સંખ્યા ક્રમ. III

હેતુ: ખ્યાલ આપવા માટે, ક્રમની વ્યાખ્યા, મર્યાદિત, અનંત, ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવાની વિવિધ રીતો, તેમના તફાવતો, ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવો.

સાધનસામગ્રી: કોષ્ટકો.

પાઠની પ્રગતિ

આઈ. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

II. આગળની તપાસહોમવર્ક

1) બોર્ડ ટાસ્ક નંબર 2.636 પરનો વિદ્યાર્થી ("ગ્રેડ 9 માં લેખિત પરીક્ષા માટે કાર્યોના સંગ્રહના ભાગ II માંથી)

2) વિદ્યાર્થી. એક ગ્રાફ બનાવો

3) સમગ્ર વર્ગ નંબર 2.334 (a) સાથે આગળ.

III. નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

શાળા વ્યાખ્યાન એ શૈક્ષણિક પ્રક્રિયાને ગોઠવવાનું એક સ્વરૂપ છે જે વિદ્યાર્થીઓને કોઈ ચોક્કસ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે મુખ્ય વસ્તુ તરફ લક્ષી બનાવે છે અને તેમાં શૈક્ષણિક સામગ્રી પ્રત્યે શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓના વ્યક્તિગત વલણનું વ્યાપક પ્રદર્શન સામેલ છે. કારણ કે પાઠ-વ્યાખ્યાન શિક્ષક દ્વારા સામગ્રીની વિશાળ-બ્લોક પ્રસ્તુતિ માટે પ્રદાન કરે છે, પછી શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે મૌખિક સંચાર તેની તકનીકમાં મુખ્ય વસ્તુ છે. શિક્ષકના શબ્દની ભાવનાત્મક, સૌંદર્યલક્ષી અસર હોય છે અને તે વિષય પ્રત્યે ચોક્કસ વલણ બનાવે છે. વ્યાખ્યાનની મદદથી, વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની વિવિધ પ્રકારની પ્રવૃત્તિઓનું માર્ગદર્શન આપવામાં આવે છે, અને જ્ઞાન, કૌશલ્ય અને ક્ષમતાઓ દ્વારા, શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિના આધાર તરીકે સમજશક્તિની રચના થાય છે.

I. 3 માં સમાપ્ત થતી બે-અંકની સંખ્યાઓ ચડતા ક્રમમાં લખો.

13; 23; 33;………….93.

ચોક્કસ બે-અંકની સંખ્યા સાથે 1 થી 9 સુધીના દરેક સીરીયલ નંબરને મેચ કરો:

1->13; 2->23;………9->93.

પ્રથમ નવ કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ અને સમૂહ વચ્ચે ડબલ ડિજિટ નંબરોનંબર 3 સાથે સમાપ્ત થતાં, એક મેચ સ્થાપિત કરવામાં આવી છે. આ પત્રવ્યવહાર એક કાર્ય છે.

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર છે (1; 2; 3;……..9)

ઘણા મૂલ્યો (13; 23; 33;…….93).

જો પત્રવ્યવહાર f દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી

આ ક્રમ પાર નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

કોષ્ટક નં. 1

એ)

b)

II.

ઓ.ઓ.એફ. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યને અનંત ક્રમ કહેવામાં આવે છે.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)…..f(n)

- ક્રમના સભ્યો.

નોંધ: સમૂહની વિભાવના અને ક્રમની વિભાવના વચ્ચે તફાવત કરવો જરૂરી છે.

એ) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

એ જ સેટ.

b) જો કે, સિક્વન્સ 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

વિવિધ:

III. ક્રમ ધ્યાનમાં લો:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> અનંત, વધતી જતી

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> અંતિમ, ઘટતું.

જો દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, તેના પાછલા સભ્ય કરતા વધારે હોય તો ક્રમને વધારો કહેવામાં આવે છે.

b)

ઘટતા ક્રમની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે.

વધતા અથવા ઘટતા ક્રમને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - વધઘટ;

5; 5; 5; 5; ….. - સતત.

IV. સિક્વન્સને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવી શકાય છે. કારણ કે ક્રમ એ એક કાર્ય છે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેટ N છે, પછી ગ્રાફ, દેખીતી રીતે, પ્લેન (x; y) ના બિંદુઓનો સમૂહ છે.

ઉદાહરણ:-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

ચાલો આ ક્રમનું કાવતરું કરીએ

આકૃતિ 1.

ઉદાહરણ: સાબિત કરો કે આ ફોર્મમાં આપેલ ક્રમ

99; 74; 49; 24; -1;……………

ઘટી રહ્યું છે.

