રેન્ડમ ફંક્શનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. અનુભવમાંથી રેન્ડમ ફંક્શનની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવી

વ્યાખ્યાન 13 રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ મૂળભૂત ખ્યાલો. વિતરણનો કાયદો અને. સ્થિર, એર્ગોડિક

વ્યાખ્યાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું વર્ગીકરણ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

સ્થિર એસપીના સહસંબંધ કાર્યના ગુણધર્મો

એર્ગોડિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

પ્રાથમિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ
અને તેમની લાક્ષણિકતાઓ

4.1. કાર્યનો હેતુ

4.2. સૈદ્ધાંતિક માહિતી

રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સઅને રેન્ડમ ચલો

,

જ્યાં
. જો વિતરણ કાર્ય સતત અને અલગ હોય, તો આપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ સંભાવના ઘનતા કાર્ય(PDF), સંક્ષિપ્તતા માટે સંભવિત ઘનતા પણ કહેવાય છે
(અને ક્યારેક માત્ર ઘનતા):

, જ્યારે
.

દેખીતી રીતે, વિતરણ કાર્ય એ ગુણધર્મો સાથે બિન-નકારાત્મક બિન-ઘટતું કાર્ય છે
,
. આથી,
PDF એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે જે સંતુષ્ટ કરે છે સામાન્યકરણ સ્થિતિ
.

ક્યારેક મર્યાદિત સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓરેન્ડમ ચલ, મોટેભાગે ક્ષણો. પ્રાથમિકક્ષણ -મો ક્રમ (મી પ્રારંભિક ક્ષણ)

,

આડી રેખા ક્યાં છે અને
- અભિન્ન ઓપરેટરનું પ્રતીકાત્મક સંકેત એસેમ્બલ સરેરાશ. પ્રથમ પ્રારંભિક ક્ષણ
, કહેવાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાઅથવા વિતરણ કેન્દ્ર.

સેન્ટ્રલક્રમની ક્ષણ (મી કેન્દ્રીય ક્ષણ)

સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી કેન્દ્રીય ક્ષણ એ બીજી કેન્દ્રીય ક્ષણ છે, અથવા વિખેરવું

વિખેરી નાખવાને બદલે, તેઓ ઘણીવાર કાર્ય કરે છે પ્રમાણભૂત વિચલન(RMS) રેન્ડમ ચલનું
.

^ મિડલ સ્ક્વેર, અથવા બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ
, વિક્ષેપ અને ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સંબંધિત છે:

PDF ના સ્વરૂપનું વર્ણન કરવા માટે, ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે અસમપ્રમાણતા
અને ગુણાંક અધિક
(ક્યારેક કુર્ટોસિસ મૂલ્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે
).

પીડીએફ સાથે સામાન્ય અથવા ગૌસીયન (ગૌસીયન) વિતરણનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે

,

જ્યાં અને - વિતરણ પરિમાણો ( ગાણિતિક અપેક્ષાઅને MSD, અનુક્રમે). ગૌસીયન વિતરણ માટે
,
.

બે રેન્ડમ ચલ અને લાક્ષણિકતા છે સંયુક્તવિતરણ ઘનતા
. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ સંયુક્ત ઘનતાપ્રાથમિક અને કેન્દ્રિય તરીકે સેવા આપે છે મિશ્રક્ષણો

,
,

ક્યાં અને - મનસ્વી પૂર્ણાંકો હકારાત્મક સંખ્યાઓ;
અને - SV ની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ xઅને y.

બીજા ક્રમની સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી મિશ્ર ક્ષણો પ્રારંભિક છે ( સહસંબંધક્ષણ):

અને કેન્દ્રીય ( સહપ્રવૃત્તિક્ષણ, અથવા સહપ્રવૃત્તિ)

.

ગૌસીયન રેન્ડમ ચલોની જોડી માટે, દ્વિ-પરિમાણીય સંયુક્ત PDF ફોર્મ ધરાવે છે

જ્યાં , - પ્રમાણભૂત વિચલનો;
- ગાણિતિક અપેક્ષાઓ; – સહસંબંધ ગુણાંક- સામાન્યકૃત સહપ્રવર્તન ક્ષણ

.

શૂન્ય સહસંબંધ ગુણાંક સાથે, તે સ્પષ્ટ છે કે

,

એટલે કે અસંબંધિતગૌસીયન રેન્ડમ ચલ સ્વતંત્ર
^

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સંપૂર્ણપણે વ્યાખ્યાયિત ગણવામાં આવે છે, જો કોઈ માટે કોઈ પણ સમયની પસંદગીના સમયે તેની સંયુક્ત PDF લખી શકે છે
.

ઘણીવાર, જ્યારે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેની મિશ્રિત પ્રક્રિયાની સંપૂર્ણતા સુધી પોતાને મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ. પ્રારંભિક ક્ષણો(જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય, એટલે કે અનુરૂપ ઇન્ટિગ્રલ્સ એકરૂપ થાય છે)

અને મિશ્ર કેન્દ્રીય ક્ષણો

બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો માટે
અને સામાન્ય રીતે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, સંયુક્ત પીડીએફની ક્ષણો સમય ધરી પરના વિભાગોના સ્થાન પર આધાર રાખે છે અને કહેવામાં આવે છે ક્ષણ કાર્યો. બીજી મિશ્ર કેન્દ્રીય ક્ષણનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે.

,

ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન અથવા ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (ACF) કહેવાય છે. ચાલો યાદ કરીએ કે અહીં અને નીચે સમય પરની અવલંબન સ્પષ્ટ રીતે સૂચવવામાં આવી નથી, એટલે કે, સમયના કાર્યો છે
,
અને
.

બે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને એકસાથે ગણી શકાય
અને
; આવા વિચારણા તેમના વર્ણનને સંયુક્ત બહુપરીમાણીય પીડીએફના રૂપમાં તેમજ મિશ્રિત સહિત તમામ પળોના સમૂહના રૂપમાં ધારે છે. મોટેભાગે, બીજા મિશ્રિત કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ થાય છે.

,

ક્રોસ કોરિલેશન ફંક્શન કહેવાય છે
.

બધી અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાઓમાં, SP ને અલગ પાડવામાં આવે છે જેના માટે સંયુક્ત-પરિમાણીય પીડીએફ બદલાતું નથી જ્યારે બધા સમય વિભાગો એકસાથે સમાન રકમ દ્વારા બદલાય છે (શિફ્ટ). આવી પ્રક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે માં સ્થિર સંકુચિત અર્થમાં અથવા સખત સ્થિર.

વધુ વખત, નબળા સ્થિરતા ગુણધર્મો સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો વિશાળ વર્ગ ગણવામાં આવે છે. સંયુક્ત સાહસ કહેવાય છે માં સ્થિર વ્યાપક અર્થમાં , જો વિભાગોની એક સાથે શિફ્ટ સાથે માત્ર તેની ક્ષણો બદલાતી નથી સેકન્ડ કરતાં વધારે નહીંઓર્ડર વ્યવહારમાં, આનો અર્થ એ છે કે SP વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર છે જો તેની પાસે સતત હોય સરેરાશ(ગાણિતિક અપેક્ષા) અને વિખેરવું
, અને ACF માત્ર સમયની ક્ષણો વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે, પરંતુ સમય અક્ષ પર તેમની સ્થિતિ પર નહીં:

1)
,

2) ,
.

તેની નોંધ લો
, જેમાંથી વિક્ષેપની સ્થિરતા અનુસરે છે.

