શું ગાણિતિક અપેક્ષા 0 ની બરાબર હોઈ શકે છે. ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલનો તફાવત

- 10 નવજાત શિશુઓમાં છોકરાઓની સંખ્યા.

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સંખ્યા અગાઉથી જાણીતી નથી, અને આગામી દસ બાળકોમાં આનો સમાવેશ થઈ શકે છે:

અથવા છોકરાઓ - એક અને માત્ર એકસૂચિબદ્ધ વિકલ્પોમાંથી.

અને, આકારમાં રાખવા માટે, થોડું શારીરિક શિક્ષણ:

- લાંબી કૂદવાનું અંતર (કેટલાક એકમોમાં).

રમતગમતના માસ્ટર પણ તેની આગાહી કરી શકતા નથી :)

જો કે, તમારી પૂર્વધારણાઓ?

2) સતત રેન્ડમ ચલ – સ્વીકારે છે બધા સંખ્યાત્મક મૂલ્યોઅમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલમાંથી.

નોંધ : વી શૈક્ષણિક સાહિત્યલોકપ્રિય સંક્ષિપ્ત DSV અને NSV

પ્રથમ, ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલનું વિશ્લેષણ કરીએ, પછી - સતત.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો

- આ પત્રવ્યવહારઆ જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચે. મોટેભાગે, કાયદો કોષ્ટકમાં લખાયેલ છે:

શબ્દ ઘણી વાર દેખાય છે પંક્તિ વિતરણ, પરંતુ કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં તે અસ્પષ્ટ લાગે છે, અને તેથી હું "કાયદા" ને વળગી રહીશ.

અને હવે ખૂબ મહત્વપૂર્ણ બિંદુ : રેન્ડમ ચલ થી આવશ્યકપણેસ્વીકારશે મૂલ્યોમાંથી એક, પછી અનુરૂપ ઘટનાઓ રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથઅને તેમની ઘટનાની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

અથવા, જો કન્ડેન્સ લખેલું હોય તો:

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ડાઇ પર વળેલા પોઈન્ટની સંભાવના વિતરણનો કાયદો નીચે મુજબનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

કોઈ ટિપ્પણી નથી.

તમે એવી છાપ હેઠળ હોઈ શકો છો કે એક અલગ રેન્ડમ ચલ ફક્ત "સારા" પૂર્ણાંક મૂલ્યો પર લઈ શકે છે. ચાલો ભ્રમ દૂર કરીએ - તે કંઈપણ હોઈ શકે છે:

ઉદાહરણ 1

અમુક રમત ધરાવે છે આગામી કાયદોવિજેતા વિતરણ:

...તમે કદાચ લાંબા સમયથી આવા કાર્યોનું સપનું જોયું હશે :) હું તમને એક રહસ્ય કહીશ - મને પણ. ખાસ કરીને કામ પૂરું કર્યા પછી ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત.

ઉકેલ: કારણ કે રેન્ડમ ચલ ફક્ત એક જ લઈ શકે છે ત્રણ અર્થ, પછી અનુરૂપ ઘટનાઓ રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથ , જેનો અર્થ છે કે તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

"પક્ષપાતી" ને ખુલ્લું પાડવું:

– આમ, પરંપરાગત એકમો જીતવાની સંભાવના 0.4 છે.

નિયંત્રણ: તે જ છે જેની અમને ખાતરી કરવાની જરૂર હતી.

જવાબ આપો:

જ્યારે તમારે જાતે વિતરણ કાયદો બનાવવાની જરૂર હોય ત્યારે તે અસામાન્ય નથી. આ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા, ઘટનાની સંભાવનાઓ માટે ગુણાકાર/ઉમેરાના પ્રમેયઅને અન્ય ચિપ્સ ટેરવેરા:

ઉદાહરણ 2

બૉક્સમાં 50 લોટરી ટિકિટો છે, જેમાંથી 12 વિજેતા છે, અને તેમાંથી 2 1000 રુબેલ્સ જીતે છે, અને બાકીના - 100 રુબેલ્સ. રેન્ડમ ચલના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો - જીતનું કદ, જો બોક્સમાંથી એક ટિકિટ રેન્ડમ દોરવામાં આવે તો.

ઉકેલ: તમે નોંધ્યું છે તેમ, રેન્ડમ ચલની કિંમતો સામાન્ય રીતે મૂકવામાં આવે છે ચડતા ક્રમમાં. તેથી, અમે સૌથી નાની જીતથી શરૂઆત કરીએ છીએ, એટલે કે રુબેલ્સ.

કુલ 50 આવી ટિકિટો છે - 12 = 38, અને તે મુજબ શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા:
- અવ્યવસ્થિત રીતે દોરેલી ટિકિટ ગુમાવનાર હોવાની સંભાવના.