V. ક્રમ સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

કારણ કે ક્રમ એ સેટ N પર વ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે, પછી ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરવાની પાંચ રીતો છે:

I. ટેબ્યુલર

II. વર્ણન પદ્ધતિ

III. વિશ્લેષણાત્મક

IV. ગ્રાફિક

વી. રિકરન્ટ

I. ટેબ્યુલર - ખૂબ અસુવિધાજનક. અમે એક ટેબલ બનાવીએ છીએ અને તેનો ઉપયોગ કયો સભ્ય નક્કી કરવા માટે કરીએ છીએ? તે કઇ જગ્યા લે છે……..

II. વર્ણન પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ: ક્રમ એવો છે કે દરેક સભ્ય નંબર 4 નો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે, અને અંકોની સંખ્યા અનુક્રમ નંબરની સંખ્યા જેટલી હોય છે.

III. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ(સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને).

એક સૂત્ર જે ક્રમના દરેક સભ્યને તેની સંખ્યા n ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરે છે તેને ક્રમના n સભ્યનું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

અને વિદ્યાર્થીઓ આ ક્રમ બનાવે છે, અને ઊલટું: ક્રમની શરતો માટે એક સૂત્ર પસંદ કરો:

એ) 1; ;
b) ...
;…………..
વી)
જી)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV.ગ્રાફિક પદ્ધતિ

- પણ ખૂબ અનુકૂળ નથી, તેઓ સામાન્ય રીતે તેનો ઉપયોગ કરતા નથી..

સંખ્યા ક્રમ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી પોતે જ સુંદર છે: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …. તે તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં ચડતા ક્રમનું નિદર્શન કરે છે. સંખ્યાઓની આગળની સાંકળ બનાવવાનો સિદ્ધાંત એટલો સ્પષ્ટ નથી: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., જો કે તે રેન્ડમ પણ નથી: દરેક સંખ્યા, ત્રીજાથી શરૂ થાય છે, બે પાછલા રાશિઓના સરવાળા સમાન. કુદરતી સંખ્યાઓની આ શ્રેણી, જેની પોતાની છેઐતિહાસિક નામ

- ફિબોનાકી શ્રેણીનું પોતાનું તર્ક અને સુંદરતા છે, જેની સમજ માત્ર લક્ષિત અભ્યાસથી જ શક્ય છે. ફિબોનાક્કી નંબર્સ. લિયોનાર્ડો ફિબોનાકી (). પ્રખ્યાત ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, ધ બુક ઓફ એબેકસના લેખક. આ પુસ્તક ઘણી સદીઓ સુધી અંકગણિત અને બીજગણિત પરની માહિતીનો મુખ્ય ભંડાર રહ્યું. એલ. ફિબોનાકીના કાર્યો દ્વારા સમગ્ર યુરોપમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત થઈ, ગણતરી સિસ્ટમ, તેમજ વ્યવહારુ ભૂમિતિ. તેઓ ડેકાર્ટેસના યુગ સુધી લગભગ ડેસ્કટોપ પાઠ્યપુસ્તકો રહ્યા (અને આ પહેલેથી જ 17મી સદી છે!).

ક્રમનો નિયમ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો છે મૌખિક વર્ણન. ઉદાહરણો. 1) 50 કરતા ઓછી સાદી બે-અંકની સંખ્યાઓનો ક્રમ એ મર્યાદિત ક્રમ છે: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) અંદાજનો અનંત ક્રમ અતાર્કિક સંખ્યા= =1, ...: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1, 7321, ... મૌખિક

એક નિયમ ઉલ્લેખિત છે જે આપેલ ક્રમના nમા સભ્યની ગણતરી કરવાની પરવાનગી આપે છે જો તેના અગાઉના તમામ સભ્યો જાણીતા હોય. ઉદાહરણ. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, જો n2. ચાલો આ ક્રમના પ્રથમ થોડા શબ્દોની ગણતરી કરીએ: 1, 2, 6, 24, 120, …. તમે ચકાસી શકો છો કે આ ક્રમનો nમો શબ્દ ઉત્પાદન સમાનપ્રથમ n કુદરતી સંખ્યાઓ: y n = n ! આવર્તક

સમસ્યા 2 વારંવાર આપવામાં આવતા ક્રમના પ્રથમ પાંચ પદો શોધો: y 1 = 2, y n = y n જવાબ: 2, 7, 12, 17, 22. તાલીમ શ્રુતલેખનવિકલ્પ 1 (2) 1. સંખ્યા 1200 ના વિભાજકોનો ક્રમ મર્યાદિત છે કે અનંત? (8 ના ગુણાકાર?) 2. શું સંખ્યાઓનો ક્રમ 6 મર્યાદિત અથવા અનંતના ગુણાંક છે? (2400 નંબરના વિભાજકો?) 3. ક્રમ એ n =5n+2 (b n =n 2 -3) સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેની ત્રીજી પદ બરાબર શું છે? 4. તમામ ત્રણ-અંક (બે-અંકની) સંખ્યાઓના ક્રમના છેલ્લા સભ્યને લખો. 5. અનુક્રમ n+1 =a n -4, અને 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8) માટે આવર્તક સૂત્ર આપેલ છે. 2 (b 2) શોધો.