તે ચકાસવું મુશ્કેલ નથી કે જે પ્રક્રિયા સંકુચિત અર્થમાં સ્થિર છે તે વ્યાપક અર્થમાં પણ સ્થિર છે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ સામાન્ય રીતે ખોટું છે, જો કે એવી પ્રક્રિયાઓ છે જેના માટે વ્યાપક અર્થમાં સ્થિરતા સાંકડી અર્થમાં સ્થિરતા સૂચવે છે.

વાંચનનું સંયુક્ત પરિમાણીય પીડીએફ
ગૌસિયન પ્રક્રિયા, સમયના વિભાગોમાં લેવામાં આવે છે, તેનું સ્વરૂપ છે

, (4.1)

જ્યાં - નિર્ણાયક ચોરસ મેટ્રિક્સ, નમૂનાઓના જોડીવાર સહસંબંધ ગુણાંકથી બનેલું;
– બીજગણિતીય પૂરકતત્વ આ મેટ્રિક્સ.

કોઈપણ કેસ માટે સંયુક્ત ગૌસિયન પીડીએફ સંપૂર્ણપણે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ, વિક્ષેપો અને નમૂનાઓના સહસંબંધ ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, ક્ષણના કાર્યો બીજા ક્રમ કરતાં વધુ નહીં. જો ગૌસીયન પ્રક્રિયા વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર હોય, તો તમામ ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન હોય છે, તમામ ભિન્નતાઓ (અને તેથી પ્રમાણભૂત વિચલન) એકબીજા સાથે સમાન હોય છે, અને સહસંબંધ ગુણાંક માત્ર સમયના વિભાગોથી કેટલા દૂરથી અલગ પડે છે તેના આધારે નક્કી થાય છે. એકબીજા પછી, દેખીતી રીતે, પીડીએફ (4.1) બદલાશે નહીં જો બધા સમય વિભાગો સમાન રકમ દ્વારા ડાબી અથવા જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે. તે તેને અનુસરે છે ગૌસીયન પ્રક્રિયા, વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર, સાંકડા અર્થમાં સ્થિર(કડક સ્થિર).

સખત સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં, એક સાંકડો વર્ગ ઘણીવાર અલગ પડે છે એર્ગોડિકરેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ. એર્ગોડિક પ્રક્રિયાઓ માટે, એસેમ્બલ પર સરેરાશ કરીને મળેલી ક્ષણો સમયની સરેરાશ દ્વારા મળેલી અનુરૂપ ક્ષણોની સમાન હોય છે:

,

(અહીં - સમય સરેરાશ ઓપરેટરનું પ્રતીકાત્મક હોદ્દો).

ખાસ કરીને, એર્ગોડિક પ્રક્રિયા માટે અનુક્રમે ગાણિતિક અપેક્ષા, વિભિન્નતા અને ACF સમાન છે.

,

,

એર્ગોડિસિટી અત્યંત ઇચ્છનીય છે, કારણ કે તે રેન્ડમ પ્રક્રિયાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને વ્યવહારીક રીતે માપવાનું (મૂલ્યાંકન) શક્ય બનાવે છે. હકીકત એ છે કે સામાન્ય રીતે નિરીક્ષક માટે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો અમલ માત્ર એક જ (સંભવતઃ ખૂબ લાંબી હોવા છતાં) ઉપલબ્ધ હોય છે. એર્ગોડિસિટીનો અર્થ, આવશ્યકપણે, આ અનન્ય અનુભૂતિ છે સમગ્ર સમૂહનો સંપૂર્ણ પ્રતિનિધિ.

એર્ગોડિક પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતાઓને માપવા સરળ માપન ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે; તેથી, જો પ્રક્રિયા સમય આધારિત વોલ્ટેજ હોય, તો વોલ્ટમીટર મેગ્નેટોઇલેક્ટ્રિકસિસ્ટમ તેની ગાણિતિક અપેક્ષા (સતત ઘટક) માપે છે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક અથવા થર્મોઇલેક્ટ્રિક સિસ્ટમનું વોલ્ટમીટર જે વિભાજન કેપેસીટન્સ (સતત ઘટકને બાકાત રાખવા) દ્વારા જોડાયેલ છે - તેનું મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય (RMS). ઉપકરણ, બ્લોક ડાયાગ્રામજે ફિગમાં બતાવેલ છે. 4.1, તમને વિવિધ માટે સ્વતઃસંબંધિત કાર્યના મૂલ્યોને માપવાની મંજૂરી આપે છે . ફિલ્ટર કરો ઓછી આવર્તનઅહીં ઇન્ટિગ્રેટરની ભૂમિકા ભજવે છે, કેપેસિટર પ્રક્રિયાને કેન્દ્રિય બનાવે છે, કારણ કે તે સીધા વર્તમાન ઘટકને પસાર કરતું નથી. આ ઉપકરણ કહેવામાં આવે છે કોરિલોમીટર.

ચોખા. 4.1

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની અર્ગોડિસિટી માટે પૂરતી શરતો એ શરત છે
, અને તે પણ ઓછા મજબૂત Slutsky સ્થિતિ
.
^

અલગ અલ્ગોરિધમ્સસંયુક્ત સાહસના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવો

,

જ્યાં
- પ્રક્રિયા નમૂનાઓનો ક્રમ ( નમૂનાવોલ્યુમ
). વિક્ષેપ અંદાજ છે નમૂના તફાવત , અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

.

સ્વતઃસંબંધ કાર્યનો અંદાજ, અન્યથા કહેવાય છે કોરીલોગ્રામ, તરીકે જોવા મળે છે

.

SSP ના ત્વરિત મૂલ્યની સંભાવના વિતરણ ઘનતાનો અંદાજ છે હિસ્ટોગ્રામ. તેને શોધવા માટે, શક્ય SP મૂલ્યોની શ્રેણી વિભાજિત કરવામાં આવી છે સમાન પહોળાઈના અંતરાલો, પછી દરેક માટે -મી અંતરાલની સંખ્યા તેમાં સમાવિષ્ટ નમૂનાના નમૂનાઓ. હિસ્ટોગ્રામ એ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે
, સામાન્ય રીતે ટ્રેલીસ ડાયાગ્રામ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલ નમૂનાના કદ માટે અંતરાલોની સંખ્યા હિસ્ટોગ્રામના અંદાજની ચોકસાઈ અને રીઝોલ્યુશન (વિગતવારની ડિગ્રી) વચ્ચેના સમાધાનના આધારે પસંદ કરવામાં આવે છે.
^

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સહસંબંધ-સ્પેક્ટ્રલ સિદ્ધાંત

,
.

દેખીતી રીતે, SPM - બિન-નકારાત્મકકાર્ય જો પ્રક્રિયામાં બિન-શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા હોય, તો શબ્દ PSDમાં ઉમેરવામાં આવે છે
.

વાસ્તવિક પ્રક્રિયા માટે, ACF અને SPM પણ વાસ્તવિક કાર્યો છે.

કેટલીકવાર તમે તમારી જાતને સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ સુધી મર્યાદિત કરી શકો છો - સહસંબંધ અંતરાલ અને અસરકારક સ્પેક્ટ્રમ પહોળાઈ. ^ સહસંબંધ અંતરાલ વિવિધ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, નીચેની વ્યાખ્યાઓ જાણીતી છે:

માટે સોંપણી કોર્સ વર્ક

આપેલ: પાંચ પ્રારંભિક ક્ષણો

એ 1 = 1, એ 2= 2, એ 3= 2, એ 4= 1, એ 5 = 1 (µ જી = 0, µ 0 = 1).