અન્ય કિસ્સાઓમાં, બધું સરળ છે. રુબેલ્સ જીતવાની સંભાવના છે:

તપાસો: - અને આ ખાસ છે સરસ ક્ષણઆવા કાર્યો!

જવાબ આપો: જીતના વિતરણનો ઇચ્છિત કાયદો:

માટે આગામી કાર્ય સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 3

શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના છે. રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદો દોરો - 2 શોટ પછી હિટની સંખ્યા.

...હું જાણતો હતો કે તમે તેને ચૂકી ગયા છો :) ચાલો યાદ કરીએ ગુણાકાર અને ઉમેરણ પ્રમેય. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

વિતરણ કાયદો સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલનું વર્ણન કરે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તેમાંથી માત્ર અમુક જ જાણવા માટે તે ઉપયોગી (અને ક્યારેક વધુ ઉપયોગી) બની શકે છે. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ .

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

બોલતા સરળ ભાષામાં, આ સરેરાશ અપેક્ષિત મૂલ્યજ્યારે પરીક્ષણ ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. રેન્ડમ ચલને સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લેવા દો અનુક્રમે પછી આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા બરાબર છે ઉત્પાદનોનો સરવાળોઅનુરૂપ સંભાવનાઓ માટે તેના તમામ મૂલ્યો:

અથવા સંકુચિત:

ચાલો આપણે ગણતરી કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા - ડાઇ પર વળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા:

હવે ચાલો આપણી અનુમાનિત રમતને યાદ કરીએ:

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું આ રમત રમવી બિલકુલ નફાકારક છે? ...કોની કોઈ છાપ છે? તેથી તમે તેને "ઓફહેન્ડ" કહી શકતા નથી! પરંતુ આ પ્રશ્નનો સરળતાથી ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરીને જવાબ આપી શકાય છે, આવશ્યકપણે - ભારિત સરેરાશજીતવાની સંભાવના દ્વારા:

આમ, આ રમતની ગાણિતિક અપેક્ષા હારવું.

તમારી છાપ પર વિશ્વાસ કરશો નહીં - નંબરો પર વિશ્વાસ કરો!

હા, અહીં તમે સતત 10 અથવા તો 20-30 વખત જીતી શકો છો, પરંતુ લાંબા ગાળે, અનિવાર્ય વિનાશ આપણી રાહ જોશે. અને હું તમને આવી રમતો રમવાની સલાહ આપીશ નહીં :) સારું, કદાચ ફક્ત આનંદ માટે.

ઉપરોક્ત તમામમાંથી તે અનુસરે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા હવે રેન્ડમ મૂલ્ય નથી.

સર્જનાત્મક કાર્યમાટે સ્વતંત્ર સંશોધન:

ઉદાહરણ 4

શ્રી X યુરોપિયન ખીલા પર ફરતા ટેબલ પર રમાતી એક જુગારની રમત રમે છે આગામી સિસ્ટમ: “લાલ” પર સતત 100 રુબેલ્સનો દાવ લગાવો. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો દોરો - તેની જીત. જીતની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરો અને તેને નજીકના કોપેક સુધી રાઉન્ડ કરો. કેટલા સરેરાશશું ખેલાડી શરત લગાવેલી દરેક સદી માટે હારી જાય છે?

સંદર્ભ : યુરોપિયન રૂલેટમાં 18 લાલ, 18 કાળો અને 1 લીલો સેક્ટર (“શૂન્ય”) છે. જો "લાલ" દેખાય છે, તો ખેલાડીને બમણી શરત ચૂકવવામાં આવે છે, અન્યથા તે કેસિનોની આવકમાં જાય છે

ત્યાં ઘણી અન્ય રૂલેટ સિસ્ટમ્સ છે જેના માટે તમે તમારી પોતાની સંભાવના કોષ્ટકો બનાવી શકો છો. પરંતુ આ તે છે જ્યારે અમને કોઈ વિતરણ કાયદા અથવા કોષ્ટકોની જરૂર નથી, કારણ કે તે નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે ખેલાડીની ગાણિતિક અપેક્ષા બરાબર સમાન હશે. સિસ્ટમથી સિસ્ટમમાં બદલાતી વસ્તુ જ છે

રેન્ડમ ચલો, વિતરણ કાયદાઓ ઉપરાંત, પણ વર્ણવી શકાય છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ .

ગાણિતિક અપેક્ષારેન્ડમ ચલના M (x) ને તેનું સરેરાશ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે.

અપેક્ષાસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

જ્યાં – રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો, પી હું-તેમની સંભાવનાઓ.

