લંબચોરસ સમાંતર પાઈપમાં કયા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે? લંબચોરસ સમાંતર - નોલેજ હાઇપરમાર્કેટ

જ્યારે તમે નાના હતા અને ક્યુબ્સ સાથે રમતા હતા, ત્યારે તમે આકૃતિ 154 માં બતાવેલ આકારો બનાવ્યા હશે. આ આંકડાઓ ખ્યાલ આપે છે લંબચોરસ સમાંતર. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનો આકાર છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચોકલેટનું બોક્સ, ઈંટ, મેચબોક્સ, પેકિંગ બોક્સ, જ્યુસ પેક.

આકૃતિ 155 એક લંબચોરસ સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 દર્શાવે છે.

લંબચોરસ સમાંતરછ સુધી મર્યાદિત ધાર. દરેક ચહેરો એક લંબચોરસ છે, એટલે કે. લંબચોરસ સમાંતર સપાટી છ લંબચોરસ ધરાવે છે.

ચહેરાની બાજુઓને કહેવામાં આવે છે સમાંતર લંબચોરસની ધાર, ચહેરાના શિરોબિંદુઓ − લંબચોરસ સમાંતર ના શિરોબિંદુઓ. ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટ્સ AB, BC, A 1 B 1 એ કિનારીઓ છે, અને બિંદુઓ B, A 1, C 1 એ સમાંતર નળીવાળા ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ફિગ. 155) ના શિરોબિંદુઓ છે.

એક લંબચોરસ સમાંતર 8 શિરોબિંદુઓ અને 12 કિનારીઓ ધરાવે છે.

AA 1 B 1 B અને DD 1 C 1 C ચહેરામાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી. આવી ધાર કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ. સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 માં વિરુદ્ધ ચહેરાઓની વધુ બે જોડી છે: લંબચોરસ ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1, તેમજ લંબચોરસ AA 1 D 1 D અને BB 1 C 1 C.

વિરોધી ચહેરાઓલંબચોરસ સમાંતર સમાન હોય છે.

આકૃતિ 155 માં, ચહેરાને ABCD કહેવામાં આવે છે આધારલંબચોરસ સમાંતર એબીસીડીએ 1 B 1 C 1 D 1 .

સમાંતર પાઇપનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેના તમામ ચહેરાના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.

લંબચોરસ સમાંતર ના પરિમાણનો ખ્યાલ રાખવા માટે, કોઈપણ ત્રણ ધાર હોય તે ધ્યાનમાં લેવું પૂરતું છે. સામાન્ય ટોચ. આ ધારની લંબાઈ કહેવામાં આવે છે માપલંબચોરસ સમાંતર. તેમને અલગ પાડવા માટે, તેઓ નામોનો ઉપયોગ કરે છે: લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ(ફિગ. 156).

એક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ જેમાં તમામ પરિમાણો સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે સમઘન(ફિગ. 157). ક્યુબની સપાટી છ હોય છે સમાન ચોરસ.

જો લંબચોરસ સમાંતર આકારનું બોક્સ ખોલવામાં આવે છે (ફિગ. 158) અને ચાર ઊભી કિનારીઓ (ફિગ. 159) સાથે કાપવામાં આવે છે, અને પછી ખોલવામાં આવે છે, તો અમને છ લંબચોરસ (ફિગ. 160) ધરાવતી આકૃતિ મળે છે. આ આંકડો કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનો વિકાસ.

આકૃતિ 161 છ સમાન ચોરસ ધરાવતી આકૃતિ દર્શાવે છે. તે સમઘનનો વિકાસ છે.

વિકાસનો ઉપયોગ કરીને, તમે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું મોડેલ બનાવી શકો છો.

આ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ. કાગળ પર તેની રૂપરેખા દોરો. તેને કાપી નાખો, તેને લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ્ડ (ફિગ. 159 જુઓ) ની ધારને અનુરૂપ ભાગો સાથે વાળો અને તેને એકસાથે ગુંદર કરો.

લંબચોરસ સમાંતર એક પ્રકારનો પોલિહેડ્રોન છે - એક આકૃતિ જેની સપાટી બહુકોણ ધરાવે છે. આકૃતિ 162 પોલિહેડ્રા બતાવે છે.

