સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે? પાઠ: ઘન

પેરેલલેપાઈપ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનાં તમામ 6 ચહેરા સમાંતરગ્રામ છે.

આ સમાંતરગ્રામના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, નીચેના પ્રકારના સમાંતર પાઈપને અલગ પાડવામાં આવે છે:

પ્રત્યક્ષ
વલણ
લંબચોરસ

જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ એ ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે જેની કિનારીઓ પાયાના સમતલ સાથે 90°નો ખૂણો બનાવે છે.

એક લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ છે, જેના બધા ચહેરા લંબચોરસ છે. ક્યુબ વિવિધ છે ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ, જેમાં બધા ચહેરા અને કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે.

આકૃતિના લક્ષણો તેના ગુણધર્મોને પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે. આમાં નીચેના 4 નિવેદનો શામેલ છે:

આપેલ તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખવું સરળ છે, તે સમજવામાં સરળ છે અને પ્રકાર અને લક્ષણોના આધારે તાર્કિક રીતે લેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક શરીર. જો કે, સરળ નિવેદનો નક્કી કરવામાં અવિશ્વસનીય રીતે મદદરૂપ થઈ શકે છે લાક્ષણિક કાર્યોયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને પરીક્ષા પાસ કરવા માટે જરૂરી સમય બચાવશે.

સમાંતર સૂત્ર

સમસ્યાના જવાબો શોધવા માટે, ફક્ત આકૃતિના ગુણધર્મોને જાણવું પૂરતું નથી. ભૌમિતિક બોડીનું ક્ષેત્રફળ અને વોલ્યુમ શોધવા માટે તમારે કેટલાક સૂત્રોની પણ જરૂર પડી શકે છે.

પાયાનો વિસ્તાર સમાંતર ચતુષ્કોણ અથવા લંબચોરસના અનુરૂપ સૂચકની જેમ જ જોવા મળે છે. તમે સમાંતરગ્રામનો આધાર જાતે પસંદ કરી શકો છો. એક નિયમ તરીકે, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે પ્રિઝમ સાથે કામ કરવું વધુ સરળ છે, જેનો આધાર લંબચોરસ છે.

સમાંતર નળીઓની બાજુની સપાટી શોધવા માટેના સૂત્રની પણ પરીક્ષણ કાર્યોમાં જરૂર પડી શકે છે.

લાક્ષણિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને હલ કરવાના ઉદાહરણો

કાર્ય 1.

આપેલ: 3, 4 અને 12 સે.મી.ના પરિમાણો સાથે લંબચોરસ સમાંતર.
જરૂરીઆકૃતિના મુખ્ય કર્ણમાંથી એકની લંબાઈ શોધો.
ઉકેલ: કોઈપણ ઉકેલ ભૌમિતિક સમસ્યાસાચા અને સ્પષ્ટ ડ્રોઇંગના નિર્માણથી પ્રારંભ થવો જોઈએ, જેના પર "આપેલું" અને ઇચ્છિત મૂલ્ય સૂચવવામાં આવશે. નીચેનું ચિત્ર એક ઉદાહરણ બતાવે છે યોગ્ય ડિઝાઇનકાર્ય શરતો.

બનાવેલ ડ્રોઇંગની તપાસ કર્યા પછી અને ભૌમિતિક શરીરના તમામ ગુણધર્મોને યાદ રાખીને, અમે ફક્ત સાચો રસ્તોઉકેલો સમાંતર 4 થી ગુણધર્મ લાગુ કરવાથી, અમે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

સરળ ગણતરીઓ પછી આપણને સમીકરણ b2=169 મળે છે, તેથી b=13. કાર્યનો જવાબ મળી ગયો છે, તમારે તેને શોધવા અને તેને દોરવામાં 5 મિનિટથી વધુ સમય પસાર કરવાની જરૂર નથી.

ભૂમિતિમાં મુખ્ય ખ્યાલોપ્લેન, બિંદુ, સીધી રેખા અને કોણ છે. આ શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિનું વર્ણન કરી શકો છો. પોલિહેડ્રાને સામાન્ય રીતે વધુના સંદર્ભમાં વર્ણવવામાં આવે છે સરળ આંકડા, જે સમાન સમતલમાં હોય છે, જેમ કે વર્તુળ, ત્રિકોણ, ચોરસ, લંબચોરસ, વગેરે. આ લેખમાં આપણે જોઈશું કે સમાંતર શું છે, પેરેલેલેપાઈપના પ્રકારો, તેના ગુણધર્મો, તેમાં કયા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે અને તે પણ આપીશું. મૂળભૂત સૂત્રોદરેક પ્રકારના સમાંતર પાઈપ માટે વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે.

