સતત એવોગાડ્રો ભૌતિકશાસ્ત્ર. એવોગાડ્રો સતત

સૌથી સરળ મોડલ ઓસીલેટરી ગતિડાયટોમિક પરમાણુમાં અણુઓ બે માસની સિસ્ટમ તરીકે સેવા આપી શકે છે ટી/ અને w?, એક સ્થિતિસ્થાપક વસંત દ્વારા જોડાયેલ. સમૂહના કેન્દ્રને સંબંધિત બે અણુઓના કંપનને એક સમકક્ષના કંપન દ્વારા બદલી શકાય છે

પ્રારંભિક સાપેક્ષ સમૂહ શૂન્ય બિંદુ આર = 0, ક્યાં

આર- જનતા વચ્ચેનું અંતર, આર ઇ- સંતુલન બિંદુની સ્થિતિ.

શાસ્ત્રીય વિચારણામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે વસંત આદર્શ છે - સ્થિતિસ્થાપક બળ F એ વિરૂપતા માટે સીધા પ્રમાણસર છે - સંતુલનમાંથી વિચલન x = R-R e,હૂકના કાયદા અનુસાર:

જ્યાં થી- સ્થિતિસ્થાપકતા સતત. આમ, બળ સંતુલન સ્થિતિ પર પાછા ફરવા તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

હૂક અને ન્યુટનના નિયમોનો એકસાથે ઉપયોગ કરવો (એફ-ટા),લખી શકાય છે:

(સૂચિત કરે છે). આવા સમીકરણનો ઉકેલ જાણવા મળે છે

હાર્મોનિક કાર્યો કરે છે

જ્યાં xo- કંપનવિસ્તાર, અને

ઘટાડેલા સમૂહનો ઉપયોગ કરીને /lઅમને મળે છે:

સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જાનું માપ વીકામ કરે છે

IN ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સસરળ મોડેલ માટે કંપન વિશ્લેષણ હાર્મોનિક ઓસિલેટરતદ્દન જટિલ. તે Schrödinger સમીકરણને ઉકેલવા પર આધારિત છે

(વાય/- વાઇબ્રેશનલ વેવ ફંક્શન, ઇ - કુલ ઊર્જાકણો) અને અમારી રજૂઆતના અવકાશની બહાર છે.

ક્વોન્ટમ ઓસિલેટર માટે તે માત્ર શક્ય છે અલગ શ્રેણીસૂત્ર અનુસાર ઊર્જા E અને ફ્રીક્વન્સીઝના મૂલ્યો E=hv.ઉપરાંત, ન્યૂનતમ મૂલ્યઓસિલેટર ઊર્જા શૂન્ય નથી. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે શૂન્ય ઊર્જા, તે ઓસિલેટરના સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તરને અનુલક્ષે છે અને તે ની બરાબર છે, તેના અસ્તિત્વને હાઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધના આધારે સમજાવી શકાય છે.

આમ, અનુસાર ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સહાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા પરિમાણિત છે:

જ્યાં વિ- ઓસીલેટરી ક્વોન્ટમ નંબર, જે મૂલ્ય y=0, 1, 2, 3,.... લઈ શકે છે.

જ્યારે ઓસિલેટર ક્વોન્ટા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનત્રણ પરિબળો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ: 1) સ્તરોની વસ્તી (આપેલ સમયે પરમાણુ શોધવાની સંભાવના ઊર્જા સ્તર); 2) આવર્તન નિયમ (બોહર), જે મુજબ ક્વોન્ટમની ઊર્જા કોઈપણ બે સ્તરોની ઊર્જામાં તફાવતને અનુરૂપ હોવી જોઈએ;

