બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનું વર્ણન કરવા માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ઘટકોના ભિન્નતા ઉપરાંત, અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાં સમાવેશ થાય છે સહસંબંધ ક્ષણઅને સહસંબંધ ગુણાંક(T.8.p.8.6 ના અંતે ટૂંકમાં ઉલ્લેખ) .

સહસંબંધ ક્ષણ(અથવા સહપ્રસરણઅથવા જોડાણની ક્ષણ) બે રેન્ડમ ચલો એક્સ અને વાય m.o કહેવાય છે. આ જથ્થાઓના વિચલનોનું ઉત્પાદન (સમાનતા (5) કલમ 8.6 જુઓ):

કોરોલરી 1.સહસંબંધ ક્ષણ માટે આર.વી. એક્સ અને વાયનીચેની સમાનતાઓ પણ માન્ય છે:

,

જ્યાં અનુરૂપ કેન્દ્રીયકૃત આર.વી. એક્સ અને વાય (જુઓ કલમ 8.6.).

આ કિસ્સામાં: જો
એ દ્વિ-પરિમાણીય d.s.v. છે, પછી કોવિરેન્સની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

(8)
;

જો
દ્વિ-પરિમાણીય n.s.v. છે, પછી કોવરિઅન્સની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે

(9)

કલમ 12.1 માં સૂત્રો (6) ના આધારે ફોર્મ્યુલા (8) અને (9) મેળવવામાં આવ્યા હતા. એક કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલા છે

(10)

જે વ્યાખ્યા (9) પરથી ઉતરી આવેલ છે અને MO ના ગુણધર્મો પર આધારિત છે, ખરેખર,

પરિણામે, ફોર્મ્યુલા (36) અને (37) ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

(11)
;

સહસંબંધ ક્ષણ જથ્થા વચ્ચેના સંબંધને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે એક્સ અને વાય.

નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે, સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્ય બરાબર, જો એક્સઅને વાય છે સ્વતંત્ર;

તેથી, જો સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યની બરાબર નથી, તો પછીએક્સઅનેવાયઆશ્રિત રેન્ડમ ચલ છે.

પ્રમેય 12.1.બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણએક્સઅનેવાયશૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે સ્વતંત્ર માટે આર.વી.એક્સઅનેવાય,

પુરાવો.કારણ કે એક્સ અને વાયસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ, પછી તેમના વિચલનો

અને

ટીસ્વતંત્ર પણ. મિલકતોનો લાભ લેવો ગાણિતિક અપેક્ષા(સ્વતંત્ર આર.વી.એસ.ના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા પરિબળોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે
,
, એટલે જ

ટિપ્પણી.આ પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે જો
પછી s.v. એક્સ અને વાય આશ્રિત અને આવા કિસ્સાઓમાં આર.વી. એક્સ અને વાયકહેવાય છે સહસંબંધિત. જો કે, હકીકત એ છે કે
સ્વતંત્રતાને અનુસરતું નથી r.v. એક્સ અને વાય.

આ કિસ્સામાં (
s.v એક્સ અને વાયકહેવાય છે અસંબંધિત,ત્યાંથી

સ્વતંત્રતા અનુસરે છે અસંબંધિત; વાતચીતનું નિવેદન, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ખોટું છે (ઉદાહરણ 2 નીચે જુઓ.)

ચાલો મૂળભૂત ગુણધર્મો જોઈએ સહસંબંધ ક્ષણ.

સીસહપ્રવર્તન ગુણધર્મો:

1. સહપ્રવૃત્તિ સપ્રમાણ છે, એટલે કે.
.

આ ફોર્મ્યુલા (38)માંથી સીધા જ અનુસરે છે.

2. ત્યાં સમાનતાઓ છે: એટલે કે. વિક્ષેપ આર.વી. તેની પોતાની સાથે સહપ્રસંગ છે.

આ સમાનતાઓ અનુક્રમે વિક્ષેપ અને સમાનતા (38) ની વ્યાખ્યામાંથી સીધી અનુસરે છે

3. નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:

આ સમાનતાઓ r.v ની ભિન્નતા અને સહપ્રવર્તનની વ્યાખ્યામાંથી લેવામાં આવી છે.
અને , ગુણધર્મો 2.

વિક્ષેપની વ્યાખ્યા દ્વારા (આર.વી.ની કેન્દ્રિયતાને ધ્યાનમાં લેતા.
) અમારી પાસે છે

હવે, (33) અને ગુણધર્મો 2 અને 3 ના આધારે, આપણે પ્રથમ (વત્તા ચિહ્ન સાથે) ગુણધર્મ 3 મેળવીએ છીએ.

એ જ રીતે, મિલકત 3 નો બીજો ભાગ સમાનતામાંથી ઉતરી આવ્યો છે

4. દો
સતત સંખ્યાઓ,
પછી સમાનતાઓ માન્ય છે:

સામાન્ય રીતે આ ગુણધર્મોને દલીલોમાં પ્રથમ ક્રમની એકરૂપતા અને સામયિકતાના ગુણધર્મો કહેવામાં આવે છે.

ચાલો પ્રથમ સમાનતા સાબિત કરીએ, અને અમે m.o ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીશું.
.

પ્રમેય 12.2.સંપૂર્ણ મૂલ્યબે મનસ્વી રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણએક્સઅનેવાયતેમના ભિન્નતાના ભૌમિતિક સરેરાશથી વધુ નથી: એટલે કે.

પુરાવો.નોંધ કરો કે સ્વતંત્ર માટે આર.વી. અસમાનતા ધરાવે છે (જુઓ પ્રમેય 12.1.). તેથી, ચાલો આર.વી. એક્સ અને વાય આશ્રિત ચાલો ધોરણ r.v ને ધ્યાનમાં લઈએ.
અને
અને r.v ના વિક્ષેપની ગણતરી કરો.
મિલકત 3 ને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે: એક તરફ
બીજી બાજુ

તેથી, હકીકત ધ્યાનમાં લેતા કે
અને - સામાન્યકૃત (પ્રમાણભૂત) r.v., પછી તેમના માટે m.o. શૂન્યની બરાબર છે, અને વિચલન 1 ની બરાબર છે, તેથી, m.o ની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને
અમે મેળવીએ છીએ

અને તેથી, તે હકીકત પર આધારિત છે
અમે મેળવીએ છીએ

તે અનુસરે છે કે એટલે કે.

=

નિવેદન સાબિત થયું છે.

સહપ્રવૃત્તિની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે તે r.v ની અવલંબનની ડિગ્રી અને એક બિંદુની આસપાસ તેમના વિખેરાઈને દર્શાવે છે
સહપ્રવર્તનનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલોના પરિમાણના ઉત્પાદન જેટલું છે એક્સઅને વાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સહસંબંધ ક્ષણની તીવ્રતા રેન્ડમ ચલોના માપનના એકમો પર આધારિત છે. આ કારણોસર, સમાન બે જથ્થા માટે એક્સઅને વાય, સહસંબંધ ક્ષણની તીવ્રતા હશે વિવિધ અર્થોએકમો પર આધાર રાખીને જેમાં મૂલ્યો માપવામાં આવ્યા હતા.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક્સઅને વાય સેન્ટીમીટરમાં માપવામાં આવ્યા હતા અને
; જો માપવામાં આવે એક્સઅને વાય મિલીમીટરમાં, પછી
સહસંબંધ ક્ષણની આ લાક્ષણિકતા આ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાનો ગેરલાભ છે, કારણ કે રેન્ડમ ચલોની વિવિધ પ્રણાલીઓની સહસંબંધ ક્ષણોની સરખામણી મુશ્કેલ બની જાય છે.