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ:

1. અચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અચલની જ છે

2. જો રેન્ડમ ચલને ચોક્કસ સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે

M (kx) = kM (x)

3. રકમની ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલોતેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા સમાન

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x 1, x 2, … x n માટે, ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ચાલો ઉદાહરણ 11 થી રેન્ડમ ચલ માટેની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરીએ.

M(x) = = .

ઉદાહરણ 12.રેન્ડમ ચલો x 1, x 2 ને વિતરણ કાયદા દ્વારા તે મુજબ ઉલ્લેખિત થવા દો:

x 1 કોષ્ટક 2

x 2 કોષ્ટક 3

ચાલો M (x 1) અને M (x 2) ની ગણતરી કરીએ

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

બંને રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન છે - તે શૂન્યની બરાબર છે. જો કે, તેમના વિતરણની પ્રકૃતિ અલગ છે. જો મૂલ્યો x 1 તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાથી થોડું અલગ હોય, તો મૂલ્યો x 2 માં મોટા પ્રમાણમાંતેમની ગાણિતિક અપેક્ષાથી અલગ છે, અને આવા વિચલનોની સંભાવનાઓ ઓછી નથી. આ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે સરેરાશ મૂલ્ય પરથી તે નક્કી કરવું અશક્ય છે કે તેનાથી કયા વિચલનો થાય છે, નાના અને મોટા બંને. મોટી બાજુ. તો એ જ સાથે સરેરાશબે ક્ષેત્રોમાં વાર્ષિક વરસાદના આધારે એવું કહી શકાય નહીં કે આ વિસ્તારો કૃષિ કાર્ય માટે સમાન રીતે અનુકૂળ છે. સરેરાશ જેવું જ વેતનન્યાય કરવો શક્ય નથી ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણઉચ્ચ અને ઓછા પગારવાળા કામદારો. તેથી, સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવી છે - વિખેરવું D(x) , જે તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી રેન્ડમ ચલના વિચલનની ડિગ્રી દર્શાવે છે:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

વિક્ષેપ એ ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે, ભિન્નતાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

D(x)= = (3)

વિક્ષેપની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે D (x) 0.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

1. અચલનું વિચલન શૂન્ય છે

2. જો કોઈ રેન્ડમ ચલને ચોક્કસ સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો ભિન્નતા આ સંખ્યાના વર્ગ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવશે.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x 1 , x 2 , … x n માટે સરવાળોનો ભિન્નતા ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ચાલો ઉદાહરણ 11 માંથી રેન્ડમ ચલ માટે ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ.

ગાણિતિક અપેક્ષા M (x) = 1. તેથી, સૂત્ર (3) મુજબ આપણી પાસે છે:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

નોંધ કરો કે જો તમે પ્રોપર્ટી 3 નો ઉપયોગ કરો છો તો વિભિન્નતાની ગણતરી કરવી સરળ છે:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

ચાલો આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ 12 માંથી રેન્ડમ ચલ x 1 , x 2 માટે ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ. બંને રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ શૂન્ય છે.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

ડી (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

કેવી રીતે નજીકનું મૂલ્યશૂન્ય સુધી વિખેરવું, સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં રેન્ડમ ચલનો ફેલાવો જેટલો નાનો છે.

જથ્થો કહેવાય છે પ્રમાણભૂત વિચલન. રેન્ડમ ચલ મોડ x સ્વતંત્ર પ્રકાર Mdસૌથી વધુ સંભાવના ધરાવતા રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય કહેવાય છે.

રેન્ડમ ચલ મોડ x સતત પ્રકાર Md, કહેવાય છે વાસ્તવિક સંખ્યા, મહત્તમ સંભાવના ઘનતા વિતરણ f(x) ના બિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત.

રેન્ડમ ચલનો મધ્યક x સતત પ્રકાર Mnએક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે સમીકરણને સંતોષે છે

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

ઉકેલ: ગાણિતિક અપેક્ષા X ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલી છે:

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

તેને જાતે હલ કરવા માટેનું ઉદાહરણ (તમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો).
ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

ગાણિતિક અપેક્ષામાં નીચેના ગુણધર્મો છે.

મિલકત 1. ગાણિતિક અપેક્ષા સતત મૂલ્યસૌથી વધુ સ્થિર: M(C)=C.

મિલકત 2. સતત ગુણકગાણિતિક અપેક્ષાના સંકેત તરીકે લઈ શકાય છે: M(СХ)=СМ(Х).

ગુણધર્મ 3. પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા પરિબળોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

ગુણધર્મ 4. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શબ્દોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે: M(Xg + X2+...Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

સમસ્યા 189. જો X અને Y ની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ જાણીતી હોય તો રેન્ડમ ચલ Z ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

ઉકેલ: ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને (સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે; સતત પરિબળને ગાણિતિક અપેક્ષાની નિશાનીમાંથી લઈ શકાય છે), અમે M(Z) મેળવીએ છીએ. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) વિચલન X-M(X) ની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે.

191. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ત્રણ સંભવિત મૂલ્યો લે છે: x1= 4 સંભાવના p1 = 0.5 સાથે; xЗ = 6 સંભાવના P2 = 0.3 સાથે અને x3 સંભાવના p3 સાથે. શોધો: x3 અને p3, જાણીને કે M(X)=8.

192. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યોની સૂચિ આપવામાં આવી છે: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; આ મૂલ્ય અને તેના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ પણ જાણીતી છે: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. xi ના સંભવિત મૂલ્યોને અનુરૂપ p1, p2, p3 સંભાવનાઓ શોધો

194. 10 ભાગોના બેચમાં ત્રણ બિન-માનક ભાગો હોય છે. બે ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો - પસંદ કરેલ બેમાંથી બિન-માનક ભાગોની સંખ્યા.

196. આવા પાંચ થ્રોના એક અલગ રેન્ડમ ચલ X-સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો ડાઇસ, જેમાંના દરેકમાં એક બિંદુ બે ડાઇસ પર દેખાશે, જો કુલ સંખ્યાફેંકવું વીસ બરાબર છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા. ગાણિતિક અપેક્ષાઅલગ રેન્ડમ ચલ એક્સ, યજમાન અંતિમ સંખ્યામૂલ્યો એક્સiસંભાવનાઓ સાથે આરi, રકમ કહેવામાં આવે છે:

ગાણિતિક અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ એક્સતેના મૂલ્યોના ઉત્પાદનનું અભિન્ન અંગ કહેવાય છે એક્સસંભાવના વિતરણ ઘનતા પર f(x):

(6b)

અયોગ્ય અભિન્ન (6 b) સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ હોવાનું માનવામાં આવે છે (અન્યથા તેઓ કહે છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા એમ(એક્સ) અસ્તિત્વમાં નથી). ગાણિતિક અપેક્ષા લાક્ષણિકતા ધરાવે છે સરેરાશ મૂલ્યરેન્ડમ ચલ એક્સ. તેનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલના પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો:

વિખેરી નાખવું. ભિન્નતારેન્ડમ ચલ એક્સનંબર કહેવામાં આવે છે:

તફાવત છે છૂટાછવાયા લાક્ષણિકતારેન્ડમ ચલ મૂલ્યો એક્સતેના સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં એમ(એક્સ). વિચલનનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલ વર્ગના પરિમાણ જેટલું છે. વિભિન્નતા (8) અને ગાણિતિક અપેક્ષા (5) એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે અને (6) સતત રેન્ડમ ચલ માટેની વ્યાખ્યાઓના આધારે, અમે વિભિન્નતા માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ:

(9)

અહીં m = એમ(એક્સ).

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

માનક વિચલન:

(11)

સરેરાશ ના પરિમાણ થી ચોરસ વિચલનરેન્ડમ ચલની જેમ જ, તેનો ઉપયોગ વિચલન કરતાં વિક્ષેપના માપ તરીકે વધુ વખત થાય છે.

વિતરણની ક્ષણો. ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપની વિભાવનાઓ વધુના વિશેષ કિસ્સાઓ છે સામાન્ય ખ્યાલરેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે - વિતરણ ક્ષણો. રેન્ડમ ચલના વિતરણની ક્ષણોને રેન્ડમ ચલના કેટલાક સરળ કાર્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી, ઓર્ડરની ક્ષણ kબિંદુ સંબંધિત એક્સ 0 ને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે એમ(એક્સ–એક્સ 0 )k. મૂળ વિશે ક્ષણો એક્સ= 0 કહેવાય છે પ્રારંભિક ક્ષણો અને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(12)

પ્રથમ ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ એ વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલના વિતરણનું કેન્દ્ર છે:

(13)

વિતરણ કેન્દ્ર વિશે ક્ષણો એક્સ= mકહેવાય છે કેન્દ્રીય બિંદુઓઅને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

(14)

(7) થી તે અનુસરે છે કે પ્રથમ-ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા હોય છે શૂન્ય બરાબર:

કેન્દ્રીય ક્ષણો રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની ઉત્પત્તિ પર આધાર રાખતા નથી, કારણ કે જ્યારે દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે સતત મૂલ્ય સાથેતેનું વિતરણ કેન્દ્ર સમાન મૂલ્ય દ્વારા બદલાય છે સાથે, અને કેન્દ્રમાંથી વિચલન બદલાતું નથી: એક્સ – m = (એક્સ – સાથે) – (m – સાથે).
હવે તે સ્પષ્ટ છે વિખેરવું- આ સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ:

