અલગ એકવચન બિંદુના પ્રકારનું નિર્ધારણ. એકવચન બિંદુ

ટેલર રેન્ક સેવા આપે છે અસરકારક માધ્યમવર્તુળ ઝોલમાં વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે રિંગ ડોમેનમાં વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે, ટેલર વિસ્તરણને સામાન્ય બનાવતા ફોર્મની હકારાત્મક અને નકારાત્મક શક્તિઓ (z - zq) માં વિસ્તરણ બાંધવાનું શક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. શ્રેણી (1), જે બે શ્રેણીના સરવાળા તરીકે સમજવામાં આવે છે, તેને લોરેન્ટ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે શ્રેણી (1) ના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ છે એક સામાન્ય ભાગદરેક શ્રેણીના કન્વર્જન્સના ક્ષેત્રો (2). ચાલો તેણીને શોધીએ. પ્રથમ શ્રેણીના કન્વર્જન્સનું ક્ષેત્રફળ એક વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા કોચી-હડામાર્ડ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, શ્રેણી (3) એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને નાના ત્રિજ્યાના કોઈપણ વર્તુળમાં તે એકરૂપ થાય છે. સંપૂર્ણપણે અને સમાનરૂપે. બીજી પંક્તિ છે પાવર શ્રેણીચલની તુલનામાં, શ્રેણી (5) તેના કન્વર્જન્સના વર્તુળની અંદર એક જટિલ ચલ m-*oo ના વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં કન્વર્જ થાય છે, અને નાના ત્રિજ્યાના કોઈપણ વર્તુળમાં તે એકદમ અને સમાન રીતે કન્વર્જ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કન્વર્જન્સનો વિસ્તાર શ્રેણી (4) વર્તુળની બહાર છે - જો તે અસ્તિત્વમાં છે સામાન્ય વિસ્તારશ્રેણી (3) અને (4) નું કન્વર્જન્સ - એક ગોળાકાર રિંગ જેમાં શ્રેણી (1) વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં કન્વર્જ થાય છે. તદુપરાંત, કોઈપણ રીંગમાં, તે એકદમ અને સમાનરૂપે એકરૂપ થાય છે. ઉદાહરણ 1. રેડ લોરેન્ટ સિરીઝ આઇસોલેટેડના કન્વર્જન્સનો પ્રદેશ નક્કી કરો એકવચન બિંદુઓઅને તેમનું વર્ગીકરણ M પ્રથમ પંક્તિના સંપાતનો વિસ્તાર વર્તુળની બહારનો છે, અને બીજી હરોળના સંપાતનો વિસ્તાર વર્તુળની અંદરનો છે. આ શ્રેણીવર્તુળ પ્રમેય 15 માં કન્વર્જ થાય છે. ગોળાકાર રિંગમાં કોઈપણ ફંક્શન f(z), સિંગલ-વેલ્યુડ અને અપોલિટિકલને આ રિંગમાં કન્વર્જન્ટ સિરીઝના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેના ગુણાંક Cn વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેની ગણતરી અનુસાર સૂત્રો જ્યાં 7p એ ત્રિજ્યા m નું વર્તુળ છે ચાલો R ને રિંગ મનસ્વી બિંદુ z ની અંદર ઠીક કરીએ. ચાલો બિંદુ r પર કેન્દ્રો સાથે વર્તુળો બનાવીએ, જેની ત્રિજ્યા અસમાનતાને સંતોષે છે અને નવી પો રિંગને ધ્યાનમાં લઈએ. અભિન્ન પ્રમેયમલ્ટીપ્લાય કનેક્ટેડ ડોમેન માટે કોચી અમારી પાસે છે અમે સરવાળા (8) માં દરેક ઇન્ટિગ્રલને અલગથી રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. વર્તુળ 7d* ની સાથેના તમામ બિંદુઓ માટે એકસરખી કન્વર્જન્ટ શ્રેણી 1 1 નો સરવાળો સંબંધ સંતુષ્ટ છે તેથી, અપૂર્ણાંક ^ ને vi- / "/ માં બંને ભાગોને સતત કાર્ય (O અને વહન કરીને) માં રજૂ કરી શકાય છે. વર્તુળ સાથે ટર્મ-બાય-ટર્મ એકીકરણ, અમે મેળવીએ છીએ કે અમે બીજા અવિભાજ્યનું રૂપાંતરણ વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ માટે કરીએ છીએ. તેથી, અપૂર્ણાંક ^ રજૂ કરી શકાય છે બંને ભાગોને સતત ફંક્શન દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને વર્તુળ 7/ સાથે એકીકૃત કરીને સમાન રીતે સંકલિત શ્રેણીના સરવાળા તરીકે, અમે નોંધ કરીએ છીએ કે સૂત્ર (10) અને (12) એક પરિપત્ર રિંગમાં વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો છે. તેથી, કોચીના પ્રમેય દ્વારા, જો આપણે વર્તુળો 7/r અને 7r/ ને કોઈપણ વર્તુળ સાથે બદલીએ તો અનુરૂપ પૂર્ણાંકોના મૂલ્યો બદલાશે નહીં. સૂત્ર (8) ની જમણી બાજુ તેમના અભિવ્યક્તિઓ (9) અને (11) સાથે, અનુક્રમે, અમે ઇચ્છિત વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ કારણ કે z - મનસ્વી બિંદુરિંગ, પછી તે અનુસરે છે કે શ્રેણી (14) આ રિંગમાં દરેક જગ્યાએ f(z) ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે, અને કોઈપણ રિંગમાં શ્રેણી આ ફંક્શનમાં એકદમ અને એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે. ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે ફોર્મ (6) નું વિઘટન અનન્ય છે. ચાલો ધારીએ કે ત્યાં વધુ એક વિસ્તરણ છે પછી રિંગ R ની અંદર દરેક જગ્યાએ આપણી પાસે વર્તુળ પર, શ્રેણી (15) એકસરખી રીતે કન્વર્જ થશે. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરીએ (જ્યાં m એ નિશ્ચિત પૂર્ણાંક છે, અને બંને શ્રેણીના પદને શબ્દ દ્વારા એકીકૃત કરીએ છીએ. પરિણામે, આપણે ડાબી બાજુએ અને જમણી બાજુએ મેળવીએ છીએ - St. આમ, (4, = St. ત્યારથી) m - મનસ્વી સંખ્યા, પછી છેલ્લી સમાનતા વિઘટનની વિશિષ્ટતા સાબિત કરે છે. શ્રેણી (6), જેના ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રો (7) નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, તેને રિંગમાં ફંક્શન f(z) ની લૉરેન્ટ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે નકારાત્મક શક્તિઓલોરેન્ટ શ્રેણીનો સાચો ભાગ કહેવાય છે, અને નકારાત્મક સાથે - તેના મુખ્ય ભાગ. લોરેન્ટ શ્રેણીના ગુણાંક માટેના સૂત્રો (7) ભાગ્યે જ વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, કારણ કે, એક નિયમ તરીકે, તેમને બોજારૂપ ગણતરીઓની જરૂર પડે છે. સામાન્ય રીતે, જો શક્ય હોય તો, તૈયાર ટેલર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો. વિઘટનની વિશિષ્ટતાના આધારે, કોઈપણ કાનૂની પદ્ધતિ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે. ઉદાહરણ 2. ફંક્શનના લોરેન્ટ શ્રેણીના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો વિવિધ વિસ્તારો, Fuiscia સ્વીકારવા /(g) બે એકવચન બિંદુઓ ધરાવે છે: . પરિણામે, r = 0 બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રણ વલયાકાર પ્રદેશો છે. તેમાંના દરેકમાં ફંક્શન f(r) વિશ્લેષણાત્મક છે: a) એક વર્તુળ એ એક રિંગ છે, વર્તુળની બહારનો ભાગ (ફિગ. 27). ચાલો આ દરેક પ્રદેશોમાં ફંક્શન /(z) ના લોરેન્ટ વિસ્તરણ શોધીએ. ચાલો /(z)ને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ a) વર્તુળ અમે સંબંધને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ (16) શબ્દોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક પ્રગતિ, અમે મળેલા વિસ્તરણને સૂત્ર (17) માં બદલીએ છીએ: આ વિસ્તરણ કાર્ય /(z) ની ટેલર શ્રેણી છે. b) ફંક્શન -r માટેની રિંગ આ રિંગમાં કન્વર્જન્ટ રહે છે, કારણ કે |z| માટે ફંક્શન j^j માટે શ્રેણી (19) > 1 અલગ પડે છે. તેથી, અમે ફંક્શન /(z) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: ફરીથી ફોર્મ્યુલા (19) લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ કે આ શ્રેણી માટે કન્વર્જ થાય છે. વિસ્તરણ (18) અને (21) ને સંબંધ (20) માં બદલીને, આપણે c) |z| માટે -z ફંક્શન માટે વર્તુળનો બાહ્ય ભાગ મેળવીએ છીએ. > ફંક માટે 2 અલગ પડે છે અને શ્રેણી (21) - ચાલો ફંક્શન /(z) ને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ: /<*>સૂત્રો (18) અને (19) નો ઉપયોગ કરીને, અમે OR 1 મેળવીએ છીએ આ ઉદાહરણ બતાવે છે કે સમાન કાર્ય f(z) માટે લોરેન્ટ વિસ્તરણ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિવિધ પ્રકારનુંવિવિધ રિંગ્સ માટે. ઉદાહરણ 3. ફંક્શન લોરેન્ટ સિરીઝની 8મી લોરેન્ટ શ્રેણીનું વિસ્તરણ શોધો અલગ એકવચન બિંદુઓ અને રિંગ ડોમેન A માં તેમનું વર્ગીકરણ અમે નીચેના સ્વરૂપમાં ફંક્શન f(z) ની રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અને બીજા શબ્દનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતર કરો. ભૌમિતિક પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર, આપણે મળેલા સમીકરણોને સૂત્ર (22) માં બદલીને મેળવીએ છીએ, અમારી પાસે ઉદાહરણ 4 છે. લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યને zq = 0 બિંદુએ વિસ્તૃત કરો. કોઈપણ સંકુલ માટે આપણે આ મૂકો વિસ્તરણ કોઈપણ બિંદુ z Ф 0. માં માટે માન્ય છે આ બાબતેવલયાકાર ક્ષેત્ર એ સમગ્ર જટિલ સમતલને એક ફેંકી દેવામાં આવેલા બિંદુ z - 0 સાથે રજૂ કરે છે. આ પ્રદેશને નીચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: આ કાર્ય લોરેન્ટ શ્રેણીના ગુણાંક માટેના સૂત્રો (13)માંથી પ્રદેશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે, તેનો ઉપયોગ કરીને પાછલા ફકરાની જેમ તર્ક, કોઈ અસમાનતા કોઉઇવ મેળવી શકે છે. જો ફંક્શન f(z) વર્તુળ પર બંધાયેલું હોય, જ્યાં M એ અચળ હોય છે), તો અલગ એકવચન બિંદુઓ બિંદુ zo એ ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ કહેવાય છે જો બિંદુની એક રિંગ પડોશી હોય તો ( આ સમૂહને કેટલીકવાર બિંદુ 2o ના પંચર પડોશી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જેમાં ફંકશન f(z) અનન્ય અને વિશ્લેષણાત્મક છે. પોઈન્ટ zo પર જ, કાર્ય કાં તો અવ્યાખ્યાયિત છે અથવા અસ્પષ્ટ અને વિશ્લેષણાત્મક નથી. બિંદુ zo સુધી પહોંચતી વખતે કાર્ય /(r) ની વર્તણૂકના આધારે, ત્રણ પ્રકારના એકવચન બિંદુઓને અલગ પાડવામાં આવે છે. એક અલગ એકવચન બિંદુ કહેવાય છે: 1) જો ત્યાં મર્યાદિત હોય તો દૂર કરી શકાય તેવું 2) પાયમુસાચ જો 3) આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ જો ફંક્શન f(z) પર કોઈ મર્યાદા ન હોય તો એક અલગ એકવચન બિંદુનો પ્રકાર નજીકથી સંબંધિત છે ના પંચર કેન્દ્ર દ્વારા કાર્યના લોરેન્ટ વિસ્તરણની પ્રકૃતિ. પ્રમેય 16. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ z0 એ દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે જો અને માત્ર જો બિંદુ zo ના પડોશમાં ફંક્શન f(z) ના લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં મુખ્ય ભાગ ન હોય, એટલે કે, ફોર્મ ધરાવે છે ચાલો zo ને દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ છે. પછી ત્યાં એક સીમિત છે, તેથી, ફંક્શન f(z) બિંદુ z ના પ્રોકોલોજિકલ પડોશમાં બંધાયેલું છે અમે કોચીની અસમાનતાના આધારે મૂકીએ છીએ કારણ કે p ને મનસ્વી રીતે નાના તરીકે પસંદ કરી શકાય છે, પછી બધા ગુણાંક નકારાત્મક શક્તિઓ (z) પર છે. - 20) શૂન્યની બરાબર છે: તેનાથી વિપરિત, લોરેન્ટને zq બિંદુના પડોશમાં ફંક્શન /(r) નું વિસ્તરણ કરવા દો તેમાં માત્ર સાચો ભાગ છે, એટલે કે, તેનું સ્વરૂપ (23) છે અને તેથી, તે છે. ટેલર. તે જોવાનું સરળ છે કે z -* z0 માટે ફંક્શન /(z) ની મર્યાદા મૂલ્ય છે: પ્રમેય 17. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ zq જો અને ફંક્શન J(z) હોય તો જ દૂર કરી શકાય તેવું છે. બિંદુ zq ના કેટલાક પંચર પડોશમાં બંધાયેલ છે, Zgmechai નથી. ચાલો r એ ફંક્શન /(r) ના દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ બનીએ. ધારીએ છીએ કે ફંક્શન /(r) બિંદુ r પર કેન્દ્ર સાથે કેટલાક વર્તુળમાં વિશ્લેષણાત્મક છે. આ બિંદુનું નામ નક્કી કરે છે - દૂર કરી શકાય તેવું. પ્રમેય 18. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ zq એ ધ્રુવ છે જો અને માત્ર જો મુખ્ય ભાગબિંદુના પડોશમાં ફંક્શન f(z) ના લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં બિનશૂન્ય પદોની મર્યાદિત (અને હકારાત્મક) સંખ્યા હોય છે, એટલે કે, તેનું સ્વરૂપ 4 z0 ને ધ્રુવ હોય છે. ત્યારથી બિંદુ z0 ની એક પંચર પડોશી છે જેમાં ફંક્શન f(z) વિશ્લેષણાત્મક અને બિનશૂન્ય છે. પછી આ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યઅને પરિણામે, બિંદુ zq એ ફંક્શનનો દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ (શૂન્ય) છે અથવા જ્યાં h(z) એ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે, h(z0) Φ 0. પછી h(zo) Φ 0 પણ વિશ્લેષણાત્મક છે, પછી ફંક્શન u બિંદુ zq ની પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે, અને તેથી, જ્યાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ ચાલો હવે માની લઈએ કે ફંક્શન f(z) નું વિસ્તરણ છે (24) બિંદુ zо ના પંચર પડોશમાં. આનો અર્થ એ છે કે આ પડોશમાં ફંક્શન f(z) ફંક્શન સાથે વિશ્લેષણાત્મક છે. ફંક્શન g(z) માટે વિસ્તરણ માન્ય છે, જેમાંથી જોઈ શકાય છે કે zq એ ફંક્શન g(z) નું એકવચન છે અને અસ્તિત્વમાં છે બીજી સરળ હકીકત છે. બિંદુ Zq એ ફંક્શન f(z) નો ધ્રુવ છે જો અને માત્ર જો ફંક્શન g(z) = yj ને g(z0) = 0 સેટ કરીને બિંદુ zq ના પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય. ક્રમ ફંક્શન f(z) ના ધ્રુવને ફંક્શન jfa નો શૂન્ય ક્રમ કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 16 અને 18 થી તે અનુસરે છે નીચેનું નિવેદન. પ્રમેય 19. એક અલગ એકવચન બિંદુ અનિવાર્યપણે એકવચન છે જો અને માત્ર જો આ બિંદુના પંચર પડોશમાં લોરેન્ટ વિસ્તરણનો મુખ્ય ભાગ અનંતપણે ઘણા બિનશૂન્ય શબ્દો ધરાવે છે. ઉદાહરણ 5. ફંક્શનનો એકવચન બિંદુ zo = 0 છે. અમારી પાસે લોરેન્ટ સિરીઝ આઇસોલેટેડ એકવચન બિંદુઓ અને તેમનું વર્ગીકરણ છે તેથી, zo = O એ દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ છે. ફંક્શન /(z) નું પડોશમાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં વિસ્તરણ શૂન્ય બિંદુમાત્ર સાચો ભાગ સમાવે છે: Example7. /(z) = ફંક્શન f(z) નો એકવચન બિંદુ zq = 0 છે. ચાલો વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષો પર આ ફંક્શનના વર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ: on વાસ્તવિક ધરી x 0 પર, કાલ્પનિક ધરી પર તેથી, ન તો મર્યાદિત અને ન તો અનંત મર્યાદા z -* 0 માટે f(z) અસ્તિત્વમાં નથી. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ r = 0 એ ફંક્શન f(z) નો આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે. ચાલો શૂન્ય બિંદુની નજીકમાં ફંક્શન f(z) નું લોરેન્ટ વિસ્તરણ શોધીએ. કોઈપણ જટિલ C માટે અમારી પાસે સેટ છે. પછી લોરેન્ટ વિસ્તરણ રાક્ષસ સમાવે છે અંતિમ સંખ્યા z ની નકારાત્મક શક્તિઓ સાથેની શરતો.