શોધો: પાંચ કેન્દ્રીય બિંદુઓ.

તમારા નિકાલ પર પાંચ પ્રારંભિક અને પાંચ કેન્દ્રીય ક્ષણો હોવાથી, મૂલ્યોની ગણતરી કરો:

એ)ગાણિતિક અપેક્ષા;

b)વિખેરવું;

વી)પ્રમાણભૂત વિચલન;

જી)વિવિધતાના ગુણાંક;

ડી)અસમપ્રમાણતા ગુણાંક;

e)કર્ટોસિસ ગુણાંક.

પ્રાપ્ત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, આ પ્રક્રિયાની સંભાવના ઘનતાનું ગુણાત્મક રીતે વર્ણન કરો.

1. સૈદ્ધાંતિક માહિતી

રેન્ડમ ચલો અને વિતરણ કાર્યોનું વિતરણ

સંખ્યાત્મક રેન્ડમ ચલનું વિતરણ એ એક કાર્ય છે જે રેન્ડમ ચલ જે સંભવિતતા લે છે તે અનન્ય રીતે નક્કી કરે છે મૂલ્ય સેટ કરોઅથવા અમુક આપેલ અંતરાલથી સંબંધિત છે.

પ્રથમ જો રેન્ડમ ચલ લે છે અંતિમ સંખ્યામૂલ્યો પછી વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે P (X = x),દરેકને આપવું શક્ય અર્થ એક્સરેન્ડમ ચલ એક્સસંભાવના છે કે X = x.

બીજું એ છે કે જો રેન્ડમ ચલ અનંત ઘણા મૂલ્યો લે છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે સંભાવના જગ્યા, જેના પર રેન્ડમ ચલ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, સમાવે છે અનંત સંખ્યા પ્રાથમિક ઘટનાઓ. પછી વિતરણ સંભાવનાઓના સમૂહ દ્વારા આપવામાં આવે છે આર (એએક્સ સંખ્યાઓની તમામ જોડી માટે a, bજેમ કે એ વિતરણ કહેવાતા ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. વિતરણ કાર્ય F(x) = P (X<х), બધા વાસ્તવિક માટે વ્યાખ્યાયિત એક્સરેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સકરતાં ઓછા મૂલ્યો લે છે એક્સ.તે સ્પષ્ટ છે કે

આર (એએક્સ

આ સંબંધ દર્શાવે છે કે વિતરણ કાર્યમાંથી બંને વિતરણની ગણતરી કરી શકાય છે, અને તેનાથી વિપરીત, વિતરણ કાર્યની ગણતરી વિતરણમાંથી કરી શકાય છે.

નિર્ણય લેવાની સંભાવના-આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને અન્ય લાગુ સંશોધનમાં વપરાતા વિતરણ કાર્યો કાં તો અલગ, સતત અથવા તેના સંયોજનો છે.

ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન્સ અલગ રેન્ડમ ચલોને અનુરૂપ છે જે સમૂહમાંથી મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા અથવા મૂલ્યો લે છે જેના ઘટકોને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત કરી શકાય છે (આવા સમૂહોને ગણિતમાં ગણનાપાત્ર કહેવામાં આવે છે). તેમનો ગ્રાફ સ્ટેપવાળી સીડી જેવો દેખાય છે (ફિગ. 1).

ઉદાહરણ 1.નંબર એક્સબેચમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓ 0.3ની સંભાવના સાથે 0નું મૂલ્ય, 0.4ની સંભાવના સાથે 1નું મૂલ્ય, 0.2ની સંભાવના સાથે 2નું મૂલ્ય અને 0.1ની સંભાવના સાથે 3નું મૂલ્ય લે છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ એક્સફિગમાં બતાવેલ છે. 1.

ચોખા. 1. ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના વિતરણ કાર્યનો આલેખ.

સતત વિતરણ કાર્યોમાં જમ્પ નથી. જેમ જેમ દલીલ વધે તેમ તેમ તેઓ એકવિધ રીતે વધે છે - x→∞ માટે 0 થી x→+∞ માટે 1 સુધી. અવ્યવસ્થિત ચલો કે જે સતત વિતરણ કાર્યો ધરાવે છે તેને સતત કહેવામાં આવે છે.

સંભવિત-આંકડાકીય નિર્ણય લેવાની પદ્ધતિઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સતત વિતરણ કાર્યોમાં ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે. પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f(x)વિતરણ કાર્યો F(x)સંભાવના ઘનતા કહેવાય છે,

સંભાવના ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિતરણ કાર્ય નક્કી કરી શકો છો:

કોઈપણ વિતરણ કાર્ય માટે

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન્સના સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મો નિર્ણય લેવાની સંભવિત અને આંકડાકીય પદ્ધતિઓમાં સતત ઉપયોગમાં લેવાય છે. ખાસ કરીને, છેલ્લી સમાનતા નીચે ધ્યાનમાં લીધેલ સંભાવના ઘનતા માટેના સૂત્રોમાં સ્થિરાંકોના ચોક્કસ સ્વરૂપને સૂચિત કરે છે.

ઉદાહરણ 2.નીચેના વિતરણ કાર્યનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે:

(1)

જ્યાં એઅને b-કેટલાક નંબરો એ ચાલો આ વિતરણ કાર્યની સંભાવના ઘનતા શોધીએ:

(બિંદુઓ પર એક્સ = એઅને x = bકાર્યનું વ્યુત્પન્ન F(x)અસ્તિત્વમાં નથી).

વિતરણ કાર્ય (1) સાથેના રેન્ડમ ચલને "સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત" કહેવામાં આવે છે ».

મિશ્ર વિતરણ કાર્યો થાય છે, ખાસ કરીને, જ્યારે અવલોકનો અમુક બિંદુએ બંધ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિશ્વસનીયતા પરીક્ષણ યોજનાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા આંકડાકીય ડેટાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે જે ચોક્કસ સમયગાળા પછી પરીક્ષણને સમાપ્ત કરવા માટે પ્રદાન કરે છે. અથવા જ્યારે વોરંટી સમારકામની જરૂર હોય તેવા તકનીકી ઉત્પાદનો પરના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે.

ઉદાહરણ 3.ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રિક લાઇટ બલ્બનું સર્વિસ લાઇફ વિતરણ કાર્ય સાથે રેન્ડમ વેરીએબલ તરીકે રહેવા દો. F(t),અને લાઇટ બલ્બ નિષ્ફળ જાય ત્યાં સુધી પરીક્ષણ હાથ ધરવામાં આવે છે, જો આ પરીક્ષણની શરૂઆતના 100 કલાકથી ઓછા સમયમાં થાય છે, અથવા ત્યાં સુધી t0 = 100 કલાક. દો G(t) -આ પરીક્ષણ દરમિયાન સારી સ્થિતિમાં લાઇટ બલ્બના સંચાલન સમયનું વિતરણ કાર્ય. પછી

કાર્ય જી(ટી)એક બિંદુ પર કૂદકો છે t0 , કારણ કે અનુરૂપ રેન્ડમ ચલ મૂલ્ય લે છે t0 સંભાવના સાથે 1-F(t0 )>0.