વ્યાખ્યા

માં સમાંતર ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાપ્રિઝમ છે, જેની બધી બાજુઓ સમાંતરગ્રામ છે. તદનુસાર, તેમાં માત્ર ત્રણ જોડી સમાંતર સમાંતરગ્રામ અથવા છ ચહેરા હોઈ શકે છે.

સમાંતર પાઈપની કલ્પના કરવા માટે, એક સામાન્ય પ્રમાણભૂત ઈંટની કલ્પના કરો. ઈંટ - સારું ઉદાહરણએક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ જે બાળક પણ કલ્પના કરી શકે છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં બહુમાળી પેનલ હાઉસ, કેબિનેટ, સ્ટોરેજ કન્ટેનરનો સમાવેશ થાય છે ખાદ્ય ઉત્પાદનોયોગ્ય ફોર્મ, વગેરે.

આકૃતિની વિવિધતા

ત્યાં ફક્ત બે પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે:

લંબચોરસ, બધા બાજુના ચહેરાજે પાયાના 90°ના ખૂણા પર છે અને લંબચોરસ છે.
ઢોળાવ, જેની બાજુની કિનારીઓ નીચે સ્થિત છે ચોક્કસ ખૂણોઆધાર માટે.

આ આકૃતિને કયા ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

અન્ય કોઈપણ ભૌમિતિક આકૃતિની જેમ, સમાન કિનારીવાળા કોઈપણ 2 ચહેરાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે, અને જેની પાસે તે નથી તે સમાંતર છે (સમાંતર ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ પર આધારિત છે જે જોડીમાં સમાંતર હોય છે. વિરુદ્ધ બાજુઓ).
સમાંતર નળીઓના શિરોબિંદુઓ જે એક જ ચહેરા પર ન હોય તેને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે.
આવા શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ કર્ણ છે.
એક શિરોબિંદુ પર મળતા ઘનકારની ત્રણ ધારની લંબાઈ તેના પરિમાણો (એટલે કે, તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) છે.

આકાર ગુણધર્મો

તે હંમેશા કર્ણની મધ્યમાં સમપ્રમાણરીતે બાંધવામાં આવે છે.
તમામ કર્ણનો આંતરછેદ બિંદુ દરેક કર્ણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
વિરોધી ચહેરાઓલંબાઈમાં સમાન અને સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા.
જો તમે સમાંતરના તમામ પરિમાણોના ચોરસ ઉમેરો છો, તો પરિણામી મૂલ્ય કર્ણની લંબાઈના ચોરસ જેટલું હશે.

ગણતરીના સૂત્રો

સમાંતરના દરેક ચોક્કસ કેસ માટેના સૂત્રો અલગ-અલગ હશે.

મનસ્વી સમાંતર માટે તે સાચું છે કે તેનું વોલ્યુમ બરાબર છે સંપૂર્ણ મૂલ્યત્રણ ગણો ડોટ ઉત્પાદનએક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ બાજુઓના વેક્ટર. જો કે, મનસ્વી સમાંતરના વોલ્યુમની ગણતરી માટે કોઈ સૂત્ર નથી.

લંબચોરસ સમાંતર માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V એ આકૃતિનું પ્રમાણ છે;
Sb - બાજુની સપાટી વિસ્તાર;
એસપી - વિસ્તાર સંપૂર્ણ સપાટી;
a - લંબાઈ;
b - પહોળાઈ;
c - ઊંચાઈ.

સમાંતર પાઈપનો બીજો ખાસ કિસ્સો જેમાં બધી બાજુઓ ચોરસ હોય છે તે ક્યુબ છે. જો ચોરસની કોઈપણ બાજુ અક્ષર a દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવી હોય, તો આ આકૃતિના સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

S=6*a*2;
V=3*a.

એસ- આકૃતિનો વિસ્તાર,
V એ આકૃતિનું પ્રમાણ છે,
a એ આકૃતિના ચહેરાની લંબાઈ છે.