બે સ્વાયત્ત સિસ્ટમો દ્વારા વર્ણવેલ મોડલ વિભેદક સમીકરણો.

તબક્કો પ્લેન. તબક્કો પોટ્રેટ. આઇસોક્લિન પદ્ધતિ. મુખ્ય isoclines. ટકાઉપણું સ્થિર પરિસ્થિતિ. લીનિયર સિસ્ટમ્સ. એકવચન બિંદુઓના પ્રકાર: નોડ, સેડલ, ફોકસ, સેન્ટર. ઉદાહરણ: રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓપ્રથમ ક્રમ.

જૈવિક પ્રણાલીઓના ગુણધર્મોના ગુણાત્મક મોડેલિંગ પરના સૌથી રસપ્રદ પરિણામો બે વિભેદક સમીકરણોના મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા જે પરવાનગી આપે છે. ગુણાત્મક સંશોધનપદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તબક્કો વિમાન. બે સ્વાયત્ત સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો સામાન્ય દૃશ્ય

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- સતત કાર્યો, અમુક વિસ્તારમાં વ્યાખ્યાયિત જીયુક્લિડિયન પ્લેન ( x,y ‑ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ) અને આ પ્રદેશમાં સતત ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતા ઓર્ડરના પ્રથમ કરતા ઓછા નથી.

પ્રદેશ જીઅમર્યાદિત અથવા મર્યાદિત હોઈ શકે છે. જો ચલો x, yચોક્કસ જૈવિક અર્થ ધરાવે છે (પદાર્થોની સાંદ્રતા, પ્રજાતિઓની સંખ્યા) મોટેભાગે વિસ્તાર જીજમણા અર્ધ-વિમાનના હકારાત્મક ચતુર્થાંશનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

પદાર્થોની સાંદ્રતા અથવા પ્રજાતિઓની સંખ્યા ઉપરથી જહાજના જથ્થા અથવા રહેઠાણના વિસ્તાર દ્વારા પણ મર્યાદિત હોઈ શકે છે. પછી ચલોની શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

ચલો x, yસમીકરણોની સિસ્ટમ (4.1) અનુસાર સમય બદલાય છે, જેથી સિસ્ટમની દરેક સ્થિતિ ચલ મૂલ્યોની જોડીને અનુરૂપ હોય ( x, y).

તેનાથી વિપરીત, ચલોની દરેક જોડી ( x, y) સિસ્ટમની ચોક્કસ સ્થિતિને અનુરૂપ છે.

સંકલન અક્ષો સાથેના પ્લેનનો વિચાર કરો કે જેના પર ચલોના મૂલ્યો રચાયેલ છે x,y. દરેક બિંદુ એમઆ પ્લેન સિસ્ટમની ચોક્કસ સ્થિતિને અનુરૂપ છે. આ પ્લેનને ફેઝ પ્લેન કહેવામાં આવે છે અને તે સિસ્ટમના તમામ રાજ્યોની સંપૂર્ણતાને રજૂ કરે છે. બિંદુ M(x,y) ને પ્રતિનિધિત્વ અથવા પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

અંદર આવવા દો પ્રારંભિક ક્ષણસમય t=tરજૂ કરતા બિંદુના 0 કોઓર્ડિનેટ્સ એમ 0 (x(t 0), વાય(t 0)). સમયની દરેક આગલી ક્ષણે tપ્રસ્તુત બિંદુ ચલોના મૂલ્યોમાં થતા ફેરફારો અનુસાર બદલાશે x(t), વાય(t). પોઈન્ટનો સંગ્રહ એમ(x(t), y(t)) તબક્કાના પ્લેન પર, જેની સ્થિતિ સમય જતાં ચલોને બદલવાની પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમની સ્થિતિઓને અનુરૂપ છે x(t), y(t)સમીકરણો અનુસાર (4.1), કહેવાય છે તબક્કો માર્ગ.

સંપૂર્ણતા તબક્કાના માર્ગોચલોના વિવિધ પ્રારંભિક મૂલ્યો માટે સિસ્ટમનું સરળતાથી દૃશ્યમાન "પોટ્રેટ" આપે છે. બાંધકામ તબક્કો પોટ્રેટતમને ચલોમાં થતા ફેરફારોની પ્રકૃતિ વિશે તારણો કાઢવા દે છે x, yજ્ઞાન વગર વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલોસમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ(4.1).

તબક્કાના પોટ્રેટનું નિરૂપણ કરવા માટે, તબક્કાના પ્લેનના દરેક બિંદુ પર સિસ્ટમ ટ્રેજેકટ્રીઝની દિશાઓનું વેક્ટર ક્ષેત્ર બનાવવું જરૂરી છે. ઇન્ક્રીમેન્ટ સેટ કરી રહ્યા છીએડી t>0,અમને અનુરૂપ ઇન્ક્રીમેન્ટ મળે છે ડી xઅને ડી yઅભિવ્યક્તિઓમાંથી:

ડી x=P(x,y)ડી t,

ડી y=Q(x,y)ડી t.

વેક્ટર દિશા dy/dxબિંદુ પર ( x, y) કાર્યોના સંકેત પર આધાર રાખે છે P(x, y), Q(x, y)અને ટેબલ દ્વારા આપી શકાય છે:

.(4.2)

આ સમીકરણનો ઉકેલ y = y(x, c), અથવા ગર્ભિત રીતે એફ(x,y)=c,જ્યાં સાથે- એકીકરણની સ્થિરતા, સમીકરણના અવિભાજ્ય વણાંકોનું કુટુંબ આપે છે (4.2) - તબક્કાના માર્ગોપ્લેન પર સિસ્ટમ (4.1). x, y.

આઇસોક્લાઇન પદ્ધતિ

ફેઝ પોટ્રેટ બનાવવા માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે આઇસોકલાઇન પદ્ધતિ -તબક્કાના પ્લેન પર રેખાઓ દોરવામાં આવે છે જે એક ચોક્કસ ખૂણા પર અભિન્ન વણાંકોને છેદે છે. (4.2) માંથી isocline સમીકરણ સરળતાથી મેળવી શકાય છે. ચાલો મૂકીએ

જ્યાં એ– ચોક્કસ સ્થિર મૂલ્ય. અર્થ એતબક્કાના માર્ગ તરફ સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શકને રજૂ કરે છે અને તેમાંથી મૂલ્યો લઈ શકે છે -¥ થી + ¥ . તેના બદલે અવેજી dy/dx(4.2) જથ્થામાં એઅમે isocline સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

.(4.3)

સમીકરણ (4.3) પ્લેનના દરેક બિંદુએ અનુરૂપ અભિન્ન વળાંક માટે એક અનન્ય સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તે બિંદુના અપવાદ સાથે જ્યાં P(x,y)= 0, પ્ર (x,y) = 0 , જેમાં સ્પર્શકની દિશા અનિશ્ચિત બને છે, કારણ કે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય અનિશ્ચિત બને છે:

.

આ બિંદુ તમામ આઇસોક્લાઇન્સનું આંતરછેદ બિંદુ છે - ખાસ બિંદુ.તેમાં, ચલોના સમય વ્યુત્પન્ન એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જાય છે xઅને y.

આમ, એકવચન બિંદુ પર, ચલોના પરિવર્તનનો દર શૂન્ય છે. પરિણામે, તબક્કાના માર્ગ (4.2) ના વિભેદક સમીકરણોનો એકવચન બિંદુ અનુલક્ષે છે સિસ્ટમની સ્થિર સ્થિતિ(4.1), અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એ ચલોનાં સ્થિર મૂલ્યો છે x, y.

ખાસ રસ છે મુખ્ય આઇસોક્લાઇન્સ:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – આડી સ્પર્શકની આઇસોલાઇન અને

dy/dx=¥ ,પ્ર(x,y)=0 – વર્ટિકલ ટેન્જેન્ટ્સની આઇસોક્લાઇન.

મુખ્ય આઇસોક્લાઇન્સ બનાવીને અને તેમના આંતરછેદ બિંદુને શોધીને (x,y), જેના કોઓર્ડિનેટ્સ શરતોને સંતોષે છે:

આપણે ત્યાંથી તબક્કાના સમતલના તમામ આઇસોક્લાઇન્સના આંતરછેદના બિંદુને શોધીશું, જેમાં તબક્કાના માર્ગ તરફના સ્પર્શકોની દિશા અનિશ્ચિત છે. આ - એકવચન બિંદુ, જે અનુલક્ષે છે સિસ્ટમની સ્થિર સ્થિતિ(ફિગ. 4.2).

પ્રણાલી (4.1)માં ફેઝ પ્લેન પર મુખ્ય આઇસોક્લાઇન્સના આંતરછેદ બિંદુઓ જેટલી સ્થિર અવસ્થાઓ છે.

દરેક તબક્કાનો માર્ગ ગતિશીલ પ્રણાલીની હિલચાલના સમૂહને અનુરૂપ છે, જે સમાન અવસ્થાઓમાંથી પસાર થાય છે અને માત્ર સમય ગણતરીની શરૂઆતમાં એકબીજાથી અલગ પડે છે.