વિકલ્પ અલ્ટીમેટ. 2. અનંત વિકલ્પ અનંત. 2. અલ્ટીમેટ

પૃષ્ઠ 2

મૂળભૂત પ્રતીકોના મર્યાદિત ક્રમને એસ-સિદ્ધાંત અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે.  

આલ્ફાબેટીક સિમ્બોલ (ખાલી ચિહ્નો સહિત)ના એક મનસ્વી સીમિત ક્રમને સાંકળ કહેવામાં આવે છે.  

વિચારણા હેઠળનું SPD પેકેટ સ્વિચિંગ મોડને લાગુ કરે છે, જે એક ટ્રાન્સમિશન પદ્ધતિ છે જેમાં વપરાશકર્તા સંદેશાઓમાંથી ડેટાને અલગ પેકેટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેના ટ્રાન્સમિશન માર્ગો નેટવર્કમાં સ્ત્રોતથી પ્રાપ્તકર્તા સુધીના દરેક નિયંત્રણ કેન્દ્રમાં નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં પેકેટો પ્રાપ્ત થાય છે. સંદેશાને સિમેન્ટીક સામગ્રી ધરાવતા પ્રતીકોના મર્યાદિત ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવે છે. પેકેટ એ હેડર સાથેનો ડેટાનો બ્લોક છે, જે નિર્દિષ્ટ ફોર્મેટમાં પ્રસ્તુત છે અને મર્યાદિત છે મહત્તમ લંબાઈ. નોંધ કરો કે ઓવરલોડ અને ડેટા ટ્રાન્સમિશન તત્વોને નુકસાન થવાના કિસ્સામાં ડેટા ટ્રાન્સમિશન પાથ (રાઉટીંગ) ને ઝડપથી ફરીથી ગોઠવવાની ક્ષમતાને કારણે પેકેટ-સ્વિચ્ડ ડેટા ટ્રાન્સમિશન સિસ્ટમ્સ અત્યંત કાર્યક્ષમ છે. ડેટા ટ્રાન્સમિશન સિસ્ટમ અને તેના ટુકડાઓ બનાવવા માટેના વિવિધ વિકલ્પોની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન વપરાશકર્તાઓને ડેટા પહોંચાડવાના સરેરાશ સમય અને વપરાશકર્તા દ્વારા જરૂરી જોડાણ સ્થાપિત કરવામાં નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ ક્ષણેસમય  

અલબત્ત, પ્રતીકોનો દરેક મર્યાદિત ક્રમ એ નિવેદન નથી; ઉદાહરણ તરીકે, (S0 L (55)) એક વિધાન છે, પરંતુ l l) S3 અને S0 l નથી.  

F એ પ્રતીકોના તમામ મર્યાદિત ક્રમનો સમૂહ છે જે જનરેટર અથવા તેમના વ્યુત્ક્રમો છે. F ના તમામ શબ્દો નીચે પ્રમાણે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે: જો Wi અને W2 F માંથી સમકક્ષ શબ્દો છે, તો Wi અને W2 સમાન વર્ગના છે; જો Wi અને W2 F માંથી સમકક્ષ શબ્દો નથી, તો Wi અને W2 એક જ વર્ગમાં નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, Wi અને W2 શબ્દો સમાન વર્ગમાં છે જો અને માત્ર જો તેઓ સમકક્ષ હોય. સામાન્ય સમસ્યા, કેસના ઉકેલમાં સમાવેશ થાય છે મનસ્વી જૂથબે શબ્દો સમાન છે કે કેમ તે અત્યંત મુશ્કેલ છે.  