છેલ્લો પ્રકાર જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ તે એક સીધી સમાંતર છે. તમે પૂછો કે જમણા સમાંતર અને ક્યુબોઇડ વચ્ચે શું તફાવત છે. હકીકત એ છે કે લંબચોરસ સમાંતર નળીઓનો આધાર કોઈપણ સમાંતરગ્રામ હોઈ શકે છે, પરંતુ સીધા સમાંતરનો આધાર માત્ર એક લંબચોરસ હોઈ શકે છે. જો આપણે આધારની પરિમિતિ, બધી બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા સમાન, Po તરીકે દર્શાવીએ છીએ અને h અક્ષર દ્વારા ઊંચાઈ દર્શાવીએ છીએ, તો અમને તેનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે. નીચેના સૂત્રોસંપૂર્ણ અને બાજુની સપાટીઓના વોલ્યુમ અને વિસ્તારોની ગણતરી કરવા માટે.

આ પાઠમાં, દરેક વ્યક્તિ વિષયનો અભ્યાસ કરી શકશે. લંબચોરસ સમાંતર" પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે મનસ્વી અને સીધા સમાંતર નળીઓ શું છે તેનું પુનરાવર્તન કરીશું, તેમના વિરોધી ચહેરાઓ અને સમાંતરના કર્ણના ગુણધર્મોને યાદ રાખીશું. પછી આપણે ક્યુબોઇડ શું છે તે જોઈશું અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું.

વિષય: રેખાઓ અને વિમાનોની લંબરૂપતા

પાઠ: ઘન

બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 અને ચાર સમાંતર ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ની બનેલી સપાટી કહેવાય છે. સમાંતર(ફિગ. 1).

ચોખા. 1 સમાંતર

એટલે કે: આપણી પાસે બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 (બેઝ) છે, તેઓ તેમાં આવેલા છે. સમાંતર વિમાનોતેથી બાજુની પાંસળી AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 સમાંતર છે. આમ, સમાંતરગ્રામની બનેલી સપાટી કહેવાય છે સમાંતર.

આમ, સમાંતર નળીઓની સપાટી એ સમાંતર નળીઓ બનાવેલા તમામ સમાંતરગ્રામોનો સરવાળો છે.

1. સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.

(આકારો સમાન છે, એટલે કે, તેમને ઓવરલેપ કરીને જોડી શકાય છે)

ઉદાહરણ તરીકે:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( સમાન સમાંતરગ્રામવ્યાખ્યા દ્વારા),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (એએ 1 B 1 B અને DD 1 C 1 C થી - વિરોધી ચહેરાઓસમાંતર)

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (કારણ કે AA 1 D 1 D અને BB 1 C 1 C સમાંતર નળીઓના વિરુદ્ધ ચહેરા છે).

2. સમાંતર નળીઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુથી દ્વિભાજિત થાય છે.

સમાંતર AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ના કર્ણ એક બિંદુ O પર છેદે છે, અને દરેક કર્ણ આ બિંદુ (ફિગ. 2) દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે.

ચોખા. 2 સમાંતરપાઈપવાળા કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

3. સમાંતર નળીઓની સમાન અને સમાંતર ધારના ત્રણ ચતુષ્કોણ હોય છે: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

વ્યાખ્યા. જો તેની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ હોય તો સમાંતર નળીઓને સીધી કહેવામાં આવે છે.

બાજુની ધાર AA 1 ને આધાર (ફિગ. 3) પર લંબરૂપ થવા દો. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા AA 1 એ સીધી રેખાઓ AD અને AB માટે લંબરૂપ છે, જે આધારના સમતલમાં આવેલી છે. આનો અર્થ એ છે કે બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ ધરાવે છે. અને પાયામાં મનસ્વી સમાંતરગ્રામો હોય છે. ચાલો ∠BAD = φ સૂચવીએ, કોણ φ કોઈપણ હોઈ શકે છે.

ચોખા. 3 જમણી બાજુની સમાંતર

તેથી, જમણી બાજુની સમાંતર નળીઓ એ સમાંતર પાઇપ છે જેમાં બાજુની કિનારીઓ સમાંતર ના પાયા પર લંબરૂપ હોય છે.

વ્યાખ્યા. સમાંતર પાઇપને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે,જો તેની બાજુની કિનારીઓ આધારને લંબરૂપ હોય. પાયા લંબચોરસ છે.

સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 લંબચોરસ છે (ફિગ. 4), જો:

1. AA 1 ⊥ ABCD (બેઝના સમતલની બાજુની ધાર લંબ છે, એટલે કે સીધી સમાંતર)

2. ∠BAD = 90°, એટલે કે આધાર એક લંબચોરસ છે.