3) ક્વોન્ટમ સંક્રમણો માટે પસંદગીનો નિયમ: સંક્રમણ સંભાવના, એટલે કે. શોષણ સ્પેક્ટ્રમમાં રેખાઓની તીવ્રતા જથ્થા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સંક્રમણ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ (જુઓ સૈદ્ધાંતિક પરિચય). સૌથી સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના કિસ્સામાં, પસંદગીનો નિયમ તરંગ કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈને મેળવવામાં આવે છે. તે જણાવે છે કે સંક્રમણો માત્ર અડીને આવેલા સ્તરો ("એક પગલું") વચ્ચે થઈ શકે છે: કંપનશીલ ક્વોન્ટમ નંબર એક દ્વારા બદલાય છે એવ= 1. સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી, હાર્મોનિક ઓસિલેટરના શોષણ સ્પેક્ટ્રમમાં આવર્તન સાથે માત્ર એક રેખા હોવી જોઈએ

ત્યારથી, ઓરડાના તાપમાને બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ અને વધુ અનુસાર નીચા તાપમાનસૌથી નીચું સ્પંદન સ્તર વસ્તી ધરાવતું છે, પછી સૌથી તીવ્ર સંક્રમણ ખૂબ જ છે નીચું સ્તર(d=0), અને આ રેખાની આવર્તન ઉચ્ચ સ્તરોથી નજીકના, ઉચ્ચ સ્તર સુધીના નબળા સંક્રમણોની આવર્તન સાથે એકરુપ છે.

માટે હાર્મોનિક ઓસિલેટર વેવ ફંક્શન્સના આલેખ વિવિધ અર્થોઊર્જા આકૃતિ 2.3 માં દર્શાવવામાં આવી છે. તેઓ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે

જ્યાં N, -સામાન્યકરણ પરિબળ, એચ 0- હર્માઇટ બહુપદી, x = R-R e- સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલન.

વાઇબ્રેશનલ સંક્રમણો માટે સંક્રમણ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ, R0(અથવા M„)સમાન:

જ્યાં જુ - દ્વિધ્રુવ ક્ષણપરમાણુઓ; ખચકાટ

શરીર તરંગ કાર્યોઅનુક્રમે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિઓ. સૂત્રમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે સંક્રમણની મંજૂરી છે,

જો સંતુલન બિંદુ પર હોય તો - પરમાણુની દ્વિધ્રુવી ક્ષણ

સંતુલન બિંદુની સ્થિતિની નજીકના ફેરફારો, (વળાંક ju=f(R)આ બિંદુએ મહત્તમમાંથી પસાર થતું નથી). અવિભાજ્ય (સૂત્રમાં બીજો પરિબળ) પણ શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ. તે બતાવી શકાય છે કે જો સંક્રમણ નજીકના સ્તરો વચ્ચે થાય છે, તેથી આ સ્થિતિ પૂરી થાય છે વધારાનો નિયમપસંદગી અય = 1.

કિસ્સામાં ડાયટોમિક પરમાણુઓવાઇબ્રેશનલ સ્પેક્ટ્રા માત્ર હેટરોન્યુક્લિયર પરમાણુઓ માટે અવલોકન કરી શકાય છે; CO2 નું વાઇબ્રેશનલ સ્પેક્ટ્રા સ્પંદનો દર્શાવે છે (એન્ટિસમેટ્રિક સ્ટ્રેચિંગ અને બેન્ડિંગ), જેમાં દ્વિધ્રુવ ક્ષણ બદલાય છે, પરંતુ સપ્રમાણ સ્પંદનો, જેમાં તે યથાવત રહે છે, દેખાતા નથી.

હલનચલન કરતી વખતે હાર્મોનિક ઓસિલેશન્સ કરતી સંસ્થાઓને હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે. ચાલો હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. સ્પ્રિંગ લોલક એ સમૂહનું શરીર છેm, વજનહીન સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ ઓસીલેટ કરવામાં સક્ષમ (m ઝરણા  m શરીર ) ઝરણા (ફિગ. 4.2).

ટી

ફિગ.4.3. ભૌતિક લોલક.