રેન્ડમ ચલોની લાક્ષણિકતાઓ.નિર્ણય લેવાની સંભાવના-આંકડાકીય પદ્ધતિઓમાં, રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાબંધ લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે વિતરણ કાર્યો અને સંભાવના ઘનતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

આવકના તફાવતનું વર્ણન કરતી વખતે, જ્યારે રેન્ડમ ચલોના વિતરણના પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસની મર્યાદા શોધવામાં આવે છે, અને અન્ય ઘણા કિસ્સાઓમાં, "ઓર્ડર ક્વોન્ટાઇલ" જેવા ખ્યાલનો ઉપયોગ થાય છે. આર",જ્યાં 0 <р < 1 (સૂચિત એક્સઆર). ઓર્ડર ક્વોન્ટાઇલ આર- રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય જેના માટે વિતરણ કાર્ય મૂલ્ય લે છે આરઅથવા ઓછા મૂલ્યથી "જમ્પ" છે આરવધુ મૂલ્ય માટે આર(ફિગ. 2). એવું બની શકે છે કે આ સ્થિતિ આ અંતરાલ સાથે સંબંધિત x ના તમામ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ છે (એટલે ​​​​કે વિતરણ કાર્ય આ અંતરાલ પર સ્થિર છે અને તેની બરાબર છે p).પછી આવા દરેક મૂલ્યને "ઓર્ડરનો જથ્થો" કહેવામાં આવે છે. આર"સતત વિતરણ કાર્યો માટે, એક નિયમ તરીકે, એક જ ક્વોન્ટાઇલ છે એક્સઆર ઓર્ડર આર(ફિગ. 2), અને

F(xપી)=p.(2)

ચોખા. 2. પરિમાણનું નિર્ધારણ એક્સઆર ઓર્ડર આર.

ઉદાહરણ 4.ચાલો ક્વોન્ટાઈલ શોધીએ એક્સઆર ઓર્ડર આરવિતરણ કાર્ય માટે F(x)માંથી (1).

0 પર <р < 1 ક્વોન્ટાઇલ એક્સઆર સમીકરણ પરથી જોવા મળે છે

તે એક્સઆર= એ+ p (b - a) = a (1-p) + bр.મુ p = 0 કોઈપણ એક્સએઓર્ડરનો જથ્થો છે પી= 0. ઓર્ડર ક્વોન્ટાઇલ આર= 1 એ કોઈપણ સંખ્યા છે એક્સb

સ્વતંત્ર વિતરણો માટે, એક નિયમ તરીકે, ત્યાં ના છે એક્સઆર, સંતોષકારક સમીકરણ (2). વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જો રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યું છે. 1, ક્યાં x1 < х 2 <… < х થી, પછી સમાનતા (2), આદર સાથે સમીકરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે એક્સઆર, માટે માત્ર ઉકેલો છે kમૂલ્યો p,એટલે કે

પી = પી1

પી = પી1 +p2 ,

p = p1 +p2 +p3 ,

p = p1 +p2 + આરટી, 3<т<к,

p = p, + p2 +… +પીk

કોષ્ટક 1. એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ

રેન્ડમ ચલ x મૂલ્યો Xx1 એક્સ2 …એક્સkસંભાવનાઓ P (X = x)P1 આર2 …આરk

સૂચિબદ્ધ લોકો માટે થીસંભાવના મૂલ્યો આરઉકેલ એક્સઆર સમીકરણ (2) અનન્ય નથી, એટલે કે,

F(x) =р, +р2 +… + આરટી

દરેક માટે એક્સજેમ કે એક્સટી < х < х t+1. તે. એક્સઆર - અંતરાલમાંથી કોઈપણ સંખ્યા (એક્સટી; xm+1). બીજા બધા માટે આરઅંતરાલ (0; 1), સૂચિમાં સમાવેલ નથી (3) થી, ઓછા મૂલ્યથી "જમ્પ" છે આરવધુ મૂલ્ય માટે આર.જેમ કે, જો

પી1 +p2 +… + પીટી 1 +p2 + … + પીટી+pt+1,

તે xઆર=xt+1.

આવા વિતરણોને ટેબ્યુલેટ કરતી વખતે અને તેનો ઉપયોગ કરતી વખતે ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની માનવામાં આવતી મિલકત નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ ઊભી કરે છે, કારણ કે વિતરણ લાક્ષણિકતાઓના લાક્ષણિક આંકડાકીય મૂલ્યોને ચોક્કસ રીતે જાળવવાનું અશક્ય છે. ખાસ કરીને, બિનપેરામેટ્રિક આંકડાકીય પરીક્ષણોના નિર્ણાયક મૂલ્યો અને મહત્વના સ્તરો માટે આ સાચું છે (નીચે જુઓ), કારણ કે આ પરીક્ષણોના આંકડાઓનું વિતરણ અલગ છે.

આંકડાશાસ્ત્રમાં ક્વોન્ટાઇલ ઓર્ડરનું ખૂબ મહત્વ છે p =½. તેને મધ્યક (રેન્ડમ ચલ એક્સઅથવા તેનું વિતરણ કાર્ય F(x))અને નિયુક્ત થયેલ છે ફર).ભૂમિતિમાં "મધ્યમ" ની વિભાવના છે - એક સીધી રેખા ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેની વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. ગાણિતિક આંકડાઓમાં, મધ્ય ત્રિકોણની બાજુના અડધા ભાગમાં નહીં, પરંતુ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ: સમાનતા F(x0,5 ) = 0.5 એટલે કે ડાબી તરફ જવાની સંભાવના x0,5 અને જમણી તરફ જવાની સંભાવના x0,5 (અથવા સીધા x0,5 ) એકબીજા સાથે સમાન અને સમાન છે ½ , તે

મધ્યક વિતરણનું "કેન્દ્ર" સૂચવે છે. એક આધુનિક વિભાવનાના દૃષ્ટિકોણથી - સ્થિર આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત - મધ્યક એ ગાણિતિક અપેક્ષા કરતાં રેન્ડમ ચલની વધુ સારી લાક્ષણિકતા છે. ઑર્ડિનલ સ્કેલ પર માપન પરિણામોની પ્રક્રિયા કરતી વખતે (માપના સિદ્ધાંત પર પ્રકરણ જુઓ), મધ્યકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, પરંતુ ગાણિતિક અપેક્ષા કરી શકાતી નથી.

રેન્ડમ ચલની લાક્ષણિકતા જેમ કે મોડનો સ્પષ્ટ અર્થ છે - રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય (અથવા મૂલ્યો) જે સતત રેન્ડમ ચલ માટે સંભાવનાની ઘનતાની સ્થાનિક મહત્તમ અથવા સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ માટે સંભવિતતાની સ્થાનિક મહત્તમને અનુરૂપ છે. .

જો એક્સ0 - ઘનતા સાથે રેન્ડમ ચલનો મોડ f(x),તરીકે ઓળખાય છે

વિભેદક કલનમાંથી,

રેન્ડમ ચલમાં ઘણા મોડ્સ હોઈ શકે છે. તેથી, સમાન વિતરણ માટે (1) દરેક બિંદુ એક્સજેમ કે એ< х < b, ફેશન છે. જો કે, આ એક અપવાદ છે. નિર્ણય લેવાની સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને અન્ય લાગુ સંશોધનમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મોટાભાગના રેન્ડમ ચલો એક મોડ ધરાવે છે. રેન્ડમ ચલ, ઘનતા, વિતરણ કે જેમાં એક મોડ હોય તેને યુનિમોડલ કહેવામાં આવે છે.

મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો સાથેના અલગ રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાની ચર્ચા પ્રકરણ "ઘટનાઓ અને સંભાવનાઓ"માં કરવામાં આવી છે. સતત રેન્ડમ ચલ માટે એક્સગાણિતિક અપેક્ષા M(X)સમાનતાને સંતોષે છે

ઉદાહરણ 5.સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટેની અપેક્ષા એક્સબરાબર

આ પ્રકરણમાં ધ્યાનમાં લેવાયેલા રેન્ડમ ચલો માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાના તે તમામ ગુણધર્મો કે જે અગાઉ મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો સાથેના અલગ રેન્ડમ ચલ માટે ગણવામાં આવ્યા હતા તે સાચા છે. જો કે, અમે આ ગુણધર્મોનો પુરાવો આપતા નથી, કારણ કે તેમને ગાણિતિક સૂક્ષ્મતામાં વધુ ઊંડાણની જરૂર છે, જે નિર્ણય લેવાની સંભાવના-આંકડાકીય પદ્ધતિઓને સમજવા અને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવા માટે જરૂરી નથી.

ટિપ્પણી.આ પાઠ્યપુસ્તક સભાનપણે ગાણિતિક સૂક્ષ્મતાને ટાળે છે, ખાસ કરીને, માપી શકાય તેવા સમૂહો અને માપી શકાય તેવા કાર્યોની વિભાવનાઓ, ઘટનાઓના બીજગણિત, વગેરે સાથે. આ વિભાવનાઓમાં નિપુણતા મેળવવા ઈચ્છતા લોકોએ વિશિષ્ટ સાહિત્ય તરફ વળવું જોઈએ, ખાસ કરીને જ્ઞાનકોશ.

ત્રણ લક્ષણોમાંની દરેક - ગાણિતિક અપેક્ષા, મધ્યક, સ્થિતિ - સંભાવના વિતરણના "કેન્દ્ર"નું વર્ણન કરે છે. "કેન્દ્ર" ની વિભાવનાને જુદી જુદી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે - તેથી ત્રણ અલગ અલગ લાક્ષણિકતાઓ. જો કે, વિતરણના એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ માટે - સપ્રમાણ યુનિમોડલ - ત્રણેય લાક્ષણિકતાઓ એકરૂપ છે.

વિતરણ ઘનતા f(x)- સપ્રમાણ વિતરણની ઘનતા, જો ત્યાં સંખ્યા હોય એક્સ0 જેમ કે

(3)

સમાનતા (3) નો અર્થ છે કે કાર્યનો આલેખ y =f(x)સપ્રમાણતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા વિશે સપ્રમાણ x = x0 . (3) થી તે અનુસરે છે કે સપ્રમાણ વિતરણ કાર્ય સંબંધને સંતોષે છે

(4)

એક સ્થિતિ સાથે સપ્રમાણ વિતરણ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા, મધ્ય અને સ્થિતિ એકરૂપ થાય છે અને સમાન છે એક્સ0 .

સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ 0 વિશે સમપ્રમાણતા છે, એટલે કે. એક્સn = 0. પછી (3) અને (4) સમાનતા બને છે

(5)

(6)

અનુક્રમે ઉપરોક્ત સંબંધો બતાવે છે કે બધા માટે સપ્રમાણ વિતરણો ટેબ્યુલેટ કરવાની જરૂર નથી X, x માટે કોષ્ટકો હોય તે પૂરતું છે એક્સ0 .

ચાલો સપ્રમાણ વિતરણની વધુ એક મિલકતની નોંધ લઈએ, જેનો ઉપયોગ નિર્ણય લેવાની સંભાવના-આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને અન્ય લાગુ સંશોધનમાં સતત થાય છે. સતત વિતરણ કાર્ય માટે

પી(a) = P (-a<Х a) = F(a) - F(-a),

જ્યાં એફ- રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય એક્સ.જો વિતરણ કાર્ય એફલગભગ 0 સપ્રમાણ છે, એટલે કે ફોર્મ્યુલા (6) તેના માટે માન્ય છે, તો પછી

પી(a) =2F(a) - 1.

પ્રશ્નમાં નિવેદનની બીજી રચનાનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: જો

જો અને - ઓર્ડરની માત્રા α અને 1- α તદનુસાર (જુઓ (2)) 0 વિશે સપ્રમાણ વિતરણ કાર્ય, પછી (6) થી તે અનુસરે છે

સ્થિતિની લાક્ષણિકતાઓમાંથી - ગાણિતિક અપેક્ષા, મધ્ય, સ્થિતિ - ચાલો રેન્ડમ ચલના ફેલાવાની લાક્ષણિકતાઓ તરફ આગળ વધીએ X:

ભિન્નતા , પ્રમાણભૂત વિચલન σ અને વિવિધતાના ગુણાંક વિ. અગાઉના પ્રકરણમાં અલગ રેન્ડમ ચલો માટે વિક્ષેપની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. સતત રેન્ડમ ચલો માટે

પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાના વર્ગમૂળનું બિન-નકારાત્મક મૂલ્ય છે:

વિવિધતાનો ગુણાંક એ ગાણિતિક અપેક્ષાના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ગુણોત્તર છે:

વિવિધતાનો ગુણાંક જ્યારે લાગુ થાય છે M(X)>0.તે સંબંધિત એકમોમાં ફેલાવાને માપે છે, જ્યારે પ્રમાણભૂત વિચલન સંપૂર્ણ એકમોમાં છે.

ઉદાહરણ 6.સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે એક્સચાલો વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન અને વિવિધતાના ગુણાંકને શોધીએ. તફાવત છે:

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ લખવાનું શક્ય બનાવે છે:

જ્યાં c = (b- એ)/2. તેથી, પ્રમાણભૂત વિચલન સમાન છે , અને વિવિધતાનો ગુણાંક છે:

દરેક રેન્ડમ ચલ માટે એક્સવધુ ત્રણ જથ્થા નક્કી કરો - કેન્દ્રિત વાય,સામાન્યકૃત વીઅને આપવામાં આવે છે યુ.કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ Y-આપેલ રેન્ડમ ચલ વચ્ચેનો તફાવત છે એક્સઅને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા M(X),તે Y= X - M(X).કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ Г ની ગાણિતિક અપેક્ષા 0 ની બરાબર છે, અને ભિન્નતા એ આ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ છે: M(Y) =0, D(Y) = D(X).વિતરણ કાર્ય એફવાય(x)કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ વાયવિતરણ કાર્ય સાથે સંબંધિત F(x)મૂળ રેન્ડમ ચલ એક્સગુણોત્તર

એફવાય(x) =F (x + M(X)).

આ રેન્ડમ ચલોની ઘનતા સમાનતાને સંતોષે છે

fવાય(x) =f (x + M(X)).

સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલ વીઆપેલ રેન્ડમ ચલનો ગુણોત્તર છે એક્સથી તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન σ , એટલે કે . સામાન્ય રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા અને વિચલન વીલક્ષણો દ્વારા વ્યક્ત એક્સતેથી:

જ્યાં વિ- મૂળ રેન્ડમ ચલની વિવિધતાનો ગુણાંક એક્સ.વિતરણ કાર્ય માટે એફવિ(x)અને ઘનતા fવિ(x)સામાન્યકૃત રેન્ડમ ચલ વીઅમારી પાસે છે:

જ્યાં F(x)- મૂળ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય X,a f(x) -તેની સંભાવના ઘનતા.

ઘટાડો રેન્ડમ ચલ યુ-આ કેન્દ્રિત અને સામાન્ય રેન્ડમ ચલ છે:

આપેલ રેન્ડમ ચલ માટે:

(7)

સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસો અને અલ્ગોરિધમ્સ, સોફ્ટવેર ઉત્પાદનો, નિયમનકારી, તકનીકી અને સૂચનાત્મક દસ્તાવેજીકરણ બંનેમાં સામાન્ય, કેન્દ્રિત અને ઘટાડેલા રેન્ડમ ચલોનો સતત ઉપયોગ થાય છે. ખાસ કરીને, કારણ કે પદ્ધતિઓના વાજબીપણું, પ્રમેયની રચના અને ગણતરીના સૂત્રોને સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે.