જો કોચીના પ્રમેયની શરતો સંતુષ્ટ હોય, તો અવકાશમાં દરેક બિંદુ દ્વારા x, y, tત્યાં માત્ર એક અભિન્ન વળાંક છે. તે જ સાચું છે, સ્વાયત્તતાને કારણે, તબક્કાના માર્ગો માટે: એક તબક્કાના માર્ગ તબક્કાના સમતલના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

સ્થિર રાજ્ય સ્થિરતા

સિસ્ટમને સમતુલાની સ્થિતિમાં રહેવા દો.

પછી પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ સિસ્ટમના એકવચન બિંદુઓમાંથી એક પર સ્થિત છે, જેના પર, વ્યાખ્યા દ્વારા:

.

એકવચન બિંદુ સ્થિર છે કે નહીં તે નિર્ધારિત બિંદુ સ્થિર અવસ્થામાંથી નાના વિચલન સાથે છોડે છે કે નહીં તેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. બે સમીકરણોની સિસ્ટમના સંબંધમાં, ભાષામાં સ્થિરતાની વ્યાખ્યાઇ, ડીનીચે પ્રમાણે.

સંતુલન સ્થિતિ સ્થિર છે જો સંતુલન સ્થિતિથી વિચલનોની કોઈપણ શ્રેણી માટે (ઇ )તમે વિસ્તાર સ્પષ્ટ કરી શકો છો ડી (ઇ ), સંતુલન સ્થિતિની આસપાસની અને એવી મિલકત ધરાવે છે કે જે પ્રદેશની અંદર શરૂ થાય છે તે કોઈ માર્ગ નથી ડી , ક્યારેય સરહદ સુધી પહોંચશે નહીં ઇ . (ફિગ. 4.4)

સિસ્ટમના મોટા વર્ગ માટે - રફ સિસ્ટમો – જેમની વર્તણૂકનું સ્વરૂપ સમીકરણોના સ્વરૂપમાં નાના ફેરફાર સાથે બદલાતું નથી, સ્થિર સ્થિતિની આસપાસના વર્તનના પ્રકાર વિશેની માહિતી મૂળ નહીં, પરંતુ એક સરળ તપાસ કરીને મેળવી શકાય છે. રેખીયકૃતસિસ્ટમ

લીનિયર સિસ્ટમ્સ.

ચાલો બે સિસ્ટમ પર વિચાર કરીએ રેખીય સમીકરણો:

.(4.4)

અહીં એ બી સી ડી- સ્થિરાંકો, x, y- ફેઝ પ્લેન પર કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ.

અમે ફોર્મમાં સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું:

.(4.5)

ચાલો આ સમીકરણોને (4.4) માં બદલીએ અને ઘટાડીએ ઇ l t:

(4.6)

અજ્ઞાત સાથે સમીકરણોની બીજગણિત સિસ્ટમ (4.6). A, Bનોન-ઝીરો સોલ્યુશન ત્યારે જ હોય ​​છે જો તેનો નિર્ણાયક, અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંકથી બનેલો, શૂન્યની બરાબર હોય:

.

આ નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીને, અમે સિસ્ટમનું લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

.(4.7)

આ સમીકરણ ઉકેલવાથી ઘાતાંકની કિંમતો મળે છેl 1,2 , જેના માટે બિન-શૂન્ય મૂલ્યો શક્ય છે એઅને બીસમીકરણના ઉકેલો (4.6). આ અર્થો છે

.(4.8)

જો આમૂલ અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક છે, તો પછીl 1,2 જટિલ સંયોજક સંખ્યાઓ. ચાલો માની લઈએ કે સમીકરણ (4.7) ના બંને મૂળમાં બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક ભાગો છે અને કોઈ બહુવિધ મૂળ નથી. પછી સિસ્ટમના સામાન્ય સોલ્યુશન (4.4) ને ઘાતાંક સાથે ઘાતાંકના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.l 1 , l 2 :

(4.9)

તબક્કાના પ્લેન પર સિસ્ટમના સંભવિત માર્ગોની પ્રકૃતિનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ રેખીય સજાતીય સંકલન પરિવર્તન,જે સિસ્ટમને આ તરફ દોરી જશે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ:

,(4.10)

મૂળ સિસ્ટમ (4.4) ની તુલનામાં તબક્કાના પ્લેન પર વધુ અનુકૂળ રજૂઆતની મંજૂરી આપે છે. ચાલો નવા કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરીએξ , η સૂત્રો અનુસાર:

(4.1)

રેખીય બીજગણિતના અભ્યાસક્રમ પરથી તે જાણીતું છે કે અસમાનતાના કિસ્સામાં વાસ્તવિક ભાગો શૂન્યl 1 , l 2 મૂળ સિસ્ટમ (4.4) ને હંમેશા રૂપાંતરણ (4.11) નો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (4.10) માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે અને તબક્કાના પ્લેન પર તેની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરી શકાય છે.ξ , η . ચાલો આપણે અહીં રજૂ થઈ શકે તેવા વિવિધ કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીએ.

મૂળ λ 1 , λ 2 - માન્ય અને સમાન ચિહ્નનું

આ કિસ્સામાં રૂપાંતર ગુણાંક વાસ્તવિક છે, અમે વાસ્તવિક પ્લેનથી આગળ વધીએ છીએx,yવાસ્તવિક વિમાન ξ, η. સમીકરણોના બીજા (4.10) ને પ્રથમ વડે ભાગતા, આપણે મેળવીએ છીએ:

.(4.12)

આ સમીકરણને એકીકૃત કરીને, આપણે શોધીએ છીએ:

ક્યાં.(4.13)

ચાલો આપણે λ દ્વારા સમજવા માટે સંમત થઈએ 2 મોટા મોડ્યુલસ સાથે લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ, જે આપણા તર્કની સામાન્યતાનું ઉલ્લંઘન કરતું નથી. પછી, કારણ કે વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં મૂળ λ 1 , λ 2 - માન્ય અને સમાન ચિહ્નનું,a>1 , અને અમે પેરાબોલિક પ્રકારના અભિન્ન વણાંકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

તમામ અભિન્ન વણાંકો (અક્ષ સિવાય η , જે અનુલક્ષે છે ) અક્ષના મૂળને સ્પર્શ કરો ξ, જે સમીકરણનો અભિન્ન વળાંક પણ છે (4.11). કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ એક વિશિષ્ટ બિંદુ છે.

ચાલો હવે તબક્કાના માર્ગ સાથે રજૂ કરતા બિંદુની હિલચાલની દિશા શોધીએ. જો λ 1 , λ 2 નકારાત્મક છે, તો પછી, સમીકરણો (4.10), |ξ|, |η| પરથી જોઈ શકાય છે સમય જતાં ઘટાડો. રજૂ કરતું બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સુધી પહોંચે છે, પરંતુ તે ક્યારેય પહોંચતું નથી. નહિંતર, આ કોચીના પ્રમેયનો વિરોધાભાસ કરશે, જે જણાવે છે કે તબક્કાના સમતલના દરેક બિંદુમાંથી માત્ર એક જ તબક્કો માર્ગ પસાર થાય છે.

આવા વિશિષ્ટ બિંદુ કે જેના દ્વારા અભિન્ન વણાંકો પસાર થાય છે, પેરાબોલાના પરિવારની જેમ મૂળમાંથી પસાર થાય છે અને તેને નોડ (ફિગ. 4.5)

λ પર નોડ પ્રકારની સંતુલન સ્થિતિ 1 , λ 2 < 0 લ્યાપુનોવ સ્થિર છે, કારણ કે પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ તમામ અભિન્ન વણાંકો સાથે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ તરફ આગળ વધે છે. આ સ્થિર ગાંઠ. જો λ 1 , λ 2 > 0, પછી |ξ|, |η| સમય જતાં વધારો થાય છે અને રજૂ કરતું બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળથી દૂર જાય છે. આ કિસ્સામાં, ખાસ મુદ્દો– અસ્થિર નોડ .

તબક્કાના પ્લેન પર x, y અભિન્ન વણાંકોની વર્તણૂકની સામાન્ય ગુણાત્મક પ્રકૃતિ સાચવવામાં આવશે, પરંતુ અભિન્ન વણાંકોની સ્પર્શક સંકલન અક્ષો સાથે સુસંગત રહેશે નહીં. આ સ્પર્શકોના ઝોકનો કોણ ગુણાંકના ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે α , β , γ , δ સમીકરણોમાં (4.11).

મૂળ λ 1 , λ 2 - માન્ય છે અને વિવિધ ચિહ્નો છે.

થી કન્વર્ટ કરોસંકલન x,y સંકલન માટે ξ, η ફરીથી વાસ્તવિક. પ્રમાણભૂત ચલો માટેના સમીકરણો ફરીથી ફોર્મ (4.10) ધરાવે છે, પરંતુ હવે λ ના ચિહ્નો 1 , λ 2 અલગ છે. તબક્કાના માર્ગના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

ક્યાં ,(4.14)

એકીકરણ (4.14), અમે શોધીએ છીએ

(4.15)

આ સમીકરણ હાયપરબોલિક પ્રકારના વળાંકોના પરિવારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જ્યાં બંને અક્ષો સંકલન કરે છે- એસિમ્પ્ટોટ્સ (એટ a=1 અમારી પાસે સમબાજુ હાયપરબોલાસનું કુટુંબ હશે). આ કિસ્સામાં સંકલન અક્ષો પણ અભિન્ન વણાંકો છે– મૂળમાંથી પસાર થતા આ એકમાત્ર અભિન્ન વણાંકો હશે. દરેકજેમાં ત્રણ તબક્કાના માર્ગનો સમાવેશ થાય છે: સંતુલનની સ્થિતિમાં (અથવા સંતુલનની સ્થિતિમાંથી) અને સંતુલનની સ્થિતિમાંથી બે હલનચલન. અન્ય તમામ અભિન્ન વણાંકો– હાયપરબોલાસ છે જે મૂળમાંથી પસાર થતા નથી (ફિગ. 4.6) આ વિશેષ બિંદુ કહેવામાં આવે છે "કાઠી ». પર્વતની કાઠીની નજીકની સ્તર રેખાઓ કાઠીની આસપાસના તબક્કાના માર્ગની જેમ જ વર્તે છે.

ચાલો સંતુલન અવસ્થાની નજીકના તબક્કાના માર્ગ સાથે રજૂ કરતા બિંદુની હિલચાલની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે,λ 1 >0 , λ 2<0 . પછી ધરી પર મૂકવામાં આવેલ પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ ξ , મૂળથી દૂર જશે અને ધરી પર મૂકવામાં આવશે η – કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સુધી અનિશ્ચિતપણે સંપર્ક કરશે, મર્યાદિત સમયમાં પહોંચ્યા વિના. જ્યાં પણ રજૂ કરતું બિંદુ પ્રારંભિક ક્ષણે હોય (એસિમ્પ્ટોટ પરના એકવચન બિંદુ અને બિંદુઓના અપવાદ સિવાય η =0), તે આખરે સંતુલનથી દૂર જશે, ભલે તે શરૂઆતમાં અભિન્ન વણાંકોમાંથી એક સાથે એકવચન બિંદુ તરફ આગળ વધે..

તે સ્પષ્ટ છે કે એક એકવચન બિંદુ જેમ કે કાઠી હંમેશા અસ્થિર હોય છે . એસિમ્પ્ટોટ પર ફક્ત ખાસ પસંદ કરેલી પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ હેઠળη =0 સિસ્ટમ સંતુલનની સ્થિતિનો સંપર્ક કરશે. જો કે, આ સિસ્ટમની અસ્થિરતા વિશેના નિવેદનનો વિરોધાભાસ કરતું નથી. જો આપણે ગણીએ, કે ફેઝ પ્લેન પર સિસ્ટમની તમામ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ સમાન રીતે સંભવિત છે, તો પછી આવી પ્રારંભિક સ્થિતિની સંભાવના જે દિશામાં ચળવળને અનુરૂપ છેપ્રતિ એકવચન બિંદુ શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, કોઈપણ વાસ્તવિક ચળવળ સિસ્ટમને સંતુલનની સ્થિતિમાંથી દૂર કરશે.કોઓર્ડિનેટ્સ પર પાછા જવુંx,y,કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિની આસપાસના પ્રક્ષેપણની હિલચાલની પ્રકૃતિનું સમાન ગુણાત્મક ચિત્ર આપણને મળશે.