અસમપ્રમાણતા. ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(17)

મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે વિતરણ અસમપ્રમાણતા. જો વિતરણ બિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે એક્સ= m, પછી ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર હશે (વિષમ ઓર્ડરની તમામ કેન્દ્રીય ક્ષણોની જેમ). તેથી, જો ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ શૂન્યથી અલગ હોય, તો વિતરણ સપ્રમાણ હોઈ શકતું નથી. અસમપ્રમાણતાની તીવ્રતાનું મૂલ્યાંકન પરિમાણહીનનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક:

(18)

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (18) ની નિશાની જમણી- અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા (ફિગ. 2) સૂચવે છે.

ચોખા. 2. વિતરણ અસમપ્રમાણતાના પ્રકારો.

અધિક. ચોથો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ:

(19)

કહેવાતા મૂલ્યાંકન માટે સેવા આપે છે અધિક, જે વળાંકના સંબંધમાં વિતરણના કેન્દ્રની નજીક વિતરણ વળાંકની ઢાળ (પોઇન્ટેડનેસ) ની ડિગ્રી નક્કી કરે છે સામાન્ય વિતરણ. સામાન્ય વિતરણ માટે, કુર્ટોસિસ તરીકે લેવાયેલ મૂલ્ય છે:

(20)

ફિગ માં. 3 સાથે વિતરણ વણાંકોના ઉદાહરણો બતાવે છે વિવિધ અર્થોઅધિક સામાન્ય વિતરણ માટે ઇ= 0. જે વણાંકો સામાન્ય કરતા વધુ પોઇન્ટેડ હોય છે તેમાં પોઝિટિવ કર્ટોસિસ હોય છે, જે વધુ ફ્લેટ ટોપવાળા હોય છે તેમાં નેગેટિવ કર્ટોસિસ હોય છે.

ચોખા. 3. ઢાળવાળી વિવિધ ડિગ્રી (કર્ટોસિસ) સાથે વિતરણ વણાંકો.

એન્જિનિયરિંગ એપ્લિકેશન્સમાં ઉચ્ચ-ક્રમની ક્ષણો ગાણિતિક આંકડાસામાન્ય રીતે ઉપયોગ થતો નથી.

ફેશન અલગરેન્ડમ ચલ એ તેની સૌથી સંભવિત કિંમત છે. ફેશન સતતરેન્ડમ ચલ એ તેનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંભાવના ઘનતા મહત્તમ છે (ફિગ. 2). જો વિતરણ વળાંકમાં મહત્તમ એક હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે યુનિમોડલ. જો વિતરણ વક્રમાં એક કરતાં વધુ મહત્તમ હોય, તો વિતરણ કહેવામાં આવે છે મલ્ટિમોડલ. કેટલીકવાર એવા વિતરણો હોય છે કે જેના વક્ર મહત્તમને બદલે લઘુત્તમ હોય છે. આવા વિતરણો કહેવામાં આવે છે મોડલ વિરોધી. IN સામાન્ય કેસરેન્ડમ વેરીએબલની સ્થિતિ અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એકરૂપ થતા નથી. ખાસ કિસ્સામાં, માટે મોડલ, એટલે કે એક મોડ, સપ્રમાણ વિતરણ અને જો ગાણિતિક અપેક્ષા હોય, તો બાદમાં વિતરણની સપ્રમાણતાના મોડ અને કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય.

મધ્યક રેન્ડમ ચલ એક્સ- આ તેનો અર્થ છે મેહ, જેના માટે સમાનતા ધરાવે છે: એટલે કે. તે રેન્ડમ વેરીએબલની સમાન સંભાવના છે એક્સઓછા કે વધુ હશે મેહ. ભૌમિતિક રીતે મધ્યકએ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે (ફિગ. 2). સપ્રમાણ મોડલ વિતરણના કિસ્સામાં, મધ્યક, મોડ અને ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

સ્વતંત્ર અને સતત રેન્ડમ ચલોની મૂળભૂત સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ: ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન. તેમની મિલકતો અને ઉદાહરણો.

વિતરણ કાયદો (વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ શ્રેણી અથવા સંભાવના ઘનતા) સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલના વર્તનનું વર્ણન કરે છે. પરંતુ સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓમાં, પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે અભ્યાસ હેઠળના મૂલ્યની કેટલીક સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, તેનું સરેરાશ મૂલ્ય અને તેમાંથી સંભવિત વિચલન) જાણવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલોની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

વ્યાખ્યા 7.1.ગાણિતિક અપેક્ષાએક અલગ રેન્ડમ ચલ એ તેના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે:

એમ(એક્સ) = એક્સ 1 આર 1 + એક્સ 2 આર 2 + … + x p p p.(7.1)

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે, તો જો પરિણામી શ્રેણી સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે.