આ ખામીને દૂર કરવા માટે, એક નવી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવી છે - “ સહસંબંધ ગુણાંક».

સહસંબંધ ગુણાંક
રેન્ડમ ચલો
અને સરેરાશના ઉત્પાદન સાથે સહસંબંધ ક્ષણનો ગુણોત્તર કહેવાય છે ચોરસ વિચલનોઆ જથ્થાઓ:

(13)
.

પરિમાણ થી
જથ્થાના પરિમાણોના ઉત્પાદનની સમાન
અને ,
તીવ્રતાનું પરિમાણ ધરાવે છે
σ yતીવ્રતાનું પરિમાણ ધરાવે છે , તે
માત્ર એક સંખ્યા છે (એટલે ​​કે " પરિમાણહીન જથ્થો"). આમ, સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય r.v. ના માપનના એકમોની પસંદગી પર આધારિત નથી, આ છે લાભસહસંબંધ ક્ષણ પહેલાં સહસંબંધ ગુણાંક.

T.8 માં. કલમ 8.3 અમે ખ્યાલ રજૂ કર્યો સામાન્યકૃત s.v
, સૂત્ર (18), અને પ્રમેય તે સાબિત થયું છે
અને
(પ્રમેય 8.2 પણ જુઓ.). અહીં અમે નીચેના વિધાનને સાબિત કરીએ છીએ.

પ્રમેય 12.3.માટે કોઈપણ બે રેન્ડમ ચલ
અને સમાનતા સાચી છે
.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સહસંબંધ ગુણાંક
કોઈપણ બે સાથે.વી.એક્સઅનેવાયતેમના અનુરૂપ સામાન્યીકરણના સહસંબંધ ક્ષણની સમાન s.v
અને .

પુરાવો.સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલોની વ્યાખ્યા દ્વારા
અને

અને
.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મને ધ્યાનમાં લેતા: અને સમાનતા (40) આપણે મેળવીએ છીએ

નિવેદન સાબિત થયું છે.

ચાલો સહસંબંધ ગુણાંકના કેટલાક સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ગુણધર્મો જોઈએ.

સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો:

1. નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સહસંબંધ ગુણાંક 1 કરતાં વધુ નથી, એટલે કે.

આ ગુણધર્મ સીધા સૂત્ર (41) - સહસંબંધ ગુણાંક અને પ્રમેય 13.5 ની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. (જુઓ સમાનતા (40 ટકા).

2. જો રેન્ડમ ચલો
અને સ્વતંત્ર છે, વર્તમાન સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે, એટલે કે
.

આ ગુણધર્મ સમાનતા (40) અને પ્રમેય 13.4નું સીધું પરિણામ છે.

ચાલો નીચેના ગુણધર્મને એક અલગ પ્રમેય તરીકે ઘડીએ.

પ્રમેય 12.4.

જો આર.વી.
અને રેખીય કાર્યાત્મક અવલંબન દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે, એટલે કે.
તે
તે જ સમયે

અને તેનાથી વિપરીત, જો
, તે s.v
અને રેખીય કાર્યાત્મક અવલંબન દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે, એટલે કે. ત્યાં સ્થિરાંકો છે
અનેજેમ કે સમાનતા ધરાવે છે

પુરાવો.દો
પછી સહપ્રવર્તનની મિલકત 4 પર આધારિત, અમારી પાસે છે

અને ત્યારથી, તેથી

આથી,
. એક દિશામાં સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. આગળ દો
, પછી

બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ: 1)
અને 2)
તેથી, ચાલો પ્રથમ કેસ ધ્યાનમાં લઈએ. પછી વ્યાખ્યા દ્વારા
અને તેથી સમાનતામાંથી
, ક્યાં
.
અમારા કિસ્સામાં

=
,

તેથી સમાનતામાંથી (પ્રમેય 13.5નો પુરાવો જુઓ.)
અમે તે મેળવીએ છીએ
, અર્થ
સતત છે. કારણ કે
અને ત્યારથી

.

ખરેખર,

.

આથી,
એ જ રીતે, તે બતાવવામાં આવે છે કે માટે

,
.

થાય છે (તે જાતે તપાસો!)

કેટલાક તારણો:
અને 1. જો

independents.v., પછી
અને 2. જો આર.વી.
.

રેખીય રીતે એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, પછી
:

3. અન્ય કિસ્સાઓમાં
અને આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે આર.વી. એકબીજા સાથે જોડાયેલહકારાત્મક સહસંબંધ,
જો
કિસ્સાઓમાંનકારાત્મક સહસંબંધ
. નજીક એક માટે, ધવધુ કારણો
અને તે ધ્યાનમાં લો. જોડાયેલ.

રેખીય અવલંબન નોંધ કરો કે r.v ની સિસ્ટમના સહસંબંધ ક્ષણો અને વિક્ષેપો. સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે:

.

સહસંબંધ મેટ્રિક્સ

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, જો બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ આશ્રિત હોય, તો તે સમાન હોઈ શકે છે સહસંબંધિત, તેથી અસંબંધિત.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે આશ્રિત જથ્થાનો સહસંબંધ ક્ષણ હોઈ શકે છે શૂન્ય બરાબર નથી, પરંતુ કદાચ સમાન શૂન્ય.

ઉદાહરણ 1.એક અલગ r.v ના વિતરણનો કાયદો કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે

સહસંબંધ ગુણાંક શોધો

ઉકેલ.ઘટકોના વિતરણના નિયમો શોધો
અને :

હવે ચાલો m.o ની ગણતરી કરીએ. ઘટકો:

આ મૂલ્યો r.v વિતરણ કોષ્ટકના આધારે શોધી શકાય છે.

તેવી જ રીતે,
તેને જાતે શોધો.

ચાલો ઘટકોના ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ અને કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ:

ચાલો વિતરણ કાયદો બનાવીએ
, અને પછી આપણે શોધીએ છીએ
:

વિતરણ કાયદાના કોષ્ટકનું સંકલન કરતી વખતે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા જોઈએ:

1) તમામ સંભવિત ઉત્પાદનોના ફક્ત જુદા જુદા અર્થો છોડી દો
.

2) આપેલ મૂલ્યની સંભાવના નક્કી કરવા
, જરૂર છે

મુખ્ય કોષ્ટકના આંતરછેદ પર સ્થિત તમામ અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરો જે આપેલ મૂલ્યની ઘટનાની તરફેણ કરે છે.

અમારા ઉદાહરણમાં, આર.વી. માત્ર ત્રણ અલગ અલગ મૂલ્યો લે છે
. અહીં પ્રથમ મૂલ્ય (
) ઉત્પાદનને અનુરૂપ છે
બીજી લાઇનમાંથી અને
પ્રથમ સ્તંભમાંથી, તેથી તેમના આંતરછેદ પર સંભાવના સંખ્યા છે
તેવી જ રીતે

જે અનુક્રમે (0.15; 0.40; 0.05) અને એક મૂલ્ય, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના આંતરછેદ પર સ્થિત સંભાવનાઓના સરવાળામાંથી મેળવવામાં આવે છે
, જે બીજી પંક્તિ અને બીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે અને અંતે,
, જે બીજી પંક્તિ અને ત્રીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે.