ચોખા. 4 લંબચોરસ સમાંતર

એક લંબચોરસ સમાંતર નળીઓ મનસ્વી સમાંતર ના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.પરંતુ ત્યાં વધારાના ગુણધર્મો છે જે ક્યુબોઇડની વ્યાખ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે.

તેથી, ક્યુબોઇડએક સમાંતર પાઇપ છે જેની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ છે. ક્યુબોઇડનો આધાર એક લંબચોરસ છે.

1. લંબચોરસ સમાંતરમાં, બધા છ ચહેરા લંબચોરસ છે.

ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 વ્યાખ્યા પ્રમાણે લંબચોરસ છે.

2. બાજુની પાંસળીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતરના તમામ બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે.

3. લંબચોરસ સમાંતર નળીઓના તમામ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાચા હોય છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધાર AB સાથે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપવાળા ડાયહેડ્રલ કોણ, એટલે કે, એબીસી 1 અને એબીસી વિમાનો વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણને ધ્યાનમાં લઈએ.

AB એ એક ધાર છે, બિંદુ A 1 એક પ્લેનમાં આવેલું છે - પ્લેન ABB 1 માં, અને બિંદુ D બીજામાં - પ્લેન A 1 B 1 C 1 D 1 માં. પછી વિચારણા હેઠળના ડાઇહેડ્રલ કોણને પણ નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરી શકાય છે: ∠A 1 ABD.

ચાલો ધાર AB પર બિંદુ A લઈએ. AA 1 - પ્લેનમાં એજ AB ને કાટખૂણે АВВ-1, AD માં એજ AB ને લંબ એબીસી પ્લેન. તેથી, ∠A 1 એડી - રેખીય કોણઆપેલ ડિહેડ્રલ કોણ. ∠A 1 AD = 90°, જેનો અર્થ છે કે ધાર AB પરનો ડાયહેડ્રલ કોણ 90° છે.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતર ના કોઈપણ ડાયહેડ્રલ કોણ સાચા છે.

ક્યુબોઇડનો ચોરસ કર્ણ સરવાળો સમાનતેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસ.

નોંધ. ક્યુબોઇડના એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ ધારની લંબાઈ એ ઘનનું માપ છે. તેમને ક્યારેક લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - લંબચોરસ સમાંતરપાઇપ (ફિગ. 5).

સાબિત કરો:.

ચોખા. 5 લંબચોરસ સમાંતર

પુરાવો:

સીધી રેખા CC 1 એ પ્લેન ABC માટે લંબ છે અને તેથી સીધી રેખા AC માટે. આનો અર્થ છે કે ત્રિકોણ CC 1 A કાટખૂણે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

ચાલો વિચાર કરીએ જમણો ત્રિકોણ ABC. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

પરંતુ BC અને AD એ લંબચોરસની વિરુદ્ધ બાજુઓ છે. તેથી BC = AD. પછી:

કારણ કે , એ , તે. CC 1 = AA 1 હોવાથી, આ તે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

લંબચોરસ સમાંતર પાઇપના કર્ણ સમાન હોય છે.

ચાલો સમાંતર ABC ના પરિમાણોને a, b, c (જુઓ. 6) તરીકે દર્શાવીએ, પછી AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

અથવા (સમાન રીતે) પોલિહેડ્રોન, જેમાં છ ચહેરા છે અને તેમાંથી દરેક - સમાંતરગ્રામ.

સમાંતર પાઇપના પ્રકાર

ત્યાં ઘણા પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે:

ક્યુબોઇડ એ સમાંતર પાઇપ છે જેના ચહેરા બધા લંબચોરસ છે.
જમણી બાજુની સમાંતરપાઇપ એ 4 બાજુના ચહેરાઓ સાથેની સમાંતર પાઇપ છે જે લંબચોરસ છે.
વળેલું સમાંતરપાઈપ એ સમાંતર નળી છે જેની બાજુના ચહેરા પાયાને લંબરૂપ નથી.

મૂળભૂત તત્વો

સમાન કિનારી ધરાવતા ન હોય તેવા સમાંતર ના બે ચહેરાઓને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે, અને જે સામાન્ય ધાર ધરાવતા હોય તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. સમાન ચહેરાના ન હોય તેવા સમાંતર નળીઓના બે શિરોબિંદુઓ વિરુદ્ધ કહેવાય છે. જોડતો સેગમેન્ટ વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ, સમાંતર નળીનો કર્ણ કહેવાય છે. ત્રણની લંબાઈલંબચોરસ સમાંતર નળીવાળી ધાર સામાન્ય ટોચ, તેને માપ કહે છે.