ઉદાહરણ 2. ભૌતિક લોલક છે નક્કરગતિશીલ આડી અક્ષની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ ઓસીલેટિંગ કે જે તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર C (ફિગ. 4. 3) સાથે સુસંગત નથી. અક્ષ O બિંદુ પરથી પસાર થાય છે. જો લોલકને સંતુલન સ્થિતિથી નાના કોણ  દ્વારા વિચલિત કરવામાં આવે અને છોડવામાં આવે, તો તે ગતિશીલતાના મૂળભૂત સમીકરણને અનુસરીને ઓસીલેટ થશે. રોટેશનલ ચળવળનક્કર
, ક્યાં જે- જડતાની ક્ષણધરીને સંબંધિત લોલક, M એ બળ પુનઃસ્થાપિત કરવાની ક્ષણ છે ભૌતિક લોલકસમતુલાની સ્થિતિમાં. તે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે, તેની ક્ષણ સમાન છે
(l=OS). પરિણામે આપણને મળે છે
. આ વિભેદક સમીકરણમાટે વધઘટ મનસ્વી ખૂણાવિચલનો નાના ખૂણા પર, જ્યારે
,
અથવા, લેવું
, આપણે ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ
.
તેના ઉકેલોનું સ્વરૂપ છે
અથવા
અને સમયગાળો
.

. આમ, સંતુલન સ્થિતિમાંથી નાના વિચલનો માટે, ભૌતિક લોલક ચક્રીય આવર્તન સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે ઉદાહરણ 3.mગાણિતિક લોલક એ દળ સાથેનો પદાર્થ બિંદુ છેm(નાના કદનો ભારે બોલ), વજન વિનાના પર સસ્પેન્ડ (ની સરખામણીમાંl. બોલ), સ્થિતિસ્થાપક, અક્ષમ થ્રેડ લાંબો જો તમે બોલને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી એક નાના કોણ  દ્વારા ઊભીથી વિચલિત કરીને દૂર કરો છો, અને પછી તેને છોડો છો, તો તે ઓસીલેટ થશે. જો આપણે આ સિસ્ટમને ભૌતિક લોલક તરીકે ધ્યાનમાં લઈએભૌતિક બિંદુની જડતાની ક્ષણ

,
.

J = ml 2, પછી ભૌતિક લોલક માટેના સૂત્રોમાંથી આપણે ગાણિતિક લોલકના ચક્રીય આવર્તન અને ઓસિલેશનના સમયગાળા માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ.. @

4. 4. ભીના થયેલા ઓસિલેશન હાર્મોનિક ઓસિલેશનના માનવામાં આવેલા ઉદાહરણોમાં, એકમાત્ર બળ કાર્ય કરે છેસામગ્રી બિંદુ (શરીર), હતીઅર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળ

F અને કોઈપણ વાસ્તવિક સિસ્ટમમાં હાજર રહેલા પ્રતિકારક દળોને ધ્યાનમાં લીધા નથી. તેથી, માનવામાં આવતા ઓસિલેશનને આદર્શ અનડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કહી શકાય. વાસ્તવિક માં ઉપલબ્ધતાપર્યાવરણની પ્રતિકારક શક્તિ સિસ્ટમની ઊર્જામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. જો બાહ્ય દળોના કાર્ય દ્વારા ઊર્જાની ખોટ ફરી ભરાઈ ન જાય, તો ઓસિલેશન્સ મરી જશે. ડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ તે છે જેનું કંપનવિસ્તાર સમય સાથે ઘટે છે.

ચાલો મુક્ત ભીના ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ. ઓછી ઝડપે, ડ્રેગ ફોર્સ F C ઝડપ v ના પ્રમાણસર હોય છે અને દિશામાં તેનાથી વિપરીત પ્રમાણસર હોય છે.
, જ્યાં આર - ખેંચો ગુણાંકપર્યાવરણ ઉપયોગ કરીને ન્યુટનનો બીજો નિયમ, આપણે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ ભીના ઓસિલેશન
,
,
. ચાલો સૂચિત કરીએ
,
. પછી વિભેદક સમીકરણ ફોર્મ લે છે:

ફિગ.4.4. સમયસર ભીના થયેલા ઓસિલેશનના વિસ્થાપન અને કંપનવિસ્તારની અવલંબન.