અમારા ટેબલમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:

અમે સૂત્ર (38) નો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ક્ષણ શોધીએ છીએ:

સૂત્ર (41) નો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંક શોધો

આમ, નકારાત્મક સહસંબંધ.

વ્યાયામ.સ્વતંત્ર આર.વી.ના વિતરણનો કાયદો ટેબલ દ્વારા આપવામાં આવે છે

સહસંબંધ ગુણાંક શોધો

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં બે છે આશ્રિત રેન્ડમ ચલોત્યાં હોઈ શકે છે અસંબંધિત.

ઉદાહરણ 2.દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ
) ઘનતા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે

ચાલો તે સાબિત કરીએ
અને આશ્રિત , પણ અસંબંધિત રેન્ડમ ચલો.

ઉકેલ.ચાલો ઘટકોની અગાઉ ગણતરી કરેલ વિતરણ ઘનતાનો ઉપયોગ કરીએ
અને :

ત્યારથી
અને આશ્રિત માત્રા. સાબિત કરવા માટે અસંબંધિત
અને , તે ખાતરી કરવા માટે પૂરતું છે

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ક્ષણ શોધીએ:

વિભેદક કાર્ય થી
ધરી વિશે સપ્રમાણ ઓ.વાય, તે
તેવી જ રીતે
, સમપ્રમાણતાને કારણે
ધરીને સંબંધિત ઓક્સ. તેથી જ,

સતત પરિબળ લેવા

આંતરિક અવિભાજ્ય શૂન્ય સમાન છે (સંકલન વિષમ છે, એકીકરણની મર્યાદા મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે), તેથી,
, એટલે કે આશ્રિત રેન્ડમ ચલો
અને એકબીજા સાથે સહસંબંધ નથી.

તેથી, બે અવ્યવસ્થિત ચલોના સહસંબંધથી, તેમની અવલંબન અનુસરે છે, પરંતુ અસંબંધિતતા પરથી તે નિષ્કર્ષ કાઢવો હજુ પણ અશક્ય છે કે આ ચલો સ્વતંત્ર છે.

જો કે, સામાન્ય રીતે વિતરિત આર.વી. આવા નિષ્કર્ષ છે સિવાયતે થી અસંબંધિત સામાન્ય રીતે વિતરિતએસ.વી. તેમને બહાર વહે છે સ્વતંત્રતા.

આગળનો ફકરો આ મુદ્દાને સમર્પિત છે.

અઝરબૈજાન પ્રજાસત્તાકની વિજ્ઞાન અને તકનીકી માટેની રાજ્ય સમિતિ

બકુ સંશોધન અને તાલીમ કેન્દ્ર

બાળરોગ સર્જરી વિભાગના સ્નાતક વિદ્યાર્થી

N. NARIMANOV ના નામ પર AMU

મુખ્તરોવા એમિલ ગાસન ઓગ્લી

સહસંબંધ ક્ષણો. સહસંબંધનો ગુણાંક

પરિચય

સંભાવના સિદ્ધાંત છે ગાણિતિક વિજ્ઞાન, રેન્ડમ ઘટનામાં પેટર્નનો અભ્યાસ.

રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાનો અર્થ શું છે?

મુ વૈજ્ઞાનિક સંશોધનશારીરિક અને તકનીકી સમસ્યાઓ, આપણે ઘણીવાર અસાધારણ ઘટનાનો સામનો કરીએ છીએ ખાસ પ્રકાર, જેને સામાન્ય રીતે રેન્ડમ કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ ઘટના - આ એક એવી ઘટના છે કે જ્યારે એક જ અનુભવ વારંવાર પુનરાવર્તિત થાય છે, ત્યારે કંઈક અલગ રીતે આગળ વધે છે.

ચાલો રેન્ડમ ઘટનાનું ઉદાહરણ આપીએ.

વિશ્લેષણાત્મક સંતુલન પર સમાન શરીરનું ઘણી વખત વજન કરવામાં આવે છે: પુનરાવર્તિત વજનના પરિણામો એકબીજાથી કંઈક અંશે અલગ હોય છે. આ તફાવતો વજનના ઓપરેશન સાથેના વિવિધ નાના પરિબળોના પ્રભાવને કારણે છે, જેમ કે સાધનના રેન્ડમ સ્પંદનો, સાધન વાંચવામાં ભૂલો વગેરે.

દેખીતી રીતે, પ્રકૃતિમાં એક નથી શારીરિક ઘટના, જેમાં તકના તત્વો એક અથવા બીજી ડિગ્રી સુધી હાજર રહેશે નહીં. પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ કેટલી સચોટ અને વિગતવાર રીતે નિશ્ચિત કરવામાં આવી છે તે મહત્વનું નથી, જ્યારે પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે ત્યારે પરિણામો સંપૂર્ણપણે અને બરાબર એકરૂપ થાય તેની ખાતરી કરવી અશક્ય છે.

કોઈપણ કુદરતી ઘટના સાથે અકસ્માતો અનિવાર્યપણે થાય છે. જો કે, સંખ્યાબંધ વ્યવહારુ સમસ્યાઓઆ રેન્ડમ તત્વોતેના બદલે ધ્યાનમાં રાખીને અવગણના કરી શકાય છે વાસ્તવિક ઘટનાતેની સરળ રેખાકૃતિ, એટલે કે. મોડેલ, અને ધારી રહ્યા છીએ કે આપેલ પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ ઘટના ખૂબ જ ચોક્કસ રીતે થાય છે. તે જ સમયે, આ ઘટનાને પ્રભાવિત કરતા અસંખ્ય પરિબળોમાંથી, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, મૂળભૂત અને નિર્ણાયક મુદ્દાઓને અલગ પાડવામાં આવે છે. અન્ય, નાના પરિબળોના પ્રભાવને ફક્ત અવગણવામાં આવે છે. જ્યારે કોઈ ચોક્કસ સિદ્ધાંતના માળખામાં દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈ ચોક્કસ ઘટનાને પ્રભાવિત કરતા મુખ્ય પરિબળો તે ખ્યાલો અથવા વ્યાખ્યાઓમાં સમાવવામાં આવે છે જેની સાથે પ્રશ્નમાંનો સિદ્ધાંત કાર્ય કરે છે.

વિકાસ પામેલા કોઈપણ વિજ્ઞાનની જેમ સામાન્ય સિદ્ધાંતઅસાધારણ ઘટનાની કોઈપણ શ્રેણી, સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સંખ્યાબંધ મૂળભૂત ખ્યાલો પણ શામેલ છે જેના પર તે આધારિત છે. સ્વાભાવિક રીતે, તમામ મૂળભૂત વિભાવનાઓને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી, કારણ કે ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો અર્થ છે તેને અન્ય, વધુ જાણીતા લોકો સુધી ઘટાડવાનો. આ પ્રક્રિયા મર્યાદિત હોવી જોઈએ અને પ્રાથમિક ખ્યાલો સાથે સમાપ્ત થવી જોઈએ જે ફક્ત સમજાવવામાં આવે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં પ્રથમ ખ્યાલોમાંની એક ઘટનાનો ખ્યાલ છે.

હેઠળ ઘટનાઅનુભવના પરિણામે આવી શકે કે ન પણ બને તેવી કોઈપણ હકીકત સમજી શકાય છે.

ચાલો ઘટનાઓના ઉદાહરણો આપીએ.