ગુણધર્મો

સમાંતર પાઇપ તેના કર્ણની મધ્યમાં સપ્રમાણ છે.
પેરેલેલપાઈપની સપાટી સાથે જોડાયેલા અને તેના કર્ણની મધ્યમાંથી પસાર થતા છેડા સાથેનો કોઈપણ સેગમેન્ટ તેના દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે; ખાસ કરીને, સમાંતર પાઇપના તમામ કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને તેના દ્વારા દ્વિભાજિત થાય છે.
સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.
લંબચોરસ સમાંતર નળીઓની કર્ણ લંબાઈનો ચોરસ તેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

મૂળભૂત સૂત્રો

જમણી બાજુની સમાંતર

બાજુની સપાટી વિસ્તાર S b =P o *h, જ્યાં P o એ આધારની પરિમિતિ છે, h એ ઊંચાઈ છે

કુલ સપાટી વિસ્તાર S p =S b +2S o, જ્યાં S o એ પાયાનો વિસ્તાર છે

વોલ્યુમ V=S o *h

લંબચોરસ સમાંતર

બાજુની સપાટી વિસ્તાર S b =2c(a+b), જ્યાં a, b એ પાયાની બાજુઓ છે, c એ લંબચોરસ સમાંતરની બાજુની ધાર છે

કુલ સપાટી વિસ્તાર S p =2(ab+bc+ac)

વોલ્યુમ V=abc, જ્યાં a, b, c એ લંબચોરસ સમાંતર ના પરિમાણ છે.

ક્યુબ

સપાટી વિસ્તાર: $S=6a^2$
વોલ્યુમ: $V=a^3$ , ક્યાં $a$ - એક ક્યુબની ધાર.

કોઈપણ સમાંતર

માં વોલ્યુમ અને ગુણોત્તર વળેલું સમાંતરઘણીવાર વેક્ટર બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ મિશ્રિત ઉત્પાદનના સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું છે ત્રણ વેક્ટર, એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી સમાંતર નળીઓની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત. સમાંતર નળીઓની બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ એ નિવેદન આપે છે કે દર્શાવેલ ત્રણ વેક્ટરનો ગ્રામ નિર્ધારક ચોરસ સમાનતેમના મિશ્ર ઉત્પાદન :215 .

ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં

IN ગાણિતિક વિશ્લેષણ n-પરિમાણીય ક્યુબોઇડ હેઠળ $બી$ ઘણા મુદ્દાઓ સમજો $x = (x_1,\ldots,x_n)$ પ્રકાર $B = $x|a_1\leqslant x_1\leqslant b_1,\ldots,a_n\leqslant x_n\leqslant b_n$$