નોડ અને સેડલના માનવામાં આવતા કિસ્સાઓ વચ્ચેની સીમા એ કેસ છેક્યારે એક લાક્ષણિકતા સૂચક, ઉદાહરણ તરીકે λ 1 , અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સિસ્ટમના નિર્ધારક- અભિવ્યક્તિ ad-bc=0(સૂત્ર 4.8 જુઓ ). આ કિસ્સામાં, સમીકરણો (4.4) ની જમણી બાજુના ગુણાંક એકબીજાના પ્રમાણસર છે.:

અને સિસ્ટમ તેની સંતુલન રેખાના તમામ બિંદુઓને દર્શાવે છે:

બાકીના અભિન્ન વણાંકો કોણીય ગુણાંક સાથે સમાંતર સીધી રેખાઓનું કુટુંબ છે , જેની સાથે દર્શાવતા બિંદુઓ કાં તો સંતુલન સ્થિતિનો સંપર્ક કરે છે અથવા તેનાથી દૂર જાય છે, લાક્ષણિક સમીકરણના બીજા મૂળના ચિહ્ન પર આધાર રાખીને λ 2 = a+d.(ફિગ. 4. 7 ) આ કિસ્સામાં, સંતુલન સ્થિતિના કોઓર્ડિનેટ્સ ચલોના પ્રારંભિક મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

મૂળ λ 1 , λ 2 – જટિલજોડાણ

આ કિસ્સામાં, વાસ્તવિક માટેxઅને yઆપણે કરીશું જટિલ સંયોજક હોય છે ξ , η (4.10) . જો કે, અન્ય મધ્યવર્તી રૂપાંતરણની રજૂઆત કરીને, આ કિસ્સામાં વાસ્તવિક રેખીય સજાતીય પરિવર્તનની વિચારણાને ઘટાડવાનું પણ શક્ય છે. ચાલો મૂકીએ:

(4.16)

જ્યાં a,b,અને u,v – વાસ્તવિક મૂલ્યો. તે બતાવી શકાય છે કે માંથી પરિવર્તનx,yપ્રતિ u,v અમારી ધારણાઓ હેઠળ, શૂન્યથી અલગ નિર્ણાયક સાથે વાસ્તવિક, રેખીય, સજાતીય છે. સમીકરણોના આધારે(4.10, 4.16) અમારી પાસે છે:

જ્યાં

(4.17)

પ્રથમ દ્વારા સમીકરણોના બીજા ભાગાકાર, અમને મળે છે:

જે એકીકૃત કરવા માટે સરળ છે, જો આપણે ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી પર જઈએ (આર, φ ) . અવેજી પછીઅમે ક્યાંથી મેળવીએ છીએ:

.(4.18)

આમ, તબક્કાના પ્લેન પરu, vઅમે લોગરીધમિક સર્પાકારના પરિવાર સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા છીએ, જેમાંના દરેક છેમૂળમાં એસિમ્પ્ટોટિક બિંદુ.એકવચન બિંદુ, જે સર્પાકારનું સ્વરૂપ ધરાવતા તમામ અભિન્ન વણાંકોનું અસમપ્રમાણ બિંદુ છે, દરેકમાં નેસ્ટેડમિત્ર, તે કહેવાય છે ફોકસ ( ફિગ.4.8 ) .

ચાલો તબક્કાના માર્ગ સાથે રજૂ કરતા બિંદુની હિલચાલની પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રથમ સમીકરણો (4.17) વડે ગુણાકારu, અને બીજા પર વિઅને ઉમેરીને, અમને મળે છે:

જ્યાં

દો a 1 < 0 (a 1 = રીλ ) . પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ પછી તે મર્યાદિત સમય પર પહોંચ્યા વિના કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સુધી સતત પહોંચે છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે તબક્કાના માર્ગો સર્પાકારને વળી જતા હોય છે અને ભીના ઓસિલેશનને અનુરૂપ હોય છે.ચલો આ - સ્થિર ધ્યાન .

સ્થિર ફોકસના કિસ્સામાં, જેમ કે સ્થિર નોડના કિસ્સામાં, માત્ર લ્યાપુનોવની સ્થિતિ જ સંતુષ્ટ નથી, પણ વધુ કડક જરૂરિયાત પણ છે. જેમ કે, કોઈપણ પ્રારંભિક વિચલનો માટે, સિસ્ટમ, સમય જતાં, સંતુલન સ્થિતિની ઇચ્છિત નજીક આવશે. આવી સ્થિરતા, જેમાં પ્રારંભિક વિચલનો માત્ર વધતા નથી, પરંતુ સડો, શૂન્ય તરફ વળે છે, કહેવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ સ્થિરતા .

જો સૂત્રમાં (4.18) a 1 >0 , પછી પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ મૂળથી દૂર ખસે છે, અને અમે તેની સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા છીએ અસ્થિર ધ્યાન . જ્યારે પ્લેનમાંથી ખસેડવુંu,vતબક્કાના વિમાનમાંx, yસર્પાકાર પણ સર્પાકાર રહેશે, પરંતુ વિકૃત થઈ જશે.

ચાલો હવે જ્યારે કેસ પર વિચાર કરીએa 1 =0 . પ્લેન પર તબક્કાના માર્ગોu, vવર્તુળો હશે જે પ્લેનમાં છેx,yએલિપ્સને અનુરૂપ:

આમ, જ્યારેa 1=0 વિશિષ્ટ બિંદુ દ્વારાx= 0, y= 0 કોઈ અભિન્ન વળાંક પસાર થતો નથી. આવા એક અલગ એકવચન બિંદુ, જેની નજીક અવિભાજ્ય વણાંકો બંધ વણાંકો હોય છે, ખાસ કરીને, લંબગોળો એકબીજામાં જડિત હોય છે અને એકવચન બિંદુને બંધ કરે છે, તેને કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

આમ, લાક્ષણિક સમીકરણ (4.7) ના મૂળની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખીને, છ પ્રકારની સંતુલન સ્થિતિઓ શક્ય છે. પ્લેનમાં તબક્કાના માર્ગનું દૃશ્ય x, yઆ છ કેસો માટે ફિગમાં બતાવેલ છે. 4.9.

ચોખા. 4.9.રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ (4.4) માટે સ્થિર સ્થિતિની આસપાસના તબક્કાના પોટ્રેટના પ્રકાર.

પાંચ પ્રકારની સંતુલન અવસ્થાઓ ખરબચડી હોય છે; સમીકરણોની જમણી બાજુઓમાં પૂરતા પ્રમાણમાં નાના ફેરફારો સાથે તેમનું પાત્ર બદલાતું નથી (4.4). આ કિસ્સામાં, ફેરફારો ફક્ત જમણી બાજુમાં જ નહીં, પણ તેમના પ્રથમ-ક્રમના ડેરિવેટિવ્સમાં પણ નાના હોવા જોઈએ. સંતુલનની છઠ્ઠી સ્થિતિ - કેન્દ્ર - રફ નથી. સમીકરણોની જમણી બાજુના પરિમાણોમાં નાના ફેરફારો સાથે, તે સ્થિર અથવા અસ્થિર ફોકસ બની જાય છે.

વિભાજન રેખાકૃતિ

ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ:

. (4.11)

પછી લાક્ષણિક સમીકરણ આ રીતે લખવામાં આવશે:

. (4.12)

લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના પ્લેનને ધ્યાનમાં લો s , ડી અને તેના પર એક અથવા બીજા પ્રકારની સંતુલન સ્થિતિને અનુરૂપ વિસ્તારોને ચિહ્નિત કરો, જે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની પ્રકૃતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

.(4.13)

સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા માટેની સ્થિતિ y ના નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગની હાજરી હશેl 1 અને l 2 . આ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ અસમાનતાઓની પરિપૂર્ણતા છેs > 0, ડી > 0 . ડાયાગ્રામ (4.15) માં, આ સ્થિતિ પેરામીટર પ્લેનના પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત બિંદુઓને અનુરૂપ છે. એકવચન બિંદુ જો ધ્યાન કેન્દ્રિત કરશેl 1 અને l 2 જટિલ આ સ્થિતિ પ્લેનના તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જેના માટે , તે પેરાબોલાની બે શાખાઓ વચ્ચેના બિંદુઓs 2 = 4 ડી. એક્સલ પોઈન્ટ s = 0, ડી>0, કેન્દ્ર પ્રકારની સંતુલન સ્થિતિઓને અનુરૂપ છે. તેવી જ રીતે,l 1 અને l 2 - માન્ય છે, પરંતુ વિવિધ ચિહ્નો છે, એટલે કે. એકવચન બિંદુ એ કાઠી હશે જો ડી<0, વગેરે પરિણામે, અમને પેરામીટર પ્લેનના પાર્ટીશનનો ડાયાગ્રામ મળશે s, ડી, વિવિધ પ્રકારની સંતુલન સ્થિતિઓને અનુરૂપ ક્ષેત્રોમાં.

ચોખા. 4.10.વિભાજન રેખાકૃતિ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે 4.4

જો રેખીય સિસ્ટમના ગુણાંક એ બી સી ડીચોક્કસ પરિમાણ પર આધાર રાખે છે, પછી જ્યારે આ પરિમાણ બદલાશે, મૂલ્યો પણ બદલાશેs , ડી . સીમાઓ પાર કરતી વખતે, તબક્કાના પોટ્રેટનું પાત્ર ગુણાત્મક રીતે બદલાય છે. તેથી, આવી સીમાઓને દ્વિભાજન સીમાઓ કહેવામાં આવે છે - સીમાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર, સિસ્ટમમાં બે ટોપોલોજીકલી અલગ તબક્કાના પોટ્રેટ્સ છે અને તે મુજબ, બે અલગ અલગ પ્રકારના વર્તન છે.

આકૃતિ બતાવે છે કે આવા ફેરફારો કેવી રીતે થઈ શકે છે. જો આપણે વિશિષ્ટ કેસોને બાકાત રાખીએ - કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ - તો તે જોવાનું સરળ છે કે કાઠી એક નોડમાં પરિવર્તિત થઈ શકે છે જે ઓર્ડિનેટ અક્ષને પાર કરતી વખતે સ્થિર અથવા અસ્થિર હોય છે. સ્થિર ગાંઠ કાં તો કાઠીમાં અથવા સ્થિર ફોકસ વગેરેમાં જઈ શકે છે. નોંધ કરો કે સંક્રમણો સ્થિર નોડ - સ્થિર ફોકસ અને અસ્થિર નોડ - અસ્થિર ફોકસ એ દ્વિભાજન નથી, કારણ કે તબક્કા અવકાશની ટોપોલોજી બદલાતી નથી. અમે લેક્ચર 6 માં ફેઝ સ્પેસ ટોપોલોજી અને દ્વિભાજન સંક્રમણો વિશે વધુ વાત કરીશું.

દ્વિભાજન સંક્રમણો દરમિયાન, એકવચન બિંદુની સ્થિરતાની પ્રકૃતિ બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેન્દ્ર દ્વારા સ્થિર ધ્યાન અસ્થિર ફોકસમાં ફેરવાઈ શકે છે. આ દ્વિભાજન કહેવાય છે એન્ડ્રોનોવ-હોપફ દ્વિભાજનતેનો અભ્યાસ કરનારા વૈજ્ઞાનિકોના નામો દ્વારા. બિનરેખીય પ્રણાલીઓમાં આ વિભાજન દરમિયાન, એક મર્યાદા ચક્રનો જન્મ થાય છે, અને સિસ્ટમ સ્વ-ઓસીલેટીંગ બને છે (લેક્ચર 8 જુઓ).

ઉદાહરણ. રેખીય રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા સિસ્ટમ

પદાર્થ એક્સબહારથી સતત ગતિએ વહે છે, પદાર્થ Y માં ફેરવાય છે અને પદાર્થની સાંદ્રતાના પ્રમાણમાં ઝડપે વાય, પ્રતિક્રિયાના ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. તમામ પ્રતિક્રિયાઓ પ્રથમ ક્રમની હોય છે, બહારથી આવતા પદાર્થના પ્રવાહના અપવાદ સિવાય, જે શૂન્ય ક્રમમાં હોય છે. પ્રતિક્રિયા યોજના આના જેવી લાગે છે:

(4.14)

અને સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

(4.15)

અમે જમણી બાજુની બાજુઓને શૂન્ય સાથે સમાન કરીને સ્થિર સાંદ્રતા મેળવીએ છીએ:

.(4.16)

ચાલો સિસ્ટમના તબક્કાના પોટ્રેટને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (4.16) ને પ્રથમ વડે વિભાજીત કરીએ. અમને મળે છે:

.(4.17)

સમીકરણ (4.17) તબક્કાના પ્લેન પર ચલોનું વર્તન નક્કી કરે છે. ચાલો આ સિસ્ટમનું એક તબક્કો પોટ્રેટ બનાવીએ. પ્રથમ, ચાલો ફેઝ પ્લેન પર મુખ્ય આઇસોક્લાઇન્સ દોરીએ. વર્ટિકલ ટેન્જેન્ટના આઇસોક્લાઇનનું સમીકરણ:

આડી સ્પર્શકના સમીકરણનું સમીકરણ:

એકવચન બિંદુ (સ્થિર સ્થિતિ) મુખ્ય આઇસોક્લાઇન્સના આંતરછેદ પર આવેલું છે.

હવે ચાલો નિર્ધારિત કરીએ કે સંકલન અક્ષ અભિન્ન વણાંકો સાથે કયા ખૂણા પર છેદે છે.

જો x= 0, પછી.

આમ, અવિભાજ્ય વણાંકોને સ્પર્શકનો સ્પર્શ y=y(x),ઓર્ડિનેટ અક્ષને છેદે છે x=0, ઉપલા હાફ-પ્લેનમાં નકારાત્મક છે (યાદ રાખો કે ચલ x, yએકાગ્રતા મૂલ્યો ધરાવે છે, અને તેથી અમે તબક્કાના વિમાનના ઉપરના જમણા ચતુર્થાંશમાં જ રસ ધરાવીએ છીએ). આ કિસ્સામાં, સ્પર્શકોણની સ્પર્શક મૂળથી અંતર સાથે વધે છે.

ધરીનો વિચાર કરો y= 0. બિંદુ જ્યાં આ અક્ષ અભિન્ન વણાંકોને છેદે છે, તે સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

મુ x-અક્ષને પાર કરતા અવિભાજ્ય વણાંકોના ઢોળાવની સ્પર્શક ધન છે અને શૂન્યથી અનંત સુધી વધે છે. x.

ખાતે

પછી, વધુ વધારા સાથે, ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં ઘટે છે, નકારાત્મક રહે છે અને -1 તરફ વલણ ધરાવે છે. x ® ¥ . મુખ્ય આઇસોકલાઇન્સ અને કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પરના અભિન્ન વણાંકો તરફ સ્પર્શકોની દિશા જાણીને, તબક્કાના માર્ગનું સંપૂર્ણ ચિત્ર બનાવવું સરળ છે.