એ - છોકરો અથવા છોકરીનો જન્મ;

બી - ચેસની રમતમાં એક અથવા બીજી શરૂઆતની પસંદગી;

સી - એક અથવા બીજી રાશિ ચિહ્ન સાથે સંબંધિત.

ઉપરોક્ત ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે જોઈએ છીએ કે તેમાંના દરેકમાં અમુક અંશે સંભાવના છે: કેટલીક મોટી, અન્ય ઓછી. ઘટનાઓની તેમની સંભાવનાની ડિગ્રી અનુસાર જથ્થાત્મક રીતે એકબીજા સાથે તુલના કરવા માટે, દરેક ઘટના સાથે સાંકળવું જરૂરી છે. ચોક્કસ સંખ્યા, જે ઘટના જેટલી વધુ શક્ય છે. આ સંખ્યાને ઘટનાની સંભાવના કહેવામાં આવે છે. આમ, ઘટનાની સંભાવના છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાડિગ્રી ઉદ્દેશ્ય શક્યતાઘટનાઓ

સંભાવનાનું એકમ એ સંભાવના છે વિશ્વસનીય ઘટના, 1 ની બરાબર છે, અને કોઈપણ ઘટનાઓની સંભાવનાઓમાં ફેરફારોની શ્રેણી 0 થી 1 સુધીની સંખ્યા છે.

સંભાવના સામાન્ય રીતે અક્ષર P દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ચાલો શેક્સપીયરના હેમ્લેટની શાશ્વત સમસ્યાનું ઉદાહરણ જોઈએ “to be or not to be?” તમે ઘટનાની સંભાવના કેવી રીતે નક્કી કરી શકો?

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે વ્યક્તિ, વસ્તુ અને અન્ય કોઈપણ ઘટના બેમાંથી એકમાં હોઈ શકે છે અને વધુ નહીં: હાજરી ("બનવું") અને ગેરહાજરી ("ન હોવું"). તે., શક્ય ઘટનાઓબે, પરંતુ માત્ર એક જ થઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, અસ્તિત્વની સંભાવના 1/2 છે.

ઘટના અને સંભાવનાની વિભાવના ઉપરાંત, સંભાવના સિદ્ધાંતની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ છે.

રેન્ડમ ચલ એક એવો જથ્થો છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા અન્ય મૂલ્ય લઈ શકે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી કે કયું મૂલ્ય.

રેન્ડમ ચલો કે જે ફક્ત એવા મૂલ્યો લે છે જે એકબીજાથી અલગ હોય અને જે અગાઉથી સૂચિબદ્ધ થઈ શકે સતત અથવા અલગ રેન્ડમ ચલો.

ઉદાહરણ તરીકે:

1. જીવિત અને મૃત દર્દીઓની સંખ્યા.

2. રાતોરાત હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા દર્દીઓમાંથી બાળકોની કુલ સંખ્યા.

રેન્ડમ ચલો કે જેના સંભવિત મૂલ્યો ચોક્કસ અંતરાલને સતત ભરે છે તેને કહેવામાં આવે છે સતત રેન્ડમ ચલો.

ઉદાહરણ તરીકે, વિશ્લેષણાત્મક સંતુલન પર ભૂલનું વજન.

તેની નોંધ લો આધુનિક સિદ્ધાંતસંભાવના મુખ્યત્વે ઘટનાઓને બદલે રેન્ડમ ચલો સાથે કાર્ય કરે છે, જેના પર સંભાવનાનો "શાસ્ત્રીય" સિદ્ધાંત મુખ્યત્વે આધારિત હતો.

સહસંબંધ ક્ષણો. સહસંબંધનો ગુણાંક.

સહસંબંધ ક્ષણો, સહસંબંધ ગુણાંક - આ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે જે ઉપર રજૂ કરાયેલ રેન્ડમ ચલની વિભાવના સાથે અથવા વધુ ચોક્કસ રીતે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. તેથી, તેમના અર્થ અને ભૂમિકાને રજૂ કરવા અને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ અને તેમાં રહેલા કેટલાક ગુણધર્મોની વિભાવના સમજાવવી જરૂરી છે.

બે અથવા વધુ રેન્ડમ ચલો કે જે અમુક ઘટનાનું વર્ણન કરે છે તેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમ અથવા રેન્ડમ ચલોનું સંકુલ.

ઘણા રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ X, Y, Z, …, W સામાન્ય રીતે (X, Y, Z, …, W) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેન પરના બિંદુને એક સંકલન દ્વારા નહીં, પરંતુ બે દ્વારા, અને અવકાશમાં - ત્રણ દ્વારા પણ વર્ણવવામાં આવે છે.

કેટલાક રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલોના ગુણધર્મો સુધી મર્યાદિત નથી, પરંતુ તેમાં શામેલ છે પરસ્પર જોડાણો(નિર્ભરતા) રેન્ડમ ચલો વચ્ચે. તેથી, રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ અવલંબનની પ્રકૃતિ અને ડિગ્રી પર ધ્યાન આપવું જોઈએ. આ અવલંબન વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ, વધુ કે ઓછું નજીક હોઈ શકે છે. અને અન્ય કિસ્સાઓમાં, રેન્ડમ ચલો વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર હોવાનું બહાર આવે છે.

રેન્ડમ ચલ Y કહેવાય છે સ્વતંત્રરેન્ડમ ચલ Xમાંથી, જો રેન્ડમ ચલ Y ના વિતરણનો નિયમ X એ લીધેલી કિંમત પર આધાર રાખતો નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે રેન્ડમ ચલોની અવલંબન અને સ્વતંત્રતા હંમેશા પરસ્પર ઘટના છે: જો Y X પર નિર્ભર નથી, તો X મૂલ્ય Y પર નિર્ભર નથી. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમે આપી શકીએ છીએ નીચેની વ્યાખ્યારેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા.

રેન્ડમ ચલ X અને Y ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંના દરેકના વિતરણનો કાયદો અન્ય શું મૂલ્ય લે છે તેના પર નિર્ભર ન હોય. નહિંતર, X અને Y ના મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે આશ્રિત

વિતરણનો કાયદો રેન્ડમ ચલ એ કોઈપણ સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.

રેન્ડમ ચલોની "નિર્ભરતા" ની વિભાવના, જેનો ઉપયોગ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં થાય છે, તે ચલોના "નિર્ભરતા" ના સામાન્ય ખ્યાલથી કંઈક અંશે અલગ છે, જેનો ઉપયોગ ગણિતમાં થાય છે. આમ, "નિર્ભરતા" દ્વારા ગણિતશાસ્ત્રીનો અર્થ માત્ર એક પ્રકારની અવલંબન છે - સંપૂર્ણ, કઠોર, કહેવાતા કાર્યાત્મક અવલંબન. બે જથ્થા X અને Y ને કાર્યાત્મક રીતે નિર્ભર કહેવામાં આવે છે જો, તેમાંથી એકનું મૂલ્ય જાણીને, તમે બીજાનું મૂલ્ય ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકો.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, પરાધીનતાનો થોડો અલગ પ્રકાર છે - સંભવિત અવલંબન. જો મૂલ્ય Y એ સંભવિત અવલંબન દ્વારા મૂલ્ય X સાથે સંબંધિત છે, તો પછી, X નું મૂલ્ય જાણીને, Y નું મૂલ્ય ચોક્કસપણે સૂચવવું અશક્ય છે, પરંતુ તમે X નું મૂલ્ય શું છે તેના આધારે તમે તેના વિતરણ કાયદાને સૂચવી શકો છો. લીધેલ.