આ ભીના ઓસિલેશનનું વિભેદક સમીકરણ છે. અહીં  0 એ સિસ્ટમના ઓસિલેશનની કુદરતી આવર્તન છે, એટલે કે. r=0,  પર મુક્ત ઓસિલેશનની આવર્તન - ભીનાશ ગુણાંક કંપનવિસ્તારમાં ઘટાડાનો દર નક્કી કરે છે.  0 શરત હેઠળ આ સમીકરણના ઉકેલો છે

અથવા
.

છેલ્લા કાર્યનો આલેખ આકૃતિ 4.4 માં દર્શાવેલ છે. ઉપલા ડોટેડ લાઇન ફંક્શનનો ગ્રાફ આપે છે
, અને 0 એ સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે કંપનવિસ્તાર છે. ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર કંપનવિસ્તાર સમય જતાં ઘટે છે,  - એટેન્યુએશન ગુણાંક તીવ્રતામાં વ્યસ્ત છે આરામનો સમય , એટલે કે સમય કે જે દરમિયાન કંપનવિસ્તાર e વખત દ્વારા ઘટે છે, ત્યારથી

,
,  = 1, . ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન અને સમયગાળો
,
; માધ્યમના ખૂબ ઓછા પ્રતિકાર પર ( 2  0 2), ઓસિલેશન સમયગાળો લગભગ સમાન છે
.

જેમ જેમ  વધે છે તેમ, ઓસિલેશનનો સમયગાળો વધે છે અને > 0 પર, વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ દર્શાવે છે કે ઓસિલેશન થતું નથી, પરંતુ સંતુલન સ્થિતિ તરફ સિસ્ટમની એકવિધ હિલચાલ થાય છે. આ પ્રકારની ગતિને એપિરીયોડિક કહેવામાં આવે છે. ઓસિલેશનના એટેન્યુએશનના દરને દર્શાવવા માટે, વધુ બે પરિમાણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ડેમ્પિંગ ડીક્રમેન્ટ ડી અને . લઘુગણક ઘટાડો

ભીનાશમાં ઘટાડો દર્શાવે છે કે એક સમયગાળા T દરમિયાન ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર કેટલી વખત ઘટે છે.

એન

ભીના થતા ઘટાડાનો પ્રાકૃતિક લઘુગણક લઘુગણક ઘટાડો છે કારણ કે
, તે

, જ્યાં N એ સમય દીઠ ઓસિલેશનની સંખ્યા છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરહાર્મોનિક ઓસિલેટર (શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં) - એક સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપિત બળનો અનુભવ કરે છેએફ , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર x

જ્યાં (હૂકના કાયદા મુજબ): k

- સિસ્ટમ કઠોરતા ગુણાંક. (શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં) - એક સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપિત બળનો અનુભવ કરે છેજો સિસ્ટમ પર કામ કરતું એકમાત્ર બળ છે, પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છેસરળ અથવારૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર . આવી સિસ્ટમના ફ્રી વાઇબ્રેશન્સ છેસંતુલન સ્થિતિની નજીક ( હાર્મોનિક સ્પંદનો). આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સતત છે, અને આવર્તન કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના યાંત્રિક ઉદાહરણો ગાણિતિક લોલક (વિક્ષેપના નાના ખૂણાઓ સાથે), ટોર્સિયન લોલક અને એકોસ્ટિક સિસ્ટમ્સ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના અન્ય એનાલોગમાં, તે ઇલેક્ટ્રિક હાર્મોનિક ઓસિલેટરને હાઇલાઇટ કરવા યોગ્ય છે (એલસી સર્કિટ જુઓ).

મફત સ્પંદનો

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટરના મોડેલ તરીકે, અમે સામૂહિક ભાર લઈએ છીએ m, કઠોરતા દ્વારા વસંત પર નિશ્ચિત (હૂકના કાયદા મુજબ): .