ચાલો લ્યાપુનોવ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એકવચન બિંદુની સ્થિરતાની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરીએ. સિસ્ટમના લાક્ષણિક નિર્ણાયકનું સ્વરૂપ છે:

.

નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીને, અમે સિસ્ટમનું લાક્ષણિક સમીકરણ મેળવીએ છીએ: , એટલે કે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ બંને નકારાત્મક છે. પરિણામે, સિસ્ટમની સ્થિર સ્થિતિ સ્થિર નોડ છે. આ કિસ્સામાં, પદાર્થની સાંદ્રતા એક્સસ્થિર અવસ્થા તરફ હંમેશા એકવિધ રીતે વલણ ધરાવે છે, પદાર્થ Y ની સાંદ્રતા ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમમાંથી પસાર થઈ શકે છે. આવી સિસ્ટમમાં ઓસીલેટરી મોડ્સ અશક્ય છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ:

વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય f(z) નું શૂન્ય એ બિંદુ "a" છે જેના માટે f(a)=0 છે.

ફંકશન f(z) નો ક્રમ "n" નું શૂન્ય એ બિંદુ "a" છે જો fn(a)¹0.

એકવચન બિંદુ "a" ને ફંકશન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો આ બિંદુની પડોશી હોય જેમાં "a" સિવાય કોઈ એકવચન બિંદુઓ ન હોય.

ત્યાં ત્રણ પ્રકારના અલગ અલગ એકવચન બિંદુઓ છે: .

1 દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુઓ;

3 અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુઓ.

એકવચન બિંદુનો પ્રકાર મળેલ એકવચન બિંદુ પર આપેલ કાર્યની વર્તણૂકના આધારે તેમજ મળેલા એકવચન બિંદુની પડોશમાં કાર્ય માટે મેળવેલ લોરેન્ટ શ્રેણીના સ્વરૂપના આધારે નક્કી કરી શકાય છે.

તેના પર કાર્યના વર્તન દ્વારા એકવચન બિંદુનો પ્રકાર નક્કી કરવો.

1. દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુઓ.

ફંક્શન f(z) ના એક અલગ એકવચન બિંદુ a ને દૂર કરી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા હોય.

2.ધ્રુવો.

ફંક્શન f(z) ના એક અલગ એકવચન બિંદુ a ને ધ્રુવ જો કહેવાય છે .

3. અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુઓ.

ફંક્શન f(z) ના એક અલગ એકવચન બિંદુ a ને આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો ન તો મર્યાદિત કે અનંત અસ્તિત્વમાં હોય.

કાર્યના શૂન્ય અને ધ્રુવો વચ્ચે નીચેનો સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે.

બિંદુ a એ ફંક્શન f(Z) ના ક્રમ n નો ધ્રુવ બનવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ બિંદુ કાર્ય માટે ક્રમ n નો શૂન્ય હોય.

જો n=1 હોય તો ધ્રુવને સરળ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા:અસ્પષ્ટ પ્રકૃતિના એક અલગ એકવચન બિંદુને કહેવામાં આવે છે:

a) દૂર કરી શકાય તેવું જો વિઘટનનો મુખ્ય ભાગ ખૂટે છે;

b) એક ધ્રુવ, જો મુખ્ય ભાગમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં શરતો હોય;

c) જો મુખ્ય ભાગમાં સમાવિષ્ટ હોય તો આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ અનંત સંખ્યાસભ્યો

a) આમ, દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુની પડોશમાં, વિસ્તરણનું સ્વરૂપ છે:

તે વર્તુળ |z-a| ના તમામ બિંદુઓ પર કાર્યને વ્યક્ત કરે છે

કેન્દ્ર z=a પર સમાનતા સાચી નથી, કારણ કે z=a પરનું ફંક્શન અખંડિતતા ધરાવે છે, અને જમણી બાજુ સતત છે. જો કેન્દ્રમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય બદલાય છે, તેને જમણી બાજુના મૂલ્યની બરાબર લેવું, તો ગેપ દૂર થશે - તેથી નામ - દૂર કરી શકાય તેવું.

b) m ઓર્ડરના ધ્રુવની પડોશમાં, લોરેન્ટ શ્રેણીના વિસ્તરણનું સ્વરૂપ છે:

c) સાદા ધ્રુવની નજીકમાં

તેમની ગણતરી માટે કપાત અને સૂત્રો.

એક અલગ એકવચન બિંદુ z 0 પર વિશ્લેષણાત્મક ફંક્શન f(z) ના અવશેષ એ અવિભાજ્યના મૂલ્યની સમાન જટિલ સંખ્યા છે , કાર્ય f(z) (એટલે ​​કે રીંગ 0 માં<|z-z0|

એક અલગ એકવચન બિંદુ z 0 પર ફંક્શન f(z) ના અવશેષો Res f(z 0) અથવા Res (f(z); z 0) પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

જો આપણે સૂત્ર (22.15.1) માં n=-1 મૂકીએ, તો આપણને મળશે:

C -1 =

અથવા Res f(z 0)= C -1 ,

તે એકવચન બિંદુ z 0 ના સંદર્ભમાં ફંક્શન f(z) ના અવશેષ એ લોરેન્ટ શ્રેણીમાં ફંકશન f(z) ના વિસ્તરણમાં નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પ્રથમ પદના ગુણાંકની બરાબર છે.

કપાતની ગણતરી.

નિયમિત અથવા દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુઓ. દેખીતી રીતે, જો z=z 0 એ ફંક્શન f(z) નો નિયમિત અથવા દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે, તો Res f(z 0)=0 (આ કિસ્સાઓમાં લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં મુખ્ય ભાગનો અભાવ છે, તેથી c-1=0) .

ધ્રુવ. બિંદુ z 0 એ ફંક્શન f(z) નો એક સરળ ધ્રુવ છે. પછી બિંદુ z 0 ની નજીકમાં ફંક્શન f(z) માટે લોરેન્ટ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:

અહીંથી

તેથી, આ સમાનતાને z --z 0 ની મર્યાદામાં પસાર કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

Res f(z0)=

અનિવાર્યપણે વિશેષ બિંદુ. જો બિંદુ z 0 એ ફંક્શન f(z) નો આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે, તો આ બિંદુએ ફંક્શનના અવશેષની ગણતરી કરવા માટે, ફંક્શનના લોરેન્ટ શ્રેણીના વિસ્તરણમાં c-1 ગુણાંક સામાન્ય રીતે સીધો નિર્ધારિત થાય છે.

ઘટનાઓનું વર્ગીકરણ. સરવાળો, ઘટનાઓનું ઉત્પાદન, તેમના ગુણધર્મો, ગ્રાફિકલ રજૂઆત.

ઇવેન્ટ્સ આમાં વહેંચાયેલી છે:

1. રેન્ડમ

2. વિશ્વસનીય

3. અશક્ય

વિશ્વસનીય એ એક એવી ઘટના છે જે આપેલ પરિસ્થિતિઓમાં આવશ્યકપણે થાય છે (રાત પછી સવાર).

રેન્ડમ ઇવેન્ટ એ એક એવી ઘટના છે જે બની શકે કે ન પણ થઈ શકે (પરીક્ષા પાસ કરવી).

અસંભવિત ઘટના એ એવી ઘટના છે જે આપેલ પરિસ્થિતિઓમાં નહીં થાય (માત્ર લાલ સાથેના બોક્સમાંથી લીલી પેન્સિલ મેળવવી).

એકવચન બિંદુ

ગણિતમાં.

1) સમીકરણ F દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંકનો એકવચન બિંદુ ( x, y) = 0, - બિંદુ M 0 ( x 0 , y 0), જેમાં ફંક્શન F ના બંને આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ( x, y) શૂન્ય પર જાઓ:

જો ફંક્શન F ના બધા બીજા આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ( x, y) બિંદુ M 0 શૂન્યની બરાબર છે, તો O. t ને ડબલ કહેવામાં આવે છે. જો, પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝની સાથે M0 બિંદુ પર અદ્રશ્ય થઈ જાય છે, બીજા બધા ડેરિવેટિવ્સ, પરંતુ બધા ત્રીજા ડેરિવેટિવ્ઝ અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તો સમીકરણને ટ્રિપલ, વગેરે કહેવામાં આવે છે. ડબલ O.t.ની નજીકના વળાંકની રચનાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અભિવ્યક્તિનું ચિહ્ન મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.

જો Δ > 0 હોય, તો ઓપન સર્કિટને આઇસોલેટેડ કહેવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે, વળાંક પર y 2 - x 4 + 4x 2= 0 કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ એક અલગ O. t છે (જુઓ. ચોખા 1 ). જો Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ નોડલ O. t છે (જુઓ. ચોખા 2 ). જો Δ = 0, તો પછી વળાંકનો સામાન્ય બિંદુ કાં તો અલગ છે અથવા તે હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે વળાંકની વિવિધ શાખાઓ આ બિંદુએ એક સામાન્ય સ્પર્શક ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: a) 1 લી પ્રકારનો કસ્પ પોઇન્ટ - વિવિધ શાખાઓ વળાંક સામાન્ય એક સ્પર્શકની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સ્થિત છે અને વળાંકની જેમ એક બિંદુ બનાવે છે y 2 - x 3= 0 (જુઓ ચોખા 3 , એ); b) 2જા પ્રકારનો કસ્પ પોઈન્ટ - વળાંકની વિવિધ શાખાઓ સામાન્ય સ્પર્શકની એક બાજુએ વળાંકની જેમ સ્થિત છે (y - x 2)2 - x 5= 0 (જુઓ ચોખા 3 , b); c) સ્વ-સ્પર્શ બિંદુ (વળાંક માટે y 2 - x 4 ચોખા 3 = 0 મૂળ સ્વ-સ્પર્શનું બિંદુ છે; (સે.મી. , વી). સૂચિત O. t સાથે અન્ય ઘણા નામો છે. ઉદાહરણ તરીકે, એસિમ્પ્ટોટિક બિંદુ એ અસંખ્ય વળાંકવાળા સર્પાકારનું શિરોબિંદુ છે (જુઓ. ચોખા 4

), સમાપ્તિ બિંદુ, ખૂણે બિંદુ, વગેરે.

2) વિભેદક સમીકરણનો એકવચન બિંદુ એ બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુના અંશ અને છેદ બંને એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જાય છે (જુઓ વિભેદક સમીકરણો)

જ્યાં P અને Q સતત વિભેદક કાર્યો છે. O. t એ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર સ્થિત છે અને ટેલર ફોર્મ્યુલા (જુઓ ટેલર ફોર્મ્યુલા) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણ (1) ને ફોર્મમાં રજૂ કરી શકીએ છીએ. x, yજ્યાં પી 1 ( x, y) અને પ્રશ્ન 1 (

) - આદર સાથે અનંત જેમ કે, જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 > 0 અથવા λ 1 = λ 2 હોય, તો O. t નોડ છે; નોડના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશના બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો તેમાં પ્રવેશ કરે છે. જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 અને β ≠ 0 હોય, તો સામાન્ય બિંદુ એક ફોકસ છે; ફોકસના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશમાં બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો ફોકસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના પડોશમાં અસંખ્ય વળાંક સાથે સર્પાકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો, છેલ્લે, λ 1,2 = ± i β, β ≠ 0, તો પછી O. t નું પાત્ર માત્ર P ના વિસ્તરણમાં રેખીય શબ્દો દ્વારા નક્કી થતું નથી. x, y x, y), જેમ કે ઉપરોક્ત તમામ કેસોમાં હતો; અહીં O. t એ ફોકસ અથવા સેન્ટર હોઈ શકે છે, અથવા તેમાં વધુ જટિલ પાત્ર હોઈ શકે છે. કેન્દ્રના પડોશમાં, તમામ અભિન્ન વણાંકો બંધ હોય છે અને કેન્દ્રને પોતાની અંદર સમાવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (0, 0) એ સમીકરણો માટે નોડ છે ખાતે" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; જુઓ ચોખા 5 , a) અને y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; જુઓ ચોખા 5 , b), સમીકરણ માટે કાઠી y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; સેમી ચોખા 6 ), સમીકરણ માટે ફોકસ y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - જેમ કે, જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 > 0 અથવા λ 1 = λ 2 હોય, તો O. t નોડ છે; નોડના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશના બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો તેમાં પ્રવેશ કરે છે. જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 અને β ≠ 0 હોય, તો સામાન્ય બિંદુ એક ફોકસ છે; ફોકસના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશમાં બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો ફોકસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના પડોશમાં અસંખ્ય વળાંક સાથે સર્પાકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો, છેલ્લે, λ 1,2 = ±, λ 2 = 1 + જેમ કે, જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 > 0 અથવા λ 1 = λ 2 હોય, તો O. t નોડ છે; નોડના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશના બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો તેમાં પ્રવેશ કરે છે. જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 અને β ≠ 0 હોય, તો સામાન્ય બિંદુ એક ફોકસ છે; ફોકસના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશમાં બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો ફોકસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના પડોશમાં અસંખ્ય વળાંક સાથે સર્પાકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો, છેલ્લે, λ 1,2 = ±; સેમી ચોખા 7 ) અને સમીકરણ માટેનું કેન્દ્ર y" = -x/y(λ 1 = -i, λ 2 = જેમ કે, જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 > 0 અથવા λ 1 = λ 2 હોય, તો O. t નોડ છે; નોડના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશના બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો તેમાં પ્રવેશ કરે છે. જો λ 1 ≠ λ 2 અને λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 અને β ≠ 0 હોય, તો સામાન્ય બિંદુ એક ફોકસ છે; ફોકસના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશમાં બિંદુઓમાંથી પસાર થતા તમામ અભિન્ન વણાંકો ફોકસના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના પડોશમાં અસંખ્ય વળાંક સાથે સર્પાકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો, છેલ્લે, λ 1,2 = ±; સેમી ચોખા 8 ).