સંભવિત સંબંધ વધુ કે ઓછા ગાઢ હોઈ શકે છે; જેમ જેમ સંભવિત અવલંબનની નિકટતા વધે છે, તેમ તેમ તે કાર્યાત્મક એકની નજીક અને નજીક બને છે. આમ, કાર્યાત્મક અવલંબનને આત્યંતિક, નજીકના સંભવિત પરાધીનતાના મર્યાદિત કેસ તરીકે ગણી શકાય. અન્ય આત્યંતિક કેસ રેન્ડમ ચલોની સંપૂર્ણ સ્વતંત્રતા છે. આ બંને વચ્ચે આત્યંતિક કેસોસંભવિત પરાધીનતાના તમામ ગ્રેડેશન આવેલા છે - સૌથી મજબૂતથી સૌથી નબળા સુધી.

રેન્ડમ ચલો વચ્ચે સંભવિત અવલંબન ઘણીવાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે. જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સંભવિત સંબંધમાં છે, તો તેનો અર્થ એ નથી કે X ના મૂલ્યમાં ફેરફાર સાથે, Y નું મૂલ્ય સંપૂર્ણપણે નિશ્ચિત રીતે બદલાય છે; આનો અર્થ એ છે કે X ની કિંમતમાં ફેરફાર સાથે, Y ની કિંમત

પણ બદલાય છે (X વધે તેમ વધારો અથવા ઘટાડો). આ વલણ ફક્ત માં જ જોવા મળે છે સામાન્ય રૂપરેખા, અને દરેકમાં ખાસ કેસતેમાંથી વિચલનો શક્ય છે.

સંભવિત નિર્ભરતાના ઉદાહરણો.

ચાલો રેન્ડમ પર પેરીટોનાઇટિસ ધરાવતા એક દર્દીને પસંદ કરીએ. રેન્ડમ ચલ T એ રોગની શરૂઆતનો સમય છે, રેન્ડમ ચલ O એ હોમિયોસ્ટેટિક વિક્ષેપનું સ્તર છે. આ મૂલ્યો વચ્ચે સ્પષ્ટ સંબંધ છે, કારણ કે T મૂલ્ય એ O મૂલ્ય નક્કી કરવા માટેનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ કારણ છે.

તે જ સમયે, રેન્ડમ ચલ T અને રેન્ડમ ચલ M વચ્ચે નબળા સંભવિત સંબંધ છે, જે આપેલ પેથોલોજીમાં મૃત્યુદરને પ્રતિબિંબિત કરે છે, કારણ કે રેન્ડમ ચલ, જો કે તે રેન્ડમ ચલ O ને પ્રભાવિત કરે છે, તે મુખ્ય નિર્ણાયક નથી.

તદુપરાંત, જો આપણે T મૂલ્ય અને B મૂલ્ય (સર્જનની ઉંમર) ને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આ મૂલ્યો વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર છે.

અત્યાર સુધી આપણે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરી છે, માત્ર મૌખિક સમજૂતી આપી છે. જો કે, ત્યાં સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે જેના દ્વારા વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલોના ગુણધર્મો અને રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

સહપ્રવર્તન અને સહસંબંધ ગુણાંક.

રેન્ડમ ચલો વચ્ચે કાર્યાત્મક અથવા સ્ટોકેસ્ટિક (સંભવિત) સંબંધ હોઈ શકે છે. સ્ટોકેસ્ટિક અવલંબન એ હકીકતમાં પ્રગટ થાય છે કે શરતી કાયદોઅન્ય રેન્ડમ ચલ દ્વારા લેવામાં આવેલા મૂલ્યોના આધારે એક રેન્ડમ ચલ ફેરફારોનું વિતરણ. બે રેન્ડમ ચલોની સ્ટોકેસ્ટિક અવલંબનની લાક્ષણિકતાઓમાંની એક છે સહપ્રવૃત્તિરેન્ડમ ચલો.

સહવર્તનરેન્ડમ ચલ ( એક્સ,વાય) રેન્ડમ ચલોના વિચલનોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન સંખ્યા છે એક્સઅને વાયતમારી ગાણિતિક અપેક્ષાઓમાંથી:

કેટલીકવાર સહપ્રવાહ કહેવામાં આવે છે સહસંબંધ ક્ષણઅથવા બીજું મિશ્ર કેન્દ્રીય બિંદુ રેન્ડમ ચલ ( એક્સ,વાય).

ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:

માટે સ્વતંત્ર વિતરણ

માટે સતત વિતરણ

મુ વાય= એક્સસહપ્રવૃત્તિ એ વિભિન્નતા સમાન છે એક્સ.

સહસંબંધ ક્ષણની તીવ્રતા રેન્ડમ ચલોના માપનના એકમો પર આધારિત છે. આ સહસંબંધ બિંદુઓની તુલના કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે વિવિધ સિસ્ટમોરેન્ડમ ચલો. આ ખામીને દૂર કરવા માટે, એક નવી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવી છે - સહસંબંધ ગુણાંક, જે છે

પરિમાણહીન જથ્થો.

તેની ગણતરી કરવા માટે, અમે ગાણિતિક અપેક્ષાઓમાંથી રેન્ડમ ચલોના વિચલનોને તેમના સામાન્યકૃત વિચલનો સાથે બદલીએ છીએ, એટલે કે.

સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો:

દો ટી -અર્થમાં ચલ ગાણિતિક વિશ્લેષણ. રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાને ધ્યાનમાં લો ડી(Y - tX) ચલના કાર્ય તરીકે t.

વિખેરવાની મિલકત અનુસાર. આ કિસ્સામાં ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોવો જોઈએ, એટલે કે.

આપણે તે ક્યાંથી મેળવીએ છીએ?

2. સહસંબંધ ગુણાંકનું મોડ્યુલસ ક્યારે બદલાતું નથી રેખીય પરિવર્તનોરેન્ડમ ચલ: , જ્યાં , , મનસ્વી સંખ્યાઓ છે.

3. , જો અને માત્ર જો રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયરેખીય રીતે જોડાયેલા છે, એટલે કે આવી સંખ્યાઓ છે a, b,શું .

જો , તો પછી ફકરા 1 માં ગણવામાં આવેલ ભેદભાવ શૂન્ય સમાન છે, અને તેથી કેટલાક મૂલ્ય માટે . તેથી, મૂલ્ય અને કેટલાક માટે સાથેસમાનતા કે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તે સાચી છે.

4. જો એક્સઅને વાયપછી આંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર છે.

પ્રોપર્ટીઝ 2.4 સીધી રીતે ચકાસવામાં આવે છે.

4.5.2. રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો સહસંબંધ અને અવલંબન.

આવશ્યક શરતરેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા એક્સઅને વાયતેમની સહસંબંધ ક્ષણ (અથવા સહસંબંધ ગુણાંક) ની શૂન્યની સમાનતા છે. જો કે, સમાનતા (અથવા) એ માત્ર એક આવશ્યક છે, પરંતુ સ્વતંત્રતા માટે પૂરતી શરત નથી.

ઉદાહરણ 1.

આકૃતિ પેરાબોલા પર પડેલા બિંદુઓ દર્શાવે છે , એ.