મેટામેથેમેટિક્સ એ એક સિદ્ધાંત છે જે ઔપચારિક ગાણિતિક સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ કરે છે. ઔપચારિક સિદ્ધાંત એ લગભગ કહીએ તો, સૂત્રો અને પદો તરીકે ઓળખાતા પ્રતીકોના કેટલાક મર્યાદિત ક્રમનો સમૂહ અને કેટલાકનો સમૂહ સરળ કામગીરી, આ સિક્વન્સ પર ઉત્પાદિત. પાઇનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ સૂત્રો અને શરતો - કેટલા સરળ નિયમો, સાહજિક સૂચનો અને કાર્યો માટે રિપ્લેસમેન્ટ તરીકે સેવા આપે છે ગાણિતિક સિદ્ધાંત. સૂત્રો પરની ક્રિયાઓ ગાણિતિક તર્કમાં કપાતના પ્રાથમિક પગલાંને અનુરૂપ છે. ઇન્ટ્યુટિવ થિયરી પ્લેના એક્સિઓમ્સને અનુરૂપ સૂત્રો વિશેષ ભૂમિકા- તેઓ ઔપચારિક સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ છે. ફોર્મ્યુલા કે જે દત્તક લીધેલ કામગીરીના માધ્યમથી ધરીમાંથી મેળવી શકાય છે તે સિદ્ધાંતના પ્રમેયને અનુરૂપ છે.  

મેટામેથેમેટિક્સ એ એક સિદ્ધાંત છે જે ઔપચારિક ગાણિતિક સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ કરે છે. ઔપચારિક સિદ્ધાંત એ લગભગ કહીએ તો, પ્રતીકોના કેટલાક મર્યાદિત ક્રમનો સમૂહ છે, જેને સૂત્રો અને પદો કહેવાય છે, અને આ ક્રમ પર કરવામાં આવતી કેટલીક સરળ ક્રિયાઓનો સમૂહ છે. કેટલાક સરળ નિયમોમાંથી મેળવેલા સૂત્રો અને શબ્દો સાહજિક ગાણિતિક સિદ્ધાંતના પ્રસ્તાવો અને કાર્યો માટે અવેજી તરીકે સેવા આપે છે. સૂત્રો પરની ક્રિયાઓ ગાણિતિક તર્કમાં કપાતના પ્રાથમિક પગલાંને અનુરૂપ છે. સાહજિક સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધોને અનુરૂપ સૂત્રો વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે - તે ઔપચારિક સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ છે.  

બીજું, અમે જરૂરીયાતને છોડી શકીએ છીએ કે હસ્તાક્ષર ગણતરીપાત્ર છે અને આ કહી શકીએ: દરેક સબસેટ A C M માટે એક પ્રાથમિક સબસ્ટ્રક્ચર M C M છે જેમાં A છે જેની મુખ્યતા NQ ની મહત્તમતા કરતાં વધી નથી, સમૂહ A ની મુખ્યતા અને હસ્તાક્ષરની મુખ્યતા. . વાસ્તવમાં, હસ્તાક્ષર કામગીરીના સંદર્ભમાં બંધનું બાંધકામ, અને અસ્તિત્વમાં બંધ થવાનું બાંધકામ, અને વધતી સાંકળનું ગણતરીપાત્ર જોડાણ નિર્દિષ્ટ મહત્તમ કરતાં વધુ શક્તિ લેતા નથી, કારણ કે સૂત્રો અને પદો બંને સહી પ્રતીકોના મર્યાદિત ક્રમ છે. અને અન્ય પ્રતીકોની ગણતરી કરી શકાય તેવી સંખ્યા (માં વધુ વિગતો જુઓ); પરિમાણ મૂલ્યોના સંભવિત સેટની સંખ્યા વિશે પણ એવું જ કહી શકાય.  

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલ IVS માં, પેકેટ સ્વિચિંગ મોડ લાગુ કરવામાં આવે છે, જે ટ્રાન્સમિશન પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે જેમાં વપરાશકર્તા સંદેશાઓમાંથી ડેટાને અલગ પેકેટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. નેટવર્કમાં પેકેટોને સ્ત્રોતથી પ્રાપ્તકર્તા સુધી ટ્રાન્સમિટ કરવા માટેના માર્ગો દરેક મેનેજમેન્ટ કંપનીમાં નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં તેઓ આવે છે. સંદેશાને સિમેન્ટીક સામગ્રી ધરાવતા પ્રતીકોના મર્યાદિત ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવે છે. પેકેટ એ હેડર સાથેનો ડેટાનો બ્લોક છે, જે નિર્દિષ્ટ ફોર્મેટમાં પ્રસ્તુત છે અને તેની મહત્તમ લંબાઈ મર્યાદિત છે. નોંધ કરો કે ઓવરલોડ અને IVS તત્વોને નુકસાન થવાના કિસ્સામાં ડેટા ટ્રાન્સમિશન પાથ (રાઉટીંગ)ને ઝડપથી ફરીથી ગોઠવવાની ક્ષમતાને કારણે પેકેટ સ્વિચિંગ સાથેના IVS અત્યંત કાર્યક્ષમ છે. IVS અને તેના ટુકડાઓ બનાવવા માટેના વિવિધ વિકલ્પોની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન વપરાશકર્તાઓને ડેટા પહોંચાડવાના સરેરાશ સમય અને ચોક્કસ સમયે વપરાશકર્તા દ્વારા જરૂરી જોડાણ સ્થાપિત કરવામાં નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે.  