જો x, y) અને Q ( β, β ≠ 0, તો પછી O. t નું પાત્ર માત્ર P ના વિસ્તરણમાં રેખીય શબ્દો દ્વારા નક્કી થતું નથી.) વિશ્લેષણાત્મક, ઉચ્ચ-ક્રમના GPના પડોશને પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: D 1 - અભિન્ન વણાંકોથી ભરપૂર, બંને છેડા GP (અંગ્રવર્તી પ્રદેશો), D 2 - અભિન્ન વણાંકોથી ભરેલા, એક છેડો GPમાં સમાવિષ્ટ . ચોખા 9 ). જો સામાન્ય બિંદુમાં કોઈ અભિન્ન વણાંકો શામેલ ન હોય, તો સામાન્ય બિંદુને સ્થિર પ્રકારનો બિંદુ કહેવામાં આવે છે. સ્થિર ઓસિલેટરના પડોશમાં બંધ અભિન્ન વણાંકો હોય છે જેમાં તેની અંદર એક અભિસરણ હોય છે, જેની વચ્ચે સર્પાકાર હોય છે (ફિગ જુઓ. ચોખા 10 ).

વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસ, એટલે કે, આવશ્યકપણે વિભેદક સમીકરણોની પડોશમાં અવિભાજ્ય વણાંકોના પરિવારોની વર્તણૂકનો અભ્યાસ, વિભેદક સમીકરણોના ગુણાત્મક સિદ્ધાંતની એક શાખા બનાવે છે અને એપ્લિકેશનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, ખાસ કરીને પ્રશ્નોમાં. ગતિની સ્થિરતા (A. M. Lyapunov a, A. Poincare, વગેરેનું કાર્ય).

3) સિંગલ-વેલ્યુડ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો એકવચન બિંદુ એ બિંદુ છે કે જ્યાં કાર્યની વિશ્લેષણાત્મકતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે (વિશ્લેષણાત્મક કાર્યો જુઓ). O. t ની પડોશ હોય તો. a, અન્ય ઓ.ટી.થી મુક્ત, પછી બિંદુ એઆઇસોલેટેડ ઓ. ટી જો એ- એક અલગ સામાન્ય ક્રમ અને ત્યાં એક મર્યાદિત a અસ્તિત્વમાં છે તેને દૂર કરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે a બિંદુ a પર કાર્યની વ્યાખ્યાને યોગ્ય રીતે બદલીને (અથવા આ બિંદુએ તેને પુનઃવ્યાખ્યાયિત કરીને, જો તેના પરનું કાર્ય બિલકુલ વ્યાખ્યાયિત ન હોય તો), એટલે કે, ધારીને f(a)= b, તે હાંસલ કરવું શક્ય છે aસુધારેલ કાર્યનો સામાન્ય બિંદુ બનશે. ઉદાહરણ તરીકે, ડોટ z= 0 ફંક્શન f 1 માટે દૂર કરી શકાય તેવી O. t છે. z) = f(z), જો z≠ 0, અને f 1 (0), = 1, બિંદુ z= 0 એક સામાન્ય બિંદુ છે [ f 1 (z) બિંદુ પર વિશ્લેષણાત્મક છે z= 0]. જો એ- એક અલગ O. t અને a ને ધ્રુવ અથવા કાર્યનો અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ કહેવામાં આવે છે f(z), જો લોરેન્ટ શ્રેણી) કાર્ય કરે છે f(z) એક અલગ O. t ની નજીકમાં નકારાત્મક શક્તિઓ શામેલ નથી z - a, જો એ- દૂર કરી શકાય તેવા O. t., મર્યાદિત સંખ્યામાં નકારાત્મક ડિગ્રી ધરાવે છે z - a, જો એ- ધ્રુવ (આ કિસ્સામાં ધ્રુવનો ક્રમ આરની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - એક આવશ્યક વિશેષ બિંદુ. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય માટે

p = 2, 3, …)

બિંદુ z= 0 એ ઓર્ડરનો ધ્રુવ છે આર, કાર્ય માટે

બિંદુ z= 0 એ અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ છે.

પાવર સિરીઝના કન્વર્જન્સના વર્તુળની સીમા પર આ વર્તુળમાં ડેટા દ્વારા રજૂ કરાયેલ ફંક્શનનો ઓછામાં ઓછો એક O.t હોવો જોઈએ પાવર શ્રેણી. અનન્ય વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય (કુદરતી સીમા) ના અસ્તિત્વના ડોમેનના તમામ સીમા બિંદુઓ આ કાર્યની સીમાઓ છે. આમ, એકમ વર્તુળના તમામ બિંદુઓ | z| = 1 કાર્ય માટે વિશિષ્ટ છે

બહુ-મૂલ્યવાળું વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય માટે, “O. ટી." વધુ મુશ્કેલ. O. t. ઉપરાંત, ફંક્શનની રીમેન સપાટીની વ્યક્તિગત શીટ્સમાં (એટલે ​​​​કે, એકલ-મૂલ્યવાળું વિશ્લેષણાત્મક તત્વોનું O. t), દરેક શાખા બિંદુ પણ કાર્યનો O. t છે. રીમેન સપાટીના અલગ શાખા બિંદુઓ (એટલે ​​​​કે, આવા શાખા બિંદુઓ કે જેમાંથી કેટલાક પડોશમાં કોઈપણ પાંદડામાં અન્ય કોઈ O. t. કાર્યો નથી) નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. જો a મર્યાદિત ક્રમનું એક અલગ શાખા બિંદુ છે અને ત્યાં મર્યાદિત a છે, તો તેને જટિલ ધ્રુવ કહેવામાં આવે છે. જો એ- અનંત ક્રમના એક અલગ શાખા બિંદુ અને a ને એક ગુણાતીત O.t કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો: ડોટ z= 0 એ ફંક્શન f નો સામાન્ય નિર્ણાયક બિંદુ છે ( z) = લોગ zઅને કાર્યનો નિર્ણાયક અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ f (z) = sin ln z.

દરેક સામાન્ય સમસ્યા, દૂર કરી શકાય તેવી સમસ્યા સિવાય, વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવા માટે અવરોધ છે, એટલે કે, એક અફર સામાન્ય સમસ્યામાંથી પસાર થતા વળાંક સાથે વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવું અશક્ય છે.

ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. - એમ.: સોવિયેત જ્ઞાનકોશ. 1969-1978 .

અન્ય શબ્દકોશોમાં "એકવચન બિંદુ" શું છે તે જુઓ:

અહીં પોઈન્ટ. એકવચન બિંદુ (વિભેદક સમીકરણો) પણ જુઓ. ગણિતમાં લક્ષણ અથવા એકલતા એ એક બિંદુ છે કે જેના પર ગાણિતિક પદાર્થ (સામાન્ય રીતે કાર્ય) અવ્યાખ્યાયિત હોય છે અથવા અનિયમિત વર્તન ધરાવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ જ્યાં ... ... વિકિપીડિયા

વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય એ એક બિંદુ છે જ્યાં વિશ્લેષણની શરતોનું ઉલ્લંઘન થાય છે. જો વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય f(z) બિંદુ z0 ના ચોક્કસ પડોશમાં દરેક જગ્યાએ આપવામાં આવે છે... ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય એ બિંદુ છે કે જ્યાં કાર્યની વિશ્લેષણનું ઉલ્લંઘન થાય છે... મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એકવચન બિંદુ- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ અને પાવર એન્જિનિયરિંગનો અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ, મોસ્કો, 1999] ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગના વિષયો, મૂળભૂત ખ્યાલો EN એકવચન બિંદુ ... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

1) વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય f(z) એ આ ચલના પ્લેન પરના કેટલાક પાથ સાથે જટિલ ચલ z ના ફંક્શન f(z) ના તત્વના વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવા માટેનો અવરોધ છે. વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય f(z) ને કેટલાક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો... ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય, તે બિંદુ કે જેના પર કાર્યની વિશ્લેષણનું ઉલ્લંઘન થાય છે. * * * એકલ બિંદુ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનો એક બિંદુ, એક બિંદુ કે જેના પર કાર્યની વિશ્લેષણનું ઉલ્લંઘન થાય છે... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એકવચન બિંદુ- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. એકવચન બિંદુ વોક. singulärer Punkt, m rus. એકવચન બિંદુ, f pranc. બિંદુ કણો, m; બિંદુ singulier, m … Automatikos terminų žodynas

એકવચન બિંદુ- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. એકવચન બિંદુ વોક. singulärer Punkt, m rus. એકવચન બિંદુ, f pranc. બિંદુ સિંગલિયર, m … Fizikos terminų žodynas

દો zq એ ફંક્શન /(r), t.s નો એકવચન બિંદુ છે. f(z)પરંતુ આ બિંદુએ વિશ્લેષણાત્મક છે (ખાસ કરીને, તે તેના પર વ્યાખ્યાયિત ન હોઈ શકે). પોઈન્ટની આવી પંચર પડોશી હોય તો zq (એટલે ​​કે સમૂહ O z - zq f(z) aialitic છે, પછી zoકહેવાય છે અલગ એકવચન બિંદુકાર્યો f(z).ના કિસ્સામાં આ વ્યાખ્યા સમાન રહે છે zn = oo, જો આયોડિનને બિંદુની નજીકથી વીંધવામાં આવે છે zq = oo સમજો સેટ z>આઈ - મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનો બાહ્ય ભાગ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક ખાસ મુદ્દો zq ને અલગ કહેવામાં આવે છે જો આ બિંદુનો કોઈ પડોશી હોય જેમાં અન્ય એકવચન બિંદુઓ સિવાય અન્ય zq નીચે આપેલા બધામાં આપણે અનન્ય પાત્રના માત્ર એકવચન બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (કાર્ય f(z)અસ્પષ્ટ હોવાનું માનવામાં આવે છે).

કાર્યના વર્તન પર આધાર રાખે છે f(z)ખાતે z -> zqએકવચન બિંદુ ત્રણ પ્રકારના હોય છે. અલગ એકવચન બિંદુ zq કાર્યો f(z)કહેવાય છે:

1) દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ, જો ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા છે

2) ધ્રુવ, જો ત્યાં મર્યાદા છે

3) આવશ્યકપણે એક ખાસ મુદ્દો,જો f(z) ની કોઈ સીમિત કે અનંત મર્યાદા નથી z-> zq.

ઉદાહરણ 26.1. ચાલો બતાવીએ કે ત્રણેય પ્રકારના એકવચન બિંદુની અનુભૂતિ થાય છે. ચાલો વિચાર કરીએ f(z)= બિંદુ zq = 0 અલગ છે

આ કાર્યનો વિશેષ મુદ્દો. ફોર્મ્યુલા (22.12) નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ

જેમાંથી તે અનુસરે છે કે ત્યાં લિમ છે fi(z)= 1. તેથી zq = 0 છે

ફંક્શનનું દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે fi(z).

કાર્ય f‘j(z) =---એક બિંદુ પર ધ્રુવ છે zo= 1 કારણ કે

2 આર"એક્સ

ચાલો હવે ફંક્શન પર વિચાર કરીએ )з(z)= e 1 ^ r અને તે બતાવો zo = O એ આ ફંક્શનનો અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ છે. જ્યારે પ્રયત્નશીલ zવાસ્તવિક અક્ષ સાથે શૂન્ય સુધી ફંક્શન /z ની ડાબી અને જમણી મર્યાદા (z)અલગ: લિમ સાથે 1 / 1 = 0, લિમ s 1 /* =ઓએસ આ સૂચવે છે કે,

x->0-0 x->0+O

શું f:i(z) 2 પર ન તો મર્યાદિત કે અનંત મર્યાદા નથી -> ઓહ, તે છે. zq = O એ આ ફંક્શનનો અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુ છે. (નોંધ કરો કે જેમ બિંદુ વલણ ધરાવે છે z - iyકાલ્પનિક અક્ષ કાર્ય સાથે શૂન્ય સુધી

કોઈ મર્યાદા નથી.)

ત્યાં, અલબત્ત, બિન-અલગ એકવચન બિંદુઓ છે. દાખ્લા તરીકે. કાર્ય પોઈન્ટ પર ધ્રુવો ધરાવે છે z n = -, પી= ±1, ±2,...

આથી, Zq = 0 એ આ ફંક્શનનો બિન-અલગ એકવચન બિંદુ છે: આ બિંદુના કોઈપણ (પછી ભલે ગમે તેટલું નાનું હોય) પડોશમાં અન્ય એકવચન બિંદુઓ છે. g પી.