પોલિહેડ્રોનનો એક પ્રકાર છે પિરામિડ.

આ આંકડો તમારા માટે નવો નથી. અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરે છે પ્રાચીન વિશ્વ, તમે વિશ્વના સાત અજાયબીઓમાંના એક - ઇજિપ્તીયન પિરામિડથી પરિચિત થયા છો.

આકૃતિ 163 પિરામિડ MABC, MABCD, MABCDE બતાવે છે. પિરામિડની સપાટી સમાવે છે બાજુના ચહેરા− સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવતા ત્રિકોણ, અને મેદાન(ફિગ. 164). બાજુના ચહેરાઓના સામાન્ય શિરોબિંદુને કહેવામાં આવે છે પિરામિડના આધારની કિનારીઓ, અને બાજુના ચહેરાઓની બાજુઓ જે આધાર સાથે સંબંધિત નથી પિરામિડની બાજુની કિનારીઓ.

પિરામિડને આધારની બાજુઓની સંખ્યા અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે: ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય, પંચકોણીય (ફિગ. 163 જુઓ), વગેરે.

સપાટી ત્રિકોણાકાર પિરામિડચાર ત્રિકોણ ધરાવે છે. આમાંથી કોઈપણ ત્રિકોણ પિરામિડના આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે. આ આધાર એક પ્રકારનો પિરામિડ છે, જેનો કોઈપણ ચહેરો તેના આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે.

આકૃતિ 165 એક આકૃતિ બતાવે છે જે સેવા આપી શકે છે સ્વીપ ચતુષ્કોણીય પિરામિડ . તે એક ચોરસ અને ચાર સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ધરાવે છે.

આકૃતિ 166 એક આકૃતિ દર્શાવે છે જેમાં ચાર સમાન હોય છે સમભુજ ત્રિકોણ. આ આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, તમે ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું મોડેલ બનાવી શકો છો, જેના બધા ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે.

પોલિહેડ્રા ઉદાહરણો છે ભૌમિતિક સંસ્થાઓ.

આકૃતિ 167 પરિચિત ભૌમિતિક સંસ્થાઓ દર્શાવે છે જે પોલિહેડ્રા નથી. તમે 6ઠ્ઠા ધોરણમાં આ સંસ્થાઓ વિશે વધુ શીખી શકશો.

પેરેલલેપાઈપ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનાં તમામ 6 ચહેરા સમાંતરગ્રામ છે.

આ સમાંતરગ્રામના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, નીચેના પ્રકારના સમાંતર પાઈપને અલગ પાડવામાં આવે છે:

• પ્રત્યક્ષ
• વલણ
• લંબચોરસ

જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ એ ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે જેની કિનારીઓ પાયાના સમતલ સાથે 90°નો ખૂણો બનાવે છે.

એક લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે, જેના બધા ચહેરા લંબચોરસ છે. ક્યુબ વિવિધ છે ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ, જેમાં બધા ચહેરા અને કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે.

આકૃતિના લક્ષણો તેના ગુણધર્મોને પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે. આમાં નીચેના 4 નિવેદનો શામેલ છે:

આપેલ તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખવું સરળ છે, તે સમજવામાં સરળ છે અને પ્રકાર અને લક્ષણોના આધારે તાર્કિક રીતે લેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક શરીર. જો કે, સરળ નિવેદનો નક્કી કરવામાં અવિશ્વસનીય રીતે મદદરૂપ થઈ શકે છે લાક્ષણિક કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને પરીક્ષા પાસ કરવા માટે જરૂરી સમય બચાવશે.

સમાંતર સૂત્ર

સમસ્યાના જવાબો શોધવા માટે, ફક્ત આકૃતિના ગુણધર્મોને જાણવું પૂરતું નથી. ભૌમિતિક બોડીનું ક્ષેત્રફળ અને વોલ્યુમ શોધવા માટે તમારે કેટલાક સૂત્રોની પણ જરૂર પડી શકે છે.

પાયાનો વિસ્તાર સમાંતરગ્રામ અથવા લંબચોરસના અનુરૂપ સૂચકની જેમ જ જોવા મળે છે. તમે સમાંતરગ્રામનો આધાર જાતે પસંદ કરી શકો છો. એક નિયમ તરીકે, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પ્રિઝમ સાથે કામ કરવું વધુ સરળ છે, જેનો આધાર લંબચોરસ છે.