દો , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર- સંતુલન સ્થિતિને સંબંધિત ભારનું વિસ્થાપન. પછી, હૂકના કાયદા અનુસાર, પુનઃસ્થાપિત દળ તેના પર કાર્ય કરશે:

પછી કુલ ઊર્જાસતત મૂલ્ય ધરાવે છે

સરળ હાર્મોનિક ગતિ - આ એક સરળ ચળવળ છે હાર્મોનિક ઓસિલેટર, સામયિક ગતિ કે જે ન તો ફરજ પાડવામાં આવે છે કે ન તો ભીની હોય છે. સરળ હાર્મોનિક ગતિમાં શરીર એક જ ચલ બળના સંપર્કમાં આવે છે, જે તીવ્રતામાં વિસ્થાપનના સીધા પ્રમાણસર હોય છે. , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસરસંતુલન સ્થિતિથી અને વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે.

આ ચળવળ સામયિક છે: શરીર સાઇનસૉઇડલ કાયદા અનુસાર સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ ફરે છે. દરેક અનુગામી ઓસિલેશન પાછલા એક સમાન હોય છે, અને ઓસિલેશનનો સમયગાળો, આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સ્થિર રહે છે. જો આપણે ધારીએ કે સંતુલન સ્થિતિ સંકલન સાથેના બિંદુ પર છે, શૂન્ય બરાબર, પછી ઓફસેટ , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસરકોઈપણ સમયે સંતુલન સ્થિતિમાંથી શરીર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

જ્યાં એ- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, f- આવર્તન, φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

ચળવળની આવર્તન નક્કી કરવામાં આવે છે લાક્ષણિક ગુણધર્મોસિસ્ટમ (ઉદાહરણ તરીકે, ફરતા શરીરનો સમૂહ), જ્યારે કંપનવિસ્તાર અને પ્રારંભિક તબક્કો પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - ઓસિલેશન શરૂ થાય તે ક્ષણે શરીરનું વિસ્થાપન અને ગતિ. સિસ્ટમની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા પણ આ ગુણધર્મો અને સ્થિતિઓ પર આધારિત છે.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ હોઈ શકે છે ગાણિતિક મોડેલો વિવિધ પ્રકારોહલનચલન જેમ કે ઝરણાનું ઓસિલેશન. અન્ય કિસ્સાઓ કે જેને આશરે સાદી હાર્મોનિક ગતિ તરીકે ગણી શકાય તે છે લોલકની ગતિ અને પરમાણુઓના કંપન.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ એ વધુ જટિલ પ્રકારની ગતિનું વિશ્લેષણ કરવાની કેટલીક રીતોનો આધાર છે. આમાંની એક પદ્ધતિ એ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર આધારિત પદ્ધતિ છે, જેનો સાર વધુ વિસ્તરણ સુધી ઉકળે છે. જટિલ પ્રકારસરળ હાર્મોનિક હિલચાલની શ્રેણીમાં હલનચલન.

કોઈપણ સિસ્ટમ જેમાં સરળ હાર્મોનિક ગતિ થાય છે તેના બે મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

1. જ્યારે સિસ્ટમને સંતુલનમાંથી બહાર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે ત્યાં એક પુનઃસ્થાપિત બળ હોવું જોઈએ જે સિસ્ટમને સંતુલનમાં પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે.
2. પુનઃસ્થાપિત બળ વિસ્થાપનના બરાબર અથવા આશરે પ્રમાણસર હોવું જોઈએ.

લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ આ બંને શરતોને સંતોષે છે.

એકવાર વિસ્થાપિત ભાર પુનઃસ્થાપિત બળને આધિન થઈ જાય, તે વેગ આપે છે અને તેની મૂળ સ્થિતિ પર પાછા ફરે છે. પ્રારંભિક બિંદુ, એટલે કે, સંતુલન સ્થિતિ માટે. જેમ જેમ ભાર સંતુલન સ્થિતિની નજીક આવે છે, તેમ પુનઃસ્થાપિત બળ ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે. જો કે, પરિસ્થિતિમાં , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર = 0 લોડમાં ચોક્કસ માત્રામાં ગતિ (આવેગ) હોય છે, જે પુનઃસ્થાપિત બળની ક્રિયાને કારણે પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, લોડ સંતુલન સ્થિતિને ઓવરશૂટ કરે છે, વસંતને ફરીથી વિકૃત કરવાનું શરૂ કરે છે (પરંતુ પહેલેથી જ વિરુદ્ધ દિશામાં). જ્યાં સુધી ઝડપ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી પુનઃસ્થાપિત બળ તેને ધીમું કરશે; અને બળ ફરીથી લોડને તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પરત કરવાનો પ્રયત્ન કરશે.