દો ઝો-ફંક્શનનો મર્યાદિત અલગ એકવચન બિંદુ f(z).પછી f(z) 0 Zo બિંદુના કેટલાક પંચર પડોશમાં સમાન છે zoઆ પડોશને આંતરિક ત્રિજ્યા r = 0 સાથે રિંગ તરીકે ગણી શકાય. પ્રમેય 25.1 દ્વારા, પડોશમાં કાર્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે f(z)લોરેન્ટ શ્રેણી (25.2) માં વિસ્તૃત કરી શકાય છે. અમે બતાવીશું કે 2 પર ફંક્શનનું વર્તન -> zq (એટલે ​​​​કે એકવચન બિંદુનો પ્રકાર zo)વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે (25.2); આ સંજોગો "મુખ્ય ભાગ" શબ્દના મૂળને સમજાવે છે.

પ્રમેય 2G.2. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ zo દૂર કરી શકાય તેવું છે જો અને માત્ર જો આ બિંદુના પંચર પડોશમાં લોરાપોવ વિસ્તરણ oid હોય.

તે માત્ર સાચો ભાગ સમાવે છે, અને મુખ્ય ભાગના તમામ ગુણાંક બુલેટ સમાન છે.

પુરાવો. 1. ચાલો zo- દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ. ચાલો સાબિત કરીએ કે ફંક્શનનું લોરેન્ટ વિસ્તરણ f(z)ફોર્મ ધરાવે છે (26.1). ખાસ બિંદુ થી zoદૂર કરી શકાય તેવું છે, પછી ત્યાં મર્યાદિત છે મર્યાદા f(z) = A.આથી, f(z) 0 z - zq બિંદુના કેટલાક પંચર પડોશમાં બંધાયેલ છે zoતે )(z) દરેક માટે zઆ વિસ્તારમાંથી. ચાલો કોઈપણ લઈએ આર. U р /?|, અને લોરેન્ટ શ્રેણીના ગુણાંક માટે સૂત્રો (25.3) નો ઉપયોગ કરો:

વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગના ગુણાંક માટે n =- 1,-2,... આવા મૂલ્યો માટે પીઅમારી પાસે p~ p-e 0 ખાતે આર-> 0. કિંમત થી આરપછી મનસ્વી રીતે નાના પસંદ કરી શકાય છે શ્રી ~"ઇચ્છિત તરીકે નાના હોઈ શકે છે. ત્યારથી |s t,| ^ શ્રી ~ પીઅને c„ p પર આધાર રાખતા નથી, પછી c„ = 0 at અને= - 1, -2,..., જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

2. ચાલો હવે ધારીએ કે લોરેન્ટ વિસ્તરણનું સ્વરૂપ છે (26.1). શ્રેણી (26.1) પાવર શ્રેણી છે અને. તેથી, તે માત્ર પંચરવાળા વિસ્તારમાં જ નહીં, પરંતુ સમગ્ર આસપાસના વિસ્તારમાં પણ એકરૂપ થાય છે z-zq બિંદુ સહિત zoતેની રકમ S(z)પર વિશ્લેષણાત્મક છે z અને S(z) = )(z) 0 z પર - zoઆર.તેથી ત્યાં એક સીમિત મર્યાદા છે )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - તેથી, એકવચન બિંદુ zq

Z->Zo Z-*Zo

દૂર કરી શકાય તેવું પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. પ્રમેયના પુરાવા પરથી તે અનુસરે છે કે પંચર પડોશમાં 0 z - zo એક દૂર કરી શકાય તેવા એકવચન બિંદુ ફંક્શન f(z)કાર્ય 5(r) સાથે એકરુપ છે, જે સમગ્ર પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે z - zo તેથી, જો આપણે /(th) = સેટ કરીએ S(zq), પછી, કાર્ય મૂલ્યો બદલ્યા વિના f(z)પંચર પડોશના કોઈપણ બિંદુઓ પર, અમે આ કાર્યને ગોમાં વિશ્લેષણાત્મક બનાવીશું, એટલે કે. ચાલો લક્ષણને "નાબૂદ" કરીએ. આ "દૂર કરી શકાય તેવી સુવિધા" શબ્દને સમજાવે છે. આવા બિંદુઓને નિયમિત ગણવું સ્વાભાવિક છે, અને કાર્યના એકવચન બિંદુઓ નહીં f(z).

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યને ધ્યાનમાં લો

ઉદાહરણ 26.1 માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે Pm Nr) = 1. એટલે કે. એકવચન બિંદુ

zq = 0 દૂર કરી શકાય તેવું. સેટિંગ /i(0) = 1, અમે ત્યાં એકલતાને દૂર કરીએ છીએ અને એક કાર્ય મેળવીએ છીએ જે બિંદુ પર વિશ્લેષણાત્મક હોય. zq = 0 (અને સમગ્ર C વિમાનમાં).

ચાલો હવે લોરેન્ટ વિસ્તરણના સંદર્ભમાં ધ્રુવોને લાક્ષણિકતા આપીએ.

પ્રમેય 26.3. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ Zo એ ધ્રુવ છે જો અને માત્ર જો, જ્યારે કેન્દ્ર Zq સાથે લોરેન્ટ વિસ્તરણનો મુખ્ય ભાગ માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં વિશિષ્ટ હોય છે

n સાથે શૂન્ય ગુણાંકમાંથી:

પુરાવો. 1. ચાલો zq - ધ્રુવ, એટલે કે. લિમ/( z) = oo.

ચાલો સાબિત કરીએ કે ફંક્શનનું લોરેન્ટ વિસ્તરણ f(z)ફોર્મ ધરાવે છે (2G.2). લિમ થી f(z)= oo. પછી બિંદુની એક પંચર પડોશી છે

કી zq જેમાં f(z)વિશ્લેષણાત્મક છે અને તેમાં કોઈ શૂન્ય નથી. પછી કાર્ય g(z) = 1 /f(z)આ પંચર પડોશમાં પણ વિશ્લેષણાત્મક હશે, અને લિમ g(z)= 0. તેથી, ઝોદૂર કરી શકાય તેવું છે *-? *0

કાર્યનો એકવચન બિંદુ g(z).ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ g(z)બિંદુ પર zo, મૂકવું g(zo)= 0. પછી g(z)(વિંધેલા નથી) બિંદુના સમગ્ર પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક બનશે z 0 ,અને z 0તેનું અલગ શૂન્ય હશે. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એનઆ શૂન્યની ગુણાકાર (ક્રમ). §23 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, બિંદુની પડોશમાં zq કાર્ય g(z)ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે (જુઓ (23.2))

અને (z$) f 0 અને y>(z)બિંદુના કેટલાક પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે ઝો-કારણ કે ip(z)એક બિંદુ પર સતત zoઅને g>(zo) Ф 0" પછી ip(z)આ બિંદુના કેટલાક પડોશમાં કોઈ શૂન્ય નથી. તેથી કાર્ય 1 /-p(z)આ પડોશમાં પણ વિશ્લેષણાત્મક હશે અને તેથી, ટેલર શ્રેણીમાં તેમાં વિસ્તરણ કરશે:

કૌંસ ખોલીને અને ગુણાંકના હોદ્દા બદલીને, અમે ફોર્મમાં છેલ્લું વિસ્તરણ લખીએ છીએ

જ્યાં c_jv = 1>ઓ એફ 0. આમ, ફંક્શન /(r) ના લોરેન્ટ વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો છે; અમે ઇચ્છિત સમાનતા પર પહોંચ્યા છીએ (26.2).

2. બિંદુઓના પંચર પડોશમાં આવવા દો મીકાર્ય )(z)લોરેન્ટ વિસ્તરણ (26.2) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (વધુ વિગતવાર સ્વરૂપ માટે, જુઓ (26.3)), જેનો મુખ્ય ભાગ માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં શરતો ધરાવે છે, અને સાથે-ડી" f 0. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે Zq - કાર્ય ધ્રુવ f(z).સમાનતા (26.3) વડે ગુણાકાર (જી - જી o) iV , આપણને ફંક્શન મળે છે

(26.4) માંની શ્રેણી એ પાવર સિરીઝ છે જે માત્ર પંચર થયેલ બિંદુમાં જ નહીં, પરંતુ બિંદુના સમગ્ર પડોશમાં પણ વિશ્લેષણાત્મક કાર્યમાં પરિવર્તિત થાય છે. Zq. તેથી કાર્ય h(z)આ પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક બની જશે જો આપણે આગળ તેને મૂકીને વ્યાખ્યાયિત કરીએ h(zo)= s_dg f 0. પછી

આમ, બિંદુ મી એક ધ્રુવ છે, અને પ્રમેય 26.3 સાબિત થાય છે.

શૂન્ય કાર્યની ગુણાકાર (ક્રમ). g(z)= 1//(r) કહેવાય છે ધ્રુવ ઓર્ડર th કાર્યો /(r). જો એન-પછી ધ્રુવનો ક્રમ g(z)= (જી - Zo) N ip(z),અને (જાઓ) એફ 0, અને, પ્રમેય 26.3 ના પુરાવાના પ્રથમ ભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, કાર્ય /(r) ના વિસ્તરણનું સ્વરૂપ (26.3) છે, જ્યાં c_/v f 0. તેનાથી વિપરિત, જો /(r) ને શ્રેણી (26.3) માં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે અને e-i એફ 0, પછી

ટી.એસ. એન-કાર્યના ધ્રુવનો ક્રમ /(r). આમ, zq કાર્યનો ધ્રુવ ક્રમ/(જી) બિંદુ zq ના પંચર પડોશમાં લોરેન્ટ વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગના સર્વોચ્ચ બિન-શૂન્ય ગુણાંકની સંખ્યા જેટલી છે(એટલે ​​​​કે આ સંખ્યા જેટલી એન,શું s_dg f 0 અને એસપી= 0 ખાતે પી > એન).

ચાલો આપણે નીચેના નિવેદનને સાબિત કરીએ, જે એપ્લિકેશન માટે અનુકૂળ છે.

કોરોલરી 26.4. બિંદુ zq એ કાલ્પનિક ક્રમ N નો ધ્રુવ છે/(જી) પછી અને ત્યારે જ/(જી) સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે

જ્યાં h(z) એ બિંદુની નજીકમાં એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છેમી અને h(zo) f 0.

પુરાવો. કાર્ય cp(z) = l/h(z)બિંદુ h ના કેટલાક પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક છે કોરોલરી 26.4 ની સ્થિતિ નીચેનાની સમકક્ષ છે:

એ કારણે zq - શૂન્ય ગુણાકાર એનકાર્યો g(z).અને તેથી બહુવિધતાનો ધ્રુવ એનકાર્યો /(2).

II ઉદાહરણ 26.5. ફંક્શનના અલગ એકવચન બિંદુઓ શોધો અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો.

ઉકેલ: જે બિંદુઓ પર (z 2 + 1 )(z+ Z) 2 = 0. જો z 2 L- 1 = 0, પછી 2 = ±gજો (z 4- 3) 2 = 0, પછી z= -3. તેથી ફંક્શનમાં ત્રણ એકવચન બિંદુઓ છે z= g, 22 = -g, ઝેડ3 = - 3. ધ્યાનમાં લો z:

જી -ફર્સ્ટ ઓર્ડર પોલ (અમે કોરોલરી 26.4 નો ઉપયોગ કર્યો છે). તે સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે કે 22 = -iપ્રથમ ક્રમનો ધ્રુવ પણ. 2z માટે અમારી પાસે છે:

ચાલો આપણે અનિવાર્યપણે એકવચન મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ.

પ્રમેય 26.6. ફંક્શન f(z) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ zq આવશ્યકપણે એકવચન છે જો અને માત્ર જો કેન્દ્ર zq સાથે લોરેન્ટ વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગથી અનંતપણે ઘણા અલગ હોય. શૂન્ય, p માંથી ગુણાંક.

પુરાવો. પ્રમેય 26.6 પ્રમેય 26.2 અને 26.3 થી સીધા અનુસરે છે. ખરેખર, જો બિંદુ zq અનિવાર્યપણે વિશિષ્ટ છે, તો પછી લોરેન્ટ વિસ્તરણનો મુખ્ય ભાગ ગેરહાજર હોઈ શકતો નથી અથવા મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો ધરાવતો નથી (અન્યથા બિંદુ Zq કાં તો દૂર કરી શકાય તેવું અથવા ધ્રુવ હશે). તેથી, મુખ્ય ભાગમાં પદોની સંખ્યા અનંત હોવી જોઈએ.

તેનાથી વિપરિત, જો મુખ્ય ભાગમાં અનંતપણે ઘણી બધી શરતો હોય, તો પછી Zq ન તો દૂર કરી શકાય તેવા બિંદુ હોઈ શકે કે ન તો ધ્રુવ. તે અનુસરે છે કે આ બિંદુ આવશ્યકપણે વિશિષ્ટ છે.