નોંધ 1.ગાણિતિક અપેક્ષાને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે ભારિત સરેરાશ, કારણ કે તે રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશની લગભગ સમાન છે મોટી સંખ્યામાંપ્રયોગો

નોંધ 2.ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનું મૂલ્ય રેન્ડમ ચલના શક્ય તેટલા નાના મૂલ્ય કરતાં ઓછું નથી અને સૌથી મોટા કરતાં વધુ નથી.

નોંધ 3.એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા છે બિન-રેન્ડમ(સતત. આપણે પછી જોઈશું કે સતત રેન્ડમ ચલો માટે પણ આ જ સાચું છે.

ઉદાહરણ 1. ચાલો ગાણિતિક શોધીએરેન્ડમ ચલની રાહ જોઈ રહ્યા છીએ એક્સ- 2 ખામીયુક્ત ભાગો સહિત 10 ભાગોના બેચમાંથી પસંદ કરેલા ત્રણમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગોની સંખ્યા. માટે એક વિતરણ શ્રેણી બનાવીએ એક્સ. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે તેને અનુસરે છે એક્સમૂલ્યો 1, 2, 3 લઈ શકે છે. પછી

ઉદાહરણ 2. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરો એક્સ- કોટ ઓફ આર્મ્સના પ્રથમ દેખાવ પહેલાં સિક્કા ફેંકવાની સંખ્યા. આ મૂલ્ય લઈ શકે છે અનંત સંખ્યામૂલ્યો (શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ એ સમૂહ છે કુદરતી સંખ્યાઓ). તેની વિતરણ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

+ (ગણતરી કરતી વખતે, અનંત રીતે ઘટતા સરવાળા માટેનું સૂત્ર ભૌમિતિક પ્રગતિ:, ક્યાં).

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો.

1) અચળની ગાણિતિક અપેક્ષા અચલની જ છે:

એમ(સાથે) = સાથે.(7.2)

પુરાવો. જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ સાથેએક અલગ રેન્ડમ ચલ તરીકે માત્ર એક મૂલ્ય લે છે સાથેસંભાવના સાથે આર= 1, પછી એમ(સાથે) = સાથે?1 = સાથે.

2) સતત પરિબળને ગાણિતિક અપેક્ષાની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

એમ(સીએક્સ) = સીએમ(એક્સ). (7.3)

પુરાવો. જો રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ શ્રેણી દ્વારા આપવામાં આવે છે

પછી એમ(સીએક્સ) = Cx 1 આર 1 + Cx 2 આર 2 + … + Cx p p p = સાથે(એક્સ 1 આર 1 + એક્સ 2 આર 2 + … + x p r p) = સીએમ(એક્સ).

વ્યાખ્યા 7.2.બે રેન્ડમ ચલોને કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર, જો તેમાંથી એકનો વિતરણ કાયદો બીજાએ કયા મૂલ્યો લીધા છે તેના પર નિર્ભર નથી. અન્યથા રેન્ડમ ચલો આશ્રિત.

વ્યાખ્યા 7.3.ચાલો ફોન કરીએ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનું ઉત્પાદન એક્સઅને વાય રેન્ડમ ચલ XY, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનો સમાન છે એક્સતમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે વાય, અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ પરિબળની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનો સમાન છે.

3) બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે:

એમ(XY) = એમ(એક્સ)એમ(વાય). (7.4)

પુરાવો. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, અમે અમારી જાતને કેસ સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ જ્યારે એક્સઅને વાયફક્ત બે સંભવિત મૂલ્યો લો:

આથી, એમ(XY) = x 1 y 1 ?પી 1 g 1 + x 2 y 1 ?પી 2 g 1 + x 1 y 2 ?પી 1 g 2 + x 2 y 2 ?પી 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 પી 1 + x 2 પી 2) + + y 2 g 2 (x 1 પી 1 + x 2 પી 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 પી 1 + x 2 પી 2) = એમ(એક્સ)?એમ(વાય).

નોંધ 1.અમે તે જ રીતે આ મિલકત માટે સાબિત કરી શકીએ છીએ વધુપરિબળોના સંભવિત મૂલ્યો.

નોંધ 2.ગુણધર્મ 3 એ કોઈપણ સંખ્યાના સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદન માટે સાચું છે, જે ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિત થાય છે.