રેન્ડમ ચલોના પરિવર્તનો અને વધુ સામાન્ય લોકોનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી, જો Y= aX+ b,જ્યાં એઅને બી - પછી કેટલાક નંબરો

(8)

ઉદાહરણ 7.જો તે યુ -આપેલ રેન્ડમ ચલ, અને સૂત્રો (8) ફોર્મ્યુલામાં ફેરવાય છે (7).

દરેક રેન્ડમ ચલ સાથે એક્સતમે ઘણા રેન્ડમ ચલોને સાંકળી શકો છો વાય,સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે યુ= aX+bઅલગ પર a>0અને bઆ સમૂહ કહેવાય છે સ્કેલ-શિફ્ટ પરિવાર,રેન્ડમ ચલ દ્વારા જનરેટ થયેલ છે એક્સ.વિતરણ કાર્યો એફવાય(x)વિતરણ કાર્ય દ્વારા જનરેટ થયેલ વિતરણના સ્કેલ-શિફ્ટ કુટુંબની રચના કરો F(x).ની જગ્યાએ Y= aX+ bવારંવાર રેકોર્ડિંગનો ઉપયોગ કરો

(9)

નંબર સાથેશિફ્ટ પેરામીટર અને નંબર કહેવાય છે ડી- સ્કેલ પેરામીટર. ફોર્મ્યુલા (9) તે બતાવે છે X -ચોક્કસ જથ્થાને માપવાનું પરિણામ - Y માં જાય છે - જો માપની શરૂઆત એક બિંદુ પર ખસેડવામાં આવે તો સમાન જથ્થાને માપવાનું પરિણામ સાથે,અને પછી માપનના નવા એકમનો ઉપયોગ કરો, માં ડીજૂના કરતાં ગણી મોટી.

સ્કેલ-શિફ્ટ પરિવાર (9) માટે, X નું વિતરણ પ્રમાણભૂત કહેવાય છે. નિર્ણય લેવાની સંભવિત આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને અન્ય લાગુ સંશોધનમાં, પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણ, માનક વેઇબુલ-ગ્નેડેન્કો વિતરણ, પ્રમાણભૂત ગામા વિતરણ વગેરેનો ઉપયોગ થાય છે (નીચે જુઓ).

રેન્ડમ ચલોના અન્ય રૂપાંતરણોનો પણ ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકારાત્મક રેન્ડમ ચલ માટે એક્સવિચારી રહ્યા છે Y=g X,જ્યાં એલજી એક્સ- સંખ્યાનો દશાંશ લઘુગણક એક્સ.સમાનતાની સાંકળ

સેવાસ્તોપોલ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી

એમએમ. ઘાશિમ, ટી.વી. સેર્નાઉતાનુ

રેન્ડમ લક્ષણો

ટ્યુટોરીયલ

મંજૂર

સંસ્થાની વૈજ્ઞાનિક પરિષદ

સેવાસ્તોપોલ

ઘાશિમ M.M., T.V.Cerneutanu

રેન્ડમ કાર્યો: શૈક્ષણિક પદ્ધતિ. ભથ્થું - સેવાસ્તોપોલ: સેવજીયુ, 2015.

આ માર્ગદર્શિકા ત્રણ મુખ્ય વિભાગોને આવરી લે છે: “ ”, “ ”, “ “. દરેક વિભાગમાં મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નો, લાક્ષણિક ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ અને તેમના જવાબો સાથે સ્વતંત્ર કાર્ય માટેના કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે.

"" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે ત્રીજા વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ.

સમીક્ષકો:

પીએચ.ડી.,

પીએચ.ડી., એસોસિયેટ પ્રોફેસર

એસોસિયેટ પ્રોફેસર NK.Ph.S

© SevGU પબ્લિશિંગ હાઉસ, 2015

§ 1. રેન્ડમ ફંક્શનનો ખ્યાલ………………………………………

§ 2. રેન્ડમ કાર્યોની લાક્ષણિકતાઓ………………………………

§ 3. ડાયનેમિક સિસ્ટમના ઓપરેટર……………………………….

§ 4. રેન્ડમ ફંક્શન્સનું રેખીય પરિવર્તન………………

§ 5. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ……………………

§ 6. સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનનું સ્પેક્ટ્રલ વિસ્તરણ………

§ 7. સ્થિર રેન્ડમ કાર્યોની અર્ગોડિક મિલકત………….

લાક્ષણિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ………………………………………………………..

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેની સમસ્યાઓ ………………………………

સાહિત્ય ………………………………………………………………

રેન્ડમ લક્ષણો

રેન્ડમ ફંક્શનનો ખ્યાલ.

સંભાવના સિદ્ધાંતના અભ્યાસક્રમમાં, અભ્યાસનો મુખ્ય વિષય રેન્ડમ ચલ હતા, જે એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યા હતા કે પ્રયોગના પરિણામે તેઓએ એક પર લીધો, અગાઉથી અજાણ, પરંતુ માત્ર એક મૂલ્ય. એટલે કે, રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાનો અભ્યાસ "સ્ટેટિક્સ" માં, એક અલગ પ્રયોગની કેટલીક નિશ્ચિત સ્થિર પરિસ્થિતિઓમાં કરવામાં આવ્યો હતો. જો કે, વ્યવહારમાં વ્યક્તિએ વારંવાર રેન્ડમ ચલોનો સામનો કરવો પડે છે જે પ્રયોગ દરમિયાન સતત બદલાતા રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલતા લક્ષ્યને સતત લક્ષ્ય રાખતી વખતે મુખ્ય કોણ; નિયંત્રણ અથવા હોમિંગ દરમિયાન સૈદ્ધાંતિક એકમાંથી માર્ગદર્શિત અસ્ત્રના માર્ગનું વિચલન, વગેરે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, સ્વયંસંચાલિત નિયંત્રણ સાથેની કોઈપણ સિસ્ટમો સંબંધિત સૈદ્ધાંતિક આધાર પર ચોક્કસ જરૂરિયાતો લાદે છે - સ્વચાલિત નિયંત્રણનો સિદ્ધાંત. આ સિદ્ધાંતનો વિકાસ એ ભૂલોનું વિશ્લેષણ કર્યા વિના અશક્ય છે કે જે અનિવાર્યપણે નિયંત્રણ પ્રક્રિયાઓ સાથે હોય છે, જે હંમેશા સતત ઓપરેટીંગ રેન્ડમ વિક્ષેપ અથવા "દખલગીરી" ની પરિસ્થિતિઓ હેઠળ થાય છે. આ વિક્ષેપ તેમના સ્વભાવ દ્વારા રેન્ડમ કાર્યો છે. તેથી:

વ્યાખ્યા . રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) ને બિન-રેન્ડમ દલીલનું કાર્ય કહેવામાં આવે છે t, જે દલીલના દરેક નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે રેન્ડમ ચલ છે.

રેન્ડમ ફંક્શન દ્વારા લેવામાં આવેલ ચોક્કસ ફોર્મ એક્સ(t) અનુભવના પરિણામે કહેવાય છે અમલીકરણ રેન્ડમ કાર્ય.