(મર્યાદિત અથવા અનંત) ગણતરીપાત્ર સમૂહને ધ્યાનમાં લેતા, અમુક નિશ્ચિત રૂપાંતરણમાં તેના ઘટકોને અનુરૂપ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ આ તત્વોના વ્યક્તિગત હોદ્દા અથવા નામ તરીકે થઈ શકે છે. પરંતુ તેનાથી વિપરિત, જો અમુક પૂર્વ-આપવામાં આવેલ અસંદિગ્ધ સંકેત પ્રણાલીમાં નામ અથવા સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે વ્યક્તિગત રીતેચોક્કસ સમૂહના દરેક તત્વ સાથે સંકળાયેલ હોય, તો પછી આ સમૂહ (મર્યાદિત અથવા અનંત) ગણતરીપાત્ર છે, જો કે નામ અથવા અભિવ્યક્તિ આપણને ઉપલબ્ધ પ્રતીકોના આપેલ મર્યાદિત મૂળાક્ષરોમાંથી પસંદ કરેલા પ્રતીકોનો મર્યાદિત ક્રમ હોવો જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, બીજગણિતીય સમીકરણોપૂર્ણાંક મતભેદ સાથે મતભેદ અને ઘાતાંક માટે દશાંશ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે. ટોચ પર ઘાતાંક લખવું એ અમારા નોટેશનનું એક બિનમહત્વપૂર્ણ લક્ષણ છે જેને યોગ્ય સંમેલન દ્વારા દૂર કરી શકાય છે.  

ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બે બહુપદીનો ગુણાકાર કરવાની સમસ્યાનો વિચાર કરો. સમસ્યા એ છે કે આ બહુપદીઓ કેવી રીતે લખવી જેથી તેઓ કમ્પ્યુટરમાં દાખલ થઈ શકે. ટ્યુરિંગ મશીનો, જેને આપણે નીચે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તે અમુકમાંથી માત્ર પ્રતીકો (શબ્દો)ના મર્યાદિત ક્રમને સમજે છે. મર્યાદિત સમૂહ A, બાહ્ય મૂળાક્ષરો કહેવાય છે. તેથી, કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાના સખત ફોર્મ્યુલેશનમાં મૂળાક્ષરો અને ઇનપુટ ડેટાને એન્કોડ કરવાની પદ્ધતિનો સમાવેશ થવો જોઈએ.  

દરેક આલ્ફાબેટીક ઓપરેટર તેની જટિલતાના સાહજિક વિચાર સાથે સંકળાયેલ છે. સૌથી સરળ આલ્ફાબેટીક ઓપરેટર્સ છે જે અક્ષર-દર-અક્ષર મેપિંગ કરે છે. અક્ષર-દર-પાત્ર મેપિંગમાં ઇનપુટ શબ્દ A ના દરેક અક્ષર s ને આઉટપુટ મૂળાક્ષર B ના કેટલાક અક્ષરો સાથે બદલવાનો સમાવેશ થાય છે. મહાન મૂલ્યકહેવાતા કોડિંગ મેપિંગ છે. એન્કોડિંગ નકશાને પત્રવ્યવહાર તરીકે સમજવામાં આવે છે જે ઇનપુટ મૂળાક્ષરોના દરેક અક્ષરને આઉટપુટ મૂળાક્ષરોમાં અક્ષરોના ચોક્કસ મર્યાદિત ક્રમ સાથે સાંકળે છે, જેને કોડ કહેવાય છે.  

તેઓ એક અસંખ્ય સમૂહ બનાવે છે. કમ્પ્યુટેબલ ફંક્શન્સ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સબસેટ બનાવે છે જેનો આપણે અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. ખરેખર, કોઈપણ અલ્ગોરિધમિક ભાષાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક પ્રોગ્રામનો સમાવેશ થાય છે મર્યાદિત ક્રમમર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર મૂળાક્ષરોના અક્ષરો. તે અનુસરે છે કે પ્રોગ્રામ્સનો સમૂહ ગણતરીપૂર્વક અનંત છે.  