આ સંદર્ભમાં, અસંબંધિત (જો ) અથવા સહસંબંધિત (જો ) રેન્ડમ ચલોનો એક સાંકડો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. તેથી જ રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતાનો અર્થ બિન-સંબંધ પણ છે() અને તેનાથી વિપરીત, સહસંબંધ () – વ્યસન.

IN સામાન્ય કેસ, જ્યારે , બિંદુઓ (X,Y) રેખાની આસપાસ વેરવિખેર થશે, તેટલી નજીકથી મોટી કિંમત. આમ, સહસંબંધ ગુણાંક લાક્ષણિકતા ધરાવે છે કોઈપણ નથીવચ્ચે સંબંધ એક્સઅને વાય, એ રેખીય સંબંધની ચુસ્તતાની ડિગ્રીતેમની વચ્ચે.

તેથી, ખાસ કરીને, સાથે પણ, એટલે કે. ખાતે સંપૂર્ણ ગેરહાજરીવચ્ચે રેખીય સંબંધ એક્સઅને વાયએક મનસ્વી રીતે મજબૂત આંકડાકીય અને બિનરેખીય કાર્યાત્મક અવલંબન અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ 1 જુઓ).

જ્યારે મૂલ્યોની વાત કરવામાં આવે છે સકારાત્મક સંબંધવચ્ચે એક્સઅને વાય, મતલબ કે બંને ચલોમાં વધારો અથવા ઘટાડો કરવાની સમાન વલણ છે. જ્યારે તેઓ નકારાત્મક સહસંબંધ વિશે વાત કરે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે રેન્ડમ ચલોમાં ફેરફારોમાં વિપરીત વલણ એક્સઅને વાય, એટલે કે એક વધે છે અને બીજો ઘટે છે, અથવા ઊલટું.

જો રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાયસામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, પછી તેમની અસંબંધિતતા તેમની સ્વતંત્રતા સૂચવે છે, ત્યારથી

જો, તો.

સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, અમે §4.1 થી ઉદાહરણ 2 ચાલુ રાખીએ છીએ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

.

એમ(એક્સ× વાય)=(-200)×(-100)×0.2 + (-200)×0×0.1 + (-200)×(100)×0.05 + 0×(-100)×0.05 + 0×0×0.25 + 0 ×100×0.02 + 200×(-100)×0.01 + 200×0×0.02 + 200×100×0.3 = $8800;

; ;

.

ઉદાહરણ 2. બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો વિતરણ કાયદો વિતરણ કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે

એક-પરિમાણીય (સીમાંત) વિતરણ કાયદા શોધો એક્સઅને વાય, તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ, ભિન્નતા અને વચ્ચેના સહસંબંધ ગુણાંક એક્સઅને વાય.

ઉકેલ. એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ એક્સ, સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ, સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

, થી=1, 2, 3, 4.

તેથી, જથ્થાનું એક-પરિમાણીય વિતરણ એક્સનીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે

રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એક્સઅને વાય:

એમ(એક્સ)=1,6; એમ(વાય)=0,18.

રેન્ડમ ચલોની ભિન્નતા એક્સઅને વાય:

ડી(એક્સ)=0,84; ડી(વાય)=0,47.

વચ્ચે સહસંબંધ ગુણાંક એક્સઅને વાયસૂત્ર દ્વારા ગણતરી

; ;

; ;

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. મલ્ટિવેરિયેટ રેન્ડમ ચલ અને સંભાવના વિતરણ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરો.

2. દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલનું સંયુક્ત વિતરણ શું કહેવાય છે ( એક્સ,વાય)? તે કેવી રીતે લખાય છે?

3. જેમ જાણીતું છે સંયુક્ત વિતરણદ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ ( એક્સ,વાય) શોધો સીમાંત વિતરણોઘટકો એક્સઅને વાય?

4. ઘટકનું શરતી વિતરણ શું કહેવાય છે એક્સદ્વિ-પરિમાણીય અલગ જથ્થો ( એક્સ,વાય)?

5. કોવિરેન્સ કોને કહેવાય?

6. સહસંબંધ ગુણાંક શું છે?

7. સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો સ્પષ્ટ કરો.

8. રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ ગુણાંક શું છે? એક્સઅને વાય = 1 – 2એક્સ?

9. બે રેન્ડમ ચલોની સહપ્રવૃતિ કયા મૂલ્યમાં પરિવર્તિત થાય છે? એક્સઅને વાય, જો એક્સ = વાય?

10. શું સ્વતંત્રતા અને અસંબંધિત સમકક્ષની વિભાવનાઓ છે?

કાર્યો

4.1. શહેરના બે અલગ અલગ માર્કેટમાં ત્રણ પ્રકારની કાર વેચાય છે ( A, B, C).નીચે વર્ષ માટે વેચાયેલી કારની સંખ્યાના ડેટા છે:

નીચેની સંભાવનાઓ શોધો: આર(a, a), પી(a, B), પી(a, C), પી(b, A), પી(b, B), પી(b,C), પી(એ), પી(a/A), પી(A/a). સંયુક્ત સંભાવનાઓનું કોષ્ટક બનાવો.

4.2. ચોક્કસ રિસોર્ટમાં વેકેશન કરનારાઓ સામાન્ય રીતે ઉદ્યોગપતિ હોય છે ( બી)અથવા ઉદાર વ્યવસાયના લોકો ( પી)(વકીલો, કલાકારો, ડોકટરો, વગેરે). રિસોર્ટનો માલિક નક્કી કરવા માંગે છે કે તેના માટે એકને બદલે બે પ્રકારની જાહેરાતો ઉત્પન્ન કરવી વધુ નફાકારક રહેશે. આ કરવા માટે, તેમણે તેમના જાહેરાત વિભાગને બે પ્રકારની જાહેરાતો તૈયાર કરવાની સૂચના આપી - એક ઉદ્યોગપતિઓ માટે (પ્રકાર I), બીજી ઉદાર વ્યવસાયના લોકો માટે (પ્રકાર II). જાહેરાતો તૈયાર કરવામાં આવી હતી, સંભવિત ગ્રાહકોને સામગ્રી મોકલવામાં આવી હતી અને 800 અરજીઓ પ્રાપ્ત થઈ હતી. તેઓ નીચે મુજબ વિતરિત કરવામાં આવ્યા હતા.

એ). સંભાવનાઓ શોધો પી(બી, આઇ); પી(B,II); પી(I/B).

જથ્થાઓ વચ્ચેના સહસંબંધને દર્શાવવા માટે, સુધારણા ક્ષણ અને સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા 2. સહસંબંધ ક્ષણરેન્ડમ ચલ X અને Y નો µ xy એ આ ચલોના વિચલનના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે

સહસંબંધ ક્ષણની ગણતરી કરવા માટે અલગ માત્રામાંઅભિવ્યક્તિ વપરાય છે

(3.12)

અને સતત માટે - અભિવ્યક્તિ

(3.13)

રિમાર્ક કરો

(3.14)

ખરેખર, ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને (જુઓ §§ 2.2; 2.6), અમારી પાસે છે

પ્રમેય. બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y ની સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે.

પુરાવો. ટિપ્પણી મુજબ

અને X અને Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, તો પછી (જુઓ §§ 2.2; 2.6)

અને તેથી, µ xy =0.