ઉદાહરણ . હવાઈ ​​માર્ગ પરના વિમાનમાં સૈદ્ધાંતિક રીતે સતત એરસ્પીડ હોય છે વી. હકીકતમાં, તેની ઝડપ આ સરેરાશ નજીવા મૂલ્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે અને તે સમયનું રેન્ડમ કાર્ય છે. ફ્લાઇટને એક પ્રયોગ તરીકે ગણી શકાય જેમાં રેન્ડમ ફંક્શન વી(t) ચોક્કસ અમલીકરણ સ્વીકારે છે (ફિગ. 1).

અમલીકરણનો પ્રકાર અનુભવથી અનુભવમાં બદલાય છે. જો એરોપ્લેન પર રેકોર્ડર ઇન્સ્ટોલ કરેલું હોય, તો દરેક ફ્લાઇટમાં તે રેન્ડમ ફંક્શનનું અમલીકરણ, અન્ય કરતા અલગ, નવું રેકોર્ડ કરશે. ઘણી ફ્લાઈટ્સના પરિણામે, કોઈ રેન્ડમ ફંક્શનના અમલીકરણનું કુટુંબ મેળવી શકે છે વી(t) (ફિગ.2).

વ્યવહારમાં, ત્યાં રેન્ડમ ફંક્શન્સ છે જે એક દલીલ પર આધારિત નથી, પરંતુ ઘણા પર આધારિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, વાતાવરણની સ્થિતિ (તાપમાન, દબાણ, પવન, વરસાદ). આ કોર્સમાં આપણે માત્ર એક દલીલના રેન્ડમ ફંક્શન્સને ધ્યાનમાં લઈશું. આ દલીલ મોટાભાગે સમયની હોવાથી, અમે તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીશું t. વધુમાં, અમે મોટા અક્ષરો સાથે રેન્ડમ ફંક્શન્સને દર્શાવવા માટે સંમત છીએ એક્સ(t), વાય(t), …) નોન-રેન્ડમ ફંક્શન્સથી વિપરીત ( x(t),y(t), …).

કેટલાક રેન્ડમ કાર્ય ધ્યાનમાં લો એક્સ(t). ચાલો માની લઈએ કે તે થઈ ગયું છે nસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેના પરિણામે n અમલીકરણો પ્રાપ્ત થયા, જેને આપણે પ્રયોગોની સંખ્યા અનુસાર દર્શાવીએ છીએ x 1 (t), x 2 (t), …, x n(t). દેખીતી રીતે, દરેક અમલીકરણ એ એક સામાન્ય (રેન્ડમ નથી) કાર્ય છે. આમ, દરેક પ્રયોગના પરિણામે, રેન્ડમ ફંક્શન એક્સ(t) નોન-રેન્ડમ ફંક્શનમાં ફેરવાય છે.

ચાલો હવે દલીલની કેટલીક કિંમત નક્કી કરીએ t. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) રેન્ડમ ચલમાં ફેરવાશે.

વ્યાખ્યા. વિભાગ રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) એ રેન્ડમ ફંક્શનની દલીલના નિશ્ચિત મૂલ્યને અનુરૂપ રેન્ડમ ચલ છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે રેન્ડમ ફંક્શન રેન્ડમ વેરીએબલ અને ફંક્શનના લક્ષણોને જોડે છે. ભવિષ્યમાં આપણે વારંવાર એક જ કાર્યને વૈકલ્પિક રીતે ધ્યાનમાં લઈશું એક્સ(t) કાં તો રેન્ડમ ફંક્શન તરીકે અથવા રેન્ડમ ચલ તરીકે, તે પરિવર્તનની સમગ્ર શ્રેણીમાં ગણવામાં આવે છે કે કેમ તેના આધારે tઅથવા તેના નિશ્ચિત મૂલ્ય પર.

રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લો એક્સ(t) - આ ક્ષણે રેન્ડમ ફંક્શનનો ક્રોસ સેક્શન t. આ રેન્ડમ ચલમાં દેખીતી રીતે વિતરણ કાયદો છે, જે સામાન્ય રીતે તેના પર આધાર રાખે છે t. ચાલો તેને સૂચિત કરીએ f(x, t). કાર્ય f(x, t) કહેવાય છે એક-પરિમાણીય વિતરણ કાયદોરેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t).

દેખીતી રીતે કાર્ય f(x, t) એ રેન્ડમ ફંક્શનની સંપૂર્ણ, સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા નથી એક્સ(t), કારણ કે તે માત્ર વિતરણ કાયદાને જ દર્શાવે છે એક્સ(tઆપેલ માટે, મનસ્વી હોવા છતાં tઅને રેન્ડમ ચલોની અવલંબન વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપતો નથી એક્સ(t) વિવિધ માટે t. આ દૃષ્ટિકોણથી, રેન્ડમ ફંક્શનનું વધુ સંપૂર્ણ પાત્રાલેખન એક્સ(t) કહેવાતા છે દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ કાયદો: f(x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). આ બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમના વિતરણનો નિયમ છે એક્સ(t 1), એક્સ(t 2), એટલે કે. રેન્ડમ ફંક્શનના બે મનસ્વી વિભાગો એક્સ(t). પરંતુ આ લાક્ષણિકતા સામાન્ય કિસ્સામાં સંપૂર્ણ નથી. દેખીતી રીતે, સૈદ્ધાંતિક રીતે દલીલોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારો કરવો અને રેન્ડમ ફંક્શનનું વધુને વધુ સંપૂર્ણ વર્ણન મેળવવું શક્ય છે, પરંતુ ઘણી દલીલો પર આધાર રાખતી આવી બોજારૂપ લાક્ષણિકતાઓ સાથે કામ કરવું અત્યંત મુશ્કેલ છે. આ કોર્સની અંદર, અમે વિતરણ કાયદાનો બિલકુલ ઉપયોગ કરીશું નહીં, પરંતુ રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની જેમ, રેન્ડમ ફંક્શન્સની સરળ લાક્ષણિકતાઓને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીશું.

જટિલ સ્તરીય કાર્યને કાર્ય કહેવામાં આવે છે

ઝેડ(t)=X(t)+વાય(t)i,

જ્યાં એક્સ(t) અને વાય(t- વાસ્તવિક દલીલના વાસ્તવિક રેન્ડમ કાર્યો t.

ચાલો આપણે ગાણિતિક અપેક્ષાઓની વ્યાખ્યાઓ અને જટિલ રેન્ડમ વિધેયોના ભિન્નતાનું સામાન્યીકરણ કરીએ જેથી કરીને, ખાસ કરીને, Y = 0 પર, આ લાક્ષણિકતાઓ વાસ્તવિક રેન્ડમ કાર્યો માટે અગાઉ રજૂ કરાયેલી લાક્ષણિકતાઓ સાથે એકરુપ થાય, એટલે કે, જેથી જરૂરિયાતો પૂરી થાય:

m z(t)=m x(t)(*)

ડી ઝેડ(t)=D x(t)(**)

ગાણિતિક,રાહ જોવી,જટિલ રેન્ડમ ફંક્શન Z(t)=એક્સ(t)+વાય(t)iએક જટિલ કાર્ય કહેવાય છે (નોન-રેન્ડમ)

m z ( t)=m x(t)+m y(t)i.

ખાસ કરીને, Y=0 માટે આપણને મળે છે t z(t)=t x(t), તે. જરૂરિયાત (*) સંતુષ્ટ છે.

જટિલ રેન્ડમ ફંક્શન Zનું વિક્ષેપ(t) એ કેન્દ્રિત ફંક્શનના સ્ક્વેર મોડ્યુલસની ગાણિતિક અપેક્ષા છે ઝેડ(t):

ડી ઝેડ(t)=એમ[| (t)| 2 ].