ચાલો પ્રેરક અનુમાન સમસ્યાઓના થોડા અલગ સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો ધારીએ કે આપણને પ્રતીકોનો પૂરતો લાંબો ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે અને કાર્ય આ ક્રમના અનુગામી પ્રતીકોની આગાહી કરવાનું છે. આ સામાન્ય કાર્યતે કિસ્સાઓ માટે જ્યાં ઇન્ડક્શન દ્વારા સંભાવનાઓનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. પરિચય દ્વારા આ કાર્ય કંઈક અંશે તાજું થાય છે આધુનિક ખ્યાલસાર્વત્રિક કમ્પ્યુટરઅને તેના માટે સંકલિત પ્રોગ્રામિંગ ભાષા. પ્રોગ્રામ માન્ય કહેવાય છે જો, તે પ્રાપ્ત કર્યા પછી, મશીન એક ક્રમ છાપે છે, એક અનંત પણ, જે અક્ષરોના આપેલ મર્યાદિત ક્રમથી શરૂ થાય છે. આમ, દરેક માન્ય પ્રોગ્રામ આગાહી કરે છે.  

જો દરેક કુદરતી સંખ્યા n કેટલાકને સોંપવામાં આવે છે વાસ્તવિક સંખ્યા x n , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

નંબર x 1 ને ક્રમનો સભ્ય કહેવામાં આવે છે નંબર 1 સાથે અથવા ક્રમની પ્રથમ અવધિ, નંબર x 2 - ક્રમના સભ્ય નંબર 2 સાથે અથવા ક્રમનો બીજો સભ્ય, વગેરે. નંબર x n કહેવાય છે સંખ્યા સાથે ક્રમનો સભ્ય n

નંબર સિક્વન્સનો ઉલ્લેખ કરવાની બે રીતો છે - સાથે અને સાથે આવર્તક સૂત્ર.

ઉપયોગ ક્રમ ક્રમના સામાન્ય શબ્દ માટેના સૂત્રો- આ એક ક્રમ કાર્ય છે

x 1 , x 2 , … x n , …

તેની સંખ્યા n પર x n શબ્દની અવલંબન વ્યક્ત કરતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ 1. સંખ્યા ક્રમ

1, 4, 9, … n 2 , …

સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

પૂર્વવર્તી સંખ્યાઓ સાથે અનુક્રમ સભ્યો દ્વારા ક્રમ સભ્ય x n ને વ્યક્ત કરતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવો એ ક્રમનો ઉલ્લેખ કરીને ક્રમ સ્પષ્ટ કરવો કહેવાય છે. આવર્તક સૂત્ર.

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે વધતા ક્રમમાં, વધુઅગાઉના સભ્ય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n

x n + 1 >x n

ઉદાહરણ 3. કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ

1, 2, 3, … n, …

છે ચડતો ક્રમ.

વ્યાખ્યા 2. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે ઉતરતો ક્રમજો આ ક્રમના દરેક સભ્ય ઓછુંઅગાઉના સભ્ય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

x n + 1 < x n

ઉદાહરણ 4. અનુગામી

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

છે ઉતરતો ક્રમ.

ઉદાહરણ 5. સંખ્યા ક્રમ

1, - 1, 1, - 1, …

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

નથી ન તો વધતું નથી કે ઘટતું નથીક્રમ

વ્યાખ્યા 3. સંખ્યાના વધતા અને ઘટતા ક્રમને કહેવામાં આવે છે એકવિધ સિક્વન્સ.

બાઉન્ડેડ અને અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ

વ્યાખ્યા 4. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે ઉપરથી મર્યાદિત,જો ત્યાં M નંબર હોય કે જે આ ક્રમના દરેક સભ્ય હોય ઓછુંસંખ્યાઓ એમ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

વ્યાખ્યા 5. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

કહેવાય છે નીચે બંધાયેલ,જો ત્યાં m સંખ્યા હોય જે આ ક્રમના દરેક સભ્ય હોય વધુસંખ્યાઓ m.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

વ્યાખ્યા 6. સંખ્યા ક્રમ

x 1 , x 2 , … x n , …

જો તે મર્યાદિત કહેવાય ઉપર અને નીચે બંને મર્યાદિત.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બધા માટે M અને m સંખ્યાઓ છે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

m< x n < M

વ્યાખ્યા 7. સંખ્યાત્મક ક્રમ કે જે મર્યાદિત નથી, કહેવાય છે અમર્યાદિત સિક્વન્સ.

ઉદાહરણ 6. સંખ્યા ક્રમ

1, 4, 9, … n 2 , …

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

નીચે બંધાયેલ, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 0. જો કે, આ ક્રમ ઉપરથી અમર્યાદિત.