લેખ "સમાંતર" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

લિંક્સ

સાચો

સાચો
બિન-બહિર્મુખ

બહિર્મુખ

સૂત્રો,
પ્રમેય
સિદ્ધાંતો

અન્ય

પેરેલેલેપાઇપનું લક્ષણ દર્શાવતો એક અવતરણ

- ઓન ડીટ ક્યુ લેસ રિવોક્સ સે સોન્ટ ગ્રેસ એ એન્જીન સાથે સમાધાન... [તેઓ કહે છે કે આ બીમારીને કારણે હરીફો વચ્ચે સમાધાન થયું હતું.]
એન્જીન શબ્દ ખૂબ આનંદ સાથે પુનરાવર્તિત થયો.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait Dangereux. [જૂની ગણતરી ખૂબ જ હૃદયસ્પર્શી છે, તેઓ કહે છે. તે બાળકની જેમ રડ્યો જ્યારે ડૉક્ટર તે ખતરનાક કેસ જણાવ્યું હતું.]
- ઓહ, CE serait une perte ભયંકર. C"est une femme ravissante. [ઓહ, તે હશે મોટી ખોટ. આવી સુંદર સ્ત્રી.]
"વૂસ પાર્લેઝ દે લા પૌવરે કોમ્ટેસે," અન્ના પાવલોવનાએ નજીક આવતાં કહ્યું. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," અન્ના પાવલોવનાએ તેના ઉત્સાહ પર સ્મિત સાથે કહ્યું. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [તમે ગરીબ કાઉન્ટેસ વિશે વાત કરી રહ્યા છો... મેં તેણીની તબિયત વિશે જાણવા મોકલ્યું છે. તેઓએ મને કહ્યું કે તેણી થોડી સારી અનુભવી રહી છે. ઓહ, કોઈ શંકા વિના, આ વિશ્વની સૌથી સુંદર સ્ત્રી છે. અમે અલગ-અલગ શિબિરો સાથે જોડાયેલા છીએ, પરંતુ તે મને તેણીની યોગ્યતાઓ પર માન આપવાથી રોકી શકતું નથી. તે ખૂબ નાખુશ છે.] - અન્ના પાવલોવનાએ ઉમેર્યું.
આ શબ્દોથી અન્ના પાવલોવના કાઉન્ટેસની માંદગી પરની ગુપ્તતાનો પડદો સહેજ ઉઠાવી રહી હોવાનું માનતા, એક બેદરકાર યુવાને પોતાને આશ્ચર્ય વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપી કે પ્રખ્યાત ડોકટરોને બોલાવવામાં આવ્યા ન હતા, પરંતુ કાઉન્ટેસની સારવાર ચાર્લાટન દ્વારા કરવામાં આવી રહી હતી જે ખતરનાક આપી શકે છે. ઉપાયો
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," અન્ના પાવલોવનાએ અચાનક બિનઅનુભવી પર ઝેરી પ્રહારો કર્યા. યુવાન માણસ. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [તમારા સમાચાર મારા કરતાં વધુ સચોટ હોઈ શકે છે... પણ હું અહીંનો છું સારા સ્ત્રોતહું જાણું છું કે આ ડૉક્ટર ખૂબ જ વિદ્વાન અને કુશળ વ્યક્તિ છે. આ સ્પેનની રાણીના જીવન ચિકિત્સક છે.] - અને આ રીતે યુવાનનો નાશ કરીને, અન્ના પાવલોવના બિલીબિન તરફ વળ્યા, જેમણે, બીજા વર્તુળમાં, ચામડી ઉપાડી લીધી અને દેખીતી રીતે, અનમોટ કહેવા માટે તેને ઢીલું કરવા જઈ રહ્યા હતા, બોલ્યા. ઑસ્ટ્રિયન વિશે.
"Je trouve que c"est charmant! [મને તે મોહક લાગે છે!]," તેમણે રાજદ્વારી કાગળ વિશે કહ્યું કે જેની સાથે વિટગેન્સ્ટેઇન દ્વારા લેવામાં આવેલા ઑસ્ટ્રિયન બેનરો વિયેનામાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, le heros de Petropol [પેટ્રોપોલનો હીરો] (જેમ કે તે પીટર્સબર્ગમાં બોલાવવામાં આવ્યો હતો).
- કેવી રીતે, આ કેવી રીતે છે? - અન્ના પાવલોવના તેની તરફ વળ્યા, મોટ સાંભળવા માટે મૌન જાગૃત કર્યા, જે તેણી પહેલેથી જ જાણતી હતી.
અને બિલિબિને તેણે સંકલિત રાજદ્વારી રવાનગીના નીચેના મૂળ શબ્દોનું પુનરાવર્તન કર્યું:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," બિલિબિને કહ્યું, "drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [સમ્રાટ ઑસ્ટ્રિયન બેનરો, મૈત્રીપૂર્ણ અને ખોવાયેલા બેનરો મોકલે છે જે તેને બહાર મળ્યા હતા. વાસ્તવિક રસ્તો.] - બિલિબિને તેની ત્વચાને ઉઘાડી પાડીને સમાપ્ત કર્યું.
"મોહક, મોહક, [લવલી, મોહક," પ્રિન્સ વેસિલીએ કહ્યું.
"C"est la route de Varsovie peut être, [આ વોર્સો રોડ છે, કદાચ.] - પ્રિન્સ હિપ્પોલિટે મોટેથી અને અનપેક્ષિત રીતે કહ્યું. બધાએ તેની તરફ પાછળ જોયું, તે આ દ્વારા શું કહેવા માંગે છે તે સમજી શક્યા નહીં. પ્રિન્સ હિપ્પોલિટે પણ પાછળ જોયું. તેની આસપાસ ખુશખુશાલ આશ્ચર્ય સાથે તે, અન્ય લોકોની જેમ, તે સમયે તેણે કહેલા શબ્દોનો અર્થ શું હતો તે સમજી શક્યો નહીં. રાજદ્વારી કારકિર્દીમેં એક કરતા વધુ વખત નોંધ્યું છે કે આ રીતે અચાનક બોલાયેલા શબ્દો ખૂબ જ વિનોદી બન્યા, અને માત્ર કિસ્સામાં, તેણે આ શબ્દો બોલ્યા, જે તેની જીભ પર આવ્યા તે પ્રથમ. "કદાચ તે ખૂબ જ સારી રીતે કામ કરશે," તેણે વિચાર્યું, "અને જો તે કામ કરતું નથી, તો તેઓ તેને ત્યાં ગોઠવી શકશે." ખરેખર, જ્યારે એક અજીબ મૌન શાસન કરે છે, ત્યારે તે અપૂરતો દેશભક્તિનો ચહેરો દાખલ થયો, જેને અન્ના પાવલોવના સંબોધવા માટે રાહ જોઈ રહી હતી, અને તેણીએ, હસતાં હસતાં અને હિપ્પોલાઇટ તરફ આંગળી હલાવી, પ્રિન્સ વેસિલીને ટેબલ પર આમંત્રણ આપ્યું, અને, તેને બે મીણબત્તીઓ અને એક સાથે રજૂ કર્યો. હસ્તપ્રત, તેને શરૂ કરવા કહ્યું. બધું શાંત પડી ગયું.