સમાંતર પાઇપની બાજુની સપાટી શોધવા માટેના સૂત્રની પણ પરીક્ષણ કાર્યોમાં જરૂર પડી શકે છે.

લાક્ષણિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને હલ કરવાના ઉદાહરણો

કાર્ય 1.

આપેલ: 3, 4 અને 12 સે.મી.ના પરિમાણો સાથે લંબચોરસ સમાંતર.
જરૂરીઆકૃતિના મુખ્ય કર્ણમાંથી એકની લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ: કોઈપણ ઉકેલ ભૌમિતિક સમસ્યાસાચા અને સ્પષ્ટ ડ્રોઇંગના નિર્માણથી પ્રારંભ થવો જોઈએ, જેના પર "આપેલું" અને ઇચ્છિત મૂલ્ય સૂચવવામાં આવશે. નીચેનું ચિત્ર એક ઉદાહરણ બતાવે છે યોગ્ય ડિઝાઇનકાર્ય શરતો.

બનાવેલ ડ્રોઇંગની તપાસ કર્યા પછી અને ભૌમિતિક શરીરના તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખીને, અમે ફક્ત સાચો રસ્તોઉકેલો સમાંતર 4 થી ગુણધર્મ લાગુ કરવાથી, અમે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

સરળ ગણતરીઓ પછી આપણને સમીકરણ b2=169 મળે છે, તેથી b=13. કાર્યનો જવાબ મળી ગયો છે, તમારે તેને શોધવા અને દોરવામાં 5 મિનિટથી વધુ સમય પસાર કરવાની જરૂર નથી.

ભૂમિતિમાં મુખ્ય ખ્યાલોપ્લેન, બિંદુ, સીધી રેખા અને કોણ છે. આ શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિનું વર્ણન કરી શકો છો. પોલિહેડ્રાને સામાન્ય રીતે વધુના સંદર્ભમાં વર્ણવવામાં આવે છે સરળ આંકડા, જે એક જ પ્લેનમાં હોય છે, જેમ કે વર્તુળ, ત્રિકોણ, ચોરસ, લંબચોરસ, વગેરે. આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે સમાંતર શું છે, પેરેલેલેપાઈપના પ્રકારો, તેના ગુણધર્મો, તેમાં કયા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે અને તે પણ આપીશું. મૂળભૂત સૂત્રોદરેક પ્રકારના સમાંતર પાઈપ માટે વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે.

વ્યાખ્યા

માં સમાંતર ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાપ્રિઝમ છે, જેની બધી બાજુઓ સમાંતરગ્રામ છે. તદનુસાર, તેમાં માત્ર ત્રણ જોડી સમાંતર સમાંતરગ્રામ અથવા છ ચહેરા હોઈ શકે છે.

સમાંતર પાઈપની કલ્પના કરવા માટે, એક સામાન્ય પ્રમાણભૂત ઈંટની કલ્પના કરો. ઈંટ - સારું ઉદાહરણએક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ જે બાળક પણ કલ્પના કરી શકે છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં બહુમાળી પેનલ હાઉસ, કેબિનેટ, સ્ટોરેજ કન્ટેનરનો સમાવેશ થાય છે ખાદ્ય ઉત્પાદનોયોગ્ય ફોર્મ, વગેરે.

આકૃતિની વિવિધતા

ત્યાં ફક્ત બે પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે:

1. લંબચોરસ, બધા બાજુના ચહેરાજે પાયાના 90°ના ખૂણા પર છે અને લંબચોરસ છે.
2. ઢોળાવ, જેની બાજુની કિનારીઓ નીચે સ્થિત છે ચોક્કસ ખૂણોઆધાર માટે.

આ આકૃતિને કયા ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

• અન્ય કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિની જેમ, સમાન કિનારીવાળા કોઈપણ 2 ચહેરાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે, અને જેની પાસે તે નથી તે સમાંતર છે (સમાંતર ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ પર આધારિત, જેમાં સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી હોય છે).
• સમાન ચહેરા પર ન હોય તેવા સમાંતર નળીઓના શિરોબિંદુઓ વિરુદ્ધ કહેવાય છે.
• આવા શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ કર્ણ છે.
• એક શિરોબિંદુ પર મળતા ઘનકારની ત્રણ ધારની લંબાઈ તેના પરિમાણો (એટલે ​​​​કે, તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) છે.