ઉદાહરણ 7. અનુગામી

સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

છે મર્યાદિત ક્રમ, કારણ કે દરેક માટે n= 1, 2, 3, … અસમાનતા સંતુષ્ટ છે

અમારી વેબસાઇટ પર તમે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે રિસોલ્વેન્ટા તાલીમ કેન્દ્રના શિક્ષકો દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી શૈક્ષણિક સામગ્રીથી પણ પોતાને પરિચિત કરી શકો છો.

શાળાના બાળકો માટે કે જેઓ સારી તૈયારી કરીને પાસ થવા માંગે છે ગણિત અથવા રશિયન ભાષામાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાપર ઉચ્ચ સ્કોર, તાલીમ કેન્દ્ર"રિઝોલ્વેન્ટા" આચાર કરે છે

ક્રમ એ ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક છે. ક્રમ સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, કાર્યો, વેક્ટર વગેરેનો બનેલો હોઈ શકે છે. જો દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા ચોક્કસ સમૂહના તત્વ સાથે સંકળાયેલ હોય તે મુજબ કાયદો નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યો હોય તો ક્રમ આપવામાં આવે છે. ક્રમ ફોર્મમાં અથવા સંક્ષિપ્તમાં લખાયેલ છે. તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે, - પ્રથમ, - બીજો, - ક્રમનો સામાન્ય (થ) સભ્ય.

સંખ્યાના ક્રમને મોટાભાગે ગણવામાં આવે છે, એટલે કે. ક્રમ જેના સભ્યો સંખ્યાઓ છે. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ એ સંખ્યાત્મક ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની સૌથી સરળ રીત છે. આ ક્રમના મા સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા દર્શાવતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો

બીજી પદ્ધતિ રિકરન્ટ છે (માંથી લેટિન શબ્દપુનરાવર્તિત - "વળતર"), જ્યારે અનુક્રમના પ્રથમ થોડા સભ્યો અને એક નિયમનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે જે દરેક અનુગામી સભ્યને અગાઉના સભ્યોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે:

સંખ્યા ક્રમના ઉદાહરણો - અંકગણિત પ્રગતિઅને ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ક્રમના સભ્યોની વર્તણૂકને શોધી કાઢવી રસપ્રદ છે કારણ કે સંખ્યા અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે (જે અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે તે ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે અને વાંચે છે: "અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે").

સાથે ક્રમ ધ્યાનમાં લો સામાન્ય સભ્ય: , , , …, , …. આ ક્રમની તમામ શરતો શૂન્યથી અલગ છે, પરંતુ વધુ , શૂન્યથી ઓછા અલગ છે. આ ક્રમની શરતો શૂન્ય તરફ વળે છે કારણ કે તે અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે. તેઓ કહે છે કે શૂન્ય સંખ્યા એ આ ક્રમની મર્યાદા છે.

બીજું ઉદાહરણ: - ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરે છે

આ ક્રમની શરતો પણ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પરંતુ તે છે શૂન્ય કરતાં વધુ, પછી શૂન્ય કરતાં ઓછી - તેની મર્યાદા.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ: . જો ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

પછી તે સ્પષ્ટ થશે કે આ ક્રમ એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે.

ચાલો ક્રમની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીએ. કોઈ સંખ્યાને અનુક્રમની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યા માટે એવી સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવો શક્ય હોય કે જે બધા માટે અસમાનતા ધરાવે છે.

જો ક્રમની મર્યાદા હોય, તો પછી તેઓ લખે છે, અથવા (લેટિન શબ્દ લાઈમ્સના પ્રથમ ત્રણ અક્ષરો - "મર્યાદા").

આ વ્યાખ્યા આપીશું તો વધુ સ્પષ્ટ થશે ભૌમિતિક અર્થ. ચાલો નંબરને અંતરાલમાં બંધ કરીએ (ફિગ. 1). સંખ્યા એ ક્રમની મર્યાદા છે, જો, અંતરાલની નાનીતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ક્રમના તમામ સભ્યો આ અંતરાલમાં કેટલાક કરતાં મોટી સંખ્યાઓ સાથે રહે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમની શરતોની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યા કોઈપણ અંતરાલની બહાર હોઈ શકે છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ક્રમ માટે, પરના બિંદુ શૂન્યના -પડોશમાં પ્રથમ દસ સિવાય ક્રમની તમામ શરતો અને at - પ્રથમ સો સિવાય ક્રમની તમામ શરતોનો સમાવેશ થાય છે.

જે ક્રમની મર્યાદા હોય તેને કન્વર્જન્ટ કહેવાય છે અને જે ક્રમમાં મર્યાદા નથી તેને ડાયવર્જન્ટ કહેવાય છે. અહીં એક અલગ ક્રમનું ઉદાહરણ છે: . તેના સભ્યો વૈકલ્પિક રીતે સમાન હોય છે અને કોઈપણ મર્યાદા તરફ વલણ ધરાવતા નથી.