વ્યાખ્યા

પોલીહેડ્રોનઆપણે બહુકોણથી બનેલી અને અવકાશના ચોક્કસ ભાગને બાંધતી બંધ સપાટી કહીશું.

આ બહુકોણની બાજુઓ હોય તેવા વિભાગોને કહેવામાં આવે છે પાંસળીપોલીહેડ્રોન, અને બહુકોણ પોતે છે ધાર. બહુકોણના શિરોબિંદુઓને પોલિહેડ્રોન શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે.

અમે ફક્ત બહિર્મુખ પોલિહેડ્રાને ધ્યાનમાં લઈશું (આ એક પોલિહેડ્રોન છે જે તેના ચહેરા ધરાવતા દરેક પ્લેનની એક બાજુ પર સ્થિત છે).

બહુકોણ જે બહુહેડ્રોન બનાવે છે તે તેની સપાટી બનાવે છે. આપેલ પોલીહેડ્રોન દ્વારા બંધાયેલ જગ્યાનો ભાગ તેનો આંતરિક ભાગ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા: પ્રિઝમ

ચાલો બેનો વિચાર કરીએ સમાન બહુકોણ$A_1A_2A_3...A_n$ અને $B_1B_2B_3...B_n$ સમાંતર વિમાનોમાં સ્થિત છે જેથી સેગમેન્ટ $A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n$સમાંતર બહુકોણ $A_1A_2A_3...A_n$ અને $B_1B_2B_3...B_n$ , તેમજ સમાંતરગ્રામો દ્વારા રચાયેલ પોલિહેડ્રોન $A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...$, કહેવાય છે ($n$-ગોનલ) પ્રિઝમ.

બહુકોણ $A_1A_2A_3...A_n$ અને $B_1B_2B_3...B_n$ ને પ્રિઝમ બેઝ, સમાંતરગ્રામ કહેવામાં આવે છે $A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...$- બાજુના ચહેરા, સેગમેન્ટ્સ $A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n$- બાજુની પાંસળી.
આમ, પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ સમાંતર અને એકબીજાની સમાન હોય છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ - એક પ્રિઝમ $A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5$, જેના પાયા પર બહિર્મુખ પંચકોણ આવેલું છે.

ઊંચાઈપ્રિઝમ એ એક પાયાના કોઈપણ બિંદુથી બીજા પાયાના સમતલ પર લંબરૂપ છે.

જો બાજુની કિનારીઓ આધાર પર લંબરૂપ ન હોય, તો આવા પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે વલણ(ફિગ. 1), અન્યથા - પ્રત્યક્ષ. સીધા પ્રિઝમમાં, બાજુની કિનારીઓ ઊંચાઈની હોય છે, અને બાજુના ચહેરા સમાન લંબચોરસ હોય છે.

જો સીધા પ્રિઝમનો આધાર આવેલો હોય નિયમિત બહુકોણ, પછી પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે યોગ્ય.

વ્યાખ્યા: વોલ્યુમનો ખ્યાલ

વોલ્યુમ માપનનું એકમ એકમ ઘન છે (એક ઘન માપન $1\times1\times1$ એકમ$^3$, જ્યાં એકમ માપનનું ચોક્કસ એકમ છે).

આપણે કહી શકીએ કે પોલિહેડ્રોનનું વોલ્યુમ એ જગ્યાનો જથ્થો છે જે આ પોલિહેડ્રોન મર્યાદિત કરે છે. અન્યથા: આ જથ્થો છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યજે દર્શાવે છે કે એકમ ક્યુબ અને તેના ભાગો આપેલ પોલિહેડ્રોનમાં કેટલી વાર ફિટ થાય છે.

વોલ્યુમમાં વિસ્તારની સમાન ગુણધર્મો છે:

1. સમાન આંકડાઓની માત્રા સમાન છે.

2. જો પોલિહેડ્રોન અનેક બિન-છેદેલા પોલિહેડ્રાથી બનેલું હોય, તો તેનું વોલ્યુમ આ પોલિહેડ્રાના વોલ્યુમોના સરવાળા જેટલું છે.

3. વોલ્યુમ એ બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે.

4. વોલ્યુમ સેમી$^3$ માં માપવામાં આવે છે ( ઘન સેન્ટીમીટર), m$^3$ ( ઘન મીટર), વગેરે.

પ્રમેય

1. પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ આધારની પરિમિતિ અને પ્રિઝમની ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે.
બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર એ પ્રિઝમના બાજુના ચહેરાના વિસ્તારોનો સરવાળો છે.

2. પ્રિઝમ વોલ્યુમ ઉત્પાદન સમાનપ્રિઝમ ઊંચાઈ દીઠ આધાર વિસ્તાર: \

વ્યાખ્યા: સમાંતર

સમાંતરતેના આધાર પર સમાંતર ચતુષ્કોણ ધરાવતું પ્રિઝમ છે.

સમાંતર ના બધા ચહેરાઓ (ત્યાં $6$: $4$ બાજુના ચહેરા અને $2$ પાયા છે) સમાંતરગ્રામો છે, અને વિરોધી ચહેરાઓ (એકબીજાના સમાંતર) સમાન સમાંતરગ્રામો છે (ફિગ. 2) .

સમાંતર નળીનો કર્ણસમાંતર ના બે શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે જે એક જ ચહેરા પર નથી પડતો (તેમાંથી $8$ છે: $AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D$વગેરે).

લંબચોરસ સમાંતરતેના પાયા પર લંબચોરસ સાથેનો જમણો સમાંતર છે.
કારણ કે કારણ કે આ જમણી બાજુના સમાંતર છે, બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે. આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય રીતે લંબચોરસ સમાંતરના તમામ ચહેરાઓ લંબચોરસ હોય છે.

લંબચોરસ સમાંતર ના તમામ કર્ણ સમાન હોય છે (આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી થાય છે. $\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D$વગેરે).

ટિપ્પણી

આમ, સમાંતર પાઈપમાં પ્રિઝમના તમામ ગુણધર્મો હોય છે.

પ્રમેય

લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે \

લંબચોરસ સમાંતર પાઇપનો કુલ સપાટી વિસ્તાર છે \

પ્રમેય

ક્યુબોઇડનું પ્રમાણ એક શિરોબિંદુ (ઘનકારના ત્રણ પરિમાણ) માંથી નીકળતી તેની ત્રણ ધારના ઉત્પાદન જેટલું છે: \

પુરાવો

કારણ કે લંબચોરસ સમાંતરમાં, બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે, પછી તે તેની ઊંચાઈ પણ હોય છે, એટલે કે, $h=AA_1=c$ કારણ કે આધાર એક લંબચોરસ છે, પછી $S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab$. આ તે છે જ્યાં આ સૂત્ર આવે છે.

પ્રમેય

લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનો કર્ણ $d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે (જ્યાં $a,b,c$ સમાંતરના પરિમાણો છે) \

પુરાવો

ચાલો ફિગમાં જોઈએ. 3. કારણ કે આધાર એક લંબચોરસ છે, પછી $\ત્રિકોણ ABD$ લંબચોરસ છે, તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય $BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2$ .

કારણ કે બધી બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબ છે, પછી $BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1$આ પ્લેનમાં કોઈપણ સીધી રેખાને લંબરૂપ છે, એટલે કે. $BB_1\perp BD$ . આનો અર્થ છે કે $\triangle BB_1D$ લંબચોરસ છે. પછી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા $B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2$, થડી.

વ્યાખ્યા: ક્યુબ

ક્યુબએક લંબચોરસ સમાંતર છે, જેના બધા ચહેરા સમાન ચોરસ છે.