. Lukyanenko, "Les ombres des rêves")

Exemple: " J'ai demandé à un yogi ivre
(Il a mangé des rasoirs et des ongles comme des saucisses):
"Écoute, mon ami, ouvre-toi à moi - par Dieu,
J'emporterai le secret avec moi dans la tombe !»
(V. Vysotsky, « Chanson sur les Yogis »)

Les liens vers les formules et les illustrations sont encadrés parenthèses, Par exemple (Fig. 2), (diag. 3, page 184) , « Formule (1) est une conséquence du théorème de Pythagore. Formules (2) Et (3) sont obtenus à partir de la formule (1) . » et sources d'information (littérature, publications) crochets, Par exemple: , , etc.

Les remarques sont incluses entre parenthèses, exemple brillant– les scénarios où les mises en scène indiquent l’incarnation verbale d’une action continue, par exemple :
« Will rit.
SKYLAR (continue)
Comment faites-vous? Je ne... je veux dire, même le plus personnes intelligentes, que je connais, nous en avons quelques-uns à Harvard, nous devons étudier - beaucoup. C'est compliqué.
(pause)
Écoute, Will, si tu ne veux pas me le dire...»
(Scénario du film « Good Will Hunting »

Les parenthèses directes sont également utilisées lors de l'ajout de mots inachevés dans les articles de l'auteur.

La numérotation dans le texte est écrite entre parenthèses dans le format suivant :
1)
UN)
*)
Les panneaux de notes de bas de page (légendes) sont conçus de la même manière.

Règles d'écriture des tirets

Le tiret est un signe de ponctuation ; lors de l'écriture avant et après le tiret, un espace est toujours écrit.

Il existe quelques exceptions où un tiret est écrit sans les deux ou un seul espace :
Lorsqu'un paragraphe commence par un tiret, un espace est placé seulement après.
lorsqu'un tiret est placé entre deux nombres, faisant office de trait d'union. Par exemple: " chaque jour notre site reçoit 3000 visiteurs - 3500 visiteurs».
Par exemple: " - Oh... Euh... – Page, abasourdi, ne pouvait que marmonner."(Philip K. Dick, "Rapport minoritaire")

La plupart des signes de ponctuation, y compris les virgules, les points d'interrogation, points d'exclamation sont placés avant le tiret. Exemple: " Région montagneuse centrale dans laquelle se trouvent les monts du Pinde , - la plus peu peuplée. Le point le plus haut Le mont Olympe de Grèce (2917 m) se trouve dans cette région. La Grèce centrale est la région la plus peuplée."(Ouvrage de référence éclopédique "Le monde entier. Pays")

Le tiret est utilisé dans plusieurs cas :
- comme signe de ponctuation ;
- comme connecteur de paire nombres limites, Par exemple: 80-90% ;
- Comment signe mathématique moins;
- comme symbole séparateur ou symboleà partir d'un texte explicatif, par exemple, lorsqu'un décodage des symboles inclus dans la formule est donné, ou qu'une explication est donnée pour l'illustration ;
- comme signe de césure, dans ce cas le tiret est écrit avec la partie sans césure du mot et ne doit pas être répété au début de la ligne suivante ;
- comme une ligne de connexion ou un trait d'union.