જો ક્રમ કન્વર્જ થાય છે, તો તે બંધાયેલ છે, એટલે કે. ત્યાં સંખ્યાઓ છે અને એવી છે કે ક્રમની તમામ શરતો શરતને સંતોષે છે. તે અનુસરે છે કે તમામ અનબાઉન્ડેડ સિક્વન્સ અલગ અલગ છે. આ ક્રમ છે:

"પ્રકૃતિનો ગાઢ, ઊંડો અભ્યાસ ગણિતમાં સૌથી ફળદાયી શોધનો સ્ત્રોત છે." જે. ફોરિયર

શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતા ક્રમને અનંત કહેવાય છે. અનંતની વિભાવનાનો આધાર તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે સામાન્ય વ્યાખ્યાક્રમની મર્યાદા, કારણ કે ક્રમની મર્યાદા બરાબર છે જો અને માત્ર જો તે સરવાળો તરીકે રજૂ કરી શકાય, જ્યાં અનંત છે.

ગણવામાં આવેલ સિક્વન્સ અનંત છે. ક્રમ , (2) થી નીચે મુજબ છે, 1 થી અનંતથી અલગ છે, અને તેથી આ ક્રમની મર્યાદા 1 છે.

માં મહાન મૂલ્ય ગાણિતિક વિશ્લેષણઅનંત વિશાળ ક્રમનો ખ્યાલ પણ ધરાવે છે. જો ક્રમ અમર્યાદિત હોય તો ક્રમને અનંત મોટી કહેવામાં આવે છે. એક અનંત મોટો ક્રમ સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે, અથવા , અને તેને "અનંત તરફ વલણ" કહેવામાં આવે છે. અહીં અનંત મોટા સિક્વન્સનાં ઉદાહરણો છે:

અમે ભારપૂર્વક કહીએ છીએ કે અનંત મોટા ક્રમની કોઈ મર્યાદા નથી.

ચાલો સિક્વન્સ અને . સામાન્ય શબ્દો , , અને (જો) સાથે ક્રમ વ્યાખ્યાયિત કરવું શક્ય છે. નીચેનું પ્રમેય સાચું છે, જેને ઘણી વખત વિશે પ્રમેય કહેવામાં આવે છે અંકગણિત કામગીરીમર્યાદાઓ સાથે: જો સિક્વન્સ કન્વર્જન્ટ હોય, તો સિક્વન્સ , , , અને કન્વર્જન્ટ પણ હોય છે, અને નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

પછીના કિસ્સામાં, ક્રમના તમામ સભ્યો શૂન્યથી અલગ હોવા ઉપરાંત, સ્થિતિ સંતોષાય તે જરૂરી છે.

આ પ્રમેય લાગુ કરવાથી, ઘણી મર્યાદાઓ શોધી શકાય છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સામાન્ય પદ અને બિન-વધતા હોય તેવા ક્રમની મર્યાદા શોધીએ. તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે આ ક્રમ કેટલીક સંખ્યાઓ તરફ વળે છે જે કાં તો તેનાથી ઓછી અથવા તેની બરાબર છે. ગાણિતિક પૃથ્થકરણ દરમિયાન, પ્રમેય સાબિત થાય છે કે બિન-ઘટતા અને ઉપરના ક્રમની મર્યાદા હોય છે (સમાન વિધાન બિન-વધતા અને ક્રમની નીચે બાઉન્ડેડ માટે સાચું છે). આ અદ્ભુત પ્રમેય આપે છે પૂરતી શરતોમર્યાદાનું અસ્તિત્વ. તેમાંથી, ઉદાહરણ તરીકે, તે અનુસરે છે કે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ક્રમની મર્યાદા છે, કારણ કે તે ઉપરથી એકવિધ રીતે વધી રહી છે અને બંધાયેલ છે. આ ક્રમની મર્યાદા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

એકવિધ મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત ક્રમગાણિતિક વિશ્લેષણમાં મોટી ભૂમિકા ભજવતી સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે - કુદરતી લઘુગણકનો આધાર:

.

ક્રમ (1), જેમ પહેલાથી નોંધ્યું છે, તે એકવિધ છે અને વધુમાં, ઉપરથી બંધાયેલ છે. તેની એક મર્યાદા છે. આ મર્યાદા આપણે સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. જો તે સમાન હોય, તો સંખ્યાએ સમાનતાને સંતોષવી આવશ્યક છે. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે.