હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે. §15

ડાયટોમિક પરમાણુમાં અણુઓની કંપન ગતિનું સૌથી સરળ મોડલ બે દળની સિસ્ટમ હોઈ શકે છે ટી/ અને w?, એક સ્થિતિસ્થાપક વસંત દ્વારા જોડાયેલ. સમૂહના કેન્દ્રને સંબંધિત બે અણુઓના કંપનને એક સમકક્ષના કંપન દ્વારા બદલી શકાય છે

પ્રારંભિક સાપેક્ષ સમૂહ શૂન્ય બિંદુ આર = 0, ક્યાં

આર- લોકો વચ્ચેનું અંતર, આર ઇ- સંતુલન બિંદુની સ્થિતિ.

શાસ્ત્રીય વિચારણામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે વસંત આદર્શ છે - સ્થિતિસ્થાપક બળ F એ વિરૂપતાના સીધા પ્રમાણસર છે - સંતુલનમાંથી વિચલન x = R-R e,હૂકના કાયદા અનુસાર:

જ્યાં થી- સ્થિતિસ્થાપકતા સતત. આમ, બળ સંતુલન સ્થિતિ પર પાછા ફરવા તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

હૂક અને ન્યૂટનના નિયમોનો એકસાથે ઉપયોગ કરવો (એફ-ટા),લખી શકાય છે:

(સૂચિત કરે છે). આવા સમીકરણનો ઉકેલ જાણવા મળે છે

હાર્મોનિક કાર્યો કરે છે

જ્યાં xo- કંપનવિસ્તાર, અને

ઘટાડેલા સમૂહનો ઉપયોગ કરીને /lઅમને મળે છે:

સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જાનું માપ વીકામ કરે છે

IN ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સહાર્મોનિક ઓસીલેટરના સરળ મોડેલ માટે ઓસીલેટરી ગતિનું વિશ્લેષણ ખૂબ જટિલ છે. તે Schrödinger સમીકરણને ઉકેલવા પર આધારિત છે

(વાય/- વાઇબ્રેશનલ વેવ ફંક્શન, ઇ - કુલ ઊર્જાકણો) અને અમારી રજૂઆતના અવકાશની બહાર છે.

ક્વોન્ટમ ઓસિલેટર માટે તે માત્ર શક્ય છે અલગ શ્રેણીસૂત્ર અનુસાર ઊર્જા E અને ફ્રીક્વન્સીઝના મૂલ્યો E=hv.વધુમાં, ઓસિલેટર ઊર્જાનું લઘુત્તમ મૂલ્ય શૂન્ય નથી. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે શૂન્ય ઊર્જા, તે ઓસિલેટરના સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તરને અનુલક્ષે છે અને તે ની બરાબર છે, તેના અસ્તિત્વને હાઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધના આધારે સમજાવી શકાય છે.

આમ, અનુસાર ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સહાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા પરિમાણિત છે:

જ્યાં વિ- ઓસીલેટરી ક્વોન્ટમ નંબર, જે મૂલ્ય y=0, 1, 2, 3,.... લઈ શકે છે.

જ્યારે ઓસિલેટર ક્વોન્ટા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનત્રણ પરિબળો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ: 1) સ્તરોની વસ્તી (આપેલ સમયે પરમાણુ શોધવાની સંભાવના ઊર્જા સ્તર); 2) આવર્તન નિયમ (બોહર), જે મુજબ ક્વોન્ટમની ઊર્જા કોઈપણ બે સ્તરોની ઊર્જામાં તફાવતને અનુરૂપ હોવી જોઈએ;

3) ક્વોન્ટમ સંક્રમણો માટે પસંદગીનો નિયમ: સંક્રમણ સંભાવના, એટલે કે. શોષણ સ્પેક્ટ્રમમાં રેખાઓની તીવ્રતા જથ્થા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે સંક્રમણ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ (જુઓ સૈદ્ધાંતિક પરિચય). સૌથી સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટરના કિસ્સામાં, પસંદગીનો નિયમ તરંગ કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈને મેળવવામાં આવે છે. તે જણાવે છે કે સંક્રમણો માત્ર નજીકના સ્તરો ("એક પગલું") વચ્ચે જ થઈ શકે છે: કંપનશીલ ક્વોન્ટમ નંબર એક દ્વારા બદલાય છે એવ= 1. સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી, હાર્મોનિક ઓસિલેટરના શોષણ સ્પેક્ટ્રમમાં આવર્તન સાથે માત્ર એક રેખા હોવી જોઈએ

ત્યારથી, ઓરડાના તાપમાને બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ અને વધુ અનુસાર નીચા તાપમાનસૌથી નીચું સ્પંદન સ્તર વસ્તી ધરાવતું છે, પછી સૌથી તીવ્ર સંક્રમણ ખૂબ જ છે નીચું સ્તર(d=0), અને આ રેખાની આવર્તન ઉચ્ચ સ્તરોથી નજીકના, ઉચ્ચ સ્તર સુધીના નબળા સંક્રમણોની આવર્તન સાથે એકરુપ છે.

માટે હાર્મોનિક ઓસિલેટર વેવ ફંક્શન્સના આલેખ વિવિધ અર્થોઊર્જા આકૃતિ 2.3 માં દર્શાવવામાં આવી છે. તેઓ હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે

જ્યાં N, -સામાન્યકરણ પરિબળ, એચ 0- હર્માઇટ બહુપદી, x = R-R e- સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલન.

વાઇબ્રેશનલ સંક્રમણો માટે સંક્રમણ દ્વિધ્રુવ ક્ષણ, R0(અથવા M„)સમાન:

જ્યાં જુ - દ્વિધ્રુવ ક્ષણઅણુઓ; ખચકાટ

અનુક્રમે પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓના ઘન તરંગ કાર્યો. સૂત્રમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે સંક્રમણની મંજૂરી છે,

જો સંતુલન બિંદુ પર હોય તો - પરમાણુની દ્વિધ્રુવી ક્ષણ

સંતુલન બિંદુની સ્થિતિની નજીકના ફેરફારો, (વળાંક ju=f(R)આ બિંદુએ મહત્તમમાંથી પસાર થતું નથી). અવિભાજ્ય (સૂત્રમાં બીજું પરિબળ) પણ શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ નહીં. તે બતાવી શકાય છે કે જો સંક્રમણ નજીકના સ્તરો વચ્ચે થાય છે, તેથી આ સ્થિતિ પૂરી થાય છે વધારાનો નિયમપસંદગી અય = 1.

ડાયટોમિક પરમાણુઓના કિસ્સામાં, વાઇબ્રેશનલ સ્પેક્ટ્રા માત્ર હેટેરોન્યુક્લિયર પરમાણુઓ માટે અવલોકન કરી શકાય છે; CO2 નું વાઇબ્રેશનલ સ્પેક્ટ્રા સ્પંદનો દર્શાવે છે (એન્ટિસમેટ્રિક સ્ટ્રેચિંગ અને બેન્ડિંગ), જેમાં દ્વિધ્રુવ ક્ષણ બદલાય છે, પરંતુ સપ્રમાણ સ્પંદનો, જેમાં તે યથાવત રહે છે, દેખાતા નથી.

હાર્મોનિક ઓસિલેટર

હાર્મોનિક ઓસિલેટર(શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં) - એક સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપિત બળનો અનુભવ કરે છે એફ, વિસ્થાપન માટે પ્રમાણસર x(હૂકના કાયદા મુજબ):

જ્યાં k- સિસ્ટમ કઠોરતા ગુણાંક.

જો એફસિસ્ટમ પર કામ કરતું એકમાત્ર બળ છે, પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સરળઅથવા રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર. આવી સિસ્ટમના મુક્ત ઓસિલેશન સમતુલા સ્થિતિ (હાર્મોનિક ઓસિલેશન) ની આસપાસ સામયિક ગતિ દર્શાવે છે. આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સતત છે, અને આવર્તન કંપનવિસ્તાર પર આધારિત નથી.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના યાંત્રિક ઉદાહરણો ગાણિતિક લોલક (વિક્ષેપના નાના ખૂણાઓ સાથે), ટોર્સિયન લોલક અને એકોસ્ટિક સિસ્ટમ્સ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના અન્ય એનાલોગમાં, તે ઇલેક્ટ્રિકને પ્રકાશિત કરવા યોગ્ય છે હાર્મોનિક ઓસિલેટર(એલસી સર્કિટ જુઓ).

મફત સ્પંદનો

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટર

રૂઢિચુસ્ત હાર્મોનિક ઓસિલેટરના મોડેલ તરીકે, અમે સામૂહિક ભાર લઈએ છીએ m, કઠોરતા દ્વારા વસંત પર નિશ્ચિત k .

દો x- સંતુલન સ્થિતિને સંબંધિત ભારનું વિસ્થાપન. પછી, હૂકના કાયદા અનુસાર, પુનઃસ્થાપિત દળ તેના પર કાર્ય કરશે:

પછી કુલ ઊર્જાસતત મૂલ્ય ધરાવે છે

સરળ હાર્મોનિક ગતિ - આ એક સરળ ચળવળ છે હાર્મોનિક ઓસિલેટર, સામયિક ગતિ કે જે ન તો ફરજ પાડવામાં આવે છે કે ન તો ભીની હોય છે. સરળ હાર્મોનિક ગતિમાં શરીર એક જ ચલ બળના સંપર્કમાં આવે છે, જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં વિસ્થાપનના સીધા પ્રમાણસર હોય છે. xસંતુલન સ્થિતિથી અને વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે.

આ ચળવળ સામયિક છે: શરીર સાઇનસૉઇડલ કાયદા અનુસાર સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ ફરે છે. દરેક અનુગામી ઓસિલેશન પાછલા એક જેવું જ છે, અને ઓસિલેશનનો સમયગાળો, આવર્તન અને કંપનવિસ્તાર સ્થિર રહે છે. જો આપણે ધારીએ કે સંતુલન સ્થિતિ સંકલન સાથેના બિંદુ પર છે, શૂન્ય બરાબર, પછી ઓફસેટ xકોઈપણ સમયે સંતુલન સ્થિતિમાંથી શરીર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

જ્યાં એ- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, f- આવર્તન, φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

ચળવળની આવર્તન નક્કી કરવામાં આવે છે લાક્ષણિક ગુણધર્મોસિસ્ટમ (ઉદાહરણ તરીકે, ફરતા શરીરનો સમૂહ), જ્યારે કંપનવિસ્તાર અને પ્રારંભિક તબક્કો પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - ઓસિલેશન શરૂ થાય તે ક્ષણે શરીરનું વિસ્થાપન અને ગતિ. સિસ્ટમની ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા પણ આ ગુણધર્મો અને સ્થિતિઓ પર આધારિત છે.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ હોઈ શકે છે ગાણિતિક મોડેલો વિવિધ પ્રકારોહલનચલન જેમ કે ઝરણાનું ઓસિલેશન. અન્ય કિસ્સાઓ કે જેને આશરે સાદી હાર્મોનિક ગતિ તરીકે ગણી શકાય તે છે લોલકની ગતિ અને પરમાણુઓના કંપન.

સરળ હાર્મોનિક ગતિ એ વધુ જટિલ પ્રકારની ગતિનું વિશ્લેષણ કરવાની કેટલીક રીતોનો આધાર છે. આમાંની એક પદ્ધતિ એ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર આધારિત પદ્ધતિ છે, જેનો સાર વધુના વિસ્તરણ સુધી ઉકળે છે. જટિલ પ્રકારસરળ હાર્મોનિક હિલચાલની શ્રેણીમાં હલનચલન.

કોઈપણ સિસ્ટમ કે જેમાં સરળ હાર્મોનિક ગતિ થાય છે તેના બે મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

1. જ્યારે સિસ્ટમને સંતુલનમાંથી બહાર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે ત્યાં એક પુનઃસ્થાપિત બળ હોવું જોઈએ જે સિસ્ટમને સંતુલનમાં પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે.
2. પુનઃસ્થાપિત બળ વિસ્થાપનના બરાબર અથવા આશરે પ્રમાણસર હોવું જોઈએ.

લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ આ બંને શરતોને સંતોષે છે.

એકવાર વિસ્થાપિત ભાર પુનઃસ્થાપિત બળને આધિન થઈ જાય, તે વેગ આપે છે અને તેની મૂળ સ્થિતિ પર પાછા ફરે છે. પ્રારંભિક બિંદુ, એટલે કે, સંતુલન સ્થિતિ માટે. જેમ જેમ ભાર સંતુલન સ્થિતિની નજીક આવે છે, તેમ પુનઃસ્થાપિત બળ ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે. જો કે, પરિસ્થિતિમાં x = 0 લોડમાં ચોક્કસ માત્રામાં ગતિ (આવેગ) હોય છે, જે પુનઃસ્થાપિત બળની ક્રિયાને કારણે પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, ભાર સંતુલન સ્થિતિને ઓવરશૂટ કરે છે, વસંતને ફરીથી વિકૃત કરવાનું શરૂ કરે છે (પરંતુ પહેલેથી જ વિરુદ્ધ દિશામાં). જ્યાં સુધી ઝડપ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી પુનઃસ્થાપિત બળ તેને ધીમું કરશે; અને બળ ફરીથી લોડને તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પરત કરવાનો પ્રયત્ન કરશે.

જ્યાં સુધી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉર્જાની ખોટ ન હોય ત્યાં સુધી, ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે લોડ ઓસીલેટ થશે; આવી ચળવળને સામયિક કહેવામાં આવે છે.

વધુ વિશ્લેષણ બતાવશે કે લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ગતિ સરળ હાર્મોનિક છે.

સરળ હાર્મોનિક ગતિની ગતિશીલતા

એક-પરિમાણીય અવકાશમાં સ્પંદનો માટે, ન્યૂટનના બીજા નિયમને ધ્યાનમાં લેતા ( F= m  d² x/d t² ) અને હૂકનો કાયદો ( એફ = −kx, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબ), અમારી પાસે બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ છે:

આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ sinusoidal છે; એક ઉકેલ છે:

જ્યાં એ, ω અને φ એ અચળ માત્રા છે, અને સંતુલન સ્થિતિ પ્રારંભિક એક તરીકે લેવામાં આવે છે. આમાંના દરેક સ્થિરાંકો એક મહત્વપૂર્ણ રજૂ કરે છે ભૌતિક મિલકતહલનચલન: એકંપનવિસ્તાર છે, ω = 2π f- પરિપત્ર આવર્તન, અને φ - પ્રારંભિક તબક્કો.

સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિ

સરળ હાર્મોનિક ગતિને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સાર્વત્રિક પરિપત્ર ગતિના એક-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય. જો કોઈ પદાર્થ ત્રિજ્યાના વર્તુળ સાથે સતત કોણીય વેગ ω સાથે આગળ વધે છે આર, જેનું કેન્દ્ર પ્લેનનું મૂળ છે x−y, પછી દરેક સાથે આવી ચળવળ સંકલન અક્ષોકંપનવિસ્તાર સાથે સરળ હાર્મોનિક છે આરઅને ગોળ આવર્તન ω.

સાદા લોલક જેવું વજન

નાના ખૂણા પર ગતિ સરળ લોલકસરળ હાર્મોનિકની નજીક છે. લંબાઈના સળિયા સાથે જોડાયેલા આવા લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો ℓ પ્રવેગક સાથે મફત પતન gસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે

આ દર્શાવે છે કે ઓસિલેશનનો સમયગાળો લોલકના કંપનવિસ્તાર અને સમૂહ પર આધારિત નથી, પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે. gતેથી, લોલકની સમાન લંબાઈ સાથે, ચંદ્ર પર તે વધુ ધીમેથી સ્વિંગ કરશે, કારણ કે ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ નબળું છે અને ઓછું મૂલ્યમફત પતન પ્રવેગક.

આ અંદાજ માત્ર નાના વિચલન કોણ માટે સાચો છે, કારણ કે કોણીય પ્રવેગ માટે અભિવ્યક્તિ કોઓર્ડિનેટની સાઈનના પ્રમાણસર છે:

તે શું કરે છે કોણીય પ્રવેગકકોણ θ માટે સીધા પ્રમાણસર છે, અને આ સરળ હાર્મોનિક ગતિની વ્યાખ્યાને સંતોષે છે.

ભીના હાર્મોનિક ઓસિલેટર

સમાન મોડલને આધાર તરીકે લઈને, અમે તેમાં ચીકણું ઘર્ષણનું બળ ઉમેરીશું. સ્નિગ્ધ ઘર્ષણનું બળ માધ્યમની તુલનામાં લોડની હિલચાલની ગતિ સામે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને તે આ ગતિના પ્રમાણસર છે. પછી સંપૂર્ણ તાકાત, લોડ પર અભિનય, નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

સમાન ક્રિયાઓ હાથ ધરવાથી, અમને મળે છે વિભેદક સમીકરણ, ભીના ઓસીલેટરનું વર્ણન કરતા:

અહીં હોદ્દો રજૂ કરવામાં આવ્યો છે: . ગુણાંકને એટેન્યુએશન કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે. તે આવર્તનનું પરિમાણ પણ ધરાવે છે.

ઉકેલ ત્રણ કેસોમાં વિભાજિત થાય છે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગ એ નોંધપાત્ર છે કે તે જટિલ ભીનાશ પર છે કે ઓસિલેટર સૌથી ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિ તરફ વળે છે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતાં ઓછું હોય, તો તે ઝડપથી સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચશે, પરંતુ જડતાને કારણે તેને "ઓવરશૂટ" કરશે અને ઓસીલેટ થશે. જો ઘર્ષણ નિર્ણાયક કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટર સંતુલન સ્થિતિ તરફ ત્વરિત રીતે વલણ ધરાવે છે, પરંતુ વધુ ધીમેથી, ઘર્ષણ વધારે છે.

તેથી, ડાયલ સૂચકાંકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, એમીટરમાં), તેઓ સામાન્ય રીતે નિર્ણાયક એટેન્યુએશન રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે જેથી તેના રીડિંગ્સ શક્ય તેટલી ઝડપથી વાંચી શકાય.

ઓસિલેટરનું ભીનાશ પણ ઘણીવાર પરિમાણહીન પરિમાણ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેને ગુણવત્તા પરિબળ કહેવાય છે. ગુણવત્તા પરિબળ સામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, ગુણવત્તા પરિબળ સમાન છે:

ગુણવત્તા પરિબળ જેટલું ઊંચું હશે, ઓસિલેટર ઓસિલેશનનો ક્ષય ધીમો થશે.

ક્રિટિકલ ડેમ્પિંગવાળા ઓસિલેટરમાં 0.5 નું ગુણવત્તા પરિબળ હોય છે. તદનુસાર, ગુણવત્તા પરિબળ ઓસિલેટરની વર્તણૂક સૂચવે છે. જો ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા વધારે હોય, તો ઓસિલેટરની મુક્ત હિલચાલ ઓસિલેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; સમય જતાં, તે અમર્યાદિત સંખ્યામાં સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે. ગુણવત્તા પરિબળ 0.5 કરતા ઓછું અથવા બરાબર ઓસીલેટરની બિન-ઓસીલેટરી ગતિને અનુરૂપ છે; વી મફત ચળવળતે એક જ સમયે સંતુલન સ્થિતિને પાર કરશે.

ગુણવત્તા પરિબળને કેટલીકવાર ઓસિલેટરનું ગેઇન ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે, કારણ કે ઉત્તેજનાની કેટલીક પદ્ધતિઓ સાથે, જ્યારે ઉત્તેજના આવર્તન રેઝોનન્ટ સાથે એકરુપ હોય છે, ત્યારે ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઓછી આવર્તન પર ઉત્તેજિત કરતાં લગભગ ગણું વધારે હોય છે.

ઉપરાંત, ગુણવત્તા પરિબળ એ ઓસીલેટરી ચક્રની સંખ્યા જેટલો લગભગ સમાન છે જે દરમિયાન ઓસિલેશન કંપનવિસ્તાર એક પરિબળ દ્વારા ઘટે છે, દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ઓસીલેટરી ગતિના કિસ્સામાં, ભીનાશને આવા પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેમ કે:

• જીવન સમયસ્પંદનો (ઉર્ફ સડો સમય, તે સમાન છે આરામનો સમય) τ - સમય કે જે દરમિયાન ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર ઘટશે ઇએકવાર

દબાણયુક્ત સ્પંદનો

ઓસિલેટર ઓસિલેશનને ફરજિયાત કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેના પર કેટલાક વધારાના બાહ્ય પ્રભાવ લાગુ કરવામાં આવે છે. આ અસર પેદા કરી શકાય છે વિવિધ માધ્યમો દ્વારાઅને દ્વારા વિવિધ કાયદા. ઉદાહરણ તરીકે, બળ ઉત્તેજના એ બળના ભાર પરની અસર છે જે ચોક્કસ કાયદા અનુસાર માત્ર સમય પર આધારિત છે. કાઇનેમેટિક ઉત્તેજના એ સ્પ્રિંગ જોડાણ બિંદુની હિલચાલ દ્વારા ઓસિલેટર પરની અસર છે આપેલ કાયદો. ઘર્ષણથી પ્રભાવિત થવું પણ શક્ય છે, જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, જે માધ્યમ સાથે લોડ ઘર્ષણ અનુભવે છે તે આપેલ કાયદા અનુસાર આગળ વધે છે.

વ્યાખ્યાન 1

ઓસિલેશન્સ. મોજા. ઓપ્ટિક્સ

ઓસિલેશનનો અભ્યાસ કરનારા પ્રથમ વૈજ્ઞાનિકો ગેલિલિયો ગેલિલી અને ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સ હતા. ગેલિલિયોએ કંપનવિસ્તારમાંથી ઓસિલેશન સમયગાળાની સ્વતંત્રતાની સ્થાપના કરી. હ્યુજેન્સે લોલક ઘડિયાળની શોધ કરી.

કોઈપણ સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે તેની સંતુલન સ્થિતિથી સહેજ ખલેલ પહોંચે છે, ત્યારે સ્થિર ઓસિલેશન દર્શાવે છે તેને હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે. IN શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રઆવી પ્રણાલીઓ વિક્ષેપના નાના ખૂણાઓની અંદર એક ગાણિતિક લોલક છે, ઓસિલેશનના નાના કંપનવિસ્તારમાં ભાર છે, ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ, સમાવેશ થાય છે રેખીય તત્વોક્ષમતા અને ઇન્ડક્ટન્સ.

(1.1.1)

જ્યાં એક્સ એ

ઓસીલેટીંગ મટીરીયલ પોઈન્ટનો વેગ

એ

.

જો સમયાંતરે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જે (1.1.1) સાથે સુસંગત નથી, તો તેને એનહાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમ કે જે એન્હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે તેને એન્હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે.

1.1.2 . સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમોના મફત કંપનો. જટિલ સ્વરૂપસબમિશન હાર્મોનિક સ્પંદનો

પ્રકૃતિમાં, સિસ્ટમ તેની સંતુલન સ્થિતિની નજીક બનાવે છે તે નાના ઓસિલેશન ખૂબ સામાન્ય છે. જો સંતુલન સ્થિતિમાંથી દૂર કરાયેલી સિસ્ટમ તેના પર છોડી દેવામાં આવે છે, એટલે કે, તેના પર કોઈ બાહ્ય દળો કાર્ય કરતા નથી, તો આવી સિસ્ટમ મફતમાં કાર્ય કરશે. અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ. ચાલો સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ.

q

,

જ્યાં

, (1.1.4)

અભિવ્યક્તિ (1.1.5) મુક્ત હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સમીકરણ (1.1.3) સાથે સુસંગત છે, જો કે

,

, ક્યાં A=Xe-iα

1.1.3 . ઉદાહરણો ઓસીલેટરી હલનચલનવિવિધ ભૌતિક પ્રકૃતિ

હાર્મોનિક ઓસિલેટર. વસંત, ભૌતિક અને ગાણિતિક લોલક

હાર્મોનિક ઓસિલેટરફોર્મના સમીકરણ (140.6);

હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઓસિલેશન છે મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણસામયિક ગતિ અને ક્લાસિકલની ઘણી સમસ્યાઓમાં ચોક્કસ અથવા અંદાજિત મોડેલ તરીકે સેવા આપે છે ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્ર. હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ઉદાહરણો વસંત, ભૌતિક અને ગાણિતિક લોલક છે, ઓસીલેટરી સર્કિટ(પ્રવાહો અને વોલ્ટેજ માટે એટલા નાના કે સર્કિટ તત્વોને રેખીય ગણી શકાય).

1. વસંત લોલક- સમૂહનો ભાર છે ટી, એકદમ સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગ પર સ્થગિત અને ક્રિયા હેઠળ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે સ્થિતિસ્થાપક બળ એફ = - kx,જ્યાં k-વસંતની જડતા. લોલકની ગતિનું સમીકરણ

અભિવ્યક્તિઓ (142.1) અને (140.1) પરથી તે અનુસરે છે કે વસંત લોલક કાયદા અનુસાર હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે x=A s સાથે (w 0 t + j) ચક્રીય આવર્તન સાથે

ફોર્મ્યુલા (142.3) માટે માન્ય છે સ્થિતિસ્થાપક સ્પંદનોમર્યાદાની અંદર કે જેમાં હૂકનો કાયદો સંતુષ્ટ છે (જુઓ (21.3)), એટલે કે જ્યારે શરીરના સમૂહની તુલનામાં સ્પ્રિંગનો સમૂહ નાનો હોય છે. સંભવિત ઊર્જા વસંત લોલક, (141.5) અને (142.2) મુજબ, બરાબર છે

2. ભૌતિક લોલક- એક કઠોર શરીર જે, ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ, સ્થિર આસપાસ ફરે છે આડી અક્ષ, બિંદુમાંથી પસાર થવું વિશે, સમૂહના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ નથી સાથેસંસ્થાઓ (ફિગ. 201).

જો લોલક તેની સમતુલા સ્થિતિથી ચોક્કસ ખૂણાથી નમેલું હોય aપછી, કઠોર શરીરની રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતાના સમીકરણ અનુસાર (18.3), ક્ષણ એમપુનઃસ્થાપિત બળ તરીકે લખી શકાય છે

જ્યાં J-સસ્પેન્શન પોઈન્ટમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં લોલકની જડતાની ક્ષણ ઓહ એલ -તેની અને લોલકના સમૂહના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર, F t = – mg sin a » - એમજી એ. -પુનઃસ્થાપિત બળ (માઈનસ ચિહ્ન એ હકીકતને કારણે છે કે દિશાઓ ફીટઅને aહંમેશા વિરુદ્ધ; પાપ a » aલોલકના નાના ઓસિલેશનને અનુરૂપ છે, એટલે કે. સંતુલન સ્થિતિથી લોલકના નાના વિચલનો). સમીકરણ (142.4) તરીકે લખી શકાય છે

(142.1) ની સમાન છે, જેનો ઉકેલ (140.1) જાણીતો છે:

અભિવ્યક્તિ (142.6) પરથી તે અનુસરે છે કે નાના ઓસિલેશન માટે ભૌતિક લોલક ચક્રીય આવર્તન w 0 (જુઓ (142.5)) અને સમયગાળા સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે

જ્યાં L=J/(મિલી) - ઘટાડેલી લંબાઈ ભૌતિક લોલક.

ડોટ વિશે'સીધી રેખા ચાલુ રાખવા પર OS,બિંદુથી દૂર વિશેઆપેલ લંબાઈના અંતરે લોલકનું સસ્પેન્શન એલ,કહેવાય છે સ્વિંગ કેન્દ્રભૌતિક લોલક (ફિગ. 201). સ્ટીનરના પ્રમેય (16.1) ને લાગુ પાડવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

એટલે કે OO'હંમેશા વધુ ઓએસ.સસ્પેન્શન પોઇન્ટ વિશેલોલક અને સ્વિંગ કેન્દ્ર વિશે'પાસે વિનિમયક્ષમતાનો ગુણધર્મ:જો સસ્પેન્શન પોઈન્ટ સ્વિંગના કેન્દ્રમાં ખસેડવામાં આવે છે, તો પહેલાનો પોઈન્ટ વિશેસસ્પેન્શન

સ્વિંગનું નવું કેન્દ્ર બનશે, અને ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનનો સમયગાળો બદલાશે નહીં.

3. ગાણિતિક લોલક- આ આદર્શકૃતસમૂહ સાથે સામગ્રી બિંદુ સમાવેશ થાય છે સિસ્ટમ ટી,એક અગમ્ય વજનહીન થ્રેડ પર લટકાવેલું, અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ ઓસીલેટીંગ. સારો અંદાજ ગાણિતિક લોલકપાતળા લાંબા થ્રેડ પર લટકાવાયેલો નાનો ભારે બોલ છે. ગાણિતિક લોલકની જડતાની ક્ષણ

જ્યાં l- લોલકની લંબાઈ.

કારણ કે ગાણિતિક લોલક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ખાસ કેસભૌતિક લોલક,ધારીને કે તેનો તમામ સમૂહ એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત છે - સમૂહનું કેન્દ્ર, પછી, અભિવ્યક્તિ (142.8) ને સૂત્ર (1417) માં બદલીને, આપણે ગાણિતિક લોલકના નાના ઓસિલેશનના સમયગાળા માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.

સૂત્રો (142.7) અને (142.9) ની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે જો ઘટાડો લંબાઈ એલભૌતિક લોલક લંબાઈ સમાન છે lગાણિતિક લોલક, તો પછી આ લોલકોના ઓસિલેશનનો સમયગાળો સમાન છે. આથી, ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ- આ આવા ગાણિતિક લોલકની લંબાઈ છે, જેનું ઓસિલેશનનો સમયગાળો આપેલ ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનના સમયગાળા સાથે મેળ ખાય છે.

આદર્શ હાર્મોનિક ઓસિલેટર. આદર્શ ઓસિલેટર સમીકરણ અને તેનો ઉકેલ. કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને ઓસિલેશનનો તબક્કો

ઓસિલેશન્સ

હાર્મોનિક સ્પંદનો

આદર્શ હાર્મોનિક ઓસિલેટર. આદર્શ ઓસિલેટર સમીકરણ અને તેનો ઉકેલ. કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને ઓસિલેશનનો તબક્કો

ઓસિલેશન એ પ્રકૃતિ અને તકનીકમાં સૌથી સામાન્ય પ્રક્રિયાઓમાંની એક છે. ઓસિલેશન એ પ્રક્રિયાઓ છે જે સમય જતાં પુનરાવર્તિત થાય છે. અચકાવું ઊંચી ઇમારતોઅને પવનના પ્રભાવ હેઠળ ઉચ્ચ-વોલ્ટેજ વાયર, ઘા ઘડિયાળનું લોલક અને ડ્રાઇવિંગ કરતી વખતે ઝરણા પર કાર, સમગ્ર વર્ષ દરમિયાન નદીનું સ્તર અને તાપમાન માનવ શરીરમાંદગીના કિસ્સામાં. ધ્વનિ એ હવાના દબાણમાં વધઘટ છે, રેડિયો તરંગો છે સામયિક ફેરફારોવિદ્યુત તણાવ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર, પ્રકાશ પણ છે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પંદનો. ધરતીકંપ - જમીનના કંપન, ઉછાળા અને પ્રવાહ - ચંદ્રના આકર્ષણને કારણે સમુદ્ર અને મહાસાગરના સ્તરોમાં થતા ફેરફારો વગેરે.

ઓસિલેશન યાંત્રિક, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, રાસાયણિક, થર્મોડાયનેમિક, વગેરે હોઈ શકે છે. આવી વિવિધતા હોવા છતાં, તમામ ઓસિલેશન સમાન વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરને રેખીય ગણી શકાય જો સંતુલન સ્થાનમાંથી વિસ્થાપન ખલેલ પહોંચાડનાર બળના સીધા પ્રમાણસર હોય. હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી એમ્પ્લિટ્યુડ પર આધારિત નથી. ઓસિલેટર માટે, સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત સંતુષ્ટ છે - જો ઘણા ખલેલ પહોંચાડનારા દળો કાર્ય કરે છે, તો પછી તેની અસર ઉમેરવાના પરિણામે તેમની કુલ ક્રિયાની અસર મેળવી શકાય છે. સક્રિય દળોઅલગથી

હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું વર્ણન સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે (ફિગ. 1.1.1)

(1.1.1)

જ્યાં એક્સ-સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસીલેટીંગ જથ્થાનું વિસ્થાપન, એ- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, મૂલ્યની સમાનમહત્તમ વિસ્થાપન, - ઓસિલેશનનો તબક્કો, જે સમયની ક્ષણે વિસ્થાપન નક્કી કરે છે, - પ્રારંભિક તબક્કો, જે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે વિસ્થાપનની તીવ્રતા નક્કી કરે છે, - ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન.

એક સંપૂર્ણ ઓસિલેશનના સમયને સમયગાળો કહેવામાં આવે છે, , તે સમય દરમિયાન પૂર્ણ થયેલા ઓસિલેશનની સંખ્યા ક્યાં છે.

ઓસિલેશન આવર્તન એકમ સમય દીઠ કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા નક્કી કરે છે, તે સંબંધ દ્વારા ચક્રીય આવર્તન સાથે સંબંધિત છે, પછી અવધિ.

આમ, હાર્મોનિક ઓસીલેટરની ઝડપ અને પ્રવેગક પણ પ્રમાણે બદલાય છે હાર્મોનિક કાયદોકંપનવિસ્તાર સાથે અને અનુક્રમે. આ કિસ્સામાં, વેગ તબક્કામાં વિસ્થાપન કરતાં આગળ છે, અને પ્રવેગક (ફિગ. 1.1.2).

હાર્મોનિક ઓસિલેટર (1.1.1) અને (1.1.2) ની ગતિના સમીકરણોની સરખામણી પરથી તે અનુસરે છે કે , અથવા

આ બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તેના ઉકેલમાં બે સ્થિરાંકો છે એઅને , જે કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે પ્રારંભિક શરતો

.

સ્થિર સંતુલનસિસ્ટમની સ્થિતિને અનુરૂપ છે જેમાં તે સંભવિત ઊર્જાન્યૂનતમ છે ( q- સિસ્ટમનું સામાન્યકૃત સંકલન). સંતુલન સ્થિતિમાંથી સિસ્ટમનું વિચલન એક બળના ઉદભવ તરફ દોરી જાય છે જે સિસ્ટમને પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે. સંતુલન સ્થિતિને અનુરૂપ સામાન્યકૃત સંકલનનું મૂલ્ય , પછી સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

અમે સંભવિત ઉર્જાની ગણતરી કરીશું ન્યૂનતમ મૂલ્ય. ચાલો આપણે પરિણામી કાર્યને સ્વીકારીએ અને તેને મેકલોરીન શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરીએ અને વિસ્તરણની પ્રથમ અવધિ છોડીએ, આપણી પાસે છે: o

,

જ્યાં . પછી, પરિચયિત સંકેતોને ધ્યાનમાં લેતા:

, (1.1.4)

સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતા બળની અભિવ્યક્તિ (1.1.4) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ:

ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, સિસ્ટમની ગતિના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: ,

અને બે છે સ્વતંત્ર ઉકેલો: અને, તેથી સામાન્ય ઉકેલ:

,

સૂત્ર (1.1.6) થી તે અનુસરે છે કે આવર્તન માત્ર નક્કી કરવામાં આવે છે પોતાની મિલકતોયાંત્રિક સિસ્ટમ અને કંપનવિસ્તાર અને ચળવળની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત નથી.

સમયસર ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન વાસ્તવિક ભાગના સ્વરૂપમાં નક્કી કરી શકાય છે. જટિલ અભિવ્યક્તિ , ક્યાં A=Xe-iα- જટિલ કંપનવિસ્તાર, તેનું મોડ્યુલ સામાન્ય કંપનવિસ્તાર સાથે એકરુપ છે, અને તેની દલીલ પ્રારંભિક તબક્કા સાથે એકરુપ છે.

કેમિસ્ટની હેન્ડબુક 21

રસાયણશાસ્ત્ર અને રાસાયણિક તકનીક

ગતિનો હાર્મોનિક કાયદો

યાંત્રિક, જેમાં રોટેશનલ ગતિ ઓસીલેટરી ગતિમાં રૂપાંતરિત થાય છે (મુખ્યત્વે તરંગી અને કેમ મિકેનિઝમ્સ). સંચાલિત લિંકની ગતિનો કાયદો હાર્મોનિકની નજીક હોઈ શકે છે. આ ઉત્તેજકનો ઉપયોગ અમુક પ્રકારની સ્ક્રીન, વાઇબ્રેટિંગ સેન્ટ્રીફ્યુજ અને વોર્મ મિક્સરમાં થાય છે.

IN શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સબિંદુઓની સિસ્ટમના ગતિનો નિયમ શોધવા માટે (સમયના કાર્યો તરીકે qi ને સંકલન કરે છે), ન્યુટનના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી જરૂરી છે. મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી સાથે, સંભવિત (VII, 7) સાથેના આ સમીકરણોનો સામાન્ય ઉકેલ q (t) ના હાર્મોનિક સ્વરૂપ તરફ દોરી જતો નથી. જો કે, તે દર્શાવવું સરળ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ q ના રેખીય સંયોજનોની મદદથી - નવા કોઓર્ડિનેટ્સનું નિર્માણ શક્ય છે, જેમાંથી દરેક ચોક્કસ આવર્તન સાથે હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાય છે (c. આવા કોઓર્ડિનેટ્સ

ખરેખર, બોન્ડ દ્વારા જોડાયેલા બે અણુઓના સ્પંદનો એ સ્પ્રિંગ દ્વારા એકસાથે રાખવામાં આવેલા ગોળાઓની જોડીના સ્પંદનો સમાન છે. નાની પાળીઓ માટે, પુનઃસ્થાપિત બળ વિસ્થાપનના પ્રમાણમાં હોય છે, અને જો આવી સિસ્ટમ ગતિમાં હોય, તો ઓસિલેશનનું વર્ણન સરળ હાર્મોનિક ગતિના કાયદા દ્વારા કરવામાં આવશે.

રિજનરેટર માટે શ્રેષ્ઠ ઓપરેટિંગ શરતો બનાવવામાં આવશે જો પિસ્ટન સુમેળમાં ન જાય, પરંતુ દરેક સ્ટ્રોકના અંતે બંધ થઈ જાય. જો કે, તેની સરળતાને કારણે, પિસ્ટન ગતિના હાર્મોનિક નિયમનો ઉપયોગ કરીને એકદમ ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા મેળવી શકાય છે.

જ્યારે ખચકાટ કાર્યકારી વાતાવરણપાઇપલાઇનમાં અથવા અન્ય કોઈપણ દબાણ ચેનલમાં, પ્રવાહ ક્રોસ વિભાગ પર પ્રવાહ વેગનું વિતરણ એ કાયદાથી અલગ છે જે માધ્યમની સ્થિર ગતિના કિસ્સામાં આ વિતરણનું વર્ણન કરે છે. આમ, જ્યારે ગોળાકાર નળાકાર પાઇપમાં પ્રવાહીનો લેમિનર પ્રવાહ ઓસીલેટ થાય છે, ત્યારે વેગનું પેરાબોલિક વિતરણ વિક્ષેપિત થાય છે, જે હાઇડ્રોલિક્સમાંથી જાણીતું છે, તે પાઇપમાં પ્રવાહીની લેમિનર સ્થિર ગતિની લાક્ષણિકતા છે. મુ હાર્મોનિક ફેરફારપાઇપ સાથે દબાણ ઢાળ, વેગ વિતરણ ફોર્મ્યુલા (9.42) નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, (ઓ) ને બદલે, તમારે સૂત્રમાં દબાણ ઢાળ પરિવર્તનના હાર્મોનિક કાયદાની લેપ્લેસ છબીને બદલવી જોઈએ અને પછી પ્રદર્શન કરવું જોઈએ. વ્યસ્ત રૂપાંતર. આ રીતે મેળવેલ ફંક્શન (t, r) કામમાં આપેલ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે ઔદ્યોગિક મશીનોની ડિઝાઇનમાં પિસ્ટનની તૂટક તૂટક ચળવળ સાથે ચક્ર અમલમાં મૂકવાની જરૂર નથી. પિસ્ટન ગતિના કોઈપણ નિયમ માટે, ખાસ કરીને હાર્મોનિક (ક્રેન્ક ડ્રાઈવ માટે) માટે, આદર્શ સ્ટર્લિંગ મશીનની થર્મોડાયનેમિક કાર્યક્ષમતા એકતા સમાન છે.

આ સ્થાપનોમાં, એક સરળ, હાર્મોનિકની નજીક, સળિયાની ગતિનો કાયદો અપનાવવામાં આવ્યો હતો - પંમ્પિંગ મશીનના સ્પષ્ટ ચાર-બાર જોડાણને ક્રેન્ક મિકેનિઝમ્સ દ્વારા બદલવામાં આવ્યું હતું. આ ધારણા સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે અને, જેમ કે પ્રયોગો દર્શાવે છે, પ્રયોગોની શરતો માટે સંપૂર્ણપણે ન્યાયી છે.

આંતરિક રાજ્ય ડાયટોમિક પરમાણુવ્યાખ્યાયિત જો તેનું રાજ્ય સ્પષ્ટ થયેલ છે ઇલેક્ટ્રોન શેલ, તેમજ સમગ્ર પરમાણુની રોટેશનલ ગતિ અને ન્યુક્લીની કંપન ગતિની લાક્ષણિકતાઓ. પરિભ્રમણ અને સ્પંદનોને પરમાણુની ઇલેક્ટ્રોનિક સ્થિતિથી સ્વતંત્ર હોવાનું પ્રથમ અંદાજ માનવામાં આવે છે. ડાયટોમિક પરમાણુની રોટેશનલ અને વાઇબ્રેશનલ ગતિનું વર્ણન કરવા માટેનું સૌથી સરળ મોડલ એ કઠોર રોટેટર - હાર્મોનિક ઓસિલેટર મોડલ છે, જે મુજબ કઠોર રોટેટર તરીકે પરમાણુનું પરિભ્રમણ અને હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર ન્યુક્લિયસના સ્પંદનોને સ્વતંત્ર રીતે ગણવામાં આવે છે. ઉત્તમ વર્ણનઆ મોડેલ માટે, પ્રકરણ જુઓ. IV., 5. ચાલો ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ ફોર્મ્યુલા (VII.19), (VII.20) અને (UP.22) નો ઉપયોગ કરીને ડાયટોમિક પરમાણુની ઊર્જા માટેની અભિવ્યક્તિ સમાન અંદાજમાં લખીએ.

સ્પંદનોના કંપનવિસ્તારમાં ફેરફાર, તેમજ સ્પંદનના હાર્મોનિકથી શોક મોડમાં સંક્રમણ, બદલી શકાય તેવા વિલક્ષણને સ્થાપિત કરીને પ્રાપ્ત થાય છે, જેની પ્રોફાઇલ કાર્યકારી ટેબલ અને એક બ્લોક સાથે પુશરની ગતિના કાયદા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેના પર કોક્સિયલ સિલિન્ડરો માઉન્ટ થયેલ છે.

વિભાગ e માં નોંધ્યું હતું કે જો અણુઓની ઊર્જા ચોક્કસ સંખ્યાના પદોના સરવાળા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જે અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ () અથવા મોમેન્ટા (/z) ના સંદર્ભમાં ચતુર્ભુજ હોય ​​છે, તો વિતરણનું સ્વરૂપ કાયદો ગતિ માટેના અભિવ્યક્તિમાં કેટલા શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે અને કેટલી - સંભવિત ઊર્જા માટેની અભિવ્યક્તિ પર આધારિત નથી. જો કે, જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ તો કાયદાની વ્યુત્પત્તિ સરળ છે સમાન નંબરસંભવિત ગતિ ઊર્જા વ્યક્ત કરતી શરતો. ભૌતિક રીતે, આ ધારણાને અનુરૂપ છે કે પરમાણુઓની કુલ ગતિ 5 સ્વતંત્ર હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પરમાણુની ઊર્જા નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

સાથે સ્પેક્ટ્રોમીટરમાં સતત પ્રવેગક સંબંધિત ઝડપસ્ત્રોત અને શોષકની ગતિ સમયાંતરે રેખીય અથવા હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાતી રહે છે, જે આપેલ ગતિ શ્રેણીમાં અભ્યાસ હેઠળના સ્પેક્ટ્રમને રેકોર્ડ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સામાન્ય રીતે, આવા સ્પેક્ટ્રોમીટરમાં, જ્યારે મેમરી ચેનલો ઝડપ ચક્ર સાથે સમન્વયિત રીતે ખોલવામાં આવે છે ત્યારે સમય મોડમાં કાર્યરત મલ્ટિચેનલ વિશ્લેષકની મેમરીમાં માહિતી રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે.

અભિવ્યક્તિઓમાંથી એક ક્વોન્ટમ કાયદાકાર્ય કરી રહેલા શરીરના ઊર્જા સ્તરોની વિવેકબુદ્ધિ છે સામયિક હલનચલન. ઉદાહરણ તરીકે, ઓસિલેટરના હાર્મોનિક ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લો. ક્લાસિકલ હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઊર્જા સતત બદલાઈ શકે છે. આ ઊર્જા yA 2 ( ઉચ્ચતમ મૂલ્ય x = A પર સંભવિત ઊર્જા). સ્થિતિસ્થાપક સ્થિર

દબાણયુક્ત સ્પંદનો. ચાલો વિચાર કરીએ રેખાંશ સ્પંદનોપ્રેરક બળ P જો) ની ક્રિયા હેઠળ સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સિસ્ટમ, હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાતી રહે છે. શરૂઆતમાં, અમે એવી ધારણા સ્વીકારીએ છીએ કે ત્યાં કોઈ સ્થિર પ્રતિકારક દળો નથી. આ કિસ્સામાં ગતિનું સમીકરણ (ફિગ. 3.7, a) tx = -Py + P (/) સ્વરૂપ ધરાવે છે, જે અવેજી પછી P = cx, dm = સામાજિક અને P (/) = Po sin (oi) આપે છે.

જો અમે સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવી હતી ક્લાસિકલ સિસ્ટમ, તો પછી, અમુક પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, એક એવી ચળવળને ઉત્તેજિત કરવી શક્ય બનશે જેમાં સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી માત્ર એક જ બદલાશે, જ્યારે આ સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ બદલાશે, તમામ બોન્ડ લંબાઈ, બોન્ડ એંગલ વગેરેમાં ફેરફાર થશે. ગુણાંક સાથેના આ સંકલન માટે પ્રમાણસર જોવામાં આવશે જો સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાશે, તો બધું ભૌમિતિક પરિમાણોઅણુઓ પણ એક હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાશે, અને તમામ ભૌમિતિક પરિમાણો સમાન તબક્કામાં તેમના સંતુલન મૂલ્યોમાંથી પસાર થશે.

જો પદાર્થના ઇલેક્ટ્રોન તેમની સંતુલન સ્થિતિથી સહેજ વિસ્થાપિત થાય છે, તો તે પુનઃસ્થાપન ક્રિયાની ક્રિયાને આધિન છે, જેની તીવ્રતા વિસ્થાપનના પ્રમાણસર હોવાનું માનવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ઇલેક્ટ્રોનની હિલચાલ એક સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેશન તરીકે બહાર આવે છે. આવા અસંખ્ય વિદ્યુત ઓસિલેટર ધરાવતી સિસ્ટમ દ્વારા પ્રકાશ પસાર કરવો એ વધારાના દેખાવની સમકક્ષ છે. ઇલેક્ટ્રિક બળ, જે, મેક્સવેલના સિદ્ધાંત મુજબ, પ્રકાશના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઓસિલેશનના ઘટકોમાંથી એક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. જ્યારે પ્રકાશ પસાર થાય છે, ત્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અનુરૂપ આવર્તન સાથે બદલાય છે અને ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદા અનુસાર ઓસીલેટીંગ ઇલેક્ટ્રોનની હિલચાલને અસર કરે છે. ઝડપ (અને તેથી ગતિ ઊર્જા) પદાર્થમાં પ્રકાશનો પ્રસાર શૂન્યાવકાશ કરતા ઓછો છે, તેથી, પ્રકાશ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા વધે છે. આમ, પ્રકાશ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની હિલચાલને બદલવાનું વલણ ધરાવે છે અને ઇલેક્ટ્રોનને તેની મૂળ સ્થિતિમાં રાખવા માટે વલણ ધરાવતા બળની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

આ માપન વિકલ્પ ટ્યુબ્યુલર નમૂનાના ટોર્સનલ સ્પંદનો દરમિયાન પણ લાગુ કરી શકાય છે, જો બાહ્ય સિલિન્ડર ગતિહીન ઇન્સ્ટોલ કરેલું હોય, તો આંતરિક સિલિન્ડર ટોર્સિયન બાર પર માઉન્ટ થયેલ હોય અને તેના પર કામ કરતું ટોર્ક હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર સેટ કરવામાં આવે. જો આપણે હવે ટોર્ક અને સિલિન્ડરના પરિભ્રમણના કોણ, તેમજ ટ્વિસ્ટ એંગલના કંપનવિસ્તાર વચ્ચેના તબક્કાના તફાવતને માપીશું, તો પછી O નક્કી કરવા માટેની ગણતરી યોજના ઉપરોક્ત સૂત્રો (VI. 15) સુધી ઘટાડવામાં આવશે. અને (VI. 16). જો કે, જો આપણે સિલિન્ડરના કોણીય વેગ સાથે ટોર્કના ગુણોત્તરને માપીએ, તો આ અનુરૂપ છે વિશે સમસ્યા, bસિસ્ટમ અવરોધ નક્કી કરે છે.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે સંપૂર્ણ અને શારીરિક રીતે વાજબી દૃષ્ટિકોણથી માત્રાત્મક વર્ણનપ્રવાહીની ગતિશીલતા, બધા ગણવામાં આવતા મોડલ પાણીમાં પ્રસરણ અને ઓસિલેશનનું વર્ણન કરવા માટે માત્ર પ્રથમ અંદાજ છે, કારણ કે તેમના બાંધકામમાં સંખ્યાબંધ સરળીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. માત્ર લાંબા બેઠાડુ જીવનકાળની મર્યાદામાં (આ નીચા તાપમાને થઈ શકે છે) અથવા આયનોના હાઇડ્રેશન શેલમાં પાણીના અણુઓના મજબૂત વિદ્યુતસંકોચન સાથે હાર્મોનિક અંદાજ અને સરળ મોડેલહોપિંગ પ્રસરણ [સમીકરણ (4-5) ટેબલ. 4] કાયદેસર છે. મુ ઉચ્ચ તાપમાનઅને સોલ્યુશન્સ જેમાં પાણીના અણુઓ વચ્ચેના બોન્ડ આયનો દ્વારા નબળા પડે છે, સ્પંદનો તીવ્રપણે એનહાર્મોનિક બની જાય છે, છૂટછાટ અને પ્રસરણ હલનચલન દ્વારા ધીમી પડે છે. આ કિસ્સામાં, પ્રવાહીનું વર્તન સિસ્ટમના વર્તન સાથે વધુ સુસંગત છે મુક્ત કણો[સમીકરણ(37)]. પ્રસરણ અને ઓસીલેટરી ગતિ વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી તેવી ધારણા પણ છે વિવાદાસ્પદ મુદ્દો. તાજેતરમાં, રમન એટ અલ.

આગામી વિભાગમાં. 11.3 પંક્તિ ડિસએસેમ્બલ કરવામાં આવશે સરળ ઉદાહરણો, સ્વતંત્રતાની વ્યક્તિગત વિઘટિત ડિગ્રીની ગરમીની ક્ષમતામાં યોગદાનનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. આ કિસ્સામાં, બે શક્ય સાથે કણો ધરાવતી સિસ્ટમ પર વધુ ધ્યાન આપવામાં આવશે ઊર્જા સ્થિતિઓ, અને હાર્મોનિક ઓસિલેટર, કારણ કે તેમના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણમાં સરળ અને તે જ સમયે પરમાણુ ગતિ અને સિસ્ટમની ગરમીની ક્ષમતા વચ્ચેના સંબંધનું સંપૂર્ણ રીતે વિશ્લેષણ કરવું શક્ય છે. વધુ માટે જટિલ સિસ્ટમોતેના આધારે સરેરાશ તાપમાને ગરમીની ક્ષમતાનો અંદાજ કાઢવો ઘણીવાર સરળ હોય છે શાસ્ત્રીય કાયદો સમાન વિતરણસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દ્વારા.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની ગતિના નિયમો ક્લાસિકલ કરતા નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. એક તરફ, તેઓ વર્તે છે (ઉદાહરણ તરીકે, અથડામણ દરમિયાન) અવિભાજ્ય ચાર્જ અને સમૂહ સાથેના કણોની જેમ, બીજી તરફ, ચોક્કસ આવર્તન (તરંગલંબાઇ) સાથેના તરંગોની જેમ અને લાક્ષણિકતા તરંગ કાર્યа1з - પ્રોપર્ટી, ઓટ્રલ એવા પેજ જુઓ જ્યાં હાર્મોનિક લૉ ઑફ મોશન શબ્દનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે. હજી સુધી કોઈ ઘોષણા નથી, પ્રથમ બનો!

ઓસિલેશન્સ. મોજા. ઓપ્ટિક્સ

ઓસિલેશન્સ

વ્યાખ્યાન 1

હાર્મોનિક સ્પંદનો

આદર્શ હાર્મોનિક ઓસિલેટર. આદર્શ ઓસિલેટર સમીકરણ અને તેનો ઉકેલ. કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને ઓસિલેશનનો તબક્કો

ઓસિલેશન એ પ્રકૃતિ અને તકનીકમાં સૌથી સામાન્ય પ્રક્રિયાઓમાંની એક છે. ઓસિલેશન એ પ્રક્રિયાઓ છે જે સમય જતાં પુનરાવર્તિત થાય છે. હાઇ-રાઇઝ ઇમારતો અને હાઇ-વોલ્ટેજ વાયર પવનના પ્રભાવ હેઠળ, ઘા ઘડિયાળનું લોલક અને ડ્રાઇવિંગ કરતી વખતે ઝરણા પર કાર, સમગ્ર વર્ષ દરમિયાન નદીનું સ્તર અને માંદગી દરમિયાન માનવ શરીરનું તાપમાન. ધ્વનિ એ હવાના દબાણમાં થતી વધઘટ છે, રેડિયો તરંગો એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની તાકાતમાં સમયાંતરે થતા ફેરફારો છે, પ્રકાશ પણ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વધઘટ છે. ધરતીકંપ - જમીનના કંપન, ઉછાળા અને પ્રવાહ - ચંદ્રના આકર્ષણને કારણે સમુદ્ર અને મહાસાગરના સ્તરોમાં થતા ફેરફારો વગેરે.

ઓસિલેશન યાંત્રિક, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, રાસાયણિક, થર્મોડાયનેમિક, વગેરે હોઈ શકે છે. આવી વિવિધતા હોવા છતાં, તમામ ઓસિલેશન સમાન વિભેદક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

ઓસિલેશનનો અભ્યાસ કરનારા પ્રથમ વૈજ્ઞાનિકો ગેલિલિયો ગેલિલી અને ક્રિસ્ટિયન હ્યુજેન્સ હતા. ગેલિલિયોએ કંપનવિસ્તારમાંથી ઓસિલેશન સમયગાળાની સ્વતંત્રતાની સ્થાપના કરી. હ્યુજેન્સે લોલક ઘડિયાળની શોધ કરી.

કોઈપણ સિસ્ટમ કે જે, જ્યારે તેની સંતુલન સ્થિતિથી સહેજ ખલેલ પહોંચે છે, ત્યારે સ્થિર ઓસિલેશન દર્શાવે છે તેને હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આવી પ્રણાલીઓ વિક્ષેપના નાના ખૂણાઓની અંદર એક ગાણિતિક લોલક છે, ઓસિલેશનના નાના કંપનવિસ્તારમાં એક ભાર છે, કેપેસીટન્સ અને ઇન્ડક્ટન્સના રેખીય તત્વોનો સમાવેશ કરતું વિદ્યુત સર્કિટ છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેટરને રેખીય ગણી શકાય જો સંતુલન સ્થાનમાંથી વિસ્થાપન ખલેલ પહોંચાડનાર બળના સીધા પ્રમાણસર હોય. હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી એમ્પ્લિટ્યુડ પર આધારિત નથી. ઓસિલેટર માટે, સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત સંતુષ્ટ છે - જો ઘણા ખલેલ પહોંચાડનારા દળો કાર્ય કરે છે, તો તેમની ક્રિયાની કુલ ક્રિયાની અસર વ્યક્તિગત દળોના અભિનયની અસરોના ઉમેરાના પરિણામે મેળવી શકાય છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું વર્ણન સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે (ફિગ. 1.1.1)

(1.1.1)

જ્યાં એક્સ-સંતુલન સ્થિતિમાંથી ઓસીલેટીંગ જથ્થાનું વિસ્થાપન, એ- ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, મહત્તમ વિસ્થાપનના મૂલ્યની બરાબર, - ઓસિલેશનનો તબક્કો, જે સમયની ક્ષણે વિસ્થાપન નક્કી કરે છે, - પ્રારંભિક તબક્કો, જે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે વિસ્થાપનનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે, - ઓસિલેશનની ચક્રીય આવર્તન.

એક સંપૂર્ણ ઓસિલેશનના સમયને સમયગાળો કહેવામાં આવે છે, , તે સમય દરમિયાન પૂર્ણ થયેલા ઓસિલેશનની સંખ્યા ક્યાં છે.

ઓસિલેશન આવર્તન એકમ સમય દીઠ કરવામાં આવતી ઓસિલેશનની સંખ્યા નક્કી કરે છે, તે સંબંધ દ્વારા ચક્રીય આવર્તન સાથે સંબંધિત છે, પછી અવધિ.

ઓસીલેટીંગ મટીરીયલ પોઈન્ટનો વેગ

પ્રવેગક

આમ, હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિ અને પ્રવેગ પણ અનુક્રમે કંપનવિસ્તાર સાથે અને હાર્મોનિક કાયદા અનુસાર બદલાય છે. આ કિસ્સામાં, વેગ તબક્કામાં વિસ્થાપન કરતાં આગળ છે, અને પ્રવેગક (ફિગ. 1.1.2).

હાર્મોનિક ઓસિલેટર (1.1.1) અને (1.1.2) ની ગતિના સમીકરણોની સરખામણી પરથી તે અનુસરે છે કે , અથવા

આ બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તેના ઉકેલમાં બે સ્થિરાંકો છે એઅને, જે પ્રારંભિક શરતો સેટ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે

.

જો સમયાંતરે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જે (1.1.1) સાથે સુસંગત નથી, તો તેને એનહાર્મોનિક કહેવામાં આવે છે. સિસ્ટમ કે જે એન્હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે તેને એન્હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે.

1.1.2 . સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમોના મફત કંપનો. હાર્મોનિક સ્પંદનોની રજૂઆતનું જટિલ સ્વરૂપ

પ્રકૃતિમાં, સિસ્ટમ તેની સંતુલન સ્થિતિની નજીક બનાવે છે તે નાના ઓસિલેશન ખૂબ સામાન્ય છે. જો સંતુલન સ્થિતિમાંથી દૂર કરાયેલી સિસ્ટમને તેના પર છોડી દેવામાં આવે છે, એટલે કે, તેના પર કોઈ બાહ્ય દળો કાર્ય કરતા નથી, તો આવી સિસ્ટમ મુક્ત, અનડેમ્પ્ડ ઓસિલેશન્સ કરશે. ચાલો સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ.

સ્થિર સંતુલન એ સિસ્ટમની સ્થિતિને અનુરૂપ છે જેમાં તેની સંભવિત ઊર્જા ન્યૂનતમ ( q- સિસ્ટમનું સામાન્યકૃત સંકલન). સંતુલન સ્થિતિમાંથી સિસ્ટમનું વિચલન એક બળના ઉદભવ તરફ દોરી જાય છે જે સિસ્ટમને પાછું લાવવાનું વલણ ધરાવે છે. સંતુલન સ્થિતિને અનુરૂપ સામાન્યકૃત સંકલનનું મૂલ્ય , પછી સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

અમે ન્યૂનતમ મૂલ્યમાંથી સંભવિત ઊર્જાની ગણતરી કરીશું. ચાલો આપણે પરિણામી કાર્યને સ્વીકારીએ અને તેને મેકલોરીન શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરીએ અને વિસ્તરણની પ્રથમ અવધિ છોડીએ, આપણી પાસે છે: o

,

જ્યાં . પછી, પરિચયિત સંકેતોને ધ્યાનમાં લેતા:

, (1.1.4)

સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતા બળની અભિવ્યક્તિ (1.1.4) ને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ:

ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, સિસ્ટમની ગતિના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: ,

અભિવ્યક્તિ (1.1.5) મુક્ત હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સમીકરણ (1.1.3) સાથે સુસંગત છે, જો કે

અને બે સ્વતંત્ર ઉકેલો ધરાવે છે: અને , તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:

,

સૂત્ર (1.1.6) થી તે અનુસરે છે કે આવર્તન માત્ર યાંત્રિક પ્રણાલીના આંતરિક ગુણધર્મો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે કંપનવિસ્તાર અને ગતિની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત નથી.

સમયસર ઓસીલેટીંગ સિસ્ટમના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન જટિલ અભિવ્યક્તિના વાસ્તવિક ભાગના સ્વરૂપમાં નક્કી કરી શકાય છે. , ક્યાં A=Xe-iα- જટિલ કંપનવિસ્તાર, તેનું મોડ્યુલ સામાન્ય કંપનવિસ્તાર સાથે એકરુપ છે, અને તેની દલીલ પ્રારંભિક તબક્કા સાથે એકરુપ છે.

1.1.3 . વિવિધ શારીરિક પ્રકૃતિની ઓસીલેટરી હિલચાલનાં ઉદાહરણો

ઝરણા પરના ભારનું ઓસિલેશન

ચાલો સ્પ્રિંગ પરના ભારના ઓસિલેશનને ધ્યાનમાં લઈએ, જો કે વસંત તેની સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદાથી વધુ વિકૃત ન હોય. ચાલો બતાવીએ કે આવો ભાર સંતુલન સ્થિતિ (ફિગ. 1.1.3) ને સંબંધિત હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરશે. ખરેખર, હૂકના નિયમ મુજબ, સંકુચિત અથવા ખેંચાયેલ વસંત એક હાર્મોનિક બળ બનાવે છે:

જ્યાં - વસંતની જડતા ગુણાંક, - સંતુલન સ્થિતિનું સંકલન, એક્સ- સમયની ક્ષણે લોડ (સામગ્રી બિંદુ) નું સંકલન, - સંતુલન સ્થિતિથી વિસ્થાપન.

ચાલો કોઓર્ડિનેટના મૂળને સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિ પર મૂકીએ. આ કિસ્સામાં.

જો વસંત રકમ દ્વારા ખેંચાય છે એક્સ, પછી સમયની ક્ષણે રિલીઝ કરો t=0, તો ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર ભારની ગતિનું સમીકરણ સ્વરૂપ લેશે -kx=ma, અથવા , અને

(1.1.6)

આ સમીકરણ હાર્મોનિક ઓસિલેશન્સ કરતી સિસ્ટમના ગતિના સમીકરણ (1.1.3) સાથે એકરુપ છે;

. (1.1.7)

(1.17) ને (1.1.6) માં બદલીને, અમારી પાસે છે: એટલે કે, અભિવ્યક્તિ (1.1.7) એ સમીકરણ (1.1.6) નો ઉકેલ છે જો કે

જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે લોડની સ્થિતિ મનસ્વી હતી, તો ગતિનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લેશે:

.

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાંથી પસાર થતા ભારની ઊર્જા ગેરહાજરીમાં કેવી રીતે બદલાય છે બાહ્ય દળો(ફિગ. 1.14). જો આ ક્ષણે t=0 ભારને વિસ્થાપન જણાવો x=A, તો તેની કુલ ઊર્જા વિકૃત વસંતની સંભવિત ઊર્જા જેટલી થઈ જશે, ગતિ ઊર્જા શૂન્ય છે (બિંદુ 1).

એક બળ ભાર પર કાર્ય કરે છે F= -kx, તેને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવાનું વલણ ધરાવે છે, તેથી ભાર પ્રવેગક સાથે આગળ વધે છે અને તેની ગતિ વધે છે, અને પરિણામે, ગતિ ઊર્જા. આ બળ લોડના વિસ્થાપનને ઘટાડે છે X,લોડની સંભવિત ઊર્જા ઘટે છે, ગતિ ઊર્જામાં ફેરવાય છે. લોડ-સ્પ્રિંગ સિસ્ટમ બંધ છે, તેથી તેની કુલ ઊર્જા સચવાય છે, એટલે કે:

. (1.1.8)

સમયની ક્ષણે, ભાર સંતુલન સ્થિતિમાં છે (બિંદુ 2), તેની સંભવિત ઊર્જા શૂન્ય છે, અને તેની ગતિ ઊર્જા મહત્તમ છે. મહત્તમ ઝડપઆપણે ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદામાંથી ભાર શોધીએ છીએ (1.1.8):

ગતિ ઊર્જાના અનામતને લીધે, ભાર સ્થિતિસ્થાપક બળ સામે કામ કરે છે – અને સંતુલન સ્થિતિ પસાર થાય છે. ગતિ ઊર્જા ધીમે ધીમે સંભવિત ઊર્જામાં ફેરવાય છે. જ્યારે લોડમાં મહત્તમ નકારાત્મક વિસ્થાપન હોય છે - એ,ગતિ ઊર્જા Wk=0, લોડ અટકી જાય છે અને સ્થિતિસ્થાપક બળની ક્રિયા હેઠળ સંતુલન સ્થિતિમાં જવાનું શરૂ કરે છે F= -kx. આગળની હિલચાલ એ જ રીતે થાય છે.

લોલક

લોલક દ્વારા અમારો અર્થ છે નક્કર, જે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ આસપાસ ફરે છે નિશ્ચિત બિંદુઅથવા એક્સેલ્સ. ભૌતિક અને ગાણિતિક લોલક છે.

ગાણિતિક લોલક એ એક આદર્શ પ્રણાલી છે જેમાં વજન વિનાના અક્ષમ થ્રેડનો સમાવેશ થાય છે જેના પર સમૂહને સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે છે, એક સામગ્રી બિંદુ પર કેન્દ્રિત હોય છે.

ગાણિતિક લોલક, ઉદાહરણ તરીકે, લાંબા પાતળા થ્રેડ પર બોલ છે.

સંતુલન સ્થિતિમાંથી લોલકનું વિચલન કોણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે φ , જે ઊભી સાથે થ્રેડ બનાવે છે (ફિગ. 1.15). જ્યારે લોલક સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલિત થાય છે, ત્યારે બાહ્ય દળો (ગુરુત્વાકર્ષણ) ની એક ક્ષણ થાય છે: , ક્યાં m- વજન, - લોલક લંબાઈ

આ ક્ષણ લોલકને સંતુલન સ્થિતિ (અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક બળની જેમ) પર પરત કરવાનું વલણ ધરાવે છે અને તે વિસ્થાપનની વિરુદ્ધ દિશામાન થાય છે. φ , તેથી સૂત્રમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન છે.

લોલક માટે રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતા માટેનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે: Iε =,

.

તેથી, અમે નાના ઓસિલેશનના કેસને ધ્યાનમાં લઈશું પાપ φ ≈φ, સૂચવો,

અમારી પાસે છે: , અથવા , અને છેલ્લે

આ હાર્મોનિક સ્પંદનોનું સમીકરણ છે, તેનો ઉકેલ:

.

ગાણિતિક લોલકની ઓસિલેશન આવર્તન માત્ર તેની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને તે લોલકના સમૂહ પર આધારિત નથી. સમયગાળો છે:

જો ઓસીલેટીંગ બોડી તરીકે કલ્પના કરી શકાતી નથી સામગ્રી બિંદુ, તો લોલકને ભૌતિક કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 1.1.6). અમે તેની ગતિનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ છીએ:

.

નાના વધઘટના કિસ્સામાં , અથવા =0, ક્યાં . આ હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરતા શરીરની ગતિનું સમીકરણ છે. ભૌતિક લોલકના ઓસિલેશનની આવર્તન સસ્પેન્શન બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષની તુલનામાં તેના સમૂહ, લંબાઈ અને જડતાના ક્ષણ પર આધારિત છે.

ચાલો સૂચિત કરીએ. તીવ્રતા ભૌતિક લોલકની ઘટાડેલી લંબાઈ કહેવાય છે. આ ગાણિતિક લોલકની લંબાઈ છે જેનો ઓસિલેશનનો સમયગાળો આપેલ ભૌતિક લોલકના સમયગાળા સાથે એકરુપ હોય છે. સસ્પેન્શનના બિંદુને સમૂહના કેન્દ્ર સાથે જોડતી સીધી રેખા પરનો એક બિંદુ, પરિભ્રમણની ધરીથી આપેલ લંબાઈના અંતરે સ્થિત છે, તેને ભૌતિક લોલકના સ્વિંગનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે ( વિશે'). જો લોલકને સ્વિંગના કેન્દ્રમાં સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે છે, તો ઘટેલી લંબાઈ અને ઓસિલેશનનો સમયગાળો બિંદુ જેટલો જ હશે. વિશે. આમ, સસ્પેન્શન પોઈન્ટ અને સ્વિંગ સેન્ટરમાં પારસ્પરિકતાના ગુણધર્મો છે: જ્યારે સસ્પેન્શન પોઈન્ટને સ્વિંગ સેન્ટરમાં ટ્રાન્સફર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અગાઉનું સસ્પેન્શન પોઈન્ટ નવું સ્વિંગ સેન્ટર બની જાય છે.

એક ગાણિતિક લોલક કે જે વિચારણા હેઠળના ભૌતિક સમયની સમાન અવધિ સાથે સ્વિંગ કરે છે તેને આ ભૌતિક લોલકને આઇસોક્રોનસ કહેવામાં આવે છે.

1.1.4. ઓસિલેશનનો ઉમેરો (ધબકારા, લિસાજસ આકૃતિઓ). ઓસિલેશનના ઉમેરાનું વેક્ટર વર્ણન

સમાન રીતે નિર્દેશિત ઓસિલેશનનો ઉમેરો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે વેક્ટર ડાયાગ્રામ. કોઈપણ હાર્મોનિક ઓસિલેશનને વેક્ટર તરીકે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે. ચાલો એક ધરી પસંદ કરીએ એક્સબિંદુ પર પ્રારંભિક બિંદુ સાથે વિશે(ફિગ.1.1.7)

બિંદુ પરથી વિશેચાલો એક વેક્ટર બનાવીએ જે કોણ બનાવે છે ધરી સાથે એક્સ. આ વેક્ટર સાથે ફરવા દો કોણીય વેગ. અક્ષ પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ એક્સસમાન છે:

એટલે કે, તે કંપનવિસ્તાર સાથે હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે એ.

સમાન દિશાના બે હાર્મોનિક ઓસિલેશન અને સમાન ચક્રીય નાનાને ધ્યાનમાં લો, વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવે છેઅને . એક્સિસ ઓફસેટ્સ એક્સસમાન છે:

પરિણામી વેક્ટરમાં પ્રક્ષેપણ હોય છે અને પરિણામી ઓસિલેશન (ફિગ. 1.1.8) રજૂ કરે છે, કોસાઇન પ્રમેય મુજબ, આ રીતે, વેક્ટરના ઉમેરા દ્વારા હાર્મોનિક ઓસિલેશનનો ઉમેરો કરવામાં આવે છે.

ચાલો પરસ્પર કાટખૂણે ઓસિલેશનનો ઉમેરો કરીએ. ભૌતિક બિંદુને પરસ્પર બે વસ્તુઓ કરવા દો લંબરૂપ સ્પંદનોઆવર્તન:

.

સામગ્રી બિંદુ પોતે ચોક્કસ વળાંકવાળા માર્ગ સાથે આગળ વધશે.

ગતિના સમીકરણ પરથી તે નીચે મુજબ છે: ,

. (1.1.9)

સમીકરણ (1.1.9) પરથી આપણે અંડાકારનું સમીકરણ મેળવી શકીએ છીએ (ફિગ. 1.1.9):

ચાલો આ સમીકરણના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1. ઓસિલેશન તબક્કા તફાવત α= 0. તે જ સમયે તે અથવા આ સીધી રેખાનું સમીકરણ છે, અને પરિણામી કંપનવિસ્તાર (ફિગ. 1.1.10) સાથે આ સીધી રેખા સાથે થાય છે.

તેની પ્રવેગકતા સમયના સંદર્ભમાં વિસ્થાપનના બીજા વ્યુત્પન્ન સમાન છે પછી ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટ પર કામ કરતું બળ બરાબર છે

એટલે કે, બળ વિસ્થાપનના પ્રમાણસર છે એક્સઅને સંતુલન સ્થિતિ તરફ વિસ્થાપન સામે નિર્દેશિત છે. આ બળને પુનઃસ્થાપિત બળ કહેવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ પરના ભારના કિસ્સામાં, પુનઃસ્થાપિત બળ એ ગાણિતિક લોલકના કિસ્સામાં, તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો એક ઘટક છે.

પ્રકૃતિમાં પુનઃસ્થાપિત બળ હૂકના કાયદાનું પાલન કરે છે F= -kx,જ્યાં

- બળ ગુણાંક પુનઃસ્થાપિત. પછી ઓસીલેટીંગ બિંદુની સંભવિત ઊર્જા છે:

(એકીકરણ સ્થિરાંક શૂન્યની બરાબર પસંદ કરવામાં આવે છે, જેથી જ્યારે એક્સ).

એન્હાર્મોનિક ઓસીલેટર

ચાલો એક સરળ ધ્યાનમાં લઈએ ભૌતિક સિસ્ટમ– હૂક બળના પ્રભાવ હેઠળ ઘર્ષણ વિના આડી સપાટી પર ઓસીલેટ કરવામાં સક્ષમ મટીરીયલ પોઈન્ટ (જુઓ. ફિગ. 2).

જો ભારનું વિસ્થાપન નાનું હોય (અવિકૃત સ્પ્રિંગની લંબાઈ કરતાં ઘણું ઓછું), અને વસંતની જડતા k બરાબર હોય, તો લોડ પર કામ કરતું એકમાત્ર બળ હૂક બળ છે. પછી સમીકરણ

લોડની હિલચાલ (ન્યુટનનો બીજો કાયદો) સ્વરૂપ ધરાવે છે

સમાનતાની ડાબી બાજુએ શરતોને ખસેડવા અને ભૌતિક બિંદુના સમૂહ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી (અમે m ની તુલનામાં વસંતના સમૂહને અવગણીએ છીએ), આપણે ગતિનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

(*) ,

,

,

ઓસિલેશનનો સમયગાળો.

પછી, કાર્ય લેવું

અને સમયના સંદર્ભમાં તેને અલગ કર્યા પછી, અમને ખાતરી છે કે, સૌ પ્રથમ, ભારની હિલચાલની ગતિ સમાન છે

અને બીજું, વારંવાર ભિન્નતા પછી,

,

એટલે કે, X(t) એ ખરેખર સ્પ્રિંગ પરના ભારના સમીકરણનો ઉકેલ છે.

આવી સિસ્ટમ, સામાન્ય રીતે, કોઈપણ સિસ્ટમ, યાંત્રિક, વિદ્યુત અથવા અન્ય, જે ગતિનું સમીકરણ (*) ધરાવે છે, તેને હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવામાં આવે છે. પ્રકાર X(t) ના કાર્યને હાર્મોનિક ઓસિલેટરના ગતિનો નિયમ કહેવાય છે, જથ્થો
કહેવાય છે કંપનવિસ્તાર,ચક્રીયઅથવા કુદરતી આવર્તન,પ્રારંભિક તબક્કો. કુદરતી આવર્તન ઓસિલેટરના પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, કંપનવિસ્તાર અને પ્રારંભિક તબક્કા પ્રારંભિક શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

ગતિનો નિયમ X(t) મુક્ત ઓસિલેશનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આવા ઓસિલેશન્સ અનડેમ્પ્ડ લોલક (ગાણિતિક અથવા ભૌતિક), એક આદર્શ ઓસીલેટરી સર્કિટમાં વર્તમાન અને વોલ્ટેજ અને કેટલીક અન્ય સિસ્ટમો દ્વારા કરવામાં આવે છે.

હાર્મોનિક ઓસિલેશન એક અને જુદી જુદી દિશામાં એમ બંને રીતે ઉમેરી શકે છે. ઉમેરાનું પરિણામ એ હાર્મોનિક ઓસિલેશન પણ છે, ઉદાહરણ તરીકે,

.

આ સ્પંદનોના સુપરપોઝિશન (સુપરપોઝિશન) નો સિદ્ધાંત છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ પ્રકારની શ્રેણીનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો છે, જેને ફોરિયર શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. અસંખ્ય સામાન્યીકરણો પણ છે જેમ કે ફૌરીયર ઈન્ટિગ્રલ્સ (ફ્રિકવન્સી સતત બદલાઈ શકે છે) અને લેપ્લેસ ઈન્ટિગ્રલ્સ પણ જે જટિલ ફ્રીક્વન્સી સાથે કામ કરે છે.

§15. ભીનું ઓસિલેટર. દબાણયુક્ત સ્પંદનો.

વાસ્તવિક યાંત્રિક સિસ્ટમોહંમેશા ઓછામાં ઓછું થોડું ઘર્ષણ હોય છે. સૌથી સરળ કેસ પ્રવાહી અથવા ચીકણું ઘર્ષણ છે. આ ઘર્ષણ છે, જેની તીવ્રતા સિસ્ટમની હિલચાલની ગતિના પ્રમાણસર છે (અને નિર્દેશિત, કુદરતી રીતે, ચળવળની દિશા સામે). જો ગતિ X અક્ષ સાથે થાય છે, તો ગતિનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સ્પ્રિંગ પરના વજન માટે)

,

જ્યાં - ચીકણું ઘર્ષણ ગુણાંક.

ગતિનું આ સમીકરણ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થઈ શકે છે

.

અહીં
- એટેન્યુએશન ગુણાંક, - હજુ પણ ઓસિલેટરની કુદરતી આવર્તન છે (જેને હવે હાર્મોનિક કહી શકાતું નથી; તે ચીકણું ઘર્ષણ સાથે ભીનું ઓસિલેટર છે).

ગણિતશાસ્ત્રીઓ આવા વિભેદક સમીકરણો ઉકેલી શકે છે. તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ઉકેલ એ કાર્ય છે

છેલ્લું સૂત્ર નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે: - પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર, નબળા ભીના ઓસિલેશનની આવર્તન
,
. વધુમાં, એટેન્યુએશનને દર્શાવતા અન્ય પરિમાણોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: લઘુગણક એટેન્યુએશન ડીક્રમેન્ટ
, સિસ્ટમ આરામ સમય
, સિસ્ટમ ગુણવત્તા પરિબળ
, જ્યાં અંશ એ સિસ્ટમ દ્વારા સંગ્રહિત ઊર્જા છે, અને છેદ એ T સમયગાળા દરમિયાન ઊર્જાનું નુકસાન છે.

મજબૂત એટેન્યુએશનના કિસ્સામાં
સોલ્યુશનમાં એપિરિયોડિક સ્વરૂપ છે.

ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓ હોય છે જ્યારે, ઘર્ષણ બળો ઉપરાંત, બાહ્ય બળ ઓસિલેટર પર કાર્ય કરે છે. પછી ગતિનું સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે

,

જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિને ઘણીવાર ઘટાડો બળ કહેવાય છે, અભિવ્યક્તિ પોતે
ફોર્સિંગ ફોર્સ કહેવાય છે. મનસ્વી ચાલક દળ માટે, સમીકરણનો ઉકેલ શોધવો શક્ય નથી. સામાન્ય રીતે પ્રકારનું હાર્મોનિક ચાલક બળ માનવામાં આવે છે
. પછી સોલ્યુશન પ્રકાર (**) ના ભીના ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે મોટા સમય માટે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને સ્થિર (બળજબરીથી) ઓસિલેશન

દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર

,

અને દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનો તબક્કો

.

નોંધ કરો કે જેમ જેમ કુદરતી આવર્તન ડ્રાઇવિંગ ફોર્સની આવર્તનની નજીક આવે છે, તેમ દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર વધે છે. આ ઘટના તરીકે ઓળખાય છે પડઘો. જો ભીનાશ મોટી હોય, તો રેઝોનન્ટ વધારો મોટો નથી. આ પડઘોને "નીરસ" કહેવામાં આવે છે. ઓછા એટેન્યુએશન પર, "તીક્ષ્ણ" રેઝોનન્સનું કંપનવિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે વધી શકે છે. જો સિસ્ટમ આદર્શ છે અને તેમાં કોઈ ઘર્ષણ નથી, તો દબાણયુક્ત ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર અમર્યાદિત રીતે વધે છે.

નોંધ કરો કે ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ ફ્રીક્વન્સી પર

ડ્રાઇવિંગ ફોર્સના કંપનવિસ્તારનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય છે, બરાબર

.