ખાસ કરીને, Y==0 માટે આપણે D z ( t)= એમ[| (t)|] 2 =D x(t), એટલે કે જરૂરિયાત (**) સંતુષ્ટ છે.

સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા એ શરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે તે ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે

ડી ઝેડ(t)=એમ[| (t)| 2 ]=એમ{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=એમ[ (t)] 2 +એમ[ (t) 2 ]=ડી એક્સ(t)+D y(t).

તેથી, જટિલ રેન્ડમ ફંક્શનનું વિચલન તેના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલું છે:

ડી z ( t)=D x(t)+D y(t).

તે જાણીતું છે કે વાસ્તવિક રેન્ડમ ફંક્શનનું સહસંબંધ કાર્ય એક્સ(t) દલીલોના વિવિધ મૂલ્યો માટે તફાવત સમાન છે ડી એક્સ(t). ચાલો જટિલ રેન્ડમ ફંક્શન માટે સહસંબંધ કાર્યની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવીએ ઝેડ(t) જેથી દલીલોના સમાન મૂલ્યો માટે t 1 =t 2 =tસહસંબંધ કાર્ય K z(t,t) તફાવતની સમાન હતી ડી ઝેડ(t), એટલે કે, જેથી જરૂરિયાત પૂરી થાય

K z(t,t)=D z(t). (***)

જટિલ રેન્ડમ ફંક્શન Z નું સહસંબંધ કાર્ય(t) ને ક્રોસ વિભાગોની સહસંબંધ ક્ષણ કહેવામાં આવે છે ( t 1) અને ( t 2)

K z(t 1 ,t 2)= એમ.

ખાસ કરીને, દલીલોના સમાન મૂલ્યો સાથે

K z(t,t)= એમ=એમ[| | 2 ]=ડી ઝેડ(t).

એટલે કે જરૂરિયાત (***) સંતુષ્ટ છે.

જો વાસ્તવિક રેન્ડમ કાર્યો એક્સ(t) અને વાય(t) પછી સહસંબંધિત છે

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].

જો એક્સ(t) અને વાય(t) પછી સહસંબંધ નથી

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).

ચાલો જટિલ રેન્ડમ ફંક્શન માટે ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શનની વ્યાખ્યાને સામાન્ય બનાવીએ ઝેડ 1 (t)=એક્સ 1 (t)+વાય 1 (t)iઅને ઝેડ 2 (t)=એક્સ 2 (t)+વાય 2 (t)iજેથી, ખાસ કરીને, જ્યારે વાય 1 =Y 2 = 0 જરૂરિયાત પૂરી થઈ

બે જટિલ રેન્ડમ કાર્યોનું ક્રોસ કોરિલેશન ફંક્શનફંક્શનને કૉલ કરો (નોન-રેન્ડમ)

ખાસ કરીને, જ્યારે વાય 1 =Y 2 =0 આપણને મળે છે

એટલે કે જરૂરિયાત (****) સંતુષ્ટ છે.

બે જટિલ રેન્ડમ વિધેયોના ક્રોસ-સંબંધ ફંક્શનને તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના ક્રોસ-સંબંધ કાર્યો દ્વારા નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

કાર્યો

1. રેન્ડમ ફંક્શન્સની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો:

a) એક્સ(t)= Ut 2 જ્યાં યુ-રેન્ડમ ચલ, અને એમ(યુ)=5 ,

b)એક્સ(t)=યુ cos2 t+Vt, ક્યાં યુઅને વી-રેન્ડમ ચલો, અને એમ(યુ)=3 ,એમ(વી)=4 .

પ્રતિનિધિ a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. કે એક્સ(t 1 ,t 2) રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). રેન્ડમ વિધેયોના સહસંબંધ કાર્યો શોધો:

a) વાય(t)=X(t)+t; b) વાય(t)=(t+1)એક્સ(t); વી) વાય(t)=4X(t).

પ્રતિનિધિ a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1,t 2); c) K y (t 1,t 2)=16 K x (t 1,t 2)=.

3. વિચલન સ્પષ્ટ થયેલ છે ડી એક્સ(t) રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). અવ્યવસ્થિત કાર્યોનો તફાવત શોધો: a) વાય(t)=X(t)+e t b)વાય(t)=tX(t).

જવાબ આપો. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 ડી એક્સ(t).

4. શોધો: a) ગાણિતિક અપેક્ષા; b) સહસંબંધ કાર્ય; c) રેન્ડમ ફંક્શનનું વિચલન એક્સ(t)=યુસિન 2t, ક્યાં યુ-રેન્ડમ ચલ, અને એમ(યુ)=3 ,ડી(યુ)=6 .

જવાબ આપો. એ) m x(t) =3પાપ 2t; b) કે એક્સ(t 1 ,t 2)= 6પાપ 2t 1 પાપ 2t 2; વી) ડી એક્સ(t)=6પાપ 2 2t.

5. રેન્ડમ ફંક્શનનું સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય શોધો એક્સ(t), તેના સહસંબંધ કાર્યને જાણીને કે એક્સ(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -ટી 1).

પ્રતિનિધિ ρ x (t 1 ,t 2) = cos(t 2 -t 1).

6. શોધો: a) પરસ્પર સહસંબંધ કાર્ય; b) બે રેન્ડમ ફંક્શન્સનું સામાન્યકૃત ક્રોસ-કોરિલેશન ફંક્શન એક્સ(t)=(t+1)યુ, અને Y( t)= (t 2 + 1)યુ, ક્યાં યુ-રેન્ડમ ચલ, અને ડી(યુ)=7.

જવાબ આપો. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 + l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.

7. રેન્ડમ ફંક્શન આપવામાં આવે છે એક્સ(t)= (ટી- 1)યુઅને વાય(t)=t 2 યુ, ક્યાં યુઅને વી-અસંબંધિત રેન્ડમ ચલ, અને એમ(યુ)=2, એમ(વી)= 3,ડી(યુ)=4 , ડી(વી)=5 . શોધો: a) ગાણિતિક અપેક્ષા; b) સહસંબંધ કાર્ય; c) સરવાળાનો તફાવત ઝેડ(t)=X(t)+વાય(t).

નોંધ. ખાતરી કરો કે આપેલ રેન્ડમ ફંક્શનનું ક્રોસ-સંબંધ ફંક્શન શૂન્ય બરાબર છે અને તેથી, એક્સ(t) અને વાય(t) સહસંબંધ નથી.

જવાબ આપો. એ) m z(t)=2(ટી- 1)+3t 2; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; વી) ડી ઝેડ(t)=4(ટી- 1) 2 +6ટી 4.

8. ગાણિતિક અપેક્ષા આપવામાં આવે છે m x(t)=t 2 +1 રેન્ડમ ફંક્શન એક્સ(t). તેના વ્યુત્પન્નની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

9. ગાણિતિક અપેક્ષા આપવામાં આવે છે m x(t)=t 2 +3 રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t)=tX"(t)+t 3.

પ્રતિનિધિ m y (t)=t 2 (t+2).

10. સહસંબંધ કાર્ય આપેલ છે કે એક્સ(t 1 ,t 2) = રેન્ડમ ફંક્શન એક્સ(t). તેના વ્યુત્પન્નનું સહસંબંધ કાર્ય શોધો.

11. સહસંબંધ કાર્ય આપેલ છે કે એક્સ(t 1 ,t 2) = રેન્ડમ ફંક્શન એક્સ(t). ક્રોસ સહસંબંધ કાર્યો શોધો.