જ્યાં સુધી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉર્જાની ખોટ ન હોય ત્યાં સુધી, ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે લોડ ઓસીલેટ થશે; આવી ચળવળને સામયિક કહેવામાં આવે છે.

વધુ વિશ્લેષણ બતાવશે કે લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ગતિ સરળ હાર્મોનિક છે.

સરળ હાર્મોનિક ગતિની ગતિશીલતા

એક-પરિમાણીય અવકાશમાં સ્પંદનો માટે, ન્યૂટનના બીજા નિયમને ધ્યાનમાં લેતા ( F= m  d² , વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર/d t² ) અને હૂકનો કાયદો ( (શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં) - એક સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપિત બળનો અનુભવ કરે છે = −kx, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ), અમારી પાસે બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે:

આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ sinusoidal છે; એક ઉકેલ છે:

જ્યાં એ, ω અને φ - સ્થિરાંકો, અને સંતુલન સ્થિતિ પ્રારંભિક એક તરીકે લેવામાં આવે છે. આમાંના દરેક સ્થિરાંકો એક મહત્વપૂર્ણ રજૂ કરે છે ભૌતિક મિલકતહલનચલન એકંપનવિસ્તાર છે, ω = 2π f- પરિપત્ર આવર્તન, અને φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિ

સરળ હાર્મોનિક ગતિને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિના એક-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય. જો કોઈ પદાર્થ ત્રિજ્યાના વર્તુળ સાથે સ્થિર કોણીય વેગ ω સાથે આગળ વધે છે આર, જેનું કેન્દ્ર પ્લેનનું મૂળ છે x−y, પછી દરેક સાથે આવી ચળવળ સંકલન અક્ષોકંપનવિસ્તાર સાથે સરળ હાર્મોનિક છે આરઅને ગોળાકાર આવર્તન ω.

સાદા લોલક જેવું વજન

નાના ખૂણાઓના અંદાજમાં, સરળ લોલકની ગતિ સરળ હાર્મોનિકની નજીક છે. લંબાઈના સળિયા સાથે જોડાયેલા આવા લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ℓ પ્રવેગક સાથે મફત પતન gસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

આ દર્શાવે છે કે ઓસિલેશનનો સમયગાળો લોલકના કંપનવિસ્તાર અને સમૂહ પર આધારિત નથી, પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે. gતેથી, લોલકની સમાન લંબાઈ સાથે, ચંદ્ર પર તે વધુ ધીમેથી સ્વિંગ કરશે, કારણ કે ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ નબળું છે અને ઓછું મૂલ્યમફત પતન પ્રવેગક.

આ અંદાજ માત્ર નાના વિચલન કોણ માટે સાચો છે, કારણ કે કોણીય પ્રવેગ માટે અભિવ્યક્તિ કોઓર્ડિનેટની સાઈનના પ્રમાણસર છે:

તે શું કરે છે કોણીય પ્રવેગકકોણ θ માટે સીધા પ્રમાણસર છે, અને આ સરળ હાર્મોનિક ગતિની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે.

ભીના હાર્મોનિક ઓસિલેટર

સમાન મોડેલને આધાર તરીકે લઈએ, અમે તેમાં ચીકણું ઘર્ષણનું બળ ઉમેરીશું. સ્નિગ્ધ ઘર્ષણનું બળ માધ્યમની તુલનામાં લોડની હિલચાલની ગતિ સામે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તે આ ગતિના પ્રમાણસર છે. પછી સંપૂર્ણ તાકાત, લોડ પર અભિનય, નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

સમાન ક્રિયાઓ હાથ ધરવાથી, અમે વર્ણન કરતું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ ભીના ઓસિલેટર:

અહીં હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યો છે: . ગુણાંકને એટેન્યુએશન કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે. તે આવર્તનનું પરિમાણ પણ ધરાવે છે.