આકાર ગુણધર્મો

1. તે હંમેશા કર્ણની મધ્યમાં સમપ્રમાણરીતે બાંધવામાં આવે છે.
2. તમામ કર્ણનો આંતરછેદ બિંદુ દરેક કર્ણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
3. વિરોધી ચહેરા લંબાઈમાં સમાન હોય છે અને સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય છે.
4. જો તમે સમાંતર ના તમામ પરિમાણોના ચોરસ ઉમેરો છો, તો પરિણામી મૂલ્ય કર્ણની લંબાઈના ચોરસ જેટલું હશે.

ગણતરીના સૂત્રો

સમાંતરના દરેક ચોક્કસ કેસ માટેના સૂત્રો અલગ હશે.

મનસ્વી સમાંતર માટે તે સાચું છે કે તેનું વોલ્યુમ બરાબર છે સંપૂર્ણ મૂલ્યટ્રિપલ ડોટ ઉત્પાદનએક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ બાજુઓના વેક્ટર. જો કે, મનસ્વી સમાંતરના વોલ્યુમની ગણતરી માટે કોઈ સૂત્ર નથી.

લંબચોરસ સમાંતર માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• વી - આકૃતિનું પ્રમાણ;
• Sb - બાજુની સપાટી વિસ્તાર;
• એસપી - વિસ્તાર સંપૂર્ણ સપાટી;
• a - લંબાઈ;
• b - પહોળાઈ;
• c - ઊંચાઈ.

સમાંતર પાઈપનો બીજો ખાસ કિસ્સો જેમાં બધી બાજુઓ ચોરસ હોય છે તે ક્યુબ છે. જો ચોરસની કોઈપણ બાજુ અક્ષર a દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવી હોય, તો આ આકૃતિના સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• એસ- આકૃતિનો વિસ્તાર,
• V એ આકૃતિનું પ્રમાણ છે,
• a એ આકૃતિના ચહેરાની લંબાઈ છે.

છેલ્લો પ્રકાર જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ તે એક સીધી સમાંતર છે. તમે પૂછો કે જમણા સમાંતર અને ક્યુબોઇડ વચ્ચે શું તફાવત છે. હકીકત એ છે કે લંબચોરસ સમાંતર નળીઓનો આધાર કોઈપણ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે છે, પરંતુ સીધા સમાંતરનો આધાર માત્ર એક લંબચોરસ હોઈ શકે છે. જો આપણે આધારની પરિમિતિ, બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા સમાન, Po તરીકે દર્શાવીએ છીએ અને h અક્ષર દ્વારા ઊંચાઈ દર્શાવીએ છીએ, તો અમને તેનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે. નીચેના સૂત્રોસંપૂર્ણ અને બાજુની સપાટીઓના વોલ્યુમ અને વિસ્તારોની ગણતરી કરવા માટે.