વ્યાખ્યા 7.4.ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો એક્સઅને વાય રેન્ડમ ચલ તરીકે X+Y, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો દરેક સંભવિત મૂલ્યના સરવાળા સમાન છે એક્સદરેક સાથે શક્ય અર્થ વાય; આવા સરવાળોની સંભાવનાઓ શરતોની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન હોય છે (આશ્રિત રેન્ડમ ચલ માટે - દ્વારા એક પદની સંભાવનાના ઉત્પાદનો શરતી સંભાવનાબીજું).

4) બે રેન્ડમ ચલ (આશ્રિત અથવા સ્વતંત્ર) ના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે:

એમ (X+Y) = એમ (એક્સ) + એમ (વાય). (7.5)

પુરાવો.

ચાલો ફરીથી રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈએ, પંક્તિઓ દ્વારા આપવામાં આવે છેમિલકતના પુરાવામાં આપેલ વિતરણો 3. પછી સંભવિત મૂલ્યો X+Yછે એક્સ 1 + ખાતે 1 , એક્સ 1 + ખાતે 2 , એક્સ 2 + ખાતે 1 , એક્સ 2 + ખાતે 2. ચાલો તેમની સંભાવનાઓને અનુક્રમે તરીકે દર્શાવીએ આર 11 , આર 12 , આર 21 અને આર 22. અમે શોધીશું એમ(એક્સ+વાય) = (x 1 + y 1)પી 11 + (x 1 + y 2)પી 12 + (x 2 + y 1)પી 21 + (x 2 + y 2)પી 22 =

= x 1 (પી 11 + પી 12) + x 2 (પી 21 + પી 22) + y 1 (પી 11 + પી 21) + y 2 (પી 12 + પી 22).

ચાલો તે સાબિત કરીએ આર 11 + આર 22 = આર 1. ખરેખર, ઘટના કે X+Yમૂલ્યો લેશે એક્સ 1 + ખાતે 1 અથવા એક્સ 1 + ખાતે 2 અને જેની સંભાવના છે આર 11 + આર 22 ઘટના સાથે એકરુપ છે કે એક્સ = એક્સ 1 (તેની સંભાવના છે આર 1). તે એવી જ રીતે સાબિત થાય છે કે પી 21 + પી 22 = આર 2 , પી 11 + પી 21 = g 1 , પી 12 + પી 22 = g 2. અર્થ,

એમ(X+Y) = x 1 પી 1 + x 2 પી 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = એમ (એક્સ) + એમ (વાય).

ટિપ્પણી. ગુણધર્મ 4 થી તે અનુસરે છે કે કોઈપણ સંખ્યાના રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલો છે.

ઉદાહરણ. પાંચ ડાઇસ ફેંકતી વખતે મેળવેલ પોઈન્ટની સંખ્યાના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ચાલો એક ડાઇસ ફેંકતી વખતે વળેલા બિંદુઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ:

એમ(એક્સ 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) સમાન સંખ્યા કોઈપણ ડાઇસ પર વળેલા બિંદુઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલી છે. તેથી, મિલકત દ્વારા 4 એમ(એક્સ)=

વિખેરી નાખવું.

રેન્ડમ ચલની વર્તણૂકનો ખ્યાલ રાખવા માટે, ફક્ત તેની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ જાણવી પૂરતી નથી. બે રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લો: એક્સઅને વાય, ફોર્મની વિતરણ શ્રેણી દ્વારા ઉલ્લેખિત

અમે શોધીશું એમ(એક્સ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, એમ(વાય) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. જેમ તમે જોઈ શકો છો, બંને જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન છે, પરંતુ જો માટે એચ.એમ(એક્સ) રેન્ડમ ચલની વર્તણૂકને સારી રીતે વર્ણવે છે, તેનું સૌથી સંભવિત સંભવિત મૂલ્ય છે (અને બાકીના મૂલ્યો 50 થી વધુ અલગ નથી), પછી મૂલ્યો વાયમાંથી નોંધપાત્ર રીતે દૂર કરવામાં આવે છે એમ(વાય). તેથી, ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે, તે જાણવું ઇચ્છનીય છે કે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો તેનાથી કેટલા વિચલિત થાય છે. ભિન્નતાનો ઉપયોગ આ સૂચકને દર્શાવવા માટે થાય છે.

વ્યાખ્યા 7.5.વિખેરવું (વિખેરવું)રેન્ડમ ચલનું તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી તેના વિચલનના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:

ડી(એક્સ) = એમ (એક્સ-એમ(એક્સ))². (7.6)

ચાલો રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધીએ એક્સ(પસંદ કરેલ તેમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગોની સંખ્યા) ઉદાહરણ તરીકે આ વ્યાખ્યાન 1. ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી દરેક સંભવિત મૂલ્યના વર્ગ વિચલનની ગણતરી કરીએ:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. આથી,

નોંધ 1.વિક્ષેપ નક્કી કરવામાં, તે સરેરાશમાંથી વિચલન નથી જેનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેનો વર્ગ. આ કરવામાં આવે છે જેથી વિવિધ ચિહ્નોના વિચલનો એકબીજાને રદ ન કરે.