ઉકેલ ત્રણ કેસોમાં વિભાજિત થાય છે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગ એ નોંધપાત્ર છે કે તે જટિલ ભીનાશ પર છે કે ઓસિલેટર સૌથી ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિ તરફ વળે છે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતાં ઓછું હોય, તો તે ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચશે, પરંતુ જડતાને કારણે તેને "ઓવરશૂટ" કરશે અને ઓસીલેટ થશે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટર સંતુલન સ્થિતિ તરફ ત્વરિત રીતે વલણ ધરાવે છે, પરંતુ વધુ ધીમેથી, ઘર્ષણ વધારે છે.

તેથી, ડાયલ સૂચકાંકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, એમીટરમાં), તેઓ સામાન્ય રીતે નિર્ણાયક એટેન્યુએશન રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે જેથી તેના રીડિંગ્સ શક્ય તેટલી ઝડપથી વાંચી શકાય.

ઓસિલેટરનું ભીનાશ પણ ઘણીવાર ગુણવત્તા પરિબળ તરીકે ઓળખાતા પરિમાણહીન પરિમાણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ગુણવત્તા પરિબળ સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, ગુણવત્તા પરિબળ સમાન છે:

ગુણવત્તા પરિબળ જેટલું ઊંચું હશે, ઓસિલેટર ઓસિલેશનનો ક્ષય ધીમો થશે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગવાળા ઓસિલેટરમાં 0.5 નું ગુણવત્તા પરિબળ હોય છે. તદનુસાર, ગુણવત્તા પરિબળ ઓસિલેટરની વર્તણૂક સૂચવે છે. જો ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટરની મુક્ત હિલચાલ ઓસિલેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; સમય જતાં, તે અમર્યાદિત સંખ્યામાં સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે. ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા ઓછું અથવા બરાબર ઓસીલેટરની બિન-ઓસીલેટરી ગતિને અનુરૂપ છે; વી મફત ચળવળતે એક જ સમયે સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે.

ગુણવત્તા પરિબળને કેટલીકવાર ઓસિલેટરનું ગેઇન ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે, કારણ કે ઉત્તેજનાની કેટલીક પદ્ધતિઓ સાથે, જ્યારે ઉત્તેજના આવર્તન રેઝોનન્ટ સાથે એકરુપ હોય છે, ત્યારે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઓછી આવર્તન પર ઉત્તેજિત કરતાં લગભગ ગણું વધારે હોય છે.

ઉપરાંત, ગુણવત્તા પરિબળ એ ઓસીલેટરી ચક્રની સંખ્યા જેટલો લગભગ સમાન છે જે દરમિયાન ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર એક પરિબળ દ્વારા ઘટે છે, દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ઓસીલેટરી ગતિના કિસ્સામાં, ભીનાશને આવા પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેમ કે:

• જીવન સમયસ્પંદનો (ઉર્ફ સડો સમય, તે સમાન છે આરામનો સમય) τ - સમય કે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

દબાણયુક્ત સ્પંદનો

ઓસિલેટર ઓસિલેશનને ફરજિયાત કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેના પર કેટલાક વધારાના બાહ્ય પ્રભાવ લાગુ કરવામાં આવે છે. આ અસર પેદા કરી શકાય છે વિવિધ માધ્યમો દ્વારાઅને દ્વારા વિવિધ કાયદા. ઉદાહરણ તરીકે, બળ ઉત્તેજના એ બળના ભાર પરની અસર છે જે ચોક્કસ કાયદા અનુસાર માત્ર સમય પર આધારિત છે. કાઇનેમેટિક ઉત્તેજના એ સ્પ્રિંગ જોડાણ બિંદુની હિલચાલ દ્વારા ઓસિલેટર પરની અસર છે આપેલ કાયદો. ઘર્ષણથી પ્રભાવિત થવું પણ શક્ય છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, જે માધ્યમ સાથે લોડ ઘર્ષણ અનુભવે છે તે આપેલ કાયદા અનુસાર આગળ વધે છે.