પેરેલેલેપાઈપ એ પ્રિઝમ છે જેનો આધાર સમાંતરગ્રામ છે. આ કિસ્સામાં, બધી ધાર હશે સમાંતરગ્રામ.
દરેક સમાંતર નળીવાળાને ત્રણ સાથે પ્રિઝમ તરીકે ગણી શકાય વિવિધ રીતે, દરેક બે થી વિરોધી ચહેરાઓ(ફિગ. 5 માં, ABCD અને A"B"C"D", અથવા ABA"B" અને CDC"D", અથવા VSV"C" અને ADA"D"નો સામનો કરે છે).
પ્રશ્નમાં રહેલા શરીરને બાર ધાર છે, ચાર સમાન અને એકબીજાની સમાંતર.
પ્રમેય 3 . સમાંતર નળીઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે, તે દરેકની મધ્ય સાથે એકરૂપ થાય છે.
સમાંતર પાઈપવાળી ABCDA"B"C"D" (ફિગ. 5) ચાર કર્ણ AC, BD, CA, DB" ધરાવે છે. આપણે સાબિત કરવું જોઈએ કે તેમાંથી કોઈપણ બેના મધ્યબિંદુઓ, ઉદાહરણ તરીકે AC અને BD, એકરૂપ થાય છે. આ એ હકીકત પરથી થાય છે કે ABC"D" આકૃતિ સમાન છે અને સમાંતર બાજુઓ AB અને C"D" એક સમાંતરગ્રામ છે.
વ્યાખ્યા 7 . જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ એ સમાંતર છે જે સીધી પ્રિઝમ પણ છે, એટલે કે સમાંતર બાજુની પાંસળીજે બેઝના પ્લેન પર લંબ છે.
વ્યાખ્યા 8 . એક લંબચોરસ સમાંતરપાઈપ એ જમણી બાજુની સમાંતરપાઈપ છે જેનો આધાર એક લંબચોરસ છે. આ કિસ્સામાં, તેના બધા ચહેરા લંબચોરસ હશે.
લંબચોરસ સમાંતર એક સીધી પ્રિઝમ છે, પછી ભલેને આપણે તેના કયા ચહેરાને આધાર તરીકે લઈએ, કારણ કે તેની દરેક કિનારીઓ સમાન શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી કિનારીઓ પર લંબરૂપ હોય છે, અને તેથી, તે નિર્ધારિત ચહેરાઓના પ્લેન્સ પર લંબરૂપ હશે. આ ધાર દ્વારા. તેનાથી વિપરિત, એક સીધી, પરંતુ લંબચોરસ નહીં, સમાંતરને માત્ર એક જ રીતે જમણા પ્રિઝમ તરીકે જોઈ શકાય છે.
વ્યાખ્યા 9 . ત્રણની લંબાઈલંબચોરસ સમાંતર નળીઓની ધાર, જેમાંથી કોઈ બે એકબીજાની સમાંતર હોતી નથી (ઉદાહરણ તરીકે, એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ ધાર), તેને તેના પરિમાણો કહેવામાં આવે છે. અનુરૂપ સમાન પરિમાણો ધરાવતા બે લંબચોરસ સમાંતરપિડ દેખીતી રીતે એકબીજાની સમાન હોય છે.
વ્યાખ્યા 10 .એક ઘન એક લંબચોરસ સમાંતર છે, જેનાં ત્રણેય પરિમાણ એકબીજાના સમાન છે, જેથી તેના તમામ ચહેરા ચોરસ છે. બે ક્યુબ જેની કિનારીઓ સમાન છે તે સમાન છે.
વ્યાખ્યા 11 . વળેલું સમાંતર, જેમાં તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે અને તમામ ચહેરાના ખૂણા સમાન અથવા પૂરક હોય છે, તેને રોમ્બોહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે.
સમચતુર્ભુજના બધા ચહેરા સમાન સમચતુર્ભુજ છે. (કેટલાક સ્ફટિકોમાં રોમ્બોહેડ્રોન આકાર હોય છે, જેમાં મહાન મૂલ્ય, ઉદાહરણ તરીકે, આઇસલેન્ડ સ્પાર ક્રિસ્ટલ્સ.) એક સમચતુર્ભુજમાં તમે એક શિરોબિંદુ (અને બે વિરોધી શિરોબિંદુઓ પણ) શોધી શકો છો જેમ કે તેને અડીને આવેલા તમામ ખૂણાઓ એકબીજાને સમાન હોય છે.
પ્રમેય 4 . લંબચોરસ સમાંતર નળીઓના કર્ણ એકબીજાના સમાન હોય છે. કર્ણ ચોરસ સરવાળો સમાનત્રણ પરિમાણના ચોરસ.
લંબચોરસ સમાંતર ABCDA"B"C"D" (ફિગ. 6) માં, કર્ણ AC" અને BD" સમાન છે, કારણ કે ચતુષ્કોણ ABC"D" એક લંબચોરસ છે (સીધી રેખા AB એ પ્લેન ECB પર લંબ છે" C", જેમાં BC આવેલું છે").
વધુમાં, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 એ કર્ણના વર્ગ વિશેના પ્રમેય પર આધારિત છે. પરંતુ તે જ પ્રમેય AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 પર આધારિત છે; તેથી આપણે છે:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.