સહસંબંધ ક્ષણની વ્યાખ્યાથી તે અનુસરે છે કે તેનું એક પરિમાણ છે ઉત્પાદન સમાન X અને Y જથ્થાના પરિમાણો, એટલે કે. તેનું મૂલ્ય રેન્ડમ ચલોના માપનના એકમો પર આધારિત છે. તેથી, સમાન બે જથ્થાઓ માટે, સહસંબંધ ક્ષણની તીવ્રતા એકમોના આધારે વિવિધ મૂલ્યો ધરાવી શકે છે જેમાં જથ્થાઓ માપવામાં આવી હતી. આ ખામીને દૂર કરવા માટે, અમે બે રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સંબંધ (નિર્ભરતા) ના માપ તરીકે પરિમાણહીન જથ્થો લેવા સંમત થયા છીએ.

જ્યાં σ x =σ(X), σ y =σ(Y),કહેવાય છે સહસંબંધ ગુણાંક.

ઉદાહરણ 1. દ્વિ-પરિમાણીય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ (X,Y) ને વિતરણ કાયદા દ્વારા સ્પષ્ટ કરવા દો:

અને તેથી,

કૉલમમાં સંભાવનાઓ ઉમેરીને, અમે Y ના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

તેથી વિતરણ કાયદો Y:

અને તેથી,

ખરેખર,

આમ, સહસંબંધ ગુણાંક

પ્રમેય. સંપૂર્ણ મૂલ્યબે રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણ તેમના પ્રમાણભૂત વિચલનોના ઉત્પાદન કરતાં વધી જતી નથી:

પુરાવો. રેન્ડમ ચલનો પરિચય જ્યાં ચાલો તેનો ભિન્નતા શોધીએ. અમારી પાસે છે

(કોઈપણ તફાવત બિન-નકારાત્મક છે). અહીંથી

રેન્ડમ ચલ દાખલ કરીને , એ જ રીતે આપણે શોધીશું

પરિણામે અમારી પાસે છે

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ચલો એક્સઅને Y ને અસંબંધિત જો = 0 અને સહસંબંધિત જો કહેવાય છે

ઉદાહરણ 1. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ એક્સ અને Y અસંબંધિત છે, કારણ કે સંબંધને કારણે (3.12) = 0.

ઉદાહરણ 2. રેન્ડમ ચલો દો એક્સઅને વાયરેખીય અવલંબન દ્વારા જોડાયેલા છે ચાલો સહસંબંધ ગુણાંક શોધીએ. અમારી પાસે છે:

આમ, રેખીય અવલંબન દ્વારા સંબંધિત રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ ગુણાંક ±1 (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, =1 જો A>0અને =-1 જો એ<0).

ચાલો સહસંબંધ ગુણાંકના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ.

ઉદાહરણ 1 થી તે નીચે મુજબ છે:

1) જો X અને Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, તો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે.

નોંધ કરો કે વાતચીતનું નિવેદન, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ખોટું છે. (સાબિતી માટે, કાર્ય જુઓ.)

2) સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એકતા કરતાં વધી જતું નથી:

ખરેખર, ઉત્પાદન દ્વારા અસમાનતા (3.16) ની બંને બાજુઓનું વિભાજન , અમે ઇચ્છિત અસમાનતા પર પહોંચીએ છીએ.

3) ફોર્મ્યુલા (3.14)ને ધ્યાનમાં લેતા ફોર્મ્યુલા (3.15) પરથી જોઈ શકાય છે, સહસંબંધ ગુણાંક ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનમાંથી ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષાના વિચલનની સંબંધિત તીવ્રતા દર્શાવે છે. M(X) M(Y)જથ્થો એક્સઅને વાય.કારણ કે આ વિચલન માત્ર આશ્રિત જથ્થાઓ માટે થાય છે, અમે તે કહી શકીએ છીએ સહસંબંધ ગુણાંક X અને Y વચ્ચેના સંબંધની નિકટતાને દર્શાવે છે.

3. રેખીય સહસંબંધ.આ પ્રકારનો સહસંબંધ એકદમ સામાન્ય છે.

રેન્ડમ ચલો વચ્ચે સહસંબંધ અવલંબન એક્સ અને વાયકહેવાય છે રેખીય સહસંબંધ,જો બંને રીગ્રેસન કાર્ય કરે છે અને રેખીય છે. આ કિસ્સામાં, બંને રીગ્રેસન રેખાઓ સીધી છે; તેઓ કહેવામાં આવે છે સીધા રીગ્રેસન.

ચાલો ડાયરેક્ટ રીગ્રેસન સમીકરણો મેળવીએ વાયચાલુ X,તે ચાલો રેખીય કાર્યનો ગુણાંક શોધીએ

ચાલો સૂચિત કરીએ M(X) = a, M(Y)= b, M[(X - a) 2 ]= , M[(Y –b 2)]= . MO (§§ 2.2; 2.6) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:

M(Y) = M= M(AX + B) = AM(X) + B,

તે b = Aa + B,જ્યાં B=b-Aa.

M(XY)= M[Xg(X)\= M(AX 2 + BX) = AM(X 2) + BM(X)= AM(X 2) + (b- Aa)a,

અથવા, વિક્ષેપની મિલકત 1 અનુસાર (§§ 2.3; 2.6),

પરિણામી ગુણાંક કહેવામાં આવે છે X પર રીગ્રેશન ગુણાંક Yઅને આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

આમ, ફોરવર્ડ રીગ્રેસન સમીકરણ વાયચાલુ એક્સજેવો દેખાય છે

એ જ રીતે, તમે Y પર X ના સીધા રીગ્રેસનનું સમીકરણ મેળવી શકો છો

તમે કેટલી વાર એવા નિવેદનો સાંભળ્યા છે જે કહે છે કે એક ઘટના બીજી ઘટના સાથે સંબંધિત છે?

ગેલપ મતદાન સેવાના નિષ્ણાતોના મતે, "ઉચ્ચ વૃદ્ધિ સારી શિક્ષણ અને ખુશી સાથે સંકળાયેલી છે."

"તેલની કિંમત વિનિમય દરો સાથે સંબંધિત છે."

"વ્યાયામ પછીના સ્નાયુઓમાં દુખાવો સ્નાયુ ફાઇબર હાઇપરટ્રોફી સાથે સંબંધિત નથી."

એવું લાગે છે કે "સહસંબંધ" ની વિભાવના માત્ર વિજ્ઞાનમાં જ નહીં, પણ રોજિંદા જીવનમાં પણ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાઈ છે. સહસંબંધ બે રેન્ડમ ઘટનાઓ વચ્ચેના રેખીય સંબંધની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેથી, જ્યારે તેલના ભાવમાં ઘટાડો થવાનું શરૂ થાય છે, ત્યારે રૂબલ સામે ડોલરનો વિનિમય દર વધવા માંડે છે.

ઉપરોક્ત તમામમાંથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોનું વર્ણન કરતી વખતે, ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન જેવી જાણીતી લાક્ષણિકતાઓ ક્યારેક અપૂરતી હોય છે. તેથી, તેમને વર્ણવવા માટે બે વધુ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: સહપ્રવૃત્તિઅને સહસંબંધ.

સહવર્તન

સહવર્તનરેન્ડમ ચલોના $cov\left(X,\ Y\right)$ $X$ અને $Y$ એ રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે $X-M\left(X\right)$ અને $Y-M\left(Y \right)$, એટલે કે:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(\left(X-M\left(X\right)\right)\left(Y-M\left(Y\right)\right)\right). $$

નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ ના સહપ્રવાહની ગણતરી કરવી અનુકૂળ હોઈ શકે છે:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\જમણે),$$

જે ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સૂત્રમાંથી મેળવી શકાય છે. ચાલો મુખ્ય યાદી કરીએ સહપ્રવર્તન ગુણધર્મો.