નોંધ 2.વિક્ષેપની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે આ જથ્થો માત્ર બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે.

નોંધ 3.વિભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે એક સૂત્ર છે જે ગણતરી માટે વધુ અનુકૂળ છે, જેની માન્યતા નીચેના પ્રમેયમાં સાબિત થાય છે:

પ્રમેય 7.1.ડી(એક્સ) = એમ(એક્સ²) - એમ²( એક્સ). (7.7)

પુરાવો.

શું વાપરીને એમ(એક્સ) એક સ્થિર મૂલ્ય છે, અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો, અમે ફોર્મ્યુલા (7.6) ને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

ડી(એક્સ) = એમ(એક્સ-એમ(એક્સ))² = એમ(એક્સ² - 2 એક્સ?એમ(એક્સ) + એમ²( એક્સ)) = એમ(એક્સ²) - 2 એમ(એક્સ)?એમ(એક્સ) + એમ²( એક્સ) =

= એમ(એક્સ²) - 2 એમ²( એક્સ) + એમ²( એક્સ) = એમ(એક્સ²) - એમ²( એક્સ), જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ઉદાહરણ. ચાલો રેન્ડમ ચલોના ભિન્નતાઓની ગણતરી કરીએ એક્સઅને વાયઆ વિભાગની શરૂઆતમાં ચર્ચા કરી હતી. એમ(એક્સ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

એમ(વાય) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. તેથી, બીજા રેન્ડમ ચલનું વિચલન પ્રથમના વિચલન કરતાં હજાર ગણું વધારે છે. આમ, આ જથ્થાના વિતરણના નિયમો જાણ્યા વિના પણ, મુજબ જાણીતા મૂલ્યોભિન્નતા આપણે કહી શકીએ કે એક્સતેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી થોડું વિચલિત થાય છે, જ્યારે માટે વાયઆ વિચલન તદ્દન નોંધપાત્ર છે.

વિખેરવાના ગુણધર્મો.

1) સ્થિર મૂલ્યનું વિચલન સાથેશૂન્યની બરાબર:

ડી (સી) = 0. (7.8)

પુરાવો. ડી(સી) = એમ((સી-એમ(સી))²) = એમ((સી-સી)²) = એમ(0) = 0.

2) અચળ પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે.

ડી(સીએક્સ) = સી² ડી(એક્સ). (7.9)

પુરાવો. ડી(સીએક્સ) = એમ((CX-M(સીએક્સ))²) = એમ((CX-CM(એક્સ))²) = એમ(સી²( એક્સ-એમ(એક્સ))²) =

= સી² ડી(એક્સ).

3) બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિચલન તેમના ચલોના સરવાળા જેટલું છે:

ડી(X+Y) = ડી(એક્સ) + ડી(વાય). (7.10)

પુરાવો. ડી(X+Y) = એમ(એક્સ² + 2 XY + વાય²) - ( એમ(એક્સ) + એમ(વાય))² = એમ(એક્સ²) + 2 એમ(એક્સ)એમ(વાય) +

+ એમ(વાય²) - એમ²( એક્સ) - 2એમ(એક્સ)એમ(વાય) - એમ²( વાય) = (એમ(એક્સ²) - એમ²( એક્સ)) + (એમ(વાય²) - એમ²( વાય)) = ડી(એક્સ) + ડી(વાય).

કોરોલરી 1.કેટલાક પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત તેમના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલો છે.

કોરોલરી 2.અચળ અને અવ્યવસ્થિત ચલના સરવાળાનો તફાવત રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા જેટલો છે.

4) બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ વચ્ચેના તફાવતનો તફાવત તેમના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલો છે:

ડી(એક્સ-વાય) = ડી(એક્સ) + ડી(વાય). (7.11)

પુરાવો. ડી(એક્સ-વાય) = ડી(એક્સ) + ડી(-વાય) = ડી(એક્સ) + (-1)² ડી(વાય) = ડી(એક્સ) + ડી(એક્સ).

ભિન્નતા સરેરાશમાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનનું સરેરાશ મૂલ્ય આપે છે; વિચલનનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે ઓળખાતા મૂલ્યનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા 7.6.પ્રમાણભૂત વિચલનσ રેન્ડમ ચલ એક્સકહેવાય છે વર્ગમૂળવિખેરાઈ થી:

ઉદાહરણ. અગાઉના ઉદાહરણમાં, સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલનો એક્સઅને વાયઅનુક્રમે સમાન છે