વ્યાખ્યા અનુસાર, આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ફંક્શન /(2) માટે ન તો કોઈ મર્યાદિત છે કે ન તો અનંત મર્યાદા z ->zq આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુની પડોશમાં કાર્યનું વર્તન કેટલું અનિયમિત છે તેનો વધુ સંપૂર્ણ ખ્યાલ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

પ્રમેય 26.7 (સોખોત્સ્કીનું પ્રમેય). જો વ્યક્તિઓ માટે zq આવશ્યક હોય, તો ફંક્શનનો બિંદુ f(z), પછી કોઈપણ માટે જટિલ સંખ્યા એલ, A = સહિતઓહ, બિંદુઓનો ક્રમ z n એવો છે કે z n -> zo અનેલિમ f(zn) = એ.

p->os

પુરાવો. ચાલો પહેલા કેસનો વિચાર કરીએ A = oo પ્રમેય 2G.2 ના પુરાવાના પ્રથમ ભાગમાં અમે સ્થાપિત કર્યું છે કે જો f(z)બિંદુ r ના અમુક પંચર પડોશમાં બંધાયેલ છે, પછી તમામ ગુણાંક c" n = - 1,- 2,... મુખ્ય ભાગ શૂન્યની બરાબર છે (અને તેથી, ગોમાં એકલતા દૂર કરી શકાય તેવી છે). શરત દ્વારા th એ આવશ્યક એકવચન બિંદુ છે, તો પછી બિંદુ th ના કોઈપણ પંચર પડોશમાં ફંક્શન f(r) અનબાઉન્ડેડ છે. ચાલો આપણે અમુક મજબૂત પડોશી 0 Z લઈએ જેમ કે f(zi) > 1 (જો |/(r)| z - zo I/2 ત્યાં એક બિંદુ છે z-2 , જેમાં |/(yy)| > 2, વગેરે: પંચર પડોશમાં O 71. તે સ્પષ્ટ છે કે r„ -e જાઓ અને lim /(r“) = oo. આમ, કિસ્સામાં A = oo, પ્રમેય 26.7

સાબિત.

ચાલો હવે એ એફ oo ચાલો પહેલા ધારીએ કે પંચર થયેલ પડોશી 0 છે

= -yy---- આ પંચર પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક હશે અને પરિણામે,

/(જી) - એ

પરિણામે, ગો ફંક્શન Φ(r) નો એક અલગ એકવચન બિંદુ છે. અમે તમને બતાવીશું. તે r એ Φ(r) નો આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે. આ સાચું ન હોઈ શકે. પછી એક મર્યાદા છે lim Ф(r), મર્યાદિત અથવા અનંત. થોડીવાર માટે

/(r) = A + , પછી Hsh /(r) પણ છે, જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે

F(g) ~ :-*z 0

હું પ્રમેય જોઉં છું. આમ, r0 એ ફંક્શન Φ(r) નો આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે. ઉપર જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, બિંદુઓનો ક્રમ છે r n જેમ કે r n th અને lim Ф(r n) = oo. અહીંથી

અમે ધારણા હેઠળ જરૂરી નિવેદન સાબિત કર્યું છે કે /(r) એફ એબિંદુ ગોના કેટલાક પંચર પડોશમાં- ચાલો હવે માની લઈએ કે આ ખોટું છે, એટલે કે. બિંદુ મી ના કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાના પંચર પડોશમાં આવા બિંદુ છે જી",કે /(r") = L. પછી કોઈપણ માટે પીપંચર પડોશમાં 0 f(z u) = А આમ, ઇચ્છિત વિધાન સાચું છે પી-યુઓ

બધા કિસ્સાઓમાં, અને પ્રમેય 26.7 સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 26.7 (સોખોત્સ્કી) મુજબ, અનિવાર્યપણે એકવચન બિંદુના કોઈપણ (મનસ્વી રીતે નાના) પંચર પડોશમાં, ફંક્શન /(r) વિસ્તૃત રીતે કોઈપણ સંખ્યાની નજીકના મૂલ્યો લે છે. જટિલ વિમાનસાથે.

અલગ એકવચન બિંદુઓનો અભ્યાસ કરવા માટે, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના પહેલાથી જાણીતા ટેલર વિસ્તરણ ઘણીવાર ઉપયોગી છે.

ઉદાહરણ 2G.8. કાર્ય માટે એકવચન બિંદુ zq = 0 નો પ્રકાર નક્કી કરો

ઉકેલો અને e z r ને બદલે અને 1 બાદ કરવાથી આપણને મળે છે

(22.12) નો ઉપયોગ કરીને, અમે છેદનું વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ:

આ વિસ્તરણની શ્રેણી સમગ્ર જટિલ સમતલમાં એકરૂપ થાય છે €. અમારી પાસે

અને /2(2) બિંદુના પડોશમાં અનારિતિક છે zo = 0 (અને સમગ્ર વિમાનમાં પણ) અને /2(20) એફ 0, પછી h(z)બિંદુ gF 0 ના કેટલાક પડોશમાં પણ વિશ્લેષણાત્મક છે. કોરોલરી 26.4 અનુસાર, બિંદુ ઝો = 0 એ ઓર્ડરનો ધ્રુવ છે N=4.

II ઉદાહરણ 26.9. ફંક્શનના એકવચન બિંદુઓ શોધો f(z)= sin j - અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો.

R e in e i e. ફંક્શનમાં એક જ મર્યાદિત એકવચન બિંદુ છે zq = 1. C થી અન્ય બિંદુઓ પર કાર્ય w =--- વિશ્લેષણાત્મક; તેથી કાર્ય પાપ ડબલ્યુવિશ્લેષણાત્મક હશે.

અવેજી - સાઈન (22.12) ના વિસ્તરણમાં r ને બદલે, આપણને મળે છે

અમને વિઘટન મળ્યું કાર્યો પાપ-બિંદુ 2o = 1 ના પંચર પડોશમાં લોરેન્ટ શ્રેણીમાં. કારણ કે પરિણામી વિસ્તરણમાં નકારાત્મક શક્તિઓ (r - 1) સાથે અનંતપણે ઘણા બધા શબ્દો હોય છે, તો પછી zq = 1 એ આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ છે (આ કિસ્સામાં, લોરેન્ટ વિસ્તરણમાં ફક્ત મુખ્ય ભાગનો સમાવેશ થાય છે, અને નિયમિત ભાગ ખૂટે છે).

નોંધ કરો કે શ્રેણીના વિસ્તરણનો આશરો લીધા વિના, સીધી વ્યાખ્યામાંથી આ કિસ્સામાં એકલતાની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરવી શક્ય છે. ખરેખર, ત્યાં ક્રમ છે (r",) અને (2") સાથે કન્વર્જિંગ zo= 1, અને જેમ કે f(z"n)= 1, /(2") = 0 (આવા સિક્વન્સ જાતે સૂચવો). તેથી, f(z)પર કોઈ મર્યાદા નથી z -> 1 અને તેથી બિંદુ zq - 1 આવશ્યકપણે વિશેષ છે.

ચાલો બિંદુના પડોશમાં ફંક્શનના લોરેન્ટ વિસ્તરણની વિભાવના રજૂ કરીએ Zq = 00 અને આ બિંદુએ વિસ્તરણ અને એકલતાની પ્રકૃતિ વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લો. નોંધ કરો કે એક અલગ એકવચન બિંદુ અને તેના પ્રકાર (દૂર કરી શકાય તેવા, ધ્રુવ અથવા આવશ્યકપણે એકવચન) ની વ્યાખ્યાઓ કેસમાં વહન કરે છે. zq = oc ફેરફારો વિના. પરંતુ પ્રમેય 26.2. 26.3 અને 26.6, લોરેન્ટ વિસ્તરણની પ્રકૃતિ સાથે સંબંધિત, બદલવાની જરૂર છે. મુદ્દો એ છે કે સભ્યો cn(z- 2o) પી. પી= -1,-2,..., મુખ્ય ભાગ, નજીકના કાર્યની "અનિયમિતતા" ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અંતિમ બિંદુ Zq, જેમ કે 2 oo તરફ વલણ ધરાવે છે, તેઓ "યોગ્ય રીતે" વર્તે છે (0 તરફ વલણ ધરાવે છે). તેનાથી વિપરિત, યોગ્ય ભાગના સભ્યો સાથે પી= 1,2,... oo તરફ વલણ કરશે; તેઓ માં લક્ષણની પ્રકૃતિ નક્કી કરે છે Zq = oo. તેથી, oo ની નજીકમાં વિસ્તરણના મુખ્ય ભાગમાં શરતોનો સમાવેશ થશે સકારાત્મક શક્તિઓ પી,અને સાચો - નકારાત્મક સાથે.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ w = 12. કાર્ય ટીવી = 1/2, વિસ્તૃત જેથી u(oo) = 0, વન-ટુ-વન અને સુસંગત રીતે પડોશનો નકશો બનાવે z > આરપોઈન્ટ zq = 00 |w| ની નજીકમાં wq = 0. જો કાર્ય f(z)પંચર પડોશમાં વિશ્લેષણ આર z Zq = oc, પછી કાર્ય G(w) = f(l/w)મહાન પડોશમાં વિશ્લેષણાત્મક હશે 0 wo = 0. ત્યારથી 2 -> oo ત્યાં હશે ડબલ્યુ-> 0, પછી

એ કારણે G(w)બિંદુ પર છે wq = 0 એ સમાન પ્રકારનું લક્ષણ છે f(z)બિંદુ પર Zq = 00. ચાલો બિંદુ wo = 0 ના પંચર પડોશમાં ફંક્શન G(w) ને લોરેન્ટ શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરીએ:

(26.5) ની જમણી બાજુના સરવાળો અનુક્રમે વિસ્તરણના નિયમિત અને મુખ્ય ભાગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ચાલો ચલ તરફ આગળ વધીએ z,અવેજી w = 1/z:

નિયુક્ત પી= -A*, 6* = 6_„= એસ પીઅને તે નોંધવું G(l/z) = f(z), અમને મળે છે

વિઘટન (2G.G) કહેવાય છે બિંદુ zq ના પંચર પડોશમાં ફંક્શન f(z) નું લોરેન્ટ વિસ્તરણ= oo. (2G.6) માં પ્રથમ રકમ કહેવામાં આવે છે જમણો ભાગ, અને બીજો સરવાળો છે મુખ્ય ભાગઆ વિઘટનની. આ રકમો વિસ્તરણ (26.5) ના સાચા અને મુખ્ય ભાગોને અનુરૂપ હોવાથી, પ્રમેય 26.2, 26.3 અને 26.6 ના એનાલોગ વિસ્તરણ (26.6) માટે માન્ય છે. આમ, નીચેનું પ્રમેય પ્રમેય 26.2 નું એનાલોગ હશે.

પ્રમેય 26.10. અલગ એકવચન બિંદુZq - ઓએસ (કાર્યો/(જી) દૂર કરી શકાય તેવું છે જો અને માત્ર જો આ બિંદુના પંચર પડોશમાં લોરેન્ટ વિસ્તરણનું સ્વરૂપ હોય

ટી.એસ. માત્ર સાચો ભાગ સમાવે છે.

ચાલો /(oo) = મૂકીએ સહપડોશમાં કન્વર્જિંગ શ્રેણી (26.7) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય z > આરબિંદુ 2o = oc, કહેવાય છે બિંદુ z પર વિશ્લેષણાત્મક o = oo. (નોંધ કરો કે આ વ્યાખ્યા કાર્યના વિશ્લેષણની સમકક્ષ છે G(w) બિંદુ પર wo = 0.)

ઉદાહરણ 26.11. ફંક્શનના એકવચન બિંદુ zq = oo ની તપાસ કરો

મર્યાદા મર્યાદિત હોવાથી zo = oo એ ફંક્શન /(r) નું દૂર કરી શકાય તેવું એકવચન બિંદુ છે. જો આપણે /(oo) = lim મૂકીએ J(z)= 0, પછી f(z)વિશ્લેષણાત્મક બની જશે

બિંદુ પર ટિક ઝો= ઓએસ. ચાલો આપણે અનુરૂપ વિસ્તરણ કેવી રીતે શોધવું તે સૂચવીએ (26.7). ચાલો ચલ તરફ આગળ વધીએ ડબલ્યુ = 1 fzઅવેજીમાં z= 1 /?е, આપણને મળે છે

(છેલ્લી સમાનતા બિંદુ wо = 0 ના પંચર પડોશમાં માન્ય છે, પરંતુ અમે આગળ વ્યાખ્યાયિત કરીશું (7(0) = 0). પરિણામી કાર્યમાં એકવચન બિંદુઓ છે w =±i, w =-1/3, અને બિંદુ પર Wq = 0 એ વિશ્લેષણાત્મક છે. અનફોલ્ડિંગ કાર્ય G(w)ડિગ્રી દ્વારા ડબલ્યુ(ઉદાહરણ 25.7 માં કરવામાં આવ્યું હતું તેમ) અને પરિણામી પાવર શ્રેણીમાં બદલીને w = 1/z,આપણે ફંક્શનનું વિસ્તરણ (26.7) મેળવી શકીએ છીએ f(z).

કેસ માટે પ્રમેય 26.3 zo= oo નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવામાં આવશે.

પ્રમેય 26.12. અલગ એકવચન બિંદુ th = os ફંક્શન f(z) એ એક ધ્રુવ છે જો અને માત્ર જો લોરેન્ટ વિસ્તરણનો મુખ્ય ભાગ હોય (26.6) બિનશૂન્ય ગુણાંકની માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં છેસાથે":

અહીં શ્રેણી નિયમિત ભાગ છે, અને કૌંસમાં બહુપદી એ વિસ્તરણનો મુખ્ય ભાગ છે. oc માં ધ્રુવ બહુવિધતાને ધ્રુવ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે wq = 0 કાર્યો G(z).તે જોવાનું સરળ છે કે ધ્રુવની ગુણાકાર સંખ્યા સાથે એકરુપ છે એનમાં (26.8).

સ પ | (i 2 + 1)(z+3) 2

કાર્ય. તે કાર્ય બતાવો f(z) =-- -- માં છે

બિંદુ zo =ઓર્ડરનો ધ્રુવ 3.

આવશ્યકપણે એકવચન બિંદુ પર પ્રમેય 26.6 કેસ માટે ફરીથી લખી શકાય છે zo= os લગભગ શબ્દશઃ, અને અમે આના પર વિગતવાર ધ્યાન આપતા નથી.