1 . અવ્યવસ્થિત ચલનું પોતાની સાથે સહપ્રવૃત્તિ એ તેનું વિચલન છે.

$$cov\left(X,\ X\right)=D\left(X\right).$$

2 . સહપ્રવૃત્તિ સપ્રમાણ છે.

$$cov\left(X,\ Y\right)=cov\left(Y,\ X\right).$$

3 . જો રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર છે, તો પછી:

$$cov\left(X,\ Y\right)=0.$$

4 . અચળ પરિબળ સહપ્રવર્તન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\right).$$

5 . જો કોઈ એક રેન્ડમ ચલ (અથવા એક સાથે બે) માં સ્થિર મૂલ્ય ઉમેરવામાં આવે તો સહપ્રવૃત્તિ બદલાશે નહીં:

$$cov\left(X+c,\ Y\right)=cov\left(X,\ Y+c\right)=cov\left(X+x,\ Y+c\right)=cov\left( X,\Y\જમણે).$$

6 . $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\right)$.

7 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|\le \sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))$.

8 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))\Leftrightarrow Y=aX+b$.

9 . રેન્ડમ ચલોના સરવાળા (તફાવત) નું વિચલન તેમના ચલોના સરવાળા વત્તા (માઈનસ) આ રેન્ડમ ચલોના સહપ્રવાહના બમણા સમાન છે:

$$D\left(X\pm Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2cov\left(X,\ Y\right).$$

ઉદાહરણ 1 . રેન્ડમ વેક્ટર $\left(X,\ Y\right)$ નું સહસંબંધ કોષ્ટક આપવામાં આવ્યું છે. સહપ્રવર્તન $cov\left(X,\Y\right)$ ની ગણતરી કરો.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન

\hલાઇન
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hલાઇન
0 અને 0.05 અને p_(22) અને 0 \\
\hલાઇન
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hલાઇન
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ઘટનાઓ $\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, તેથી કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ તમામ સંભાવનાઓ $p_(ij)$નો સરવાળો 1 જેવો હોવો જોઈએ. પછી $0,1 +0+0 ,2+0.05+p_(22)+0+0+0.2+0.05+0.1+0+0.1=1$, તેથી $p_(22)=0.2$.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X\backslash Y & -6 અને 0 અને 3 \\
\hલાઇન
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hલાઇન
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hલાઇન
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hલાઇન
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$p_(i) =\sum _(j)p_(ij) $ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે રેન્ડમ ચલ $X$ની વિતરણ શ્રેણી શોધીએ છીએ.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X અને -2 અને 0 અને 1 અને 7 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.3 અને 0.25 અને 0.25 અને 0.2 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=-2\cdot 0.3+0\cdot 0.25+1\cdot 0.25+7\cdot 0 ,2=1.05.$ $

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2)=0.3\cdot ( \left) (-2-1.05\જમણે))^2+0.25\cdot (\left(0-1.05\જમણે))^2+0.25\cdot (\left(1-1, 05\જમણે)^2+$$

$$+\ 0.2\cdot (\left(7-1.05\જમણે))^2=10.1475.$$

$$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(10.1475)\અંદાજે 3.186.$$

$q_(j) =\sum _(i)p_(ij) $ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે રેન્ડમ ચલ $Y$ની વિતરણ શ્રેણી શોધીએ છીએ.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
Y & -6 અને 0 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.25 અને 0.4 અને 0.35 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$$M\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(y_ip_i)=-6\cdot 0.25+0\cdot 0.4+3\cdot 0.35=-0.45 .$$

$$D\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(y_i-M\left(Y\right)\right)^2)=0.25\cdot ( \left) (-6+0.45\જમણે))^2+0.4\cdot (\left(0+0.45\right))^2+0.35\cdot (\left(3+0, 45\જમણે))^2=11.9475. $$

$$\sigma \left(Y\right)=\sqrt(D\left(Y\right))=\sqrt(11.9475)\અંદાજે 3.457.$$

કારણ કે $P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0.1\ne 0.3\cdot 0.25$, પછી રેન્ડમ ચલ $X,\ Y$ નિર્ભર છે.

ચાલો સુત્ર $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\ જમણે)-M\ ડાબે(X\જમણે)M\ડાબે(Y\જમણે)$. રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા $X, \Y$ બરાબર છે:

$$M\left(XY\right)=\sum_(i,\ j)(p_(ij)x_iy_j)=0.1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right) +0.2 \cdot \left(-2\right)\cdot 3+0.05\cdot 1\cdot 3+0.1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0.1\cdot 7\cdot 3=-1.95.$$

પછી $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1.95-1.05\cdot \left(- 0.45\right)=-1.4775.$ જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોય, તો તેમની સહપ્રવૃતિ શૂન્ય છે. અમારા કિસ્સામાં, $cov(X,Y)\ne 0$.

સહસંબંધ

સહસંબંધ ગુણાંકરેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ ને નંબર કહેવામાં આવે છે:

$$\rho \left(X,\ Y\right)=((cov\left(X,\ Y\right))\over (\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\જમણે) )))).$$

ચાલો મુખ્ય યાદી કરીએ સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો.

1 . $\rho \left(X,\ X\જમણે)=1$.

2 . $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3 . સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ માટે $\rho \left(X,\ Y\right)=0$.

4 . $\rho \left(aX+b,\ cY+d\right)=(sgn \left(ac\right)\rho \left(X,\ Y\right)\ )$, જ્યાં $(sgn \left( ac\right)\ )$ એ $ac$ ઉત્પાદનની નિશાની છે.

5 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

અગાઉ એવું કહેવામાં આવ્યું હતું કે સહસંબંધ ગુણાંક $\rho \left(X,\Y\right)$ બે રેન્ડમ ચલ $X$ અને $Y$ વચ્ચે રેખીય અવલંબનની ડિગ્રી દર્શાવે છે.

જ્યારે $\rho \left(X,\ Y\right)>0$ અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે જેમ જેમ રેન્ડમ ચલ $X$ વધે છે તેમ તેમ રેન્ડમ ચલ $Y$ વધે છે. આને સકારાત્મક કહેવામાં આવે છે સહસંબંધ અવલંબન. ઉદાહરણ તરીકે, વ્યક્તિની ઊંચાઈ અને વજન હકારાત્મક રીતે સંબંધિત છે.

જ્યારે $\rho \left(X,\Y\જમણે)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.

જ્યારે $\rho \left(X,\ Y\right)=0$, રેન્ડમ ચલો $X$ અને $Y$ ને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છે. તે નોંધવું યોગ્ય છે કે રેન્ડમ ચલોની અસંબંધિતતા $X$ અને $Y$ નો અર્થ તેમની આંકડાકીય સ્વતંત્રતા નથી, તેનો અર્થ એ છે કે તેમની વચ્ચે કોઈ રેખીય સંબંધ નથી.

ઉદાહરણ 2 . ચાલો ઉદાહરણ 1 માંથી બે-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ $\left(X,\ Y\right)$ માટે સહસંબંધ ગુણાંક $\rho \left(X,\ Y\right)$ નક્કી કરીએ.

રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ ગુણાંક $X,\Y$ બરાબર છે $r_(XY) =(cov(X,Y)\over \sigma (X)\sigma (Y)) =(-1.4775\over 3.186\cdot 3.457) =-0.134.$ $r_(XY) થી<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).